第19章 全等三角形小结与复习
全等三角形知识点总结及复习.docx
全等三角形知识点总结及复习、知识网络•对应角相等 对应边相等I r作图角平分线性质与判定定理、基础知识梳理 （一）、基本概念 1、全等”的理解全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。
同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
全等三角形定义：能够完全重合的两个 三角形称为全等三角形。
（注：全等三角形是相似三角形中 的特殊情况）当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合 的角叫做对应角。
由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
（1） 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2） 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3） 有公共边的，公共边一定是对应边； （4） 有公共角的，角一定是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； 2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法（1） 三边对应相等的两个三角形全等。
（2） 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（3） 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（4） 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
'边 边 边 角形J边 角 边判定J角 边 角角 角 边斜 边 、 全等形、全等三SSS SAS ASA AAS直角边 HL（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上（二）灵活运用定理1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。
2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。
第19章全等三角形 全章考点复习指导(要)
第19章全等三角形全章考点复习指导一、［知识点解析］1、判断正确或错误的句子叫做命题．正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．2、命题是由题设、结论两部分组成的．题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项．常可写成“如果……，那么……”的形式．用“如果”开始的部分就是题设，而用“那么”开始的部分就是结论．3、三角形全等的判定：方法1：如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．简记为S.A.S.（或边角边）．方法2：如果两个三角形有两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简记为A.S.A.（或角边角）方法3：如果两个三角形有两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简记为A.A.S.（或角角边）．方法4：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简记为S.S.S（或边边边）.方法5（只能用于直角三角形）：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等．简记为H.L.（或斜边、直角边）．［课堂精讲］一、边角边、角边角• 1．•如果两个三角形有两边及其夹角分别对应________，•那么这两个三角形________，简记为________．2．如果两个三角形的两个角及其_______对应相等，那么这两个三角形_____，简记_______．测试点1 边角边（SAS）判定三角形全等1．如图1所示，甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是______．(1) (2)2．已知在△ABC和△A1B1C1中，AB=A1B1，∠A=∠A1，要使△ABC≌△A1B1C1，•还需添加一个条件，这个条件可以是_________．3．如图2所示，已知∠1=∠2，AB=AC，求证：BD=CD．（要求：写出证明过程中的重要依据）测试点2 角边角（ASA）判定三角形全等4．如图3所示，在△AOB和△COD中，AC与BD交于点O，AB∥CD，补充一个条件________，得出△AOB≌△COD，理由分别是_________．(3) (4)5．下列说法错误的是（）A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等B．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等C．腰和顶角对应相等的两个等腰三角形全等D．等腰三角形的顶角平分线把这个等腰三角形分成的两个三角形全等6．如图4所示，已知MB=DN，∠MBA=∠NDC，下列不能判定△ABM≌△CDN的条件是（） A．∠M=∠N B．AB=CD C．AM=CN D．AM∥CN7．下列各组条件中，不能判定△ABC≌△A′B′C′的是（）A．AC=A′C′，BC=B′C′，∠C=∠C′B．∠A=∠A′，BC=B′C′，AC=A′C′C．AC=A′C′，AB=A′B′，∠A=∠A′D．AC=A′C′，∠A=∠A′，∠C=∠C′［精典练习］1．如图5所示，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，那么补充一个条件后，•仍无法判断△ABE≌△ACD的是（）A．