算子解法
算子（operator）和算法（Algorithm）
算⼦（operator）和算法（Algorithm）算⼦(operator)和算法(Algorithm)1、算⼦算⼦是⼀个函数空间到函数空间上的映射O：X→X。
⼴义上的算⼦可以推⼴到任何空间，如内积空间等。
中⽂名：算⼦外⽂名：operator别名：算符定义：⼀个函数空间到函数空间上的映射应⽤领域：数理科学1.1、算⼦解释⼴义的讲，对任何函数进⾏某⼀项操作都可以认为是⼀个算⼦，甚⾄包括求幂次，开⽅都可以认为是⼀个算⼦，只是有的算⼦我们⽤了⼀个符号来代替他所要进⾏的运算罢了，所以⼤家看到算⼦就不要纠结，他和的没区别，它甚⾄和加减乘除的基本运算符号都没有区别，只是他可以对单对象操作罢了(有的符号⽐如⼤于、⼩于号要对多对象操作)。
⼜⽐如取概率P{X<x}，概率是集合{X<x}(他是属于实数集的⼦集)对[0,1]区间的⼀个映射，我们知道实数域和[0,1]区间是可以⼀⼀映射的(这个后⾯再说)，所以取概率符号P，我们认为也是⼀个算⼦，和微分，积分算⼦算⼦没区别。
总⽽⾔之，算⼦就是映射，就是关系，就是变换。
1.2、常见算⼦常见的算⼦有微分算⼦，梯度算⼦，散度算⼦，拉普拉斯算⼦，哈密顿算⼦等。
狭义的算⼦实际上是指从⼀个函数空间到另⼀个函数空间（或它⾃⾝）的映射。
⼴义的算⼦的定义只要把上⾯的空间推⼴到⼀般空间，可以是向量空间。
赋范向量空间，内积空间，或更进⼀步，Banach空间，Hilbert 空间都可以。
算⼦还可分为有界的与⽆界的，线性的与⾮线性的等等类别。
1.3、特征值对于⼀个输⼊和输出函数类型相同的算⼦T，满⾜的k称为T的特征值，相应的称作T关于k的特征函数。
1.4、可交换对两个输⼊和输出函数类型相同的算⼦和，如果，则称和为可交换的，可交换意味着和拥有同样的特征函数（但对应的特征值不同）。
1.5、认知⼼理学在⼼智技能形成的第⼀阶段，即认知阶段，要了解问题的结构，即起始状态，要到达的⽬标状态，从起始状态到⽬标状态所需要的步骤。
微分方程的算子算法【精选】
(1) P(D)( f1( x) f2 ( x)) P(D) f1(x) P(D) f2 (x)
(2) [P1(D) p2 (D)] f ( x) P1(D) f ( x) p2 (D) f ( x)
(3) P(D) P1(D)P2 (D),则
P(D) f (x) P1(D)[P2 (D) f (x)] P2 (D)[P1(D) f (x)]
10
常系数线性微分方程的算子解法
1
9．算子 P ( D)的基本性质及运算法则
(1)
1 (
P(D)
f1( x)
f2 ( x))
1 P(D)
f1( x)
1 P(D)
f2 ( x)
(2) P(D) P1(D)P2 (D),则
1 f ( x) 1 [ 1 f ( x)] 1 [ 1 f ( x)]
, D2
d2 dx 2
,L
, Dn
DDn1
dn dx n
P(D) Dn p1Dn1
P(D) y 0
3
常系数线性微分方程的算子解法
2．解的结构
线性算子 P(D)( y1 y2 ) P(D) y1 P(D) y2 定理1 方程（1）的通解为：y y(x) y *(x) ，其中y(x)
cos x
cos x P(2 )
(P(2 )
0)
12
常系数线性微分方程的算子解法
1
10．算子 P ( D) 的运算公式
(4)
1 [exv( x)] ex 1 v( x)
P(D)
P( D)
(5) 设fk ( x) b0 b1x L bk xk , P(0) pn 0,则
高阶常系数非齐次线性微分方程的算子法
高阶常系数非齐次线性微分方程的算子法
高阶常系数非齐次线性微分方程的算子法是一种特殊的数值解法，用于求解高阶常系数非齐次线性微分方程。
它利用算子方法（operator method）来求解这类方程，即将微分方程转化为
一个算子方程，然后再使用数值方法求解算子方程。
首先，将高阶常系数非齐次线性微分方程转化为算子方程，即：
$\mathcal{L}y=f$
其中，$\mathcal{L}$是一个算子，$y$是待求解的函数，$f$是
方程的右端项。
接下来，使用数值方法求解算子方程。
