2020-2021学年北京市首都师范大学附属中学高一上学期开学分班考试数学试题(解析版)
A． y x 1和 y x2 1 x 1
B． y x0 和 y 1 x R
C． y = x2 和 y x 12
D． y (
x)2 和 y
x
(
x x )2
【答案】D 【解析】根据函数的定义域和解析式是否相同判断. 【详解】
A. y x 1的定义域为 R， y x2 1 的定义域为x | x 1 ，故错误；
7．设 M 2a(a 2) 7 ， N (a 2)(a 3) ，则 M 与 N 的大小关系是（ ）
A． M N
B． M N
C． M N
D． M N
【答案】A
【解析】利用作差法求解出 M N 的结果，将所求结果与 0 作比较，然后可得 M , N 的
大小关系.
【详解】
因为
M
N
2a a
6
【点睛】 本题考查函数的最值的求法，注意运用单调性，考查运算能力，属于基础题．
14．已知 f (x) 为一次函数，且 f [ f (x)] 4x 3, 则 f (1) 的值为（）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解析】设 f (x) kx b ，代入 f [ f (x)] 4x 3, 得到 f (x) 2x 1或
2020-2021 学年北京市首都师范大学附属中学高一上学期开 学分班考试数学试题
一、单选题
1．已知全集U 0,1, 2,3, 4, M 0,1, 2, N 2,3 则 CU M N ( )
A．2
B．3
C．2,3, 4
D．0,1, 2,3, 4
【答案】B 【解析】先求 M 的补集，再与 N 求交集． 【详解】 ∵全集 U＝{0，1，2，3，4}，M＝{0，1，2}， ∴∁UM＝{3，4}． ∵N＝{2，3}， ∴（∁UM）∩N＝{3}． 故选 B． 【点睛】 本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础题．
x 1
B. y x0 和定义域为x | x 0 ，y=1 定义域为 R,故错误；
C. y = x2 和 y x 12 解析式不同，故错误；
D. f (x) (
x )2 1，定义域为 x
x x0
， g(x) (
x x )2
1，定义域为
x x0
，
故正确；
故选：D
【点睛】
5
本题主要考查相等函数的判断，属于基础题.
C．存在 x R ， x2 2x 2 0
D．对任意的 x R ， x2 2x 2 0
【答案】B
【解析】命题“ x R, x2 2x 2 0 ”是一个全称命题，其否定是一个特称命题，即
命题“ x R, x2 2x 2 0 ”的否定是“存在 x R, x2 2x 2 ≤0 ”，故选 B.
△＜0，即可得答案． 【详解】
由一元二次不等式 ax2 bx c 0 恒成立，则 a 0 且 b2 4ac 0 ，
反之， a 0 时，如： x2 3x 2 0 不恒成立，
故选 B. 【点睛】 本题考查了一元二次不等式与二次项系数及△的关系，考查充分条件、必要条件的含义， 属于基础题．
2
7
a
2a
3
a2
a
1
a
1 2
2
3 4
0
，
所以 M N ，
故选：A.
【点睛】
本题考查利用作差法比较大小，难度较易.常见的比较大小的方法还有作商法，使用作
商法时注意分析好式子的正负.
8．已知实数 0 a 1，则（ ） A． a2 1 a a
a C． 1 a a2 a
a
【答案】C
B． a a2 1 a a
【详解】
因为
y
2
sin
1 2
x
4
，所以
T
2 1 2
4
，
[( x
3)
y]
2
x
1
3
1 y
3
2
2
x
y
3
x
y
3
3
1 4 y x 3 1 4 5 x3 y
当且仅当
y x3
x3 y
,取等号,即 y =
x+
3 ,结合
1 x3
1 y
1 2
,
可得 x 1, y 4 时,取得最小值 5 ．
故选:A. 【点睛】 本题主要考查了根据均值不等式最值,解题关键是灵活使用均值不等式,注意等号验证, 考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 11．下列各组函数中表示同一函数的是（ ）
故选：B.
【点睛】
本题考查根据集合的子集关系求解符合条件的集合个数，解答问题的关键是确定出集合
中一定包含的元素和可能包含的元素，难度一般.
6． 不等式 x2≥2x 的解集是( )
A．{x|x≥2}
B．{x|x≤2}
C．{x|0≤x≤2}
D．{x|x≤0 或 x≥2}
【答案】D 【解析】由 x2≥2x 解得：x(x－2)≥0，所以 x≤0 或 x≥2.选 D.
12．函数 g(x) x2 x 2 的定义域为（ ） x
A． (2, 0) (0,1) B．[2, 0) (0,1] C． (1, 0) (0,1]
D．[1, 0) (0, 2]
【答案】B
【解析】首先根据题中所给的函数解析式，结合偶次根式和分式的要求列出不等式组求
得结果.
【详解】
x2 x 2 0 x2 x 2 0
【解析】将 f (x) 化为 f x 2 3 ，判断在[8 ， 4) 的单调性，即可得到最值．
x 1
【详解】
解：函数 f (x) 2x 1 2 3
x 1
x 1
即有 f (x) 在[8 ， 4) 递减，
则 x 8 处取得最大值，且为 5 ， 3
由 x 4 取不到，即最小值取不到．
故选： A ．
13．已知函数 f (x) 2x 1 ，其定义域是[8 ， 4) ，则下列说法正确的是 ( ) x 1
A． f (x) 有最大值 5 ，无最小值 3
B． f (x) 有最大值 5 ，最小值 7
3
5
C． f (x) 有最大值 7 ，无最小值 5
D． f (x) 有最大值 2，最小值 7 5
【答案】A
7
f 1 f 1 0 ，由此画出函数大致图像如下图所示，由图可知，不等式 xf (x) 0
的解集是 (, 1) (0,1) . 故选 D.
【点睛】 本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
16．电流强度
I
A
随时间 t
s 变化的关系式是
I
5sin 100 t
2
3
5 cos
3
5 2
2.5 A .
故选： B . 【点睛】
本题考查三角函数的简单应用，属于基础题.
17．函数
y
2
sin
1 2
x
4
的周期，振幅，初相分别是（
A． , 2,
44
B． 4 , 2, 4
C． 4 , 2, 4
）
D． 2 , 2, 4
8
【答案】C
【解析】根据函数解析式求解出函数的周期和初相，振幅可以直接由解析式得到.
得 a 0 .此时 M N 0 ，故选 C.
【点睛】 本题考查根据集合的并集求解参数，进而求解两集合交集问题，解题易错点为忽略集合 的互异性
3．命题“对任意的 x R ， x2 2x 2 0 ”的否定是（ ）
A．不存在 x R ， x2 2x 2 0
B．存在 x R ， x2 2x 2 0
【详解】
因为 Q x x 0 或 x 5 ，所以 ðRQ x 0 x 5 ，
所以 Q ðRQ ，所以“ x P ”是“ x ðRQ ”的充分不必要条件，
故选：A. 【点睛】
本题考查充分条件、必要条件的判断，其中涉及到根据集合间的关系判断充分、必要条
件，难度较易.若有集合 A, B ，当 A B 时，则“ x A ”是“ x B ”的充分不必要
条件；当 B A 时，则“ x A ”是“ x B ”的必要不充分条件.
5．已知集合 A x∣x2 5x 6 0 ， B x∣0 x 6, x N，则满足 A C B
的集合 C 的个数为（ ）
A．4
B．8
【答案】B
C．7
D．16
【解析】先分别用列举法表示出 A, B ，然后根据 A C B 确定出 C 中一定有的元素
a
故选：C
【点睛】
本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.
9．“ a 0 ”是“一元二次不等式 ax2 bx c 0 恒成立”的( )
A．充分且不必要条件 C．充要条件 【答案】B
B．必要且不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】由题意求得一元二次不等式 ax2 bx c 0 恒成立的充要条件，可得 a＞0 且
10．已知
x
0
,
y
0 ,且
x
1
3
1 y
1 2
,则
x
y
的最小值为(
)
A． 5
B． 6
C． 7
D． 8
【答案】A
【解析】因为
x
y
(x
3)
y
3
[( x
3)
y]
2
x
1
3
1 y
3 ,利用基本不等式,
注意等号成立的条件,即可求得答案.
