割集分析法工科
大二工科电路学习最后第8-10章复习
当激励为直流或正弦信号时， 当激励为直流或正弦信号时，强制分量就 是稳态分量，自由分量也就是暂态分量。 是稳态分量，自由分量也就是暂态分量。
第8章 线性动态电路的时域分析
四、一阶电路的全响应 求全响应） 三要素法 （求全响应）
f (t ) = f ' (t ) + [ f (0 + ) − f ' (0 + )]e
d 2uC du C LC + RC + uC = 0 2 dt dt
衰减常数 固有振荡角频率
R δ= 2L
1 ω0 = LC
第8章 线性动态电路的时域分析 七、二阶电路的零输入响应
L 时，响应是非振荡性质的； 响应是非振荡性质 是非振荡性质的 1 、当 R ≥ 2 C 响应是振荡性质 振荡性质的 而当 R < 2 L 时，响应是振荡性质的。 C 2、 R < 2 L ——欠阻尼 欠阻尼 C
入信号无关的分量）。 入信号无关的分量）。
第8章 线性动态电路的时域分析 四、一阶电路的全响应 全响应 = 稳态分量 + 暂态分量
暂态分量：随着时间的推移趋于0的分量， 暂态分量：随着时间的推移趋于0的分量， t 形式为： 形式为： −
Ae
τ
稳态分量：达到新稳定状态时的响应分量。 稳态分量：达到新稳定状态时的响应分量。
二、二端口网络的方程和参数
U 1 = Z 11 I 1 + Z 12 I 2 参数方程: Z参数方程: • • • U 2 = Z 21 I 1 + Z 22 I 2
• • •
参数方程: Y参数方程: I 1 = Y11 U 1 + Y12 U 2 • • • I 2 = Y21 U 1 + Y22 U 2 • • • U 1 = AU 2 − B I 2 参数方程: T参数方程: • • • I 1 = CU 2 − D I 2
图论 第四章 割集
定理5.2.1 图G 关于生成树的基本圈
C1, C2 , , Cq p1 是线性无关的。
定理5.2.2 连通图G的任一环路均可表示成 若干个基本圈的环和。
定理5.2.3 连通（p,q）图G的所有环路和空图 的集合构成一个q-p+1维空间，记作 (G)称为圈 空间。
定理5.2.4 连通（p,q）图G的圈空间中元素的 个数为2 q-p+1。
第四章 割 集
4.1 割集与断集
我们定义连通图G的顶点数减1为图G的秩，记作 R(G)，即R(G)=p-1 如果G有k个连通分支，则R(G)=p-k
定义4.1.1 设S E(G),如果
1.R(G-S)=p-2
2.对S S,R(G-S)=p-1 则称边集S为图G的的一个割集(cut set)。
割集是指一个边集S，在G中去掉S的所有边后G变 为具有两个分支的分离图，但是去掉S中的部分边时 图仍然是连通的。
2
a
c
b
1
d
e
4
3
g f
5
1 2
1
d
e 3
f
g
5
2
a
4
e
3
g
5
2
a
c
b
2
1
d
e
4
3
2
a
1 f
e
4
3
g
g f
5
a b
1
4
3
d
5
2
a
b
5
1
d
4
3
f
5
1
3 2
a
b
c
d
e
f
割集分析法
i4
2V I
i4 = i1 + i2 = – 0.25 + 0.85 = 0.6A
II
i5 = 3A（已知）， i7 = i1 = – 0.25A
以上各式中，u1、u2、u3分别为支路 1、支路 2 和支路 3 的 电压。
电路分析基础——第一部分：2-5
例2-16 电路如图2-37(a)，试求ux。
致，则互电导为正，否则为负；
电流输送：is11、is22、is33 。该基本割集上电流源输 送电流的代数和，电流源电流方向与割
集方向相反者为正，否则为负。
ut1、…、uti、…、ut(n-1)：在确定基本割集顺序后， 每个基本割集上的树支电压；
电路分析基础——第一部分：2-5
17/23
