高阶谱分析及其应用

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高阶谱第1章高阶统计量的定义与性质

第1章高阶统计量的定义与性质1.1 准备知识1. 随机变量的特征函数若随机变量x 的分布函数为)(x F ，则称⎰⎰∞∞-∞∞-===Φdx x f e x dF e e E x j x j x j )()(][)(ωωωω为x 的特征函数。

其中)(x f 为概率密度函数。

离散情况：}{,][)(k k k kx j x j x x p p p e e E k ====Φ∑ωωω特征函数)(ωΦ是概率密度)(x f 的付里叶变换。

例：设x ~),(2σa N ，则特征函数为dx e e x j a x ⎰∞∞---=Φωσσπω222/)(21)(令σ2/)(a x z -=，则dz e aj z j z⎰∞∞-++-=Φωσωπω221)(根据公式：AB AC CxBx AxeAdx e 222--∞∞--±-=⎰π，则 2221)(σωωω-=Φa j e若0=a ，则2221)(σωω-=Φe。

2. 多维随机变量的特征函数设随机变量n x x x ,,,21 联合概率分布函数为),,,(21n x x x F ，则联合特征函数为),,,(][),,,(21)()(2122112211n x x x j x x x j n x x x dF e eE n n n n ⎰⎰∞∞-+++∞∞-+++==Φωωωωωωωωω令T n x x x ],,,[21 =x ,T n ],,,[21ωωω =ω，则⎰=ΦdX f e Tj )()(x ωx ω 矩阵形式或 n n x jn dx dx x x f eknk k ,,),,(),,,(11211⎰⎰∞∞-∞∞-∑=Φ=ωωωω 标量形式其中，),,,()(21n x x x f f =x 为联合概率密度函数。

例：设n 维高斯随机变量为T n x x x ],,,[21 =x ,T n a a a ],,,[21 =a⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n c c c c c c2111211c )])([(],cov[k k i i k i ik a x a x E x x c --== x 的概率密度为⎭⎬⎫⎩⎨⎧---=)()(21exp )2(1)(2/12/a x c a x cx T n P π x 的特征函数为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=Φc ωωωa ωT T j 21ex p )( 矩阵形式其中，T n ],,,[21ωωω =ω,⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=Φ∑∑∑===n i nj j i ij ni i i n C a j 1112121exp ),,,(ωωωωωω 标量形式 3. 随机变量的第二特征函数定义：特征函数的对数为第二特征函数为 )(ln )(ωωΦ=ψ (1) 单变量高斯随机过程的第二特征函数 22221ln )(22σωωωσωω-==ψ-a j e a j(2) 多变量情形j n i i nji ij i ni i n C a j ωωωωωω∑∑∑===-=ψ1112121),,,(1.2 高阶矩与高阶累积量定义1. 单个随机变量情形 (1) 高阶矩定义随机变量x 的k 阶矩定义为⎰∞∞-==dx x p x x E m k k k )(][ (1.1)显然10=m ，][1x E m ==η。

高阶谱应用中模型定阶问题分析

维普资讯
计算机技术应用
《机ｒ技术》２００７年第２期
高阶谱应用中模型定阶问题分析
郑明辉。
（１福建工程学院，福建福州３０１５０４摘
蓝敏俐
２福州火学液压件厂，福建福州３００）５０２
要：讨论了盎阶谱应用过程中涉及到的模型定阶问题。在采用Ａ参数法米估计双谱时，如果阶数太低，使频谱Ｒ
方法越来越受到重视。
∑ａｘｉ） ∑ｂｅｉ，（一，＝￣（一，）
，＝Ｏ，：０
（）２
其中（＝０２… ，）ａ＝１，，，ｐ，ｏ，且
．
２高阶谱的定义
高阶一个平稳随机信号的高阶谱是通过高阶累积量来定义的，而高阶累积量又和高阶矩有密切的关系，在高阶累积量的基础上，进而定义高阶谱。序列
ｆ， …）２ｒ Ⅳ 一ｉ１２；＝（２Ｎ＋））列数ｃ２．是估计值，所有的奇异值（＝１，从大到小（＝；，）（是由测量数据序列｛（）估计的累积量，而排列，都不为零。因此通常找出差值最大的奇异七）
太简单、平坦，无法显示频谱峰谷结构的宝节，得不到详细的二次相位耥合信息：阶数过高，则会产生虚假峰。文章常Ｉ ¨
用的几种定阶方法进行了分析。
关键词：高阶谱
双谱
模型定阶
线性代数法奇异值分解算法
中图分类号：０１４文献标识码：Ａ文章编号：１７－８１（０７２０１０７６２４０２０）０－２－３
１引言
在现代谱估计理论体系中，基丁白相关函数的功率谱的理论利方法都已经相当成熟，应川也

