单因素方差分析列表计算 (1)
单因素试验方差分析(试验数据处理)
SST ( X ij X ) 2
j 1 i 1
r nj
r
nj
SSA ( X j X ) 2
j 1 i 1
n j ( X j X )2
j 1
s
SSA反映了在每个水平下的样本均值与样本总均 值的差异，它是由因子A 取不同水平引起的，所以， 称SA是因子A的效应（组间）平方和.
单因素试验——在一项试验中只有一个因素改变.
多因素试验——在一项试验中有多个因素在改变.
例1 下表列出了随机选取的、用于计算器的四种 类型的电路的响应时间（以毫秒计）. 表1 电路的响应时间 类型Ⅰ 类型Ⅱ 类型Ⅲ 类型Ⅳ 19 20 16 18 22 21 15 22 20 33 18 19 18 27 26 试验指标:电路的响应时间 因素:电路类型 水平: 四种电路类型为因素的四个不同的水平 单因素试验 试验目的:考察电路类型这一因素对响应时间有无 显著的影响.（从哪些值来看是否有影响呢？）
F值 31.10
显著性
934.73
2
6
467.36
**
组内 总和
90.17
1024.89
15.03
8
不同的饲料对猪的体重有非常显著的影响。
三、单因素试验方差分析的简化计算
由于方差分析的计算量比较大，所以引入一种离 差平方和的简单算法：
令
Ti —Ai 水平时,ni个试验值之和 Qi —Ai 水平时,ni个试验值的平方和 T—n个试验值之和 Q—n个试验值的平方和
r
列平均X i Ti ni
（组内平均值）
X1
X2
...
r i 1
Xr
n n i 其中诸 ni 可以不一样，
单因素方差分析的计算步骤
单因素方差分析的计算步骤Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】一、 单因素方差分析的计算步骤假定实验或观察中只有一个因素（因子）A ,且A 有m 个水平，分别记为,,,21m A A A 在每一种水平下，做n 次实验，在每一次试验后可得一实验值，记做ij x 表示在第j 个水平下的第i 个试验值()m j n i ,2,1;,2,1==。
结果如下表：m A A A ,,21看成是m 个正态总体，而()m j n i x ij ,2,1;,2,1==看成是取自第j 总体的第i 个样品，因此，可设()m j n i a N x j ij ,2,1;,2,1,,~2==σ。
可以认为j j j a εεμ,+=是因素A 的第j 个水平j A 所引起的差异。
因此检验因素A 的各水平之间是否有显着的差异，就相当于检验：μ====m a a a H 210:或者 具体的分析检验步骤是：（一）计算水平均值令j x 表示第j 种水平的样本均值，式中，ij x 是第j 种水平下的第i 个观察值，j n 表示第j 种水平的观察值次数（二）计算离差平方和在单因素方差分析中，离差平方和有三个，它们分别是总离差平方和，组内离差平方和以及组间平方和。
首先，总离差平方和，用SST 代表，则，其中,n x x ij ∑∑=它反映了离差平方和的总体情况。
其次，组内离差平方和，用SSE 表示，其计算公式为：其中j x 反映的是水平内部或组内观察值的离散状况，即反映了随机因素带来的影响。
最后，组间平方和，用SSA 表示，SSA 的计算公式为：用各组均值减去总均值的离差的平方，乘以各组观察值个数，然后加总，即得到SSA 。
可以看出，它所表现的是组间差异。
其中既包括随机因素，也包括系统因素。
根据证明，SSA SSE SST ,,之间存在着一定的联系，这种联系表现在： 因为：在各组同为正态分布，等方差的条件下，等式右边最后一项为零，故有，即 SSA SSE SST +=（三）计算平均平方用离差平方和除以各自自由度即可得到平均平方。
生物统计第三节单因素试验资料的方差分析
C T / N 460.5 / 25 8482.41
2
2
上一张 下一张 主 页
退 出
SST x C
2
ij
(21.5 2 19.5 2 17.0 2 16.0 2 ) 8482 . 41
8567 . 75 8482 . 41
Байду номын сангаас85.34
MSE
P
⑥ 列出方差分析表
df
3、确定P值、下结论
•从上表得F=14.32，查附表5（方差分析界值表，
单侧），自由度相同时，F界值越大，P值越小。
因F0.01，2，27= 5.49；故P<0.01，按α=0.05水准
拒绝H0，接受HA，可认为三个不同时期切痂对
ATP含量的影响有统计显著性差异。
方差分析的结果只能总的来说多组间是否
S，即
x
得各最小显著极差，所得结果列于表6-15。
上一张 下一张 主 页
退 出
表6-15 SSR值及LSR值