AD=AE B．∠AEB=∠ADC C．BE=CD D．AB=AC(5) (6) (7)2．如图6所示，△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=1，•将△ABC绕顶点A旋转180°后，点C落在C′处，则CC′的长为（）A．．4 C．．3．如图7所示，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E，其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个(8) (9) (10)4.如图8所示，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A、C•到直线L 的距离分别是1和2，则正方形的边长是________．5．如图9所示，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△A•′OB′，若点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为________．6．如图10所示，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，•PC=10，若将△PAC绕点A 逆时针旋转后得到△P•′AB，•则点P•与点P•′之间的距离为_______，∠APB=________．7．如图所示，AC和BD相交于点E，AB∥CD，BE=DE，•求证：•AB=CD．8．已知如图所示，点E为正方形ABCD的边AD上一点，•连结BE，过点A作AH⊥BE，垂足为H，延长AH交CD于F，求证：DE=CF．［课堂精讲］二、• •1．如果两个三角形三条边对应______，那么这两个三角形________，简记_______． 2．如果两个直角三角形的一条直角边及斜边______，那么这两个三角形全等，简记为_______．测试点1 边边边（SSS）判定三角形全等1．如图2所示中，F、C在线段BE上，若BC=FE，AB=DE，要利用SSS•证明△ABC≌△DEF，补充一条边相等的条件是________．(1) (2) (3)2．在下列条件中，能判定△ABC≌△A′B′C′的是（）A．AB=A′B′，BC=B′C′，两个三角形周长相等;B．∠C=∠A′，∠C=∠C′，AC=B′C′;C．AB=A′B′，BC=B′C′，∠A=∠A′;D．∠A=∠A′，∠B=∠B′.3．如图2所示，△ABC中，BC边与线段DE相等，以D、E•为两个端点，作与△ABC全等的三角形，这样的三角形最多可以画出______个，并画出所有的图形．测试点2 斜边与直角边（HL）判定三角形全等4．已知在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，下列四组条件：①AB=•A′B′，CB=C′B′；②AC=A′C′，CB=C′B′；③∠A=∠A′，∠B=∠B′；④∠A=∠A′，BC=A′C′，可以用来判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的有（）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组5．如图3所示，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE与CD相交于O，且∠1=•∠2，则下列结论正确个数为（）①∠B=∠C；②△ADO≌△AEO；③△BOD≌△COE（ASA）；④图中有四组三角形全等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．如图4所示，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF•上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，•可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC的理由是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．HL(4) (5)7．如图5所示，我们可以用三角板来平分一个任意的锐角，•在已知△AOB的两边上分别取OM=ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，OP就是∠AOB的平分线，说明其中的道理．8．如图6所示，将两根钢条AA ′，BB ′的中点O 连结在一起，使AA ′，BB ′可以绕着O 自由转动，就做成一个测量工件，则A ′B ′的长等于内槽宽AB ，•那么判定△OAB ≌△OA ′B ′的理由是（ ）A ．边角边B ．角边角C ．边边边D ．角角边(6) (7) (8)9．如图7所示，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB 、CD 于E 、F ，•那么阴影部分的面积是矩形ABCD 的面积是（ ）A ．15B ．14C ．13D ．31010．如图8所示，Rt △ABC 沿直角边BC 所在的直线向右平移得到△DEF ，则下列结论错误的是（ ）A ．△ABC ≌△DEFB ．∠DEF=90°C ．AC=DFD ．EC=CF11．如图9所示，△DAC 和△EBC 均是等边三角形，AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，有如下结论：①△ACE ≌△DCB ；②CM=CN ；③AC=DN ．其中，正确结论的个数是（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个(9) (10) (11)12．如图10所示，AB=CD ，AD 、BC 相交于点O ，要使△ABO ≌△DCO ，应添加条件为_______（添加一个即可）．13．