第7章高阶谱分析

高阶谱的估计方法
高阶谱的应用
高阶谱可以用来处理非高斯过程信号的检测和处理，系统的辨识，信号的重构等高阶谱可以自动抑制加性高斯噪声高阶谱能够检测和刻划过程的非线性特性
非线性过程的高阶谱
相位耦合问题
x1 (k ) A1 cos(1k 1 ) A2 cos(2k 2 ) A3 cos(3k 3 )
x2 (k ) A1 cos(1k 1 ) A2 cos(2k 2 ) A3 cos[3k (1 2 )]
这两个信号的字相关序列为 x x c2 1 ( 1 ) c2 2 ( 1 ) 1 [cos(1 1 ) cos(2 1 ) cos(3 1 )] 2 这两个信号的三阶累积量 x c3 1 ( 1 , 2 ) 0
c3x 2 ( 1 , 2 ) 1 [cos(2 1 1 2 ) cos(3 1 1 2 )] 4 cos(1 1 2 2 ) cos(3 1 2 2 ) cos(1 1 3 2 ) cos(2 1 3 2 )
第7章
高阶谱分析
高阶谱是功率谱概念的推广和发展功率谱的只揭示了该随机序列的幅度信息，而没有反映出其相位信息严格说，自相关函数及功率谱只能完整地描述一个广义的平稳高斯过程（1）在信号检测、参数估计问题中，高阶谱可以自动抑制各种加性高斯噪声；（2）高阶谱可以用来重构信号的幅度和相位；（3）高阶谱可以用来检测时间序列的非线性结构。
高阶累积量和高阶矩的定义
续ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
随机序列（随机信号）的高阶矩和累积量
表示为
累积量和矩的关系为
几个特征量定义
累积量和矩的一个重要关系式
相干系数
高阶累积量的若干数学性质

第六章-高阶谱分析

h(n)h(n m)h(n m2 )e j ( m11 m2 2 )
h(n m1 )e j1 ( n m1 ) h(n m2 )e j 2 ( n m2 ) h(n)e j (1 w2 ) n
m1 m2 n
H (1 ) H ( 2 ) H (1 2 ) H (1 ) H ( 2 ) H *(1 2 )
C • 这里：， k 为 x 的 k 阶累量 j • 例：考察具有特殊地位的高阶随机变量x(m, 2 )的累量解：的概率密度函数 f (x)为 x
Ck
k
( k ) (0)

1 dk [ln (v)] v 0 j k dv k
f ( x)
1 2

e
1 ( xm)2 2 2
(1 , 1 ) (1 ) ( 2 ) (1 2 )
• 解：x1 (t ) 的频谱 X ( ) 是两个的函数
1
1 X 1 ( ) [ ( 0 ) ( 0 )] 2
由双谱定义式（确定序列）：
B x1 (1 , 2 ) X 1 (1 ) X 1 ( 2 ) X 1* (1 2 )
1
W0
W1 W2 0
• x2 (t ) 的频谱 X
( ) 为 1 X 2 ( ) A ( ) [ ( 0 ) ( 0 )] 2， 0， 0
W2
W0
W0
W0
0
W0
W1
* Bx2 (1 , 2 ) X 2 (1 ) X 2 ( 2 ) X 2 (1 2 )
Bx ( w1 , w2 ) Bx ( w2 , w1 ) Bx ( w1 w2 , w2 ) Bx ( w1 w2 , w1 ) Bx ( w2 , w1 w2 ) Bx ( w1 , w1 w2 ) Bx ( w1 2 , w2 2 ) Bx ( w1 , w2 )

