专题训练(二)探究整式中的规律问题
2019-2020整式找规律专题
2019-2020整式找规律专题（含答案）一、解答题 1．你会求的值吗?这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律：（1）由上面的规律我们可以大胆猜想，得到=________利用上面的结论，求 （2）的值； （3）求的值.2．下列是用火柴棒拼出的一列图形．仔细观察，找出规律，解答下列各题：⑴第4个图中共有_________根火柴，第6个图中共有_________根火柴； ⑵第n 个图形中共有_________根火柴(用含n 的式子表示) ⑶若f(n)=2n −1（如f(−2)=2×(−2)−1，f(3)=2×3−1），求f(1)+f(2)++f(2017)2017L 的值．⑷请判断上组图形中前2017个图形火柴总数是2017的倍数吗，并说明理由? 3．观察下列算式：111111111111;;;2121262323123434==-==-==-⨯⨯⨯……（1）通过观察，你得到什么结论？用含n （n 为正整数）的等式表示：________． （2）利用你得出的结论，计算：1111(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)a a a a a a a a +++--------4．观察以下等式： 第1个等式：101011212++⨯=， 第2个等式：111112323++⨯=， 第3个等式：121213434++⨯=， 第4个等式：131314545++⨯=， 第5个等式：141415656++⨯=， ……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式： ；（2）写出你猜想的第n 个等式： (用含n 的等式表示)，并证明.5．先观察：1﹣=×，1﹣=×，1﹣=×，…（1）探究规律填空：1﹣= × ；（2）计算：（1﹣）•（1﹣）•（1﹣）…（1﹣）6．我们知道，，，……(1)猜想：13+23+33+…+(n－1) 3+n 3=×( ) 2×( ) 2． (2)计算：①13+23+33+…+993+1003； ②23+43+63+…+983+1003．7．有规律排列的一列数：2,4,6,8,10,12，…，它的每一项可用式子2n(n 是正整数)来表示；则有规律排列的一列数：1，－2,3，－4,5，－6,7，－8，… (1)它的每一项你认为可用怎样的式子来表示？ (2)它的第100个数是多少？(3)2 017是不是这列数中的数？如果是，是第几个数？8．已知x 1，x 2，x 3，…x 2016都是不等于0的有理数，若y 1=11x x ，求y 1的值．当x 1＞0时，y 1=11x x =11x x =1；当x 1＜0时，y 1=11x x =11x x =﹣1，所以y 1=±1（1）若y 2=11x x +22x x ，求y 2的值（2）若y 3=11x x +22x x +33x x ，则y 3的值为 ；（3）由以上探究猜想，y 2016=11x x +22x x +33x x +…+20162016x x 共有 个不同的值，在y 2016这些不同的值中，最大的值和最小的值的差等于 ． 9．（1）填空：______ ；______ ；______ ；（2）猜想：（a-b ）（a n-1+a n-2b+a n-3b 2+…+ab n-2+b n-1）= ______ （其中n 为正整数，且n≥2）； （3）利用（2）猜想的结论计算：①29+28+27+…+22+2+1②210-29+28-…-23+22-2．10．仔细阅读下面的例题，找出其中规律，并解决问题： 例：求2342017122222++++++L 的值. 解：令S ＝2342017122222++++++L ， 则2S ＝23452018222222++++++L ， 所以2S ﹣S ＝201821- ，即S=201821-， 所以2342017122222++++++L ＝201821- 仿照以上推理过程，计算下列式子的值：① 234100155555++++++L ② 234520161333333L -+-+-++ 11．如图所示，用棋子摆成的“上”字：第一个“上”字 第二个“上”字 第三个“上”字 如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现： （1）第四、第五个“上”字分别需用 和 枚棋子． （2）第n 个“上”字需用 枚棋子．（3）如果某一图形共有102枚棋子，你知道它是第几个“上”字吗？ 12．观察下列三行数：0，3， 8，15，24, …2，5，10，17，26，…0，6，16，30，48，…（1）第行数按什么规律排列的，请写出来？（2）第、行数与第行数分别对比有什么关系？）（3）取每行的第个数，求这三个数的和13．观察下列各式：……由上面的规律：（1）求的值；（2）求…+2+1的个位数字．（3）你能用其它方法求出的值吗？14．有一列按一定顺序和规律排列的数：第一个数是；第二个数是；第三个数是；…对任何正整数n，第n个数与第（n+1）个数的和等于．（1）经过探究，我们发现：设这列数的第5个数为a，那么，，，哪个正确？请你直接写出正确的结论；（2）请你观察第1个数、第2个数、第3个数，猜想这列数的第n个数（即用正整数n表示第n数），并且证明你的猜想满足“第n个数与第（n+1）个数的和等于”；（3）设M表示，，，…，，这2016个数的和，即，求证：．15．观察下列等式：第1个等式：1111(1) 1323a==-⨯第2个等式：21111() 35235a==-⨯第3等式：31111() 57257a==-⨯第4个等式：41111() 79279a==-⨯请解答下列问题：（1）按以上规律写出第5个等式：a5＝＝．（2）用含n的式子表示第n个等式：a n＝＝（n为正整数）．（3）求a1+a2+a3+a4+…+a2018的值．16．这是一个很著名的故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏？阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒……按这个方法放满整个棋盘就行。
华东师大版七年级数学上册第三章 整式的加减 专题训练试题(含答案)
华东师大版七年级数学上册第三章整式的加减专题训练试题专题(一)整式的化简与求值1．已知有理数a，b，c 在数轴上的位置如图所示，化简|a＋b|－|c－b|的结果是()A ．a＋cB ．c－aC ．－a－cD ．a＋2b－c2．有理数a，b 在数轴上的位置如图所示，则化简式子|a＋b|＋a 的结果是______．3．若多项式2x 2＋3x＋7的值为10，则多项式6x 2＋9x－7的值为______．4．已知xy＝－1，x＋y＝12，那么y－(xy－4x－3y)的值等于______．5．计算：(1)6a 2＋4b 2－4b 2－7a 2；(2)(8a－7b)－(4a－5b)；(3)－12(x 2y－2xy 2－x 2)－13(－x 2－x 2y－xy 2)；(4)2(x 3－2y 2)－(x－2y)－(x－3y 2＋2x 3)；(5)3x 2－[5x－(12x－3)＋3x 2]．6．已知A＝x 2－2x＋1，B＝2x 2－6x＋3.求：(1)A＋2B；(2)2A－B.7．先化简，再求值：(1)14(－4x 2＋2x－8)－(12x－1)，其中x＝12；(2)(－2ab＋3a)－2(2a－b)＋2ab，其中a＝3，b＝1；(3)2(a 2b－ab 2)－3(a 2b－1)＋2ab 2＋1，其中a＝2，|b＋1|＝0.8．若单项式3x 2y 5与－2x1－a y 3b－1是同类项，求下面代数式的值：5ab 2－[6a 2b－3(ab 2＋2a 2b)]．9．已知a2＋b2＝6，ab＝－2，求(4a2＋3ab－b2)－(7a2－5ab＋2b2)的值．10．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，试解决下列问题：(1)因为a＜0，所以|a|＝______；(2)因为b_____0，－b_____0，所以|b|＝_____；|－b|＝_____；(3)因为1＋a_____0，所以|1＋a|＝_____；(4)因为1－b＜_____，所以|1－b|＝_____＝_____；(5)因为a＋b＞0，所以|a＋b|＝_____；(6)因为a－b_____0，所以|a－b|＝_____＝_____．11．已知有理数a，b，c在数轴上的对应点分别是A，B，C，其位置如图所示，化简：2|b ＋c|－3|a－c|－4|a＋b|.12．