《金考卷周末培优》必修4数学第1周任意角、弧度制 任意角三角函数的定义
必修四任意角和弧度制及任意角三角函数学生版
任意角和弧度制及任意角三角函数重难点突破【知识点1 任意角的概念】1.任意角2.角的分类【知识点2 象限角与非象限角】1.象限角当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，则角的终边（除端点外）在第几象限，就称这个角为第几象限角.2.象限角的集合表示3.非象限角当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.4.非象限角的集合表示【知识点3 终边相同的角】一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合即任 与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和. 【知识点4 弧度制的概念】 1.角度制规定周角的3601为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. 2.弧度制的定义把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度，这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. 3.弧度制与角度制的区别与联系【知识点5 角度与弧度之间的互化】 1.角度制与弧度制的换算角度化弧度 弧度化角度360°=2πrad 2πrad=360° 180°=πrad πrad=180° 1°=180πrad ≈0.01745rad 1rad=≈︒)180(π'18572.一些特殊角的度数与弧度数的对应表【知识点6 扇形的弧长与面积公式】设扇形的半径为r ，弧长为l ，)20(παα<<或n °为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下：【知识点7 弧度制下的结论】 1.终边对称的角的表示（1）若α与β的终边关于x 轴对称，则)(2Z k k ∈=+πβα. （2）若α与β的终边关于y 轴对称，则)()12(Z k k ∈+=+πβα. （3）若α与β的终边关于原点对称，则)()12(-Z k k ∈+=πβα. （4）若α与β的终边在一条直线上，则)(-Z k k ∈=πβα. 2.终边相同的角的表示)(2Z k k ∈+=παβ，前后单位要一致.3.象限角的表示（1）第一象限角的集合：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<Z k k k ，222ππαπα.（2）第二象限角的集合：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k k ，ππαππα222. （1）第三象限角的集合：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k k ，2322ππαππα. （1）第四象限角的集合：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k k ，ππαππα22232. 4.轴线角的表示（1）终边在x 轴的非负半轴上的角的集合为：}2{Z k k ∈=，παα. （2）终边在x 轴的非正半轴上的角的集合为：}2{Z k k ∈+=，ππαα. （3）终边在x 轴上的角的集合为：}{Z k k ∈=，παα.（4）终边在y 轴的非负半轴上的角的集合为：}22{Z k k ∈+=，ππαα.（5）终边在y 轴的非正半轴上的角的集合为：}2-2{Z k k ∈=，ππαα.（6）终边在y 轴上的角的集合为：}2{Z k k ∈+=，ππαα.（7）终边在坐标轴上的角的集合为：}2{Z k k ∈=，παα.三、题型分析(一) 象限角，轴线角与集合的关系例1．（新疆伊西哈拉镇中学2018-2019学年高一上期末）若·18045,k k Z α=︒+︒∈，则α所在的象限是（ ） A. 第一、三象限B. 第一、二象限C. 第二、四象限D. 第三、四象限例2．终边在直线y x =上的角的集合是（ ） A. {|,}4k k Z πααπ=+∈ B. {|2,}4k k Z πααπ=+∈C. 3{|,}4k k Z πααπ=+∈D. 5{|2,}4k k Z πααπ=+∈【变式训练1】.的角属于第_________象限.【变式训练2】.（2019秋•宜昌月考）设M ＝{α|α＝k •90°，k ∈Z }∪{α|α＝k •180°+45°，k ∈Z }，N ＝{α|α＝k •45°，k ∈Z }，则（ ） A ．M ⊆NB ．M ⊇NC ．M ＝ND ．M ∩N ＝∅(二) 与终边有的角的问题以及对称问题2α，2α，3α例3．（陕西省榆林市榆阳区第二中学2018-2019学年高一下期末）下列各角与3π终边相同的角是（ ） A.43π B.53π C. 43π-D. 53π-例4．【浙江省宁波市镇海区镇海中学2018-2019学年高一上期中】已知α是锐角，那么2α是（ ） A. 第一象限角 B. 第一象限角或第二象限角 C. 第二象限角D. 小于180的正角【变式训练1】.（江西省景德镇一中2018-2019学年高一上期中）已知α是第二象限角，则（ ） A.2α是第一象限角B. sin02α>C. 02sin >αD. 2α是第三或第四象限角【变式训练2】.（新疆伊西哈拉镇中学2018-2019学年高一上期末）如果点(sin ,cos )P θθ位于第四象限，那么角θ所在的象限是（ ）． A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【变式训练3】.