【详解】
x y (x 3) y 3
4
[(x 3) y]1 3
综上： f (1) 1
故答案选 B
北京市首都师范大学附属中学第一学期期中考试高一(5-11班)数学试题(解析版)
北京市首都师范大学附属中学第一学期期中考试高一数学试题一、单选题1．已知集合{|2}A x x =>，{|(1)(3)0}B x x x =--<，则A B =（ ）A ．{|1}x x >B ．{|23}x x <<C ．{|13}x x <<D ．{| 2 x x >或1}x <【答案】B【解析】计算{}{|(1)(3)0}=13B x x x x x =--<<<，再计算A B 得到答案.【详解】{}{|(1)(3)0}=13B x x x x x =--<<<，{|2}A x x =>，故{|23}A B x x ⋂=<<.故选：B . 【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.2．已知命题p ：∃c ＞0，方程x 2-x +c =0有解，则¬p 为（ ） A ．∀c ＞0，方程x 2-x +c =0无解 B ．∀c ≤0，方程x 2-x +c =0有解 C ．∃c ＞0，方程x 2-x +c =0无解 D ．∃c ≤0，方程x 2-x +c =0有解【答案】A【解析】利用特称命题的否定是全称命题，可得结果. 【详解】命题p ：∃c ＞0，方程x 2-x +c =0有解，则¬p 为∀c ＞0，方程x 2-x +c =0无解, 故选：A. 【点睛】本题考查特称命题的否定，是基础题.3．已知定义在R 上的函数f （x ）的图像是连续不断的，且有如下对应值表：那么函数f （x ）一定存在零点的区间是（ ）A ．（-∞，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）【答案】C【解析】由表中数据，结合零点存在性定理可得出结果. 【详解】由表可知(1)(2)0,(2)(3)0,(3)(4)0f f f f f f ><>， 由零点存在性定理可知f （x ）一定存在零点的区间是（2，3）， 故选：C. 【点睛】本题考查零点存在性定理，理解零点存在性定理是关键，是基础题.4．下列函数中，在其定义域上既是偶函数，又在（0,+∞）上单调递减的（ ） A ．y =x 2B ．y =3xC ．y =x +1D ．y 【答案】B【解析】运用函数的奇偶性和单调性对每个选项进行判断. 【详解】对A. y =x 2在（0,+∞）上单调递增，故排除；对B. y =3x，其定义域上既是偶函数，又在（0,+∞）上单调递减；对C. y =x +1，其为非奇非偶函数，故排除；对D. y 故选：B. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性的判断，是基础题. 5．若a ＞b ，则下列四个不等式中必成立的是（ ） A ．ac ＞bc B ．a c ＞b cC ．a 2＞b 2D ．21ac +＞21b c + 【答案】D【解析】根据不等式的基本性质，逐一分析选项是否恒成立. 【详解】A.当0c 时，不等式不成立；B.当0c <时，不等式不成立；C.当1,2a b ==-时，不等式不成立；D.因为210c +>，故不等式必成立， 故选：D. 【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了不等式恒成立，不等式的基本性质，是基础题. 6．函数f (x的最大值为 （ ） A ．2 5 B ．1 2C．D ．1【答案】B【解析】本小题主要考查均值定理．11()12f x ==≤=，即1x =时取等号．故选B ．7．5a ≥是命题“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”为真命题的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”等价于a 大于等于2x 的最大值，由x 的范围求得2x 的范围，可得a 的取值范围，然后结合充分条件、必要条件的定义可得结果． 【详解】因为“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”等价于a 大于等于2x 的最大值， 而[]x 1,2∀∈，有[]21,4x ∈，所以4a ≥，由5a ≥，可得4a ≥成立，即[]1,2x ∀∈，20x a -≤成立； 反之，[]1,2x ∀∈，20x a -≤成立，可得4a ≥，不能推出5a ≥．5a ∴≥是命题“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”为真命题的充分而不必要条件，故选A ．【点睛】本题主要考查恒成立问题的求解方法，考查充分必要条件的判定，是基础题．判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.8．已知奇函数()y f x =的图像关于直线2x =对称，且()3f m =，则(4)f m -的值为（ ） A ．3 B ．0C ．-3D ．13【答案】C【解析】由函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，可得()(4)f m f m =-，再结合()y f x =为奇函数，求得(4)f m -的值.【详解】解：由函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，可得()(4)f m f m =-， 再结合()y f x =为奇函数，可得()(4)(4)3f m f m f m =-=--=， 求得(4)3f m -=-， 故选：C. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的性质，函数的图象的对称性，属于基础题.9．已知函数()2f x ax x =-,若对任意[)12,2,x x ∈+∞,且12x x ≠,不等式()()12120f x f x x x ->-恒成立,则实数a 的取值范围是A ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】对不等式()()1212f x f x x x --进行化简，转化为a （x 1+x 2）﹣1＞0恒成立，再将不等式变形，得到a ＞121x x +恒成立，从而将恒成立问题转变成求121x x +的最大值，即可求出a 的取值范围． 【详解】不妨设x 2＞x 1≥2，不等式()()1212f x f x x x --=22112212ax x ax x x x --+- =()()()12121212a x x x x x x x x -+---=a （x 1+x 2）﹣1，∵对任意x 1，x 2∈[2，+∞），且x 1≠x 2，不等式()()1212f x f x x x --＞0恒成立，∴x 2＞x 1≥2时，a （x 1+x 2）﹣1＞0，即a ＞121x x +恒成立∵x 2＞x 1≥2 ∴121x x +＜14∴a≥14，即a 的取值范围为[14，+∞）； 故选：D ． 【点睛】本题考查了函数恒成立求参数取值范围，也是常考题型，本题以“任性函数”的形式考查函数恒成立求参数取值范围，一种方法，可以采用参变分离的方法，将恒成立转化为求函数的最大值和最小值，二种方法，将不等式整理为()0F x <的形式，即求()max 0F x < ，或是()0F x >的形式，即求()min 0F x < ，求参数取值.10．给定条件：①∃x 0∈R ，f （-x 0）=-f （x 0）；②∀x ∈R ，f （1-x ）=-f （1+x ）.下列三个函数：y =x 3，y =|x -1|，y =221,143,1x x x x x ⎧-<⎨-+≥⎩中，同时满足条件①②的函数个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】根据条件②得函数图象关于（1，0）对称，故可判断y =x 3；根据00110x x --+-=的解的情况，可判断y =|x -1|；最后验证y =221,143,1x x x x x ⎧-<⎨-+≥⎩满足①②. 【详解】解：令()(1)g x f x =+，则()(1)(1)()g x f x f x g x -=-=+=， 所以()g x 为偶函数，关于(0,0)对称，将()(1)g x f x =+的图象向右平移一个单位可得()f x 的图象，故()f x 图象关于(1,0)对称，故可排除3y x =；若存在一个0x 使得0011x x --=--，即00110x x --+-=，该方程无解，故|1|y x =-不满足②，排除；对于221,143,1x x y x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩，当1x =时，2(1)(1)10,(1)(143)0f f -=--=-=--+=，其满足①， 画出图象如下：由图象可知，满足②. 故选：B. 【点睛】本题考查函数的基本性质，根据条件能判断出函数关于(1,0)对称是关键，属于中档题.二、填空题11．计算210.00013427--2327()8【答案】134【解析】化小数为分数，化根式为分数指数幂，再由有理指数幂的运算性质化简求值. 【详解】原式()()23123443339130.13109244-⎡⎤⎛⎫=-+=-+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故答案为：134. 【点睛】本题考查有理指数幂的运算性质，是基础的计算题.12．函数y 11x -的定义域为____________. 【答案】[12，1）∪（1，+∞） 【解析】令被开方数大于等于0，同时分母非0，列出不等式组，求出x 的范围. 【详解】解：要使函数有意义需要21010x x -≥⎧⎨-≠⎩解得12x ≥且1x ≠，故答案为：[12，1）∪（1，+∞）. 【点睛】求函数的定义域，要保证开偶次方根的被开方数大于等于0；分母非0；对数的底数大于0且不为1，真数大于0等方面考虑.13．若函数f （x ）=x 2-2x +1在区间[a ，a +2]上的最大值为4，则a 的值为____________. 【答案】-1或1【解析】对a 分类讨论，利用函数f （x ）=x 2-2x +1在区间[a ，a +2]上的最大值为4，建立方程，即可求得a 的值. 【详解】解：由题意，当0a ≥时，(2)4f a +=，即22)2(2)4(1a a +-++=，2(1)4,1a a ∴+=∴=；当0a <时，()4f a =，即2214a a -+=，2(1)4,1a a ∴-=∴=-；综上知，a 的值为1或−1. 故答案为：1或−1. 【点睛】本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题.14．如果关于x 的方程x 2+（m -1）x -m =0有两个大于12的正根，则实数m 的取值范围为____________. 【答案】（-∞，-12） 【解析】方程有两个大于12的根，据此可以列出不等式组求得m 的取值范围即可. 【详解】解：根据题意，m 应当满足条件2(1)40112211(1)042m m m m m ⎧⎪∆=-+>⎪-⎪->⎨⎪⎪+-->⎪⎩即：2210012m m m m ⎧⎪++>⎪<⎨⎪⎪<-⎩，解得：12m <-， 实数m 的取值范围：（-∞，-12）. 故答案为：（-∞，-12）. 【点睛】本题考查根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是正确的运用判别式及韦达定理，是中档题.15．能说明“若()()f x g x 对任意的[0,2]x ∈都成立，则()f x 在[0,2]上的最小值大于()g x 在[0,2]上的最大值”为假命题的一对函数可以是()f x =____，()g x =_______。
北京市首都师范大学附属中学2021届高三数学开学考试试题(含解析)
