晶体的微观对称性
国科大材料化学复习资料
第二章晶体学终极重点：1、晶体特征，晶体与非晶体区别 2、晶向与晶面指数确定步骤1.晶体的性能特征：均一性，各向异性，自限性，对称性，最小内能性；2.对称操作与对称要素：对称轴，对称面，对称中心，倒转轴；3.晶向指数与晶面指数：确定步骤；4.球体的堆积：六方，面心立方，体心立方5.鲍林规则；6.各种典型晶体构型；7.硅酸盐晶体结构与实例：岛状，链状，层状，架状；8.同质多晶现象：可逆转变，不可逆转变，重建型转变，位移型转变。
1.晶体的性能特征：均一性，各向异性，自限性，对称性，最小内能性(1)晶体的基本特征晶体的性能特征结晶均一性：在晶体内部任意部位上具有相同的性质；各向异性：在晶体不同方向上表现出的性质差异；自限性：能够自发形成封闭的凸几何多面体外形的特性；对称性：晶体中的相同部分（晶面，晶棱，等等）以及晶体的性质能够在不同方向或位置上有规律地重复；最小内能性：在相同的热力学条件下，晶体与同组成的气体、液体及非晶态固体相比具有最小内能，即最为稳定。
(2)对称操作与对称要素：对称操作：使晶体的点阵结构和性质经过一定程序后能够完全复原的几何操作；对称要素：实施对称操作所依赖的几何要素（点，线，面等）；1.旋转操作与对称轴：一个晶体如能沿着某一轴线旋转360 / n（n = 1, 2, 3, 4, 6）后使晶体位置完全回复原状，则该晶体具有n 重对称轴；2.反映操作和对称面：一个晶体中如果存在某一个平面，使平面两边进行反映操作，而令晶体复原，则这个平面称为对称面；3.反演操作和对称中心：一个晶体中央在某一个几何点，使晶体外形所有晶面上各点通过该几何点延伸到相反方向相等距离时，能够使晶体复原的操作。
该几何点称为对称中心。
4.旋转反演操作和对称反轴：旋转之后进行反演使晶体复原的操作；只有4¯是新的独立对称要素。
(3)晶向指数与晶面指数：确定步骤晶向指数：以晶胞的某一阵点O为原点，过原点O的晶轴为坐标轴x，y，z，以晶胞点阵矢量的长度作为坐标轴的长度单位；过原点O作一直线OP，使其平行于待定晶向；在直线OP上选取距原点O最近的一个阵点P，确定P点的3个坐标值；将这3个坐标值化为最小整数u，v，w，加以方括号，[ u v w ]即为待定晶向的晶向指数。
1-3 晶体对称性
2
1 2 3 4 6 2 2 6 4 6
示
平行 斜插纸 纸面 面
二、宏观对称性的组合关系
1. 如果晶体中有两个或两个以上的镜面相交，则每两 个镜面的交线必定是一个对称轴，而对称轴的转角比 定时镜面夹角的二倍。
镜面夹角 180° 90° 60° 45° 30°
旋转轴转 角
360°
180°
120°
90°
Th
Td
O
Oh
晶类（点群）符号 国际符号（全） 国际符号（缩）
1 I（1）
1 I（1）
m
m
2
2
2/m
2/m
3
3
3
3
3m
3m
32
32
32/m
3m
2mm
mm
222
222
2/m2/m2/m
mmm
23
23
2/m3
m3
43m
43m
432
43
4/m32/m
m3m
全对称要素组合
I m(2)
2 2mI
3 3(3I) 33m 332 3323m(3323mI) 23m
三、平移群、布拉菲点阵 例：四方晶系
C→P
F→I
4
晶系 三斜 单斜
菱形
正交
立方
最低对称要素 无
一根二次旋转轴2 或旋转－反演轴2
一根三次旋转轴3 或旋转－反演轴3
三根相互垂直的旋 转轴32或旋转－反 演轴32
四根三次旋转轴43
熊夫列斯符号
C1 Ci（S2） Cs（C1h）
C2 C2h C3 C3i（S6） C3V D3 D3d C2V D2（V） D2h（Vh） T
晶体的对称性与晶系
晶体的对称性与晶系自然界不论是宏观物体还是微观粒子，普遍存在着对称性。
晶莹的雪花、美丽的花朵、艳丽的蝴蝶都具有对称性，人体也具有对称性。
地下的矿物，如水晶、钻石、闪锌矿……也都具有对称性。
微观粒子如水分子、苯分子以及所有分子都具有对称性。
对称性显示出物体的匀称和完美，为人们所喜爱和追求，因而设计师设计的宏伟建筑如天安门、人民大会堂、长江大桥……都呈现出对称性。