三角形ABC 是锐角三角形，若角θ终边上一点P 的坐标为(sin A －cos B ，cos A －sin C)，则sin sin θθ＋cos cos θθ＋tan tan θθ的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．3 D ．4(三) 已知终边求角与已知终边区域求角例5．【浙江省嘉兴市第一中学2017-2018学年高一下期中】已知角α的终边与单位圆交于点34(,)55P -，则cos α的值为( )A ．35B ．35-C ．45D ．45-例6．【浙江省宁波市镇海区镇海中学2018-2019学年高一上期中】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点()3,4P -,sin α=______．【变式训练1】.已知任意角α的终边经过点(3,)P m -,且,53cos -=α (1)求m 的值．(2)求sin α与tan α的值．【变式训练2】. 已知角α的终边上一点((),0P m m ≠，且cos α=（1）求m 的值； （2）求出sin α和tan α.【变式训练3】.若角α终边经过点()()3,40P a a a ≠,则sin α=（ ） A. 35 B. 45 C. 35± D. 45±(四) 弧度制与弧长例7．53π-的角化为角度制的结果为__________， 135-的角化为弧度制的结果为__________． 例8．（甘肃省宁县第二中学2018-2019学年高一下期中） 点P 从（﹣1，0）出发，沿单位圆221x y +=顺时针方向运动3π弧长到达Q 点，则Q 点坐标为（ ）A. （12-B. （-12-）C. （12-，2-） D. （2-，12） 【变式训练1】.【浙江省宁波市镇海区镇海中学2018-2019学年高一上期中】已知扇形的周长为6，圆心角为1，则扇形的半径为___；扇形的面积为____.(五) 扇形与弓形的面积公式应用例9．【浙江省宁波市镇海区镇海中学2018-2019学年高一上期中】已知扇形的周长为6，圆心角为1，则扇形的半径为___；扇形的面积为____.例10．一扇形的圆心角为2弧度，记此扇形的周长为c ，面积为S ，则1c S-的最大值为.【变式训练1】.已知半径为10的圆o 中，弦AB 的长为10． 求弦AB 所对的圆心角α的大小；求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S ．四、迁移应用1.（2019秋•黄陵县校级月考）设A ＝{θ|θ为锐角}，B ＝{θ|θ为小于90°的角}，C ＝{θ|θ为第一象限的角}，D ＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是（ ） A ．A ＝BB ．B ＝CC ．A ＝CD ．A ＝D2（2018春•林州市校级月考）在0°～360°范围内，与﹣853°18'终边相同的角为（ ） A ．136°18'B ．136°42'C ．226°18'D ．226°42'3（2018•徐汇区校级模拟）若α是第二象限的角，则3α的终边所在位置不可能是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．笫象限4（2019春•南京期中）若角α＝m •360°+60°，β＝k •360°+120°，（m ，k ∈Z ），则角α与β的终边的位置关系是（ ） A ．重合 B ．关于原点对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称5已知α＝﹣30°，若α与β的终边关于直线x ﹣y ＝0对称，则β＝ ； 若α与β的终边关于y 轴对称，则β＝ ； 若α与β的终边关于x 轴对称，则β＝ ． 6（2018春•武功县期中）已知角α＝45°；（1）在区间[﹣720°，0°]内找出所有与角α有相同终边的角β；（2）集合|18045,2k M x x k Z ⎧⎫==⨯︒+︒∈⎨⎬⎩⎭，|18045,4k N x x k Z ⎧⎫==⨯︒+︒∈⎨⎬⎩⎭那么两集合的关系是什么？7（2018春•莲湖区校级期中）下列说法正确的是( ) A ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B ．第一象限的角是锐角C ．第二象限的角比第一象限的角大D ．角α是第四象限角，则22()2k k k z ππαπ-<<∈8（2019春•陕西校级期中）角度制与弧度制的互化：210︒= ；52π-． 9（2018秋•东安区校级月考）已知圆中一段弧的长正好等于该圆的外切正三角形的边长，那么这段弧所对的圆心角的弧度数为 ．10（2018秋•南康区校级月考）已知扇形的周长为20cm ，当它的面积最大时，它的圆心角的弧度数为 ．11.【2018届黑龙江省齐齐哈尔八中高三8月月考】已知角α的终边上有一点的坐标是()3,4P a a ，其中0a ≠，求sin α， cos α， tan α.12．已知()1sin cos 05αααπ+=<<.求 （I ）11sin cos αα+的值; （II ）tan α的值.13．已知半径为10的圆o 中，弦AB 的长为10． 求弦AB 所对的圆心角α的大小；求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S ．14.已知任意角α的终边经过点(3,)P m -,且,53cos -=α (1)求m 的值．(2)求sin α与tan α的值．。
人教版高中数学必修四第一章三角函数11任意角和弧度制教师版个性化辅导含答案 学习文档
任意角和弧度制____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.理解1.1弧度的角、弧度制的定义 2.掌握角度与弧度的换算公式 3.熟记特殊角的弧度数)角的概念：(一 1 任意角正角：按顺时针方向形成的角负角：按逆时针方向形成的角 2 象限角x轴重合，终边在第几象限此角就是第几象限角。