如图11所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C ，AE=AF ，给出下列结论：①∠1=•∠2；②BE=CF ；③△ACN ≌△ABM ；④CD=DN ，其中正确的结论是______．（填序号）14．如图所示，AB=AD ，BC=DC ，AC 、BD 相交于E ，由这些条件你能推出哪些结论？不添加辅助线和字母，不写推理过程，只写出四个你认为正确的结论．15．如图所示，在△ABC 中，点D 在AB 上，点E 在BC 上，BD=BE ．（1）请你再添加一个条件，使得△BEA•≌△BDC ，•并给出证明.你添加的条件是:__________________;证明:（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形_________．［创新题型］一、探索开放题例1．如图1，在△ＡＢＣ中，点Ｄ在ＡＢ上，点Ｅ在ＢＣ上， ＢＤ＝ＢＥ．（1）请你再添加一个条件，使得△ＢＥＡ≌△ＢＤＣ，并给出证明．你添加的条件是：___________．证明：（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形：______________．（只要求写出一对全等三角形，不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母， 不必写出证明过程）．二、条件组合题例2．如图2，在△ABC 和△DEF 中，D 、E 、C 、F 在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选3个作为题设，余下的1个作为结论，写一个真命题，并加以证明． ①AB ＝DE ，②AC ＝DF ，③∠ABC ＝∠DEF ，④BE ＝CF ． 已知：求证：证明：三、猜想验证题例3如图3，已知ABC ∆为等边三角形，D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，且DEF ∆也是等边三角形．（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的；（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程．四、拼图证明题例4．一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下右图形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上．（1）求证AB ⊥ED ；（2）若PB=BC ，请找出图中与此条件有关的一对．．全等三角形，并给予证明．二［知识点解析］1、一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题．2、如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理．3、如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简写成“等角对等边”）4、如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形.F E D C B A F E D C B A 图2（勾股定理的逆定理）5、角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上.6、线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
八年级数学第19章 全等三角形的小结与复习华东师大版知识精讲
初二数学第19章全等三角形的小结与复习华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：第19章全等三角形的小结与复习二. 重点、难点：1. 重点：⑴研究命题、定理的条件与结论，以及公理与定理、原命题与它的逆命题、原定理与它的逆定理之间的关系；⑵熟练掌握全等三角形的判定方法：（S.S.S.），（S.A.S.），（A.S.A.），（A.A.S.），（H.L.），并灵活应用；⑶认识尺规作图，掌握五种基本作图，并运用基本方法作图；⑷学习几个重要的定理及逆定理，并灵活运用.2. 难点：⑴灵活运用（S.S.S.），（S.A.S.），（A.S.A.），（A.A.S.），（H.L.）这些全等判定方法，解决各种问题．⑵能灵活运用几个重要的定理及逆定理，提高数学推理的能力．三. 知识梳理：（一）本章知识框架图：（二）本章知识回顾：1. 命题⑴命题的概念：可以判断正确或错误的句子．命题必是判断句，与句子是否正确无关．正确的命题称为真命题．包括公理和定理等．错误的命题称为假命题．只要能举出一个反例就能说明是假命题．⑵命题的组成：许多命题常由题设（或已知条件）和结论两部分组成；命题常可写成“如果……，那么……”的形式．“如果”开始的部分就是题设，“那么”开始的部分就是结论．2. 公理、定理⑴公理：数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理．⑵定理：数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．3. 逆命题与逆定理：⑴逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题．每个命题都有逆命题．⑵逆定理：如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理．如果命题和它的逆命题都是定理，那么它们就是互逆定理．注意：SSA和AAA不能作为判定两个三角形全等的条件．6. 尺规作图：我们把只能使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具去作几何图形的方法称为尺规作图．7. 基本作图内容：⑴画一条线段等于已知线段；⑵画一个角等于已知角；⑶经过一点画已知直线的垂线；⑷画已知线段的垂直平分线；⑸平分已知角．8. 