实验报告6_单因素方差分析
单因素方差分析（one-wayANOVA）
单因素方差分析（one-wayANOVA）单因素⽅差分析（one-wayANOVA）单因素⽅差分析（⽅）单因素⽅差分析概念是⽅来研究⽅个控制变量的不同⽅平是否对观测变量产⽅了显著影响。
这⽅，由于仅研究单个因素对观测变量的影响，因此称为单因素⽅差分析。
例如，分析不同施肥量是否给农作物产量带来显著影响，考察地区差异是否影响妇⽅的⽅育率，研究学历对⽅资收⽅的影响等。
这些问题都可以通过单因素⽅差分析得到答案。
（⽅）单因素⽅差分析步骤第⽅步是明确观测变量和控制变量。
例如，上述问题中的观测变量分别是农作物产量、妇⽅⽅育率、⽅资收⽅；控制变量分别为施肥量、地区、学历。
第⽅步是剖析观测变量的⽅差。
⽅差分析认为：观测变量值的变动会受控制变量和随机变量两⽅⽅的影响。
据此，单因素⽅差分析将观测变量总的离差平⽅和分解为组间离差平⽅和和组内离差平⽅和两部分，⽅数学形式表述为：SST=SSA+SSE。
第三步是通过⽅较观测变量总离差平⽅和各部分所占的⽅例，推断控制变量是否给观测变量带来了显著影响。
（三）单因素⽅差分析原理总结在观测变量总离差平⽅和中，如果组间离差平⽅和所占⽅例较⽅，则说明观测变量的变动主要是由控制变量引起的，可以主要由控制变量来解释，控制变量给观测变量带来了显著影响；反之，如果组间离差平⽅和所占⽅例⽅，则说明观测变量的变动不是主要由控制变量引起的，不可以主要由控制变量来解释，控制变量的不同⽅平没有给观测变量带来显著影响，观测变量值的变动是由随机变量因素引起的。
（四）单因素⽅差分析基本步骤1、提出原假设：H0——⽅差异；H1——有显著差异2、选择检验统计量：⽅差分析采⽅的检验统计量是F统计量，即F值检验。
3、计算检验统计量的观测值和概率P值：该步骤的⽅的就是计算检验统计量的观测值和相应的概率P值。
4、给定显著性⽅平，并作出决策（五）单因素⽅差分析的进⽅步分析在完成上述单因素⽅差分析的基本分析后，可得到关于控制变量是否对观测变量造成显著影响的结论，接下来还应做其他⽅个重要分析，主要包括⽅差齐性检验、多重⽅较检验。
单因素方差分析报告
单因素方差分析报告一、引言单因素方差分析是一种常用的统计方法，用于比较两个或多个组之间的差异。
通过对多个组的数值数据进行分析，可以帮助我们了解不同组之间是否存在显著差异，并进一步研究造成这些差异的原因。
本报告旨在通过单因素方差分析，探究不同品牌汽车的平均价格是否存在差异。
二、方法在本研究中，我们选取了A、B、C、D四个品牌的汽车作为研究对象，收集了每个品牌下的10辆汽车的价格数据。
采用单因素方差分析方法可以帮助我们确定品牌因素对汽车价格的影响是否显著。
三、结果经过单因素方差分析，我们得到如下结果：品牌平均价格方差 F值 p值---------------------------------------------------A 25万 1.2 15.23 0.001B 23万 1.5 13.52 0.001C 27万 1.1 17.84 0.001D 20万 1.8 11.47 0.001根据上述结果可知，不同品牌汽车的平均价格存在显著差异。
通过F检验，我们可以得到p值均小于0.05，说明这种差异不是由于抽样误差造成的。
同时，不同品牌汽车的方差也有所不同，这表明品牌因素在汽车价格的变异中起到了一定的作用。
四、讨论与分析品牌因素对汽车价格的影响是一个相对复杂的问题。
一方面，品牌在市场中的知名度和声誉对消费者购买决策有很大影响，知名品牌的汽车往往具有更高的价格。
另一方面，不同品牌的汽车在技术、配置以及服务等方面可能存在差异，也会造成价格的不同。
在本研究中，我们所选取的四个品牌的汽车，虽然价格存在显著差异，但这并不代表具体的品牌定位和市场策略。
有可能A品牌的汽车性能更好，配置更高，而D品牌的汽车定位为入门级，价格更为亲民。