北京市首师附中2020-2021学年度第二学期入学考试高三数学试卷一、单选题1.设a,b 为实数，若复数1+21ii a bi=++，则 A. 31,22a b == B. 3,1a b == C. 13,22a b == D. 1,3a b ==【答案】A 【解析】 【分析】先化简，然后用复数相等的条件，列方程组求解．【详解】由121i i a bi +=++可得1+2i ＝（a ﹣b ）+（a +b ）i ，所以12a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得32a =，12b =，故选A ．【点睛】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查计算能力．是基础题．2.过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点．若AB 中点M 到抛物线准线的距离为6，则线段AB 的长为（ ） A. 6 B. 9C. 12D. 无法确定【答案】C 【解析】试题分析：AB 中点M 到抛物线准线的距离为6，则A,B 到准线的距离之和为12，即12121212x x p AB x x p ++=∴=++=考点：直线与抛物线相交问题3.已知集合11,2,2A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，集合2{|,}B y y x x A ==∈，则A B ⋂=（ ）A. 12⎧⎫⎨⎬⎩⎭B. {}2C. {}1D. φ【答案】C【解析】 试题分析：因，故,选C.考点：交集运算.4.一名顾客计划到商场购物，他有三张优惠劵，每张优惠券只能购买一件商品.根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠劵1：若标价超过50元，则付款时减免标价的10%；优惠劵2：若标价超过100元，则付款时减免20元；优惠劵3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%.若顾客购买某商品后，使用优惠劵1比优惠劵2、优惠劵3减免的都多，则他购买的商品的标价可能为( ) A. 179元 B. 199元 C. 219元 D. 239元【答案】C 【解析】 【分析】设购买的商品的标价为x 元，根据题意列出不等式即可得到答案.【详解】设购买的商品的标价为x 元，由题意，0.120x ⨯>，且0.1(100)0.18x x ⨯>-⨯，解得200225x <<. 故选：C【点睛】本题考查利用函数模型的选择问题，考查学生分析解决问题的能力，是一道基础题. 5.已知,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则//a b 的一个充分条件是（ ） A. //a α，//b αB. //a α，b β//，//αβC. a α⊥，b β⊥，//αβD. αβ⊥，a α⊥，b β//【答案】C 【解析】 【分析】在A 中，a 与b 相交、平行或异面；在C 中，由线面垂直的性质可得a ∥b ；在B 、D 中，均可得a 与b 相交、平行或异面；【详解】由a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面， 在A 中，//a α，//b α，则a 与b 相交、平行或异面，故A 错误；在B 中，//a α，//b β，//αβ，则a 与b 相交、平行或异面，故B 错误；在C 中，由a α⊥，//αβ，则a β⊥，又b β⊥，由线面垂直的性质可知//a b ，故C 正确； 在D 中，αβ⊥，a α⊥，//b β，则a 与b 相交、平行或异面，故D 错误． 故选C ．【点睛】本题考查线线平行的充分条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．6.若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与圆()2221x y -+=相切，则双曲线的离心率为( )A. 2B.2C.3【答案】C 【解析】 【分析】利用圆心(2,0)到渐近线的距离等于半径即可建立,,a b c 间的关系.【详解】由已知，双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，故圆心(2,0)到渐近线的距离等于1，1=，所以223a b ，c e a ====3. 故选：C.【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，求双曲线离心率问题，关键是建立,,a b c 三者间的方程或不等关系，本题是一道基础题.7.在长方体1111ABCD A B C D -中，11AB BC AA ==,点M 为1AB 的中点，点P 为对角线1AC 上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点（点P ，Q 可以重合），则MP PQ +的最小值为( )A.2B.2C.34D. 1【答案】C 【解析】 【分析】画出图形，将平面11AB C 沿1AC 翻折，使其与平面1ACC 在共面，将折线段转化为直线段距离最小，从而求出MP +PQ 的最小值.【详解】如图1，显然当Q 是P 在底面ABCD 的射影时MP PQ +才可能最小，将平面11AB C 沿1AC 翻折，使其与平面1ACC 在共面，如图2所示，此时易得130CAC ∠=，3AM =显然当,,M P Q 三点共线时，MP PQ +取得最小值，此时min 133sin 604MQ AM CAB =∠==. 故选：C.【点睛】本题考查立体几何翻折问题中的最值问题，考查空间想象能力以及学生的计算能力，难度比较大.8.已知椭圆C ：22143x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，椭圆C 上点A 满足212.AF F F ⊥若点P 是椭圆C 上的动点，则12F P F A ⋅的最大值为( ) A.32B.332C.94D.154【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得点A ，1F ，2F 的坐标，再利用数量积运算法则和点P 的纵坐标的取值范围即可得出最大值．【详解】由椭圆C ：22143x y +=可得：24a =，23b =，()2211.1,0c a b F =-=∴-，()21,0F ．212AF F F ⊥，31,2A ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭．设(),P x y ，则221.43x y +=又33y -≤≤，()1233331,0,222F P F A x y y ⎛⎫∴⋅=+⋅=≤⎪⎝⎭． 12F P F A ∴⋅的最大值为332． 故选B ．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、数量积运算等基础知识与基本技能方法，属于基础题．9.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A.13B.23C. 1D.43【答案】D【解析】【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个俯视图中右下角的三角形为底面的三棱锥，代入棱锥的的体积公式，即可求解.【详解】由已知中的三视图可得：该几何体是一个如图所示的三棱锥1D ABE-，其底面ABE的面积为12222S=⨯⨯=，高为2h=，所以该三棱锥的体积为11422333V Sh==⨯⨯=，故选D.【点睛】本题考查了几何体的三视图及组合体的表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解.10.已知数列121,,,4a a成等差数列，1231,,,,4b b b成等比数列，则212a ab-的值是 ( )A.12B.12- C.12或12- D.14【答案】A【解析】由题意可知：数列1,a1,a2，4成等差数列，设公差d，则4=1+3d，解得d=1，∴a1=1+2=2，a2=1+2d=3.∵数列1,b1,b2,b3，4成等比数列，设公比为q，则4=q4,解得q2=2，∴b2=q2=2.则21221122a ab--==.本题选择A选项.二、填空题11.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈[0,5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，则使函数值y＜0的x的取值集合为________．【答案】()()2,02,5-【解析】【分析】利用函数的图象以及函数的奇偶性，判断函数值0y＜的x的取值集合即可．【详解】由原函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y＝f(x)在[0,5]上的图象，得它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y＜0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．【点睛】本题考查函数的图象的判断函数的奇偶性的应用，是基础题．12.函数2log(1),01,(){2,10x xf xx x+≤≤=-≤<的值域是______________．【答案】[]2,1-【解析】试题分析：当01x≤≤时，112x≤+≤，所以()20log11x≤+≤；当10x-≤<时，220x-≤<.所以函数的值域是[]2,1-.考点：1.函数的值域及其求法；2.对数函数的值域；3.分段函数的图像与性质13.若函数()xy e f x= 2.71828...e=（是自然对数的底数）在()f x的定义域上单调递增，则称函数()f x具有M性质，下列函数中所有具有M性质的函数的序号为①=2x f x -（） ②=3x f x -（） ③3=f x x （） ④2=2f x x +（） 【答案】①④ 【解析】 ①()22xxxxe ef x e -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递增，故()2x f x -=具有M 性质； ②()33xx x x e e f x e -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故()x f x -=3不具有M 性质；③()3xxe f x e x =⋅，令()3xg x e x =⋅，则()()32232xxxg x e x e x x ex '=⋅+⋅=+，∴当2x >-时，()0g x '>，当2x <-时，()0g x '<，∴()3x x e f x e x =⋅在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增，故()3f x x =不具有M 性质；④()()22xxe f x ex=+，令()()22x g x e x =+，则()()()2222110x x x g x e x e x e x ⎡⎤'=++⋅=++>⎣⎦，∴()()22x x e f x e x =+在R 上单调递增，故()22f x x =+具有M 性质．【名师点睛】1.本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可． 2.求可导函数单调区间的一般步骤 (1)确定函数f (x )的定义域(定义域优先)； (2)求导函数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内求不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0的解集．(4)由f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)的解集确定函数f (x )的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．3.由函数f (x )在(a ，b )上的单调性，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．14.已知幂函数()y f x =的图像经过点14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()2f =______.【解析】 【分析】先设幂函数()af x x =，根据其图像经过点14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，求得函数，再求()2f .【详解】设幂函数()ay f x x ==，因为其图像经过点14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以142a=， 解得12a =-，所以()1222-==f故答案为：2【点睛】本题主要考查幂函数的定义及求函数值，属于基础题.15.已知平面向量a ，b 满足0a b ⋅=，2a =，3b =，则a b +=______.【解析】 【分析】根据平面向量a ，b 满足0a b ⋅=，2a =，3b =，利用向量求模公式求解. 【详解】因为平面向量a ，b 满足0a b ⋅=，2a =，3b =，所以()222222+=+=+⋅+=+=a b a b a a b b【点睛】本题主要考查平面向量的模的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.三、解答题16.已知函数21()cossin cos 2222x x x f x =--. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和值域； （Ⅱ）若32()10f α=，求sin 2α的值. 【答案】（1）2，；（2）725. 【解析】【详解】（1）由已知，f （x ）=所以f （x ）的最小正周期为2，值域为；（2）由（1）知，f （）=所以3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以.