2019年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷

2019年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若i是虚数单位，则复数的实部与虚部之积为（）A．B．C．D．2．（5分）设集合A={x|x＞1}，B={x|2x＞1}，则（）A．A∩B={x|x＞0}B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞0}D．A∩B=∅3．（5分）命题“若xy=0，则x=0”的逆否命题是（）A．若xy=0，则x≠0 B．若xy≠0，则x≠0 C．若xy≠0，则y≠0 D．若x ≠0，则xy≠04．（5分）已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x 的值为（）A．﹣3 B．﹣3或9 C．3或﹣9 D．﹣9或﹣35．（5分）刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意的精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（）A．B．C． D．6．（5分）如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． B． C．D．7．（5分）设x、y满足约束条件，则的最大值是（）A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．98．（5分）若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有一个人站在自己原来的位置，则共有（）种不同的站法．A．4 B．8 C．12 D．249．（5分）函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x在的单调递增区间是（）A．B．C．D．10．（5分）已知双曲线的一条渐近线与圆（x﹣4）2+y2=4相切，则该双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．11．（5分）在各项都为正数的等比数列{a n}中，若a1=2，且a1•a5=64，则数列的前n项和是（）A．B． C．D．12．（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（2﹣x），当x ∈[﹣2，0]时，，若在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞0且a≠1）有且只有4个不同的根，则实数a的取值范围是（）A． B．（1，4） C．（1，8） D．（8，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上. 13．（5分）已知随机变量ξ～N（1，σ2），若P（ξ＞3）=0.2，则P（ξ≥﹣1）=．14．（5分）在推导等差数列前n项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可求得sin21°+sin22°+…+sin289°=．15．（5分）已知正三角形△AOB（O为坐标原点）的顶点A、B在抛物线y2=3x 上，则△AOB的边长是．16．（5分）已知△ABC是直角边为2的等腰直角三角形，且A为直角顶点，P 为平面ABC内一点，则的最小值是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在△ABC中，已知内角A，B，C对边分别是a，b，c，且2ccosB=2a+b．（Ⅰ）求∠C；（Ⅱ）若a+b=6，△ABC的面积为，求c．18．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD 是正方形，且PA=PD，∠APD=90°．（Ⅰ）证明：平面PAB⊥平面PCD；（Ⅱ）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．19．（12分）高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了55人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题．中国高中生答题情况是：选择家的占、朋友聚集的地方占、个人空间占．美国高中生答题情况是：家占、朋友聚集的地方占、个人空间占．为了考察高中生的“恋家（在家里感到最幸福）”是否与国别有关，构建了如下2×2列联表．在家里最幸福在其它场所幸福合计中国高中生美国高中生合计（Ⅰ）请将2×2列联表补充完整；试判断能否有95%的把握认为“恋家”与否与国别有关；（Ⅱ）从中国高中生的学生中以“是否恋家”为标准采用分层抽样的方法，随机抽取了5人，再从这5人中随机抽取2人．若所选2名学生中的“恋家”人数为X，求随机变量X的分布列及期望．附：，其中n=a+b+c+d．P（k2≥k0）0.0500.0250.0100.001 k0 3.841 5.024 6.63510.82820．（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足．（Ⅰ）求点P的轨迹方程E；（Ⅱ）过F（1，0）的直线l1与点P的轨迹交于A、B两点，过F（1，0）作与l1垂直的直线l2与点P的轨迹交于C、D两点，求证：为定值．21．（12分）已知f（x）=e x﹣ax2﹣2x，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）图象恒过的定点坐标；（Ⅱ）若f'（x）≥﹣ax﹣1恒成立，求a的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）成立的条件下，证明：f（x）存在唯一的极小值点x0，且．