高三数学等比数列问题常见错误
2023高考数学----等差等比数列的交汇问题规律方法与典型例题讲解
2023高考数学----等差等比数列的交汇问题规律方法与典型例题讲解【规律方法】在解决等差、等比数列综合问题时，要充分利用基本公式、性质以及它们之间的转化关系，在求解过程中要树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，并适时地采用“巧用性质，整体考虑”的方法．可以达到减少运算量的目的．【典型例题】例1．（2022·河南·一模（理））已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，()121n n a S n *+=+∈N ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)在n a 和1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，在数列{}n d 中是否存在3项,,m k p d d d （其中,,m k p 是公差不为0的等差数列）成等比数列？若存在，求出这3项；若不存在，请说明理由．【解析】（1）当2n ≥时，由121n n a S +=+得：121n n a S −=+，11222n n n n n a a S S a +−∴−=−=，则13n n a a +=，{}n a 为等比数列，∴等比数列{}n a 的公比为3；当1n =时，2112121a S a =+=+，11321a a ∴=+，解得：11a =，()13n n a n −*∴=∈N（2）假设存在满足题意的3项，由（1）得：13nn a +=，又()11n n n a a n d +=++，1113323111n n n n n n a a d n n n −−+−−⋅∴===+++； ,,m k p d d d 成等比数列，2km p d d d ∴=⋅，即()()()2211224323234311111k m p m p m p m p k −−−+−⋅⋅⋅⋅=⋅=+++++， ,,m k p 成等差数列，2k m p ∴=+，()()()2224343111m p m p m p k +−+−⋅⋅∴=+++，()()()2111121k m p mp m p mp k ∴+=++=+++=++，整理可得：2k mp =，又222m p k +⎛⎫= ⎪⎝⎭，222224m p m mp p mp +++⎛⎫∴== ⎪⎝⎭， 即()20m p −=，解得：m p =，则m p k ==，与已知中,,m k p 是公差不为0的等差数列相矛盾，∴假设错误，即不存在满足题意的3项.例2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()12,2(1)N n n a n a n S n *=⋅=+⋅∈． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)判断数列231⎧⎫−⎨⎬+⎩⎭n n a n 中是否存在成等差数列的三项，并证明你的结论． 【解析】（1）N n *∈，2(1)n n n a n S ⋅=+⋅，则当2n ≥时，()12(1)−⋅−=+⋅n n n n S S n S ，即121−=⋅−n n S Sn n ，而121S =，因此，数列{}n S n 是公比为2的等比数列，则11221n n n S S n −=⋅=，即2n n S n =⋅，所以1(1)(1)22−+⋅==+⋅n nn n S a n n. （2）记231=−+nn n b a n ，由（1）知，123(1)2321−=−⋅+=−+n n n n n b n n ，不妨假设存在,,()<<m n p b b b m n p 三项成等差数列，则()2323232−=−+−n n m m p p ，因为(),,N m n p m n p *<<∈，所以1+≤n p ，令()()32N nnf n n *=−∈，则3()212⎡⎤⎛⎫=−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦n nf n ，于是有()f n 对N n *∈是递增的，则()(1)≥+f p f n ，即113232++−≥−p p n n ，因此()1123232323232++−=−+−≥−+−n n m m p p m m n n ，即332n m m −≥−，其左边为负数，右边为正数，矛盾，所以数列231⎧⎫−⎨⎬+⎩⎭n n a n 中不存在成等差数列的三项． 例3．（2022·福建省福州华侨中学高三阶段练习）已知在正项等比数列{}n a 中13213,,22a a a 成等差数列，则2022202120202019a a a a +=+__________．【答案】9【解析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，因为13213,,22a a a 成等差数列，所以31212322a a a ⨯=+，即211132a q a a q =+，又10a >，2230q q ∴−−=所以3q =或1q =−（不符合题意，舍去）.所以20212020322202220211120192018202020191191a a a q a q q q q a a a q a q q ++===+=+++， 故答案为：9.例4．（2022·湖北·高三期中）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，1111S =，573b b =，则6326log a b =______． 【答案】−1【解析】因为{}n a 是等差数列，且n S 是数列{}n a 的前n 项和，所以()1111161111112a a S a +===，解得61a =，因为{}n b 是等比数列，所以25763b b b ==，则633261log log 13a b ==−. 故答案为：1−.例5．（2022·河南省淮阳中学模拟预测（理））已知等差数列{}n a 的前n 项利为n S ，若9S ，5a ，1成等比数列，且20400S ≥，则{}n a 的公差d 的取值范围为______． 【答案】[)2,+∞【解析】因为9S ，5a ，1成等比数列，所以()192595992a a a S a +===，所以59a =，即149a d +=，即194a d =−．由20400S ≥，得()1201902094190400a d d d +=⨯−+≥，解得2d ≥，即{}n a 的公差d 的取值范围为[)2,+∞． 故答案为：[)2,+∞．例6．（2022·上海·华东师范大学第一附属中学高三阶段练习）已知等差数列{}n a 的公差d 不为零，等比数列{}n b 的公比q 是小于1的正有理数．若1a d =，21b d =，且222123123a a ab b b ++++是正整数，则q 的值可以是______． 