6.整式中的规律探究
专题06 整式中规律探索的三种考法(解析版)-2024年常考压轴题攻略(7年级上册人教版)
专题06整式中规律探索的三种考法类型一、单项式规律性问题例．如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点．若青蛙从数1这点开始跳，第1次跳到数3那个点，如此，则经2015次跳后它停的点所对应的数为（）A．5B．3C．2D．1【答案】C【分析】先根据题意，求出前几次跳到的点的位置，发现这是一个循环，按照3、5、2、1成一个循环，再用解循环问题的方法求解．【详解】解：按照题意，第一次在1这个点，下一次就跳到3，再下一次跳到5，再下一次跳到2，2是偶数了，就逆时针跳一个点，又回到了1这个点，发现这是一个循环，3、5、2、1是一个循环，÷ ，20154=5033∴最后到2这个点．故选：C．【点睛】本题考查找规律，解题的关键是通过前几个数发现这是一个循环问题，利用解循环问题的方法求解．【变式训练1】按上面数表的规律．得下面的三角形数表：【点睛】本题考查了数字的变化类，找出数字的变化规律是解题的关键．类型三、图形类规律探索例.根小棒，搭2020个这样的小正方形需要小棒（）根．A．8080B．6066C．6061D．6060【答案】C【分析】通过归纳与总结得出规律：每增加1个正方形，火柴棒的数量增加3根，由此求出第n个图形时需要火柴的根数的代数式，然后代入求值即可．【详解】解：搭2个正方形需要4+3×1＝7根火柴棒；搭3个正方形需要4+3×2＝10根火柴棒；搭n个这样的正方形需要4+3（n﹣1）＝3n+1根火柴棒；∴搭2020个这样的正方形需要3×2020+1＝6061根火柴棒；故选C．【点睛】本题考查了图形规律型：图形的变化．解题的关键是发现各个图形的联系，找出其中的规律，有一定难度，要细心观察总结．【变式训练1】下列每一个图形都是由一些同样大小的三角形按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有5个小三角形，第②个图形中有10个小三角形，第③个图形中有16个小三角形，按此规律，则第⑨个图中小三角形的个数是（）A．69B．73C．77D．83【答案】B【分析】根据已知图形得出第⑨个图形中三角形的个数的特点，据此可得答案．【详解】解：∵第①个图形中三角形的个数5=1+2×（1-1），第②个图形中三角形的个数10=5+2×1+3，第③个图形中三角形的个数16=5+2×2+3+4，第④个图形中三角形的个数23=5+2×3+3+4+5，第⑤个图形中三角形的个数31=5+2×4+3+4+5+6，……【答案】57【分析】根据每个图形增加三角形的个数，找到规律即可．【详解】解：第1个图形中一共有1个三角形，第2个图形中一共有1+4=5个三角形，第3个图形中一共有1+4+4=9个三角形，…，第n个图形中三角形的个数是1+4（n﹣1）=（4n﹣3）个，当n=15时，4n﹣3=4×15﹣3=57．故答案为：57．【点睛】本题考查了图形的变化规律，解题关键是通过图形数量的变化发现规律，并应用规律解决问题．课后训练20192020)a a -。
七年级数学上册-难点探究：整式中的规律探究问题压轴题七种模型全攻略(解析版)
专题11难点探究专题：整式中的规律探究问题压轴题七种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【类型一数字类规律探索之单项式问题】 (1)【类型二数字类规律探索之排列问题】 (3)【类型三数字类规律探索之末尾数字问题】 (6)【类型四数字类规律探索之新运算问题】 (8)【类型五数字类规律探索之等式问题】 (12)【类型六图形类规律探索之数字问题】 (17)【类型七图形类规律探索之数量问题】 (19)【典型例题】【类型一数字类规律探索之单项式问题】【变式训练】(1)这组单项式的系数依次为多少？系数的绝对值的规律是什么？(2)这组单项式的次数的规律是什么？(3)根据上面的归纳，你可以猜想出第n 个单项式是什么吗？(4)请你根据猜想，写出第2022个、第2023个单项式．【答案】(1)1,3,5,7,,37,39,--- ，系数的绝对值的规律是21n -(2)这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数(3)()(1)21n nn x--(4)第2022个单项式是20224043x ，第2023个单项式是20234045x -【分析】（1）根据单项式系数的含义进行求解，再观察其绝对值的规律即可；（2）观察次的变化，从而可求解；（3）结合（1）（2）进行分析即可；（4）根据（3）进行求解即可．【详解】（1）解：这组单项式的系数依次是1,3,5,7,,37,39,--- ，系数的绝对值为1,3,5,7,,37,39, ，是从1开始的奇数，∴系数的绝对值的规律是21n -．（2）解：这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数．（3）解：由（1）问得：符合规律是(1)n -，∵这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数，∴第n 个单项式是()(1)21n n n x --．