本节中的定理：⑴等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．简称“等角对等边”．⑵勾股定理及逆定理：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形．⑶角平分线有关定理角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；角平分线的性质定理的逆命题：到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；内心：三角形三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等．⑷线段垂直平分线有关定理：定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．定理的逆命题：到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这点到三个顶点的距离相等．【典型例题】例⒈写出下列命题的逆命题，并判断真假．（1）同位角相等，两直线平行．（2）如果x＝3，那么x2＝9．（3）如果△ABC≌△A’B’C’，那么BC＝B’C’，AC＝A’C’，∠ABC＝∠A’B’C’．（4）如果△ABC是直角三角形，那么当每个内角取一个对应外角时，△ABC的三个外角中只有两个钝角．分析：（1）每一个命题都有逆命题，但原命题是真命题，而它的逆命题不一定是真命题（2）每一个定理不一定有逆定理．解答：（1）逆命题是：两直线平行，同位角相等．真命题．（2）逆命题是：如果x2＝9，则x＝3．它是一个假命题．由x2＝9可知，除x＝3外，还有x＝－3．（3）逆命题是：如果在△ABC和△A’B’C’中，BC＝B’C’，AC＝A’C’，∠ABC＝∠A’B’C’，那么△ABC≌△A’B’C’．这是一个假命题，因为有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．（4）逆命题是：如果△ABC的三个外角中只有两个钝角，那么△ABC是直角三角形．它是一个假命题．因为△ABC还有可能是钝角三角形．例2. 如图，AB//CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，若∠BED＝72°，则∠BFD的度数为．分析：由AB//CD可得∠BFD＝∠ABF＋∠CDF，又因为BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，可得∠ABF＋∠CDF＝12（∠ABE＋∠CDE），而∠ABE＋∠CDE＝∠BED＝72°．所以∠BFD＝36°．解答：∠BFD＝36°例3. 测量池塘两端的距离．校八（1）班学生到野外活动，为测量一池塘两端A、B的距离，设计了如下几种方案．（I）如图⑴，先在平地取一个可直接到达A、B的点C，再连接AC、BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC＝AC，EC＝BC，最后测出DE的距离即为AB之长．（Ⅱ）如图⑵，先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为A、B距离．阅读后回答下列问题：⑴方案（I）是否可行？，理由是．⑵方案（Ⅱ）是否切实可行？，理由．⑶方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是；若仅满足∠ABD＝∠BDE≠90°，方案（Ⅱ）是否仍成立？，理由．分析：实际问题转化为数学问题，关键是找到数学模型．问题中的（1）、（2）、（3）可转化为判断两个三角形是否全等，解：⑴可行，DC＝AC，∠DCE＝∠ACB，EC＝BC，根据（S．A．S．）识别方法知△DCE≌△ACB，所以DE＝AB．⑵可行，∠EDC＝∠ABC＝90°，CD＝CB，∠ECD≌△ACB，根据（A．S．A．）识别方法知△ECD≌△ACB，所以DE＝AB．（3）为了使△EDC≌△ABC 成立．∠EDC＝∠ABC，CD＝CB，∠ECD＝∠ACB，根据（A.S.A.）识别方法知△EDC≌△ABC，所以ED＝AB．例4. （2006年乐山市）如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边BA、DC延长线上的点，且AE＝CF，EF交AD于点G，交BC于点H．⑴图中的全等三角形有对，它们分别是：（不添加任何辅助线）⑵请在（1）问中选出一对你认为全等的三角形进行证明．我选择的是：．证明：C D分析：本题重在考查学生的识图能力以及证明能力，主要是根据全等三角形的判定条件去寻找，然后再作出证明．解：⑴2，△AEG≌△CFH和△BEH≌△DFG．⑵△AEG≌△CFH．证明：在平行四边形ABCD中，有∠BAG＝∠HCD．所以∠EAG＝180º－∠BAG＝18Oº－∠HCD＝∠FCH．又因为BA∥DC，所以∠E＝∠F．又因为AE＝CF，所以△AEG≌△CFH．例5. （2006年湖州市）如图（1），已知Rt△ABC中，∠C＝90º．根据要求作图；（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法．）①作∠BAC的平分线AD交BC于点D；②作线段AD的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，垂足为点H；③连接ED．分析：只需依次按要求作图．解答：如右图⑵．例6. 如图，已知∠BAC＝∠DAE，∠ABD＝∠ACE，BD＝CE．求证：AB＝AC，AD＝AE．分析：对于几何问题，要善于将已知条件的数量关系和图形相结合来处理，同时要看清问题的实质，准确把握要解决问题的方向．证明：因为∠BAC＝∠DAE，所以∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE又因为∠ABD＝∠ACE，BD＝CE所以△ABD≌△ACE（AAS）．所以AB＝AC，AD＝AE．例7. 如图所示，沿折痕AE折叠矩形ABCD的一边，使点D落在BC边上的点F处，若AB＝8，且△ABF的面积为24，求EC的长．