【答案】12【解析】由题意知：{}n a 是首项为d ，公差为d ，且0d ≠的等差数列，{}n b 是首项为2d ，公比为q ，且01q <<的等比数列，∴()()()2222222123222222212323141411d d d a a a d b b b d d q d q q q d q q ++++===++++++++， 要使222123123a a ab b b ++++为正整数，即2141q q ++为正整数，∵01q <<，201q <<，∴2113q q <++<，设2141q q n ++=，()0n >，即1413n <<，即14143n <<， 又∵21414141n q q n==++，∴n 为正整数，则满足范围的n 的值有：5，6，7，8，9，10，11，12，13， 又221314124q q q n ⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭，即111222q =−=−=−又由题意知：01q <<，且为有理数，∴12q =−8n =时，满足题意，此时：111112222q =−−−+=.故答案为：12.例7．（2022·贵州·顶效开发区顶兴学校高三期中（理））对于集合A ，B ，定义集合{|}A B x x A x B −=∈∉且. 己知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 满足14a =，12b =，212n n n b b b ++=+，332a b =+．设数列{}n a 和{}n b 中的所有项分别构成集合A ，B ，将集合A B −的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，则数列{}n c 的前30项和30S =_________. 【答案】1632【解析】{}n b 为正项等比数列，则2221222n n n n n n b b b b q b q b q q ++=+⇒=+⇒=+，解得2q =或1q =−（舍），∴1122n nn b b −==；{}n a 为等差数列，则331222a a d =+=+，∴3d =，∴()41331n a n n =+−⋅=+.由231,*nn m b a m n m =⇒=+∈N 、，可得当2468n =、、、时，152185m =、、、， 故数列{}n c 的前30项包含数列{}n a 前33项除去数列{}n b 第2、4、6项，()3043331334166416322S +⨯+⨯=−−−=.故答案为：1632例8．（2022·全国·模拟预测（文））设数列{}n a ，{}n b 满足2n n a =，38n b n =−，则它们的公共项由小到大排列后组成新数列{}n c ．在k c 和()1N*k c k +∈中插入k 个数构成一个新数列{}n e ：1c ，1，2c ，3，5，3c ，7，9，11，4c ，…，插入的所有数构成首项为1，公差为2的等差数列，则数列{}n e 的前20项和20T =______． 【答案】1589【解析】2nn a =，∴数列{}n a 是以2首项，公比为2的等比数列，12a ∴=，24a =，38a =，416a =，因为38n b n =−，所以15b =−，22b =−，31b =，44b = 知1a 显然不是数列{}n b 中的项．424a b ==，2a ∴是数列{}n b 中的第4项，设2kk a =是数列{}n b 中的第m 项，则238(k m k =−、*N )m ∈．112222(38)616k k k a m m ++==⨯=−=−， 1k a +∴不是数列{}n b 中的项．222424(38)3(48)8k k k a m m ++==⨯=−=−−，2k a +∴是数列{}n b 中的项．21c a ∴=，42c a =，63c a =，⋯，2n n c a =，∴数列{}n c 的通项公式是224n n n c ==．因为12345520+++++=，所以{}n e 的前20项包括n c 的前5项，以及21n −的前15项，所以 1234520444441329T =++++++++()()5414129151589142−+⨯=+=−故答案为：1589.。
高三数学解题技巧大全
1高三数学解题技巧在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律深化数学思想方法在解题实践中的指导作用。
在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力。
培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法。
2高三数学答题技巧一、提前进入数学情境高考数学考前要摒弃杂念，排除干扰思绪，使大脑处于“空白”状态，创设数学情境，进而酝酿数学思维，提前进入“角色”，通过清点用具、暗示重要知识和方法、提醒常见解题误区和自己易出现的错误等进行针对性的自我安慰，从而减轻压力，轻装上阵，稳定情绪、增强信心，使思维单一化、数学化、以平稳自信、积极主动的心态准备应考，保证数学满分答题状态。
二、集中注意，消除焦虑怯场集中注意力是高考数学满分的基础，一定的神经亢奋和紧张，能加速神经联系，有益于积极思维，要使注意力高度集中，思维异常积极，这叫内紧但紧张程度过重，则会走向反面，形成怯场，产生焦虑，抑制思维，所以又要清醒愉快，放得开，这叫外松好的情绪可以帮助考试在高考数学时取得满分。
三、沉着应战良好的开端是成功的一半，从高考考试的心理角度来说，这确实是很有道理的，拿到试题后，不要急于求成、立即下手答题，而应通览一遍整套试题，摸透题情，然后稳操一两个易题熟题让自己产生“旗开得胜”的快意，从而有一个良好的开端，以振奋精神，鼓舞信心，很快进入最佳思维状态，即发挥心理学所谓的“门坎效应”，之后做一题得一题，不断产生正激励，稳拿中低，见机攀高，冲击数学满分。
3高中数学解题方法技巧充分利用考前5分钟很多学生或家长不知道，按照大型的考试的要求，考前五分钟是发卷时间，考生填写准考证。
等比数列学习中的常见错误归类解析
等比数列学习中的常见错误归类解析等比数列是数学中的重要概念，无论在校园课堂还是在现实世界中，它都有其实际应用。
然而，由于等比数列概念很抽象，很多学生在学习过程中犯常见的错误，下面对这些常见错误进行归类总结，并给出解决办法。
一、缺乏有效的学习策略关于等比数列的学习，很多学生并没有采取有效的学习策略，而是采取简单的、不全面的学习方式，从而导致学习效果不理想。
解决的办法是，学生应该按照步骤来进行等比数列的学习，从基本概念开始，深入讨论相关知识，再分析一些典型问题，最后结合自身水平，不断练习，并了解更多实际应用。
二、困惑等比数列的概念等比数列的概念非常抽象，很多学生在学习的过程中会感到困惑，不知道如何理解和掌握它。
其实，解决这个问题的办法很简单，可以通过实际例子来引导学习，让学生通过实际例子理解等比数列的概念，而不必去刻意地理解一些抽象概念。
三、不清楚等比数列的规律等比数列的规律是其实质，很多学生在学习等比数列时往往会忽略掌握其规律。
针对这个问题，学生应该从等比数列的定义入手，从具体的基本概念出发，结合大量的例子加深理解，并且总结其规律性。
四、实际应用理解不深很多学生学习等比数列的实际应用理解并不深入，难以快速掌握和应用到实际问题中。
为了改进这一点，学生可以多参考一些教科书上提供的解题技巧，并结合实际例子深入研究和理解，从而更好地应用等比数列到实际问题当中。
总结等比数列是数学中的重要概念，也是数学能力测试和教学中的重要部分。
很多学生在学习等比数列时犯常见的错误，本文就将这些常见错误归类总结了出来，并给出了解决的办法。