（4）解：第2022个单项式是20224043x ，第2023个单项式是20234045x -．【点睛】本题主要考查找规律，能够通过观察题中的单项式找出规律是解题关键．【类型二数字类规律探索之排列问题】例题：（2022秋·浙江金华·七年级校考期中）从3开始的连续奇数按右图的规律排列，其余位置数字均为0．（1）第5行第10列的数字是（2）数字2023在图中的第【答案】04525n-行的第【分析】（1）根据第21n-行第（2）观察数据发现第21【详解】解：（1）观察数据发现根据第【变式训练】1．（2023秋·全国·七年级专题练习）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据规律，m的值A．86B．52C．38【答案】A即故选：A．【点睛】本题稍复杂，不但要考虑相邻两个图形中数字的变化规律，还要找出每个图形中四个数之间的规【类型三数字类规律探索之末尾数字问题】例题：（2022秋·江苏连云港·七年级校考阶段练习）观察下列算式：031=，133=，239=，3327=，4381=，53243=，63729=，732187=…归纳各计算结果中个位数字的规律，可得20033的个位数字是（）A ．1B ．3C ．9D ．7【答案】D【分析】先由前面8个具体的计算归纳得到个位数每四次循环，再利用规律解题即可．【详解】解：031=，133=，239=，3327=，4381=，53243=，63729=，732187=…，归纳可得：个位数每四次循环，∵()200314501+÷=，∴20033与33的个位数相同，是7；故选D【点睛】本题考查的是数字变化规律的探究，乘方的含义，掌握探究的方法并灵活应用规律解决问题是解题关键．【变式训练】【类型四数字类规律探索之新运算问题】例题：（2022·湖南株洲·统考二模）定义一种关于整数n 的“F ”运算：（1）当n 是奇数时，结果为35n +；（2）【变式训练】【类型五数字类规律探索之等式问题】【变式训练】1．（2023春·山东济南·七年级统考期中）已知1x ≠，观察下列等式；()()2111x x x -+=-；()()23111x x x x -++=-；()()234111x x x x x -+++=-；…(1)猜想：()()23111n x x x x x --++++⋅⋅⋅+=________；(2)应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值：①()()234512122222-+++++=________；②()()202220212020211x x x x x x -+++⋅⋅⋅+++=________．(3)求10099982222221+++⋅⋅⋅+++的值是多少？【答案】(1)1nx -(2)①63-；②20231x -(3)10121-【分析】（1）根据所列等式所呈现的规律得出答案；（2）①利用（1）中得到的结论得出结果为612-即可；②将原式变为()()220202*********x x x x x x ++-+⋅⋅++-⋅+，再利用（1）中的结论即可得出结果；（3）将原式化为()()210012122...2--⨯++++，再利用（1）中得到的结论得出结果即可．【详解】（1）解：由已知条件可得：()()231111n n x x x x x x --++++⋅⋅⋅+=-；故答案为：1n x -；（2）①()()23456121222221263-+++++=-=-，②()()202220212020211x x x x x x -+++⋅⋅⋅+++，()()220202*********x x x x x x =+++⋅⋅⋅++--+，()20231x =--，20231x =-，故答案为：20231x -；（3）10099982222221+++⋅⋅⋅+++，()()210012122...2=--⨯++++，()10112=--，【类型六图形类规律探索之数字问题】例题：（2022秋·湖北黄冈·七年级校考阶段练习）如图，根据图形中数的规律，可推断出a的值为（）A．128B．216C．226D．240【答案】C【分析】根据图形得出右下角三角形中的数字等于左下角与中间三角形中数字的积再加2，然后计算即可．=⨯+，【详解】解：由图可得：2022=⨯+，10242=⨯+，2646250682=⨯+，即右下角三角形中的数字等于左下角与中间三角形中数字的积再加2，a=⨯+=，所以14162226故选：C．【点睛】本题考查了规律型—数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律，总结规律，运用规律．【变式训练】A ．450B ．463C ．465D ．526【答案】B 【分析】结合表格找出其中的规律，求出28165x =+=，8658528=⨯+=y ，再计算y x -即可．【详解】解：由表可得：2521=+，12252=⨯+；21741=+，724174=⨯+；23761=+，2286376=⨯+；∴28165x =+=，8658528=⨯+=y ；∴52865463y x -=-=．故选：B ．