因此，在选择汽车时，消费者需要综合考虑品牌声誉、性能配置以及价格等因素。
此外，本研究的样本数量有限，只选取了每个品牌下的10辆汽车。
若想得出更准确的结论，建议扩大样本数量，增加数据的可靠性。
单因素试验的方差分析
实验二 单因素试验的方差分析
实验目的：1．掌握单因素实验方差分析的方法与步骤；
2．正确分析输出结果中的各参数，并得出正确结论。
实验内容：
采用四种不同产地的原料萘，按同样的工艺条件合成β—萘酚，测定所得产品的
熔点如表1所示，问原料萘的产地是否显著影响产品的熔点？
表2.1 不同产地原料萘合成β—萘酚的熔点℃
操作步骤：
1.excel 的工作表中输入如表1.1所示的的样本数据， 2．点击“工具—数据分析—方差分析：单因素方差分析”，在弹出对话框的输入区域，拖动鼠标选择样本值A2:D5；分组方式，选择列；显著性水平α设置为0.1，如图
2.1所示。
图2.1 应用excel “数据分析”功能求单因素方差分析的有关参数
3．点击确定，输出参数的窗口如图2.2所示。
图2.2 应用excel“数据分析”功能求单因素方差分析的有关参数
结果分析：
（1）SUMMARY给出的是该因子各水平的扼要分析结果，包括各样本的容量、数据、样本均值和样本方差。
（2）在输出的方差分析表中，组间即“产地因子”；组内即指“误差”；SS 为平方和；df 是自由度；P-value 为P 值，即所达到的临界显著水平；F crit 是Fα（t-1，N-t）的值。
由于P
值为0.231767>0.1，所以萘的产地对萘酚熔点无显著影响。
单因素方差的结果分析
单因素方差的结果分析
单因素方差分析是一种用于比较两个或更多个样本均值之间差异的方法。
在进行单因素方差分析时，需要进行以下几个步骤：
1. 建立假设：首先需要建立原假设和备择假设。
原假设通常是认为各组样本的均值之间没有显著差异，备择假设则认为各组样本的均值之间存在显著差异。
2. 计算平方和：计算总平方和（SST）和组内平方和（SSE）。
总平方和表示了所有样本值与总均值之间的差异总和，组内平方和表示了各组样本值与组均值之间的差异总和。
3. 计算均方：计算总均方（MST）和组内均方（MSE）。
总均方是总平方和与自由度之间的比值，组内均方是组内平方和与自由度之间的比值。
4. 计算统计量：计算F统计量。
F统计量是组间均方与组内均方之比。
5. 判断显著性：根据F统计量的值与临界值进行比较，判断差异是否显著。
如果F统计量大于临界值，则可以拒绝原假设，认为各组样本的均值之间存在显著差异。
6. 进行事后比较：如果F统计量的结果显著，通常需要进行事后比较来确定哪些组之间存在显著差异。
常用的事后比较方法包括Tukey的HSD测试和
Bonferroni校正等。
通过以上步骤可以对单因素方差分析的结果进行分析，确定各组样本均值之间是否存在显著差异。
单因素试验的方差分析
=
2 2
=
2 s
2
;
(3)从每个总体中抽取的样本相互独立.
那么,要从已知数据中推断 s 个总体是否具有显著 的差异,就要比较各个总体的均值是否相等.设第 j 个总
体的均值为 j ,则要检验的假设为
H0 : 1 2 s , H1 : 1, 2 , , s不全相等.
（8-1）
单 因 素 A 具 有 s 个 水 平 A1, A2 , , As , 在 每 个 水 平
推进器 B
A1
B1
58.2 52.6
B2
56.2 41.2
B3
65.3 60.8
燃料 A
49.1 54.1 51.6 A2 42.8 50.5 48.4
60.1 70.9 39.2 A3 58.3 73.2 40.7
75.8 58.2 48.7 A4 71.5 51.0 41.4
这里的试验指标是射程,推进器和燃料是因素, 它们分别有 3 个、 4 个水平.这是一个双因素试验.试 验的目的在于考察在各种因素的各个水平下射程有 无显著的差异,即考察推进器和燃料这两个因素对射 程是否有显著的影响.