只要在学习的过程中注意避免这些错误，就能有效地提高学习效果，学以致用，将等比数列的知识应用到实际问题中。
细节决定成败_例析等差_等比数列中一些容易忽视的问题
高中版2014年3月展示如下，供读者赏析.试题1［1，2］（2009年安徽高考数学理14）给定两个长度为1的平面向量O A A A 和O A AB ，它们的夹角为120°.如图5所示，点C 在以O 为圆心的圆弧A AB 上变动.若O A A C=xO A A A+yO A AB ，其中x 、y ∈R ，则x+y 的最大值是________.解析：由图5可知线段x+y=k 与直线x+y=1平行.k 增加到2时，点C 在A ∈B 上，恰好点C 也在AB 的平行线段A ′B ′上，此时，（x+y ）max =2.试题2（2009年安徽高考数学文14）在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若A A A P=λA A AE+μA A A F ，其中λ、μ∈R ，则λ+μ=_________.解析：由图6可知：当λ+μ=1时，A A A P 的终点在直线EF 上.过点C 作EF 的平行线，交AE 的延长线与H 点，BD 与AE 交于点G ，那么有EH=GE ，GE GA =DE AB =12.可知：AH AE =43，即λ+μ=43.试题3（2013年江苏高考数学10）设D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，AD=12AB ，BE=23BC ，若D A A E =λ1A A A B+λ2A A AC（λ1、λ2为实数），则λ1+λ2的值为______.解析：过点A 作A A A F=D A AE ，设AF 与BC 的延长线交于点H ，易知AF=FH ，即DF 为BC 的中位线（见图7），因此λ1+λ2=12.四、结语文中笔者从分析一道高考试题的解法入手，进而转化为基于单纯的向量视角进行分析，即：利用平面向量的基本定理，将一类涉及基底的线性表示系数之和的问题，化归为利用基底向量建立“向量坐标系”进行向量值线性规划的问题.这种做法既可以避免烦琐的代数计算，又能够充分体现向量的“形”的几何优势，将“形”的魅力展现到极致.因此，在解题过程中，不同的审视角度决定不同的思维策略，这需要平时通过不断地思考、反思并积累解题经验，才能培养良好的思维品质［3］.同时，这种思维角度变换更能从本质上理解知识、把握方法，形成能力，才能触类旁通，游刃有余，对我们教学的起承与创新将大有裨益.参考文献：1.丁益民，袁琴琴.2009年安徽卷中一道高考题的思考过程［J ］.中学数学（上），2009（10）.2.缪荷芳.一节高三“一题多解”课的听课感悟［J ］.中学数学教学参考（上），2012（1-2）.3.滕传民.平面向量题目的求解策略［J ］.中学数学（上），2012（9）.WG教材教法案例点评B ′CB A ′O x+y=2x+y=1A 图5数列问题是高考中的一个热点，也是一个难点.学生在解题时经常会忽视一些问题而造成不必要的扣分，下面笔者通过教学中常见的错误一一加以说明.一、对等差、等比数列定义认识不深刻我们在证明某一个数列是等差数列还是等比数列的时候，如果选用定义法证明，可以用如下的等式说明：（1）a n -a n-1=d （n ≥2，n ∈N *）（d 为常数）；（2）a n a n-1=q （n ≥2，n ∈N *）（q 为常数）.注意：用定义证明时，务必要保证a 1、a 2也要满足这个式子.然而在很多时候，老师在讲解概念的时候，容易忽略掉这个细节，所以学生在解决有关S n 、a n 等递推关系的解答题时，常常会犯一些简单的错误.例1数列{a n }中，已知a 1=1，a n =a n-1+a n-2+a n-3+…+a 1细节决定成败———例析等差、等比数列中一些容易忽视的问题筅福建省福州延安中学林方芳F C H EGB A D 图6A D F BE C H图718高中版2014年3月教材教法案例点评（n ≥2），则a n =________.错解：因为S n-1=a 1+a 2+…+a n-1，所以原式为a n =S n-1（n ≥2）.①所以a n-1=S n-2.②由①-②，可得a na n-1=2，所以{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，即a n =2n-1.分析：当等式a n =a n-1+a n-2+a n-3+…+a 1（n ≥2）中的n=2时，有a 2=a 1=1，这与错解当中的a n =2n-1矛盾.（当a n =2n-1中的n=2时，a 2=2）那我们在解答过程中到底疏忽了什么呢？在我们将式①中的n 变为n-1时，忘了考虑②中n 的范围了！若②要成立，则n ≥3，所以①-②可得a na n-1=2（n ≥3），不满足等比数列的定义.通过计算可得a 2=1，所以a 2a 1=1≠2，即{a n }不是等比数列，是从第二项开始为等比数列的特殊数列，所以该数列的通项公式应该是一个分段的形式，即a n =1（n=1），2n-2（n ≥2）2.二、误用数列是等比数列的充要条件例2在数列{a n }中，a 1=1，a 2=3，a n+1-103a n +a n-1=0（n ≥2，且n ∈N *），若数列{a n+1+λa n }是等比数列，求实数λ.错解：设a n+1+λa n =μ（a n +λa n-1）（n ≥2）.所以a n+1+（λ-μ）a n -μλa n-1=0.所以λ-μ=-103，-μλ=1111111111，所以λ=-3或λ=-13.上述解法看似无懈可击，但实际上当λ=-3时，a 2-3a 1=0，不能构成等比数列，当λ=-13时，a 2-13a 1=83≠0，此时{a n }为等比数列，故λ=-13.本题错解原因在于误认为a n =qa n-1（n ≥2）为数列{a n }是等比数列的充要条件，实际上数列{a n }为等比数列的充要条件为：a n =qa n-1（n ≥2）且a 1≠0.三、运用等比中项性质，忽视等比数列的隔项同号性例3数列{a n }为等比数列，a 1=2，a 5=8，则a 3=______.错解：因为数列{a n }为等比数列，所以a 1，a 3，a 5也成等比数列.所以a 23=a 1a 5=16，所以a 3=±4.上述解法同样看似无懈可击，但实际上当a 3=-4时，a 3=-4=a 1q 2=2q 2，所以q 2=-2，显然不可能.因此只有a 3=4符合题意，所以a 3=4.本题错解原因在于运用等比数列等比中项公式时，忽视等比数列的隔项同号性，因此该类题最好直接用等比数列通项公式求解.四、运用等比数列求和公式求和，忽视公式的分段形式例4已知a n =n ，记b n =a n p a n （p ＞0），求数列{b n }的前n 项和T n .错解：由b n =a n p a n ，得b n =np n .所以T n =p+2p 2+3p 3+…+（n-1）p n-1+np n ，pT n =p 2+2p 3+3p 4+…+（n-1）p n +np n+1.（1-p）T n =p+p 2+p 3+…+p n-1+p n -np n+1=p （1-p n ）1-p-np n+1.即T n =p （1-p n ）（1-p）2-np n+11-p .上述解法中，当p=1时，p+p 2+p 3+…+p n-1+p n 不能用等比数列求和公式求，同时1-p=0也不能用作分母.