第5章高阶统计分析

I 1, 2 I 1 ,2 mx (I ) E x(t ) x(t 1 ) mx (I ) E x(t ) E x(t 1 )
(2) 分割为2个子集合： q 2
矩—累积量转换公式：
c2 x ( ) E{x(t ) x(t )} E{x(t )}E{x(t )}
i 1
k
性质2: 矩和累积量相对于变元是对称的，即
mom x1 , cum x1 , , xk mom xi1 , , xk cum xi1 ,

, xik , xik

i1,
, ik 是 1, , k 的排列
例： c3 x (m, n) c3 x (n, m) c3 x (m, n m) c3 x (n m, m)
x(t )
，令
x1 x(t ), x2 x(t 1 ),
随机信号x(t)的k阶矩：
mkx (1, , k 1 )
, xk x(t k 1 )
E x(t ) x(t 1 )
x(t k 1 )
随机信号x(t)的k阶累积量：
ckx (1, , k 1 ) cumx(t ), x(t 1 ), , x(t k 1 )
第二特征函数：( ) ln ( )
k阶累积量 (cumulant)：
k d ( ) k (k ) k cx ( j ) (0) ( j ) d k 0
第二特征函数 ( ) 积量模母函数
累积量生成函数或累
2. 多个随机变量的高阶矩与高阶累积量
k个随机变量r.v. (random variable) 第一联合特征函数
, k I
矩—累积量转换关系：

高阶谱分析chapter01

高阶谱分析Higher-Order Spectra Analysis第一章绪论在过去的30多年中，由于系统理论、统计学、数值分析、计算机科学和集成电路技术等领域思想与方法的结合使信号处理特别是数字信号处理有了巨大的发展。

传统信号处理的主要特点是研究线性的（Linear）、因果的(Causal)、最小相位的(Minimum phase)、高斯分布的(Gaussian)、平稳的(Stationary)和整数维(Integer dimensional)的信号分析与综合。

现代信号处理的特点是注重研究非线性的(Non-linear)、非因果的(Non-causal)、非最小相位(Non-minimum phase)信号与系统，以及非高斯的(Non-Gaussian)、非平稳的(Non-stationary)和分形(Fractional)（非整数维）信号和非白色(Color)的加性(Additive)噪声。

信号处理的目的：处理有限个数据样本，并从中提取隐藏在这些数据中的重要信息。

研究途径：通常是通过研究和建立描述数据特性的数学模型（算法实现：软件和硬件）并应用于真实数据的处理。

图1-1 信号处理流程图评价信号处理技术（算法）考虑的主要因素包括：1．估计质量（quality of the estimate）2．计算复杂度（computational complexity）3．数据吞吐率（data throughput rate）4．实现成本（cost of implementation）5．有线字长效应（finite word-length effects）6．结构特性（structural properties）实际应用中，常需要在这些因素之间进行折中考虑。

1.1 功率谱（Power Spectrum ）功率谱密度（PSD: Power Spectrum Density ）是数字信号处理中的一种常用技术。

高阶谱元区域分解算法及其在流动稳定性中的应用

最大扰动特征模态．最后，行计算验证，进并与已有模拟结果和实验进行比较，
１数值方法
考虑Ｎ￣ｏ体的二维不可压缩粘性非定常流动，ｅｎ流流体密度和动力学粘性系数为常数，控制方程是其
Ｎｖｒｔｅ（Ｓ方程ａｉ — ｏｓＮ）ｅＳｋ・ｌｌ：０，
２纪８Ｏ世０年代初结合谱方法和有限元思想提出的一种求解偏微分方程的高阶加权余量法，仅具有谱方不
法的高精度性和指数收敛性，同时也继承了有限元法对复杂区域几何形状的高度适应性．由于这些突出特点，元方法非常适合分析复杂区域流动（如非平行流）谱例的稳定性及其失稳转机理和非线性动力学分岔模
Ｉｅａｔｅｔ — ｒｌ算法求解不可压缩Ｎｖｒｔｅ方程的定常解，将Ｓｏｅ算法的时间推进步作为Ｎｗｏ迭代ｎｘｃＮｗｏＫｙｖ — ｎｏａｉ－ｏｓｅＳｋｔｓｋｅｔｎ
的预处理，在此基础上采用Ａｌ方法计算大规模特征值问题，对复杂流动进行稳定性分析，该方法能统一处ｍｏｉｄ理定常和非定常计算，没有时问分裂误差，无需显式构造Ｊｃｂｎ阵，可以减少内存使用，降低计算量，并加ａｏｉ矩ａ速迭代收敛．对有分析解的Ｋｖｓａ流动的计算表明，高阶谱元法具有指数收敛的谱精度．对亚临界方腔对称ｏａｚｙｎ