若多项式2mx2－x2＋5x＋8－(7x2－3y＋5x)的值与x无关，求m2－[2m2－(5m－4)＋m]的值．13．有一道题“先化简，再求值：17x 2－(8x 2＋5x )－(4x 2＋x －3)＋(5x 2＋6x －1)－3，其中x ＝2020.”小明做题时把“x ＝2020”错抄成了“x ＝－2020”．但他计算的结果却是正确的，请你说明这是什么原因？14．已知一个两位数，其十位数字是a，个位数字是b.(1)写出这个两位数；(2)若把这个两位数的十位数字与个位数字对换，得到一个新的两位数，这两个数的和能被11整除吗？为什么？其差又一定是哪个数的倍数？为什么？专题(二)整式中的规律探索1．a 是不为1的有理数，我们把11－a 称为a 的差倒数，如2的差倒数为11－2＝－1，－1的差倒数为11－（－1）＝12.已知a 1＝5，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，依此类推，a 2019的值是()A ．5B ．－14C .43D .452．观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70＋71＋72＋…＋72019的结果的个位数字是()A．0B．1C．7D．83．用棋子摆出下列一组图形：按照这种规律摆下去，第n个图形用的棋子个数为()A．3n B．6n C．3n＋6D．3n＋34．观察下列等式：①1＝12；②2＋3＋4＝32；③3＋4＋5＋6＋7＝52；④4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72；…请根据上述规律判断下列等式正确的是()A．1009＋1010＋…＋3026＝20172B．1009＋1010＋…＋3027＝20182C．1010＋1011＋…＋3028＝20192D．1010＋1011＋…＋3029＝202025．归纳“T”字形，用棋子摆成的“T”字形如图所示，按照图①，图②，图③的规律摆下去，摆成第n个“T”字形需要的棋子个数为_____．6．某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验：第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，…，按此规律，那么请你推测第n组取1的种子数是_____粒．7．按规律写出空格中的数：－2，4，－8，16，_____，64.8.已知一列数：a，b，a＋b，a＋2b，2a＋3b，3a＋5b，…，按照这个规律写下去，第9个数是_____．9.观察下列各等式：第一个等式3＝2＋1，第二个等式5＝3＋2，第三个等式9＝5＋4，第四个等式17＝9＋8，…，按此规律猜想第六个等式是_____．10．观察下列各式：22－1＝1×3，32－1＝2×4，42－1＝3×5，52－1＝4×6，…，根据上述规律，第n个等式应表示为_____．11．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有_____个〇.…12．观察下列单项式：－x，3x2，－5x3，7x4，…，－37x19，39x20，…，回答下列问题：(1)这组单项式的系数的规律是什么？(2)这组单项式的次数的规律是什么？(3)根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么？(4)请你根据猜想，写出第2019，2020个单项式．参考答案专题(一)整式的化简与求值1．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a＋b|－|c－b|的结果是(A)A．a＋c B．c－a C．－a－c D．a＋2b－c 2．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简式子|a＋b|＋a的结果是－b．3．若多项式2x2＋3x＋7的值为10，则多项式6x2＋9x－7的值为2．4．已知xy＝－1，x＋y＝12，那么y－(xy－4x－3y)的值等于3．5．计算：(1)6a 2＋4b 2－4b 2－7a 2；解：原式＝(6－7)a 2＋(4－4)b 2＝－a 2.(2)(8a－7b)－(4a－5b)；解：原式＝8a－7b－4a＋5b ＝4a－2b.(3)－12(x 2y－2xy 2－x 2)－13(－x 2－x 2y－xy 2)；解：原式＝－12x 2y＋xy 2＋12x 2＋13x 2＋13x 2y＋13xy2＝－16x 2y＋56x 2＋43xy 2.(4)2(x 3－2y 2)－(x－2y)－(x－3y 2＋2x 3)；解：原式＝2x 3－4y 2－x＋2y－x＋3y 2－2x 3＝－y 2－2x＋2y.(5)3x 2－[5x－(12x－3)＋3x 2]．解：原式＝3x 2－(5x－12x＋3＋3x 2)＝3x 2－5x＋12x－3－3x2＝－92x－3.6．已知A＝x 2－2x＋1，B＝2x 2－6x＋3.求：(1)A＋2B；(2)2A－B.解：(1)A＋2B＝x 2－2x＋1＋2(2x 2－6x＋3)＝x 2－2x＋1＋4x 2－12x＋6＝5x 2－14x＋7.(2)2A－B＝2(x 2－2x＋1)－(2x 2－6x＋3)＝2x 2－4x＋2－2x 2＋6x－3＝2x－1.7．先化简，再求值：(1)14(－4x 2＋2x－8)－(12x－1)，其中x＝12；解：原式＝－x 2＋12x－2－12x＋1＝－x 2－1.当x＝12时，原式＝－(12)2－1＝－54.(2)(－2ab＋3a)－2(2a－b)＋2ab，其中a＝3，b＝1；解：原式＝－2ab＋3a－4a＋2b＋2ab＝－a＋2b.当a＝3，b＝1时，原式＝－3＋2＝－1.(3)(安阳期末)2(a2b－ab2)－3(a2b－1)＋2ab2＋1，其中a＝2，|b＋1|＝0.解：原式＝2a2b－2ab2－3a2b＋3＋2ab2＋1＝－a2b＋4.因为a＝2，|b＋1|＝0，即b＝－1，所以原式＝－22×(－1)＋4＝4＋4＝8.8．若单项式3x2y5与－2x1－a y3b－1是同类项，求下面代数式的值：5ab2－[6a2b－3(ab2＋2a2b)]．解：因为3x2y5与－2x1－a y3b－1是同类项，所以1－a＝2，3b－1＝5.解得a＝－1，b＝2.原式＝5ab2－(6a2b－3ab2－6a2b)＝5ab2－6a2b＋3ab2＋6a2b＝8ab2.当a＝－1，b＝2时，原式＝8×(－1)×22＝－8×4＝－32.9．已知a2＋b2＝6，ab＝－2，求(4a2＋3ab－b2)－(7a2－5ab＋2b2)的值．解：原式＝－3a2＋8ab－3b2＝－3(a2＋b2)＋8ab，因为a2＋b2＝6，ab＝－2，所以原式＝－3×6＋8×(－2)＝－34.10．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，试解决下列问题：(1)因为a＜0，所以|a|＝－a；(2)因为b＞0，－b＜0，所以|b|＝b；|－b|＝b；(3)因为1＋a＞0，所以|1＋a|＝1＋a；(4)因为1－b＜0，所以|1－b|＝－(1－b)＝b－1；(5)因为a＋b＞0，所以|a＋b|＝a＋b；(6)因为a－b＜0，所以|a－b|＝－(a－b)＝b－a．11．已知有理数a，b，c在数轴上的对应点分别是A，B，C，其位置如图所示，化简：2|b ＋c|－3|a－c|－4|a＋b|.解：由数轴知，a＜b＜0＜c，且|b|＜|c|，所以b＋c＞0，a－c＜0，a＋b＜0.所以原式＝2(b＋c)－[－3(a－c)]－[－4(a＋b)]＝2b＋2c＋3(a－c)＋4(a＋b)＝2b＋2c＋3a－3c＋4a＋4b＝6a＋6b－c.12．若多项式2mx2－x2＋5x＋8－(7x2－3y＋5x)的值与x无关，求m2－[2m2－(5m－4)＋m]的值．解：2mx2－x2＋5x＋8－(7x2－3y＋5x)＝2mx2－x2＋5x＋8－7x2＋3y－5x＝(2m－8)x2＋3y＋8.因为此多项式的值与x无关，所以2m－8＝0，解得m＝4.m2－[2m2－(5m－4)＋m]＝m2－(2m2－5m＋4＋m)＝－m2＋4m－4，当m＝4时，原式＝－42＋4×4－4＝－4.13．有一道题“先化简，再求值：17x2－(8x2＋5x)－(4x2＋x－3)＋(5x2＋6x－1)－3，其中x＝2020.”小明做题时把“x＝2020”错抄成了“x＝－2020”．但他计算的结果却是正确的，请你说明这是什么原因？解：17x2－(8x2＋5x)－(4x2＋x－3)＋(5x2＋6x－1)－3＝17x2－8x2－5x－4x2－x＋3＋5x2＋6x－1－3＝10x2－1.