【点睛】本题考查数字规律题，解题的关键是找出其中的规律：28165x =+=，8658528=⨯+=y ．2.（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）根据图中数字的规律，若第n 个图中A B C D ++-的值为196，则n =（）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】C 【分析】通过观察可知，若第n 个图中A 位置上的数是1n +，B 位置上的数是2n ，C 位置上的数是n 1-，D 位置上的数是2n ，所以2A B C D n ++-=，带入数值求出即可．【详解】解：通过观察可知，若第n 个图中A 位置上的数是1n +，B 位置上的数是2n ，C 位置上的数是n 1-，D 位置上的数是2n ，所以()()22112A B C D n n n n n ++-=+++--=，当196A B C D ++-=时，2196n \=，n Q 是正整数，14n ∴=．故选：C ．【点睛】本题考查了图形中有关数字的变化规律，能准确观察到相关规律是解决问题关键．3.（2022秋·河南周口·七年级校考期中）如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，则第n （n 为正整数）个三角形中，用n 表示y 的式子为（）A ．21n +B ．2n n +C ．12n n ++D ．21n n ++【答案】B 【分析】由题意可得各三角形中下边第三个数是上边两个数字的和，而上边第一个数的数字规律为1，2，3，⋯，n ，第二个数的数字规律为：2，22，32，⋯，2n ，由此即可得到答案．【详解】解：由题意可得：三角形上边第一个数的数字规律为：1，2，3，⋯，n ，三角形上边第二个数的数字规律为：2，22，32，⋯，2n ，三角形下边的数的数字规律为：112123+=+=，224226+=+=，3383211+=+=，⋯，∴第n 个三角形中的数的规律为：2n y n =+，故选：B ．【点睛】本题考查了数字类规律探索，根据题意得出：第n 个三角形中的数的规律为：2n y n =+，是解题的关键．【类型七图形类规律探索之数量问题】(1)按图示规律完成下表：(3)搭第15个图形需要多少根火柴棒？【答案】(1)13，17，21(2)41n +(3)61【分析】（1）根据所给的图形进行分析即可得出结果；（2）由（1）进行总结即可；（3）根据（2）所得的式子进行解答即可．【详解】（1）解：第1个图形的火柴棒根数为：5，第2个图形的火柴棒根数为：954541=+=+⨯，第3个图形的火柴棒根数为：13544542=++=+⨯，第4个图形的火柴棒根数为：175444543=+++=+⨯，第5个图形的火柴棒根数为：2154444544=++++=+⨯，⋯⋯故答案为：13，17，21；（2）解：由（1）得：搭第n 个图形需要火柴棒根数为：54(1)41n n +-=+．答：第n 个图形需要火柴棒根数为：41n +；（3）解：当15n =时，41415161n +=⨯+=，所以搭第15个图形需要61根火柴棒．【点睛】本题主要考查规律型：图形的变化类，解答的关键是根据所给的图形分析出其规律．【变式训练】1．（2023秋·河北张家口·七年级统考期末）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第2023个图案中的“”的个数是（）A ．6074B ．6072C ．6070D ．6068【答案】C【分析】根据题意可得第n 个图案中的“”的个数为((31)n +个，即可求解．【详解】解：∵第1个图案中的“”的个数1314=⨯+=（个），第2个图案中的“”的个数2317=⨯+=（个），第3个图案中的“”的个数33110=⨯+=（个），…，第2023个图案中的“”的个数3202316070==⨯+（个），故选：C ．【点睛】本题考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律．2．（2023春·湖北武汉·七年级统考开学考试）如图，摆第一个图形需要4根火柴，摆第二个图形需要7根火柴，……，以此类推．那么摆第八个图形需要（）根火柴．A ．24B ．27C ．25D ．28【答案】C 【分析】根据给出的图形，得到第n 个图形需要()431n +-根火柴，进而求出第八个图形所需要的火柴数．【详解】解：由图可知，摆第一个图形需要4根火柴，摆第二个图形需要437+=根火柴，摆第三个图形需要43210+⨯=根火柴，L∴第n 个图形需要()431n +-根火柴，∴摆第八个图形需要()438125+⨯-=根火柴；故选C ．【点睛】本题考查图形类规律探究．解题的关键是得到第n 个图形需要()431n +-根火柴．3．（2023春·山东青岛·七年级统考期中）如图，某品牌自行车每节链条的长度为2.5cm ，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm ．（1）观察图形，填写如表；链条节数/x（节）2345…链条长度/y（cm） 4.2 5.97.6…（2）如果一辆自行车的链条（安装以后）共由60节链条组成，那么链条的总长度是(1)按此规律摆下去，第6个图案有多少个三角形即可求出第6个图案有多少个三角形；（2）由（1）中发现的规律，即可得出第n 个图案有多少个三角形；（3）将2022n =代入31n +即可求解．