分析：⑴折叠是一种轴对称，故折叠前后会产生全等形．⑵通过设未知数，用方程的知识来解决有关几何的计算问题是一种非常有用的方法．欲求CE的长，可考虑在Rt△CEF中利用勾股定理求得．由△AFE≌△ADE可知EF＝DE，即EF＋CE＝CD＝AB＝8．因此，要求CE的长，只需求出CF的长，而CF＝BC－BF．故只需根据题目的已知条件求出BC和BF的长即可．解：由AB＝8，S＝24，所以BF＝6．所以在Rt△ABF中，AF2＝AB2＋BF2，AF＝10．由题意可知△ADE≌△AFE，所以AD＝AF＝1O．所以CF＝BC－BF＝AD－BF＝1O－6＝4．设CE＝x，则EF＝DE＝8－x，在Rt△CEF中，CE2＋CF2＝EF2，x2＋42＝（8－x）2．解得x＝3．所以EC的长为3．例8. 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90º，∠B＋∠D＝180º，AB＝AD，作AH BC 于H，若AH＝5cm，求四边形ABCD的面积．分析：求不规则四边形面积常用割补法，使图形变成规则图形，而面积保持不变．解：过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADE＋∠ADC＝180°，∴∠ADE＝∠B在△ADE和△ABH中∵∠ADE＝∠B，∠AED＝∠AHB＝90°，AD＝AB∴△ADE≌△ABH（AAS）∴AE＝AH＝5cm∴△ADE面积＝△ABH面积四边形ABCD面积＝矩形AHCE面积＝AE·AH＝5×5＝25（cm2）．例9. 如图，已知AE平分∠BAC，AB＝AC＋BD，E是CD的中点，试证明BE平分∠ABD．分析：本题抓住“AB＝AC＋BD”，通过截长、补短的方法添加辅助线构造全等三角形，从而顺利解决了问题，“截长补短法”添加辅助线是解决形如条件“a＝b＋c”型问题中普遍采用的方法．要证BE平分∠ABD，即证∠ABE＝∠DBE．考虑到AB＝AC＋BD且AE平分∠CAB，可尝试通过三角形全等来证明·显然图中三角形均不全等，因此，必须构造全等三角形．由AE平分∠CAB得∠1＝∠2，AE可看作公共边，条件AB＝AC＋BD是关键，其一，构造一个三角形与 ACE全等，则需在AB上截取AF＝AC；其二，构造一个三角形与△ABE 全等，则需延长AC至F使AF＝AB，由此找到突破口，问题便可解决了．证法一：在AB上截取AF＝AC，连结EF如图（1）因为AB＝AC＋BD，AF＝AC，所以BF＝BD．在△ACE与△AFE中，由AC＝AF ，∠CAE＝∠FAE，AE＝AE得：△ACE≌△AFE（S.A.S.）则CE＝FE因为E为CD中点，则CE＝DE所以FE＝DE在△BEF与△BED中BF＝BD，BE＝BE，EF＝ED所以△BEF≌△BED（S.S.S.）所以∠FBE＝∠DBE，即BE平分∠ABD．证法二：如图（2），延长AC至F，使CF＝BD，连结EF因为AB＝AC＋BD，CF＝BD所以AB＝AF在△ABE与△AFE中AB＝AF，∠BAE＝∠FAE，AE＝AE所以△ABE≌△AFE（S.S.S.）所以BE＝EF，∠F＝∠ABE在△BED与△FEC中由BE＝FE，CE＝DE，BD＝FC得△BED≌△FEC（S.S.S.）所以∠EBD＝∠F所以∠EBD＝∠ABE，即BE平分∠ABD．【模拟试题】（答题时间：90分钟）一、选择题1、以下命题：①同一平面内的两条直线不平行就相交；②三角形的外角必定大于它的内角；③两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；④两个全等三角形的面积相等．其中的真命题是 （ ）A. ① ③B. ① ④C. ① ② ④D. ② ③ ④2、两个三角形只有以下元素对应相等，不能判定两个三角形全等的是 （ ） A. 两角和一边 B. 两边及夹角 C. 三个角 D. 三条边3、根据下列条件，能惟一画出△ABC 的是 （ ） A. ∠A ＝60º，∠B ＝45º，AB ＝4； B. AB ＝4，BC ＝3，∠A ＝30º C. AB ＝3，BC ＝4，AC ＝8； D.∠C ＝90º，AB ＝64、如图所示，在等边△ABC 中，D 、E 、F ，分别为AB 、BC 、CA 上一点（不是中点），且AD ＝BE ＝CF ，图中全等的三角形组数（都全等的为一组）有 （ ）A. 3组B. 4组C. 5组D. 6组5、如图，△ABD 和△ACE 都是等边三角形，则ABE ADC ∆≅∆的根据是 （ ） A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS6、如图，在四边形ABCD 中，AD ＝CD ，BD 平分∠ABC ，则∠BAD ＋∠C 的和为 （ ） A. 120º B. 150º C. 180º D. 210º7、如图，在△ABC 中，DE 、GF 分别是AB 、AC 边上的垂直平分线，若AB ＝10， BC ＝22，AC ＝18，则△AEG 的周长等于（ ）A. 22B.24C. 25D. 308、在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，O 是△ABC 的三条角平分线的交点，则O 到AB 的距离是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 2.4二、填空题9、写出命题“平行四边形的对边相等”的逆命题： ． 10、如图，已知，∠ABC ＝∠DEF ，AB ＝DE ，要说明△ABC ≌△DEF ， （1）若以“SAS ”为依据，还须添加的一个条件为 ； （2）若以“ASA ”为依据，还须添加的一个条件为 ； （3）若以“AAS ”为依据，还须添加的一个条件为 ；11、如图，已知AB 是线段CD 的垂直平分线，E 是AB 上的一点，如果EC ＝7cm ，那么ED ＝ cm ；如果∠ECD ＝60°，那么∠EDC ＝ ．12、如图，AB ＝CD ，AD ＝BC ，O 为BD 中点过O 点作直线与DA 、BC 延长线交于E 、F ，若︒=∠60ADB ，EO ＝10，则∠DBC ＝ ，FO ＝ ．