因为当x＝2020和x＝－2020时，x2的值不变，所以他计算的结果是正确的．14．已知一个两位数，其十位数字是a，个位数字是b.(1)写出这个两位数；(2)若把这个两位数的十位数字与个位数字对换，得到一个新的两位数，这两个数的和能被11整除吗？为什么？其差又一定是哪个数的倍数？为什么？解：(1)10a＋b.(2)(10a＋b)＋(10b＋a)＝11a＋11b＝11(a＋b)，因为a，b都是整数，所以a＋b也是整数．所以这两个数的和能被11整除．(10a＋b)－(10b＋a)＝10a＋b－10b－a＝9a－9b＝9(a－b)，(10b＋a)－(10a＋b)＝10b＋a－10a－b＝9b－9a＝9(b－a)，因为a，b都是整数，所以a－b，b－a也是整数．所以这两个数的差一定是9的倍数．专题(二)整式中的规律探索1．a 是不为1的有理数，我们把11－a 称为a 的差倒数，如2的差倒数为11－2＝－1，－1的差倒数为11－（－1）＝12.已知a 1＝5，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，依此类推，a 2019的值是(D )A ．5B ．－14C .43D .452．观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70＋71＋72＋…＋72019的结果的个位数字是(A )A ．0B ．1C ．7D ．83．用棋子摆出下列一组图形：按照这种规律摆下去，第n 个图形用的棋子个数为(D )A ．3nB ．6nC ．3n＋6D ．3n＋34．观察下列等式：①1＝12；②2＋3＋4＝32；③3＋4＋5＋6＋7＝52；④4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72；…请根据上述规律判断下列等式正确的是(C )A ．1009＋1010＋…＋3026＝20172B ．1009＋1010＋…＋3027＝20182C ．1010＋1011＋…＋3028＝20192D ．1010＋1011＋…＋3029＝202025．归纳“T”字形，用棋子摆成的“T”字形如图所示，按照图①，图②，图③的规律摆下去，摆成第n个“T”字形需要的棋子个数为3n＋2．6．某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验：第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，…，按此规律，那么请你推测第n组取1的种子数是(2n＋1)粒．7．按规律写出空格中的数：－2，4，－8，16，－32，64.8.已知一列数：a，b，a＋b，a＋2b，2a＋3b，3a＋5b，…，按照这个规律写下去，第9个数是13a＋21b．9.观察下列各等式：第一个等式3＝2＋1，第二个等式5＝3＋2，第三个等式9＝5＋4，第四个等式17＝9＋8，…，按此规律猜想第六个等式是65＝33＋32．10．观察下列各式：22－1＝1×3，32－1＝2×4，42－1＝3×5，52－1＝4×6，…，根据上述规律，第n个等式应表示为(n＋1)2－1＝n(n＋2)．11．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有6058个〇.…12．观察下列单项式：－x，3x2，－5x3，7x4，…，－37x19，39x20，…，回答下列问题：(1)这组单项式的系数的规律是什么？(2)这组单项式的次数的规律是什么？(3)根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么？(4)请你根据猜想，写出第2019，2020个单项式．解：(1)这组单项式的系数的符号规律是(－1)n，系数的绝对值规律是2n－1.(2)这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数．(3)第n个单项式是(－1)n(2n－1)x n.(4)第2019个单项式是－4037x2019，第2020个单项式是4039x2020.。
整式中的两种规律探索问题(解析版)
专题05 整式中的两种规律探索问题类型一、数字类规律探索例.观察：（x ﹣1）（x +1）＝x 2﹣1，（x ﹣1）（x 2+x +1）＝x 3﹣1，（x ﹣1）（x 3+x 2+x +1）＝x 4﹣1，据此规律，当（x ﹣1）（x 5+x 4+x 3+x 2+x +1）＝0时，代数式x 2019﹣1的值为 _____． 【答案】0或﹣2【详解】解：根据题意得∶ （x ﹣1）（x +1）＝x 2﹣1， （x ﹣1）（x 2+x +1）＝x 3﹣1， （x ﹣1）（x 3+x 2+x +1）＝x 4﹣1， ……∶（x ﹣1）（x 5+x 4+x 3+x 2+x +1）＝x 6﹣1 ∶（x ﹣1）（x 5+x 4+x 3+x 2+x +1）＝0， ∶x 6﹣1＝0，解得：x ＝1或x ＝﹣1， 则x 2019﹣1＝0或﹣2， 故答案为：0或﹣2．【变式训练1】a 是不为1的有理数，我们把11-a 称为a 的差倒数，如2的差倒数为1-11-2=，－1的差倒数为111(1)2=--，已知15a =，2a 是1a 差倒数，3a 是2a 差倒数，4a 是3a 差倒数，以此类推……，2021a 的值是（ ） A ．5 B ．14-C ．43D ．45【答案】B【解析】∶15a = ， 2a 是1a 的差倒数，∶211154a ==--， ∶3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，∶314151-4a ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，∶415415a ==-，根据规律可得n a 以5，1-4，45为周期进行循环，因为2021＝673×3…2，所以202114a =-．故选B ．【变式训练2】有2021个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间数等于前后两数的和，如果第一个数是0，第二个数是1， 那么前6个数的和是______， 这2021个数的和是______． 【答案】0 1【解析】由题意得：第3个数是101-=，第4个数是110-=，第5个数是011-=-，第6个数是101--=-， 则前6个数的和是()()0110110++++-+-=， 第7个数是1(1)0---=，第8个数是0(1)1--=， 归纳类推得：这2021个数是按0,1,1,0,1,1--循环往复的，202163365=⨯+，且前6个数的和是0，∴这2021个数的和与前5个数的和相等，即为()011011++++-=，故答案为：0，1．【变式训练3】有一列数11315,,,,228432---，…，那么第n 个数为______． 【答案】()12nnn - 【详解】解：()11122-=-⨯，()221221242==-⨯，()3333182-=-⨯， ()4414414162==-⨯，()55551322-=-⨯，…… 由此发现：第n 个数为()12nnn-． 故答案为：()12nnn - 【变式训练4】杨辉三角又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角：按照前面的规律，则()7a b +的展开式中从左起第三项为______．()1a b a b+=+()2222a b a ab b +=++()3322333a b a a b ab b +=+++()4432234464a b a a b a b ab b +=++++【答案】5221a b【详解】解：根据题意，()7a b +=7652433425677213535217a a b a b a b a b a b ab b +++++++，∶()7a b +的展开式中从左起第三项为5221a b ， 故答案为：5221a b ．类型二、图形类规律探索例.如图，两条直线相交，有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有______个交点，n 条直线相交最多有______个交点．【答案】 6(1)2n n - 【详解】解： 如图，两条直线相交最多有1个交点，即()22112⨯-=；三条直线相交最多有3个交点，即()33132⨯-=；四条直线相交最多有6个交点，即()44162⨯-=，五条直线相交最多有10个交点，即()551102⨯-=，……∶n 条直线两两相交，最多有(1)2n n -个交点（n 为正整数，且n ≥2）． 故答案为6；(1)2n n -． 