[点评]本小题主要考查三角函数的性质、两角和的正（余）弦公式、二倍角公式等基础知识，考查运算能力，考查化归与转化等数学思想.17.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，2()2f x x x =+现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象，如图所示．(1)画出函数()f x 在y 轴右侧的图象，并写出函数()f x 在R 上的单调区间； (2)求函数()f x 在R 上的解析式．【答案】（1）如图所示：()f x 的单调递减区间为：(,1)-∞- ，(0,1)单调递增区间为：(1,0)-，(1+)∞， （2）220+2(),02x x x f x x x x ≤⎧=⎨>-⎩，【解析】 【分析】（1）根据偶函数关于y 轴对称，即可画出函数()f x 在y 轴右侧的图象，再由函数图像即可写出其单调区间．（2）已知0x ≤时的解析式，只需计算出0x >的解析式，根据0,x >则0,x -<与()()f x f x =-即可使用0x ≤时的解析式解出0x >的解析式．【详解】（1）如图所示：()f x 的单调递减区间为：(,1)-∞- ，(0,1)单调递增区间为：(1,0)-，(1+)∞， （2）令0,x >则0,x -<所以22()()2()2f x x x x x -=-+-=-又函数()f x 为偶函数，即()()f x f x =- 所以当0x >时2()2f x x x =-所以220+2(),02x x x f x x x x ≤⎧=⎨>-⎩，【点睛】本题考查偶函数的图像性质，根据图像写函数的单调区间，已知偶函数的一半的函数解析式，求整个函数的解析式，属于基础题．18.已知函数()()221f x x ax a a R =+++∈，设()f x 在[]1,1-上的最大值为()g a ，(Ⅰ)求()g a 的表达式；(Ⅱ)是否存在实数,m n ，使得()g a 的定义域为[],m n ，值域为[]5,5m n ？如果存在，求出,m n 的值；如果不存在，请说明理由．【答案】(Ⅰ()22,02)?2,0a a a g a a a a -+<⎧⎪=++≥⎨⎪⎩；(Ⅱ22)?22m n ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩【解析】 【分析】(Ⅰ)函数()f x 图象的对称轴为2ax =-，然后通过讨论对称轴的位置，结合函数的单调性求解函数的最大值，得到函数的最大值的表达式；(Ⅱ) 假设存在符合题意的实数,m n ，则()[)2,.g a ∈+∞ 可得若[],a m n ∈，有()[]5,5g a m n ∈，即0.m n <<由此得()2 2g a a a =++，且为单调递增函数，从而列出方程组，即可求出结果．【详解】(Ⅰ)因为函数()f x 图象的对称轴为2ax =-， 所以当02a-≤，即0a ≥时，()()2()12max g a f x f a a ===++； 当02a->，即0a <时，()()2()1 2.max g a f x f a a ==-=-+ 所以()22,022,0a a a g a a a a -+<⎧⎪=++≥⎨⎪⎩.(Ⅱ)假设存在符合题意的实数m ，n ，则由(Ⅰ)可知，当a R ∈时，()[)2,.g a ∈+∞所以若[],a m n ∈，有()[]5,5g a m n ∈，则0.m n <<所以()22g a a a =++，且为单调递增函数.所以()()225225g m m m m g n n n n =++=⎧⎪=++=⎨⎪⎩,所以22m n ⎧=⎪⎨=+⎪⎩【点睛】本题主要考查二次函数的单调性及其应用，属于中档题．二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解，二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论. 19.已知函数()()ln f x x x a a R =-+∈．(Ⅰ)若函数()f x 的最大值为3，求实数a 的值；(Ⅱ)若当()1,x ∈+∞时，()()()31'22f x k xf x a k x ⎛⎫>-++-≤ ⎪⎝⎭恒成立，求实数k 的取值范围；(Ⅲ)若1x ，2x 是函数()f x 的两个零点，且12x x <，求证：121x x <．【答案】(Ⅰ)4；(Ⅱ1)?,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；证明见解析. 【解析】 【分析】(Ⅰ)求出函数()f x 的定义域，利用导函数符号判断函数的单调性，由单调性求解函数的最大值，然后求出a 即可；(Ⅱ)化简恒成立的不等式为3ln 112x x a k x a x ⎛⎫-+>-+-+- ⎪⎝⎭，得到()()ln 13.x x k x +>-令()()()ln 13g x x x k x =+--，利用函数的导数符号判断函数的单调性，得到()()g g 112x k >=+，然后求解k 的范围；(Ⅲ1)?x ，2x 是函数()f x 的两个零点，可得()()()1222222222211111ln ln 2ln f x f f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=---=+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，构造函数()12ln h x x x x=+-，利用函数的导数的符号判断函数的单调性，推出()121f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，得到121 x x <，即可证明结论．【详解】(Ⅰ)函数()f x 的定义域为()0,.+∞ 因为()11'1xf x x x-=-=， 所以在()0,1内，，()f x 单调递增； 在()1,+∞内，，()f x 单调递减．所以函数()f x 在1x =处取得唯一的极大值，即()f x 的最大值()1ln11f a =-+． 因为函数()f x 的最大值为3， 所以ln113a -+=， 解得 4.a =(Ⅱ)因为当()1,x ∈+∞时，()()()31'22f x k xf x a k x ⎛⎫>-++-≤ ⎪⎝⎭恒成立，所以3ln 112x x a k x a x ⎛⎫-+>-+-+- ⎪⎝⎭， 所以()()ln 13x x k x +>-，即()()ln 130x x k x +-->．令()()()ln 13g x x x k x =+--， 则因为2k ≤， 所以．所以()g x 在()1,+∞单调递增. 所以()()112g x g k >=+， 所以 120k +≥，所以1.2k ≥-即实数k 的取值范围是1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； (Ⅲ)由(Ⅰ)可知：()10,1x ∈，()21,x ∈+∞．所以()210,1.x ∈ 因为1x ，2x 是函数()f x 的两个零点， 所以()()120f x f x ==． 因为()()()1222222222211111ln ln 2ln .f x f f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=---=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令()12ln h x x x x=+-， 则()222222121(1)'1x x x h x x x x x-+--=--==-． 所以在()1,+∞，，()h x 单调递减．所以()()10h x h <=． 所以()1210f x f x ⎛⎫-<⎪⎝⎭，即()121f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭． 由(Ⅰ)知，()f x 在()0,1单调递增，所以121x x <， 所以12 1.x x <【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值、证明不等式以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数.20.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c sin A cos B a =． （1）求角B ；（2）若3b =，sin CA =，求a ，c ． 【答案】（1）6B π=；（2）3,a c ==【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，然后求解B 的大小． （2）利用正弦定理余弦定理，转化求解即可． 【详解】（1）在ABC ∆中， 由正弦定理sin sina bA B=sin sin cos B A A B =． 又因为在ABC ∆中sin 0A ≠． cos B B =．法一：因为0B π<<，所以sin 0B ≠，因而cos 0B ≠． 所以sin tan cos 3B B B ==， 所以6B π=．cos 0B B -=即2sin 06B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以()6B k k Z ππ-=∈，因为0B π<<，所以6B π=．（2）由正弦定理得sin sin a c A C=，而sin C A =，所以c = ，①由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2292cos 6a c ac π=+-，即229a c +=， ②把①代入②得3,a c ==【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.21.已知数列{}n a 的前n 项和()*n S n N∈满足21nn Sa =-，数列{}nb 满足22log n n b a =+．(Ⅰ)求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式； (Ⅱ)令nn nb c a =，若221n c x x ≤--对于一切的正整数n 恒成立，求实数x 的取值范围； (Ⅲ)数列{}n a 中是否存在,,(m n k a a a m n k <<，且 *,,)m n k N ∈使m a ，n a ，k a 成等差数列？若存在，求出,,m n k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(Ⅰ1)2n n a -=，1n b n =+；(Ⅱ){|1x x ≤-或3}x ≥；(Ⅲ) 不存在，理由见解析．【解析】 【分析】(Ⅰ)利用已知条件通过1n n n a S S -=-，说明数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，从而可求出{}n a 的通项公式，然后求解n b 的通项公式；(Ⅱ)求出nn nb c a =，判断数列的单调性，结合221n c x x ≤--对于一切的正整数n 恒成立，得到2221x x ≤--求解即可；(Ⅲ)假设存在*,,(,,,)m n k a a a m n k m n k N <<∈，使m a ，n a ，k a 成等差数列，推出1112222n m k ---⋅=+，说明是与条件矛盾，得到结论． 【详解】(Ⅰ)根据题意，数列{}n a 满足21n n S a =-，当1n =时，111a S ==．当2n ≥时，11n n n a S S -=-=，122n n n a a a -=-， 即12n n a a -=．所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列.所以12n n a -=，*n N ∈；又由已知22log n n b a =+，得122log 2 1.n n b n -=+=+(Ⅱ)依题意得()11111()22n n n n n b n c n a --+===+，*n N ∈． 因为()()1111111212()1()()1()0222222nn n n n n n n c c n n n ---++⎛⎫-=+-+=--=-< ⎪⎝⎭， 所以当1n =时，n c 取得最大值1 2.c =因为221n c x x ≤--对于一切的正整数n 恒成立，所以222 1.x x ≤-- 解得1x ≤-或3x ≥，所以实数x 的取值范围是{|1x x ≤-或3}x ≥；(Ⅲ)假设存在*,,(,,,)m n k a a a m n k m n k N <<∈，使m a ，n a ，k a 成等差数列，则2n m k a a a =+，即1112222.n m k ---⋅=+ 两边同时除以12m -，得1212.n m k m -+-=+① 因为12n m -+为偶数，12k m -+为奇数，这与①矛盾．所以不存在*,,(,,,)m n k a a a m n k m n k N <<∈，使m a ，n a ，k a 成等差数列.【点睛】本题主要考查数列的应用，通项公式以及数列的单调性，反证法的应用，属于难题．反证法的适用范围：（1）否定性命题与存在性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一”等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少．。