【详解】（1）第1个图案有4个三角形，即4311⨯＝＋第2个图案有7个三角形，即7321⨯＝＋第3个图案有10个三角形，即10331⨯＝＋第4个图案有13个三角形，即13341⨯＝＋第5个图案有16个三角形，即16351⨯＝＋第6个图案有19个三角形，即19361⨯＝＋（2）按此规律摆下去，第n 个图案有()31n +个三角形．（3）当2022n =时，316067n +=．答：第2022个图案有6067个三角形．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类以及列代数式，根据各图案所需三角形个数的变化，找出变化规律是解题的关键．。
整式的加减和找规律
整式的加减、找规律本次课继续学习字母表示数，通过在现实情境中进一步理解字母表示数的意义，发展符号感.在具体情境中了解合并同类项的法则、进行同类项的合并，在具体情境中体会去括号的必要性，运用运算律去括号，总结去括号法则，利用去括号法则解决简单的问题；经历探索数量关系，运用符号表示规律，通过运算验证规律的过程，用代数式表示简单问题中的数量关系，用合并同类项、去括号等法则验证所探索的规律.重、难点知识归纳及讲解1、同类项的概念所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项.判断几个项是否是同类项有两个条件：一是所含字母相同，二是相同字母的指数分别相同，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一则不可。
同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关，特别地，几个常数项也是同类项.2、合并同类项的意义、法则及方法（1）合并同类项的意义把代数式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项时，只能把同类项合并成一项，不是同类项的不能合并.（2）合并同类项的法则在合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为 0.（3）合并同类项的方法步骤：第一步：准确地找出同类项；第二步：利用法则，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变；第三步：写出合并后的结果.3、去括号的意义在有理数运算中，有括号时，通常先算括号内的，然后省掉括号，而在代数式的运算中，遇有括号时，却往往无法先进行括号内的运算，或先算括号内的相对复杂。
因而先去掉括号，才能使运算得以顺利进行，遇到多重括号时，可以由内向外去括号，可以由外向内去括号，也可以内外同时去括号.4、去括号法则括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变.5、探索规律的一般方法（1）从具体的、实际的问题出发，观察各个数量的特点及相互之间的变化规律；（2）由此及彼，合理联想、大胆猜想；（3）善于类比，从不同事物中发现其相似或相同点；（4）总结规律，作出结论，并验证结论正确与否；（5）在探究规律的过程中，善于变换思维方式，收到事半功倍的效果.三、典型例题剖析例 1、判断下列各组中的两项是否是同类项，并说明理由.例 2、合并下列各式中的同类项：例 3、已知是同类项，求3m＋5n的值.例 4、先化简，再求值：，其中x=－2，y=3. 例 5、已知a＋b=21，3m－2n=9，求代数式(2a＋9m)＋[－(6n－2b)]的值. 例6、已知有理数a、b的和a＋b及差a－b在数轴上的表示如图所示.试求： |2a＋b|－2|a|－|b－7|的值.1、下列各组中的两项为同类项的是（）A．2m2n3与3m3n2 B．5πR2与7π2R2C．－4ab与9abc D．－3x2与－2x32、已知34x2与5n x|n|是同类项，则n等于（）A．5 B．3 C．2或－2 D．2或43、下列各题结果正确的是（）A．3x＋3y=6xy B．7m－5m=2mC．16y2＋9y2=25y4 D．19a2b－6ab2=13a2b4、若b=4a，c=3b，则a＋b＋c等于（）A．11a B．13a C．15a D．17a5、已知代数式ax＋bx合并后的结果是零，则下列说法正确的是（）A．a=b=0 B．a=b=x=0 C．a＋b=0或x=0 D．a－b=06、下列去括号错误的共有（）① a＋(b＋c)=ab＋c ② a－(b＋c－d)=a－b－c＋d③ a＋2(b－c)=a＋2b－c ④ a2－[－(－a＋b)]=a2－a＋bA．1个 B．2个 C．3个 D．4个7、a＋b－c的相反数是（）A．c－a－b B．－a＋b－cC．a＋b＋c D．a－b＋c8、－{－[＋3－5(x－2y)－2x]}化简的结果是（）A．3－7x＋10y B．－3－3x－2yC．－2＋x－2y D．－3－5x＋10y－2x9、若a>0，b<0时，化简|5－2b|－|2a－3b|＋|b－2a|的结果是（）A．5 B．