【变式训练1】如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第_____个图形共有45个小球．【答案】9【详解】解：第1个图中有1个小球，第2个图中有3个小球，3=1+2，第3个图中有6个小球，6=1+2+3，第4个图中有10个小球，10=1+2+3+4，……n（1+n）个小球，照此规律，第n个图形有1+2+3+4+…+n=12n（1+n）=45，∶12解得n=9或-10（舍去），故答案为：9．【变式训练2】为庆祝“六·一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆第n个“金鱼”和第(n＋1)个“金鱼”需用火柴棒的根数为130根，则n的值为______．【答案】10【详解】解：由题可知：第n个图形有(6n+2)根火柴棒，第(n+1)个图形有(6n+8)根火柴棒，∶摆第n个“金鱼”和第(n＋1)个“金鱼”需用火柴棒的根数为130根，∶6n+2+6n+8=130，解得n=10．故答案为：10．【变式训练3】如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第10层中含有正三角形个数为___个，第n层含有正三角形个数为___个．n【答案】114 126【解析】根据题意分析可得：从里向外的第1层包括6个正三角形，第2层包括18个正三角形，此后，每层都比前一层多12个，依此递推，第10层中含有正三角形个数是6+12×9=114个，则第n层中含有正三角形个数是6+12×（n-1）=126n-个，故答案为：114，126n-．【变式训练4】观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，用6064个五角星摆出的图案应该是第_______个图形．【答案】2021【解析】观察发现，第1个图形五角星的个数是：1+3＝4，第2个图形五角星的个数是：1+3×2＝7，第3个图形五角星的个数是：1+3×3＝10，第4个图形五角星的个数是：1+3×4＝13，∶第n个图形五角星的个数是：1+3•n＝1+3n，∶6064120213-=，∶用6064个五角星摆出的图案应该是第2021个图形，故答案为：2021．课后训练1．下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第1个图有3张黑色正方形纸片，第2个图有5张黑色正方形纸片，第3个图有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去，若第n个图中有201张黑色正方形纸片，则n的值为（）A．99B．100C．101D．102【答案】B【详解】解：观察图形知：第一个图中有3=1+2×1个正方形， 第二个图中有5＝1＋2×2个正方形， 第三个图中有7＝1＋2×2个正方形， …故第n 个图中有1＋2×n ＝2n +1=201（个）正方形， 解得n =100 故选B ．2．如图，将若干颗棋子按箭头方向依次摆放，记第一颗棋子摆放的位置为第1列第1排，第二颗棋子摆放的位置为第2列第1排，第三颗棋子摆放的位置为第2列第2排……，按此规律摆放在第16列第8排的是第（ ）颗棋子．A ．85B ．86C ．87D ．88【答案】B 【详解】偶数列数与排数表： 偶数列数排数 2 2 4 3 6 4 8 5 … … n 12n∶当n =16时，排数为：192n+=，∶前16列共有棋子：()9102123+-3=2-3=872⨯+++⨯…9（颗）， ∶第16列第8排的棋子位次是：87-1=86． 故选B ．3．将一正方形按如图方式分成n 个完全相同的长方形，上、下各横排三个，中间两行各竖排若干个，则n 的值为（ ）A ．12B ．16C ．18D ．20【答案】C【详解】解：设长方形的长为a ，宽为b ， 根据题意得，2a +2b =3a ， 整理得，a =2b ，∶竖排的一行的长方形的个数为3a ÷b =（3×2b ）÷b =6， ∶n =3×2+6×2=6+12=18． 故选：C ．4．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x 与y 的和是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【详解】解：设如图表所示：根据题意可得：x +6+20=22+z +y ， 整理得：x -y =-4+z ，x +22+n =20+z +n ，20+y +m =x +z +m ，整理得：x =-2+z ，y =2z -22， ∶x -y =-2+z -(2z -22)=-4+z ，解得：z =12， ∶x +y =3z -24=12 故选：D ．5．如图，按此规律，第6行最后一个数字是_____，第_____行最后一个数是2020．【答案】16 674【详解】 每一行的最后一个数字分别是1,4,7,10 ,……，∴第n 行的最后一个数字为：1+3(1)32n n -=-，∴第6行最后一个数字为：36216⨯-=；322020n -=，解得：674n =，故答案为：16,674．6．如图，每个图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，若图形中11m =，12n =，则M 的值为________．【详解】解：∶1×（2+1）=3，3×（4+1）=15，5×（6+1）=35，∶右下圆圈内的数=上方圆圈内的数×（左下圆圈内的数+1），∶M =m （n +1）， ∶M =11×(12+1)=143． 故答案为：143．7．为了求220211222+++⋯+的值，可令220211222S =+++⋯+，则220222222S =++⋯+，因此2022221S S -=-，所以220212022122221+++⋯+=-．按照以上推理计算出1220211333---+++⋯+的值是______． 【答案】2021332-- 【详解】解：令1220211333S ---=+++⋯+， 则1220212022133333S ----=++⋯++， 因此20221313S S --=-，则20222313S --=-，得：2021332S --=，所以20211220213313332-----+++⋯+=． 故答案为：2021332--．8．今年“10.1”黄金周，适逢祖国70大庆，广西柳州赛长桌宴，民族风情浓郁，吸引了大量游客如果长桌宴按下图方式就坐（其中□代表桌子，〇代表座位），则拼接n （n 为正整数）张桌子时，最多可就坐_____人．【答案】（6n +2） 【详解】解：根据图示知，拼1张桌子，可以坐（2+6）人． 拼2张桌子，可以坐[2+（6×2）]人． 拼3张桌子，可以坐[2+（6×3）]人． …拼接n （n 为正整数）张桌子，可以坐（6n +2）人． 故答案是：（6n +2）．9．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2012年8月份的日历．我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交又相乘，再相减，例如：7136147⨯-⨯=，172316247⨯-⨯=，不难发现，结果都是7． 2012年8月 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 262728293031（1）请你再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律； （2）换一个月的月历试一下，是否有同样的规律？ （3）请你利用整式的运算对以上的规律加以证明．【答案】（1）111710187⨯-⨯=，符合；（2）392107⨯-⨯=；（3）见解析 【详解】解：（1）由题意得：111710187⨯-⨯=，符合；（2）392107⨯-⨯=；答：换一个月的月历试一下还是同样的规律；（3）设上边第一个数为x ，则其后的数为（x +1），第二行的两个数分别为（x +7），（x +8）， 根据题意，得22(1)(7)(8)8787x x x x x x x x ++-+=++--=．10．（1）你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第5个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？（2）完成下表： 边上的小圆圈数1 2 3 4 5每个图中小圆圈的总数（3）如果用n 表示六边形边上的小圆圈数，m 表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m 和n 的关系是什么？