高一新生分班考试数学试卷含答案
CB高一新生分班考试数学试卷（含答案）（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（每题5分，共40分） 1．化简=-2aa （ ）A ．aB ．a -C ．aD ．2a2．分式1||22---x x x 的值为0，则x 的值为 （ ）A ．21或-B ．2C ．1-D ．2-3．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点。
若EF ＝2，BC ＝5，CD ＝3， 则tan C 等于 （ ）A ．43 B ．35 C ．34 D ．45 4．如图，P A 、PB 是⊙O 切线，A 、B 为切点，AC 是直径，∠P = 40°，则∠BAC =（ ）A ．040 B ．080 C ．020 D ．0105．在两个袋内，分别装着写有1、2、3、4四个数字的4张卡片，今从每个袋中各任取一张卡片，则所取两卡片上数字之积为偶数的概率是 （ ）A ．21 B ．165 C ．167 D ．436．如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD =8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF =3，则AB 的长为( ) A . 6B.4C .5D . 37．如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形边上一动点，运动B CD CB A 路线是A →D →C →B →A ,设P 点经过的路程为x ，以点A 、P 、D 为顶点的三角形的面积是y .则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是 ( )8.若直角坐标系内两点P 、Q 满足条件①P 、Q 都在函数y 的图象上②P 、Q 关于原点对称，则称点对（P ，Q ）是函数y 的一个“友好点对”（点对（P ，Q ）与（Q ，P ）看作同一个“友好点对”）。
已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤++=02101422x xx x x y ，，,则函数y 的“友好点对”有（ ）个A ．0 B.1 C. 2 D.3注意：请将选择题的答案填入表格中。
2020-2021学年北京市首师大附中高三(上)开学数学试卷 (解析版)
2020-2021学年北京市首师大附中高三（上）开学数学试卷一、选择题（共10小题）.1．复数i（3+i）＝（）A．1+3i B．﹣1+3i C．1﹣3i D．﹣1﹣3i2．函数f（x）＝tan（x+）的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π3．已知向量＝（1，﹣），＝（﹣2，m），若与共线，则||＝（）A．B．C．D．24．在二项式（1﹣2x）5的展开式中，x3的系数为（）A．40B．﹣40C．80D．﹣805．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递减的是（）A．y＝x﹣2B．y＝|lnx|C．y＝2﹣x D．y＝x sin x6．将函数f（x）＝cos2x图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，如果g（x）在区间[0，a]上单调递减，那么实数a的最大值为（）A．B．C．D．7．设点A，B，C不共线，则“”是“”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件8．有一改形塔几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（）A．8B．7C．6D．49．某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（）A．1B．2C．3D．010．在声学中，声强级L（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：W/m2）．L1＝60dB，L2＝75dB，那么＝（）A．10B．10C．﹣D．10二、填空题（共5题，每题5分，共25分）11．已知抛物线y2＝2px的焦点与双曲线﹣y2＝1的右顶点重合，则抛物线的焦点坐标为；准线方程为．12．（x+1）7的展开式中x3的系数是．13．在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝2AB＝2，E为AC的中点，则＝．14．已知两点A（﹣1，0），B（1，0），若直线x﹣y+a＝0上存在点P（x，y）满足•＝0，则实数a满足的取值范围是．15．集合A＝{（x，y）||x|+|y|＝a，a＞0}，B＝{（x，y）||xy|+1＝|x|+|y|}，若A∩B是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为．①a的值可以为2；②a的值可以为；③a的值可以为2+；三、解答题（共6小题，共85分，每题必须写出详细的解答过程）16．已知△ABC ，满足，b＝2，______，判断△ABC的面积S＞2是否成立？说明理由．从①，②这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．17．2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人．某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如表：子女教育继续教育大病医疗住房贷款利息住房租金赡养老人专项员工人数老员工402203中年员工821518青年员工120121（Ⅰ）在抽取的20人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人；（Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X为选出的中年员工的人数，求X的分布列和数学期望．18．如图，已知四边形ABCD为菱形，且∠A＝60°，取AD中点为E．现将四边形EBCD 沿BE折起至EBHG，使得∠AEG＝90°．（Ⅰ）求证：AE⊥平面EBHG；（Ⅱ）求二面角A﹣GH﹣B的余弦值；（Ⅲ）若点F 满足，当EF∥平面AGH时，求λ的值．19．已知椭圆的右焦点为F（1，0），离心率为．直线l过点F且不平行于坐标轴，l与C有两交点A，B，线段AB的中点为M．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（Ⅲ）延长线段OM与椭圆C交于点P，若四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l 的斜率．20．已知函数，f（x）＝x2（x＞0），g（x）＝alnx（a＞0）．（Ⅰ）若f（x）＞g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＝1时，过f（x）上一点（1，1）作g（x）的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由．21．有限个元素组成的集合A＝{a1，a2，…，a n}，n∈N*，记集合A中的元素个数为card （A），即card（A）＝n．定义A+A＝{x+y|x∈A，y∈A}，集合A+A中的元素个数记为card（A+A），当card（A+A）＝时，称集合A具有性质P．（Ⅰ）A＝{1，4，7}，B＝{2，4，8}，判断集合A，B是否具有性质P，并说明理由；（Ⅱ）设集合A＝{a1，a2，a3，2020}．a1＜a2＜a3＜2020，且a i∈N*（i＝1，2，3），若集合A具有性质P，求a1+a2+a3的最大值；（Ⅲ）设集合A＝{a1，a2，…，a n}，其中数列{a n}为等比数列，a i＞0（i＝1，2，…，n）且公比为有理数，判断集合A是否具有性质P并说明理由．参考答案一、单选题（共10小题）.1．复数i（3+i）＝（）A．1+3i B．﹣1+3i C．1﹣3i D．﹣1﹣3i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：i（3+i）＝3i+i2＝﹣1+3i．故选：B．2．函数f（x）＝tan（x+）的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π【分析】由题意利用函数f（x）＝A tan（ωx+φ）的最小正周期为，得出结论．解：函数f（x）＝tan（x+）的最小正周期为＝π，故选：C．3．已知向量＝（1，﹣），＝（﹣2，m），若与共线，则||＝（）A．B．C．D．2【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得m＝（﹣）×（﹣2）＝1，即可得＝（﹣2，1）；由向量模的计算公式计算可得答案．解：根据题意，向量＝（1，﹣），＝（﹣2，m），若与共线，则有m＝（﹣）×（﹣2）＝1，则＝（﹣2，1）；则||＝＝；故选：B．4．在二项式（1﹣2x）5的展开式中，x3的系数为（）A．40B．﹣40C．80D．﹣80【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中的x3系数．解：（1﹣2x）5展开式的通项公式为•（﹣2x）r，故令r＝3，可得其中的x3系数为•（﹣2）3＝﹣80，故选：D．5．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递减的是（）A．y＝x﹣2B．y＝|lnx|C．y＝2﹣x D．y＝x sin x【分析】根据函数性质，分别判断两个函数的奇偶性和单调性即可．解：A．f（x）是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，满足条件B．函数的定义域为（0，+∞），函数为非奇非偶函数，不满足条件．C．函数为非奇非偶函数，不满足条件．D．f（﹣x）＝﹣x sin（﹣x）＝x sin x＝f（x），f（x）为偶函数，在（0，+∞）不具备单调性，不满足条件．故选：A．6．将函数f（x）＝cos2x图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，如果g（x）在区间[0，a]上单调递减，那么实数a的最大值为（）A．B．C．D．【分析】根据条件先求出g（x）的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可．解：将函数f（x）＝cos2x图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，则g（x）＝cos2（x+）＝cos（2x+），设θ＝2x+，则当0＜x≤a时，0＜2x≤2a，＜2x+≤2a+，即＜θ≤2a+，要使g（x）在区间[0，a]上单调递减，则2a+≤π得2a≤，得a≤，即实数a的最大值为，故选：B．7．设点A，B，C不共线，则“”是“”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【分析】由于点A，B，C不共线，则⇔（+）•＝0⇔（+）•（﹣）＝﹣＝0⇔＝⇔“”，根据充分必要条件的定义判断即可．解：由于点A，B，C不共线，则⇔（+）•＝0⇔（+）•（﹣）＝﹣＝0⇔＝⇔“”；故“”是“”的充分必要条件．故选：C．8．有一改形塔几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（）A．8B．7C．6D．4【分析】则从下往上第二层正方体的棱长为：＝4，从下往上第三层正方体的棱长为：＝4，从下往上第四层正方体的棱长为：＝2，以此类推，能求出改形塔的最上层正方体的边长小于1时该塔形中正方体的个数的最小值的求法．解：最底层正方体的棱长为8，则从下往上第二层正方体的棱长为：＝4，从下往上第三层正方体的棱长为：＝4，从下往上第四层正方体的棱长为：＝2，从下往上第五层正方体的棱长为：＝2，从下往上第六层正方体的棱长为：＝，从下往上第七层正方体的棱长为：＝1，从下往上第八层正方体的棱长为：＝，∴改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是8．故选：A．9．某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（）A．1B．2C．3D．0【分析】由三视图还原原几何体，借助于正方体可得三棱锥的表面中直角三角形的个数．