H1 : 1,2 ,
,
不全为0.
s
1.3 偏差平方和及其分解
定义 8.2 方和,其中
s nj
称 ST (Xij X )2 为样本的总偏差平 j 1 i1
称为样本的总均值.
1 s nj
X n j1 i1 X ij
s nj
定义 8.3 称 SE =
( Xij X .j )2 为样本的误差平方
差. SA 体现了各水平 Aj 的样本均值 X j 与总均值 X 之间
的差异,反映了样本之间的不同,它是由因素 A 的不同水 平效应的差异以及随机误差引起的.
单因素试验的方差分析
单因素试验的方差分析
在方差分析中,我们将要考察的指标称为试验指标，影响 试验指标的条件称为因素(或因子),常用A、B、C, …来表示. 因 素可分为两类，一类是人们可以控制的；一类是人们不能控 制的。 例如，原料成分、反应温度、溶液浓度等是可以控制 的，而测量误差、气象条件等一般难以控制。 以下我们所说 的因素都是可控因素，因素所处的状态称为该因素的水平。 如果在一项试验中只有一个因素在改变，这样的试验称为单 因素试验，如果多于一个因素在改变，就称为多因素试验.
一、单因素试验方差分析的统计模型
例9.1 为求适应某地区的高产水稻的品种( 因素或因子) , 现选了 五个不同品种( 水平)的种子进行试验, 每一品种在四块试验田上进 行试种。假设这 20块土地的面积与其他条件基本相同, 观测到各块 土地上的产量( 单位: 千克) 见表9–1。
在这个问题目中, 要考察的指标是水稻的产量, 影响产量的因
分析的统计模型 .
方差分析的任务是对于模型(9. 1 ) , 检验 s 个总体 N ( 1 , 2) , …, N
( s , 2)的均值是否相等, 即检验假设
H0 : 1 2 s H1 : 1 , 2 , s , 不全相等。
（9.2）
为将问题( 9. 2 ) 写成便于讨论的形式, 采用记号
s nj
ST
(xij x)2
j1 i1
(9.3)
这里
x
1 n
s j 1
nj i1
xij ，
ST能反应全部试验数据之间的差异，又称
为总变差 Aj下的样本均值
x
j
1 n
nj i1
xij
(9.4)
注意到
(xij x )2 (xij x j x j x )2 =(xij x j )2 (x j x )2 2(xij x j )(x j x )
单因素方差分析报告完整实例
什么是单因素方差分析单因素方差分析是指对单因素试验结果进行分析，检验因素对试验结果有无显著性影响的方法。
单因素方差分析是两个样本平均数比较的引伸，它是用来检验多个平均数之间的差异，从而确定因素对试验结果有无显著性影响的一种统计方法。
单因素方差分析相关概念●因素：影响研究对象的某一指标、变量。
●水平：因素变化的各种状态或因素变化所分的等级或组别。
●单因素试验：考虑的因素只有一个的试验叫单因素试验。
单因素方差分析示例[1]例如，将抗生素注入人体会产生抗生素与血浆蛋白质结合的现象，以致减少了药效。
下表列出了5种常用的抗生素注入到牛的体内时，抗生素与血浆蛋白质结合的百分比。
现需要在显著性水平α = 0.05下检验这些百分比的均值有无显著的差异。
设各总体服从正态分布，且方差相同。
在这里，试验的指标是抗生素与血浆蛋白质结合的百分比，抗生素为因素，不同的5种抗生素就是这个因素的五个不同的水平。
假定除抗生素这一因素外，其余的一切条件都相同。
这就是单因素试验。
试验的目的是要考察这些抗生素与血浆蛋白质结合的百分比的均值有无显著的差异。
即考察抗生素这一因素对这些百分比有无显著影响。
这就是一个典型的单因素试验的方差分析问题。
单因素方差分析的基本理论[1]与通常的统计推断问题一样，方差分析的任务也是先根据实际情况提出原假设H0与备择假设H1，然后寻找适当的检验统计量进行假设检验。
本节将借用上面的实例来讨论单因素试验的方差分析问题。
在上例中，因素A（即抗生素）有s（=5）个水平，在每一个水平下进行了n j = 4次独立试验，得到如上表所示的结果。
这些结果是一个随机变量。
表中的数据可以看成来自s个不同总体（每个水平对应一个总体）的样本值，将各个总体的均值依次记为,则按题意需检验假设不全相等为了便于讨论，现在引入总平均μ其中：再引入水平A j的效应δj显然有，δj表示水平A j下的总体平均值与总平均的差异。
利用这些记号，本例的假设就等价于假设不全为零因此，单因素方差分析的任务就是检验s个总体的均值μj是否相等，也就等价于检验各水平A j的效应δj是否都等于零。
单因素方差分析报告
单因素方差分析报告概述本报告旨在分析单因素方差分析的结果。
单因素方差分析是一种用于比较三个或以上样本均值是否存在统计显著差异的统计方法。
本报告将就实验设计、数据处理、方差分析结果和结论进行详细阐述。
实验设计本次实验采用了完全随机设计，共设置了3个水平，每个水平下有10个样本。
每个水平下的样本分别代表了不同的处理条件。
本实验的目的是比较不同处理条件对于实验结果的影响。
数据处理在进行方差分析之前，首先对数据进行了基本的描述统计分析，包括计算平均值、标准差和样本数。
然后使用方差分析方法进行数据处理。
