重庆八中2020级高三下第三次月考文科数学试卷含答案
重庆市直属校(重庆市第八中学等)2020届高三下学期3月月考数学(文)试题
17.已知数列 满足 ， ， ，数列 满足 ， ，且数列 是等差数列.
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）根据等比数列定义求出 ，再利用 是等差数列求出数列 的通项公式；
（2）写出 ，得 ，利用分组求和及裂项相消法即可求解.
【详解】（1）即证 ，令 ，
当 ， ， 单调递增；
当 ， ， 单调递减.
而 ，故
（2）
①当 ，
， ， 单调递增. 至多一个零点，故不符合.
②当 时，
， ， 单调递增.
， ， 单调递减.
令 ， ，
， ， 单调递减.
， ， 单调递增.
所以 .
（ⅰ）当 时， ， ， 有一个零点，故不符合
（ⅱ）当 时，
由 ，
当 时， ，
，且 ，
，
即 时， 恒成立，
当 时， ，
，且 ，
，
故当 时， 不成立.
综上所述，
【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的性质，函数单调性的应用，属于中档题.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知向量 与 的夹角为120°，且 ，则 _____.
【详解】（1）由题意得， 是以2为首项，2为公比的等比数列， ，
， ， 是等差数列，
，
（2） ，
又
【点睛】本题主要考查了等比数列，等差数列的定义、性质，分组求和，裂项相消法求和，属于中档题.
18.如图，四边形 为平行四边形，点 在 上， ，且 .以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且 .
2020届重庆市第八中学高三下学期第3次(4月)月考数学(文)试题(解析版)
2020届重庆市第八中学高三下学期第3次（4月）月考数学（文）试题一、单选题1．已知集合{|1},{3,2,1,0,1}A x x B =>-=---，则A B =I ( )A ．{1,0,1}-B ．{0,1}C ．(]1,1-D ．∅【答案】B【解析】利用交集定义直接求解．【详解】 Q 集合{}1A x x =-，{3,2,1,B =---0，1}，{}0,1A B ∴⋂=．故选：B ．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2．设2i z i +=，则||z =( )A ．B C ．2 D ．5【答案】B【解析】根据复数的基本运算法则进行化简即可．【详解】 ()22212i i i z i i i++===-，则z == 故选：B ．【点睛】本题主要考查复数的除法运算，复数模的计算，比较基础．3．已知向量||1,||2,a b a b ==⋅=r r r r a r 与向量b r 的夹角为( )A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π 【答案】A【解析】根据条件及向量夹角的余弦公式即可得出3cos ,2a b =r r ，然后根据向量夹角的范围即可求出夹角的大小． 【详解】1,2,3a b a b ==⋅=r r r r Q ，3cos ,a b ∴=r r ，且0,a b π≤≤r r ， ∴向量,a b r r 的夹角为6π． 故选：A ．【点睛】本题考查了向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，考查了计算能力，属于基础题． 4．函数()(0)a f x x x =≥，()log a g x x =，则()f x 与()g x 的图象可能为( ) A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】取特殊值，利用排除法即得解．【详解】当12a =时，()()12,f x x g x log x ==，选项B 符合．故选：B ．【点睛】本题考查常见函数的图象，属于基础题．5．已知双曲线22145x y -=的右焦点为F ，过点F 作一条直线与其中一条渐近线垂直，垂足为,A O 为坐标原点，则OAF S ∆=( )A ．3B ．C ．D 【答案】D【解析】求得F 20y +=的距离FA ==即可得2.AO ===从而求得面积．【详解】双曲线22145x y -=的右焦点为()3,0F ，F 20y +=的距离FA ==则2AO ===．则11222OAF S FA OA =⋅==V 故选：D ．【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于基础题．6．为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话：老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”．老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为( )A ．7班、14班、15班B ．14班、7班、15班C ．14班、15班、7班D ．15班、14班、7班【答案】C【解析】分别假设甲、乙、丙预测准确，分析三个人的预测结果，由此能求出一、二、三名的班级．【详解】假设甲预测准确，则乙和丙都预测错误， 14∴班名次比15班靠后，7班没能赢15班，故甲预测错误；假设乙预测准确，则甲和乙都预测错误，7∴班不是第一名，14班名次比15班靠前，7班没能赢15班，则获得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班；假设丙预测准确，则甲和乙都预测错误，7∴班不是第一名，14班名次比15班靠后，7班能赢15班，不合题意．综上，得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班．故选：C ．【点睛】本题考查获得一、二、三名的班级的判断，考查合情推理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．如图是一个算法流程图，输出的S 为( )A ．50B ．50-C ．51D ．51-【答案】B 【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】模拟程序的运行，可得0N =，0T =，1i =满足条件100i <，执行循环体，1N =，2T =，3i =满足条件100i <，执行循环体，13N =+，24T =+，5i =满足条件100i <，执行循环体，135N =++，246T =++，7i =⋯观察规律可知，当99i =时，满足条件100i <，执行循环体，13599N =+++⋯+，246100T =+++⋯+，101i =此时，不满足条件100i <，退出循环，可得()()()()1234569910050S N T =-=-+-+-+⋯-=-．故选：B ．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8．已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<为偶函数，且该函数离原点最近的一个对称中心为(,0)3π，则()f x 在[0,2)π内的零点个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】由函数为偶函数求得ϕ，再由已知求出周期，进一步求得ω，可得函数解析式，根据三角函数的图象判断零点个数即可．【详解】由函数()()sin (0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<为偶函数， 所以2πϕ=，()f x cos x ω=； 又因为该函数离原点最近的一个对称中心为,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以43T π=，423T ππω==，32ω=； 所以3()cos 2f x x =， 由函数图像可知()f x 在[)0,2π内的零点个数为3个．故选：C ．【点睛】本题考查了()y Asin x ωϕ=+型函数的图象及性质，属于基础题． 9．已知函数2,01()log ,1a x f x x x ⎧<≤⎪=⎨>⎪⎩在(0,)+∞为单调递增函数，则a 的取值范围为( )A ．(1,)+∞B ．(1,2)C ．(1.2]D ．(0,2]【答案】C【解析】要使分段函数在()0,+∞上是增函数，必须每一段都是增函数，且整体也是增函数，故1a >且2log 10a a -≤=，解得a 的取值范围即可．【详解】要使得函数()2,01,1a a x xf x log x x ⎧-<≤⎪=⎨>⎪⎩在()0,+∞上为增函数， 则满足120a a >⎧⎨-≤⎩，故12a <≤；则a 的取值范围为(]1,2． 故选：C ．【点睛】本题考查了分段函数为增函数的条件，正确理解增函数的定义是关键，属于基础题． 10．已知三棱锥S ABC -的外接球为球O ，SA 为球O 的直径，且2SA =，若面SAC ⊥面SAB ，则三棱锥S ABC -的体积最大值为( )A ．13B ．23C ．1D ．2【答案】A【解析】由题意画出图形，可得连接OC ，OB ，则S ABC S OBC A OBC V V V ---=+，两三棱锥高的和的最大值为2SA =，再求出三角形OBC 面积的最大值得答案．【详解】如图，连接OC ，OB ，则S ABC S OBC A OBC V V V ---=+，两三棱锥高的和的最大值为2SA =．要使三棱锥S ABC -的体积最大，则OBC V 面积1sin 2OB OC BOC ⨯⨯⨯∠，取最大值1111122⨯⨯⨯=时， ∴三棱锥S ABC -的体积最大值为1112323⨯⨯=．故选：A ．【点睛】本题考查球内接多面体体积最值的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查数学转化思想方法，是中档题．11．