注意：在用割集分析时，往往把感兴趣的支路选为树支，使其 电压成为直接求解对象。电路中的电压源支路都应尽量选为树 支，因为电压源是已知的，可以减少未知独立变量的个数。
例如：在图（b）中，切割用虚线表
1
2
示，例如切割II使节点1、3与节点2、 I
3
4分为两个分离部分，所切割的支路 G3、G4、G1和电流源支路的集合就 是割集II。
割集的多样性：一个连通图可以有许
II
4
III
1
2
3
多不同的割集，图（b）中就表明了
三种不同的割集。
4
电路分析基础——第一部分：2-5
7/23
电路分析基础——第一部分：2-5
21/23
i2 =
u2 0.5
=
– ut6 – ut5 – ut4 0.5
= – 2(2–2.75+ 0.326) = 0.85A
2-3-割集电压分析法
b
C2 c
1
2
3
45
d C3
6
IqQ fIsQ fY bU s
I s
6
I s
6
U
R
U s 5
s5 5
R 5
割集电压方程的矩阵形式为：
1 R3
1 R6
1
jL1
1 R6
1
R3
1 R6
11 1
R5 R6 jL2
1 R5
1 R3
R 15R R1153 jC4U U Uqqq132
3
例2－2 写出如图所示电路割集电压方程的矩阵形式。
（1）电感L1、L2 之间无耦合。 （2）电感L1、L2 之间有耦合。
I6
R6
Is 6
I1
I3
L1
R3
M
I4
I2 L 2
C4
I5 R5
+ - U s 5
4
解 （1）电感L1、L2 之间无耦合
画出网络的有向图，对节点和支路进行编号，选支路1、
2、4为树支，如图所示。
§2-3 割集电压分析法
北京邮电大学
电子工程学院 俎云霄
1
割集分析法是以割集电压亦即树支电压为变量列写方程进行 求解的一种方法。
U QTf Ut I Y bU I sY bU s IY bQ T fU tIsY bU s Qf I 0 Q fY b Q T fU t Q fI s Q fY b U s ——割集电压方程的矩阵形式
I s 6
I
s
6
U
R
U s 5
s5 5
R 5
7
（2）电感L1、L2 之间有耦合
最小割集求法
最小割集求法相关概念求解方法（行列法结构法布尔代数化简法）相关概念割集——也叫做截集或截止集，它是导致顶上事件发生的基本事件的集合。
也就是说事故树中一组基本事件的发生，能够造成顶上事件发生，这组基本事件就叫割集。
引起顶上事件发生的基本事件的最低限度的集合叫最小割集。
径集——也叫通集或导通集，即如果事故树中某些基本事件不发生，顶上事件就不发生。
那么，这些基本事件的集合称为径集。
不引起顶上事件发生的最低限度的基本事件的集合叫最小径集。
TOP求解方法行列法结构法布尔代数化简法行列法行列法是1972年福塞尔提出的方法，所以也称其为福塞尔法。
其理论依据是：“与门”使割集容量增加，而不增加割集的数量；“或门”使割集的数量增加，而不增加割集的容量。
这种方法是从顶上事件开始，用下一层事件代替上一层事件，把“与门”连接的事件，按行横向排列；把“或门”连接的事件，按列纵横向摆开。
这样，逐层向下，直至各基本事件，列出若干行，最后利用布尔代数化简。
化简结果，就得出若干最小割集。
为了说明这种计算方法，我们以图4—25所示的事故树为例，求其最小割集。
事故树示意图我们看到，顶上事件T与中间事件A1、A2是用“或门”连接的，所以，应当成列摆开，即A1、A2与下一层事件B1、B2、X1、X2、X4的连结均为“与门”，所以成行排列：下面依此类推：整理上式得：下面对这四组集合用布尔代数化简，根据A·A＝A，则X1·X1＝X1，X4·X4＝X4，即又根据A＋A·B＝A，则X1·X2＋X1·X2·X3＝X1·X2，即于是，就得到三个最小割集{X1，X2}，{ X4，X5}，{ X4，X6}。
按最小割集化简后的事故树，如图4－26所示:事故树等效图TOP结构法这种方法的理论根据是：事故树的结构完全可以用最小割集来表示。