高阶谱应用中参数估计问题分析

在现代谱估计理论体系中，于自相关函数基的功率谱的理论和方法都已经相当成熟，用也应
对于一组实随机变量，，，，们的联 … 它
合特征函数（第一特征函数）：为（１∞ ，，垒Ｅ｛ｘ（（１１ ∞ ＋ ∞ ，２… ∞ ）ｅｐ＿ ∞ ＋２１，
ｍｅｒｃｂｉｐｃｒｍａｒｖｄｒｍｅｒｃｅｔｍａｉｎｗｉｉｈｒｓｌｉｎａａｌｏｐｏｉｅｓｇａｔｓｅｔｕｃｎｐｏｉｅｐａａｔｉｓｉｔｔｈｇｅｏｕｔｎｄｃｎａｓｒｖｄｉｎｉｏｈｏｌｐａｅｉｆｒｔｎ．ｈｓｎｏｍａｉｏＫｅｗｏｄｙｒｓ：ｐｌｓｅｔｕ；ｂｓｅｔｕ；ｐｒｍｅｉｓｉｔｏｏｙｐｃｒｍｉｐｃｒｍａａｔｃｅｔｍａｉｎｒ
Ａｓａｔｈｅｎｔｎａｄｃａａｔｒｏｏｓｅｔｍ（ａｎｉｅｔｍ）ａｅｉｔｄｃｄｈｂｔｃ：Ｔｅｄｆｉｏｎｈｒｃｆｐｌｐｃｕｍｉｌｂｓｃｕｒｉｉｅｙｒｙｐｒｒｎｒｕｅ．Ｔｅｏ
ｐｒｍｅｒｓｍａｉｎｉｅａｐｉａｉｎｏｏｙｐｃｒｍｓｅａｏａｅ．ＩｉｉｄｃｔｄｔａａａａａｔｃｅｔｔｎｔｐｌｔｆｐｌｓｅｔｕｉｌｂｒｔｄｔｓｎｉａｅｔＡＲｐ — ｉｉｏｈｃｏｈｒ
…
极为广泛。在功率谱估计过程中，一个通常的假设是观测数据由高斯白噪声激励线性最小相位系统产生。另外，信号的自相关函数（或功率谱）只包含幅度信息，不包含相位信息。在实际工程应