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足(1)(1)f x f x +=-，已知[0,1]x ∈时，()f x =若13(log 54)a f =，2019()2b f =，(3)c f =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b << 【答案】C 【解析】根据函数的奇偶性和单调性，结合函数的周期性进行转化判断即可．【详解】()f x Q 为定义在R 上的奇函数，且满足()()11f x f x +=-，()()()111f x f x f x ∴+=-=--，则()()2f x f x +=-，即()()4f x f x +=，则函数的周期是4，[]0,1x ∈时，()f x =()f x 在[]1,1-上为增函数， ()()()()()1333333log 54log 543log 23log 24log 211log 2f f f f f f ⎛⎫=-=-+=-+-=--=- ⎪⎝⎭，20191111100811122222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()3341f f f =-=-，3111log 22-<<-Q ， ()()3111log 22f f f ⎛⎫∴-<<- ⎪⎝⎭， 即c b a <<，故选：C ．【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，结合函数的奇偶性和对称性求出函数的周期是解决本题的关键．有一定的难度．12．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 作直线与抛物线交于,A B 两点，B 点在第一象限，过点B 作抛物线准线的垂线，垂足为C ，点E 为BF 上一点，且12BE EF =u u u r u u u r ，连接CE 并延长交x 轴于点D ，已知BED ∆的面积为2，则D 点的横坐标为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】由抛物线的方程可得焦点F 的坐标，及准线方程，设B 的坐标，可得C 的坐标，由12BE EF =u u u r u u u r ，可得E 的坐标，再由C ，E ，D 三点共线可得D 的坐标用B 的坐标表示的值，再由BED V 的面积可得D 的坐标．【详解】 设2,4b B b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),0D D x ，由题意可得焦点()1,0F ，准线方程为1x =-，所以可得()1,C b -， 由12BE EF =u u u r u u u r ，可得()21,1,42E E E E b x y b x y ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭， 可得226E b x +=，23E b y =，即222,63b E b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 因为C ，E ，D 三点共线，可得CD CE k k =，即2232116D b b b b x -=+----， 可得232D b x =+， 因为BED V的面积为2，所以()13122BFD BED D S S x b ===-⋅V V ，即340b b +-=，可得b =所以2342D x =+=， 故选：B ．【点睛】本题主要考查了抛物线的性质及三点共线的性质，即直线与抛物线的综合，属于中档题．二、填空题13．已知tan 3α=-，则cos2=α_____________. 【答案】45- 【解析】由题意，根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系求得2cos α的值．【详解】3tan α=-Q ，222222cos sin 1tan 1942cos sin 1tan 195cos ααααααα---∴====-+++． 故答案为：45-． 【点睛】本题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系在三角函数化简求值中的应用，属于基础题． 14．若变量,x y 满足约束条件23603020x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则3z x y =-的最大值为_____________.【答案】9【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】由约束条件23603020x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩作出可行域如图：化目标函数3z x y =-为：3y x z =-，由图可知，当直线3y x z =-过()3,0A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为9．故答案为：9．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．15．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2b c a +=，4sin 5sin c B b A =，则cos B =______. 【答案】45【解析】由已知结合正弦定理及余弦定理即可求解.【详解】因为45csinB bsinA =，由正弦定理可得，45bc ba =即45c a =，因为2b c a +=， 所以34b a =，54c a =， 由余弦定理可得，2222222594161652524a a a a cb cosB ac a α+-+-===⋅． 故答案为：45【点睛】 本题主要考查了正弦定理及余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题． 16．若函数()2x f x xe ax =-+（e 为自然对数的底数）在(,0)-∞的区间内有两个极值点，则实数a 的取值范围为___________. 【答案】21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】由已知可得()()'10x f x x e a =+-=在(),0-?的区间内有两个解，分离参数后转化为求解函数的交点问题，构造函数结合导数可求．【详解】 ()2x f x xe ax =-+在(),0-?的区间内有两个极值点，则()()'10x f x x e a =+-=在(),0-?的区间内有两个解，即()1x a x e =+在(),0-?的区间内有两个解，令()()1xg x x e =+，则()()'2xg x x e =+，易得，当(),2x ∈-∞-，()'0g x <，函数单调递减，当()2,0x ∈-，()'0g x >，函数单调递增，又x →-∞时，()0g x <，且()212g e-=-，()01g = 故210a e-<<， 故答案为：21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了函数极值存在条件的应用，解题中体现了转化思想的应用．三、解答题17．已知函数{}n a 满足13a =，11323(N*)n n n a a n ++=+⨯∈，数列{}n b 满足3nn na b =. （1）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；（2）数列{}n b 的前n 项和为n S ，设(1)nn n c S =-⋅，求数列{}n c 的前80项和80T .【答案】（1）证明见解析，21n b n =-（2）3240【解析】()1将已知等式两边同除以13n +，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；()2由等差数列的求和公式，以及平方差公式，结合数列的并项求和，等差数列的求和公式，计算可得所求和． 【详解】()1证明：11323n n n a a ++=+⨯，可得11233n nn na a ++=+， 则12n nb b +=+，即12n n b b +-=，可得数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列； 则()12121n b n n =+-=-，即213nna n =-， 可得()213nn a n =-⋅，*n N ∈；()()212135211212n S n n n n =+++⋯+-=+-=， 2(1)(1)n n n n c S n =-⋅=-⋅，()()()()()()()()2222222280123456798021214343656580798079T =-+-+-++⋯-+=-++-++-++⋯+-+()112345679808018032402=++++++⋯++=⨯⨯+=．【点睛】本题考查等差数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列的并项求和，化简运算能力，属于中档题．18．为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中随机抽取了容量为120的样本，测量树苗高度(单位：cm )，经统计，其高度均在区间[19，31]内，将其按[19，21)，[21，23)，[23，25)，[25，27)，[27，29)，[29，31]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.其中高度为27cm 及以上的树苗为优质树苗.（1）求图中a 的值，并估计这批树苗高度的中位数和平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表)；（2）已知所抽取的这120棵树苗来自于AB 两个试验区，部分数据如下列联表：将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A ，B 两个试验区有关系，并说明理由.参考数据：参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++【答案】（1）0.025a =；中位数为25.75cm ，平均数为25.5cm （2）填表见解析；没有99.9%的把握认为优质树苗与A ，B 两个试验区有关系，详见解析 【解析】（1）先分析频率分布直方图，再由中位数，平均数的求法求解即可； （2）先结合直方图完成列联表，再结合公式求出2K ，然后结合临界值表即可得解. 