因此本题要分p=1和p ≠1两种情况讨论.正确解法：由b n =a n p a n ，得b n =np n .所以T n =p+2p 2+3p 3+…+（n-1）p n-1+np n .当p=1时，T n =1+2+…+n=n （n+1）2.当p ≠1时，pT n =p 2+2p 3+3p 4+…+（n-1）p n +np n+1，（1-p）T n =p+p 2+p 3+…+p n-1+p n-np n+1=p （1-p n ）1-p-np n+1.故T n =n （n+1）2（p=1），p （1-p n）（1-p）2-np n+11-p （p ≠1）1111111111111.本题错解原因在于运用等比数列求和公式时忽视公式的分段形式，没有对等比数列的公比是否等于1进行分类讨论.五、忽略等比数列可能是非零常数列的情形例5下列有关数列的说法正确的有____________.19高中版2014年3月教材教法案例点评拜读文1，使笔者获益匪浅.文中讨论了下面的问题，摘抄如下.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）经过（1，1）与6%姨2，3%姨2姨姨两点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过原点的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，椭圆上一点M 满足|MA|=|MB|，求证：1|OA|2+1|OB|2+2|OM|2为定值.文1给出两种证明方法：第一种是普通方程法；第二种是参数方程法，其做法如下.由题意可设A 3%姨cos θ，6%姨2sin 姨姨θ.由于OM ⊥OA ，故可设M 3%姨cos θ+π2⊥姨%，6%姨2sin θ+π2⊥姨⊥姨%，即M -3%姨sin θ，6%姨2cos ⊥姨θ.|OA |2=（3%姨cos θ）2+6%姨2sin ⊥姨θ2=32cos 2θ+32=|OB|2，|OM|2=（-3%姨sin θ）2+6%姨2cos ⊥姨θ2=32sin 2θ+32.整理可得1|OA|2+1|OB|2+2|OM|2=16sin 22θ+8.当且仅当sin2θ=0，即当θ=k π2（k=0、1、2、3）时，结论成立.正如文1所说，用参数方程解此题时只能得出第一种解法中的特殊情况.进一步介绍了椭圆参数的意义，说明了上述做法仅在θ=k π2（k=0、1、2、3）时才满足OM ⊥山穷水复疑无路，柳暗花明又一村———对《用椭圆参数方程时的一个“误区”》一文的质疑筅江苏省滨海中学陈海祥（1）若2b=a+c ，则a 、b 、c 成等差数列；（2）若b 2=ac ，则a 、b 、c 成等比数列；（3）数列{a n }为等差数列，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n 成等差数列；（4）数列{b n }为等比数列，记T n 为数列{b n }的前n 项和，则T n ，T 2n -T n ，T 3n -T 2n 成等比数列；（5）设数列{a n }为等差数列，则“m 、n 、l 、s ∈N *且m+n=l+s ”是“a m +a n =a l +a s ”的充要条件；（6）设数列{b n }为等比数列，则“m 、n 、l 、s ∈N *且m+n=l+s ”是“b m ·b n =b l ·b s ”的充要条件.错解：（2）中b 2=ac 时，a 、b 、c 可能都为0，此时a 、b 、c 不能构成等比数列；（4）中等比数列{b n }的公比为-1时，当n 为偶数时T n =0，此时T n ，T 2n -T n ，T 3n -T 2n 不能构成等比数列.其他都是正确的，故答案为（1）（3）（5）（6）.实际上本题中（5）和（6）也是错误的，因为（5）和（6）中的数列{a n }和数列{b n }都有可能是常数列，这样任意两项和都相等，和下标没有关系.正确答案应为（1）（3）.本题错解原因在忽略等差数列可能为常数列，等比数列可能是非零常数列的情形.“细节决定成败”，所以，在教授新课的时候，我们一定要将这个细节的地方讲透讲通，这样学生在以后学习或者高三复习的时候才不会在这样的细节方面出错.现在由于高一、高二的课程比较紧，所以老师往往是在赶进度，从而忽略了一些本质的东西，在学习概念的时候只是“蜻蜓点水”，然后以大量的练习来巩固概念，学生往往也是吃了“夹生饭”，不能完全消化.这样的教学模式是与我们的新课改背道而驰的.从近几年的江苏高考试题可以看出，学生陷入题海战术后，在高考中是不能够脱颖而出的，只有平时多“悟”，多“思”，这样才能在高考中取得理想的成绩.当然在这样的大环境下，也给我们老师提出了更高的要求，只有更深入地去研究教材，才能更好地教会学生在细节方面多留心，学生才能越学越轻松，越学越想学.WG20。
高考数学常见失分原因分析及对策
高考数学常见失分原因分析及对策“这些题目不难，但我做错了”、“题目我都做了，如何分数这么低啊？”每年高考后总有一批学生发出感叹、提出疑问。
事实上高考是对学生综合素养的全面检测，尽管每年试卷各有特点，但学生的错误往往存在着共性，这些错误对立即参加高考的学生却是宝贵资源。
本文通过对今年高考生解题错误、失分缘故的分类与分析，提供相应计策，幸免新高三生重蹈覆辙。
[失分缘故1]对数学概念明白得模糊，缺乏应用意识如第3题，由条件求动点轨迹方程，学生只要对比抛物线的定义即可直截了当写出抛物线方程，但由于对抛物线的定义缺乏应用的能力，一批学生看不出轨迹是抛物线，只好用直截了当法求轨迹方程，列出一个含绝对值和根号的等式，再进行化简，既繁琐又容易引起错误。
第6题考查数学期望的概念，由于平常训练时差不多上求“数学期望”，而现在是求“随机变量的均值”，学生不明白两者是一回事，导致解题时不知所措。
第15题考查充分必要条件的概念，背景是三角方程，由于不明白正切函数的周期，导致失分。
第16题化参数方程为一般方程，再由直线的一般方程确定直线的方向向量，涉及到直线方程中的差不多概念和差不多方法，尽管专门简单，但对概念的模糊不清导致了解题的错误。
第22题给出了一个“新概念”，这比前几个问题要求提高了一步，第一要明白得新概念，然后才能解决问题，概念的本质确实是绝对值不等式，只要看透这一点，就可将“新概念”转化为“老问题”，但在解题过程中把不等号写反或凭自己的想象编造不等式的学生不在少数，要紧缘故是对“新概念”的不明白得，同时缺少转化意识。
计策1：注重概念的发生进展过程，明白得概念的本质。
我们每次学习一个新的数学概念时，必须弄清晰如此几个问题：什么缘故要学习那个概念？它是从哪里来？是如何得到那个概念的？数学概念往往用简洁的几个字概括一段文字的意思，如函数、等差数列、等比数列、数学期望等，这几个字是如何提炼的？它的内涵是什么？那个概念在解题中如何运用？假如对每个数学概念都如此来学习，就能抓住概念的本质，产生对数学概念专门强的明白得能力，以后不管是独立学习新概念，依旧让你定义一个新的数学概念，都会镇定自如。
第31讲等比数列中的基本问题2023高三数学一轮复习提高版课件共40张PPT
(2) 求数列{Sn}的前 n 项和 Tn. 【解答】 由(1)知 Sn－n＋2＝2n＋1， 所以 Sn＝2n＋1＋n－2， 于是 Tn＝(22＋23＋…＋2n＋1)＋(1＋2＋…＋n)－2n ＝411－－22n＋nn＋ 2 1－2n ＝2n＋3＋n22－3n－8.