本文主要介绍晶体的宏观对称性，包括旋转轴、对称面和对称中心等，以及晶体宏观对称性与晶系的关系。
晶体的宏观对称性晶体宏观对称性有旋转轴（也称对称轴）、对称面（也称镜面）和对称中心，分别介绍如下。
旋转轴 旋转轴是对称元素，绕旋转轴可做旋转操作。
n 次旋转轴记为n ，απ2=n ，α称为基转角。
例如NaCl 晶体的外形是立方体，立方体对应面中心联线方向有4次旋转轴，绕此轴每旋转90°后，晶体形状不变；立方体对角线联线方向有3次旋转轴，绕此轴每旋转120°后，晶体形状不变；立方体对应棱边中心联线方向有2次旋转轴，绕此轴每旋转180°，晶体形状不变。
图6－4示出这3种旋转轴。
可以证明在晶体宏观外形中存在的旋转轴有1，2，3，4和6次旋转轴5种，不存在5次轴和大于6次的旋转轴。
对称面 对称面是对称元素，对称面也称镜面，常用m 表示。
凭借对称面可以做反映操作，如同物体与镜子中的像是反映关系。
人的双手手心相对，平行放置，左右手就互为镜象。
许多晶体中存在对称面，NaCl 晶体有9个对称面。
对称中心 对称中心也是对称元素，常用i 表示。
通过对称中心可以做倒反操作。
例如人的双手手心相对，逆平行放置，此时左右手构成倒反关系。
NaCl 晶胞中，在体心位置存在对称中心。
因此晶胞中任意一个原子与对称中心相连，在反方向等距离处必存在同样的原子。
晶体有无对称中心对晶体的性质有较大的影响。
凭借上述三种对称元素所做的对称操作都是简单操作，如果连续做两个简单操作就成为复合操作。
23晶体的对称性和分类
操作前后晶体保持自身重合的操作,称为对称 操作.
晶体借以进行对称操作的轴、平面或点.称为对 称元素（简称对称素）.
6)表示纯转动对称操作(或转动轴)；i表示中心反演
（或对称中心）；m表示镜面反映（或对称镜面）。
这种表示方法属于国际符号(International
notation)标记法，是海尔曼(Hermann)和毛衮
(Mauguin)制订的，在晶体结构分析中经常使用。
还有一套标记法，是固体物理中惯用的标记， 是熊夫利(Schoenflies)制订的，因此称为熊夫利 符号(Schoenflies notation). 熊夫利符号中Cn 表 示旋转轴；Sn 表示旋转反演轴；Ci 表示中心反 演；Cs 表示镜面反映。
x x
y
y
cos
z
sin
z
y
sin
z
cos
x 1 0 0 x
y0 cos siny z 0 sin cos z
所以，绕x轴旋转的变换矩阵为：
1 0
0
Ax
0
cos
sin
0 sin cos
同理可得绕y轴和绕z轴的变换矩阵
cos 0 sin
Ay
0
1
0
sin 0 cos
cos sin 0
晶体中允许的转动对称轴只能是1、2、3、4和6次轴， 称为晶体的对称性定律
晶体的对称性定律的证明 B
A
如图,A为格点,B为离A最近的 格点之一,则与 平A 行B 的格点
003_宏观对称性和微观对称性
结晶化学第一章几何晶体学二、晶体的宏观对称和微观对称对称是我们常见的一种现象，比如在自然界中的花瓣，昆虫下面给出几个对称性的基本概念。
同图形，它包括能完全迭合的相等图形（或称全等图形）（例如花瓣）和互成镜象的等同而不相等的图形（例如左右手）。
对称图形：由二个或二个以上等同图形构成，并且很有规律地重复。
换句话说， 对称图形中的等同部分通过一定的动作后与原图形重合对称动作：对称图形中的等同部分通过一定的动作后与原图形重合；这样将对称图形某一部分中的任意点带到一个等同部分中的相应点上去使新图形与原图形重合的动作叫做对称动作。
对称动作有旋转、反映、倒反、平移等。
对称性：物体中各等同部分在空间排列的特殊规律性叫做对称性。
对称图形中所包括的等同部分的数目称为对称性的阶次（或称序级）．阶次的大小代表 对称程度的高低。
对称要素：进行对称动作时所依据的几何要素（点、线、面）称为对称要素。