5－4b C．5＋2b D．5－4a＋2b10、已知a>0，b>0，c<0，d<0，则下列各式中值最大的是（）A．a－(b＋c－d) B．a－(b－c＋d)C．a－(－b＋c＋d) D．a＋(b－c＋d)11、如果－3m5n a－2与－3m|a＋b－2|n3是同类项，则a=__________，b=__________；这时两项相加结果是__________.12、已知－4<x<2，则5－|x－2|＋|x＋4|=__________.13、托运行李p千克（p为整数）的费用为c（元）.已知托运第一个1千克需付2元，以后每增加1千克（不足1千克按1千克计）需加费用5角，则用含p的代数式表示托运行李费用c的表达式是__________.【巩固练习】1、下列每个图是若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边（包括三个顶点）有n（n>1）盆花，每个图案花盆的总数是S.（1）当n=9时，S=__________；（2）按此规律推断，S与n的关系是__________.2、已知A=4ab3－5b3，B=－3ab3＋2b3，求：（1）2A－B；（2）A－B；（3）B＋A；（4）2B－A.3、化简求值：3a2－{－2a2－[a2－ab－2(b2－2ab)＋b2]＋ab}，其中a=－，b=－2.4、已知(x＋2)2＋|y＋1|=0，求5xy2－{2x2y－[3xy2－(4xy2－2x2y)]}的值.5、若a>0>b>c，且|a|<|b|<|c|.化简：|a＋c|＋|a＋b＋c|－|a－b|＋|b＋c|.6、三个队植树，第一队植树x棵，第二队植的树比第一队植树的2倍少25棵，第三队植的树比第一队植树的一半多42棵，三个队共植树多少棵？当x=100时，三个队共植树多少棵？7、在由自然数排成的数阵中，在1000的正下方的自然数是多少？1 2 5 …4 3 6 …9 8 7 ……………。
七年级专题三-与整式相关的找规律
专题三----“两大题模”秒杀找规律问题一．找规律规律探究类的问题是近几年中考题中出现的创新性题目，考查从特殊到一般的认识水平、运算能力以及对知识的贯通能力，要求学生必须具备逻辑推理能力、观察归纳能力、猜想验证能力．考察题型主要有“数字类”、“图形类”、“计算类”等．1、掌握探究的一般方法是解决此类问题的关键．（1）掌握探究规律的方法，可以通过具体到抽象、特殊到一般的方法，有时通过类比、联想，还要充分利用已知条件或图形特征进行透彻分析，从中找到隐含的规律．（2）恰当合理的联想、猜想，从简单的、局部的特殊情况到一般情况是基本思路，经过归纳、提炼、加工，寻找出一般性规律，从而求解问题．2、探索规律一般要经历以下的一些过程：（1）.观察它前后几项的和、差、积、商和乘方等特点，注意数的大小、结构的变化、图形位置的变换，进行多角度的观察与调整；（2）.从已知的有限个数据或图形中去寻找数量关系和图形之间的关系，并进行归纳； （3）.从归纳出的数量关系或图形关系进行大胆的猜测，得出他们共同的规律； （4）.列举符合条件的数据和图形，验证猜想的规律的正确性，得出结论。
题模一：数字类1 观察下列各式：3211= 332123+=33321236++= 33332123410+++= ……猜想：333312310+++⋅⋅⋅⋅+=__________．2 定义：对于任意一个不为1的有理数a ，把11a-称为a 的差倒数，如2的差倒数为1112=--，1-的差倒数为()11112=--．记112a =，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，…，依此类推，则2a =____________；2015a =____________3有一列式子，按一定规律排列成251017263,9,27,81,243a a a a a ---,（1）当a=1时，其中三个相邻数的和是63，则位于这三个数中间的数是___________； （2）上列式子中第n 个式子为__________（n 为正整数）．4、观察下列等式：2＝2＝1×22＋4＝6＝2×32＋4＋6＝12＝3×42＋4＋6＋8＝20＝4×5 ……（1）可以猜想，从2开始到第n（n为自然数）个连续偶数的和是__________；即2+4+6+…+2n= .（2）当n＝10时，从2开始到第10个连续偶数的和是_______________。
七年级数学上册专题精讲6、整式中的规律探究
图⑴
图⑵
图⑶
图⑷
方法总结 图形排列规律的问题其实也可以看成是整式排列规律问题，将图形中相 关的数据用含项数字母的整式表示出来，再看看这些整式排列有什么规律， 最后根据所推导的规律解题.
解：∵第1个图案中有5＋1＝6根小棒，
第2个图案中有2×5＋1＝11根小棒， 第3个图案中有3×5＋1＝16根小棒， … ∴第n个图案中有(5n＋1)根小棒．
故答案为： 若图形⑴中阴影部分的面积为 1，图形⑵中阴影部分的面积为 ， 4 9 27 图形⑶中阴影部分的面积为 ，图形⑷中阴影部分的面积为 ，则第 n 个图形中 16 64 阴影部分的面积用字母表示为( C ) 3 3 n 3 3 A. n B . （ ） C. ( ) n 1 D. ( ) n 1 4 4 4 4
3.指数.