【详解】解：（1）由频率分布直方图得：()220.20.21a a a ⨯++++=，解得0.025a =. 设中位数为x ，则()0.050.10.2250.20.5x +++-⨯=，解得25.75x =， 平均数200.05220.1240.2260.4280.2300.0525.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 所以估计这批树苗高度的中位数为25.75cm ，平均数为25.5cm .（2）根据直方图可知，样本中优质树苗有()1200.1020.025230⨯⨯+⨯=，列联表如下：()221201030206010.28610.82870503090K ⨯⨯-⨯∴=≈<⨯⨯⨯.所以，没有99.9%的把握认为优质树苗与A ，B 两个试验区有关系. 【点睛】本题考查了频率分布直方图,重点考查了独立性检验,属基础题.19．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，ABP ∆是等边三角形且边长是4，DA DP ==（1）证明：AP BD ⊥；（2）若4BD =，求四棱锥P ABCD -的体积. 【答案】（1）证明见解析（2）163【解析】()1取AP 中点M ，连接DM ，BM ，由等腰三角形的性质可得PA DM ⊥，PA BM ⊥，再由线面垂直的判定可得PA ⊥平面.DMB 进一步得到PA BD ⊥；()2由()1知，PA ⊥平面BDM ，求出三角形BDM 的面积，得到三棱锥P ABD -的体积，进一步求得四棱锥P ABCD -的体积． 【详解】()1证明：取AP 中点M ，连接DM ，BM ，DA DP =Q ，BA BP =， PA DM ∴⊥，PA BM ⊥，DM BM M ⋂=Q ，PA ∴⊥平面DMB ．又BD Q ⊂平面DMB ，PA BD ∴⊥()2由()1知，PA ⊥平面BDM ，在等边三角形P AB 中，由边长为4，得16423BM =-= 在等腰三角形ADP 中，由22AD DP ==2AM =，得2DM =， 又4BD =，222DM BM DB ∴+=，得DM BM ⊥．122DBM S ∴=⨯⨯=V ．则114333P ABD BDM V S PA -=⨯⨯=⨯=V ．23P ABCD P ABD V V --∴==． 【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20．已知A ，B 是椭圆C ：22221(0x y a b a b+=>>)的左右顶点，P 点为椭圆C 上一点，点P 关于x 轴的对称点为H ，且1.2PA BH k k ⋅=（1）若椭圆C 经过了圆22(1)4x y +-=的圆心，求椭圆C 的标准方程；（2）在（1）的条件下，抛物线D ：22(0)y px p =>的焦点F 与点1(,2)8-关于y 轴上某点对称，且抛物线D 与椭圆C 在第四象限交于点Q ，过点Q 作直线与抛物线D 有唯一公共点，求该直线与两坐标轴围成的三角形面积.【答案】（1）2212x y +=（2 【解析】（1）结合斜率公式及椭圆C 经过了圆22(1)4x y +-=的圆心，求出22a =，21b =即可得解；（2）联立抛物线方程及椭圆方程求出交点坐标1,Q ⎛ ⎝⎭，然后设直线方程为()1y k x =-，联立直线方程与抛物线方程，结合0∆=，解得k ，再分别求出横、纵截距，再求三角形面积即可. 【详解】解：（1）设(),P x y ，因为(),0A a -，(),0B a ， 则点P 关于x 轴的对称点(),H x y -， 则PA y k x a =+，BH yk a x=-，因为22221x y a b+=，所以()222222221x b y b a x a a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以22222PA BHy b k k a x a ⋅==-， 又椭圆C 过圆()2214x y +-=的圆心()0,1， 所以22a =，21b =，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=；（2）由题意，抛物线D 焦点为1,08F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故其方程为22y x =， 联立方程组222212x y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得1x =或2x =-（舍去），所以1,2Q ⎛- ⎝⎭，据题意，过1,2Q ⎛-⎝⎭点的直线，斜率存在且不为0， 设直线方程为()1y k x =--， 联立方程组()2212x y y k x ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，整理得220ky y k --=， 由0∆=，解之得4k =-，所以直线方程为)142y x =---即是10x ++=.令0x =，得4y =-； 令0y =，得1x =-.故所求三角形的面积为11248S =⨯⨯=【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，重点考查了运算能力，属中档题. 21．已知函数()2(0)xf x e ax a =->，2()24g x x =-. （1）讨论函数()f x 的零点个数；（2）设4a ≤，证明：当0x ≥时，()()f x g x >.【答案】（1）02a e <<时，无零点；2a e >时，2个零点（2）证明见解析【解析】()1分类讨论，可得2x e a x =，分别()2xe y g x x==，y a =，利用导数求出函数()g x 的最值，即可判断函数的零点的个数，()2当0x =时，不等式成立，当0x >时，转化为2220x e x x -+->，设()222x h x e x x =-+-，0x >，利用导数求出函数的最值即可证明．【详解】()1当0x =时，()02f =，当0x ≠时，()20xf x e ax =-=，即2xe a x=，设()2xe g x x =，()()221'x e x g x x-∴=，当1x <且0x ≠时，()'0g x <，即()g x 在(),0-∞，()0,1上单调递减， 当1x >时，()'0g x >，即()g x 在()1,+∞上单调递递增， 当1x =时，()()12g x g e ==极小值，当x →-∞时，()0g x →，当x →+∞时，()g x →+∞， 分别画出()y f x =与y a =的图象，如图所示，结合图象可得，当2a e =时，()y f x =与y a =的图象只有一个交点， 即函数()f x 只有一个零点，当02a e <<时，()y f x =与y a =的图象没有只有交点，即函数()f x 没有零点， 当2a e >时，()f x 与y a =的图象有两个交点，即函数()f x 有两个零点．()2证明：当0x =时，()()0204f g =>=-，此时a 取任何数都成立，当0x ≠时，要证当0x >时，()()f x g x >，只要证2224x e ax x ->-，即证242x e a x x x<-+，4a ≤Q ，∴只要证2424x e x x x-+>，0x >， 只要证222440x e x x -+->，即证2220x e x x -+-> 设()222xh x e x x =-+-，0x >，()'22x h x e x ∴=--，令()22xx e x ϕ=--，0x >，()'2x x e ϕ∴=-，∴当2x ln >时，()'0x ϕ>，函数()x ϕ在()2,ln +∞上单调递增，当02x ln <<时，()'0x ϕ<，函数()x ϕ在()0,2ln 上单调递减，()()2220min x ln ln ϕϕ∴==-<，()()010x g ϕ<=-<Q ，()140e ϕ=-<，()2260e ϕ=->，∴存在()01,2x ∈，使得()()0000'220x h x x e x ϕ==--=， ∴当()00,x x ∈时，()'0h x <，函数()h x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()'0h x >，函数()h x 单调递增，()0220000()2240x min h x h x e x x x ∴==-+-=->，2220x e x x ∴-+->成立，即当0x >时，()()f x g x >，综上所述：4a ≤时，当0x ≥时，()()f x g x >． 【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，构造函数求函数的导数，利用导数是解决本题的关键．综合考查学生的运算和推理能力，属于难题． 22．已知直线l 的参数方程为x m ty t=+⎧⎨=⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2ρ2－ρ2cos 2θ＝12.若曲线C 的左焦点F 在直线l 上，且直线l 与曲线C 交于A ，B 两点. (1)求m 的值并写出曲线C 的直角坐标方程； (2)求FA FBFB FA+的值. 【答案】(1)221124x y +=；(2)4.【解析】试题分析：（1）根据直角坐标和极坐标系之间的转化关系可知，曲线C 的标准方程为221124x y +=，则其左焦点为()-，将其代入直线的参数方程，即可求得m =-（2）将直线l 的参数方程与曲线C 的方程联立，得2220t t ''--=，则12·2FA FB t t ''==，12 FA FB t t -''+==()224·FA FB FA FB FBFAFB FA++=-=.试题解析：（1）已知曲线C 的标准方程为221124x y +=，则其左焦点为()-，故m =-C 的方程221124x y +=.（2）直线l的参数方程为2{2x t y '=-='，与曲线C 的方程221124x y +=联立，得2220t t ''--=，则12·2FA FB t t ''==，12FA FB t t ''+=-==，故()224·FA FB FA FB FBFAFB FA++=-=.23．