定义：角的顶在原点始边与k为任意整数）α有相同终边所有角表示为：α+2kπ（与角 1）在直角坐标系内讨论角：（注意：若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。
0????????},|k?2k{?|??360k?,k?Z}②写出图中所表示的区间角：???所在的象限，来判断所在的象限来判断由的终边所在的象限，23(二)弧度制1 弧度角的规定.它的单位是rad 读作弧度l=2rC B AOB=1rad?如图：r2radAOC=2rad ?1rad r AA rad =2?周角o o弧度的角。
与圆的半径无关以弧度为单位来度量定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1 角的制度叫弧度制。
0 ）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是（1l?l?r为半径）为弧长，（）角（2?的弧度数的绝对值r（3）用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）页 1 第o π/180*角度制弧度制与角度制的换算公式：弧度制=o/π*180弧度制角度制= o2π=360弧度数α与弧长L与半径R的关系：L=Rα（可用来求弧长与半径）12?RS?；扇形面积公式：L=Rα（4）弧长公式：22??RnrnS??l（初中）弧长公式：，扇形面积公式：扇3601802 弧度制与角度制的换算：?，角度是360°，所以有因为周角的弧度数是2把上面的关系反过来写类型一：角的概念问题1. 终边相同的角的表示???的终边在第______象限是第三象限的角，则角. 例1 若角答案：二.oooo??8k01?k?3,60?2?k?360?70<?<?，则故解析：因为第是三象限的角，Z ooo??o?,k01<?<k?360??270?8360k?的终边在第二象限，故. Z o610角终边相同的角可表示为_____________. 练习：与oo?250(kk?360?【答案：Z）】 . 象限角的表示2???2是第二象限角，问（1已知角）角终边的位置. 例是第几象限的角？（2）角2 2k思路：先根据已知条件得出角的范围，再通过讨论.值来确定象限角oooo??<k?<360?180k(?k?360?90)，故二象限的角，故Z因：解析（1）为第是???????oooo k180?k(?9045<k?45?180?k?<?45k?180?180k??)在.当为偶数时，Z222??k.为第一或第三象限角在第三象限，故第一象限；当为奇数时，22oooo??(k180360k90360k??<<??) 2（Z，得由）页 2 第o?ooo?2?360k(?3602k?3602?180k<2?<)终边在下半平面.，故角 Z?*?)? (n所在象限的问题，一般都要分几种情况进行讨论N已知.所在象限，求点评：n结论：类型二：弧度制与弧长公式角度制与弧度制的互化1. 把下列各角的度数化为弧度数：例3 ? rad?1，所以解因为180把下列各角的弧度数化为度数：练习：? rad180，所以＝解因为?o?750?）设，用弧度制表示，并指出它所在的象限；例4 （13oo????0720?. ，用角度制表示2（）设内找出与它有相同终边的所有角，并在～5）怎样32）确定角为第几象限角的依据是什么？（导思：（1）角度与弧度应如何进行互化？（找终边相同的角？依据是什么？??25????????750?2?2. 在第一象限）1解析：（，故6618031803oooo???180(kk?360?108()???）由为示Z边，与它终相同的角）2 （可表，?5533oooooo≤1??k??2k?<2?≤k0720?720?0<360?180?k范围或，即在～，故，得1010oo?252?612?.有相同终边的所有角是内与和角度与弧度进行互化，关键是对转化公式的理解和应用；判断一个角所在的象限，关键点评：?][0,2是在内找到与该角终边相同的角.?o?570??，并指出它所在的象限；）设，用弧度制表示练习：（17oo????0720?）设～（，用角度制表示内找出与它有相同终边的所有角，并在. 23??519??????2???2570)??(??. （1）在第二象限，故解析：6180671807oooo???0720?420???(??)()?有相同终边的角是，2 （～范围内与故在）?33o60?.页 3 第2.求弧长与扇形面积?R.，所在圆半径为例5 已知一扇形中心角为??R?10?cm，（1）若，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；3?0)C>C(为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值（2）若扇形的周长为一定值. ，当导思：（1）扇形的弧长公式是什么？（2）怎样由扇形面积来求弓形的面积？（3）如何用扇形C表示扇形面积？（4）怎样求最大值？能用二次函数来求吗？能用基本不等式来求吗？的周长?10l S(?l)，，则cm）设弧长为，弓形面积为解析：（1弓3???3111022?sin?1050()(??10???S?S??S). 故cm?弓扇332232C?2R?ll?C?2R，（2）解法一：，得由扇形周长2CC11122?RC??(R?)?R?RS=Rl?(C?2R)?. 故扇2416222CCCR?l?C?2R?S，此时时，有最大值且最大值为当.???22????时，该扇形有最大面积. 故.故当扇1642lC4R2CC?R?2RR?l?C?2R?，，得解法二：由扇形周长2?aC11222C11CC22??()???RS=?，故???≤扇4?2?222??16?224?4??4??2C2?a?24?时，扇形面积最大为，即.