【答案】（1）第1个图形：1个；第2个图形：7个；第3个图形：19个；第4个图形：37个；第5个图形：61个，理由见解析；（2）1，7，19，37，61；（3）2331m n n =-+【详解】（1）观察每个图形的特点，就可以算出第1个图形的小圆圈有1个，第2个图形的小圆圈有2+3+2=7个，第3个图形的小圆圈有3+4+5+4+3=19个，第4个图形的小圆圈有4+5+6+7+6+5+4=37个，由此可推知第5个图形的小圆圈有5+6+7+8+9+8+7+6+5=61个；（2）将（1）算出的结果填入下列表格，如下表所示， 边上的小圆圈数 1 2 3 4 5每个图中小圆圈的总数 1 7 19 37 61（3）结合（1）（2）可知，m 与n 之间的函数关系为：()()()()()1...212...1m n n n n n n n n n n =+++++-++-++-++++首尾相加得()()21...(2)1m n n n n n n =+++++-++-⎡⎤⎣⎦()()21322213312n n n n n --=+-=-+ 2331m n n =-+．11．对任意一个四位正整数m ，如果m 的百位数字等于个位数字与十位数字之和，m 的千位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数m 为“筋斗数”．例如：m ＝5321，满足1＋2＝3，2×2＋1＝5，所以5321是“筋斗数”．例如：m ＝8523，满足2＋3＝5，但2×2＋3＝7≠8，所以8523不是“筋斗数”．(1)判断9633和2642是不是“筋斗数”，并说明理由；(2)若m 是“筋斗数”，且m 与13的和能被11整除，求满足条件的所有“筋斗数”m ．【答案】(1)9633是“筋斗数”；2642不是“筋斗数”； 理由见解析(2)m 的值为9909或2110或6422【解析】(1)解：9633是“筋斗数”，2642不是“筋斗数”，理由如下：∶6=3+3，9=2×3+3，∶9633是“筋斗数”；∶6=4+2，28+2≠，∶2642不是“筋斗数”；(2)设m 的个位数为a ，0≤a ≤9，十位数为0＜b ≤9，且a 、b 为整数∶m 是“筋斗数”，∶m 的百位数为a +b ，千位数为2b +a ；∶m =1000（2b +a ）+100（a +b ）+10b +a =1100a +110b +2000b +a∶m 与13的和能被11整除，∶1100a +110b +2000b +a +13能被11整除，∶2b +a ≤9且a 、b 为整数，∶b ≤4.5∶1100a +110b 能被11整除，∶2000b +a +13能被11整除，∶b =0，a =9或b =1，a =0或b =2，a =2或b =3，a =4，或b =4，a =6，∶a +b =9，2b +a =9或a +b =1，2b +a =2或a +b =4，2b +a =6或a +b =7，2b +a =10（舍去）或a +b =10，2b +a =14（舍去），∶m 的值为9909或2110或6422 12．看图填空：如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的长方形，再把面积为14的长方形等分成面积为18的长方形，如此进行下去……(1)试利用图形揭示的规律计算：1111111112481632641282562n++++++++＝_______． 并使用代数方法证明你的结论． (2)请给利用图（2），再设计一个能求：2341111122222n+++++的值的几何图形． 【答案】(1)112n - ，证明见解析；(2)见解析 【解析】(1)解：①由题意可知当最后一个小长方形的面积为12n 时 ， 1111111112481632641282562n ++++++++的值为正方形面积减去最后一个小长方形面积，即：112n - ， 1111111111124816326412825622n n ∴++++++++=-； ②设1111111112481632641282562n s =++++++++ ， 111111111212481632641282n s -=++++++++ ， 1212n s s ∴-=-，即112n s =-，1111111111124816326412825622n n∴++++++++=-； (2)如图所示，将面积为1的正方形等分成两个面积为12的三角形，接着把面积为12的三角形等分成两个面积为14的三角形，再把面积为14的三角形等分成面积为18的三角形，如此进行下去，则2341111122222n +++++的值即为正方形面积减去最后一个小三角形面积：112n -。
聚焦整式中的四大规律探究题
聚焦整式中的规律探究江苏 何春华在整式概念及运算中有一类规律探究问题很值得同学们注意，它考查了同学们实际应用与创新的能力，下面将整式中的规律问题归纳如下，供同学们学习时参考！一、数表中的“规律探究”例1观察下列数表：第 第 第 第一 二 三 四列 列 列 列第一行 1 2 3 4第二行 2 3 4 5第三行 3 4 5 6第四行 4 5 6 7…… … … … …请猜想第n 行第n 列上的数是 。
分析：通过观察、分析、比较，可知：第1行与第1列，第2行与第2列，第3行与第3列，第4行与第4列，交叉点上的数依次为1、3、5、7，它们是连续的奇数，所以可猜想第n 行与第n 列交叉点上的数为21n -。
答案：21n -二、图形中的“规律探究”例2用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 块，第（n ）个图形中需要黑色瓷砖 块.（用含n 的式子表示）分析：观察第⑴个图形有黑色瓷砖4块；第⑵个图形有黑色瓷砖4＋3＝7（块），第⑶个图形中有黑色瓷砖4＋3＋3＝10（块），…，依次规律可得第（n ）个图形中有黑色瓷砖4＋3（1n -）＝31n +（块）。
答案：10，（31n +）。
点评：解答此类问题要仔细观察每个图形及变化规律，根据规律归纳总结出结论。
三、等式中的“规律探究”例3观察下列等式：（1） （2） （3） ……221 2111222222223332 ⨯⨯⨯⨯⨯⨯2＋＝（＋）＋＝（＋）3＋＝（＋）……则第n 个等式可以表示为 。
分析：通过观察可以发现，等式的左边是两项，第1项是从1开始的整数的平方，第2项是2与这个整数的乘积，所以在左边可用一般式子表示为n n 22+（n ≥1的整数），每一项等式的右边是这个整数与2的和的积，所以可用一般的式子表示为()2+n n ，所以第n 个等式为()222+=+n n n n 。
答案：()222+=+n n n n 。
专题 -整式中的规律题(原卷版)
专题02 整式中的规律题一、选择题1．在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数（n ）和芍药的数量规律，那么当n =11时，芍药的数量为（ ）A. 84株B. 88株C. 92株D. 121株2.观察下列各单项式：a ，-2a 2，4a 3，-8a 4，16a 5，-32a 6，…，根据你发现的规律，第10个单项式是 （ ） A.-512a 10B. 29a 10C. 210a 10D. -210a 103.观察下列图形，则第n 个图形中三角形的个数是（ ）A. 22n +B. 44n +C. 44n -D. 4n4. 如图，第①个图形中有1个正方形，按照如图所示的方式连接对边中点得到第②个图形，图中共有5个正方形；连接第②个图形中右下角正方形的对边中点得到第③个图形，图中共有9个正方形；按照同样的规律得到第④个图形、第⑤个图形……，则第⑦个图形中共有（ ）个正方形.A ．21B ．25C ．29D ．325.用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆放，按照这样的规律摆下去，用含n 的代数式表示第n个图形需要棋子的枚数为（）A．4n B．3n C．4n－2 D．3n+16.一组按规律排列的式子：4682,,,,357a a aa，则第2020个式子是（）A．20202020aB．20204040aC．40404039aD．20204039a7.如图，每个图形都是由同样大小的正方形按照一定的规律组成，其中第①个图形面积为2，第②个图形的面积为6，第③个图形的面积为12，…，那么第⑧个图形面积为（）A．42 B．56 C．72 D．908.如图，四个小朋友站成一排，老师按图中所示的规则数数，数到2018时对应的小朋友可得一朵红花，那么得红花的小朋友是（）A. 小沈B. 小叶C. 小李D. 小王9.