已知函数1()||2f x x =-，且对任意的x ，1()()2f x f x m +-+≥. （1）求m 的取值范围；（2）若N m ∈，证明：22(sin )(cos 1)f f m αα-+≤.【答案】（1）12m ≤（2）证明见解析. 【解析】（1）先求得函数1()2f x f x ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭式，结合绝对值三角不等式即可求得最小值，进而得m 的取值范围；（2）由（1）中m 的取值范围，结合N m ∈可得0m =.代入不等式及函数解析式，分类讨论得分段函数解析式，并求得各自的最大值，即可证明不等式成立. 【详解】（1）函数1()||2f x x =-， 由绝对值三角不等式可得11()22f x f x x x ⎛⎫+-+=-+- ⎪⎝⎭ ()1122x x ≥-+-= 当且仅当()102x x ⎛⎫-⋅-≥ ⎪⎝⎭时取等号， 因而12m ≤（2）证明：由（1）可知12m ≤，且N m ∈， 则0m =，第 21 页 共 21 页 要证明22(sin )(cos 1)f f m αα-+≤，只需证明22(sin )(cos 1)0f f αα-+≤， 而222211(sin )(cos 1)sin cos 22f f αααα-+=--+ 2211sin cos 22αα=--- 22212sin 2,sin 1211,0sin 2ααα⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩， 当21sin 12α≤≤时，222(sin )(cos 1)2sin 20f f ααα-+=-≤. 当210sin 2α≤<时，22(sin )(cos 1)1f f αα-+=-，综上可知22(sin )(cos 1)0f f αα-+≤，原命题得证.【点睛】本题考查了绝对值三角不等式的综合应用，去绝对值化简函数表达式，由分段函数最值证明不等式成立，属于中档题.。
2020届高三下学期第三次月考试数学文科试卷
n(ad bc)2
，
(a b)(c d)(a c)(b d)
P(K 2…K )
0.050
0.010
0.001
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K
3.841
6.635
10.828
18．（ 12 分）在 V ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，且 2ccosB 2a b ． （ I）求角 C 的大小；
因为四边形 ABCD 是菱形， BAD 120 ，且 PC PB ， 所以 BC AM , BC PM ，又 AM I PM M ，
所以 BC ⊥ 平面 APM，又 AP 平面 APM，
所以 BC PA．
同理可证： DC PA ，又 BC I DC C ，
所以 PA 平面 ABCD ，所以平面 PAF 平面 ABCD ，
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0) ，点 P x0, y0 是直线 bx ay 4a 0 上任意一点，若
2
圆 x x0
y y0 1 与双曲线 C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是
A ． 1,2
B． 1,4
C． 2,
D ． 4,
2
第 II 卷 非选择题（ 90 分）
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17~21 题为必考题，每个试
题考生都必须作答。第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（ 12 分） 23．为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地 改良玉米品种， 为农民提供技术支援， 现对已选出的一组玉米的茎高进行统计， 获得茎叶图如图 （单
2020年重庆高三三模数学试卷(文科)
（ 1 ） 求椭圆 的方程．
（ 2 ） 设直线 与 轴的交点为
，点
，若直线 ， ， 的斜率成等比数
列，求 的取值范围．
四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）
22. 在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为
（ 为参数），直线 经过点
且倾斜角为 ，
．以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
由题意，令
则
∵
∴
∴
，
∴
．
故选 ．
， ，
，
，
， ，
3. D
解析:
“
，
故选 ．
”的否定为“
，
”．
4. B 解析: 圆心
在直线
上，故无论 为何值，直线均与圆相交，选 ．
5. C
解析:
，
，
6
故
，即
，
年 月对应
，
．
故选 ．
6. D
解析:
∵
，
∴
，
故
．
故选 ．
，
，
7. A
解析:
，
，
∴
．
故选 ．
8. D 解析: 设
由
∴
，
故选 ．
， ，
9. D
解析:
设
，可举出符合 ， ， 选项的例子，
选项 ，在平面 ， 内各取一条与 平行的直线 ， ，则 ；
选项 ，已知 ，在平面 外取一条直线 ，则 ， ；
选项 ，在平面 内取两条均与 平行的直线 ， ，则 ，
；
7
对于 选项， ， 故选 ．
，又
，故
．
10. B 解析: 相邻音阶的频率之比为 ，
直属校第八中学2020届高三数学下学期3月月考试题理含解析
【解析】
【分析】
根据 判断出 的对称轴，由此求得 的值。
【详解】∵f(x）＝f(4﹣x)，
∴函数关于x＝2对称，
即f（a)＝f（4﹣a）,
即3|a﹣a｜＝3｜4﹣a﹣a｜，
即30＝3|4﹣2a|
即|4﹣2a｜＝0,得2a﹣4＝0,
得a＝2,
故答案为：2
【点睛】本小题主要考查函数的对称性,属于基础题。
3.已知数列｛an｝是各项均为正数的等比数列，a1＝2,a3＝2a2+16，则log2a9＝（ ）
A. 15B. 16C。 17D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】
将已知条件转化为 的形式，由此求得 ，进而求得 以及 的值。
【详解】∵数列{an｝是各项均为正数的等比数列,a1＝2，a3＝2a2+16，
9。设函数f(x）＝cos（ωx+φ）（x∈R）（ω＞0，﹣π＜φ＜0)的部分图象如图所示，如果 ，x1≠x2，且f（x1)＝f（x2），则f（x1+x2）＝( ）
A. B. C. D。
【答案】B
【解析】
【分析】
根据周期求得 ，根据 求得 ,由此求得 解析式.根据 求得 ,由此求得 的值.
【详解】根据函数f（x）＝cos（ωx+φ）（x∈R）(ω＞0，﹣π＜φ＜0)的部分图象，
【详解】联立 。
⇒E( , ），
∵依题意可知OE＝OF，∴ ，
∴4a4＝c4.
∴ .
故选:B.
【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法,考查直线和圆的位置关系,考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
12。函数f（x） ,若关于x的方程f2（x）﹣af（x)+a﹣a2＝0有四个不等的实数根，则a的取值范围是（ ）
2020年重庆市南开中学高三下学期3月月考文科数学试题及答案
AD AB BD AB BC AB ( AC AB ) AB AC
5
5
5
5
4 51 , 68 1 6 , 8 (6,8) ， 5 7 7 577
uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur 2 uuur 1 51 68
AE AC CE AC CB AC ( AB AC ) AB AC
2
f（ x）的结构特征，构造函数
hx
x2 f
x
( ) 求导得 h x
x(xf x
2 f x ) ，由当 x＜ 0 时， f ￠x ＜
2
f（ x），得
x
x，
h x x2 f x 在 ，0 上是减函数，再根据 f（x）奇函数，则 h x x2 f x 也是
奇函数， h x
2
xf
x 在 0， +
上也是减函数，又因为函数
【详解】
如图， 取 PA 的中点 F ， AB 的中点 G ， BC 的中点 H ，连接 FG ， FH ，GH ， EF ，
则 EF / / CH ， EF CH ，从而四边形 EFHC 是平行四边形，则 EC / / FH ，
3．埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是 胡夫金字塔． 令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿， 还有发生在胡夫金字塔上
的数字 “巧合 ”．如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，
得到的商为 3.14159，
这就是圆周率较为精确的近似值． 金字塔底部形为正方形， 整个塔形为正四棱锥， 经古
.
【详解】
D ． 48
由三视图可知原几何体为如图所示的多面体
重庆巴蜀八中2020届高三下3月份猜想卷文科试卷 答案
ｂ
２
＝
３ ２
ｃｏｓ
θ－
１ ２
ｓｉｎ
θ
２
＋
１ ４
＝
( ) ( ) ｓｉｎ２
π ３
－θ
＋
１ ４
＝－
１ ２
ｃｏｓ
２θ
－
２π ３
＋
３ ４
.
因为
π ６
< θ < ５１π２ ꎬ所以 －
π ３
<
２θ
－
２π ３
<
π ６
.
( ) 所以
１ ２
< ｃｏｓ
２θ
－
２π ３
≤１ꎬ
( ) 所以
１ ４
≤－
１ ２
ｃｏｓ
２θ
－
２π ３
ＣＤＥＦ 的高分别为 ３ 和 １ꎬ所以 ＡＧ ＝ ＢＨ ＝ ３ꎬＧＭ ＝ ＨＮ ＝ １ꎬＡＢ ＝
ＧＨ ＝ ＭＮ ＝ １ꎬＤＧ ＋ ＨＣ ＝ ２ꎬＥＭ ＋ ＦＮ ＝ １ꎬ所以羡除 ＡＢＣＤＥＦ 可
以分割为 两 个 直 棱 锥 Ａ￣ＤＥＭＧ 和 Ｂ ￣ＨＮＦＣ 和 一 个 直 棱 柱
ＡＧＭ ￣ＢＨＮ.