方差分析结果经过方差分析，我们得到了以下结果：F值 = 4.521，自由度（组间） = 2，自由度（组内） = 27，P值 = 0.021根据F值和P值可以判断，不同处理条件对实验结果产生了显著影响。
P值小于显著性水平（通常为0.05），表明我们可以拒绝原假设，即不同处理条件下样本均值相等的假设。
结论根据方差分析的结果，我们可以得出以下结论：不同处理条件对实验结果产生了统计显著影响。
通过比较各处理条件下的样本均值，我们发现处理条件1和2之间存在显著差异，而处理条件3与前两个处理条件之间没有显著差异。
进一步分析显示，处理条件1的均值显著高于处理条件2，而处理条件3的均值与前两个处理条件相比较低。
这可能意味着在未来的实践中，处理条件1可以被优先选择，以获得更好的实验结果。
此外，我们还注意到组内方差明显大于组间方差，这可能是由于实验中存在其他未考虑的因素导致的。
在进一步的研究中，我们可以探索这些未考虑因素对实验结果的影响，并将其纳入到更全面的分析中。
总结本报告通过单因素方差分析方法对不同处理条件下的实验结果进行了比较。
通过分析结果，我们得出了处理条件对实验结果的显著影响，并通过比较各处理条件下的均值提出了相应的建议。
单因素方差分析是一种常用的统计方法，可以应用于各种实验和研究中。
然而，需要注意的是，方差分析只能判断均值之间是否存在统计显著差异，并不能确定具体的差异大小。
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实验六 单因素方差分析实验目的：1.掌握单因素方差分析的理论与方法；2. 掌握利用SAS 进行模型的建立与显著性检验，解决有关实际应用问题.实验要求:编写程序，结果分析． 实验内容：1.写出单因素方差分析模型的步骤，平方和分解公式；解：一、单因素方差分析模型的步骤：(1) MODEL 因变量名称＝因素效应语句 ，即单因素模型：Model Y=A ； (2) MEANS 因素效应/选项 语句 选项部分：可以是下列选项1）T （或LSD ）：对effects 列出的各因素在不同水平上的均值进行两两比较的t 检验各2）BON ：对effects 列出的各因素在其不同水平上的均值进行Bonferroni 同时两两比较t 检验4）CLDIFF ：输出effects 中列出的各因素在不同水平上的两两均值之差的置信区间5）CLM ：要求输出“effects ”中列出的各因素在其不同水平上的均值的置信区间二、平方和分解公式:各ij y 间总的差异大小可用总（偏差）平方和T SS 表示：∑∑==-=a i n j ij T iy y SS 112)(随机误差引起的数据间的差异可以用组内偏差平方和表示，也称误差（偏差）平方和E SS ：∑=∙-=ai i i A y y n SS 12)(由于组间偏差除了随机误差外，还反映了效应的差异，故由于效应不同引起的数据差异可以用组间偏差平方和表示，也称因素A 的（偏差）平方和A SS ：∑∑==∙-=a i n j i ij E iy y SS 112)(将表示总偏差的平方和进行分解：AE i ai i a i n j i ij i a i n j i ij ai n j i a i n j i ij ai n j i i ij ai n j ij T SS SS y y n y y y y y y y y y y y y y y y y SS i iiiii+=-+-=--+-+-=-+-=-=∙===∙∙==∙==∙==∙==∙∙==∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑2111211112112112112)()()()(2)()()()( (3.5) 其中y y y yi ai n j i iji--∙==∙∑∑()(11）＝)[(1∑=∙-ai i y y ])(1∑=∙-in j i ij y y 0))((1=--=∙∙=∙∑i i i i ai i y n y n y y ，即：总平方和=误差平方和+因素平方和2.3.4 3.5（选作）3.4程序：data examp3_4;input chj $ delv @@; cards ; a1 0.88 a1 0.85 a1 0.79 a1 0.86 a1 0.85 a1 0.83 a2 0.87 a2 0.92 a2 0.85 a2 0.83 a2 0.90 a2 0.80 a3 0.84 a3 0.78 a3 0.81a3 0.80 a3 0.85 a3 0.83 a4 0.81 a4 0.86 a4 0.90 a4 0.87 a4 0.78 a4 0.79 ; run ;proc anova data =examp3_4; /* µ÷Ó÷½²î·ÖÎö¹ý³Ì */ class chj; model delv=chj; run ;The SAS System 11:16 Friday, October 22, 2013 1 The ANOVA ProcedureClass Level InformationClass Levels Valueschj 4 a1 a2 a3 a4表示一个因素chj,四个水平Number of observations 24样本值个数24 The SAS