对称要素有下面几类：（1）旋转轴；（2）反映面；（3）对称中心；（4）反轴（5）点阵；（6）螺旋轴；（7）滑移面（1）旋转轴与旋转轴相应的对称动作是旋转；进行旋转动作时有一直线不动，将对称图形（或晶体）围绕旋转轴旋转某些角度后能使原图形重合，设n 为旋转轴的轴次，即转一周重复的次数，α为基转角，即能使图形复原的最小旋转角度，则这里的n 实际上就是与该旋转轴相应的对称性的阶次。
例如八面体中具有四次旋转轴、三次旋转轴、二次旋转轴等，符号为4，3，2等。
旋转只能使完全相等的图形（例如都是左手）彼此重合，不可能使左右手重合。
对称性定律：在晶体中只能出现1、2、3、4、6次轴，不可能出现5次和更高次的对称轴。
（在这里请注意点阵的无限性）对称性定律证明如下：如下左图，A 和A’是相距为单位平移矢量t 的两个阵点，过A 和A’的两个旋转轴进行旋转角度为α的操作，得到新的阵点B 和B’,阵点间的距离应是单位平移矢量t 的整数倍m ，即t’=mt ，t’=-2tcos α +t, 得到 cos α=(1-m)/2解出cos α =-1，-1/2，0，1/2，1α=π，2π/3，π/2，π/3，2π（或0）注意：单个原子团（或分子）本身不是晶体，所以其对称性并不受上述对称轴次的限制。
晶体的对称性理论
7
2、反映面——反映 对称要素：反映面，符号：m 对称动作：反映， 符号：M 阶次：2 一个面不动，反映能使左右手重合，一次反映不 能使相等的图形重合 特点：两个等同图形中相应点连线⊥反映面
30
问题：八种宏观对称要素之间究竟存在着多少种组 合方式？即晶体的宏观对称类型有多少种呢？ 组合要符合如下条件： (1)对称要素间是相互作用的，两个对称要素相组 合，必然产生新的对称要素来； (2)对称要素间的组合不是任意的，需要满足： A- 参加组合的对称要素必须至少相交于一点。 这是因为晶体的外形是有限的、封闭的多 面体。 B- 晶体是一种点阵结构，对称要素的组合结果 不容许产生与点阵结构不相容的对称要素 来。(5、7····等)
5、反轴 == 旋转+倒反(点在线上)
对称要素：反轴， 符 号：n 复合对称动作：旋转+倒反 (点在线上)又称旋转倒反 阶 次： 如果旋转轴的轴次n是偶数，那么反轴的阶次=n 如果旋转轴的轴次n是奇数，那么反轴的阶次=2n 旋转倒反动作只能使左右手重合，不能使相等图 形重合。
11
12
6、螺旋轴-旋转+平移
21
(3)对称轴、反映面、对称中心、反轴，对应的对 称动作是点动作，在动作中至少有一点不动， 既存在于无限结构中，又存在于有限晶体外形 的结构中； 点阵、螺旋轴、滑移面，对应的对称动作 是空间动作，每一点都移动了只能存在于无限 结构中，而不能存在于有限晶体外形的结构 中。 旋转轴、螺旋轴→统称对称轴； 反映面、滑移面→统称对称面。
空间群符号的解释
晶体的对称性-空间群符号的解释1. 晶体的宏观和微观对称性晶体的对称性最直观地表现在其几何外形上，由于晶体外形为有限的几何图形，故晶体外形上所体现的对称性与分子一样为点对称性，称为宏观对称性。
有四种类型的对称操作和对称元素旋转旋转轴反映反映面(镜面)反演对称中心旋转反演反轴由于晶体内部结构为点阵结构，点阵结构是一种无限的几何对称图形。
故晶体结构具有这种基本的空间对称性(通过平移对称操作能使点阵结构复原)，常称为晶体的微观对称性。
有三种类型的对称操作和对称元素平移点阵螺旋螺旋轴滑移滑移面2. 晶体和晶体结构对称性的有关定理晶体和晶体结构的对称元素及相应的对称操作有上述七种。
晶体中点阵与对称元素的制约关系为：对称面和对称轴的取向定理在晶体结构的空间点阵图形中，对称轴必与一组直线点阵平行，并与一组平面点阵垂直；对称面则必与一组直线点阵垂直，并与一组平面点阵平行。
(对称轴包括旋转轴、反轴和螺旋轴；对称面包括反映面、滑移面)对称轴的轴次定理在晶体结构中存在的对称轴，其轴次只能为1、2、3、4、6这五种。
3. 7个晶系和32个晶体点群根据晶体的对称性，可将晶体分为7个晶系，每个晶系有它自己的特征对称元素。
由于晶体的对称性定理，限制了对称轴的轴次只能为1、2、3、4、6；又由于反轴中只有4重反轴是独立的对称元素，所以在晶体的宏观对称性中，只能找到8个独立的对称元素：1、2、3、4、6、m、i、。