常用的方法有有限差分法（finite difference method）和有限元法（finite element method）等。
有限差分法是将算子方程转化为一组线性方程组，然后使用数值解法（如Gauss-Seidel法）求解。
有限元法是将空间上的算子方程转化为一组有限元方程，然后使用数值解法（如Galerkin法）求解。
最后，根据求解的结果，得到算子方程的解，即高阶常系数非齐次线性微分方程的解。
关于非齐次线性常系数微分方程特解的微分子解法的若干示例
关于非齐次线性常系数微分方程特解的微分算子解法的若干示例一、表示符号把某函数对于自变量x 的导数写成D ，即D=dxd 。
例如，函数y 对x 的一阶导数为y dxdy '=，可以表示成Dy ，同理，y ''可以写成2D y ，三阶、四阶….以此类推D1则代表着求积分，如D1x ，就是⎰xdx ，参看复习指导二、 微分方程的表示如果非齐次方程按降阶写成：)x (f y a y a ya y a n 1n )1n (1)n (0=+'+++-- (1)当然，你也可以写成：)x (f y p y p y p y n 1n )1n (1)n (=+'+++-- ，本质都一样，这种形式相当于（1）方程两边同时除以a 0（0≠）。
这里我们以（1）式为准。
用微分子形式表示方程（1）：)x (f y a Dy a y D a y D a n 1n 1n 1n 0=++++-- 方程左边把公因子y 提出来：f(x))y a D a D a D (a n 1n 1n 1n 0=++++--上式中，把)a D a Da D (a n 1n 1n 1n0++++-- 看作关于D 的一个函数表达式，表示成F （D ）即F （D ）=)a D a Da D (a n 1n 1n 1n 0++++--则方程（1）最终可以写成：F （D ）y=f （x ）三、 相关结论 F （D ）kxe=kxe·F （k ）甲也可以写成：)F(k ee )D (F 1kxkx=，（分母不为零时），若分母为零，参见指导书表格内的公式证明：F （D ）kxe =kxn 1n 1n 1n0)ea D a Da D (a ++++--=)(ea )(ea )(ea )(ea kxn kx1n )1n (kx1)n (kx0+'+++--=kxn kx1n kx1-n 1kxn 0ea kea eka e k a ++++-kxn 1n 1-n 1n0-kx=F （k ）kxe甲注意此处方程左右两端的写法，表达的意义是不一样的，左边F （D ）是求导，具体来说左边是kxn 1n 1n 1n0)ea D a D a D (a ++++-- ，即)(ea )(e a )(ea )(ea kxn kx1n )1n (kx1)n (kx0+'+++-- ，而方程右边则是)(ekx乘于多项式F （k ）其中，左边的带下划线的部分的函数形式与F （D ）一样，因此写成F （k ）形式，只是字母 是常数k ，而不是求导了，意义也就不同了，它只是个关于k 的多项式了。
常系数非齐次方程特解--比较系数、算子法
m
km
是（4.3）的线性无关的n个解。
15
1 i 方程的一个 k 重特征根 2 i 也是一个 k 重特征根
它们对应 2k 个线性无关的实解是
e
t
cos t , te
t
cos t , , t
k 1 t
e
cos t ,
e
t
中所有系数 ai ( t )( i 1, 2, , n) 都是实值函数，
而 x z( t ) ( t ) i ( t ) 是方程的复值解， 则 z( t ) 的实部 ( t )，虚部 ( t ) 和共轭复数函数
z ( t ) 也是方程（4.2）的解。
7
dnx d n1 x dx a1 ( t ) n1 an1 ( t ) an ( t ) x u( t ) iv( t ) n dt dt dt 有复值解 x U ( t ) iV ( t ) ,这里 ai ( t )( i 1, 2, ..., n)
x z( t ) 满足方程
d x d x dx a1 ( t ) n1 an1 ( t ) an ( t ) x f ( t ) n dt dt dt
n n1
(4.1)
则称 x z( t )
为方程的一个复值解。
6
定理8
如果方程
(4.2)