把所有正偶数从小到大排列，并按如下规律分组：第一组：2，4；第二组：6，8，10，12；第三组：14，16，18，20，22，24第四组：26，28，30，32，34，36，38，40……则现有等式A m=（i，j）表示正偶数m第i组第j个数（从左到右数），如A10=（2，3），则A2018=（ ） A. （31，63）B. （32，17）C. （33，16）D. （34，2）10.填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m 的值应是（ ）A. 110B. 158C. 168D. 17811.将正整数按如图所示的位置顺序排列，根据排列规律，则2018应在（ ）A. A 处B. B 处C. C 处D. D 处12. 如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，图形中M 与m 、n 的关系是A. M =mnB. M =n (m +1)C. M =mn +1D. M =m (n +1)13.将一列有理数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，……，按如图所示有序排列，根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（C 的位置）是有理数4，那么，“峰6”中D 的位置是有理数（ ），2008应排在A 、B 、C 、D 、E 中的（ ） 位置．其中两个填空依次为（ ）A. 29，CB. ﹣29，DC. 30，BD. ﹣31，E14.定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 是奇数时，F （n ）＝3n +1；②当n 是偶数时，F （n ）＝2k n （其中k 是使得2kn 为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行．例如，取n ＝24，则：24F −−−→②第一次3F −−−→①第二次10F −−−→②第三次5……若n ＝13，则第2019次“F 运算”的结果是（ ） A ．1B ．4C ．2019D ．42019二、填空题15.一组代数式：2345251017a a a a--，，，…，观察规律，则第10个代数式是_______.16.如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，结果如下表：则a n＝__________（用含n的代数式表示）．所剪次数 1 2 3 4 …n正三角形个数 4 7 10 13 …a n17.按如图程序输入一个数x，若输入的数x=﹣1，则输出结果为_________.18.已知一列数2，8，26，80．…，按此规律，则第n个数是_______．（用含n的代数式表示）19.有一组多项式：a－b2，a3＋b4，a5－b6，a7＋b8，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个多项式为________，第n个多项式为________．20.一组按规律排列的式子：，，，－，，…，其中第7个式子是，第n个式子是(用含的n式子表示，n为正整数).21.已知，，且、均为正整数，如果将进行如图所示的“分解”，那么在 的“分解”中，最小的数是 .22..如图，观察图形及图形所对应的算式，根据你发现的规律计算1+8+16+24+…+8n （n 是正整数）的结果是23..已知0a >，11S a=，211S S =--，321S S =，431S S =--，541S S =，…（即当n 为大于1的奇数时，11n n S S -=；当n 为大于1的偶数时，11n n S S -=--），按此规律，2018S =__________.24.将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是__________．三、解答题25.观察下列一串单项式的特点：xy ，-2x 2y ，4x 3y ，-8x 4y ，16x 5y ，…(1)按此规律写出第9个单项式；(2)试猜想第n个单项式为多少？它的系数和次数分别是多少？26.观察下列三行数：0，3，8，15，24，…①2，5，10，17，26，…②0，6，16，30，48，…③(1)第①行数按什么规律排的，请写出来？(2)第②、③行数与第①行数分别对比有什么关系？(3)取每行的第n个数，求这三个数的和.27.观察以下等式：第1个等式：10101 1212++⨯=，第2个等式：11111 2323++⨯=，第3个等式：121213434++⨯=， 第4个等式：131314545++⨯=， 第5个等式：141415656++⨯=， ……按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式：__________；（2）写出你猜想的第n 个等式：___________(用含n 的等式表示)，并证明．28.（1）根据下列算式的规律填空：112=12236-⨯⨯， 112=233424-⨯⨯， 112=344560-⨯⨯， 114556-⨯⨯= ， （1）第n 个算式为 ； （2）利用上述规律计算：111+++1232348910⨯⨯⨯⨯⨯⨯。
专题 整式中的规律探究题(原卷版)
（苏科版）七年级上册数学《第3章 代数式》专题 整式中的规律探究题1．（2023春•耿马县期末）按一定规律排列的单项式：2a ，3a 2，4a 3，5a 4，6a 5，…，第n 个单项式是（ ）A ．（n +1）a nB ．（n +1）a 2nC ．na 2nD ．2na n2．（2022春•湖北期末）按一定规律排列的单项式：2a 2，4a 3，8a 4，16a 5，32a 6，…，第n 个单项式是（ ）A ．2n a nB ．2n ﹣1a n +1C ．2n a n +1D ．2n +1an3．（2023•大理市模拟）观察下列关于x 的单项式：x ，﹣3x 2，5x 3，﹣7x 4，9x 5，﹣11x 6，…，按此规律，第n 个单项式为（ ）A ．（2n ﹣1）x nB ．﹣（2n ﹣1）x nC ．（﹣1）n （2n ﹣1）x nD ．（﹣1）n +1（2n ﹣1）x n4．（2023•楚雄市二模）按一定规律排列的单项式：a 3，−a 25，a 39，−a 417，…，第n 个单项式是（ ）A ．(−1)n a n2n1B ．(−1)n a n 2n +11C ．(−1)n +1a n 2n 1D ．(−1)n +1a n 2n +115．（2022秋•云阳县期中）观察下列单项式：a ，﹣a 2，a 3，﹣a 4，a 5，…，按此规律第n 个单项式是 ．（n 为正整数）6．（2023•西藏）按一定规律排列的单项式：5a ，8a 2，11a 3，14a 4，…．则按此规律排列的第n 个单项式为 ．（用含有n 的代数式表示）7．按照规律填上所缺的单项式并回答问题：（1）a 、﹣2a 2、3a 3、﹣4a 4， ；（2）试写出第2008个单项式；（3）试写出第n 个单项式．8．观察下列单项式：﹣x ，3x 2，﹣5x 3，7x 4，…，﹣37x 19，39x 20，…，回答下列问题：（1）这些单项式的系数的规律是什么？（2）这些单项式的次数的规律是什么？（3）根据上面的规律，归纳出第n 个单项式是什么．（4）第2023和2024个单项式是什么？1．（2023•双柏县模拟）按一定规律排列的多项式：x ﹣y ，x 2+2y ，x 3﹣3y ，x 4+4y ，x 5﹣5y ，x 6+6y ，…，则第n 个多项式是（ ）A ．x n +（﹣1）n ny B ．（﹣1）n x n +ny C ．x n +（﹣1）n +1nyD ．（﹣1）n x n +（﹣1）n ny2．按一定规律排列的多项式：﹣x +2y ，x 2+4y ，﹣x 3+6y ，x 4+8y ，﹣x 5+10y ，x 6+12y ，…，根据上述规律，可知第n 个多项式是（ ）A ．（﹣1）n x n +ny B ．（﹣1）n x n +2ny C ．（﹣1）n +1x n +2nyD ．（﹣1）n x n +（﹣1）n ny3．一组按规律排列的多项式：a +b ，a 2﹣b 3，a 3+b 5，a 4﹣b 7，……，其中第10个式子的次数是（ ）A ．10B ．17C ．19D ．214．（2023•巧家县二模）观察下列代数式：1﹣x 2，2+x 3，3﹣x 4，4+x 5，……，根据其中的规律可得第2023个式子是（ ）A ．2022﹣x 2023B ．2022+x 2023C ．2023﹣x 2024D ．2023+x 20245．