当且仅当16点评：在应用扇形弧长和面积公式时，如果圆心角用角度表示，则应先化为弧度；注意不要把弓形面积与扇形面积相混淆.824cm，则扇形的圆心角的弧度数是cm，面积为练习：设扇形的周长为________.1l42?4l????24(8?2r)r?S?0?4rr?4?2r?.，故解：，即，解得，从而2r21、下列角中终边与330°相同的角是（）A．30° B．-30° C．630° D．-630°答案：B2、－1120°角所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限答案：D3、把－1485°转化为α＋k·360°（0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是（）A．45°－4×360°B．－45°－4×360°C．－45°－5×360°D．315°－5×360°答案：D页 4 第4、写出-720°到720°之间与-1068°终边相同的角的集合___________________．?? 37212,?348,?708,答案：5、终边在第二象限的角的集合可以表示为：（）A．｛α∣90°<α<180°｝kkk∈Z｝·180°＋90°，·180°<α<180°＋B．｛α∣kkk∈Z｝·180°，－180°<α<180°＋C．｛α∣－270°＋·kkk∈Z｝·360°，<α<－180°＋∣－D．｛α270°＋·360°答案：D6、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（）?C D．A=B=CA．B∪C=C C． A．B=A∩C B B答案：）7、下列结论正确的是（ B．第一象限的角必是锐角Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 C．不相等的角终边一定不同???? ????Z,k|??k?180|?k?360??9090,k?Z D．=答案：D? ??180是、8若．是第四象限的角，则A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角C答案：绝对值最小的角是_________,_______________．9、与1991°终边相同的最小正角是169?191答案：；与10、若角α的终边为第二象限的角平分线，则．的集合为______________________α?? ??Z?,?k?360k?135|答案：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固一、选择题1．已知α＝－3，则角α的终边所在的象限是()A．第一象限B．第二象限D．第三象限C ．第四象限C[答案]页 5 第180540[解析]1rad＝()°，则α＝－3rad＝－()°≈－171.9°，∴α是第三象限角．ππ13π2．与－终边相同的角的集合是()3π5π????－B．A．????33????π5π????α|α＋＝2kπ＋2α|α＝kπ，，k∈Z k∈Z．D C．????33????[答案]D13π13π[解析]与－终边相同的角α＝2kπ－，k∈Z，3313π∴α＝(2k－6)π＋6π－35π＝(2k－6)π＋，(k∈Z)．33．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B＝()A．?B．{α|0≤α≤π|C．{α|－4≤α≤4|D．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}[答案]D[解析]k≤－2或k≥1时A∩B＝?；k＝－1时A∩B＝[－4，－π]；k＝0时，A∩B＝[0，π]；故A∩B＝[－4，－π]∪[0，π]．故选D.4．一条弧所对的圆心角是2rad，它所对的弦长为2，则这条弧的长是()11B．A．sin2sin122DC．．sin2sin1C][答案211. ×＝，弧长为r解析[]所在圆的半径为＝2sin1sin1sin12，它的周长为4 cm，那么该扇形的圆心角等于(．某扇形的面积为1cm) 5A．2°B．2D4°．4C．B答案[]4l＝2r＋???，由题意得设扇形的半径为[解析]r，弧长为l，11lR＝??21r＝??.解得?2l＝??页 6 第l∴该扇形圆心角α＝＝2(rad)，r故选B.6．如图中，圆的半径为5，圆内阴影部分的面积是()175π125πB．A．183634π75πD．C．918A答案[]πππ2π＝30×＝，40°[解析]＝40×＝，30°61809180175π2ππ1122.＝·∴S＝r·＋r366922二、填空题__________．1°7．若两个角的差是，它们的和是1弧度，则这两个角的弧度数分别是π180－180＋π、][答案360360π??＝－βαπ－180180＋π180?.＝＝、、β则β，∴α[解析]设两角为α360360??1＝α＋β．边形的一个内角的弧度数等于__________n8．正?2n－?π][答案n[解析]∵正n边形的内角和为(n－2)π，?n－2?π∴一个内角的弧度数是.n三、解答题3π7π9．已知α＝－570°、α＝750°，β＝，β＝－.212153(1)将α、α用弧度制表示出来，并指出它们各自所在象限；21(2)将β、β用角度制表示出来，并在－720°～0°范围内找出与β、β有相同终边的角．2121570π19π[解析](1)∵－570°＝－＝－18065π＝－4π＋，65π5π终边相同，在第二象限，∴－570°与66∴α在第二象限．1750π25ππ∵750°＝＝＝4π＋，18066页 7 第ππ∴750°与终边相同，在第一象限，66∴α在第一象限．23π3(2)∵β＝＝(×180)°＝108°，与其终边相同的角为108°＋k·360°，k∈Z，155∴在－720°～0°范围内与β有相同终边的角是－612°和－252°. 1同理，β＝－420°且在－720°～0°范围内与β有相同终边的角是－60°.22能力提升一、选择题1．扇形的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角是____弧度．