13、如图，P 是正方形ABCD 内一点，将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转能与△CBP ′重合，若PB ＝3，PP ′＝ ．14、如图所示，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，线段AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交CD 于点F ，且AC ＝FD ，则△ABF 是 三角形．15、如图，在ΔABC 中，已知AB 的垂直平分线交AC 于E ，ΔABC 和ΔBEC 的周长分别为24厘米和14厘米，求AB长为．16、如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上，点C与点C’重合，则折叠后重合部分的面积为．三、解答题17、如图所示，在图中作出点C，使得C是∠MON平分线上的点，且AC＝OA，并简述步骤．M18、已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，AB∥FC，DF交AC于点E，DE＝FE，求证：AE＝CE．19、已知如图：△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AC于E，ED＝2，求：E到BC的距离．20、已知如图，在ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）求证：DE＝DF；（2）求证：AD⊥EF．【试题答案】一. 选择题。
全等三角形小结与复习
导学-反馈教学案 年级：八年级 学科：数学 执笔： 审核:课题： 全等三角形小结与复习一、示标学习目标：1.灵活运用三角形的判定定理，判定两三角形全等。
2.掌握全等三角形的性质和角平分线性质。
学习重点：灵活掌握全等三角形的性质、判定和应用。
学习难点：全等三角形的判定、性质的综合应用。
二、 导学（一）归纳与整理（二）自主学习与展示交流1、全等三角形的判定方法的选择 根据下表，选择判定方法2、怎样选择三角形证全等⑴可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证明两个三角形全等。
⑵可以从已知条件出发，看已知条件可证哪两个三角形全等。
⑶从条件和结论一起出发，确定证明哪两个三角形全等。
⑷ 构造基本图形的方法复杂图形都是由基本图形组成，因此要善于将复杂的图形分解成基本图形。
在更多时候是要构造基本图形，如构造全等三角形，在构造时，可以添加加辅助线，使得条件能相对地集中，相互联系，使问题迎刃而解。
实际应用全等形三、反馈⒈如图1，AB 、CD 相交于一点O ，AB=CD ，试添加一个条件使得△AOD ≌△COB ，你添加的条件是＿＿＿＿＿＿。
（只需写一个）⒉如图2，BA ⊥AC, CD ∥AB,且BC=DE.若AB=2，CD=6，则AE=＿＿＿ ⒊如图3，△ABC 中，H 是高AD 、BE 的交点，且BH=AC ，则∠ABC=＿＿＿。
⒋△ABC 中，∠B=∠C ，若与△ABC 全等的一个三角形中有一个角为95°，那么95°角在△ABC 中的对应角是（ ）（A ）∠A （B ） ∠B （C ） ∠C （D ） ∠B 或 ∠C ⒌如图4，已知AB ∥CD ，AD ∥BC ，过AC 和BD 的交点任作一直线EF 交AD 、BC 分别于点E 、F ，则图中全等三角形共有（ ）对。
（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8⒍如图5，A 、E 、B 、D 在同一条直线上，在△ABC 与△DEF 中，AB=DF ，AC ∥DF 。
全等三角形总结与复习
全等三角形总结与复习（全解P39）专题综合讲解专题一 证明三角形全等的基本思路三角形全等的五种方法（“SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ）中，至少有一组相等的边，因此在应用时要养成先找边的习惯。
思维示意图如下：若判定两个直角三角形全等，则优先考虑“HL ”，但值得注意的是，很多时候会用其它方法。
专题二 构造全等三角形解题利用三角形全等是证明线段相等的重要方法之一，但有时不能直接应用，就需要根据条件通过作辅助线构造全等三角形，构造例行三角形的方法主要有：翻折、旋转、平移（转移）、截取、延长等。
1、转移法构造全等三角形例1、如图，在△ABC 中，BE 是角平分线，AD ⊥BE ，垂足为D 。
求证：∠2＝∠1+∠C 。
分析：BE 是角平分线，而AD ⊥BE ，若延长AD 交BC 于点F ，则易证∠2＝∠AFB ，又∠AFB ＝∠1＋∠C ，故∠2＝∠1＋∠C 。
证明：延长AD 交BC 于点F ，∵∠ABD ＝∠FBD ，BD ＝BD ，∠ADB ＝∠FDB ＝90°，∴△ABD ≌FBD （ASA ）∴∠2＝∠DFBA S S A （用SAS ）（用SSS ） （用SAS ）（用 AAS 或ASA ）又∵∠DFB＝∠1＋∠C∴∠2＝∠1＋∠C点拨：在此题证明过程中，采用的主要方法是“线、角进行转移”。
2、翻折法构造全等三角形例2、如图OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA＝OC，OB＝OD，求证：AB＝CD。
证明:因为OP是∠AOC和∠BOD的平分线,所以∠AOP＝∠COP,∠BOP＝∠DOP.所以∠AOB＝∠COD.在△AOB和△COD中, OA＝OC∠AOB＝∠COD＝OD所以△AOB＝COD.所以AB＝CD.点拨在两三角形通过翻折重合,清楚两三角形的重合方式,可显现出对应的边、角关系。
3、旋转法构造全等三角形例3 如图在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°F为AB延长线上一点，BE＝BF，连接AE、EF和CF。
全等三角形知识点总结及复习[全文5篇]