有一组多项式：a ﹣b 2，a 3+b 4，a 5﹣b 6，a 7+b 8，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第n 个多项式为 ．6．按一定规律排列的多项式：x +2y ，﹣x 2+4y ，x 3+8y ，﹣x 4+16y ，x 5+32y ，…，根据上述规律，则第n 个多项式是 ．7．观察下列各式及其展开式（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2（a +b ）3＝a 3+3a 2b +3ab 2+b 3（a +b ）4＝a 4+4a 3b +6a 2b 2+4ab 3+b 4（a +b ）5＝a 5+5a 4b +10a 3b 2+10a 2b 3+5ab 4+b 5……请你猜想（2x ﹣1）8的展开式中含x 2项的系数是（ ）A ．224B ．180C ．112D ．488．已知一列多项式：12x 2−x ，32x 2+2x ，56x 2−3x ，76x 2+4x ，910x 2−5x ，1110x 2+6x ，1314x 2−7x ，1514x 2+8x ，⋯（1）第9个多项式是 ，第10个多项式是 ．（2）当n 是奇数时，第n 个多项式是 ，第（n +1）个多项式是 ．（3）已知2x 2+x ＝3，求前100个多项式的和．1．（2023•牡丹江模拟）按一定规律排列的一列数依次为3，6，12，24，…，按此规律排列下去，这列数的第7个数是（ ）A ．96B ．124C ．192D ．2342．（2022秋•衡南县期末）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性，若把第一个三角数记为a 1，第二个三角数记为a 2，…，第n 个三角数记为αn ，计算a 2021﹣a 2020的值为（ ）A ．2021B ．2020C ．2019D ．20183．（2023春•镇雄县期末）一组按规律排列的式子：﹣2，52，−83，114，…．第n 个式子是（ ）（n 为正整数）A ．(−1)n +13n−1nB ．(−1)n3n−1n 1C ．(−1)n2n 1nD ．(−1)n3n−1n4．（2023春•渝北区校级期中）当x ≠﹣1时，我们把−1x 1称为x 的“和1负倒数”．如：2的“和1负倒数”为−121=−13，若x 1＝1，x 2是x 1的“和1负倒数”，x 3是x 2的“和1负倒数”…依次类推，则x 1•x 2•x 3•…x 2023的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．12D ．−125．（2023春•泗水县期中）将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序数对（n ，m ）表示第n 排，从左到右第m 个数，如（4，3）表示8，已知1+2+3+⋯+n =n(n 1)2，则表示2023的有序数对是（ ）A ．（64，7）B ．（64，64）C ．（64，58）D ．（64，57）6．（2023•新洲区模拟）有一列数，记为a 1，a 2，⋯，a n ，记其前n 项和为S n ＝a 1+a 2+⋯+a n ，定义T n =S 1S 2⋯S nn为这列数的“亚运和”，现有99个数a 1，a 2，⋯，a 99，其“亚运和”为1000，则1，a 1，a 2，⋯，a 99这100个数的“亚运和”为（ ）A ．791B ．891C ．991D ．10017．（2023•天河区校级模拟）观察按一定规律排列的一组数：2，12，27，…，其中第n个数记为a n；第n+1个数记为a n+1，第n+2个数记为a n+2，且满足1a n+1a n+2=2a n+1，则a4＝ ，a2023＝ ．8．（2023•烈山区一模）观察以下等式：第1个等式21=11+11；第2个等式23=12+16；第3个等式25=13+115；第4个等式27=14+128．……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式： ；（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明你的结论．9．（2023秋•瓯海区校级月考）观察下列等式：第1个等式：a1=11×3=12×(1−13)；第2个等式：a2=13×5=12×(13−15)；第3个等式：a3=15×7=12×(15−17)；…青解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：a5＝ ．（2）用含有n的代数式表示第n个等式：a n＝ （n为正整数）；（3）求a1+a2+…+a100的值．1．（2023•洪山区开学）如图，摆第一个图形需要4根火柴，摆第二个图形需要7根火柴，…，以此类推．那么摆第八个图形需要（ ）根火柴．A ．24B ．27C ．25D ．282．（2022秋•凤翔县期末）找出以下图形变化的规律，则第2022个图形中黑色正方形的数量是（ ）A ．3030B ．3031C ．3032D ．30333．（2023•东海县开学）如图，一张正方形桌子四周可以坐4人，如果按如图所示的方式拼桌子，六张桌子拼在一起可以坐 人．4．（2023春•凉州区期末）观察下列图形，它们是按一定规律排列的，按此规律，第100个图形中“〇”的个数为 ．5．（2022秋•无锡月考）探究规律：将棋子按下面的方式摆出正方形．（1）按图示规律，第（6）图需要 个棋子；（2）按照这种方式摆下去，摆第n（n为正整数）个正方形需要 个棋子；（3）按照这种方式摆下去，摆第2020个正方形需要多少棋子？6．下列图形按一定规律排列，观察并回答：（1）依照此规律，第四个图形共有 个★，第六个图形共有 个★；（2）第n个图形中有★ 个；（3）根据（2）中的结论，第几个图形中有2020个★？7．（2023春•肇东市期末）用棋子摆出下列一组图形：（1）填写表：图形编号123456图形中的棋子 （2）照这样的方式摆下去，那么第n个图形的棋子数是 枚；（3）如果某一图形共有102枚棋子，那么它是第 个图形．8．（2022秋•濮阳县期中）如图，自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm．（1）2节链条长 cm，6节链条长 cm；（2）n节链条长多少cm？（3）如果一辆自行车的链条由60节这样的链条组成，那么这辆自行车上链条总长度是多少？9．（2022秋•永兴县期末）一串图形按如图所示的规律排列．（说明：下列所指的小正方形都是与第1个图形一样大小的正方形）（1）第5个图形中有几个小正方形？第6个图形呢？（2）求出第n个图形中小正方形的个数．（3）求出第20个图形中小正方形的个数．（4）是否存在某个图形，其小正方形的个数恰好是下列各数：①5050；②1000．给出你的判断，并说明理由．。
初一数学整式规律探索含答案
初一数学整式规律探索含答案规律探索中考要求内容基本要求略高要求较高要求。
学生需要根据特定的问题所提供的资料，合理选用知识和方法，通过代数式的适当变形求代数式的值。
同时，他们需要能够用整式的加减运算对多项式进行变形，进一步解决有关问题。
代式学生需要了解代数式的值概念并能求代数式的值。
他们还需要能根据代数式的值或特征，推断这些代数式反映的规律。
整式有关概念学生需要了解整式及其有关概念。
他们需要理解整式加减运算法则并能进行简单的整式加减运算。
重难点学生需要能根据图、表、数、式中的排列特征，探究其中蕴藏的数式规律。
课前预德国著名大科学家XXX(1777～1855)出生在一个贫穷的家庭。
XXX在还不会讲话就自己学计算，在三岁时有一天晚上他看着父亲在算工钱时，还纠正父亲计算的错误。
长大后，他成为当代最杰出的天文学家和数学家。
他在物理的电磁学方面有一些贡献，现在电磁学的一个单位就是用他的名字命名。
数学家们则称呼他为“数学王子”。
他八岁时进入乡村小学读书。
教数学的老师是一个从城里来的人，觉得在一个穷乡僻壤教几个小猢狲读书，真是大材小用。
而他又有些偏见：穷人的孩子天生都是笨蛋，教这些蠢笨的孩子念书不必认真，如果有机会还应该处罚他们，使自己在这枯燥的生活里添一些乐趣。
这一天正是数学教师情绪低落的一天。
同学们看到老师那抑郁的脸孔，心里畏缩起来，知道老师又会在今天捉这些学生处罚了。
“你们今天替我算从1加2加3一直到100的和。
谁算不出来就罚他不能回家吃午饭。
”老师讲了这句话后就一言不发的拿起一本小说坐在椅子上看去了。
教室里的小朋友们拿起石板开始计算：“1加2等于3，3加3等于6，6加4等于10……”一些小朋友加到一个数后就擦掉石板上的结果，再加下去，数越来越大，很不好。
