圆周运动等效重力场问题

圆周运动等效重力场问题（找等效最高点、最低点问题）
绳拉物体在竖直平面内做圆周运动规律 最高点
最低点（平衡位置） 临界最高点：重力提供向心力，速度最小
速度最大、拉力最大
等效重力场：重力场、电场等叠加而成的复合场；等效重力：重力、电场力的合力 处理思路：①受力分析，计算等效重力（重力与电场力的合力）的大小和方向 ②在复合场中找出等效最低点、最高点。

最高、低点：T 与等效重力共线 ③根据圆周运动供需平衡结合动能定理列方程处理
例1：光滑绝缘的圆形轨道竖直放置，半径为R ，在其最低点A 处放一质量为m 的带电小球，整个空间存在匀强电场，使小球受到电场力的大小为
mg 3
3
，方向水平向右，现给小球一个水平向右的初速度0v ，使小球沿轨道向上运动，若小球刚好能做完整的圆周运动，求0v 及运动过程中的最大拉力
变式1：如图所示，ABCD 为表示竖立放在场强为E=104V/m 的水平匀强电场中的绝缘光滑轨道，其中轨道的BCD 部分是半径为R 的半圆环，轨道的水平部分与半圆环相切A 为水平轨道的一点，而且
.2.0m R AB ==把一质量m=100g 、带电q=10－4C 的小球，放在水平轨道的A 点上面由静止开始被释放后
，在轨道的内侧运动。

（g=10m/s2）求： （1）它到达C 点时的速度是多大？ （2）它到达C 点时对轨道压力是多大？ （3）小球所能获得的最大动能是多少？
例2：在水平方向的匀强电场中，用长为3L 的轻质绝缘细线悬挂一质量为m 的带电小球，小球静止在A 处，悬线与竖直方向成300
角，现将小球拉至B 点，使悬线水平，并由静止释放，求小球运动到最低点D 时的速度大小
A
B
C 300 A O D
V C
B
V C
Y
变式2：质量为的m 小球连在穿过光滑水平面上的小孔的绳子末端,使小球在平面内绕O 点做半径为a 圆周运动,线速度为v
（1）求此时绳子上的拉力
（2）若将绳子瞬间放松后又拉直，将做半径为b 的圆周运动，求放松时间 （3）小球做半径为b 的圆周运动时绳子的拉力 练习1：如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点
O ，用一根长度m L 40.0=的绝缘细绳把质量为kg m 10.0=、带有正电荷的金属小球悬挂在O 点
，小球静止在B 点时细绳与竖直方向的夹角为
37=θ。

现将小球拉至位置A 使细线水平后由静止释放，
求： ⑴小球通过最低点C 时的速度的大小； ⑵小球通在摆动过程中细线对小球的最大拉力
练习2：如图所示的装置是在竖直的平面内放置光滑的绝缘轨道，一带负电荷的小球从高h 的A 处静止开始下滑，进入水平向右的匀强电场中，沿轨道ABC 运动后进入圆环内做圆周运动，已知小球受到的电场力是其重力的
4
3，圆环的半径为R ，小球得质量为kg m 1.0=，斜面的倾角为
45=θ，R S BC 2=，若使小球在圆环内能做完整的圆周运动，h 至少是多少？
练习3：如图所示，绝缘光滑轨道AB 部分为倾角为30°的斜面，AC 部分为竖直平面上半径为R 的圆轨道，斜面与圆轨道相切。

整个装置处于场强为E 、方向水平向右的匀强电场中。

现有一质量为m 的带正电，电量为E
mg
q 33=小球，要使小球能安全通过圆轨道，在O 点的初速度应为多大？
O A
B
C
E
θ
L
+
E
qE
N
E B
R
圆周运动等效重力场问题（找等效最高点、最低点问题）
等效重力场：重力场、电场等叠加而成的复合场；等效重力：重力、电场力的合力 处理思路：①受力分析，计算等效重力（重力与电场力的合力）的大小和方向 ②在复合场中找出等效最低点、最高点。

最高、低点：T 与等效重力共线 ③根据圆周运动供需平衡结合动能定理列方程处理 变式1：
解：（1）、（2）设：小球在C 点的速度大小是V c ，对轨道的压力大小为N C ，则对于小球由A →C 的过程中，应用动能定律列出：
02
1
2.2-=
-C mV mgR R qE …………………① 在C 点的圆轨道径向应用牛顿第二定律，有：R
V m qE N C C 2
=-……②
解得：s m gR m
qER
V C /224=-=
………③ N mg qE N C 325=-=…………………………④
（3）∵mg=qE=1N ∴合场的方向垂直于B 、C 点的连线BC ，从B 到D 由动能定理
)45cos 1(.)45sin 1(min ︒-+︒+===R mg qER Ep Ep E D KM J 5
2
=
…………⑥
例2： 解：电场力F=mgtg300
=
33mg,F 合=22)(F mg +=3
32mg 与T 反向 从B 到C 小球在等效场力作用下做初速度为零的匀加速直线运动, S=3L 从B 到C 由动能定理：
22
1
3332mvc l mg = V CY 在绳子拉力作用下，瞬时减小为零，只剩V CX =V C sin600
=gL 3 从C 到D 运用动能定理: ︒+︒-30sin 333)30cos 1(3l mg l mg =21m V D 2--2
1m V CX 2
V D =gL )132(+
变式2：
A
B
C 300 A O D
V C
B
V C
Y
（1）小球做半径为a 的圆周运动，则T=a v m 2 （2）由几何关系，S=vt b a =+22，得t=
v
b a 2
2+ （3）绳子拉紧瞬间径向速度立即消失，小球只剩切向速度b va v ='，则2
22b v ma T ='
练习1：⑴等效重力F 合=
mg mg 4
5
37cos =︒，电场力mg Eq 43=方向：与竖直方向的夹角
37
从A 到C ，由动能定理22
143C mv mgl mgl =-代入数值得4.12≈=C
v m/s （2）当带电小球摆到B 点时，绳上的拉力最大，设该时小球的速度为B v ，绳上的拉力为T ，则
由圆周运动：l
mv mg T 2
45=-，从A 到B 由动能定理：221)37sin 1(4337cos mvB mgl mgl =︒--︒
联立得25.2=T N
练习2：等效重力F 合=mg 4
5，与竖直方向夹角4
3
tan =
θ，即︒=37θ， 设圆环上的D 点成为等效重力场中的最高点，要想小球在圆环内完成圆周运动，则小球通过D 点的速度的最小值为 R g v '=
' ①
小球由A 点运动到D 点，由动能定理得
22
1
)sin 2(43)cos (v m R R h mg R R h mg '=++-
--θθ ② 代入数值，由①②两式解得R R h 5.17)25.35.12(≈+=
练习3：
对小球受电场力和重力，将电场力与重力合成视为等效重力g m '，大小
332)()(22mg mg qE g m =
+='，3
3
==mg qE tg θ，得︒=30θ，于是重效重力方向为垂直斜面向下，得到小球在斜面上运动，等效重力不做功，小球运动可类比为重力场中过山车模型。

最高
点应为等效重力方向上直径对应的点B ，则B 点应满足“重力”当好提供向心力即：R
mv g m B
2
=
'O A B
C
E
θ
L
+
E
R
300 mg
qE
g m '
N 图3-2 R 300
图3-1
E
O
B
图3-3
g m '
R
300
O
据动能定理：2
22
1212mv mv R g m B -=
'- 解得：3
3100gR
v =。