()π．．πBA2ππD．．C43C[答案]∵圆心角所对的弦长等于半径，[解析]∴该圆心角所在的三角形为正三角形，π∴圆心角是弧度．3) 终边关于原点对称，则必有(α2．在直角坐标系中，若角与角β) Z(k∈．α＝－2kπ±βA．α＝－βB) k∈Zπ＋π＋β(＋．α＝πβD．α＝2kCD答案][.π的奇数倍得β]将α旋转[解析) 3cm的圆中，60°的圆心角所对的弧的长度为(3．在半径为π．A．πcmcmB32π3πcm．．cmDC32B[答案]π．3＝α＝||R＝π(cm)×[解析]由弧长公式得，l3) ．下列各组角中，终边相同的角是(4ππk Z＋∈，Z k±1)π，k∈B．kk与π1)π．A(2k＋与(422ππππk Z，k∈k ∈2．Ckπ＋与kπ±，kZD．π±与3636A答案[]A.都表示的是奇数，故选1k与＋2][解析k14±页 8 第二、填空题11π5．把－写成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ的值是________．43π[答案]－411π3π5π[解析]－＝－－2π＝－4π，4443π∴使|θ|最小的θ的值是－.46．用弧度表示终边落在y轴右侧的角的集合为________.ππ[答案]{θ|－＋2kπ<θ<＋2kπ，k∈Z}22ππππ[解析]y轴对应的角可用－，表示，所以y轴右侧角的集合为{θ|－＋2kπ<θ<＋2k π，k∈Z}．2222三、解答题7．x正半轴上一点A绕原点依逆时针方向做匀速圆周运动，已知点A每分钟转过θ角(0<θ≤π)，经过2min到达第三象限，经过14min回到原来的位置，那么θ是多少弧度？[解析]因为0<θ≤π，所以0<2θ≤2π.3π又因为2θ在第三象限，所以π<2θ<.22kπ因为14θ＝2kπ，k∈Z，所以2θ＝，k∈Z.73π8π10π??，π，它们都在分别为、5时，2θk内．当分别取4、??2774π5π因此θ＝rad或θ＝rad.77358．设集合A＝{α|α＝kπ，k∈Z}，B＝{β|β＝kπ，|k|≤10，k∈Z}，求与A∩B的角终边相同的23角的集合．[解析]设α∈A∩B，则α∈A且α∈B，0003535π，απ，所以π＝π，kk＝所以α＝kk 210021232310即k＝k.219 因为|k|≤10，k∈Z，且k∈Z，所以k＝0，±10.1212因此A∩B＝{0，－15π，15π}，故与A∩B的角的终边相同的角的集合为{γ|γ＝2kπ或γ＝(2k＋1)π，k∈Z}＝{γ|γ＝nπ，n∈Z}．9．已知扇形AOB的周长为8cm.2，求圆心角的大小；若这个扇形的面积为(1)3cm(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的弧度数和弦长AB.[解析](1)设扇形的圆心角为θ，扇形所在圆的半径为x(cm)，页 9 第8＝x＋xθ2??2?，＝或依题意有6，解得θ132x·θ3＝??22 弧度或6弧度．即圆心角的大小为3x8－2 θ＝，(2)由于扇形的圆心角xx8－212224.2)＋＝－(x－于是扇形面积S＝x4·＝x－x x2 时，S取到最大值．故当x＝2cm48－4sin1(cm)．AB＝2·2sin1＝弧度此时圆心角θ＝＝2()，弦长24sin1cm. AB为即扇形的面积取得最大值时圆心角为2弧度，弦长备选题目：180cm20转过的弧度数是转，，每分钟按顺时针方向旋转1.某蒸汽机上的飞轮直径为则飞轮每秒钟．．．．．．_________. ；轮周上的一点每秒钟经过的弧长为_________．．．??6?cm60答案：，????0?0cossin?)π?(0,2），的取值范围是（，且，则角2 . 已知πππ3π3),(π)(,π(0,))2π,(））C）（（A）D（（B2222D答案：π?终边相同的角是下列各角中，与角3. 3π24π）A （ B （）33π7π5（D）C）（33C答案：????)20,?[，与角4. 已知终边相同的角是3????425）（A）（（C）D）（B3333 D答案：???0?0cossin?是，且，则角5. 若．第四象限角DC第二象限角．第三象限角B第一象限角A．． B答案：?m AOB MNPQ1，的扇形金属板上，剪出一个平行四边形6 .如图，现要在一块半径为圆心角为3第 10 页A．SSOBOA MNPQYQPNM,AB的最大值为的面积为使点，则在弧上，点在上，点在上，记322m3m A. B.2322mm D. C.36答案：D?????1?tan?(?,)若．，则，且7 .的取值范围是_22??)(,答案：24OOA?22?AOB?B,AAB长度是__ 则劣弧8 ．已知,是圆上两点,弧度____. ,答案：4页 11 第。
必修四任意角的三角函数、弧度制、诱导公式讲义
1.1——1.3 任意角的三角函数、弧度制、诱导公式一、任意角（一）、角的分类：（1）正角：按逆时针方向．．．．．旋转形成的角叫做正角；（2）负角：按顺时针方向．．．．．旋转形成的角叫做负角；（3）零角：如果一条射线没有做任何旋转．．．．．．．，我们称它为零角； 说明：零角的始边和终边重合。
（二）、终边相同的角：所有与角α终边相同的角，和同角α的内，可构成一个集合S ＝{β｜β＝α＋k ×3600，k ∈Z }。
注意：（1）对于集合S ＝{β｜β＝α＋k ×3600，k ∈Z }的理解，注意集合中的角α是任意角；集合中的“k ∈Z ”是一个必不可少的条件；（2）当角的始边相同时，若角相等，则终边一定相同；始边相同，终边相同的角不一．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．定相等；终边相同的角有无数个，它．．．．．．．．．．．．．．．．们相差．．．360．．．0．的整数倍。
．．．．．（3）终边相同的角表示方式不唯一。