下面再来分析图4－25事故树示意图： A 1∪A 2＝X 1·B 1·X 2∪X 4·B 2＝X 1·(X 1∪X 3)·X 2∪X 4·(C ∪X 6)＝X 1·X 2∪X 1·X 3·X 2∪X 4·(X 4·X 5∪X 6) ＝X 1·X 2∪X 1·X 2·X 3∪X 4·X 4·X 5∪X 4·X 6 ＝X 1·X 2∪X 1·X 2·X 3∪X 4·X 5∪X 4·X 6 ＝X 1·X 2∪X 4·X 5∪X 4·X 6这样，得到的三个最小割集{ X 1，X 2}、{X 4，X 5}、{X 4，X 6}完全与上例用行列法得到的结果一致。
第015章_电路方程的矩阵形式
u1 u2
6 1 3 6 31
i
i1 i2 i3 i4 i5 i6
i
这正是回路电流 法的基本思想。
i B T il
i i i
i i
i i i
即为用B表示 KCL的矩阵形式。
17
五、割集矩阵：
1、割集矩阵： 即独立割集矩阵，它反映电路的支 Q1 路与所取的独立割集的关联性。 矩阵元素的取值：
（2）某些列仅有一个非零元素，表示该支路与参考结点相关联。 ②A的物理意义：反映电路的拓扑结构
支路与结点的关联性。
11
3、用A表示的KL的矩阵形式： ①KCL：
i1 i
2 3 4 5 6
证明： G
T1
l1 l2 l3
bt
T2
而且，每一条树支与相应的连支都会构成一个单树支割集。 这种单树支割集又称为基本割集。对于一个G，树支数为 n -1， ∴有n -1个基本割集，称为对一个树的基本割集组。 基本割集组必是独立割集组，但独立割集组不一定是单树 支割集组，因树是一个相对概念，人家可以先（用树）定义一 组独立割集，而后又可以重新定义树。
② 4 6 5 ④ ③
0 k支路与 j 结点不关联 关联，且方向背离该结点 a jk 1 1 关联，但方向为指向结点
② 0 Aa ③ 1 ④ 0
1 ① -1 2 -1 0 3 1 4 0
割集
一、割集
1、定义 连通图G的一个割集是G的一个支路集合，把
这些支路移去将使G分离为两个部分，但是如果少 移去一条支路，图仍将是连通的。
a
b
e
d
c
f
a
b
e
d
c
f
(b,d,e,f)是割集
a
c f
a
b
a
b
e
e
d
c
d
c
f
f
f
(a,b,c,d,e)不是割集
移去割集支路，G 被分离成三部分
a
b
e
d
c
f
(a,d,f) 是割集
b e
c
2、割集的确定
可以用在连通图G上作闭合面的方法判断确定
一个割集。
如果在G上作一个闭合面，使其包围G的某些结点，
于是，若把与此闭合面相切的所有支路全部移去，G
将被分离为两个部分，则这样一组支路便构成一个割
集。
a
d
b e
c f
Q1
a
b
e
d
c
f
d
c
f
(a,b,e) 为割集
分支路， 而树T本身是连通的且又不包含回路。 2、树支：
树中包含的支路。
树支数为n-1。 3、连支：
树支之外的其他支路。 连支数为b-(n-1)=b-n+1
例：基本割集组的确定
a
b
e
d
c
f
选择a,e,c为树 树支用实线表示 连支用虚线表示
每个基本割集中只有一个树支和相 应闭合面相切割。
a d
Q1
b e
对于一个具有n个结点和b条支路的连通图，独立的 KCL方程有(n-1)个,独立割集数将有(n-1)个. 2、一组独立割集的确定
电路中割集满足的条件
电路中割集满足的条件在电路中，割集是指在电路中切断两个或多个节点所需的最少的连线集合。
割集在电路分析和设计中起着重要的作用，它决定了电路的可靠性和性能。
下面将介绍割集满足的条件。
1. 割集是无环的：割集是通过切断节点之间的连线来实现的，因此割集中不能存在环路。
如果存在环路，那么切断其中一个连线就会导致电流无法流通，电路无法正常工作。