有些孩子的小脸孔涨红了，有些手心、额上渗出了汗来。
还不到半个小时，XXX拿起了他的石板走上前去。
“老师，答案是不是这样？”数学老师本来想怒吼起来，可是一看石板上整整齐齐写了这样的数：5050，他惊奇起来，因为他自己曾经算过，得到的数也是5050，这个8岁的小鬼怎么这样快就得到了这个数值呢？XXX发现了一种计算级数1+2+3+。
(完整版)七年级数学整式的加减探索规律(习题及答案)
探索规律（习题）➢例题示范例1：观察图1至图4中小圆圈的摆放规律，并按这样的规律继续摆放，记第n个图中小圆圈的个数为M，则M=__________（用含n的代数式表示）．…图1 图2 图3 图4思路分析做图形规律的题，我们一般从两个方面来研究：（1）观察图形的构成．（2）转化．观察本题的图形，发现后面的图形总比前面的图形多3个小圆圈，可以采用分类的手段进行解决．分成原来的和增加的两类．①2+3×1②2+3×2③2+3×3④2+3×4则第n个：2+3n=3n+2．验证：当n=1时，3n+2=5，成立．故第n个图形中有(3n+2)个小圆圈．（想一想，还有其他观察角度吗？）例2：观察下列球的排列规律（其中●是实心球，○是空心球）：…从第1个球起到第2 014个球止，共有实心球________个．思路分析①判断该题是循环规律，查找重复出现的结构，即循环节；②观察图形的变化规律，发现每10个球为一个循环，每个循环节里有3个实心球．故2 014÷10=201…4，201×3=603；③再从某个循环节开始查前4个球，发现有2个实心球，故总数为603+2=605（个）．➢巩固练习1.如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成下列各题．123456781011121314151617181920212223242526272829303132333435369…（1）表中第8行的最后一个数是_____，它是自然数______ 的平方，第8行共有________个数；（2）用含n 的代数式表示：第n 行的第一个数是_________， 最后一个数是_________，第n 行共有_________个数． 2. 将1，-2，3，-4，5，-6，…按一定规律排成下表：（1）第8行的数是_________________________________； （2）第50行的第一个数是_______．3. 下列图形由边长为1的正方形按某种规律排列而成，依此规律，则第8个图形中正方形有（ ）…图3图2图1A．38个 B．41个 C．43个D．48个4.如下图所示，摆第1个“小屋子”要5枚棋子，摆第2个要11枚棋子，摆第3个要17枚棋子，则摆第30个要_________枚棋子．…第3个第2个第1个5. 下列图案由边长相等的黑白两色正方形按一定规律拼接而成，依此规律，第n 个图案中白色正方形的个数为_________．…图3图2图16. 观察下列图形，根据图形及相应点的个数的变化规律，第n 个图形中点的个数为__________．图5图4图1图2图3…7. 如图1，一等边三角形的周长为1，将这个等边三角形的每边三等分，在每边上分别以中间的一段为边作等边三角形，然后去掉这一段，得到图2；再将图2中的每一段作类似变形，得到图3；按上述方法继续下去得到图4，则第4个图形的周长为________，第n 个图形的周长为________________．…图1 图2 图38. 一个纸环链，纸环按“红黄绿蓝紫”的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（ ）红 黄 绿 蓝 紫 红 黄 绿 … … 黄 绿 蓝 紫 A ．2 012B ．2 013C ．2 014D ．2 0159. 小时候我们就用手指练习过数数，一个小朋友按图中的规则练习数数，数到2 013时对应的手指头是（ ） A ．大拇指B ．食指C ．小拇指D ．无名指大拇指1234567891011121314151617181910. 如图，平面内有公共端点的八条射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，OG ，OH ，从射线OA 开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，…．（1）“20”在射线______________上； （2）请任意写出三条射线上的数字排列规律； （3）“2 015”在哪条射线上？➢ 思考小结1. 我们学习了数的规律、式的规律、图形规律、循环规律等，它们都有对应的操作方法．（1）数与式的规律：①_________；②_________；③处理符号；④验证． （2）图形规律：①观察图形的构成：____________________；②转化：________________________________________． （3）循环规律：①________________；②____________________．HD【参考答案】➢巩固练习1.（1）64，8，15；（2）(n-1)2+1（或n2-2n+2），n2，(2n-1)．2.（1）29，-30，31，-32，33，-34，35，-36；（2）-1 226．3. C4.1795.5n+36.n2-n+17.6427，143n-⎛⎫⎪⎝⎭8. B9. C10.（1）OD（2）射线OA：8n-7；射线OB：8n-6；射线OC：8n-5；射线OD：8n-4；射线OE：8n-3；射线OF：8n-2；射线OG：8n-1；射线OH：8n．任选三个即可．（3）在射线OG上．➢思考小结1.（1）①标序号；②找结构．（2）①分类，去重，补形；②转化为数的规律或其他图形的规律．（3）①确定起始位置；②找循环节．。
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专题训练（二）探究整式中的规律问题
类型1 数与式的规律
1.（2018梧州）按一定规律排列的一列数依次为 ,35,26,15,10,3,2，按此规律排列下去，则这列数中的第100个数是（ ）
A 、9999
B 、10000
C 、10001
D 、10002
2.（2018云南）按一定规律排列的单项式：,,,,,,65432 a a a a a a ---则第n 个单项式是（ ）
A 、n a
B 、n a -
C 、n n a 1)
1(+- D 、n n a )1(- 3.（2018百色）观察以下一列数：,,25
11,169,97,45,3 则第20个数是 。
4.（2018泰安）如图，观察“田”字格中各数之间的关系，则c 的值为
类型2 数列的规律
5.（2018宜昌）1261年，我国南宋数学家杨辉用如图所示的三角形解释二项和的惩罚规律，比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”.请观察图中的数字排列规律，则，
的值分别为( )
A ．
B ． C. D ．
6.（2018淄博）如图，将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是 。
7.（1）已知一列数,,,,,4321 a a a a 满足下列条件：a 1=-1，a 2=-|a 1+3|，a 3=-|a 2+4|，a 4=-|a 3+5|，…依此类推，则a 2015-a 2014的值为
（2）已知一列数,,,,,4321 a a a a 满足下列条件：1=a
8.已知一列数,,,,321 a a a 其中211=
a
9.（2018荆州）将1个1,2个21，3个31，…，n 个n
1（n 为正整数）顺次排成一列：,,1,1,,31,31,31,21,21,1 n n 记,11=a ,212=a ,2
13=a …，11a S =，212a a S +=，3213a a a S ++=， …n n a a a a S ++++= 321，求2018S 的值。
10.（2018孝感)我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，从图中取一列数：1,3,6,10，…，记,11=a ,32=a ,63=a …，那么10210114--+a a a 的值是 。
2
（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图③的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是____。
(2)我们自上往下，在每个圆圈中都按图④的方式填上一串连续的整数−23，−22，−21，…，求图④中所有圆圈中各数的绝对值之和。