解：由三视图还原原几何体如图，其中△ABC，△BCD，△ADC为直角三角形．∴该三棱锥的表面中直角三角形的个数为3．故选：C．10．在声学中，声强级L（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：W/m2）．L1＝60dB，L2＝75dB，那么＝（）A．10B．10C．﹣D．10【分析】由得lgI＝﹣12，分别算出I1和I2的值，从而得到的值．解：∵，∴L＝10（lgI﹣lg10﹣12）＝10（lgI+12），∴lgI＝﹣12，当L1＝60时，lgI1＝＝＝﹣6，∴I1＝10﹣6，当L2＝75时，lgI2＝＝＝﹣4.5，∴I2＝10﹣4.5，∴＝10，故选：D．二、填空题（共5题，每题5分，共25分）11．已知抛物线y2＝2px的焦点与双曲线﹣y2＝1的右顶点重合，则抛物线的焦点坐标为（2，0）；准线方程为x＝﹣2．【分析】由双曲线方程求得双曲线的右顶点坐标，可得抛物线的焦点坐标，进一步求得抛物线的准线方程．解：双曲线﹣y2＝1的右顶点坐标为（2，0），即抛物线y2＝2px的焦点坐标为（2，0）；则抛物线的直线方程为x＝﹣2．故答案为：（2，0）；x＝﹣2．12．（x+1）7的展开式中x3的系数是35．【分析】利用二项式定理求得（x+1）7的展开式的通项公式，进而求得结果．解：∵（x+1）7的展开式的通项公式为T r+1＝C x7﹣r，r＝0，1， (7)∴（x+1）7的展开式中x3的系数为C＝35．故填：35．13．在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝2AB＝2，E为AC的中点，则＝﹣1．【分析】先在△ABC中，利用余弦定理，算出，确定△ABC是以A为直角的直角三角形，然后＝，结合平面向量数量积的运算法则求解即可．解：由于∠ABC＝60°，BC＝2AB＝2，根据余弦定理可知，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC＝，∴，△ABC为直角三角形，且A为直角，∴＝．故答案为：﹣1．14．已知两点A（﹣1，0），B（1，0），若直线x﹣y+a＝0上存在点P（x，y）满足•＝0，则实数a满足的取值范围是[﹣，]．【分析】问题转化为求直线l与圆x2+y2＝1有公共点时，a的取值范围，利用数形结合思想能求出结果．解：∵直线l：x﹣y+a＝0，点A（﹣1，0），B（1，0），直线l上存在点P满足•＝0，∴P的轨迹方程是x2+y2＝1．∴如图，直线l与圆x2+y2＝1有公共点，∴圆心O（0，0）到直线l：x﹣y+a＝0的距离：d＝≤1，解得﹣≤a．∴实数a的取值范围为[﹣，]．故答案为：[﹣，]．15．集合A＝{（x，y）||x|+|y|＝a，a＞0}，B＝{（x，y）||xy|+1＝|x|+|y|}，若A∩B是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为②③．①a的值可以为2；②a的值可以为；③a的值可以为2+；【分析】根据曲线性质求出集合A，B对应的图象，结合两角和差的正切公式进行求解即可．解：A＝{（x，y）||x|+|y|＝a，a＞0}，x≥0，y≥0时，即x+y＝a表示在第一象限内的线段将x，y分别换成﹣x，﹣y方程不变，因此|x|+|y|＝a关于x轴对称，也关于y轴对称那么，集合A＝{（x，y）||x|+|y|＝a，a＞0}表示点集为正方形，∵|xy|+1＝|x|+|y|∴|xy|﹣|x|﹣|y|+1＝0即（|x|﹣1）（|y|﹣1）＝0∴|x|＝1或|y|＝1即x＝±1，y＝±1B＝{（x，y）|x＝±1，或x＝±1}，表示2组平行线，A∩B为8个点，构成正八边形①如图1，∠AOB＝45°又A（1，a﹣1），∴tan∠xOA＝a﹣1，tan∠AOB＝tan2∠xOA＝＝＝1，即2a﹣2＝2a﹣a2，∴a2＝2∵a＞0，∴a＝②如图2，∠AOB＝45°又A（a﹣1，1）∴tan∠xOA＝，tan∠AOB＝tan2∠xOA＝＝＝＝1，即2a﹣2＝﹣2a+a2，∴a2﹣4a+2＝0，解得a＝2+或a＝2﹣（舍），综上a＝或a＝2+．故答案为：②③．三、解答题（共6小题，共85分，每题必须写出详细的解答过程）16．已知△ABC，满足，b＝2，______，判断△ABC的面积S＞2是否成立？说明理由．从①，②这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【分析】选①，先利用余弦定理可解得c＝3，从而求得三角形面积为，由此作出判断；选②，先利用余弦定理可得，结合已知条件可知△ABC是A为直角的三角形，进而求得面积为，此时S＞2不成立．解：选①，△ABC的面积S＞2成立，理由如下：当时，，所以c2﹣2c﹣3＝0，所以c＝3，则△ABC的面积，因为，所以S＞2成立．选②，△ABC的面积S＞2不成立，理由如下：当时，，即，整理得，，所以，因a2＝7，b2+c2＝4+3＝7，所以△ABC是A为直角的三角形，所以△ABC的面积，所以不成立．17．2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人．某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如表：子女教育继续教育大病医疗住房贷款利息住房租金赡养老人专项员工人数老员工402203中年员工821518青年员工120121（Ⅰ）在抽取的20人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人；（Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X为选出的中年员工的人数，求X的分布列和数学期望．【分析】（Ⅰ）先算出该单位的所有员工数量，再根据分层抽样的特点，逐一求解样本中老年、中年、青年员工的数量即可．（Ⅱ）随机变量X的可取值为0，1，2，结合超几何分布计算概率的方式逐一求取每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．解：（Ⅰ）该单位员工共140+180+80＝400人，抽取的老年员工人，中年员工人，青年员工人．（Ⅱ）X的可取值为0，1，2，，，．所以X的分布列为X012P数学期望E（X）＝．18．如图，已知四边形ABCD为菱形，且∠A＝60°，取AD中点为E．现将四边形EBCD 沿BE折起至EBHG，使得∠AEG＝90°．（Ⅰ）求证：AE⊥平面EBHG；（Ⅱ）求二面角A﹣GH﹣B的余弦值；（Ⅲ）若点F满足，当EF∥平面AGH时，求λ的值．【分析】（Ⅰ）只需证明GE⊥AE，BE⊥AE，GE∩BE＝E，由线面垂直的判定定理可得证明；（Ⅱ）以E为原点，EA，EB，EG所在直线分别为x，y，z轴，求得平面AGH的法向量和平面EBHG的法向量．设二面角A﹣GH﹣B的大小为θ（θ＜900），即可得到所求值；（Ⅲ）由，则，由．计算可得所求值．解：（Ⅰ）证明：在左图中，△ABD为等边三角形，E为AD中点所以BE⊥AD，所以BE⊥AE．因为∠AEG＝90°，所以GE⊥AE．因为GE⊥AE，BE⊥AE，GE∩BE＝E所以AE⊥平面EBHG．（Ⅱ）设菱形ABCD的边长为2，由（Ⅰ）可知GE⊥AE，BE⊥AE，GE⊥BE．所以以E为原点，EA，EB，EG所在直线分别为x，y，z轴，建立如图空间坐标系可得A（1，0，0），，G（0，0，1），．，设平面AGH的法向量为，所以，即．令x＝1，则．平面EBHG的法向量为．设二面角A﹣GH﹣B的大小为θ（θ＜900）．（Ⅲ）由，则，所以．因为EF∥平面AGH，则．即1﹣2λ＝0．所以．19．已知椭圆的右焦点为F（1，0），离心率为．直线l过点F且不平行于坐标轴，l与C有两交点A，B，线段AB的中点为M．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（Ⅲ）延长线段OM与椭圆C交于点P，若四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l 的斜率．【分析】（Ⅰ）由题可知，c＝1，，再结合a2＝b2+c2，解出a和b的值即可得解；（Ⅱ）设直线l的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l的方程和椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，写出两根之和与系数的关系；由于M为线段AB的中点，利用中点坐标公式可用k表示点M的坐标，利用可求出直线OM的斜率，进而得解；（Ⅲ）若四边形OAPB为平行四边形，则，利用平面向量的线性坐标运算可以用k表示点P的坐标，再将其代入椭圆方程即可得到关于k的方程，解之即可得解．解：（Ⅰ）由题意可知，c＝1，，∵a2＝b2+c2，∴，∴椭圆的方程为．（Ⅱ）设直线l的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y得，（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，则，∵M为线段AB的中点，∴，，∴，∴为定值．（Ⅲ）若四边形OAPB为平行四边形，则，∴，，∵点P在椭圆上，∴，解得，即，∴当四边形OAPB为平行四边形时，直线l的斜率为．20．已知函数，f（x）＝x2（x＞0），g（x）＝alnx（a＞0）．（Ⅰ）若f（x）＞g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＝1时，过f（x）上一点（1，1）作g（x）的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由．【分析】（Ⅰ）令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣alnx（x＞0），则h′（x）＝，利用当x变化时，h′（x），h（x）的变化情况可得当0＜a＜2e时，h（x）＞0恒成立，即f（x）＞g（x）恒成立；（Ⅱ）当a＝1时，g（x）＝lnx，设过点（1，1）的直线l与g（x）＝lnx相切于点P（x0，y0），则＝，整理得x0lnx0﹣2x0+1＝0，令m（x）＝xlnx﹣2x+1，则m（x）在（0，+∞）上的零点个数与切点P的个数一一对应，m′（x）＝lnx﹣1，令m′（x）＝lnx﹣1＝0解得x＝e．通过对x变化时，m′（x），m（x）的变化情况的分析，可得答案．解：令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣alnx（x＞0），所以h′（x）＝2x ﹣＝，令h′（x ）＝＝0，解得x ＝，当x变化时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：x（0，）（，+∞）h′（x），﹣0+h （x），减极小值增所以在（0，+∞）的最小值为h （）＝﹣aln ＝﹣ln，令h （）＞0，解得0＜a＜2e，所以当0＜a＜2e时，h（x）＞0恒成立，即f（x）＞g（x）恒成立．（Ⅱ）可作出2条切线．理由如下：当a＝1时，g（x）＝lnx，设过点（1，1）的直线l与g（x）＝lnx相切于点P（x0，y0），g′（x0）＝，即＝，整理得x0lnx0﹣2x0+1＝0，令m（x）＝xlnx﹣2x+1，则m（x）在（0，+∞）上的零点个数与切点P的个数一一对应，m′（x）＝lnx﹣1，令m′（x）＝lnx﹣1＝0解得x＝e．当x变化时，m′（x），m（x）的变化情况如下表：x（0，e）e（e，+∞）m′（x）﹣0+m（x）减极小值增所以m（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，且m （）＝ln ﹣+1＝﹣+1＞0，m（e）＝elne﹣2e+1＝﹣e+1＜0，m（e2）＝e2lne2﹣2e2+1＝1＞0，所以m（x ）在（，e）和（e，e2）上各有一个零点，即xlnx﹣2x+1＝0有两个不同的解，所以过点（1，1）可以作出2条切线．21．有限个元素组成的集合A＝{a1，a2，…，a n}，n∈N*，记集合A中的元素个数为card （A），即card（A）＝n．定义A+A＝{x+y|x∈A，y∈A}，集合A+A中的元素个数记为card（A+A），当card（A+A ）＝时，称集合A具有性质P．（Ⅰ）A＝{1，4，7}，B＝{2，4，8}，判断集合A，B是否具有性质P，并说明理由；（Ⅱ）设集合A＝{a1，a2，a3，2020}．a1＜a2＜a3＜2020，且a i∈N*（i＝1，2，3），若集合A具有性质P，求a1+a2+a3的最大值；（Ⅲ）设集合A＝{a1，a2，…，a n}，其中数列{a n}为等比数列，a i＞0（i＝1，2，…，n）且公比为有理数，判断集合A是否具有性质P并说明理由．【分析】（Ⅰ）由已知集合结合定义求得A+A与B+B，再由性质P的概念判断；（Ⅱ）首先说明若三个数a，b，c成等差数列，则A＝{a，b，c}不具有性质P，由a1＜a2＜a3＜2020，得a3≤2019，结合集合A具有性质P依次求出a3＝2019，a2＝2017，a1＝2014，可得a1+a2+a3的最大值；（Ⅲ）设等比数列的公比为q ，得（a1＞0）且q为有理数，假设当i＜k≤l＜j时有a i+a j＝a k+a l成立，则有q j﹣i＝q k﹣i+q l﹣i﹣1，设q＝（m，n∈N*且m与n互质），因此有﹣1，整理后出现矛盾，说明a i+a j＝a k+a l不成立，得到card（A+A）＝，说明集合A具有性质P．解：（Ⅰ）集合A不具有性质P，集合B具有性质P．事实上，∵A＝{1，4，7}，∴A+A＝{2，5，8，11，14}，card（A+A）＝5≠，故A不具有性质P；∵B＝{2，4，8}，∴B+B＝{4，6，8，10，12，16}，card（B+B）＝6＝，故B 具有性质P．（Ⅱ）若三个数a，b，c成等差数列，则A＝{a，b，c}不具有性质P，理由是a+c＝2b．∵a1＜a2＜a3＜2020，且a i∈N*（i＝1，2，3），∴a3≤2019，要使a1+a2+a3取最大，则a3＝2019，a2≤2018，易知{2018，2019，2020}不具有性质P，要使a1+a2+a3取最大，则a2＝2017，a1≤2016，要使a1+a2+a3取最大，检验可得a1＝2014；∴（a1+a2+a3）max＝6050；（Ⅲ）集合A具有性质P．设等比数列的公比为q，∴（a1＞0）且q为有理数．假设当i＜k≤l＜j时有a i+a j＝a k+a l成立，则有q j﹣i＝q k﹣i+q l﹣i﹣1．∵q为有理数，设q＝（m，n∈N*且m与n互质），因此有﹣1，即m j﹣i＝m k﹣i n j﹣k+m l﹣i n j﹣l﹣n j﹣i．上式左边是m的倍数，右边是n的倍数，而m与n互质，显然a i+a j＝a k+a l不成立．∴card（A+A）＝，故集合A具有性质P．。