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）设过原点O的直线与圆（x﹣4）2+y2=16的一个交点为P，M点为线段OP的中点，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求点M的轨迹C的极坐标方程；（Ⅱ）设点A的极坐标为，点B在曲线C上，求△OAB面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|﹣|x﹣b|．（Ⅰ）当a=1，b=1时，解关于x的不等式f（x）＞1；（Ⅱ）若函数f（x）的最大值为2，求证：．2019年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若i是虚数单位，则复数的实部与虚部之积为（）A．B．C．D．【解答】解：∵=，∴复数的实部为，虚部为，∴复数的实部与虚部之积为．故选：B．2．（5分）设集合A={x|x＞1}，B={x|2x＞1}，则（）A．A∩B={x|x＞0}B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞0}D．A∩B=∅【解答】解：集合A={x|x＞1}，B={x|2x＞1}={x|x＞0}，则A∩B={x|x＞1}；A∪B={x|x＞0}．故选C．3．（5分）命题“若xy=0，则x=0”的逆否命题是（）A．若xy=0，则x≠0 B．若xy≠0，则x≠0 C．若xy≠0，则y≠0 D．若x ≠0，则xy≠0【解答】解：命题若p则q的逆否命题为：若￢q，则￢p，即命题的逆否命题为：若x≠0，则xy≠0，故选：D4．（5分）已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x 的值为（）A．﹣3 B．﹣3或9 C．3或﹣9 D．﹣9或﹣3【解答】解：输出才结果为零，有y=0由程序框图可知，当：y=（）x﹣8=0时，解得选x=﹣3；当y=2﹣log3x=0，解得x=9．综上，有x=﹣3，或者9．故选：B．5．（5分）刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意的精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（）A．B．C． D．【解答】解：如图所示，设圆的半径为R，则圆的面积为πR2，圆内接正六边形的边长为R，面积为6××R2×sin=；则所求的概率为P==．故选：B．6．（5分）如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． B． C．D．【解答】解：由几何体的三视图得该几何体是一个底面半径r=2，高为2的圆锥的一半，如图，∴该几何体的体积为：V==．故选：A．7．（5分）设x、y满足约束条件，则的最大值是（）A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9【解答】解：作出x、y满足约束条件对应的平面区域，由，得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，得A（0，1），此时z的最大值为z=+1=1，故选：A．8．（5分）若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有一个人站在自己原来的位置，则共有（）种不同的站法．A．4 B．8 C．12 D．24【解答】解：根据题意，分2步分析：①，先从4个人里选1人，其位置不变，其他三人的都不在自己原来的位置，有C41=4种选法，②，对于剩余的三人，因为每个人都不能站在原来的位置上，因此第一个人有两种站法，被站了自己位置的那个人只能站在第三个人的位置上，因此三个人调换有2种调换方法．故不同的调换方法有4×2=8，故选：B．9．（5分）函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x在的单调递增区间是（）A．B．C．D．【解答】解：函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=+sin2x+3•=2+sin2x+cos2x=2+sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤π+，故函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．结合，可得增区间为（0，]，故选：C．10．（5分）已知双曲线的一条渐近线与圆（x﹣4）2+y2=4相切，则该双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．【解答】解：双曲线的一条渐近线y=与圆（x﹣4）2+y2=4相切，可得：=2，可得：2b=c，即4b2=c2，所以4c2﹣4a2=c2，解得e==．故选：B．11．（5分）在各项都为正数的等比数列{a n}中，若a1=2，且a1•a5=64，则数列的前n项和是（）A．B． C．D．【解答】解：在各项都为正数的公比设为q的等比数列{a n}中，若a1=2，且a1•a5=64，则4q4=64，解得q=2，则a n=2n，可得数列，即为{}，可得=﹣，数列的前n项和是﹣+﹣+…+﹣=1﹣，故选：A．12．（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（2﹣x），当x ∈[﹣2，0]时，，若在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞0且a≠1）有且只有4个不同的根，则实数a的取值范围是（）A． B．（1，4） C．（1，8） D．（8，+∞）【解答】解：∵对于任意的x∈R，都有f（x﹣2）=f（2+x），∴f（x+4）=f[2+（x+2）]=f[（x+2）﹣2]=f（x），∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4．