System 18:50 Saturday, December 4, 2012 2The ANOVA ProcedureDependent Variable: delvSum ofSource DF Squares Mean Square F Value Pr > F方差来源 自由度 平方和 均方 f=E A MS MS / p 值Model 3 0.00584583 0.00194861 1.31 0.3002Error 20 0.02985000 0.00149250Corrected Total 23 0.03569583R-Square Coeff Var Root MSE delv Mean0.163768 4.601436 0.038633 0.839583Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr > Fchj 3 0.00584583 0.00194861 1.31 0.3002由计算可知检验假设43210:μμμμ===H ，31.1/==E A MS MS f05.03002.0))20,3((>=≥=f F P p 该值较大，因此认为这四种不同催化剂对该化工产品的得率无显著影响 3.5（1）程序：data examp3_5;input kyjf $ tgl @@; cards ; a1 7.6 a1 8.2 a1 6.8 a1 5.8 a1 6.9 a1 6.6 a1 6.3 a1 7.7 a1 6.0 a2 6.7 a2 8.1 a2 9.4 a2 8.6 a2 7.8 a2 7.7 a2 8.9 a2 7.9 a2 8.3 a2 8.7 a2 7.1 a2 8.4 a3 8.5 a3 9.7 a3 10.1a3 7.8 a3 9.6 a3 9.5 ; run ;proc anova data =examp3_5; class kyjf; model tgl=kyjf; run ;The SAS System 11:16 Friday, October 22, 2013 1The ANOVA ProcedureClass Level InformationClass Levels Valueskyjf 3 a1 a2 a3表示一个因素kyjf,三个水平Number of observations 27The SAS System 11:16 Friday, October 22, 2013 1 The ANOVA ProcedureDependent Variable: tglSum ofSource DF Squares Mean Square F Value Pr > F方差来源 自由度 平方和 均方 f=E A MS MS / p 值Model 2 20.12518519 10.06259259 15.72 <.0001Error 24 15.36222222 0.64009259Corrected Total 26 35.48740741R-Square Coeff Var Root MSE tgl Mean0.567108 10.06128 0.800058 7.951852Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr > Fkyjf 2 20.12518519 10.06259259 15.72 <.0001由计算可知检验假设3210:μμμ==H ，72.15/==E A MS MS f0001.0))24,3((<≥=f F P p 较小，因此认为在显著水平=α0.05下过去三年科研经费投入的不同对当年生产力的提高有显著影响。
（2）proc anova data =examp3_5; class kyjf; model tgl=kyjf; means kyjf; means kyjf/t clm alpha =0.05; means kyjf/t cldiff alpha =0.05; run ;The SAS System 11:16 Friday, October 22, 2013 1 The ANOVA Procedure i n j iji n yy i/1∑=∙= )1/()(212--=∙=∙∑i i n j ij i n y y siLevel of -------------tgl------------- kyjf N Mean Std Dev因素kyjf 的水平 观测次数i n 各总体均值∙i y 各总体样本标准差isa1 9 6.87777778 0.81359968 a2 12 8.13333333 0.75718778 a3 6 9.20000000 0.86717934 给出i μ置信度α-1的置信区间The ANOVA Proceduret Confidence Intervals for tglAlpha 0.05 Error Degrees of Freedom 24 Error Mean Square 0.640093 Critical Value of t 2.0639095% Confidence kyjf N Mean Limitsa3 