故所求几何体的体积 Ｖ五面体ＡＢＣＤＥＦ ＝ Ｖ直三棱柱ＡＧＭ￣ＢＨＮ ＋ Ｖ四棱锥Ａ － ＤＥＭＧ ＋
ｃｏｓ∠Ｆ１ Ｆ２ Ｍ ＝
(２ｃ) ２ ２
＋ (２ｃ － ２ａ)２ － (２ｃ)２ × ２ｃ × (２ｃ － ２ａ)
＝
ｃ ２－ｃａꎬ
在△ＮＦ１ Ｆ２ 中ꎬ由余弦定理的推论可得
ｃｏｓ∠Ｆ１ Ｆ２ Ｎ
＝ (２ｃ)２
＋ (４ｃ － ４ａ)２ － (４ｃ － ２ａ)２ ２ × ２ｃ × (４ｃ － ４ａ)
重庆育才中学2019-2020学年高2020级高三下学期3月月考数学文科试题(含解析)
2020年高考模拟高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、选择题1．若集合M＝{x|log2x＜1}，集合N＝{x|x2﹣1≤0}，则M∩N＝（）A．{x|1≤x＜2}B．{x|﹣1≤x＜2}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|0＜x≤1} 2．设（i为虚数单位），则|z|＝（）A．B．C．D．23．已知向量，，，则t＝（）A．B．C．D．4．设a＝log56，b＝log0.32，c＝e﹣2，则（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c 5．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．B．C．0D．6．设函数f（x）＝sin（2x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为πB．f（x）的图象关于直线x＝对称C．f（x）的一个零点为x＝﹣D．f（x）在区间（0，）上单调递减7．已知等差数列{a n}的前n项为S n，b n＝且b1+b3＝17，b2+b4＝68，则S10＝（）A．90B．100C．110D．1208．已知直线m、n与平面α、β，下列命题正确的是（）A．m⊥α，n∥β且α⊥β，则m⊥n B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nC．α∩β＝m，n⊥m且α⊥β，则n⊥αD．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n9．已知函数f（x）＝x2﹣ln|x|，则函数y＝f（x）的大致图象是（）A．B．C．D．10．中国明代数学家程大位的著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第四天比第六天多走了（）A．24里B．18里C．12里D．6里11．过球的一条半径的中点，作与该半径所在直线成30°的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．12．已知奇函数f（x）是定义在R上的单调函数，若函数g（x）＝f（x2）+f（a﹣2|x|）恰有4个零点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（0，1]D．（0，1）二、填空题13．已知函数f（x）＝xlnx，则曲线y＝f（x）在点x＝e处切线的倾斜角的余弦值为．14．设f（x）＝ln（x+），若f（a）＝，则f（﹣a）＝．15．若椭圆上一点到两个焦点的距离之和为m﹣3，则此椭圆的离心率为．16．已知函数，有下列四个命题：①函数f（x）是奇函数；②函数f（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）是单调函数；③当x＞0时，函数f（x）＞0恒成立；④当x＜0时，函数f（x）有一个零点，其中正确的是三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，ABCD是边长为2的菱形，EB⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，EB＝2FD＝4．（1）求证：EF⊥AC；（2）求几个体EFABCD的体积．·18．已知△ABC的内角A，B，C所对边19．分别为a、b、c，且2a cos C＝2b﹣c．（1）求角A的大小；（2）若AB＝3，AC边上的中线BD的长为，求△ABC的面积．19．在某区“创文明城区”（简称“创城”）活动中，教委对本区A，B，C，D四所高中学校按各校人数分层抽样，随机抽査了100人，将调查情况进行整理后制成如表：学校A B C D 抽查人数50151025“创城”活动中参与的人数4010915（注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值）假设每名高中学生是否参与”创城”活动是相互独立的．（Ⅰ）若该区共2000名高中学生，估计A学校参与“创城”活动的人数；（Ⅱ）在随机抽查的100名高中学生中，随机抽取1名学生，求恰好该生没有参与“创城”活动的概率；（Ⅲ）在表中从B，C两校没有参与“创城”活动的同学中随机抽取2人，求恰好B，C 两校各有1人没有参与“创城”活动的概率是多少？20．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）经过点A（0，1），右焦点到直线x＝的距离为．（1）求椭圆E的标准方程；（2）过点A作两条互相垂直的直线l1，l2分别交椭圆于M，N两点，求证：直线MN恒过定点P（0，﹣）．21．已知函数f（x）＝e x+x2﹣x，g（x）＝x2+ax+b，a，b∈R．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求a+b的最大值．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）＝0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程是（α为参数）．（Ⅰ）求直线l被曲线C截得的弦长；（Ⅱ）从极点作曲线C的弦，求各弦中点轨迹的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x+2|，记f（x）的最小值为m．（Ⅰ）解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）若正实数a，b满足＝，求证：≥2m．参考答案一、选择题1．若集合M＝{x|log2x＜1}，集合N＝{x|x2﹣1≤0}，则M∩N＝（）A．{x|1≤x＜2}B．{x|﹣1≤x＜2}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|0＜x≤1}【分析】化简集合M、N，根据交集的定义写出M∩N即可．解：集合M＝{x|log2x＜1}＝{x|0＜x＜2}，集合N＝{x|x2﹣1≤0}＝{x|﹣1≤x≤1}，则M∩N＝{x|0＜x≤1}．故选：D．2．设（i为虚数单位），则|z|＝（）A．B．C．D．2【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．解：设＝＝＝＝﹣+i，∴|z|＝＝，故选：A．3．已知向量，，，则t＝（）A．B．C．D．【分析】根据题意，求出向量的坐标，进而由向量平行的坐标表示方法计算可得答案．解：根据题意，向量＝（2，3），＝（1，t﹣3），则＝（3，t），又由，则2t＝9，解可得t＝；故选：B．4．设a＝log56，b＝log0.32，c＝e﹣2，则（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．解：∵log56＞log55＝1，∴a＞1，∵log0.32＜log0.31＝0，∴b＜0，∵0＜e﹣2＜1，∴0＜c＜1，∴a＞c＞b，故选：C．5．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．B．C．0D．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：当i＝1时，执行完循环体后：S＝，满足继续循环的条件，故i＝2；当i＝2时，执行完循环体后：S＝，满足继续循环的条件，故i＝3；当i＝3时，执行完循环体后：S＝，满足继续循环的条件，故i＝3；当i＝4时，执行完循环体后：S＝，满足继续循环的条件，故i＝5；当i＝5时，执行完循环体后：S＝0，满足继续循环的条件，故i＝6；当i＝6时，执行完循环体后：S＝0，满足继续循环的条件，故i＝7；当i＝7时，执行完循环体后：S＝，满足继续循环的条件，故i＝8；当i＝8时，执行完循环体后：S＝，满足继续循环的条件，故i＝9；当i＝9时，执行完循环体后：S＝，不满足继续循环的条件，故输出结果为，故选：A．6．设函数f（x）＝sin（2x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为πB．f（x）的图象关于直线x＝对称C．f（x）的一个零点为x＝﹣D．f（x）在区间（0，）上单调递减【分析】根据正弦函数的周期性、单调性以及图象的对称性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．解：对于函数f（x）＝sin（2x+），它的周期为＝π，故A正确；令x＝，求得f（x）＝1，为函数的最大值，故f（x）的图形关于直线x＝对称，故B正确；令x＝﹣，求得f（x）＝0，故f（x）的一个零点为x＝﹣，故C正确；在区间（0，）上，2x+∈（，），故函数f（x）没有单调性，故D错误，故选：D．7．已知等差数列{a n}的前n项为S n，b n＝且b1+b3＝17，b2+b4＝68，则S10＝（）A．90B．100C．110D．