2023-2024学年北京首都师大附中高一(上)10月月考数学试卷和答案
2023北京首都师大附高一10月月考数 学第Ⅰ卷（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 下列各式：①{}10,1,2∈；②{}0,1,2∅⊆；③{}{}10,1,2∈；④{}{}0,1,22,0,1=，其中错误的个数是（ ） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 命题“2x ∃<,220x x −<”的否定是（ ） A. 2x ∃≤,220x x −≥ B. 2x ∀≥,02x << C. 2x ∃<,220x x −≥D. 2x ∀<,0x ≤或2x ≥3. 将下列多项式因式分解，结果中不含因式()2x +的是（ ） A. 224x x + B. 2312x −C. 26x x +−D. ()()228216x x −+−+4. 若集合{}{3},21,Z A xx B x x n n =<==+∈∣∣，则A B =（ ）A. ()1,1−B. ()3,3−C. {}1,1−D. {}3,1,1,3−−5. 如图，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A. ()M P SB. ()M P SC. ()M P SD. ()M P S6. 已知p ：111x <+，q ：()10x x +<，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 下列结论成立的是（ ） A. 若ac bc <，则a b > B. 若a b >，则22a b > C. 若a b >，则11a b< D. 若110a b<<，则0b a <<8. 设集合11,Z ,,Z 3663k k M x x k N x x k ⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭||，则（ ） A. MNB. M NC. N MD. M N ⋂=∅9. 已知,,A B C 是三个集合，若A B B C ⋃=⋂，则一定有（ ） A. A C ⊆B. C A ⊆C. C A ≠D. A =∅10. 设()C M 表示非空集合M 中元素的个数，已知非空集合,A B .定义()(),()()()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C A C B −≥⎧⊗=⎨−<⎩，若{}1,2A =，()(){}2220B x x ax x ax =+++=且1A B ⊗=，则实数a 的所有取值为（ ）A. 0B. 0，−C. 0，D. −，0，第Ⅱ卷（共70分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 方程组322327x y x y +=⎧⎨−=⎩的解集用列举法表示为______________.12. 若“25x m >−”是“|x |<1”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是___________ 13. 设a ，b ∈R ，集合{}2,0,1{,,0}a a b −=，则a b +的值是______.14. 已知集合{}|3A x a x =≤≤，{}|0B x x =<，若A B ⋂=∅，则实数a 的取值范围是______． 15. 当两个集合中有一个集合为另一个集合的子集时，称两个集合之间构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称两个集合之间构成“偏食”，对于集合11,,12A ⎧⎫=−⎨⎬⎩⎭，{}2B x x a ==|.若A 与B 构成“全食”，则a 的取值范围是______；若A 与B 构成“偏食”，则a 的取值范围是______.三、解答题（本大题共4小题，共45分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）16. 已知全集U =R ，集合{R |211}A x x =∈−≤，集合{R |12}B x x =∈−<≤． （1）求集合A B ⋂及()UA B ⋃；（2）若集合{|2,0}=∈≤<>C x R a x a a ，且C B ⊆，求实数a 的取值范围． 17. 已知关于x 的一元二次方程()22230x m x m +−+=有两个实数根1x ，2x .（1）求实数m 的取值范围； （2）若12126x x x x +=−，求m 的值.18. 已知全集U =R ，812x A xx ⎧⎫+=>⎨⎬−⎩⎭，{}22240B x x mx m =−+−<，{}14C x x =−<<，在①Ux A ∈；②x A C ∈；③x A C ∈⋃；这三个条件中任选一个补充到下列问题中并作答.问题：设p ：______，q ：x B ∈，是否存在实数m ，使得p 是q 的必要不充分条件？若实数m 存在，求m 的取值范围；若实数m 不存在，说明理由.19. 已知集合{}1,2,,A n =⋅⋅⋅（3n ≥），表示集合A 中的元素个数，当集合A 的子集i A 满足2i A =时，称i A 为集合A 的二元子集，若对集合A 的任意m 个不同的二元子集1A ，2A ，…，m A ，均存在对应的集合B 满足：①BA ⊆；②B m =；③1i BA ≤（1i m ≤≤），则称集合A 具有性质J .（1）当3n =时，若集合A 具有性质J ，请直接写出集合A 的所有二元子集以及m 的一个取值； （2）当6n =，4m =时，判断集合A 是否具有性质J ？并说明理由.参考答案第Ⅰ卷（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 【答案】A【分析】根据集合与集合的关系，元素与集合的关系即可求解.【详解】由元素与集合的关系可知{}10,1,2∈正确，{}{}10,1,2∈不正确， 由集合之间的关系知{}0,1,2∅⊆正确， 由集合中元素的无序性知{}{}0,1,22,0,1=正确， 故错误的个数为1， 故选：A【点睛】本题主要考查了元素与集合的关系，集合的子集，集合的相等，属于容易题. 2. 【答案】D【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可得到结果. 【详解】命题“2x ∃<,220x x −<”是存在量词命题, 又22002x x x −<⇒<<,所以其否定为全称量词命题,即为“2x ∀<,0x ≤或2x ≥”. 故选:D. 3. 【答案】C【分析】利用提取公因式法判断A ，利用公式法判断B ，利用十字相乘法判断C 、D. 【详解】对于A.原式()22x x =+，不符合题意；对于B.原式()()()234322x x x =−=+−，不符合题意；对于C 原式()()23x x =−+，符合题意； 对于D.原式()()22242x x =−+=+，不符合题意. 故选：C. 4. 【答案】C【分析】解绝对值不等式得A ，根据交集的定义计算即可.【详解】解3x <得33x −<<，即()3,3A =−，B 为奇数集，故{}1,1A B =−.故选：C 5. 【答案】C【分析】根据Venn 图表示的集合运算作答．【详解】阴影部分在集合,M P 的公共部分，但不在集合S 内，表示为()⋂⋂M P S ， 故选：C ． 6. 【答案】D【分析】分别求出,p q ，再分析出,p q 的推导关系. 【详解】()11110010111x x x x x x −<⇒−<⇒<⇒+>+++， 所以:0p x >或1x <−，而:10q x −<<，所以p 是q 的既不充分也不必要条件， 故选：D 7. 【答案】D【分析】根据不等式的性质或举出反例对各选项逐一判断即可.【详解】选项A ：当0c >时，若ac bc <，则a b <，当0c <时，若ac bc <，则a b >，故A 说法错误； 选项B ：若1a =，2b =−满足a b >，此时22a b <，故B 说法错误； 选项C ：当0a b >>或0a b >>时， 11a b <，当0a b >>时， 11a b>，故C 说法错误；选项D ：当110a b<<时，0ab >，所以不等式同乘ab 可得0b a <<，故D 说法正确； 故选：D 8. 【答案】B【分析】根据集合,M N 的表达式，可求出集合M 是16的奇数倍，N 是16的整数倍，即可得出,M N 的关系.【详解】由()11,Z 21,Z 366k M x x k x x k k ⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭||可知，集合M 表示的是16的奇数倍； 由()11,Z 2,Z 636k N x x k x x k k ⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭||可知，集合N 表示的是16的整数倍； 即可知M 是N 的真子集，即M N . 故选：B 9. 【答案】A 【分析】根据()B C B ⋂⊆，以及()B C C ⋂⊆，结合已知条件，即可判断集合之间的关系. 【详解】因为()B C B ⋂⊆，又A B B C ⋃=⋂， 故可得()A B B ⋃⊆，则A B ⊆； 因为()B C C ⋂⊆，又A B B C ⋃=⋂,故可得()A B C ⋃⊆，则B C ⊆； 综上所述：A B C ⊆⊆. 故选：A.【点睛】本题考查由集合的运算结果，求集合之间的关系，属基础题. 10. 【答案】D【分析】由题意可得集合B 中的元素个数为1个或3个，分集合B 中的元素个数为1和集合B 中的元素个数为3两种情况，再结合一元次方程根的个数求解即可. 【详解】解：由2220xax x ax 可得20x ax或220x ax ++=，又因为{}1,2A =，1A B ⊗=， 所以集合B 中的元素个数为1个或3个， 当集合B 中的元素个数为1时，则20x ax有两相等的实数根，且220x ax ++=无解，所以22080a a ⎧=⎨−<⎩，解得0a =；当集合B 中的元素个数为3时，则20x ax有两不相等的实数根，且220x ax ++=有两个相等且异于方程20x ax 的根的解，所以20Δ80a a ≠⎧⎨=−=⎩，解得a =a =−综上所述，0a =或a =a =− 故选：D.【点睛】关键点睛：本题的关键是根据题意得出集合B 中的元素个数为1个或3个.第Ⅱ卷（共70分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 【答案】(){}3,7−【分析】首先根据方程组求出其解，然后运用列举法表示出对应的解集即可（以有序数对(),a b 的形式表示元素）.【详解】因为322327x y x y +=⎧⎨−=⎩，所以37x y =⎧⎨=−⎩，所以列举法表示解集为：(){}3,7−.故答案为(){}3,7−.【点睛】本题考查二元一次方程组解集的列举法表示，难度较易.二元一次方程组的解用列举法表示时，可将元素表示成有序数的形式：(),x y . 12. 【答案】(],2−∞【分析】根据题意得到(1,1)− (25,+)m −∞，再利用数轴得到不等式，解出不等式即可. 【详解】||<1,1<<1x x ∴−>25x m −是||1x <的必要不充分条件,(1,1)∴− (25,+)m −∞,251,2m m ∴−≤−∴≤, ∴实数m 的取值范围是(,2]−∞,故答案为： (,2]−∞. 