dnx d n1 x dx a1 ( t ) n1 an1 ( t ) an ( t ) x 0 n dt dt dt
4
F ( ) 1 0
4
1,2 1,
3,4 i
第二步：求出基本解组
算子法解微分方程
常系数非齐次线性微分方程的解法有很多，例如笔者的教材（《高等数学第六版》）所述的待定系数法和接下来给出的称之为“算子法”以及另一种同样使用算子的方法。
1、首先介绍一种使用算子求解的方法：考察二阶常系数非齐次线性微分方程d2x/dt2＋a1dx/dt＋a0x＝b(t)相应的齐次方程的通解是已知的，所以只须求出方程的一个特解（由微分方程解的结构给出）。
设该方程的特征多项式q(λ)＝λ2＋a1λ＋a0分解为q(λ)＝(λ－λ1) (λ－λ2)则算子多项式q(D)也分解为q(D)＝(D－λ1) (D－λ2)则原微分方程可写成 (D－λ1) (D－λ2)＝b(t)依次解以下两个方程(D－λ2) x1＝b(t)(D－λ1) x＝x1就可求得方程的特解。
（其中x1看成是中间变量，只要通过求解x1来求解x）对于λ1和λ2是共轭虚数的情形，按上述步骤求得的方程特解有可能是一个复值函数z(t)＝x(t)＋iy(t)。
这时应有恒等式d2z(t)/dt2＋a1dz(t)/dt＋a0z(t)＝b(t)比较上式两边的实部，我们得到d2x(t)/dt2＋a1dx(t)/dt＋a0x(t)＝b(t)这样，不论λ1和λ2是实数或者是共轭虚数，我们都可能够求出方程在实数范围内的特解，从而完全解决了这方程的求解问题。
给出教材上一个例子:求微分方程y``－5y`＋6y＝xe2x.（《高等数学》P343）解：该微分方程的算子多项式分解为 q(D)＝(D－2) (D－3)设y1＝(D－2)y，代入知(D－3)y1＝xe2x（该式子是一阶常系数微分方程），易求得y1＝﹣(x＋1) e2x＋Ce3x（其中C为任意常数）.所以 (D－2)y＝﹣(x＋1) e2x＋Ce3x.得y＝C1e2x＋C2e3x－(x2＋2x) e2x／2.2、下面来说另一种更简便的方程，也就是“算子法”。
不过在使用算子法的时候，很多性质是必须了解的，在这里不作说明。
“算子法”是一个能直接求出常系数非齐次线性微分方程的特解的一个简单的方法，也就是得到我们需要求的y*。
微分方程的算子算法课件
解 考虑(D2 2D 5) y e(12i) x x的特解
y*
(D2
1 2D
5)
e(12i ) x
x
15
常系数线性微分方程的算子解法
11．特解的算子解法及例题
e(12i ) x
1
x
(D 1 2i)2 2(D 1 2i) 5
e(12i) x ( x2 i x ) 8 16
e x[( x2 sin 2x x cos 2x) i( x2 cos 2 x x sin 2 x)]
常系数线性微分方程的算子解法
1．n阶常系数线性微分方程
非齐次方程 齐次方程 微分算子
dny dx n
p1
d n1 y dx n1
pn y f ( x)
(1)
dny dx n
p1
d n1 y dx n1
pn y 0(2)DFra bibliotekd dx
,
D2
d2 dx 2
,
, Dn
DDn1
dn dx n
P(D) Dn p1Dn1 pn1D pn
2
常系数线性微分方程的算子解法
3．类比对象的确定
特殊情况 y f (x),其通解y f (x)dx C, y* f (x)dx
类似于原函数的概念，定义算子： 1
P(D) 1 f ( x)表示这样函数：用P(D)作用它的结果是f ( x)，即 P(D)
若函数F ( x)使得P(D)F ( x) f ( x)，则 1 f ( x) F ( x)
方程的算子表示
P(D) y f (x)
P(D) y 0
1
常系数线性微分方程的算子解法
2．解的结构
线性算子 P(D)( y1 y2 ) P(D) y1 P(D) y2 定理1 方程（1）的通解为：y y(x) y *(x) ，其中y(x)
微分算子法求解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解.docx