系数和指数通常按“匀增加”或“成倍增加”的规律变化.
典例精解
类型二：图形规律探究 如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒， 第2个图案中有11根小棒，…，则第n个图案中有 根小棒．
如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小 棒，第2个图案中有11根小棒，…，则第n个图案中有 根小棒．
七年级数学上册专题精讲6
整式中的规律探究
我们经常遇到与整式相关的排列问题或图形排列问题，
如①x,－2x2,4x3,－8x4,……
②.
……
① ② ③
……
n
这些整式或表示图形的整式通常“匀增加”或“成倍增加”，找到这些规 律就找到了解题的方法.
典例精解
类型一：整式规律探究 例：观察下面的单项式： x,－2x2,4x3,－8x4,……，根据你发现的规律，第7个单 项式为___________ (－1)n+1•2n－1•xn. 64x7 ，第n个单项式为________________ 解：观察发现：①奇数项的符号为正号，偶数项的符号为负号；
整式规律探索类型题目
整式规律探索类型题目一．填空题（共11小题）1．一组按规律排列的式子：，，，，…则第n个式子是（n为正整数）．2．观察一列单项式：﹣x，4x2，﹣9x3，16x4，…，则第n个单项式是．3．观察下列单项式：3a2、5a5、7a10、9a17、11a26…它们是按一定规律排列的，那么这列式子的第n个单项式是．4．观察下列各式：x+1，x2+4，x3+9，x4+16，x5+25，…按此规律写出第n个式子是．5．观察下列单项式：xy2，﹣2x2y4，4x3y6，﹣8x4y8，16x5y10，…根据你发现的规律写出第n个单项式为．6．观察下列单项式：﹣a，2a2，﹣3a3，4a4，﹣5a5，…可以得到第2015个单项式是；第n个单项式是．7．观察下列关于x的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…按此规律写出第9个单项式是，第n个单项式是．8．有一列式子，按一定规律排列成﹣3a2，9a5，﹣27a10，81a17，﹣243a26，…．（1）当a=1时，其中三个相邻数的和是63，则位于这三个数中间的数是；（2）上列式子中第n个式子为（n为正整数）．9．有一个多项式为a8﹣a7b+a6b2﹣a5b3+…，按照此规律写下来，这个多项式的第六项是．10．观察下列多项式：2a﹣b，4a+b2，8a﹣b3，16a+b4，…按此规律，则可以得到第7个多项式是．11．一组按规律排列的多项式：a+b，a2+b3，a3+b5，a4+b7…其中第10个式子是；第n个式子是．二．解答题（共14小题）12．学规律在数学中有着极其重要的意义，我们要善于抓住主要矛盾，提炼出我们需要的信息，从而解决问题．（1）观察下列算式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…，通过观察，用你所发现的规律确定32014的个位数字是；（2）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是；根据此规律，如果a n（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a18= ，a n= ；（3）观察下面的一列单项式：x，﹣2x2，4x3，﹣8x4，…根据你发现的规律，第5个单项式为；第7个单项式为；第n个单项式为．13．观察下面有规律的三行单项式：x，2x2，4x3，8x4，16x5，32x6，…①﹣2x，4x2，﹣8x3，16x4，﹣32x5，64x6，…②2x2，﹣3x3，5x4，﹣9x5，17x6，﹣33x7，…③（1）根据你发现的规律，第一行第8个单项式为；（2）第二行第n个单项式为；（3）第三行第8个单项式为；第n个单项式为．14．如图，将正偶数按照图中所示的规律排列下去，若用有序实数对（a，b）表示第a行的第b个数．如（3，2）表示偶数10．（1）图中（8，4）的位置表示的数是，偶数42对应的有序实数对是；（2）第n行的最后一个数用含n的代数式表示为，并简要说明理由．15．如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．（1）表中第6行的最后一个数是，第n行的最后一个数是；（2）若用（a，b）表示一个数在数表中的位置，如9的位置是（4，3），则168的位置是．16．观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：a5= ；（2）用含有n的代数式表示第n个等式：a n= （n为正整数）；（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值．