与分子所含的对称元素相比，晶体中所含的对称元素有限，这八个对称元素按一定的组合规则组合后只能产生32个对称类型(对称元素系)，每个对称类型所具有的对称元素所对应的对称操作构成一个群。
由于晶体的宏观外形为有限图形，故各种对称元素至少要相交于一点，故称为32个晶体点群。
对于晶体点群，除了用和分子点群一样的符号(Schönflies)表示外，还用晶体点群的国际上通用的符号——国际符号表示。
国际符号是按晶系不同，依次在三个不同方向上将晶体所具有的对称元素表示出来。
晶体的对称性
体对 无， 2，m 面对
角线
角线
6,`6, 6/m,622, 6mm, `62m, 6/mmm
23,m3,432, `43m, m`3m
菱面体晶胞转换为六角原始格子
这样的六角原始格子包含3个阵点
根据对称性划分晶系
晶体的微观对称操作＝宏观+平移
一、滑移面 ＝镜面+平移 1.a，b, c 轴滑移面＝平行或包含a轴的镜面+沿a(b或c)方向移动1/2单位轴长。
21，31，32，41，42，43，61，62，63，64，65
41
对称要素的符号表示
从晶系到空间群
7个晶系 （按照晶胞的特征对称元素分类）
旋转，反射，反演
32个点群
平移
14种Bravais格子
螺旋轴，滑移面
230个空间群
空间群国际符号LS1S2S3
运用以下规则，可以从对称元素获得H-M空间群符号。
晶体结构的对称性-董成
6i3
点群
八个基本对称操作
m, 2, 3, 4, 6, 1, 4, 6
那么，在晶体中，究竟有哪些对称元素和对称操作可以同时存在？它们的 组合方式有多少种？在数学上，把对称元素（或对称操作）的集合叫做 “对称群”。因为上述对称元素中，不包括平移对称性，进行对称操作时 总是有一点保持不动，所以只包括上述对称元素的集合叫做“点群”。一 个晶体上可以同时存在多个对称要素，这些对称要素共存时一定要符合对 称要素组合定理，不能任意共存。
三、轴对称 360/n 能使物体重复的最小旋转角称为“基转角” （一）旋转轴 1、2、3、4、6
（二）旋转倒反轴（反轴） 1, 2, 3, 4, 6 2=m 3=3+1 （三）旋转反映轴（映轴） 1, 2, 3, 4, 6 1=2, 2=1, 3=6, 4=4, 6=3
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6）三方晶系：R
三方I = 三方P
三方F = 三方P
单独在某个面加心会破坏三次轴对称性。
7）六方晶系：P
在平行六面体体心或底心位置加阵点会破坏六次 轴对称性。
绿色点在c/2位 置， 蓝色点在0或c 位置。
在平行六面体面心位置加阵点会破坏六次轴对称性。
淡蓝色点在2c/3 位置。
黄色点在c/3位置。
a1 • a2 = m1 • a/2 • m2 • a/2 = m1 • m2 • a = t • a = T 推论：两个平行滑移面的连续操作相当于一个平移操作， 并且该平移操作垂直于滑移面的分量也是一个平移操作。
定理二：平移t及垂直于平移的反映面的连续操作相当 于与该反映面相距t /2处的一个反映面的反映操作。
六方格子与三方格子的关系
六方平面点阵沿垂直于ab 面的c方向平移得到六方晶 系的空间点阵。
六方平面点阵平移矢量为：t = 2a/3 + b/3 + c/3, 得到的空间点阵 只有三次轴，为三方晶系的空间 点阵。
三方点阵的三方格子可以取成一个六方定向的双体 心复杂格子，该格子的c轴平行于三次轴，a，b轴在垂直 于三次轴的点阵面上，它是一个三方三重复格子。同样， 六方点阵的六方格子可以取成一个三方定向的双体心复 杂格子，它是一个六方三重复格子。
左旋和右旋螺旋轴有以下关系： 左旋螺旋轴nm = 右旋螺旋轴nn-m 0 (c) 右旋43螺旋轴 c/4 c/2 3c/4 左旋41螺旋轴
与旋转轴不同，螺旋轴的旋转方向的不同会导致不 同的对称结构。如左旋41和右旋42 3c/4