120【分析】等差数列{a n}的公差设为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，再由等差数列求和公式计算可得所求值．解：等差数列{a n}的公差设为d，前n项为S n，b n＝且b1+b3＝17，b2+b4＝68，可得+＝17，+＝68，解得a1＝0，d＝2，则S10＝10a1+×10×9d＝0+45×2＝90，故选：A．8．已知直线m、n与平面α、β，下列命题正确的是（）A．m⊥α，n∥β且α⊥β，则m⊥n B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nC．α∩β＝m，n⊥m且α⊥β，则n⊥αD．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n【分析】利用空间中线线、线面、面面的判定定理及其性质定理，即可得出结论．解：对于A，m⊥α，n∥β且α⊥β，则m∥n，故不正确；对于B，由m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m与n一定不平行，否则有α∥β，与已知α⊥β矛盾，通过平移使得m与n相交，且设m与n确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α与β所成的角，因为α⊥β，所以m与n所成的角为90°，故命题正确；对于C，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，利用面面垂直的性质定理即可得出：n⊥α，因此不正确；对于D，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，A1D1∥平面ABCD，AD∥平面A1B1C1D1，A1D1∥AD；EP∥平面ABCD，PQ∥平面A1B1C1D1，EP∩PQ＝P；A1D1∥平面ABCD，PQ∥平面A1B1C1D1，A1D1与PQ异面．综上，直线m，n与平面α，β，m∥α，n∥β且α∥β，则直线m，n的位置关系为平行或相交或异面．故选：B．9．已知函数f（x）＝x2﹣ln|x|，则函数y＝f（x）的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】判断f（x）的奇偶性和单调性，计算极值，从而得出函数图象．解：f（﹣x）＝（﹣x）2﹣ln|﹣x|＝x2﹣ln|x|＝f（x），∴f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除D；当x＞0时，f（x）＝x2﹣lnx，f′（x）＝2x﹣＝，∴当0＜x＜时，f′（x）＜0，当x＞时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，排除C，当x＝时，f（x）取得最小值f（）＝﹣ln＞0，排除B，故选：A．10．中国明代数学家程大位的著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第四天比第六天多走了（）A．24里B．18里C．12里D．6里【分析】由题意可得：该人每天所走的路程为等比数列{a n}，其中S6＝378，q＝．利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．解：由题意可得：该人每天所走的路程为等比数列{a n}，其中S6＝378，q＝．∴＝378，解得a1＝192，∴a4﹣a6＝192×＝18里．故选：B．11．过球的一条半径的中点，作与该半径所在直线成30°的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．【分析】画出大圆，过半径的中点A做截面与半径所得直线成30°的角，可得线线角为30°，如图可得AE的值，在三角形ACO中，由余弦定理可得AC，进而可得截面圆的半径，进而求出所得截面的面积与球的表面积的比值．解：画大圆O，设半径为R，取半径OB的中点A，过A做截面，CD为直径，取中点E，连接OE，OE⊥截面CD，由题意可得∠OAE＝30°，所以AE＝OA＝＝，在三角形OAC中，OC2＝OA2+AC2﹣2•OA•AC•cos∠OAC，即R2＝（）2+AC2﹣2•AC•cos150°，整理可得：4AC2+2•AC﹣3R2＝0，解得：AC＝＝R，所以CE＝AC+AE＝R+R＝R，所以所得截面的面积与球的表面积的比为＝，故选：C．12．已知奇函数f（x）是定义在R上的单调函数，若函数g（x）＝f（x2）+f（a﹣2|x|）恰有4个零点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（0，1]D．（0，1）【分析】由函数的奇偶性、单调性得：x2﹣2|x|+a＝0有4个根，由二次方程的区间根问题得：x2﹣2x+a＝0有2个不等正根，即，解得：0＜a＜1，得解．解：由奇函数f（x）是定义在R上的单调函数，令f（x2）+f（a﹣2|x|）＝0，由函数g（x）＝f（x2）+f（a﹣2|x|）恰有4个零点，则x2﹣2|x|+a＝0有4个根，则x2﹣2x+a＝0有2个不等正根，即，解得：0＜a＜1，即a的取值范围是0＜a＜1，故选：D．二、填空题13．已知函数f（x）＝xlnx，则曲线y＝f（x）在点x＝e处切线的倾斜角的余弦值为．【分析】求导f′（x），求出切线的斜率；从而求切线的倾斜角．解：∵f（x）＝lnx+1，f′（e）＝lne+1＝2；故曲线y＝f（x）在x＝e处的切线的倾斜角θ的正切函数值为：tanθ＝2．所以曲线y＝f（x）在点x＝e处切线的倾斜角θ的余弦值为：cosθ＝＝＝．故答案为：．14．设f（x）＝ln（x+），若f（a）＝，则f（﹣a）＝．【分析】可求出f（﹣x）＝﹣f（x），从而可求出f（﹣a）＝﹣f（a）＝．解：＝；∴．故答案为：．15．若椭圆上一点到两个焦点的距离之和为m﹣3，则此椭圆的离心率为．【分析】根据题意，按椭圆的焦点位置分2种情况讨论，结合椭圆的定义分析可得m的值，即可得椭圆的标准方程为：+＝1，据此求出a、b、c的值，由椭圆的离心率公式计算可得答案．解：根据题意，对于椭圆，分2种情况讨论：①，椭圆的焦点在x轴上，有4＞m，则a＝＝2，若椭圆上一点到两个焦点的距离之和为m﹣3，则有2a＝m﹣3＝4，解可得m＝7，又由4＞m，m＝7不合题意，舍去；②，椭圆的焦点在y轴上，有4＜m，则a＝，若椭圆上一点到两个焦点的距离之和为m﹣3，则有2a＝m﹣3＝2，解可得：m＝9或m＝﹣1（舍）故m＝9，椭圆的标准方程为：+＝1，则a＝3，b＝2，则c＝，则椭圆的离心率e＝；故答案为：．16．已知函数，有下列四个命题：①函数f（x）是奇函数；②函数f（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）是单调函数；③当x＞0时，函数f（x）＞0恒成立；④当x＜0时，函数f（x）有一个零点，其中正确的是③④【分析】直接利用函数的性质来判定函数的定义域，奇偶性，及利用函数的求导求出函数的单调区间，利用分类讨论思想的应用求出函数的零点．解：函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）．由于函数f（﹣x）＝，且f（x）+f（﹣x）＝2x2≠0，所以函数f（x）不为奇函数．故①错误．对于②，函数f（x）＝，当x＞0时，，所以＝，令h（x）＝2x3﹣1+lnx，则h（1）＝1＞0，h（）＝．所以，存在，使得h（x0）＝0，所以x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，所以函数为单调递减函数．当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，所以函数为单调递增函数．故②错误．对于③，由②知：当x＝时，f（x）在（0，+∞）上有最小值．且，所以，则x＝x0时，y＝，由于，整理得，则，所以当x＞0时，f（x）＞0恒成立．故③正确．对于④：当x＜0时，，且f（﹣1）＝1＞0，f（）＝，所以函数f（x）在区间（﹣1，﹣）内有一个零点．故④正确．故答案为：③④三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，ABCD是边长为2的菱形，EB⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，EB＝2FD＝4．（1）求证：EF⊥AC；（2）求几个体EFABCD的体积．【分析】（1）如图，连接BD，利用线面垂直的性质定理可得：EB∥FD，即可得出E，F，D，B四点共面，利用线面垂直的性质定理、判定定理即可证明结论．（2）由EB∥FD，EB⊥BD，可得四边形EFDB为直角梯形，利用菱形的性质、梯形的面积计算公式、四棱锥的体积计算公式即可得出．解：（1）证明：如图，连接BD，∵FD⊥平面ABCD，EB⊥平面ABCD，∴EB∥FD，∴E，F，D，B四点共面，∵AC⊂平面ABCD，∴AC⊥EB．设DB∩AC＝O，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥DB．∵DB∩EB＝B，∴AC⊥平面EFDB，∵EF⊂平面EFDB，∴AC⊥EF．（2）∵EB∥FD，EB⊥BD，∴四边形EFDB为直角梯形，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，BD＝2，，∴梯形EFDB的面积，∵AC⊥平面EFDB，∴V几何体EFABCD＝V四棱锥C﹣EFDB+V四棱锥A﹣EFDB＝．18．已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a、b、c，且2a cos C＝2b﹣c．（1）求角A的大小；（2）若AB＝3，AC边上的中线BD的长为，求△ABC的面积．