对于集合A ＝{β｜β＝300＋k ×3600，k ∈Z }也可表示为A ＝{β｜β＝－3300＋k ×3600，k ∈Z }（三）、象限角与轴线角1、象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
2、轴线角：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．．．．．．．。
（四）、弧度制1、定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做．．．．．．．．．．．．．．．．．1．弧度的角．．．．；用弧度作为单位来度量角的单位制叫作弧度制；在弧度制下，1弧度记作1rad 。
2、度量：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0。
如果半径为r 的圆心角所对的弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是｜α｜＝rl(其中l 是以角α为圆心角时所对的弧长，r 是圆的半径，角α的正负由角α终边的旋转方向决定)。
必修四第一章三角函数-1.1任意角和弧度制
1.1任意角和弧度制学习过程知识点1：正角、负角、零角概念、终边相同的角师：为了区别起见，我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，如图2中的角为正角，它等于300与7500；我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，那么同学们猜猜看，负角怎么规定呢？零角呢？生：按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。
终边相同的角相差3600的整数倍。
例如：7500=2×3600+300；-6900=-2×3600+300。
那么除了这些角之外，与300角终边相同的角还有： 3×3600+300 -3×3600+300 4×3600+300 -4×3600+300 ……， ……， 由此，我们可以用S={β|β=k ×3600+300，k ∈Z}来表示所有与300角终边相同的角的集合。
师：那好，对于任意一个角α，与它终边相同的角的集合应如何表示？生：S={β|β=α+k ×3600，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
知识点2：弧度制弧度制—另一种度量角的单位制 它的单位是rad 读作弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
如图：∠AOB=1rad∠AOC=2rad周角=2πrad 360︒=2πrad ∴180︒=π rad∴ 1︒=rad rad 01745.0180≈π'185730.571801=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrador C 2rad1rad r l=2r o A A B1． 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 2． 角α的弧度数的绝对值 rl=α（l 为弧长，r 为半径） 3． 用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。
学习结论1．正角、负角、零角概念正角：把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角 负角：顺时针方向旋转所形成的角叫负角零角：如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。
高中数学 第1章 三角函数 1.1 任意角、弧度知识导航
1.1 任意角、弧度知识梳理一、角的概念的推广1.定义:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.旋转开始时的射线叫做角α的始边，旋转终止时的射线叫做角α的终边，射线的端点叫做角α的顶点.2.角的分类:正角、零角、负角.3.象限角如果把角放在直角坐标系内来讨论，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合，那么角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角.α是第一象限角时，可表示为{α|2kπ<α<2kπ+2π,k∈Z }； α是第二象限角时，可表示为{α|2kπ+2π<α<2kπ+π,k∈Z }； α是第三象限角时，可表示为{α|2kπ+π<α<2kπ+23π,k∈Z }； α是第四象限角时，可表示为{α|2kπ+23π<α<2kπ+2π,k∈Z }. 4.轴线角(象限界角)当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合，如果角的终边落在坐标轴上，就称该角为轴线角，也叫象限界角.终边落在x 轴正半轴上的角的集合可记作:{α|α=2kπ,k∈Z }；终边落在x 轴负半轴上的角的集合可记作:{α|α=2kπ+π,k∈Z }；终边落在y 轴正半轴上的角的集合可记作:{α|α=2kπ+2π,k∈Z }； 终边落在y 轴负半轴上的角的集合可记作:{α|α=2kπ+23π,k∈Z }； 终边落在坐标轴上的角可表示为{α|α=2πk ,k∈Z }. 5.终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+2kπ,k∈Z }.二、弧度制1.角度制:规定周角的3601为1度的角，这种计量角的度量方法称为角度制. 2.弧度的定义:规定圆弧上弧长等于半径的弧所对的圆心角为1弧度的角，即3601周角=1°，π21周角=1弧度. 3.弧度与角度的换算360°=2π rad，180°=π rad， 1°=180πrad≈0.017 45 rad，1 rad=(π180)°≈57.30°=57°18′. 