（4）探究计算：．17．观察下面三行数：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64…；0，6，﹣6，18，﹣30，66…；1，﹣，，﹣，，﹣，…；（1）第一行数的第8个数为；（2）若第一行的第n个数用（﹣2）n表示，则第三行的第n个数表示为；（3）取每一行的第m个数，三个数的和记为p，①当m=10时，求p的值；②当m= 时，|p+30000|的值最小．18．观察下面三行数：2，﹣4，8，﹣16，32，﹣64，…①0，﹣6，6，﹣18，30，﹣66，…②﹣1，2，﹣4，8，﹣16，32，…③（1）第①行第n个数是．（2）第②③行数与第①行相应的数分别有什么关系？（3）取每行数的第9个数，计算这三个数的和．19．观察下面三行数：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…；①0，6，﹣6，18，﹣30，66，…；②3，﹣3，9，﹣15，33，﹣63，…．③（1）第①行数的第n个数是；（2）请将第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数，并找出规律，根据你得到的结论，直接写出第②行数的第n个数是；同理直接写出第③行数的第n个数是；（3）取每行的第k个数，这三个数的和能否等于﹣509？如果能，请求出k的值；如果不能，请说明理由．20．如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．（1）表中第9行的最后一个数是，它是自然数的平方，第9行共有个数；（2）表中第（n+1）行的第一个数是，最后一个数是，第（n+1）行共有个数；（用含n的代数式表示）（3）求第（n+1）行各数之和．21．观察如表三行数的规律，回答下列问题：（1）第1行的第四个数a是；第3行的第六个数b是；（2）若第1行的某一列的数为c，则第2行与它同一列的数为；（3）已知第n列的三个数的和为5037，若设第1行第n列的数为x，试求x的值．22．仔细观察下列三组数第一组：1、﹣4、9、﹣16、25…第二组：0、﹣5、8、﹣17、24…第三组：0、10、﹣16、34、﹣48…解答下列问题：（1）每一组的第6个数分别是、、；（2）分别写出第二组和第三组的第n个数、；（3）取每组数的第10个数，计算它们的和．23．观察下面三行数：①2，﹣4，8，﹣16，…②﹣1，2，﹣4，8，…③3，﹣3，9，﹣15，…（1）第① 行数按什么规律排列的，请写出来？（2）第② 、③ 行数与第 ①行数分别对比有什么关系？（3）取每行的第9个数，求这三个数的和？24．观察下列3行数﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64…①0，6，﹣6，18，﹣30，66…②3，﹣3，9，﹣15，33，﹣63…③（1）第①行的第n个数是．（2）（Ⅰ）请将第 行数中的每个数都减去第 行数中对应位置的数，根据你得到的结论，直接写出第②行数的第n个数是．（Ⅱ）直接写出第③行数的第n个数是．（3）取每行数的第k个数，这三个数的和能否等于﹣509？如果能，请你求出k值；如果不能，请说出理由．25．由从1开始的连续自然数组成如下三角形的数表，观察规律并完成解答．（1）从表中我们发现：第10行的最后一个数是；我们猜想：第n行的最后一个数应为．（2）求第10行各数之和．（3）第n行各数之和是（直接写答案）．。
人教版数学七年级上册《整式》中数学活动——找规律
第１个图形
第２个图形
第３个图形
(4).用同样大小的黑白两种颜色的棋子 摆成如图所示的正方形图案，则第n个图案 需要用白色棋子（ 4n+4 ）枚（用含有n 的式子表示） ……
第１个
第２个 第３个
(5)如图，将连续奇数1，3，5，7‥‥‥排列成数表， 用十字框框出5个数，问：
①十字框框出的5个数 和框正中间的数17有 什么关系？
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 ②若将十字框上下左右平 25 27 29 31 33 35 移，可框住另外5个数。 37 39 41 43 45 47 若设中间的数为x，用式子表示十字框框住的5个数之和。
③十字框框住的5个数之和能等于2000吗？能等于2005 吗？若能，分别写出这5个数。
我们曾经接触过“细胞分裂”问题： 细胞每次都是由一个分裂成两个。 想一想 1 个细胞 经过 n 次分裂，由1个能 分裂成多少个？
分裂次数 1 2 3 4 …
细胞分裂问题
n
细胞个数
21 2 42 8 23 16 24 … 2n
思路启迪 为便于寻找规律，需把细胞个数表示为
分裂次数的同一种关系。
• 1.在如图所示的两个方框或其它多种方框
中,一条对角线上两数的和等于另一条对角 线上两数的和.