【分析】（1）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简方程，即可求角A的余弦值，得到A的值；（2）在△ABD中，由余弦定理可得3AD的值，进而求得AC＝2AD＝8，利用三角形的面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵2a cos C＝2b﹣c，由正弦定理可得：sin A cos C+sin C＝sin B，∴sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C．∴sin C＝cos A sin C，∵sin C≠0，∴cos A＝，∴由A∈（0，π），可得角A＝；…6分（2）在△ABD中，AB＝3，BD＝，cos A＝，由余弦定理可得：13＝9+AD2﹣3AD，解得：AD＝4（负值舍去），…9分∵BD为AC边上的中线，∴D为AC的中点，∴AC＝2AD＝8，∴S△ABC＝AB•AC•sin A＝＝6．…12分19．在某区“创文明城区”（简称“创城”）活动中，教委对本区A，B，C，D四所高中学校按各校人数分层抽样，随机抽査了100人，将调查情况进行整理后制成如表：学校A B C D 抽查人数50151025“创城”活动中参与的人数4010915（注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值）假设每名高中学生是否参与”创城”活动是相互独立的．（Ⅰ）若该区共2000名高中学生，估计A学校参与“创城”活动的人数；（Ⅱ）在随机抽查的100名高中学生中，随机抽取1名学生，求恰好该生没有参与“创城”活动的概率；（Ⅲ）在表中从B，C两校没有参与“创城”活动的同学中随机抽取2人，求恰好B，C 两校各有1人没有参与“创城”活动的概率是多少？【分析】（Ⅰ）根据抽查比例进行计算即可．（Ⅱ）根据古典概型的概率公式进行计算即可．（Ⅲ）利用列举法结合古典概型的概率公式进行计算即可．解：（I）A学校高中生的总人数为50÷＝1000人．A学校参与“创城”活动的人数为1000×＝800人（II）设恰好该生没有参与“创城”活动这一事件为M，则P（M）＝．（II）B校这5人分别记为A1，A2，A3，A4，A5，C校这1人记为B，任取2人共有A1A2，A1A3，A1A4，A1A5，A1B，A2A3，A2A4，A2B，A2A5，A3A4，A3B，A3A5，A4A5，A4B，A5B，15种情况，设事件N为抽取2人中B，C两校各有1人参与”创城”活动，则P（C）＝＝．20．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）经过点A（0，1），右焦点到直线x＝的距离为．（1）求椭圆E的标准方程；（2）过点A作两条互相垂直的直线l1，l2分别交椭圆于M，N两点，求证：直线MN恒过定点P（0，﹣）．【分析】（1）由题意知得b，，结合隐含条件求得a，则椭圆C的标准方程可求．（2）设直线l1的方程为y＝kx+1，联立直线方程与椭圆方程，求得M坐标，同理求得N 的坐标，推导出直线MP与直线NP的斜率相等，从而得到M，N，P三点共线，并证明直线MN恒过定点P（0，﹣）．【解答】（1）解：由题意知，b＝1，，又a2＝1+c2，解得a2＝4．∴椭圆的标准方程为．（2）证明：设直线l1的方程为y＝kx+1，联立，得（4k2+1）x2+8kx＝0，解得，x2＝0，∴，．同理可得，，则＝，，∴k MP＝k NP，故直线MN恒过定点P（0，﹣）．21．已知函数f（x）＝e x+x2﹣x，g（x）＝x2+ax+b，a，b∈R．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求a+b的最大值．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线斜率，进而可求切线方程；（2）构造函数h（x）＝f（x）﹣g（x），然后对h（x）求导，结合导数与单调性的关系对a进行分类讨论即可求解．解：（1）因为f'（x）＝e x+2x﹣1，所以f'（0）＝0．又f（0）＝1，所以该切线方程为y＝1（2）设h（x）＝f（x）﹣g（x）＝e x﹣（a+1）x﹣b，则h（x）≥0恒成立．易得h'（x）＝e x﹣（a+1）．（i）当a+1≤0时，h'（x）＞0，此时h（x）在R上单调递增．①若a+1＝0，则当b≤0时满足h（x）≥0恒成立，此时a+b≤﹣1；②若a+1＜0，取x0＜0且，此时，所以h（x）≥0不恒成立，不满足条件．（ii）当a+1＞0时，令h'（x）＝0，得x＝ln（a+1）．由h'（x）＞0，得x＞ln（a+1）；由h'（x）＜0，得x＜ln（a+1）．所以h（x）在（﹣∞，ln（a+1））上单调递减，在（ln（a+1），+∞）上单调递增．要使h（x）＝e x﹣（a+1）x﹣b≥0恒成立，必须有当x＝ln（a+1）时，h（ln（a+1））＝（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0恒成立．所以b≤（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）．故a+b≤2（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣1令G（x）＝2x﹣xlnx﹣1，x＞0，则G'（x）＝1﹣lnx．令G'（x）＝0，得x＝e．由G'（x）＞0，得0＜x＜e；由G'（x）＜0，得x＞e．所以G（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，所以当x＝e时，G（x）的值最大，G（x）max＝e﹣1．从而，当a＝e﹣1，b＝0时，a+b的值最大，为e﹣1．综上，a+b的最大值为e﹣1请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）＝0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程是（α为参数）．（Ⅰ）求直线l被曲线C截得的弦长；（Ⅱ）从极点作曲线C的弦，求各弦中点轨迹的极坐标方程．【分析】（I）直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）＝0，展开可得：＝0，化为直角坐标方程．曲线C的参数方程是（α为参数），利用平方关系消去参数α可得普通方程，求出圆心C到直线l的距离d，可得直线l被曲线C截得的弦长＝2．（II）设Q圆C上的任意一点，P（x，y）为线段OQ的中点，则Q（2x，2y），代入圆C的方程可得各弦中点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可．解：（I）直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）＝0，展开可得：＝0，化为：y﹣x＝0．曲线C的参数方程是（α为参数），消去参数α可得：x2+（y﹣2）2＝4，圆心C（0，2），半径r＝2．∴圆心C到直线l的距离d＝＝1，∴直线l被曲线C截得的弦长＝2＝2＝2．（II）设Q圆C上的任意一点，P（x，y）为线段OQ的中点，则Q（2x，2y），代入圆C的方程可得：（2x）2+（2y﹣2）2＝4，化为：x2+y2﹣2y＝0，可得ρ2﹣2ρsinθ＝0，即ρ＝2sinθ，即为各弦中点轨迹的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x+2|，记f（x）的最小值为m．（Ⅰ）解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）若正实数a，b满足＝，求证：≥2m．【分析】（Ⅰ）由题意结合不等式的性质零点分段求解不等式的解集即可；（Ⅱ）首先确定m的值，然后利用柯西不等式即可证得题中的不等式．解：（Ⅰ）①当x＞1时，f（x）＝（x﹣1）+（x+2）＝2x+1≤5，即x≤2，∴1＜x≤2；②当﹣2≤x≤1时，f（x）＝（1﹣x）+（x+2）＝3≤5，∴﹣2≤x≤1；③当x＜﹣2时，f（x）＝（1﹣x）﹣（x+2）＝﹣2x﹣1≤5，即x≥﹣3，∴﹣3≤x＜﹣2．综上所述，原不等式的解集为{x|﹣3≤x≤2}；（Ⅱ）∵f（x）＝|x﹣1|+|x+2|≥|（x﹣1）﹣（x+2）|＝3，当且仅当﹣2≤x≤1时，等号成立．∴f（x）的最小值m＝3．∴≥，即，当且仅当即3a＝2b时，等号成立．又，∴a＝，b＝时，等号成立．∴≥2m．。