dfe
上一张 下一张 主 页
退 出
将表6-14中的差数与表6-15中相应的最小显
著极差比较并标记检验结果。
检验结果表明：5号品种母猪的平均窝产仔数
极显著高于2号品种母猪，显著高于4号和1号品
③ 计算总的变异及总的自由度
SST x C
2
ij
dfT kn 1 N 1
④ 计算组间变异及相应的自由度
SSB Ti 2 / ni C
df b k 1
⑤ 计算组内变异及相应的自由度
SSE SST SSB
df e dfT df b
N k
11 单因素方差分析(1)
a
a
n
= n∑ ( xi• − x•• ) + 2∑ [( xi• − x•• )∑ ( xij − xi• )] + ∑∑ ( xij − xi• ) 2
2 i =1 i =1 j =1 i =1 j =1
a
n
a
n
j =1
∑ ( xij − xi• ) = 0
n
=
n∑ ( xi• − x•• ) 2 + ∑∑ ( xij − xi• ) 2
第八章 单因素方差分析 （One－factor ANOVA)
ANOVA: Analysis of Variance
如何进行关于两样本的平均数差异的假设检验，如H 0：µ1＝µ 2？
答：常采用第五章里讲的t检验法。
现在，如何进行 a 个样本的平均数差异的假设检验（a ≥ 3）？
某人答：两两进行t检验。
推广到一般情况，a个处理的单因素方差分析数据 个处理的单因素方差分析数据
重复数（j) 1 1 2 3
┇ j ┇
处理（组别） （i=1,2,...,a） 2 x21 x22 x23
┇
… … … …
┇
i xi1 xi2 xi3
┇
… … … …
┇
a xa1 xa2 xa3
┇
x11 X12 X13
┇
x1j
2
因此，通过比较MSe与MS A的大小就可以反映出α i的大小。
如果MS A与MS e 相差不大，就可以认为各α i与0的差异不大；
自由度的准确意义是对平方和进行归一化时需要的一个参数，是我 们构造假设检验所用统计量的一个组成部分
• 总平方和SST = ∑∑ ( xij − x•• ) 2的自由度，记为dfT
Excel中的单因素方差分析
Excel中的单因素方差分析一、目的要求为了解决多个样本平均数差异显著性的测验问题，需要应用方差分析。
方差分析是把试验看成一个整体，分解各种变异的原因。
从总的方差中，将可能的变异原因逐个分出，并用误差的方法作为判断其他方差是否显著的标准，如果已知变异原因的方差比误差方差大得多，那么，该方差就不是随机产生的，试验的处理间的差异不会是由于误差原因造成的，这时处理的效应是应该肯定的。
通过学习Excel中方差分析，掌握基本的分析操作，能够处理实验的数据。
二、实验工具Microsoft Excel三、试验方法2、例：在五个硼肥试验处理中测得苹果叶内硼含量（ppm），试比较各处理苹果叶内平均含硼量的差异显著性。
3、操作步骤：在Excel统计中，完全随机试验设计的方差分析，只须经过单因素方差分析即可得出结果，具体步骤如下：①打开Excel,向单元格中输入文字与数字，建立表格；②单击“工具”，在出现的对话框中，选择“数据分析”，选取“方差分析: 单因素方差分析”；③单击“确定”，单击“输入区域：”框右边的按钮，用鼠标选中数据，再次单击按钮；其他设置选择a为0.05。
分组方式：行。
点选标志位于第一列④单击“确定”，即可输出单因素方差分析结果。
4、方差分析输出结果: SUMMARY组观测数求和平均方差A 6 52 8.666667 4.666667B 6 245 40.83333 13.76667C 6 96 16 11.6D 6 169 28.16667 34.96667E 6 249 41.5 3.55、多重比较：由方差分析的结果，采用新复极差测验法，再稍加计算比较处理, 即可得出：新复极差测验的LSR值6结论：由方差分析结果F=94.17>F o.o5=Fcrit=2.76，可知5种喷硼处理间差异显著，并可知除E与B二处理间无极显著差异外，其他均有极显著差异。
SPSS中的单因素方差分析一、基本原理单因素方差分析也即一维方差分析，是检验由单一因素影响的多组样本某因变量的均值是否有显著差异的问题，如各组之间有显著差异，说明这个因素（分类变量）对因变量是有显著影响的，因素的不同水平会影响到因变量的取值。
单因素试验的方差分析
其中
r n i
2r
2
S S A X iX n i ii
i 1j 1
i 1
组间平方和（系
如果H0 成立，则SSA 较小。 统离差平方和）
反映的是各水平平均值偏离总平均值的偏离程度。
其中
1 r ni
ni1 j1
ij,
ni
i ij
j1
r ni
2 r ni
2