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全等三角形知识点总结及复习[全文5篇]第一篇：全等三角形知识点总结及复习全等三角形知识点总结及复习一、知识网络二、基础知识梳理（一）、基本概念 1、“全等”的理解全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。
同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。
（注：全等三角形是相似三角形中的特殊情况）当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；(3)有公共边的，公共边一定是对应边；(4)有公共角的，角一定是对应角；(5)有对顶角的，对顶角一定是对应角；2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。
（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上（二）灵活运用定理1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。
2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。
（1）已知条件中有两角对应相等，可找：①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS)（2）已知条件中有两边对应相等，可找①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找①任一组角相等(AAS 或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)（三）经典例题例1.已知：如图所示，AB=AC，求证：.例2.如图所示，已知：AF=AE，AC=AD，CF 与DE交于点B。
全等三角形单元小结与复习 八年级数学上册同步讲义(人教版)
全等三角形单元小结与复习【知识梳理】一、全等三角形的性质1.定义：能够完全重合的两个图形叫全等图形，能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.2.性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.二、三角形全等的判定方法1.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (可以简写成“边角边”或“SAS”).2.有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”）.3.三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）.4.有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”）.5.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边、直角边”或“HL”.三、角平分线的性质与判定【考点归纳】考点一：全等三角形的性质【例题1】如图，已知△ACE≌△DBF．CE=BF，AE=DF，AD=8，BC=2．（1）求AC的长度；（2）试说明CE∥BF．方法总结：两个全等三角形的长边与长边，短边与短边分别是对应边，大角与大角，小角与小角分别是对应角.有对顶角的，两个对顶角一定为一对对应角.有公共边的，公共边一定是对应边.有公共角的，公共角一定是对应角.考点二：全等三角形的判定【例题2】已知，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，求证：△ABC≌△DCB．考点三：全等三角形的性质与判定的综合应用【例题3】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,CE⊥AD于点G,交AB于点E,EF∥BC交AC于点F,求证：∠DEC=∠FEC.方法总结：利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角所在的两个三角形，看它们全等的条件够不够；有时会用到等角转换，等角转换的途径很多，如：余角，补角的性质、平行线的性质等，必要时要想到添加辅助线.考点四：利用全等三角形解决实际问题【例题4】如图，两根长均为12米的绳子一端系在旗杆上，旗杆与地面垂直，另一端分别固定在地面上的木桩上，两根木桩离旗杆底部的距离相等吗？方法总结：利用全等三角形可以测量一些不易测量的距离和长度，还可对某些因素作出判断，一般采用以下步骤：（1）先明确实际问题；（2）根据实际抽象出几何图形；（3）经过分析，找出证明途径；（4）书写证明过程.考点五：角平分线的性质与判定【例题5】如图,∠1=∠2,点P为BN上的一点，∠PCB+ ∠BAP=180 °，求证:PA=PC.方法总结：角的平分线的性质是证明线段相等的常用方法.应用时要依托全等三角形发挥作用.作辅助线有两种思路，一种作垂线段构造角平分线性质基本图；另一种是构造轴对称图形.。
全等三角形的判定复习与总结
全等三角形的判定复习与总结教学目标：1.复习和巩固全等三角形的判定方法；2.总结全等三角形判定的规律和技巧；3.小组合作，培养学生的合作能力和思维能力。
教学准备：1.教学素材：全等三角形判定题目，活动卡片；2.教学工具：黑板、彩色粉笔、计算器。
教学过程：一、引入课题（5分钟）1.引入话题：今天我们要来复习和总结全等三角形的判定方法。
2.引发思考：请回顾一下，全等三角形的判定条件是什么？二、复习全等三角形的判定法（15分钟）1.复习SSS判定法：如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
2.复习SAS判定法：如果两个三角形的一边和两个角度分别相等（这个边是两个角的夹边），则这两个三角形全等。
3.复习ASA判定法：如果两个三角形的两个角度和一边分别相等（这个边是两个角的边），则这两个三角形全等。
4.复习AAS判定法：如果两个三角形的两个角度和一边分别相等（这个边不是两个角的边），则这两个三角形全等。