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重庆八中高2020级高三（下）第3次月考数学（文科）试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|1}{32101}A x x B ，，，，，=>-=---，则A B =I （）A ．{101}，，-B ．{01}，C ．(11]，-D ．f 2．设2iz i+=，则||z =（）A ．B ．C ．2D ．53．已知向量||1||2a b a b ，，==u r u r u r u rg ，则向量a u r 与向量b u r的夹角为（）A ．6pB ．4p C ．3p D ．23p 4．函数()0a f x x x （）=³，()log a g x x =，则()f x 与()g x 的图象可能为（）A B C D5．已知双曲线22145x y -=的右焦点为F ，过点F 作一条直线与其中一条渐近线垂直，垂足为A ，O 为坐标原点，则OAF S =V （）A ．3B ．C ．D6．为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话：老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”．老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说:“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为（）A ．7班、14班、15班B ．14班、7班、15班C ．14班、15班、7班D ．15班、14班、7班7．右图是一个算法流程图，输出的S 为（）A ．50B ．50-C ．51D ．51-8．已知函数()sin ()00f x x （，）w j w j p =+><<为偶函数，且该函数离原点最近的一个对称中心为（3p，0），则()f x 在[02，）p 内的零点个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．49．已知函数201()log 1ax f x x x ìï<£ï=íï>ïî，，在（0，+¥）为单调递增函数，则a 的取值范围为（）A ．（1，+¥）B ．（1，2）C ．(12]，D ．(02]，10．已知三棱锥S ABC -的外接球为球O ，SA 为球O 的直径，且SA =2，若面SAC ⊥面SAB ，则三棱锥S ABC -的体积最大值为（）A ．13B ．23C ．1D ．211．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足(1)(1)f x f x +=-，已知[01]x ，Î时，()f x =，若132019(log 54),(),(3)2a fb fc f ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c<<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b<<12．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点F 作直线与抛物线交于A 、B 两点，B 点在第一象限，过点B 作抛物线准线的垂线，垂足为C ，点E 为BF 上一点，且12BE EF uuu r uuu r=，连接CE 并延长交x 轴于点D ，已知BED V 的面积为22，则D 点的横坐标为（）A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．13．已知tan 3a =-，则cos 2a =____________．14．若变量x y ，满足约束条件23603020x y x y y ì+-³ïïïï+-£íïïï-³ïî，则3z x y =-的最大值为____________．15．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知24sin 5sin b c a c B b A +==，，则cos B =____________．16．若函数()2xf x xe ax =-+（e 为自然对数的底数）在（-¥，0）的区间内有两个极值点，则实数a的取值范围为____________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．(12分)已知数列{}n a 满足1113323()n n n a a a n N +*+==+⨯∈，，数列{}n b 满足3nn n a b =.(1)求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；(2)数列{}n b 的前n 项和为n S ，设()1nn n c S =-⋅，求数列{}n c 的前80项和80T ．18．(12分)为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中随机抽取了容量为120的样本，测量树苗高度（单位：cm ），经统计，其高度均在区间[]1931，内，将其按[)1921，，[)2123，，[)2325，，[)2527，，[)2729，，[]2931，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．其中高度为27cm 及以上的树苗为优质树苗．(1)求图中a 的值，并估计这批树苗高度的中位数和平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；(2)已知所抽取的这120棵树苗来自于AB 两个试验区，部分数据如右列联表：将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A ，B 两个试验区有关系，并说明理由．参考数据：20P K k ≥（）0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．19．(12分)如图，四棱锥P –ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，△ABP 是等边三角形且边长是4，DA =DP =(1)证明：AP ⊥BD ；(2)若BD =4，求四棱锥P –ABCD 的体积．20．（12分）已知A B ，是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点，P 点为椭圆C 上一点，点P 关于x 轴的对称点为H ，且12PA BH k k = 。
（1）若椭圆C 经过了圆22(1)4x y +-=的圆心，求椭圆C 的标准方程；（2）在（1）的条件下，抛物线22(0)D y px p =>：的焦点F 与点1(,2)8-关于y 轴上某点对称，且抛物线D 与椭圆C 在第四象限交于点Q ，过点Q 作直线与抛物线D 有唯一公共点，求该直线与两坐标轴围成的三角形面积.21．(12分)已知函数()2x f x e ax =-（a >0），2()=24g x x -．(1)讨论函数()f x 的零点个数；(2)设4a ≤，证明：当0x ≥时，()()f x g x >.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．【选修4—4：极坐标与参数方程】（10分）已知直线l 的参数方程为x m t y t=+⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为222cos212ρρθ-=.若曲线C 的左焦点F 在直线l 上，且直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．(1)求m 的值并写出曲线C 的直角坐标方程；(2)求FAFB FBFA+的值．(2)若m N ∈，证明：22(sin )(cos 1)f f m αα-+≤.2020级4月考数学参考答案（文）1—5 BBABD 6—10 CBCCA 11—12 DB 13、45- 14、1 15、4516、（21e -，0）17、证明：（1）∵3nn na b =，∴+1+1+13n n n a b =， 又∵11323n n n a a ++=+⨯，∴11233n nn n a a ++=+，即+12n n b b -=， ∴数列{}n b 是首项112b d ==，的等差数列，∴1+2(1)21n b n n =-=-. （2）∵2(121)==2n n n S n +-⋅，2=(1)n n c n -⋅，∴22222280=12347980(21)(21)(43)(43)(8079)(8079)T -+-+--+=-++-++-+(180)80=12+34++798032402+⨯+++== 18、解：（1）由频率分布直方图得：()220.20.21a a a ⨯++++=，解得0.025a =．中位数为x ，则0.05+0.1+0.2+(25)0.2=0.5x -⨯，解得25.75x =， 平均数200.05+220.1+240.2+260.4+280.2+300.05=25.5x =⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 所以估计这批树苗高度的中位数为25.75cm ，平均数为25.5cm ．（2）根据直方图可知，样本中优质树苗有()1200.1020.025230⨯⨯+⨯=，列联表如下：∴()221201030206070503090K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯10.28610.828≈<．所以，没有99.9%的把握认为优质树苗与,A B 两个试验区有关系．19、证明：（1）如图，取AP 的中点O ，连接OB ，OD . ∵DA =DP ，BA =BP∴DO ⊥AP ，BO ⊥AP ，且DO ∩BO =O ， ∴AP ⊥面OBD ，且BD ⊂面OBD ， ∴AP ⊥BD .（2）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴22P ABCD P ABD D ABP V V V ---==在等边三角形ABP 中，边长AB =BP =AP =4，∴AO =OP =2，BO = 在Rt △DAO 中，DA，AO =2，∴DO =2，∵22224=，∴222DO BO BD +=，∴DO ⊥OB ， 又∵DO ⊥AP ，且AP ∩BO =O ， ∴DO ⊥面ABP ，∴1122=22233P ABCD P ABD D ABP ABP V V V OD S ---==⨯⋅⋅=⨯⨯⨯△20. 解（1）设),(y x P ，因为)0,(),0,(a B a A -，则点P 关于x 轴的对称点H ),(y x -。