又∵当x∈[﹣2，0]时，，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，若在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0恰有4个不同的实数解，则函数y=f（x）与y=log a（x+2）（a＞1）在区间（﹣2，6）上有四个不同的交点，如下图所示：又f（﹣2）=f（2）=f（6）=1，则对于函数y=log a（x+2），由题意可得，当x=6时的函数值小于1，即log a8＜1，由此解得：a＞8，∴a的范围是（8，+∞）故选D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上. 13．（5分）已知随机变量ξ～N（1，σ2），若P（ξ＞3）=0.2，则P（ξ≥﹣1）= 0.8．【解答】解：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴曲线关于x=1对称，∵P（ξ＞3）=0.2，∴P（ξ≤﹣1）=P（ξ＞3），∴P（ξ≥﹣1）=1﹣P（ξ＞3）=1﹣0.2=0.8．故答案为：0.814．（5分）在推导等差数列前n项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可求得sin21°+sin22°+…+sin289°=44.5．【解答】解：设S=sin21°+sin22°+…+sin289°，则S=sin289°+sin288°+…+sin21°，两式倒序相加，得：2S=（sin21°+sin289°）+（sin22°+sin288°）+…+（sin289°+sin21°）=（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin289°+coss289°）=89，∞S=44.5．故答案为：44.5．15．（5分）已知正三角形△AOB（O为坐标原点）的顶点A、B在抛物线y2=3x 上，则△AOB的边长是6．【解答】解：由抛物线的对称性可得∠AOx=30°，∴直线OA的方程为y=x，联立，解得A（9，3）．∴|AO|==6．故答案为：．16．（5分）已知△ABC是直角边为2的等腰直角三角形，且A为直角顶点，P 为平面ABC内一点，则的最小值是﹣1．【解答】解：以BC为x轴，以BC边上的高为y轴建立坐标系，△ABC是直角边为2的等腰直角三角形，且A为直角顶点，斜边BC=2，则A（0，），B（﹣，0），C（，0），设P（x，y），则+=2=（﹣2x，﹣2y），=（﹣x，﹣y），∴=2x2+2y2﹣2y=2x2+2（y﹣）2﹣1，∴当x=0，y=时，则取得最小值﹣1．故答案为：﹣1．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在△ABC中，已知内角A，B，C对边分别是a，b，c，且2ccosB=2a+b．（Ⅰ）求∠C；（Ⅱ）若a+b=6，△ABC的面积为，求c．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得2sinCcosB=2sinA+sinB，又sinA=sin（B+C），∴2sinCcosB=2sin（B+C）+sinB，∴2sinCcosB=2sinBcosC+2cosBsinC+sinB，∴2sinBcosC+sinB=0，（sinB＞0）∴，又C∈（0，π）∴；（Ⅱ）由面积公式可得，即ab=2，∴ab=8，c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+ab+b2=（a+b）2﹣ab=36﹣8=28，∴．18．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD 是正方形，且PA=PD，∠APD=90°．（Ⅰ）证明：平面PAB⊥平面PCD；（Ⅱ）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵底面ABCD为正方形，∴CD⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，∴CD⊥平面PAD．又∵AP⊂平面PAD，∴CD⊥AP．∵PD⊥AP，CD∩PD=D，∴AP⊥平面PCD．∵AP⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD；（Ⅱ）解：取AD的中点为O，BC的中点为Q，连接PO，OQ，可得PO⊥底面ABCD，OQ⊥AD，以O为原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，不妨设正方形的边长为2，可得A（1，0，0），B（1，2，0），C（﹣1，2，0），P（0，0，1），设平面APB的一个法向量为，而，，则，即，取x1=1，得；设平面BCP的一个法向量为，而，，则，即，取y2=1，得，∴=，由图知所求二面角为钝角，故二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．19．（12分）高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了55人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题．中国高中生答题情况是：选择家的占、朋友聚集的地方占、个人空间占．美国高中生答题情况是：家占、朋友聚集的地方占、个人空间占．为了考察高中生的“恋家（在家里感到最幸福）”是否与国别有关，构建了如下2×2列联表．在家里最幸福在其它场所幸福合计中国高中生美国高中生合计（Ⅰ）请将2×2列联表补充完整；试判断能否有95%的把握认为“恋家”与否与国别有关；（Ⅱ）从中国高中生的学生中以“是否恋家”为标准采用分层抽样的方法，随机抽取了5人，再从这5人中随机抽取2人．若所选2名学生中的“恋家”人数为X，求随机变量X的分布列及期望．附：，其中n=a+b+c+d．