目标 3 等比数列的性质及应用 (1) 在等比数列{an}中，若 a3，a15 是方程 x2－6x＋8＝0 的根，则a1aa917＝
＝1·26＝64.
2. 在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若 am＝a1a2a3a4a5，则 m 等于( C )
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
【解析】 在等比数列{an}中，因为 a1＝1，所以 am＝a1a2a3·a4a5＝a51q10＝q10.因为 am＝a1qm－1＝qm－1，所以 m－1＝10，所以 m＝11.
1－q
4. (2019·南京、盐城一模)已知等比数列{an}为单调递增数列，设其前 n 项和为 Sn， 若 a2＝2，S3＝7，则 a5 的值为___1_6____.
【解析】 方法一：(基本量为 a1，q)设 an＝a1·qn－1，则 a2＝a1·q＝2，即 a1＝2q，所
以 S3＝a1·(q2＋q＋1)＝7，即2q·(q2＋q＋1)＝2q＋2＋2q＝7，q＋1q＝52，解得 q＝2 或 q＝12(数 列递减，舍去)，则 a5＝a1·q4＝16.
(3) 求{an}的通项公式． 【解答】 由(2)可得ann＝2n－1，所以 an＝n·2n－1.
等比数列的判定方法：①定义法：若aan＋n1＝q(q 为非零常数)或aan－n1＝q(q 为非零常数 且 n≥2)，则{an}是等比数列．②中项公式法：若数列{an}中，an≠0 且 a2n＋1＝an·an＋2(n ∈N*)，则数列{an}是等比数列．③通项公式法：若数列通项公式可写成 an＝c·qn－1(c，q 均为不为 0 的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．
如何通过等比数列解决高考数学中的问题
如何通过等比数列解决高考数学中的问题在高中数学中，等比数列是一个重要的概念。
它不仅出现在数学中的各种题型中，而且在实际生活中也有广泛的应用。
本文将主要介绍如何通过等比数列解决高考数学中的问题。
1. 等比数列的概念和通项公式等比数列是指一个数列中，每一项与前一项的比都相等的数列。
具体地说，如果一个数列的第一项为a1，公比为q，则它的第n项为an=a1*q^(n-1)。
这个公式就是等比数列的通项公式。
2. 等比数列的性质等比数列有很多重要的性质。
其中最重要的是比值相等的性质。
也就是说，如果一个数列的相邻两项的比相等，那么这个数列就是等比数列。
此外，等比数列还有一些其他的性质。
例如，对于一个等比数列，如果它的公比q>1，那么它的项数为n时，前n项的和Sn有以下不等式：a1*(q^n-1)/(q-1) < Sn < a1*q^n/(q-1)如果q<1，则有类似的不等式。
这些不等式在解决实际问题中非常有用。
3. 等比数列的应用在高考数学中，等比数列出现在多项式和函数的题型中。
例如，如果题目给出了一个多项式的某几项的系数，且这些系数是等比数列，那么就可以根据等比数列的公式求出每一项的系数，从而推出整个多项式。
另外，等比数列还有很多实际的应用。
例如，生活中经常遇到的存款问题。
假设某人每年将存款增加10%（即q=1.1），那么他在第n年的存款为an=a1*1.1^(n-1)。
如果知道他在第5年的存款是5000元，在第10年的存款是多少，就可以根据等比数列的通项公式求出来。
4. 解题思路和技巧在解决等比数列的题型时，有几个解题思路和技巧是很有用的。
首先要仔细分析题目，确定出数列的首项和公比。
其次，根据题目中给出的条件，列出方程求解。
有时候，多个等比数列的和也会出现在题目中。
此时可以采用分项求和的方法，将每个数列的和分别计算出来，然后将它们相加得到总和。
此外，有一些特殊的等比数列也需要注意。
高三数学等比数列试题答案及解析
高三数学等比数列试题答案及解析1.设等不数列{an }的前n项和为Sn，若S2=3，S4=15，则S6=( )A． 31B．32C．63D． 64【答案】C【解析】由已知条件可得解得，所以，故选C. 【考点】等比数列的性质.2.公比为的等比数列的各项都是正数，且，则= （）A．B．C．D．【答案】（B）【解析】由等比数列的各项都是正数，且.所以.又公比为即.故选（B）【考点】1.等比数列的性质.2.等比数列的通项公式.3.已知等比数列{an }满足a1+a2=3，a2+a3=6，则a7=（）A．64B．81C．128D．243【答案】A【解析】由a2+a3=q（a1+a2）=3q=6，∴q=2∴a1（1+q）=3，∴a1=1，∴a7=26=64故选A4.设正项等比数列的前项积为，若，则=__________.【答案】1【解析】设等比数列的通项公式为故答案为1【考点】等比数列的通项公式；等比数列的乘积运算.5.设正项等比数列的前项积为，若，则=__________.【答案】1【解析】正项等比数列的首项为与公比，由【考点】等比数列的通项公式；等比数列的乘积运算.6.函数图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为公比的数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数图象上的点到原点的距离的最小值为1，最大值为3，故，即，而，因此选B.【考点】等比数列的性质.7.已知数列满足，，定义：使乘积为正整数的k叫做“简易数”.则在[3,2013]内所有“简易数”的和为 .【答案】2035【解析】∵，∴，则“简易数”为使为整数的整数，即满足，∴，则在区间内所有“简易数”的和为.【考点】1.新定义题；2.等比数列的前n项和公式.8.已知等比数列的前项和为，若，，则的值是 .【答案】－2【解析】由得，∴，∴，．【考点】等比数列的通项公式与前项和．9.已知等比数列中，＝1，＝2，则等于( ).A．2B．2C．4D．4【答案】C【解析】，，，可见，，依旧成等比数列，所以，解得.【考点】等比数列的性质10.已知正项数列，其前项和满足且是和的等比中项.(1)求数列的通项公式；(2) 符号表示不超过实数的最大整数，记，求.【答案】(1) 所以；(2) .【解析】(1) 由①知②通过①②得整理得，根据得到所以为公差为的等差数列，由求得或.验证舍去.(2) 由得，利用符号表示不超过实数的最大整数知，当时，，将转化成应用“错位相减法”求和.试题解析：(1) 由①知② 1分由①②得整理得 2分∵为正项数列∴，∴ 3分所以为公差为的等差数列，由得或 4分当时，，不满足是和的等比中项.当时，，满足是和的等比中项.所以. 6分(2) 由得， 7分由符号表示不超过实数的最大整数知，当时，， 8分所以令∴① 9分② 10分①②得即. 12分【考点】等差数列的通项公式，对数运算，“错位相减法”.11.在各项均为正数的等比数列{an }中，已知a2＝2a1＋3，且3a2，a4，5a3成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn ＝log3an，求数列{anbn}的前n项和Sn.【答案】（1）3n，n∈N（2）Sn＝【解析】(1)设{an}公比为q，由题意得q>0，且解得 (舍)，所以数列{an }的通项公式为an＝3·3n－1＝3n，n∈N．(2)由(1)可得bn ＝log3an＝n，所以anbn＝n·3n.