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非线性相位耦合： 2 个频率成分间相互关联作用，产生1 个和频与1 个差频频率成分，这就是所谓的二次非线性，对应的相位关系称为二次相位耦合。可以通过双谱辨识机械系统的非线性耦合特征，如齿轮磨损、裂纹、点蚀、断齿等。
• 3.3在精密工件加工中的应用
正常情况下工件光滑的表面形貌为高斯型，因此其双谱理论上应为零，但实际加工中，许多表面往往表现为非高斯型，其双谱值不为零。所以，用双谱分析能更有效地描述表面形貌高度分布特征的非对称性。从而双谱适更合于作为特征量来识别不同加工x(n)}的k阶累量是绝对可和的，则其k阶谱是k阶累量的(k-1)维傅里叶变換，即
skx (1 ,, k 1 ) k 1 ckx (m1 ,, mk 1 ) exp i j m j m1 mk 1 j 1
高阶谱分析及其应用
一、高阶谱的产生与发展
二、高阶谱的内容三、高阶谱的应用
一、高阶谱的产生与发展
上世纪50年代
一些学者就开始了高阶矩的研究，前苏联著名的工程数学家柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）提出了将高阶(大于二阶)矩作傅里叶变换这一思想，之后 Shiryaev提出了高阶谱的概念。
Thanks
安德列· 柯尔莫哥洛夫是20世纪苏联最杰出的数学家，也是20世纪世界上为数极少的几个最有影响的数学家之一。他的研究几乎遍及数学的所有领域，做出许多开创性的贡献。 Kolmogorov一开始并不是数学系的，他 17岁左右的时候写了一片和牛顿力学有关的文章，于是到了Moscow State University去读书。入学的时候，Kolmogorov对历史颇为倾心，一次，他写了一片很出色的历史学的文章，他的老师看罢，告诉他说在历史学里，要想证实自己的观点需要几个甚至几十个正确证明才行，Kolmogorov就问什么地方需要一个证明就行了，他的老师说是数学，于是 Kolmogorov开始了他数学的一生。
虽然对这些脑电信号双谱结构的生理意义目前尚无一致认识，但应用这种分析方法可发现更多的隐藏在脑电信号中的信息，从而使我们可以透过脑电信号更深人地了解大脑的功能。特别是脑电信号三阶能量在双频域中各频段的分布上，双谱分析可为我们了解大脑功能提供一条新的途径。
此外高阶谱在从有色高斯测量噪声中提取信号、非最小相位系统的参数辨识等涉及信号处理方面还有着更为广泛的应用。
• 3.3在医学信号分析中的应用
大部分生物信号是非高斯和非线性的信号，如脑电信号等。常规脑电图分析脑电信号的频率、波幅、相位、对称性等信息，对于正常人，在闭目清醒状态下显示以 α波段为主的脑电波；睁眼和积极思维α 节律衰减，显示以β节律为主要特征的脑电波；过度换气时出现慢波节律。
应用高阶谱技术建立的双谱分析方法，则可显示出常规脑电图无法显示的信息。如睁眼时脑电信号双谱结构的双谱谱峰主要出现在θ 波段，过度换气时出现在α 波段和θ 波段，尤其是在心算时α 频率分量的有序性大大增强，起主导作用，双谱谱峰基本集中在α波段。
近年来
随着计算机技术的发展，来对于高阶谱估计的理论和算法以及其应用的研究受到许多从事信号处理的学者，科学家和工程技术人员的重视，从事这方面研究的人员越来越多．
二、高阶谱的内容
• 2.1二阶谱及其局限性
在高阶谱出现前使用的信号分析方法是以二阶统计量（时域为相关函数、频域为功率谱）作为数学分析工具。功率谱理论，已成为谐波分析、参数估算、信号模型识别、系统辨识及预测控制等多种问题中不可缺少的应用工具。但二阶谱仅包含了过程与二阶矩相当的信息量，故只有在高斯情况下，它才能给过程以完整的统计描述。对加性噪声敏感，只包含幅度不包含相位信息，不能识别最小相位系统。
1965年
Rosenblatt和VanNess发表了双谱估计的文章，在同一年Brillinger全面介绍了多谱理论，这标志着高阶谱理论的初步建立。高阶谱理论建立初期，由于计算上的困难，且对其物理意义理解不足，后来它的发展不很迅速。
上世纪80年代
后期信号处理专家才使这一研究在实际中找到了用武之地，并迅速发展为现代信号处理的一个重要分支，随之出现了高阶谱理论和应用研究的高潮。
• 3.1高阶谱广泛应用的原因
高阶谱含有相位信息可抑制高斯白噪声能够刻划信号偏离高斯过程的信息适用于非线性和非高斯系统描述实际中的系统往往是非高斯、非线性的因而高阶谱估计更贴近实际计算机技术以及新的算法的发展促进了高阶谱的广泛应用
• 3.2在工业组件检测中的应用
双谱保留了信号的相位信息，可以定量地描述信号中与故障密切联系的非线性相位耦合。
参考文献 [1].陆爽,李萌.基于双谱估计的轴承非线性振动信号模式识别.仪器仪表学报,2007 [2].冷军发，荆双喜，禹建功.基于小波双谱的矿用齿轮箱故障诊断.煤炭学报,2010.07 [3].许崇涛,沈民奋,李慧,朱国平.双谱分析方法在脑电信号分析中的应用.中国行为医学科学.2004年第13卷第3期 [4].黄绣坤.高阶谱估计技术概述.北方交通大学学报.1991年第16卷

特殊的当高阶谱的阶数为三时称为双谱
Bx (1 , 2 )
可以推知双谱具有周期性和对称性，高阶谱阶数的增加计算量越来越复杂，因此一般应用双谱或三阶谱。
三、高阶谱的应用
高阶谱已逐步在海洋波、地震波分析、经济时间序列分析、流体力学及无线电信号处理中找到了广泛的应用。可以看到大部分应用都是以高阶谱（或双谱）在信号分析中的应用为基础。