P（k2≥k0）0.0500.0250.0100.001 k0 3.841 5.024 6.63510.828【解答】解：（Ⅰ）根据题意，填写列联表如下；在家其他合计中国223355美国93645合计3169100根据表中数据，计算=，∴有95%的把握认为“恋家”与否与国别有关；（Ⅱ）依题意得，5个人中2人来自于“在家中”是幸福，3人来自于“在其他场所”是幸福，∴X的可能取值为0，1，2；计算，，；∴X的分布列为：X013P数学期望为：．20．（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足．（Ⅰ）求点P的轨迹方程E；（Ⅱ）过F（1，0）的直线l1与点P的轨迹交于A、B两点，过F（1，0）作与l1垂直的直线l2与点P的轨迹交于C、D两点，求证：为定值．【解答】（Ⅰ）解：设P（x，y），则N（x，0），，又∵，∴，由M在椭圆上，得，即；（Ⅱ）证明：当l1与x轴重合时，|AB|=6，，∴．当l1与x轴垂直时，，|CD|=6，∴．当l1与x轴不垂直也不重合时，可设l1的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），此时设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），把直线l1与曲线E联立，得（8+9k2）x2﹣18k2x+9k2﹣72=0，可得△=（﹣18k2）2﹣4（8+9k2）（9k2﹣72）＞0．，．∴，把直线l2与曲线E联立，同理可得．∴为定值．21．（12分）已知f（x）=e x﹣ax2﹣2x，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）图象恒过的定点坐标；（Ⅱ）若f'（x）≥﹣ax﹣1恒成立，求a的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）成立的条件下，证明：f（x）存在唯一的极小值点x0，且．【解答】解：（Ⅰ）∵要使参数a对函数值不发生影响，∴必须保证x=0，此时f（0）=e0﹣a×02﹣2×0=1，所以函数的图象恒过点（0，1）．（Ⅱ）依题意得：e x﹣2ax﹣2≥﹣ax﹣1恒成立，∴e x≥ax+1恒成立．构造函数g（x）=e x﹣ax﹣1，则g（x）=e x﹣ax﹣1恒过（0，0），g'（x）=e x﹣a，①若a≤0时，g'（x）＞0，∴g（x）在R上递增，∴e x≥ax+1不能恒成立．②若a＞0时，g'（x）=0，∴x=lna．∵x∈（﹣∞，lna）时，g'（x）＜0，函数g（x）=e x﹣ax﹣1单调递减；x∈（lna，+∞）时，g'（x）＞0，函数g（x）=e x﹣ax﹣1单调递增，∴g（x）在x=lna时为极小值点，g（lna）=a﹣alna﹣1，∴要使e x﹣2ax﹣2≥﹣ax﹣1恒成立，只需a﹣alna﹣1≥0．设h（a）=a﹣alna﹣1，则函数h（a）恒过（1，0），h'（a）=1﹣lna﹣1=﹣lna，a∈（0，1），h'（a）＞0，函数h（a）单调递增；a∈（1，+∞），h'（a）＜0，函数h（a）单调递减，∴h（a）在a=1取得极大值0，∴要使函数h（a）≥0成立，只有在a=1时成立．证明（Ⅲ）f'（x）=e x﹣2x﹣2，设m（x）=e x﹣2x﹣2，∴m'（x）=e x﹣2，令m'（x）＞0，x＞ln2∴m（x）在（﹣∞，ln2）单调递减，在（ln2，+∞）单调递增，m（ln2）=﹣2ln2＜0，∴f'（x）=m（x）=e x﹣2x﹣2在x=ln2处取得极小值，可得f'（x）一定有2个零点，分别为f（x）的一个极大值点和一个极小值点，设x0为函数f（x）的极小值点，则x0∈（0，2），∴f'（x0）=0，，=∵m（2）=e2﹣2×2﹣2=e2﹣6＞0，，∴在区间上存在一个极值点，∴最小极值点在内．∵函数f（x）的极小值点的横坐标，∴函数f（x）的极小值，∴（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）设过原点O的直线与圆（x﹣4）2+y2=16的一个交点为P，M点为线段OP的中点，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求点M的轨迹C的极坐标方程；（Ⅱ）设点A的极坐标为，点B在曲线C上，求△OAB面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设M（ρ，θ），则P（2ρ，θ）又点P的轨迹的极坐标方程为ρ=8cosθ∴2ρ=8cosθ，化简，得点M的轨迹C的极坐标方程为：ρ=4cosθ，，k∈Z．（Ⅱ）直线OA的直角坐标方程为点（2，0）到直线的距离为：，∴△OAB面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|﹣|x﹣b|．（Ⅰ）当a=1，b=1时，解关于x的不等式f（x）＞1；（Ⅱ）若函数f（x）的最大值为2，求证：．【解答】解：（Ⅰ）当a=1，b=1时，．不等式f（x）＞1为|x+1|﹣|x﹣1|＞1．①当x≥1时，因为不等式为x+1﹣x+1=2＞1，所以不等式成立，此时符合；符合要求的不等式的解集为{x|x≥1}；②当﹣1≤x＜1时，因为不等式为x+1+x﹣1=2x＞1，所以，此时，符合不等式的解集为；③当x≥1时，因为不等式为﹣x﹣1+x﹣1=﹣2＞1不成立，解集为空集；综上所述，不等式f（x）＞1的解集为．（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得||x+a|﹣|x﹣b||≤|a+b|，a＞0，b＞0∴a+b=2．∴，当且仅当a=b=1时，等号成立．另解：（Ⅱ）因为a＞0，b＞0，所以﹣a＜0＜b，所以函数f（x）=|x+a|﹣|x﹣b|=|x﹣（﹣a）|﹣|x﹣b|=，所以函数f（x）的图象是左右两条平行于x轴的射线和中间连结成的线段，所以函数的最大值等于a+b，所以a+b=2．∵a+b=2，∴．或者=，当且仅当a=2﹣a，即a=1时，“等号”成立．。