2. 割集包含至少一个节点：割集是通过切断节点之间的连线来实现的，因此割集中必须包含至少一个节点。
如果割集中没有节点，那么切断的连线就没有意义，电路仍然可以正常工作。
3. 割集中的连线数最少：割集是通过切断节点之间的连线来实现的，因此割集中的连线数应尽量少。
如果割集中的连线数过多，那么切断这些连线就会导致电路中断的部分过多，电路的可靠性会受到影响。
4. 割集之间没有公共节点：割集是通过切断节点之间的连线来实现的，因此割集之间不能有公共的节点。
如果割集之间有公共的节点，那么切断一个割集中的连线就会同时影响其他割集，导致电路无法正常工作。
5. 割集覆盖所有节点：割集是通过切断节点之间的连线来实现的，因此割集应覆盖电路中的所有节点。
如果存在没有被割集覆盖的节点，那么切断其他连线也无法切断这些节点之间的连线。
6. 割集之间没有公共连线：割集是通过切断节点之间的连线来实现的，因此割集之间不能有公共的连线。
如果割集之间有公共的连线，那么切断一个割集中的连线就会同时影响其他割集，导致电路无法正常工作。
7. 割集覆盖所有连线：割集是通过切断节点之间的连线来实现的，因此割集应覆盖电路中的所有连线。
如果存在没有被割集覆盖的连线，那么切断其他连线也无法切断这些连线。
电路中割集满足的条件包括割集是无环的、割集包含至少一个节点、割集中的连线数最少、割集之间没有公共节点、割集覆盖所有节点、割集之间没有公共连线以及割集覆盖所有连线。
这些条件保证了割集在电路中的有效性和可靠性，对于电路的分析和设计具有重要的意义。
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§3-6 割 集 分 析 法
一、割集与基本割集
1）、割集 割集是支路的集合，它必须满足以下两个条件： （1） 移去该集合中的所有支路，则图被分为两部分。
（2） 当少移去该集合中的任何一条支路，则图仍是连通的。
需要说明的是，在移去支路时，与其相连的结点并不移去。
图G 是一个连通图，如图3－26(a)所示，支路集合{1，5，2}、{1，5，3，6}、{2，5，4，6}均为图G 割集。
将以上割集的支路用虚线表示，分别如图3－26(b)、(c)、(d)所示，不难看出，去掉虚线支路后，各图均被分成了两部分，但是
图3－26 图G 及其割集
(a)
(b)
(c)
(d)
只要少去掉其中的一条虚线支路，图仍然是连通的，故满足割集所要求的条件。
而支路集合{1，5，4，6}、{1，2，3，4，5}不是图G 的割集。
将集合中的支路用虚线表示后如图3－27(a)和(b)所示。
对于图3－27(a)来说，移去支路1、5、4、6后，图虽说被分为两部分（结点①为其中的一部分），但如不移去支路5，图仍被分为两部分；而对于图3－27(b)来说，将支路1、2、3、4、5移去后，图则被分成了三部分，故以上两种支路集合不是割集。
2）、作高斯面确定割集
在图G 上作一个高斯面（闭合面），使其包围G 的某些节点，而每条支路只能被闭合面切割一次，去掉与闭合面相切割的支路，图G 将被分为两部分，那么这组支路集合即为图G 的一个割集。
在图G 上画高斯面（闭合面）C 1、C 2、
(a)
(b)
图3－27 非割集说明
①
②
①
②
C 3如图3－28所示，对应割集C 1、C 2、C 3的支路集合为{1，5，2}、{1，5，3，6}、{2，5，4，6}。
3）、基本割集
基本割集又称单树支割集，即割集中只含一条树支，其余均为连支。
如选支路1、5、3为树支，如图3－29所示，则割集C 1，C 2，C 3为基本割集，基本割集的方向与树支的参考方向一致。
当树选定后，对应的基本割集是唯一确定的。
当然选的树不同，相应的基本割集也就不同。
如选支路1、5、6为树支以及选支路1、5、2为树支的基本割集分别如图3－30 (a)和(b)所示。
当图G 有n 个结点、b 条支路时，基本割集的数目等于树支数，为（n －1）。