点阵（平移轴）：对应的对称操作为平移。 点阵反映了晶体结构的周期性，这种周期性也就是点阵的平 移复原的特性。对于点阵，连接任意两个阵点的位置矢量： R = ma + nb + pc，进行平移可以使点阵复原，表现在晶体结 构上就是使在三维空间无限伸展的相同部分得以重复。R可 以定义为晶体微观结构平移的方向矢量。 十四种空间格子反映了晶体结构中平移对称的组合规律。 任何一种点阵格子，都具有基本平移矢量a, b, c以及a + b, a + c, b + c, a + b + c等。 对于复格子，则增加附加平移矢量: C格子：(a + b)/2, B格子：(a + c)/2, A格子：(b + c)/2 I格子：(a + b + c)/2 F格子：(a + b)/2, (a + c)/2, (b + c)/2
推论：平移T与滑移面G斜交，如滑移面的平移分量为 g1, T在垂直于滑移面的平移分量为t，平行于滑移面G 的平移分量为g2，则存在一平行于G的滑移面G’，它与 滑移面G’相距t/2，滑移操作的平移分量为g1 + g2。 G • T = m • g1 • t • g2 = m1 • g1 • g2 = G’
第四节 空间群
• 晶体的微观对称元素有以下七类： 1、旋转轴：1，2，3，4，6 2、反映面：m 3、对称中心：1 4、反轴：4 5、螺旋轴：21，31，32，41，42，43，61，62，63，64，65 6、滑移面：a，b，c，n，d 7、平移 这七类对称元素的在空间的组合所表现出的对称性的集合 即为空间群，它反映了晶体微观结构的全部对称性。
对于滑移面，为使滑移面的平移分量不与点阵矛盾， 经过两次滑移操作，其平移分量和应属于点阵的平 移矢量。 点阵格子的平移矢量都有a, b, c及 a+b, a+c, b+c, a+b+c, 对应的滑移面平移分量可以为： 1、 a/2, b/2, c/2 – a、b、c滑移面，统称为轴向滑移面。 2、(a+b)/2, (a+c)/2, (b+c)/2, (a+b+c)/2 – n滑移面，对角线 滑移面。 复格子产生附加平移矢量： (a+b)/2, (a+c)/2, (b+c)/2, (a+b+c)/2，对应滑移面的平移分量可以为： 3、(a+b)/4, (a+c)/4, (b+c)/4, (a+b+c)/4 – d滑移面，金刚 石滑移面
m • t = m • m1 • m2 = I • m2 = m2
推论：平移t及垂直于平移的滑移面的连续操作相当于与该 反映面相距t /2处的一个滑移面的反映平移复合操作。
a • t = m • a/2 • t = m2 • a/2 = a2
d • a = m • (b+c)/4 • a • = ma/2 • (b+c)/4 = da/2
金刚石结构沿[001]方向的投影
螺旋轴（screw axe）：晶体结构围绕一条直线旋转一定 角度后，再沿着该直线方向平移一定距离，结构中的每 个质点均与相同质点重复。相应的对称操作为旋转和平 移的复合操作。 4•c= 4 在晶体的微观对称性中，旋转 操作等同于旋转与点阵平移矢 量的复合操作。 对于晶体结构中的旋转和平移 复合操作，如平移分量为点阵 平移矢量的分数值。则进行旋 转操作所依据的直线即为螺旋 轴。 4 • c/2 = 42
第二节 晶体的微观对称元素
晶体的宏观对称性是晶体结构微观对称性的反映。 晶体的宏观对称元素在微观对称中也同样存在。晶体 结构是由其结构单位（晶胞）在三维空间上的无限排 列，晶体的微观对称性还具有宏观对称不能出现的对 称元素—平移，平移和旋转或反映的复合对称操作， 又产生新的对称元素，螺旋轴和滑移面。它们是在微 观的无限空间中所特有的，称为微观对称元素。 微观对称性和宏观对称性的主要区别： 1、宏观对称性对称元素必须相交一点，微观对称性 中对称元素不须交于一点，可以在三维空间无限分布。 2、宏观对称性中对称元素只考虑方向，微观对称性 中需要考虑对称元素的相互位置关系。
第四章 晶体的微观对称性
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 十四种空间格子 晶体的微观对称元素 微观对称元素组合原理 空间群 等效点系