微分算子法求解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解李绍刚段复建徐安农(桂林电子科技大学，计算科学与数学系，广西桂林，541004)摘要：木文主要介绍了二阶微分算子的性质及其它在一些求解二阶常系数非齐次线性微分方程的常见运算公式，并对其中的大部分重要公式给出了详细的较为简单的证明，并通过具体而翔实的例子加以说明它在解题中的具体应用，大大简化了二阶常系数非齐次线性微分方程的特解的求法。
关犍词：线性微分算子非齐次微分方程特解中图分类号：0175.1 引言对于微分方程，尤其是常系数非齐次线性微分方程，算了法求其特解一肓是研究的热点问题，见参考文献［3・9］,有一些是针对一般高阶的常系数非齐次线性微分方程［3-61，文献⑹ 研究了高阶的变系数非齐次线性微分方程的算子特解算法，而［7］是针对二阶的常系数非齐次线性微分方程的算子特解解法，但是理论不是很完善，而微分级数法以及复常系数非齐次线性微分方程在一般教科书很少出现，针对性不够强。
因为在高等数学中，二阶非齐次常系数线性微分方程特解的求法在微分方程屮占有很重要的地位，也是学习的重点和难点，人多高数教材采用待定系数法来求其特解，根据不同情况记忆特解的设法对人多数学生而言述是很有难度的，而且有些题目计算过程非常复朵，本文就针对微分算子法在求解二阶常系数非齐次线性微分方程特解方而的应用做一些讨论，给出理论的详细证明，并通过例子说明理论的的一些具体应用。
我们考虑如下的二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式y"+py'+q = f(x)其中p,q 为常数。
(1)2 2引入微分算子—= D,^ = D2,则有：y=型二Dydx dx" dx dx~于是(1)式可化为：D’y + pDy + qy = f(x) 即：(D2 + pD + q)y = f(x) (2)令F(D) = D24-pD + q 称其为算子多项式。
则(2)式即为：F(D)y = f(x) 其特解为：y = ^—f(x),在这里我们称为逆算子。
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3x
sin 2 x
解：方程为 ( D 2 6 D + 13) y = e 3 x sin 2 x , 特解为
y=
=e
=e
=e
1 ( D 2 6 D + 13 )
e
3x
sin 2 x
sin 2 x
=e
3x
Im[e
2 ix 1 D
1 ( ( D + 4 i ) 1)]
3x
1 [( D + 3 ) 2 6 ( D + 3 ) + 13 ]
D y + pDy + qy = Pn ( x ),
2
( D + pD + q ) y = Pn ( x ) .
2
1 Pn ( x ) 特解 y* = 2 D + pD + q
1 次项为止） 将 2 展开为泰勒级数 到 n 次项为止） （ D + pD + q
例. 求特解 2 y"+2 y'+ y = x + 2 x 1
1 1 x 2 t 于是 D 1 2 y = 3 t ,
1 1 x 1 2t 1 2 y = D 3t =
t2 2 3 2 t
两端同乘逆矩阵得
x 2 1 = y 1 1
1 t2 t = 2 3 2 1 2 2 t 2 t
D +1 D +1 D +1 0 系数行列式： 系数行列式： = = ( D + 1)(D 1) = D2 1 ≠ 0 D 2D 1 D D 1
令： 1 = 2t D + 1 3 t 2D 1 = ( 2 D 1) 2 t ( D + 1) 3 t = 1 5 t
D +1 2t 令： 2 = = ( D + 1 ) 3 t D ( 2 t）= 3 t + 1 D 3t 1 1 5 t x= = 2 = ( 1 D 2 D 4 L)(1 5 t ) = 5 t 1 由克莱姆 D 1
算子解法
d d2 dn 2 = D, = D LL n = D n . 规定 dx dx 2 dx
记 D0 = 1 .
对于函数 y = y( x) :
dy = Dy , dx
dny d y 2 LL n = D n y =D y 2 dx dx
2
an D n + an1 D n1 + L + a1 D + a0 称为 n 阶算子多项式.