所以Sn＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，所以3Sn＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋n·3n＋1，两式相减得，2Sn＝－3－(32＋33＋…＋3n)＋n·3n＋1＝－(3＋32＋33＋…＋3n)＋n·3n＋1＝－＋n·3n＋1＝，所以数列{an bn}的前n项和Sn＝.12.已知两个数k＋9和6－k的等比中项是2k，则k＝________．【答案】3【解析】由已知得(2k)2＝(k＋9)(6－k)，k∈N*，∴k＝3.13.已知等比数列{an }是递增数列，Sn是{an}的前n项和，若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________．【答案】63【解析】因为等比数列{an }是递增数列，所以a1＝1，a3＝4，则q＝2，故S6＝＝63.14.已知数列{an }为等比数列,且a1a13+2=4π,则tan(a2a12)的值为()A．±B．-C．D．-【答案】C【解析】∵a1a13=,a2a12=,∴=,∴tan(a2a12)=tan=tan=,故选C.15.已知数列{an }是等差数列,a2=6,a5=12,数列{bn}的前n项和是Sn,且Sn+bn=1.(1)求数列{an}的通项公式.(2)求证:数列{bn}是等比数列.(3)记cn =,{cn}的前n项和为Tn,若Tn<对一切n∈N*都成立,求最小正整数m.【答案】(1) an=2n+2 (2)见解析 (3) 2012【解析】(1)设{an }的公差为d,则a2=a1+d,a5=a1+4d.∵a2=6,a5=12,∴解得:a1=4,d=2.∴an=4+2(n-1)=2n+2.(2)当n=1时,b1=S1,由S1+b1=1,得b1=.当n≥2时,∵Sn =1-bn,Sn-1=1-bn-1,∴Sn -Sn-1=(bn-1-bn),即bn=(bn-1-bn).∴bn =bn-1.∴{bn}是以为首项,为公比的等比数列.(3)由(2)可知:bn=·()n-1=2·()n.∴cn====-,∴Tn=(1-)+(-)+(-)+…+(-)=1-<1,由已知得≥1,∴m≥2012,∴最小正整数m=2012.16.一个由正数组成的等比数列，它的前4项和是前2项和的5倍，则此数列的公比为()A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】设此数列的公比为q，根据题意得q>0且q≠1，由，解得q＝2.17.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．【答案】6【解析】设每天植树的棵数组成的数列为{an}，由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2，所以由题意可得≥100，即2n≥51，而25＝32,26＝64，n∈N*，所以n≥6.18.在等比数列{an }中，a1＋a2＝20，a3＋a4＝40，则a5＋a6等于________．【答案】80【解析】q2＝＝2，a5＋a6＝(a3＋a4)q2＝40×2＝80.19.Sn 是等比数列{an}的前n项和，a1＝，9S3＝S6，设Tn＝a1a2a3…an，则使Tn取最小值的n值为________．【答案】5【解析】设等比数列的公比为q，故由9S3＝S6，得9×，解得q＝2，故＝a n ＝×2n－1，易得当n≤5时，<1，即Tn<Tn－1；当n≥6时，Tn>Tn－1，据此数列单调性可得T5为最小值．20.已知等比数列{an }是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________.【答案】63【解析】∵a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两根，且q＞1，∴a1＝1，a3＝4，则公比q＝2，因此S6＝＝63.21.已知公比为的等比数列的前项和为，则下列结论中：（1）成等比数列；（2）；（3）正确的结论为（）A．（1）（2）．B．（1）（3）．C．（2）（3）．D．（1）（2）（3）．【答案】C【解析】根据等比数列的性质，，则，，(2)(3)是正确的，但当时，(1)不正确，故选C．【考点】等比数列的前项和与等比数列的定义．22.在等比数列{an }中，a4＝4，则a2·a6等于()A．4B．8C．16D．32【答案】C【解析】23.在等比数列{an }中，a1＝2，前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn等于()．A．2n＋1－2B．3n C．2n D．3n－1【答案】C【解析】∵数列{an }为等比数列，设公比为q，∴an＝2q n－1，又∵{an＋1}也是等比数列，则(an＋1＋1)2＝(a n＋1)·(a n＋2＋1)⇒＋2a n＋1＝a n a n＋2＋a n＋a n＋2⇒a n＋a n＋2＝2a n＋1⇒a n(1＋q2－2q)＝0⇒q＝1.即an ＝2，所以Sn＝2n.24.在等比数列{an }中，2a3－a2a4＝0，则a3＝________；{bn}为等差数列，且b3＝a3，则数列{bn}的前5项和等于________．【答案】210【解析】在等比数列中2a3－a2a4＝2a3－＝0，解得a3＝2.在等差数列中b3＝a3＝2，所以S5＝＝5b3＝5×2＝10.25.设等比数列{an }的公比q＝2，前n项和为Sn，若S4＝1，则S8＝ ()．A．17B．C．5D．【答案】A【解析】由于S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝1，S8＝S4＋a5＋a6＋a7＋a8＝S4＋S4·q4，又q＝2.所以S8＝1＋24＝17.故选A26.已知数列为等比数列，，，，则的取值范围是( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】①,②,③，由①②③得,,故选D.【考点】1.等比数列的定义；2.不等式求范围.27.数列{}的前n项和为，．（Ⅰ）设，证明：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前项和；（Ⅲ）若，．求不超过的最大整数的值.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）由，令可求，时，利用可得与之间的递推关系，构造等可证等比数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）可求，利用错位相减法可求数列的和；（Ⅲ）由（Ⅰ）可求，进而可求，代入P中利用裂项求和即可求解试题解析：解:(Ⅰ) 因为，所以①当时，，则， .（1分）②当时，， .（2分）所以，即，所以，而， .（3分）所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以． .（4分）（Ⅱ）由(Ⅰ)得．所以①② .（6分）②-①得： .（7分）（8分）（Ⅲ）由(Ⅰ)知（9分）而，（11分）所以，故不超过的最大整数为．（14分） .【考点】1.递推关系；2.等比数列的概念；3.数列求和.28.