日 一 二 1 6 7 8 13 14 15 20 21 22 27 28 29
三 2 9 16 23 30
四 3 10 17 24 31
五 4 11 18 25
六 5 12 19 26
• 2、在十字形的区域中，五个数字的和等于正中心数 的5倍。 若设中心数为a, 则这五个数之和为： （a-7)+(a+7)+(a-1)+(a+1)+a=5a
整式加减数学活动课《探究规律》教案
整式的加减数学活动—探究规律海洲初级中学教学目标：1．通过本节课的学习，为学生提供更多的探索空间。
2．通过小组讨论、合作交流，让学生开阔思路、发展思维，培养学生的创新精神和自学意识。
3．初步体会类比和逆向思维的数学思想。
教学重点：体会类比和逆向思维的数学思想教学难点：体会式子比数字更具有一般性的事实教学方法：探究、讨论、合作交流、归纳、练习相结合教学过程：一、课前练习：观察下列每组数据，按你发现的规律在横线上填上适当的数：A: －1, 2,－3, 4, ___, ___, ___B: －27,－22,－17,－12,___, ___,___C: 11, 8, 5, 2, －1,___,___,____D: 1, －2, 4, －8，______，________， ________E: 3, 5, 8, 12, 17,_______, ________,38二、讲授新课：活动1问题一: 用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形，如果图形中含有2，3或4个三角形，分别需要多少火柴棍？如果图形中含有n个三角形，需要多少根火柴棍？问题二: 用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第一个正方形需要4个小正方形，拼第二个正方形需要9个小正方形……拼一拼，想一想，按照这样的方法拼成的第n个正方形比第（n-1）个正方形多几个正方形?n=1 n=2 n活动2一种笔记本售价为2。
3元/本，如果买100本以上《不含100本》，售价为2。
2元/本。
列式表示买n本笔记本所需钱数《注意对n的大小要有所考虑》。
请同学们讨论下面的问题：《1》按照这种售价规定，会不会出现多买比少买反而付钱少的情况？《2》如果需要100本笔记本，怎样购买能省钱？《3》了解实际生活中类似问题，并举出几个具体例子。
活动3图3是某月的月历1 2 3 4 5 67 8 9 10 11 12 1314 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 2728 29 30 31图3《1》带阴影的方框中的9个数之和与方框中心的数有什么关系？《2》如果将带阴影的方框移至图4的位置，又如何？《3》不改变带阴影的方框的大小，将方框移动几个位置试一试，你能得出什么结论？你能证明这个结论吗？1 2 3 4 5 67 8 9 10 11 12 1314 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 2728 29 30 31图4（4）这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？1 2 3 4 5 67 8 9 10 11 12 1314 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 2728 29 30 31（6）如图6，对于带阴影的框中的4个数，又能得出什么结论？1 2 3 4 5 67 8 9 10 11 12 1314 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 2728 29 30 31三、小结学生根据学习过程的实际情况，说说自己的收获与疑惑，教师与学生完善。
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②.
①
②
……
③
……
n
这些整式或表示图形的整式通常“匀增加”或“成倍增加”，找到这些规 律就找到了解题的方法.
类型一：整式规律探究
例：观察下面的单项式：x,－2x2,4x3,－8x4,……，根据你发现的规律，第7个单
如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，
第2个图案中有11根小棒，…，则第n个图案中有
根小棒．
如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小
棒，第2个图案中有11根小棒，…，则第n个图案中有
根小棒．
解：∵第1个图案中有5＋1＝6根小棒， 第2个图案中有2×5＋1＝11根小棒， 第3个图案中有3×5＋1＝16根小棒， … ∴第n个图案中有(5n＋1)根小棒． 故答案为： (5n＋1) ．
项式为____6_4__x_7___，第n个单项式为__(_－___1__)_n_+_1_•_2__n_－1•xn.
解：观察发现：①奇数项的符号为正号，偶数项的符号为负号； ②系数的绝对值依次为1，2，22，23，…… ③字母x的指数依次为1，2，3，4，…… 所以第7个单项式为64x7，第n个单项式为(－1)n+1•2n－1•xn.
观察下列图形：若图形⑴中阴影部分的面积为 1，图形⑵中阴影部分的面积为 3 ， 4
图形⑶中阴影部分的面积为 9 ，图形⑷中阴影部分的面积为 27 ，则第 n 个图形中
16
64ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
阴影部分的面积用字母表示为( C )
A. 3 n B.（3）n C. ( 3)n1 D. ( 3)n1
4
4
4
4
图⑴ 图⑵ 图⑶ 图⑷
方法总结
图形排列规律的问题其实也可以看成是整式排列规律问题，将图形中相 关的数据用含项数字母的整式表示出来，再看看这些整式排列有什么规律， 最后根据所推导的规律解题.
有一个多项式为a8－a7b＋a6b2－a5b3＋……，按照此规律写下去，这个多
－ 项式的第八项是_______a_b__7.
方法总结
解整式排列规律问题时通常从以下三个方面分析： 1.符号； 2.系数的绝对值； 3.指数. 系数和指数通常按“匀增加”或“成倍增加”的规律变化.
类型二：图形规律探究