由P106定理5.1可推得：
S S 2 T~2 n 1 ,S S 2 A ~2 r 1 ,S S 2 E ~2 n r
将 分别SS记2T 作, SS2A
,
SSE
2
的自d由fT度,dfA,dfE
则 FSSA dfA~Fr1,nr
SSE dfE
（，称记作均S S 方A 和d f）A M S A ,S S Ed fE M S E
j1
i1
同一水平 下观测值 之和
所以观测 值之和
例2 P195 2 以 A、B、C 三种饲料喂猪，得一个月后每猪 所增体重（单位：500g）于下表，试作方差分析。
饲料
增重
A
51
40
43
48
B
23
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ25
26
C
23
28
解：T1 51404348182, T2 232526 74, T3 232851
F0.012,610.92
1 5 .0 3
总和 1024.89 8
不同的饲料对猪的体重的影响极有统计意义。
例2的上机实现步骤
输入原始数 据列，并存 到A，B，C 列；
各水平数据放同一列
各水平数据 放在不同列
单因素方差分析
其中交叉项
ni s ⎤ ⎡ 2∑∑ (xij − xi )( xi − x ) = 2∑ ⎢( xi − x )∑ (xij − xi )⎥ = 2∑ ( xi − x )(ni xi − ni xi ) = 0 i =1 j =1 i =1 ⎣ j =1 i =1 ⎦ s ni s
记 S E = ∑∑ (xij − xi )
素水平的差异对结果影响的大小 响越显著 比值越大 这种影
2
接下去就是如何确定一个合理的界限值
2
以便当
SA 大于这个界限值时就认为该因素对结果的影响显 2 SE
著 从而拒绝 H 0 故
2
⎧SA ⎫ 取 H 0 的拒绝域为W = ⎨ 2 > c ⎬ ⎩SE ⎭ ⎧ S A2 s −1 ⎫ > k⎬ W =⎨ 2 ⎩SE n − s ⎭
i =1 j =1
6.4 在由 ST2 刻
ST2 的大小刻划了全部试验结果的离散程度
划的离散性中 来
既有随机因素所引起的
也可能有因素 A
水平的差异所引起的 如果能设法将这两者合理地区分开 问题就容易解决了
1 定义 xi = ni
∑ xij (i = 1,2,L, s )
i =1
ni
6.5
称为水平 Ai 时的样本平均值 考虑 ST2 的如下分解
H 0 : u1 = u 2 = L = u s
是否成立 正态总体 N (u1 , σ 2 )的样本 结为随机波动 若 H 0 成立
6.2
则各水平下的样本可以看成来自同一 而试验结果的差异只能归 若 H 0 不成立 则表明因素 A 不同水平 亦即因素 A 对结果是
下的随机变量总体间存在差异 有影响的
S = ∑∑ (xij − x ) = ∑∑ (xij − xi + xi − x )
检验多组独立样本均值的差异—单因素方差分析
二、操作方法
（2）此时弹出【单因素方差分析】 对话框，从左侧列表框中选定所要分析 的变量，单击中间上方的 按钮，将 其移到【因变量列表】列表框中；再从 左侧列表框中选定所要分析的类别变量， 并单击中间下方的 按钮，将其移到 【因子】列表框中，如图6-3所示。
7
图6-3 【单因素方差分析】对话框
——
组和一个对照组的比较，选择此项可激活下方的【控制类别】下拉列表框，可设定第 一个或最后一个作为对照组，系统默认的是最后一个作为对照组。此外，下方激活的 【检验】栏中有【双侧】、【<控制】和【>控制】3个选项。其中，【双侧】表示双 侧t检验；【<控制】表示比较组的各组均值均小于对照组均值的单侧t检验；【>控制】 表示比较组的各组均值均大于对照组均值的单侧t检验。
11
——
任 务
检 验 单多 因组 素独 方立 差样 分本 析均 值 的 差 异
12
二、操作方法
➢ 【R-E-G-W F】复选框：用基于F检验的逐步缩小的多重比较显示一致性子集表。 ➢ 【R-E-G-W Q】复选框：用基于学生化极差分布（Student-Range）的逐步缩小的多
元统计过程进行子集一致性检验。 ➢ 【S-N-K】复选框：用学生化极差分布进行子集一致性检验。 ➢ 【Tukey】复选框：用学生化极差分布进行所有组间均值的配对比较，用所有配对比较
的累计误差率作为实验误差率，同时还进行子集一致性检验。该方法设定的临界值也 是恒定的，但也比Scheffe方法的临界值低。 ➢ 【Tukey s-b】复选框：用Tukey的交替过程检验进行组间均值的配对比较，其精确性 为S-N-K和Tukey两种检验相应值的平均值。 ➢ 【Duncan】复选框：指定一系列的极差值，逐步进行计算比较得出结论，显示一致性 子集检验结果。