第一节 十四种空间格子
• 点阵的对称类型 三斜格子：C 单斜格子：L2 PC 正交格子：3L2 3PC 四方格子：L4 4L2 5PC 三方格子：L3 3L2 3PC 六方格子：L6 6L2 7PC 立方格子：3L4 4L3 6L2 9PC
金刚石结构沿[001]方向的投影
第三节 微观对称元素组合原理
• 平行反映面（滑移面）的组合 • 平移与正交反映面（滑移面）的组合 • 平移与斜交反映面（滑移面）的组合 • 旋转轴（螺旋轴）与垂直平移的组合 • 旋转轴（螺旋轴）与斜交平移的组合
定理一：两个互相平行反映面的连续操作相当于一个平 移操作，其平移距离为反映面间距的二倍。 m1 • m2 = T
b • (a+b) = m • b/2 • a • b = m • a • b • b/2 = ma/2 • b • b/2 = ma/2 • b/2 = ba/2 NaCl结构沿[001]方向的投影
定理四：基转角为α的旋转轴A与垂直于它的平移T连续动 作相当于与A平行的旋转轴B，其基转角也为α，旋转方向 与A相同，且B位置取决于α和T。
三斜C = 三斜P
三斜F = 三斜P
2）单斜晶系：P，C 单斜B = 单斜P，单斜I = 单斜C，单斜F =单斜C 3）正交晶系：P，C，I，F 4）四方晶系：P，I 四方C = 四方P，四方F = 四方I A或B面加心会破坏四次轴对称性。 5）立方晶系：P，I，F 单独在某一面上加心会破坏四个三次轴对称性。
•晶体外形所具有的宏观对称元素，在微观晶体结构中，加 入平移成分，可以表现为不同的微观对称元素。如宏观的 反映面，在晶体微观结构中可以为反映面，也可以是不同 的滑移面，或者是相互平行排列的反映面和滑移面；旋转 轴既可以表现为旋转轴，也可以为螺旋轴。因此，属于同 一点群的晶体，可以属于不同的空间群。属于同一宏观点 群的所有空间群，称为与该点群同形的空间群。 以点群为m3m的晶体为例： CsCl NaCl Pm3m Fm3m 垂直于a方向为m 垂直于a方向m，b，c共存 垂直于a方向为d
• 空间格子的选取方式
• 布拉威法则： 1、划分出来的平行六面体单位必须充分地反映晶体的固 有对称性。 2、在不违背晶体固有对称性的条件下，平行六面体单位 的棱间直角数尽量多。 3、在满足条件1和2的前提下，平行六面体单位的体积 应为最小。
• 十四种空间格子 1）三斜晶系：P
三斜I = 三斜P
金刚石 Fd3m
CsCl结构沿c方向投影
NaCl结构沿c方向的投影
金刚石结构沿c方向的投影
• 空间群的国际符号由两部分构成，第一个大写字母表示点 阵类型，第二部分标明空间群的特征对称元素，其定向和 符号形式与点群相同，但增加了螺旋轴和滑移面。如果空 间群的微观对称元素用相应的宏观对称元素取代，则得到 晶体的点群。 对称元素选取的一般原则： 1、反映面m 2、滑移面a，b，c，n，d 3、旋转轴 4、螺旋轴 5、反轴
定理三：平移T与反映面m斜交，如T在垂直于反映面的 平移分量为t，平行于反映面的平移分量为g，则存在一 平行于m的滑移面G，它与反映面相距t/2，滑移操作的 平移分量为g。
m • T = m • t • g = m1• g = G
m • (a+b)/2 = m • a/2 • b/2 = ma/4 • b/2 = ba/4 NaCl结构沿[001]方向的投影
与旋转轴的轴次类似，螺旋轴的轴次n只能为1，2，3， 4，6。为使螺旋轴作用结果与点阵一致，螺旋轴经过n 次作用后的平移分量和应为点阵平移矢量的整数倍， 即： nt = mT 或 t = mT/n 其中：n为螺旋轴轴次， t 为螺旋轴平移分量，T 为晶 体结构的点阵平移矢量，m为小于n的正整数。 对于取定的n，m取小于n的不同整数，可以得到不同的类 型的螺旋轴，记为nm，表示平移分量为m T/n的n次螺旋轴。 晶体结构中允许存在的螺旋轴类型为：21, 31, 32, 41, 42, 43, 61, 62, 63, 64, 65。