正项递增等比数列{}中，，则该数列的通项公式为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由得，或（舍）．【考点】等比数列的运算性质．29.若等比数列的第项是二项式展开式的常数项，则 .【答案】【解析】展开式的通项公式为，其常数项为，所以.【考点】1、二项式定理；2、等比数列.30.设Sn 为等比数列{an}的前n项和，若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴，∴，∴.【考点】1.等比数列的通项公式；2.等比数列的前n项和公式.31.在等比数列中，若，则 .【答案】.【解析】由于数列为公比数列，所以，由于，所以.【考点】等比数列的性质32.已知，数列是首项为，公比也为的等比数列，令（Ⅰ）求数列的前项和；（Ⅱ）当数列中的每一项总小于它后面的项时，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】本题考查数列的通项公式和数列求和问题，考查学生的计算能力和分析问题解决问题的能力，考查分类讨论思想和转化思想.第一问，利用等比数列的通项公式先写出数列的通项公式，利用对数的性质得到的通项公式，从而列出，它符合错位相减法，利用错位相减法求和；第二问，有题意得，讨论的正负，转化为恒成立问题，求出.试题解析：（Ⅰ）由题意知，.∴..以上两式相减得.∵，∴.（Ⅱ）由.由题意知，而，∴. ①（1）若，则，，故时，不等式①成立；（2）若，则，不等式①成立恒成立.综合（1）、（2）得的取值范围为.【考点】1.等比数列的通项公式；2.等比数列的前n项和公式；3.错位相减法；4.恒成立问题.33.已知等比数列前项和为()A．10B．20C．30D．40【答案】C【解析】等比数列中，依次3项和依然成等比数列，即，，，成等比数列，其值分别为2,4,8,16，故.【考点】等比数列的性质.34.设等比数列满足公比，，且{}中的任意两项之积也是该数列中的一项，若，则的所有可能取值的集合为．【答案】【解析】任取数列中两项和，则也是数列中的项，又，，所以可能为，即的值可能为.【考点】等比数列的通项公式和性质.35.已知公差不为零的等差数列与公比为的等比数列有相同的首项，同时满足，，成等比，，，成等差，则( )A．B．C．D．【答案】C【解析】设数列的首项为，等差数列的公差为,，将，，代入得，化简得，解得，代入（1）式得.【考点】1、等差数列的通项公式；2、等比数列的性质.36.等比数列{}的前n项和为，已知对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上.（1）求r的值；（2）当b=2时，记求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用的关系求解；（2）由（1）和b=2求得，进而求得,利用错位相减法可得.试题解析：∵对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上. ∴得,当时,,当时,,又∵{}为等比数列,∴, 公比为, ∴.（2）当b=2时，,则相减,得=∴【考点】1.等比数列通项公式；2.数列求和；3.数列中的关系.37.在正项等比数列中，，则的值是( )A．10000B．1000C． 100D．10【答案】A【解析】因为，所以，所以，.【考点】1.对数的性质；2.等比数列的性质.38.若等比数列满足，，则公比__________;前项_____.【答案】2，【解析】，由，解得，故.考点定位：本题考查了等比数列的通项公式、前n项公式和数列的性质.39.已知各项均为正数的数列中，是数列的前项和，对任意，有.函数，数列的首项（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令求证：是等比数列并求通项公式（Ⅲ）令，，求数列的前n项和.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ） ;（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）由①得② 1分由②—①，得即： 2分由于数列各项均为正数，3分即数列是首项为，公差为的等差数列，数列的通项公式是 4分（Ⅱ）由知，所以， 5分有，即， 6分而，故是以为首项，公比为2的等比数列. 7分所以 8分（Ⅲ）， 9分所以数列的前n项和错位相减可得 12分【考点】等差数列、等比数列的通项公式，“错位相减法”。
SXC036高考数学必修_等比数列中的常见错误
等比数列中的常见错误等比数列相对于等差数列来说要复杂的多,在解等比数列的有关问题时，需特别注意等比数列的公比q 不能等于 0，在等比数列的求和公式中q ≠1．还要注意题目的隐含条件，谨防误入陷阱，本文剖析几例，以期提高同学们的解题的正确率．1． 忽视隐含条件致误在解决数列问题时，我们经常用一些巧妙的对称设法，目的是为了减少运算量．如三数成等差数列可设为a d a a d -+，，，三数成等比数列可设为aa aq q，，，四数成等差数列可设为33a d a d a d a d --++，，，，四数成等比数列可设为33a a aq aq q q，，，．但是，就在我们为这种巧妙的设法叫绝时，别忘了其中可能隐藏着错误，请看下题． 例1.已知四个实数成等比数列，其积为36，中间两数之和为5，求这四个数． 错解: 设比四个实数为33a a aq aq q q，，，， 由题知33365a a aq aq q q a aq q⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩···，，解之得2a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩或a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩或2a q ⎧=⎪⎨=-⎪⎩或a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩当a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩或a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩时，这四个数为492332，，，；当3a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩或3a q ⎧=⎪⎨=-⎪⎩时，这四个数为943223，，，． 综上得这四个数为492332，，，或943223，，，． 错解剖析:乍看此题，设法巧妙，事实上，当设四个数为33a a aq aq q q，，，时，已经隐含了这个等比数列的公比为20q >，即这个数列的各项应该为符号相同的．但此题中并没有这种限制，所以运用这种设法，虽然巧妙，但已经把这四个数正负相间（即公比为负）的另一种情形给弄丢了，正确解法如下：正解: 设这四个数为23a aq aq aq ，，，． 由题知232365a aq aq aq aq aq ⎧=⎪⎨+=⎪⎩···，，解之得232aq aq =⎧⎨=⎩，，或223aq aq =⎧⎨=⎩，，或261aq aq =⎧⎨=-⎩，，或216.aq aq =-⎧⎨=⎩， 故这四个数为492332，，，或943223，，，或116366--，，，或136616--，，，．