图3－28 作高斯面确定割集
C 1
2
C 3
图3－29 基本割集
二、割集分析法
割集分析法与回路分析法一样，是建立在“树”的基础上的一种分析方法。
割集分析法是将树支电压作为一组独立的求解变量，根据基本割集建立KCL 方程，因此割集分析法也可以称为割集电压分析法。
割集分析法的选树原则与回路分析法相同，即尽可能将电压源及电压控制量选为树支，电流源及电流控制量选为连支。
设网络的图有n 个结点，b 条支路，则割集分析法中基本割集的数目与树支数相等，为（n －1）个，树支电压变量也为（n －1）个。
因此当电路中电压源支路较多时，采用割集分析法最为有效。
下面通过例题说明割集分析法的求解过程。
图3－30 基本割集示例 C 1
(b)
(a)
C 3
C 2
例3－16 用割集分析法求图3－34（a ）所示电路。
解：割集分析法的求解步骤如下：
（1） 画出电路的拓扑图，选一个“合适”的树，并给各
支路定向。
本电路的拓扑图如图3－34（b ）所示。
其中粗线为树，树支电压为u 1、u 2、u 3，参考方向如箭头方向所示。
（2） 画出基本割集及其参考方向。
基本割集C 1、C 2、C 3如图3－34（b ）所示，其参考方向与树支电压方向相同。
（3） 写基本割集的KCL 方程。
图3－34 例3－16图
5s （a ）
（b ）
C 12
C 3
为写方程方便起见，将基本割集C 1、C 2、C 3画在原电路上，如图3－34（c ）所示。
每一条支路的电流都可以用树支电压以及激励源表示。
对应基本割集的KCL 方程分别为
03
2
1511123=++-+---R u u R u u R u u u s （1）
011
233
2142=---+++-R u u u R u u R u i s （2）
02
3
1123=++--s i R u R u u u （3）
（4） 联立求解，得树支电压u 1、u 2、u 3。
（5） 利用树支电压求得电路的其它物理量。
（c ）
s C 3
C
C C 2
C 3
（d ）
图3－34 例3－16图
如所选树如图3－34（d ）所示，则所得基本割集方程正好是结点电压方程，所以结点电压法是割集分析法的特例。
例3－17 重做例3－7所示电路。
求结点①与结点②之间的
电压12u 。
解：选树支电压如图，分别为u 1、u 2和u 3 。
u 3等于22V ，可以不建立关于u 3的基本割集方程。
另外两个基本割集的KCL 方程分别为
C 1 08)1(3)22(411=+++-u u C 2 025)22(51822=-++⨯+u u 两式联立求解得
V u 111=，V u 5.152-= 所以 V u u 11
112==
4S
2
图3－35 例3－17图
例3－18 电路如图3－36（a ）所示。
已知：
S G 11=,S G 2 2=,S G 3 3=,S G 5 5=，V u s 1 1=， V u s 3 3=，
A i s 3 3=， 4 4V u s =，V u s 6 6=。
试用割集分析法求电流i 1以
及电压源u s1发出的功率p 。
解：选树如图粗线所示，树支电压如图3－36（b ）所示，为u 1、u 4和u 6。
因为V u u s 4 44==，V u u s 6 66== ，所以可以不建立关于u 4和u 6的基本割集方程，故只需要列关于u 1的基本割集方程。
基本割集C 1如图3－36（a ）所画，其方程为
0)()()(36145612111=+++-+++-s s s s s i u u u G u u G u u G
图3－36 例3－18图
u s4（a ）
（b ）
即 024 81=+u 得 V u 3 1-=
所以 A u u G i s 4)13()(1111-=--=-= W i u p s 411=-=。