2019-2020学年广州市天河外国语学校高三(下)数学线上测试卷

2019-2020学年广州市天河外国语学校高三（下）数学线上测试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集为R ，集合()1

21A x y x -??==-????

，{}

2

20B x x x =-<，则()A B =R I e（ ）

A.()0,2

B.(]1,2

C.[]0,1

D.(]0,1

2.复数满足48i z z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

3.2020年初，湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎.为防止病毒蔓延，各级政府相继启动重大突发公共卫生事件一级响应，全国人民团结一心抗击疫情.下图表示1月21日至3月7日我国新型冠状病毒肺炎单日新增治愈和新增确诊病例数，则下列中表述错误．．的是（ ） A.2月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势

B.随着全国医疗救治力度逐渐加大，2月下旬单日治愈人数超过确诊人数

C.2月10日至2月14日新增确诊人数波动最大

D.我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数在2月12日左右达到峰值

4.函数x x

x

y e e

-=

+的图象大致为（ ） A. B.

C. D.

5.音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味，著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如sin a bx 的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音.由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波.下列函数中不能与函数0.06sin180000y t =构成乐音的是（ ） A.0.02sin 360000y t = B.0.03sin180000y t = C.0.02sin181800y t = D.0.05sin 540000y t =

6.已知a r ，b r

为非零向量，“22a b b a =r r r r ”为“a a b b =r r r r ”的（ ）

A.充分不必要条件

B.充分必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

7.把函数()2

sin f x x =的图象向右平移

12

π

个单位，得到函数()g x 的图象.给出下列四个命题（ ） ①()g x 的值域为(]0,1 ②()g x 的一个对称轴是12

x π

=

③()g x 的一个对称中心是1,32π??

??

? ④()g x 存在两条互相垂直的切线 其中正确的命题个数是（ ） A.1 B.2

C.3

D.4

8.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，神兽人们喜爱.右图即是一副窗花，是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形.若在这个窗花内部随机取一个点，则该点不落在任何一个小正方形内的概率是（ ）

A.3

7 B.

4

7 C.57

D.67

9.已知三棱锥P ABC -，AC =，1BC =，AC BC ⊥且2PA PB =，PB ⊥平面ABC ，其外接球体

积为（ ）

A.43

π B.4π

C.

323

π

D.

10.一个盒子里有4个分别标有号码为1，2，3，4的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是4的取法有（ ） A.17种 B.27种

C.37种

D.47种

11.已知双曲线M ：22

221x y a b

-=（0b a >>）的焦距为2c ，若M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作

的圆()2

22x c y a -+=的两条切线互相垂直，则双曲线M 的离心率的取值范围是（ ）

A.(

B.

C.

D.

12.点M 在曲线G ：3ln y x =上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线1y x

=交于点N ，3OM ON

OP +=u u u u r u u u r

u u u r ，且

P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”，则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13.抛物线2

4y x =上到其焦点F 距离为5的点有______个.

14.在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a =，c =，sin sin 3b A a B π??=-

???

，则sin C =______.

15.对任意正整数n ，函数()3

2

27cos 1f n n n n n πλ=---，若()20f ≥，则λ的取值范围是______；若

不等式()0f n ≥恒成立，则λ的最大值为______.（第一空2分，第二空3分）

16.如图所示，在直角梯形BCEF 中，90CBF BCE ∠=∠=?，A ，D 分别是BF ，CE 上的点，AD BC ∥，且22AB DE BC AF ===（如图①）.将四边形ADEF 沿AD 折起，连接BE ，BF ，CE （如图②）. 在折起的过程中，则下列表述： ①AC ∥平面BEF

②四点B ，C ，E ，F 可能共面

③若EF CF ⊥，则平面ADEF ⊥平面ABCD ④平面BCE 与平面BEF 可能垂直， 其中正确的是______.

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考. 生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.

17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足123123252525253

n n n

a a a a ++++=----L .

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列11n n a a +??????

的前n 项和为n T ，证明：16n

T <.

18.（本小题满分12分）如图示，在三棱锥A BCD -中，2AB BC BD ===，23AD =，

2

CBA CBD π

∠=∠=

，点E 为AD 的中点.

（1）求证：平面ACD ⊥平面BCE ；

（2）若点F 为BD 的中点，求平面BCE 与平面ACF 所成锐二面角的余弦值.

19.（本小题满分12分）体温是人体健康状况的直接反应，一般认为成年人腋下温度T （单位：C ?）平均在36C 37C ?-?之间即为正常体温，超过37.1C ?即为发热发热状态下，不同体温可分成以下三种发热类型：低热：37.138T ≤≤；高热：3840T <≤；超高热（有生命危险）：40T >.

某位患者因患肺炎发热，于12日至26日住院治疗.医生根据病情变化，从14日开始，以3天为一个疗程，分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热.住院期间，患者每天上午8:00服药，护士每天下午16:00为患者测量腋下体温记录如下：

（1）请你计算住院期间该患者体温不低于39C ?的各天体温平均值；

（2）在19日—23日期间，医生会随机选取3天在测量体温的同时为该患者进行某一特殊项目“a 项目”的检查，记X 为高热体温下做“a 项目”检查的天数，试求X 的分布列与数学期望；

（3）抗生素治疗一般在服药后2-8个小时就能出现血液浓度的高峰，开始杀灭细菌，达到消炎退热效果.假设三种抗生素治疗效果相互独立，请依据表中数据，判断哪种抗生素治疗效果最佳，并说明理由.

20.（本小题满分12分）已知椭圆22221x y a b

+=（0a b >>）经过点()0,1A 、B 、C 为椭

圆上不同的三点，且满足0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r

，O 为坐标原点.

（1）若直线AB 、OC 的斜率都存在，求证：AB OC k k ?为定值； （2）求AB 的取值范围.

21.（本小题满分12分）已知函数()cos x

f x x

=

，()sin cos g x x x x =+ （1）判断函数()g x 在区间()0,2π上的零点的个数；

（2）记函数()f x 在区间()0,2π上的两个极值点分别为1x ，2x ，求证：()()120f x f x +<.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所作的第一题计分. 22.（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]

在极坐标系Ox 中，曲线C 的极坐标方程为：2

sin

ρθ=，直线l 的极坐标方程为：

()cos sin 1ρθθ-=，设l 与C 交于A ，B 两点，AB 中点为M ，AB 的垂直平分线交C 于E ，F .以O 为坐

标原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系xOy . （1）求C 的直角坐标方程与点M 的直角坐标； （2）求证：MA MB ME MF ?=?.

23.（10分）[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()123f x x x =--+. （1）求不等式()1f x <的解集；

（2）若存在实数x ，使得不等式()2

30m m f x --<成立，求实数m 的取值范围.