2． 注意公比1q =的情形例 2. 设{}n a 是公比为q 的等比数列，n s 是它的前n 项和，若{}n s 是等差数列，则____=q ． 错解：由题意得：qq a s n n --=1)1(1 {}n s 是等差数列∴ q q a s s n n n --=--1)1(11qq a n ----1)1(11=11-n q a 为常数 ∴10或=q ．错解剖析:这里不但忽视了等比数列中q 0≠，又忽视了这种解法的前提是q 1≠．而当q =1时，111,a s s na s n n n =-=-为常数．故答案应为q =1．正确答案: q =1．3． 忽视公比q 一定为常数例3.数列{}n a 的首项为12，0n a >，且2211(2)(1)0()n n n n n a n a a a n *+++-++=∈N ，求{}n a 的通项公式．错解: 由已知，得[]11()(2)(1)0n n n n a a n a n a ++++-+=．因为100n n n a a a +>+>，，所以1(2)(1)n n n a n a ++=+，即112n n a n a n ++=+．所以{}n a 是首项为12，公比为12n n ++的等比数列． 所以{}n a 的通项公式为11122n n n a n -+⎛⎫=⨯ ⎪+⎝⎭． 错解剖析:此解中由“112n n a n a n ++=+”就认为{}n a 是等比数列．其实，等比数列定义中的1n n a q a +=不仅仅是一种形式，而且要求q 必须为常数，这里的12n n ++显然不是常数，故解答错误．正解: 由已知得112n n a n a n ++=+，即时112n n n a a n ++=+． 所以1232112321n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----= (1221111321)n n n n n n n --=⨯=+-+···…·． 四、忽视等比数列中各项都不为零致错例4.若数列{a n }的前n 项的和为S n =a n -1 (a ≠0），则数列{a n }是（ ）．A ．等差数列 B.可能是等差数列，也可能是等比数列C:等比数列 D.可能是等比数列，但不可能是等差数列错解: 由S n =a n -1,可得a n =(a-1)a n-1，故选C ．错解剖析: 由等比数列的定义知，等比数列的每一项都不为零．当a=I 时，a n = 0，数列{a n }是等差数列，但不是等比数列．正确答案选B.。
高三数学微积分与数列的应用与解题技巧总结
高三数学微积分与数列的应用与解题技巧总结微积分和数列是高中数学中的重要内容，也是高考数学考试中常见的题型。
它们在实际生活中有着广泛的应用，掌握了解题技巧可以帮助我们更好地解决实际问题。
本文将总结高三数学中微积分与数列的应用以及解题技巧。
一、微积分的应用微积分是研究极限、导数和积分的数学分支，它在科学、工程和经济等领域中有着广泛的应用。
下面将从极限、导数和积分三个方面总结微积分的应用。
1. 极限的应用极限是微积分的基础，它在数列、函数和数学模型等方面都有着重要的应用。
例如，在物理学中，速度可以看作是位移对时间的极限；在生物学中，种群数量的变化可以通过极限来进行模拟和预测。
掌握极限的概念和计算方法，可以帮助我们更好地理解和应用各种数学模型。
2. 导数的应用导数是微积分中的重要概念，它表示函数在某一点的变化率。
导数在各个学科领域都有广泛的应用。
例如，在物理学中，速度和加速度可以通过位置函数的导数求得；在经济学中，成本函数和收益函数的导数可以帮助我们分析生产和销售策略。
熟练掌握导数的计算和应用方法，可以帮助我们更好地解决实际问题。
3. 积分的应用积分是微积分中的另一个重要概念，它表示函数在区间上的累积效果。
积分在几何学、物理学和经济学等领域都有着广泛的应用。
例如，在几何学中，可以通过积分计算曲线与坐标轴所围成的面积；在物理学中，可以通过积分计算物体的质量和能量；在经济学中，可以通过积分计算生产和消费的总量。
掌握积分的计算和应用方法，可以帮助我们更好地解决实际问题。
二、数列的应用与解题技巧数列是高中数学中的重要内容，也是高考数学考试中常见的题型。
下面将总结数列的应用与解题技巧。
1. 等差数列的应用与解题技巧等差数列是数列中的一种特殊形式，它的公差恒定。
在实际生活中，等差数列常常出现在财务管理、工程规划和人口统计等方面。
解决等差数列相关问题的关键是找到数列的通项公式，然后利用该公式进行计算。
如果无法直接找到通项公式，可以通过计算前几项的差值来推测数列形式，并进行验证。
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等比数列问题常见错误剖析
一、概念不明
例1 若2233k k k ++，
，是一个等比数列的前三项，则k = ． 错解：依题意22k +是k 和33k +的等比中项，
2(22)(33)k k k +=+∴，整理得2540k k ++=，
解得1k =-或4k =-．
剖析与正解：此解忽视了等比数列任意一项都不为0这一条件，所以1k =-不适合题意，应舍去，答案为4k =-．
二、忽视隐含条件
例2 已知等比数列{}n a ，若1237a a a ++=，1
238a a a =··，求n a ． 错解：2132a a a =∵·，312328a a a a ==∴··，
22a =∴，1313
54a a a a +=⎧⎨=⎩，，∴· 解得1314a a =⎧⎨=⎩，，或13
41a a =⎧⎨=⎩，． 231a a q =∵，2q =±∴或12
q =±， 12n n a -=∴或1(2)n n a -=-或32n n a -=或3(2)n n a -=-．
剖析与正解：由上面求出的123a a a ，，的值，可得到题目的一个隐含条
件0q >，所以2q =或12
q =，所以12n n a -=或32n n a -=． 三、忽视公式的使用范围
例3 已知等差数列{}n a 的首项12a =，公差为d ，2n
a n
b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 错解：11()1222n n n n a a a n a n b b ++-+==∵，∴数列{}n b 是一个首项为124a =，公比为2d
的
等比数列，
4(12)12
nd n d S -=-∴． 剖析与正解：等比数列的前n 项和公式1(1)1n n a q S q
-=-只在1q ≠时适用，当1q =时，1n S na =．
4(0)4(12)(0)12nd n d
n d S d =⎧⎪=⎨-≠⎪⎩-∴ ，． 例4 已知数列{}n a 的前n 项和为n S 满足2log (1)1n S n +=+，求数列{}n a 的通项公式．
错解：由2log (1)1n S n +=+，得121n n S +=-， 1121(21)2n n n n n n a S S +-=-=---=∴，
∴数列{}n a 的通项公式为2n n a =．
剖析与正解：错因在于忽略了公式1n n n a S S -=-成立的条件为1n >． 当1n =时，113a S ==，不满足2n n a =，所以数列{}n a 的通项公式为
3(1)2(1)
n n n a n =⎧=⎨>⎩，．。