三、总结全等三角形判定的规律和技巧（15分钟）1.全等三角形判定的基本规律：要判断两个三角形是否全等，只需对应两边相等且夹角相等即可。
2.技巧一：当给出两个三角形的三个边的长度时，先比较三边的长度是否相等，再比较夹角是否相等。
3.技巧二：当给出两个三角形的两边和夹角时，先比较两边的长度是否相等，再比较夹角是否相等。
四、小组合作活动（30分钟）1.分成若干小组，每组3-4个学生，每组发放一组活动卡片。
2.活动内容：每组成员轮流拿一张卡片，上面写有一组给定的边长和角度。
学生根据卡片上的数据，判断这两个三角形是否全等，并给出理由。
其他组员通过提问和讨论来验证判断的正确性。
3.活动要求：每个学生都要积极参与，提出问题和表达自己的观点；每个小组要有一个组长，负责组织小组讨论和总结。
五、展示与总结（20分钟）1.每个小组派出一位学生上台展示他们分析判断的过程，并给出判断的结果和理由。
2.全班一起讨论和比较不同小组的判断结果和理由，总结全等三角形判定的规律和技巧。
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⑶经过分析，找出由已知推出结论的途径，写出证明过程和依据。
石 狮蚶中 教 学 笔 记
教学过程（内容、步骤及师生行为）
备 注
㈡三角形全等证明
本章研究的主要内容是三角形全等的判定方法，三角形全等的三个基本的判定方法是通过操作、说理复出的。这些都视作公理，都可作为今后证明中的推理依据。
评注：五种基本作图是尺规作图的基础，一些复杂的尺规作图，都是由基本作图组成的。
二、本章主要数学思想方法：
1、类比的方法：
在探索命题与逆命题关系时，涉及到性质定理与判定定理，它们在某些方面有相似之处。可以通过类比方法。
个非常重要的数学思想，就是分类思想，在讨论问题时，我们常常用分类的方法，分类要有标准，标准不同，分出的结果也不同，在分类讨论时，要注意标准的一致性，做到讨论的对象不重、不漏、不交叉。
2、（2004·桂林）如图，在△AFD和△BEC中，点A、E、F、C在同一直线上，有下面四个论断：①AD＝CB，②AE＝CF，③∠B＝∠D，④AD∥BC，请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道数学问题，并写出解答过程。
解：编题：如图，已知AE＝CF，
∠B＝∠D，AD∥BC，求证：AD＝BC。
石 狮蚶中 教 学 笔 记
教学过程（内容、步骤及师生行为）
备 注
三、例练结合：
1、（2004·长沙）如图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，
下列哪个条件不能判定△ABM≌△CDN（C）
A、∠M＝∠N B、AB＝CD
C、AM＝CN D、AM∥CN
点评：已知的条件为一组对应边和一组对应角相等，
对照全等三角形的判定条件可知AM＝CN不符合判定条件。
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课 题
第13章全等三角形小结与复习
教学目标
1、了解命题、公理、定理的含义，会区分命题的题设和结论；
2、探索三角形全等的判定方法，并会运用这些方法判定三角形全等；
3、掌握五种基本图形的作图方法，会用精练的几何语言描述作图的步骤；
4、掌握命题，互逆命题；定理、互逆定理之间的联系与区别。
证明：∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，
即AF＝CE。又∵AD∥BC，∴∠A＝∠C。
∵AF＝CE，∠B＝∠D，∠A＝∠C，
∴△AFD≌△CBE∴AD＝BC。
3、（2004·山西太原市）已知：如图，
△ABC中，高AD和BE相交于点H，
用直尺和圆规画出经过B、H、C三点的⊙O。
（不写画法）
分析：要作经过B、H、C三点的圆，只要分别作线段BH、CH的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O。
⑵命题：可以判断是正确或错误的句子叫做命题，其中正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题。命题由题设和结论两部分组成，要求学生能够找出一个命题的题设和结论，并能把一个命题写成“如果……那么……”的形式。
⑶公理：如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫公理。
⑷定理：如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫定理。
2、命题的证明：根据题设、定义以及已经被确认的公理、定理等，经过逻辑推理来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明。证明真命题的一般步骤是：
⑴根据题意，画出图形；
三、作业布置：课本本章复习题
教
后
反
思
3、从特殊到一般的认识规律和方法：
全等三角形的几种识别方法都是采用直观感知、操作确认的方式得到的，这是数学发现的一种重要方法，就是由特殊事例推出一般结论的方法。
4、转化思想：
转化思想是数学中常见的一种思想方法，解题时运用转化思想，可将未知问题转化为已知问题，化复杂为简单，如本章中过一点作已知直线的垂线就是转化为作线段的垂直平分线来解决的。
㈢尺规作图
本章还介绍了仅用直尺（没有刻度）与圆规的尺规作图方法。尺规作图中的最基本、最常用的作图称为基本作图。基本作图共有5种，可分为两大类：
第一类：画一条线段等于已知线段；画一个角等于已知角。这实质上就是“复制”已知图形。
第二类：画已知角的平分线；画线段的垂直平分线；过已知点作已知直线的垂线。这实质上就是“处理”已知图形。
教学重点
全等三角形的判定方法
教学难点
全等三角形的判定方法及尺规作图中的五个基本作图的作图方法
教学方法
讲练结合
教学用具
三角尺、圆规、小黑板
教学过程（内容、步骤及师生行为）
备 注
一、知识回顾：
㈠命题及逆命题、定理及逆定理，命题的证明
1、命题、定义、公理和定理的含义
⑴定义：是提示一个事物区别于其他事物特征的句子，定义必须是严密的。