6 9.2000 8.5259 9.8741 a2 12 8.1333 7.6567 8.6100 a1 9 6.8778 6.3274 7.4282 The SAS System 11:16 Friday, October 22, 2013 1 The ANOVA Proceduret Tests (LSD) for tglNOTE: This test controls the Type I comparisonwise error rate, not the experimentwise error rate.Alpha 0.05 误差平方自由度 Error Degrees of Freedom a n -= 24 均方误差 Error Mean Square =EMS 0.640093检验t 值 Critical Value of t )327(975.0-t =2.06390***表示显著差异 Comparisons significant at the 0.05 level are indicated by ***.Differencekyjf Between 95% Confidence Comparison Means Limits各因素比较 均值差j iμμ-估计 95%的均值差的置信区间a3 - a2 1.0667 0.2410 1.8923 *** a3 - a1 2.3222 1.4519 3.1925 *** a2 - a3 -1.0667 -1.8923 -0.2410 *** a2 - a1 1.2556 0.5274 1.9837 *** a1 - a3 -2.3222 -3.1925 -1.4519 *** a1 - a2 -1.2556 -1.9837 -0.5274 ***估计结果求得,8778.6,1333.8,2000.9321===∙∙∙y y y 由表3.6知，0.64009259=E MS ，)24()(975.021t a n t =--α=2.06390，,6,12,9321==n n n ，，i μ置信度α-1的置信区间⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+---∙-∙i E i i E i n MS a n ty n MS a n ty /)(,/)(2121αα 故得生产能力增高量的均值321μμμ，，的置信度95%的置信区间分别为 （8.5259 ，9.8741）（7.6567 ，8.6100）（6.3274 ，7.4282）j i μμ-的置信度95%的置信区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+----∙∙-∙∙E j i E j i MS n n a n ty y MS n n a n t y y )11()(,)11()(21212121αα 故得生产能力增高量的均值321μμμ，，的两两之差置信度95%的置信区间分别为 21μμ-：（-1.9837 ，-0.5274）31μμ-：（-3.1925 ， -1.4519）32μμ-：（-1.8923 ， -0.2410） 1μ显著大于3μ和2μ， 2μ显著大于3μ．（3）proc anova data =examp3_5; class kyjf; model tgl=kyjf;means kyjf/bon cldiff alpha =0.05; run ;下面给出均值差的同时置信区间The SAS System 11:16 Friday, October 22, 2013 1 The ANOVA ProcedureBonferroni (Dunn) t Tests for tglNOTE: This test controls the Type I experimentwise error rate, but it generally has a higher TypeII error rate than Tukey's for all pairwise comparisons.Alpha 0.05 Error Degrees of Freedom 24 Error Mean Square 0.640093 Critical Value of t 2.57364Comparisons significant at the 0.05 level are indicated by ***.Differencekyjf Between Simultaneous 95% Comparison Means Confidence Limits各因素比较 均值差j iμμ-估计 95%均值差的同时置信区间a3 - a2 1.0667 0.0371 2.0962 *** a3 - a1 2.3222 1.2370 3.4074 *** a2 - a3 -1.0667 -2.0962 -0.0371 ***a2 - a1 1.2556 0.3476 2.1635 *** a1 - a3 -2.3222 -3.4074 -1.2370 *** a1 - a2 -1.2556 -2.1635 -0.3476 ***。