2
2D 2D 2 D 4 D2 4 D3 2 3 2D + 4D
y* = (1 2 D + 2 D 2 )( x 2 + 2 x 1) = x 2 2 x 1
或. 求特解 2 y"+2 y'+ y = x + 2 x 1
2
( 2 D 2 + 2 D + 1) y = x 2 + 2 x 1, 解：
2
2 y"+2 y'+3 y = x + 2 x 1
2
2
解： 2 D + 2 D + 3) y = x + 2 x 1, (
2 2 1 2 D D 27 3 9
1 求 ( 2 D 2 + 2 D + 3)
3 + 2 D + 2 D 1 + 0D + 0D2 + L 1 + 2 D + 2 D2 3 3
1 D 2 1
( x + 1)
4
= 1 D 2 D 4 D 6 L
则 y* = ( 1 D 2 D 4 )( x 4 + 1)
= ( x 1) (12 x ) 24
4 2
= x 12 x 25
4 2
验证 ( D 2 1) y* = D 2 y * y* = ( 12 x 2 24 ) y *
1 2 2 2 = 1 2 D 2 D2 + L = 1 D D + L 3 9 27 3 3 9
1 2 D 2 D 2 (x 2 + 2 x 1) = 25 + 2 x + 1 x 2 则特解为 y = 27 9 3 27 3 9
（2）自由项
f ( x ) = e v( x )
x = 4 e 3 x cos 2 x
= e 3 x Im[e 2 ix
1 D ( D+4 i )
1]
或.
y"6 y'+13 y = e
1 ( D 2 6 D + 13 )
3x
sin 2 x
i )]
解：方程为 ( D 2 6 D + 13) y = e 3 x sin 2 x , 特解为
y=
1 f (D)
Im[ u( x ) + iv ( x )] = Im[
1 f (D)
( u( x ) + iv ( x ))]
1 f ( D)
Re[u( x ) + iv ( x )] = Re[ f (1D ) ( u( x ) + iv ( x )]
（1）当自由项 f(x)为n 次多项式时 为
λx
是实函数。 v 可以是复数， 其中 λ 可以是复数， ( x ) 是实函数。 此时有公式
1 f ( D)
e v( x) = e
λx
λx
1 f ( D+λ )
v( x)
y"4 y'+4 y = e 2 x 的特解。 的特解。 例．求方程
解：方程为 ( D 2) 2 y = e 2 x .
特解为： 特解为：
(1 + x )
2
= [ x 2 x + 3] =
1 D 2
1 D 2
2 2
x3 3
2
x + 3x
2
1 D 2
又 y* = [(1 D + D )(1 + x )]
= [ (1 D + D )](1 + x )= ( 1 + D )(1 + x )
1 D
=
x3 3
x + 3x 1
2
例. 求特解
2
2
解： 2 D + 2 D + 3) y = x + 2 x 1, (
1 1 = 2D2 + 2D + 3 3 1 2 1 + ( D + D2 ) 3
1 求 ( 2 D 2 + 2 D + 3)
1 2 3 = 1 x + x x +L 1+ x
1 2 4 2 2 2 = 1 ( D + D ) + ( D + D ) + L 3 3 9
2
2 3 2 3
D 2 D2 3 4 4 2 3 D9D 9D
2 9
D + D3
2 4 9
1 2 D 2 D 2 (x 2 + 2 x 1) = 25 + 2 x + 1 x 2 则特解为 y = 27 9 3 27 3 9
或. 求特解
2
2 y"+2 y'+3 y = x + 2 x 1
= x +1
4
例
求
y"+ y' = 1 + x
1 D2 + D
2
的特解。 的特解。
解：方程的算子形式为 ( D 2 + D ) y = 1 + x 2 特解为 y* =
=
1 1 D D +1
[
(1 + x )] =
2
(1 + x ) =
2
1 D
[(1 D + D )(1 + x )]
2 2
1 D ( D +1 )
D 2t D 3t
D ( 3t ) D ( 2t ) t2 1 = = 21= 2 2 2D D D 2D 2 D
D D
x '+ y '+ x + y = 2 t 例 2. 设 ， 求特解。 求特解。 y = 3t x '+ 2 y ' ( D + 1) x + ( D + 1) y = 2t 解：算子形式为 Dx + ( 2 D 1) y = 3t
e
3x
sin 2 x
( 3+ 2 i ) x
=
= Im[e 3 x ( sin42 x
x = 4 e 3 x cos 2 x
x cos 2 x 4
1 D 2 6 D +13
Im e
= Im( D2 61D +13 e ( 3+ 2 i ) x )
= Im[e ( 3+ 2 ix )
1 ( D + 3+ 2 i ) 2 6 ( D + 3+ 2 i ) +13
1]
= Im[e ( 3+ 2 i ) x
1 D ( D+4 i )
1]
= Im[e
( 3+ 2 i ) x x 4i
]
微分方程组的算子解法
x '+ y ' = 2 t 例1. 设 ，求特解 x '+ 2 y ' = 3 t D D x 2 t 解：其算子形式为 D 2D y = 3 t