4.弧长公式:l=|α|·r(其中r 为扇形的半径，α为扇形圆心角的弧度数).5.扇形的面积公式:S 扇形=21l·r=21|α|r 2(其中r 为扇形的半径，α为扇形圆心角的弧度数). 知识导学要理解任意角概念，可创设情境“转体720°，逆(顺)时针旋转”，从而知晓角有大于360°角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、象限界角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；再通过创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式，以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器.疑难突破1.弧度制与角度制相比，具有哪些优点？剖析:(1)用角度制来度量角时，人们总是十进制、六十进制并用的.例如α=66°32′2″，其中66、32、2都是十进数，而度、分、秒之间的关系是六十进(退)位的.于是，为了找出与角对应的实数(我们学的实数都是十进制)，需要经过一番计算，这就太不方便了.但在用弧度表示角时，只用十进制，所以容易找到与角对应的实数.(2)弧度制下的弧长公式l=|α|r、扇形面积公式S=21|α|r 2，与角度制下的弧长公式l=180r n π、扇形面积公式S=3602r n π比较，不但具有更简洁的形式，而且在计算弧长和扇形面积时，也更为方便.2.为何说三角函数看成是以实数为自变量的函数时，角的集合与实数集R 是一一对应关系？ 剖析:在用弧度制或角度制度量角的前提下，角的集合与实数集R 建立了一种一一对应关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的角度数或弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(角的角度数或弧度数等于这个实数)与它对应.于是，有了角的集合与实数集R 的一一对应关系，就可以把三角函数看成是以实数为自变量的函数.要注意角度制是60进位制,类似22°30′这样的角,应该把它化为十进制22.5°，它与实数22.5对应，但弧度制不存在这个问题 ，因为弧度制是十进制的实数.。
高二数学必修4知识点：任意角和弧度制
高二数学必修 4 知识点：随意角和弧度制在中国古代把数学叫算术，又称算学，最后才改为数学。
小编准备了高二数学必修 4 知识点，希望你喜爱。
1.随意角(1)角的分类：①按旋转方向不一样分为正角、负角、零角.②按终边地点不一样分为象限角和轴线角.(2)终边同样的角：终边与角同样的角可写成+k360(kZ).(3)弧度制：① 1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角 .②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，||=， l 是以角作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径 .③用弧度做单位来胸怀角的制度叫做弧度制.比值与所取的r 的大小没关，仅与角的大小相关.④弧度与角度的换算：360 弧度 ;180 弧度 .⑤弧长公式： l=||r ，扇形面积公式：S 扇形 =lr=||r2.2.随意角的三角函数(1)随意角的三角函数定义：设是一个随意角，角的终边与单位圆交于点P(x， y) ，那么角的正弦、余弦、正切分别是：sin =y ，cos =x，tan =，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数 .(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦 .3.三角函数线察看内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与少儿生活靠近的，能理解的察看内容。
随机察看也是不行少的，是相当风趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边察看，一边发问，兴趣很浓。
我供给的察看对象，注意形象传神，色彩鲜亮，大小适中，指引少儿多角度多层面地进行察看，保证每个少儿看获得，看得清。
看得清才能说得正确。
在察看过程中指导。
我注意帮助少儿学习正确的察看方法，即按次序察看和抓住事物的不一样特点重点察看，察看与说话相联合，在察看中累积词汇，理解词汇，如一次我抓住机遇，指引少儿察看雷雨，雷雨前天空急巨变化，乌云密布，我问少儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像海洋的波涛。
(完整word版)人教高中数学必修四第一章三角函数知识点归纳
三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角(1)角的看法的实行①按旋转方向不相同分为正角、负角、零角．正角 : 按逆时针方向旋转形成的角任意角负角: 按顺时针方向旋转形成的角零角 : 不作任何旋转形成的角②按终边地址不相同分为象限角和轴线角．角的极点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，那么称为第几象限角．第一象限角的会集为k360k 36090 , k第二象限角的会集为k36090k 360180 , k第三象限角的会集为k360180k360270 , k第四象限角的会集为k360270k 360360 , k终边在 x 轴上的角的会集为k180 , k终边在 y 轴上的角的会集为k180 90 , k终边在坐标轴上的角的会集为k 90 ,k(2)终边与角α相同的角可写成α＋ k·360 °(k∈Z )．终边与角相同的角的会集为k 360, k(3)弧度制① 1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角．②弧度与角度的换算：360°＝ 2π弧度； 180°＝π弧度．③半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为 l ，那么角的弧度数的绝对值是l r④ 假设扇形的圆心角为为弧度制，半径为 r ，弧长为l，周长为C，面积为S，那么l r ，C2r l ，S1lr1r 2．222．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x， y)，它与原点的距离为r r x2y2，那么角α的正弦、余弦、正切分别是： sin α＝yr， cos α＝xr， tan α＝yx．〔三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦〕3．特别角的三角函数值1角度030456090120135150180270360函数角 a 的弧度0π /6π/4π /3π /22π /33π /45π/6π3π /22πsina01/2√ 2/2√ 3/21√ 3/2√ 2/21/20-10 cosa1√ 3/2√ 2/21/20-1/2-√ 2/2-√ 3/2-101tana0√ 3/31√ 3-√ 3-1-√ 3/300二、同角三角函数的根本关系与引诱公式A.基础梳理1．同角三角函数的根本关系(1)平方关系： sin2α＋ cos2α＝ 1；〔在利用同角三角函数的平方关系时，假设开方，要特别注意判断符号〕sin α(2)商数关系：＝tanα.〔3〕倒数关系：tan cot 1cos α2．引诱公式公式一： sin( α＋ 2kπ)＝sin α， cos(α＋ 2kπ)＝cos_α，tan(2k ) tan其中 k∈Z .公式二： sin( π＋α)＝－ sin_α， cos( π＋α)＝－ cos_α， tan(π＋α)＝ tan α.公式三： sin( π－α)＝ sin α， cos( π－α)＝－ cos_α，tan tan．公式四： sin( －α)＝－ sin_α， cos(－α)＝ cos_α，tan tan .ππ公式五： sin －α＝ cos_α， cos－α＝ sin α.22ππ公式六： sin 2＋α＝ cos_α， cos2＋α＝－ sin_α.π口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π引诱公式可概括为 k· ±α的各三角函数值的化简公式．的奇数22倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．假设是奇数倍，那么函数名称要变( 正弦变余弦，余弦变正弦) ；假设是偶数倍，那么函数名称不变，符号看象限是指：把πα看作锐角时，依照 k· ±α在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后作为结．．．．2．．．果符号．B. 方法与要点一个口诀1、引诱公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：sin α(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．cos α(2)和积变换法：利用 (sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转变．〔 sin cos、sin cos、sin cos三个式子知一可求二〕2(3)巧用 “1〞的变换： 1＝ sin 2θ＋ cos 2θ= sinπ ＝tan24〔 〕齐次式化切法： tank ，那么 asinbcosa tanb ak b4m sinn cosm tannmkn三、三角函数的图像与性质学习目标：1 会求三角函数的定义域、值域2 会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法〔如y sin x 与 y cosx 的周期是〕。
高中数学5.1任意角和弧度制
高中数学5.1 任意角和弧度制一、概述高中数学中，三角函数是一个重要内容。
而在学习三角函数之前，我们需要先了解一些基本概念，比如任意角和弧度制。
本文将围绕着这两个概念展开讲解，帮助读者更好地理解和掌握这些内容。
二、任意角的概念1. 任意角是指不限制在0°到360°之间的角。
在平面直角坐标系中，任意角可以被表示为一个终边落在坐标轴上的角。
这意味着任意角可以包括整个360°的范围。
2. 我们通常用θ来表示任意角，其实任意角可以被表示为θ＝360k ＋α，其中k是整数，α是小于360°的正角，它是唯一的。
三、弧度制的概念1. 弧度制是另一种角度的度量方式，它是以圆的半径长为单位进行度量的。
一个圆的全周长为2πr，所以一个圆的一周等于2π弧度。
2. 我们知道360°等于2π弧度，所以1°等于π/180弧度。
角度和弧度之间可以通过π进行转换。
3. 弧度制适合用于求解圆的性质问题，因为它更直接地与圆的半径有关，可以简化很多计算，并且更具有普适性。
四、任意角与弧度的转换1. 已知一个角的度数，求其对应的弧度。
我们可以根据1°等于π/180弧度的关系，进行计算转换。
30°对应的弧度是30°×π/180=π/6弧度。
2. 已知一个角的弧度，求其对应的度数。
同样可以根据π弧度等于180°进行转换计算。
π/3弧度对应的度数是π/3÷π×180°=60°。
五、扩展知识1. 在解决某些三角函数的问题时，可能会遇到弧度制和角度制混用的情况。
在这种情况下，我们需要先将角度统一转换为弧度，然后再进行计算。
2. 在高等数学中，弧度制被广泛应用于导数、积分和微分等计算中。
了解弧度制可以为后续高等数学的学习奠定坚实基础。
六、总结任意角和弧度制是高中数学中一个基础而重要的知识点，它为后续学习三角函数和高等数学打下了基础。