13. 【答案】0【分析】由集合相等的含义，分类讨论元素对应关系即可. 【详解】由集合元素互异性：0a ≠，又{}2,0,1{,,0}a a b −=，则21a a b ⎧=⎨=−⎩或21a ba ⎧=⎨=−⎩，解得11a b =⎧⎨=−⎩或11a b =−⎧⎨=⎩，故0a b += 故答案为：0 14. 【答案】0a ≥【分析】分别讨论A =∅和A ≠∅两种情况求解.【详解】因为A B ⋂=∅， 若3a >，则A =∅，满足题意；若3a ≤，则应满足0a ≥，所以03a ≤≤， 综上，0a ≥. 故答案为：0a ≥.15. 【答案】 ①. {|0a a <或}1a = ②. 14⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】分情况解集合B ，再根据“全食”与“偏食”的概念分析集合中元素满足的关系列式求解即可. 【详解】由{}2B x x a ==|可知，当a<0时，B =∅，此时B A ⊆； 当0a =时，{}0B =，此时A B ⋂=∅，当0a >时，{B =； 又11,,12A ⎧⎫=−⎨⎬⎩⎭，若A 与B 构成“全食”，则B A ⊆， 当a<0时，满足题意；当0a =时，不合题意；当0a >时，要使B A ⊆，则{}1,1B =−1=，解得1a =； 综上，A 与B 构成“全食”时，a 的取值范围是{|0a a <或}1a =； 若A 与B 构成“偏食”时，显然0a ≤时，不满足题意，当0a >时，由A B ⋂≠∅，所以11,22B ⎧⎫=−⎨⎬⎩⎭12=，解得14a =，此时a 的取值范围是14⎧⎫⎨⎬⎩⎭.故答案为：{|0a a <或}1a =；14⎧⎫⎨⎬⎩⎭三、解答题（本大题共4小题，共45分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）16. 【答案】（1）(1,1]A B ⋂=−，(1,)UA B ⋃=−+∞；（2）(0,1]【分析】（1）解一元一次不等式求集合A ，再应用集合的交并补运算求A B ⋂及()UA B ⋃.（2）由集合的包含关系可得2a ≤2，结合已知即可得a 的取值范围． 【小问1详解】由211x −≤得：1x ≤，所以(,1]A ∞=−，则(1,)UA =+∞，由(1,2]B =−，所以(1,1]A B ⋂=−，(1,)UA B ⋃=−+∞．【小问2详解】 因为C B ⊆且0a >， 所以2a ≤2，解得1a ≤． 所以a 的取值范围是(0,1]． 17. 【答案】（1）34m ≤ （2）1m =−【分析】（1）根据根的判别式列不等式，然后解不等式即可；（2）根据韦达定理得到1223x x m +=−+，212x x m =，然后代入求解即可.【小问1详解】因为有两个实根，所以()222341290m m m ∆=−−=−+≥，解得34m ≤. 【小问2详解】由题意得()122323x x m m +=−−=−+，212x x m =，所以2236m m −+=−，整理得 ()()310m m −+=，解得3m =或-1，因为34m ≤，所以1m =−. 18. 【答案】答案见解析【分析】分别求解集合,A B ，并求解三个条件的集合，再根据必要不充分条件，转化为集合的包含关系，即可列式求解. 【详解】不等式8831100222x x x x x x +++>⇔−>⇔<−−−，即()()320x x +−<， 解得：32x −<<，即{}32A x x =−<<，()()22240220x mx m x m x m −+−<⇔−−−+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，解得：22m x m −<<+，即{}22B x m x m =−<<+， 若选①，{3UA x x =≤−或2}x ≥，:p {3U x A x x ∈=≤−或2}x ≥，{}:22q x B x m x m ∈=−<<+，若p 是q 的必要不充分条件，则BUA ,即23m +≤−或22m −≥，解得：5m ≤−或4m ≥；所以存在实数m ，使得p 是q 的必要不充分条件，m 的范围为5m ≤−或4m ≥； 若选②，{}12A C x x ⋂=−<<，:p {}12x A C x x ∈⋂=−<<，{}:22q x B x m x m ∈=−<<+，若p 是q 的必要不充分条件，则B ()A C ,则2122m m −≥−⎧⎨+≤⎩，解集为∅；所以不存在实数m ，使得p 是q 的必要不充分条件； 若选③，{}34A C x x ⋃=−<<，:p {}34x A C x x ∈⋃=−<<，{}:22q x B x m x m ∈=−<<+，若p 是q 的必要不充分条件，则B ()A C ,则2324m m −≥−⎧⎨+≤⎩，解得：12m −≤≤；所以存在实数m ，使得p 是q 的必要不充分条件，m 的取值范围为12m −≤≤； 19. 【答案】（1）答案见解析 （2）不具有，理由见解析【分析】（1）根据集合A 具有性质J 的定义即可得出答案；（2）当6n =，4m =时，利用反证法即可得出结论. 【小问1详解】当3n =时，{}1,2,3A =，集合A 的所有二元子集为{}{}{}1,2,1,3,2,3，则满足题意得集合B 可以是{}1或{}2或{}3，此时1m =， 或者也可以是{}1,2或{}1,3或{}2,3，此时2m =； 【小问2详解】当6n =，4m =时，{}1,2,3,4,5,6A =，假设存在集合B ，即对任意的()1234,,,,4,114i A A A A B B A i =⋂≤≤≤，则取{}{}{}{}12341,2,3,4,5,6,2,3A A A A ====，（4A 任意构造，符合题意即可） 此时由于4B =，由抽屉原理可知，必有()223i B A i ⋂=≤≤， 与题设矛盾，假设不成立， 所以集合A 是不具有性质J .【点睛】关键点点睛：此题对学生的抽象思维能力要求较高，特别是对数的分析，在解题时注意对新概念的理解与把握是解题的关键.。
2020-2021学年北京市首师大附中高三(上)开学数学试卷
2020-2021学年北京市首师大附中高三（上）开学数学试卷一、单选题（共10题，每题4分，共40分）1. 设i 为虚数单位，则复数i(3+i)=( ) A.1+3i B.−1+3i C.1−3i D.−1−3i【答案】 B【考点】 复数的运算复数代数形式的乘除运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：i(3+i)=3i +i 2=−1+3i ． 故选B .2. 函数f(x)＝tan (x +π6)的最小正周期为（ ） A.π3 B.π2C.πD.2π【答案】 C【考点】三角函数的周期性 【解析】由题意利用函数f(x)＝A tan (ωx +φ)的最小正周期为πω，得出结论．【解答】函数f(x)＝tan (x +π6)的最小正周期为π1=π，3. 已知向量a →=(1, −12)，b →=(−2, m)，若a →与b →共线，则|b →|＝（ ）A.√3B.√5C.√6D.2√2【答案】 B【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得m ＝(−12)×(−2)＝1，即可得b →=(−2, 1)；由向量模的计算公式计算可得答案． 【解答】根据题意，向量a →=(1, −12)，b →=(−2, m)，若a →与b →共线，则有m ＝(−12)×(−2)＝1，则b →=(−2, 1)；则|b →|=√4+1=√5；4. 在二项式(1−2x)5的展开式中，x 3的系数为（ ） A.40B.−40C.80D.−80【答案】 D【考点】二项式定理及相关概念 【解析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于3，求出r 的值，即可求得展开式中的x 3系数． 【解答】(1−2x)5展开式的通项公式为 C 5r⋅(−2x)r ，故令r ＝3，可得其中的x 3系数为C 53⋅(−2)3＝−80，5. 下列函数中，既是偶函数又在(0, +∞)上单调递减的是（ ） A.y ＝x −2B.y ＝|ln x|C.y ＝2−xD.y ＝x sin x【答案】 A【考点】奇偶性与单调性的综合 【解析】根据函数性质，分别判断两个函数的奇偶性和单调性即可． 【解答】A ．f(x)是偶函数，且在(0, +∞)上是减函数，满足条件B ．函数的定义域为(0, +∞)，函数为非奇非偶函数，不满足条件．C ．函数为非奇非偶函数，不满足条件．D ．f(−x)＝−x sin (−x)＝x sin x ＝f(x)，f(x)为偶函数，在(0, +∞)不具备单调性，不满足条件．6. 将函数f(x)＝cos 2x 图象上所有点向左平移π4个单位长度后得到函数g(x)的图象，如果g(x)在区间[0, a]上单调递减，那么实数a 的最大值为（ ） A.π8B.π4C.π2D.34π【答案】 B【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】根据条件先求出g(x)的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可． 【解答】将函数f(x)＝cos 2x 图象上所有点向左平移π4个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g(x)＝cos 2(x +π4)＝cos (2x +π2)，设θ＝2x +π2，则当0<x ≤a 时，0<2x ≤2a ，π2<2x +π2≤2a +π2，即π2<θ≤2a +π2，要使g(x)在区间[0, a]上单调递减， 则2a +π2≤π得2a ≤π2，得a ≤π4，即实数a 的最大值为π4，7. 设点A ，B ，C 不共线，则“(AB →+AC →)⊥BC →”是“|AB →|=|AC →|”（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】 C【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】由于点A ，B ，C 不共线，则(AB →+AC →)⊥BC →⇔(AB →+AC →)⋅BC →=0⇔(AB →+AC →)⋅(AC →−AB →)=AC →2−AB →2=0⇔AC →2=AB →2⇔“|AB →|=|AC →|”，根据充分必要条件的定义判断即可． 【解答】由于点A ，B ，C 不共线，则(AB →+AC →)⊥BC →⇔(AB →+AC →)⋅BC →=0⇔(AB →+AC →)⋅(AC →−AB →)=AC →2−AB →2=0⇔AC →2=AB →2⇔“|AB →|=|AC →|”； 故“(AB →+AC →)⊥BC →”是“|AB →|=|AC →|”的充分必要条件．8. 有一改形塔几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（ ）A.8B.7C.6D.4【答案】 A【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积 【解析】则从下往上第二层正方体的棱长为：√42+42=4√2，从下往上第三层正方体的棱长为：√(2√2)2+(2√2)2=4，从下往上第四层正方体的棱长为：√22+22=2√2，以此类推，能求出改形塔的最上层正方体的边长小于1时该塔形中正方体的个数的最小值的求法． 【解答】最底层正方体的棱长为8，则从下往上第二层正方体的棱长为：√42+42=4√2， 从下往上第三层正方体的棱长为：√(2√2)2+(2√2)2=4， 从下往上第四层正方体的棱长为：√22+22=2√2， 从下往上第五层正方体的棱长为：√(√2)2+(√2)2=2， 从下往上第六层正方体的棱长为：2+12=√2，从下往上第七层正方体的棱长为：(√22)(√22)=1，从下往上第八层正方体的棱长为：√(12)2+(12)2=√22， ∴ 改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（8）9. 某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（ ）A.1B.2C.3D.0【答案】C【考点】由三视图求体积【解析】由三视图还原原几何体，借助于正方体可得三棱锥的表面中直角三角形的个数．【解答】由三视图还原原几何体如图，其中△ABC，△BCD，△ADC为直角三角形．∴该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（3）10. 在声学中，声强级L（单位：dB）由公式L=101g(I10−12)给出，其中I为声强（单位：W/m2）．L1＝60dB，L2＝75dB，那么I1I2=()A.1045 B.10−45 C.−32D.10−32【答案】D【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】由L=101g(I10−12)得lg I=L10−12，分别算出I1和I2的值，从而得到I1I2的值．【解答】∵L=101g(I10−12)，∴L＝10(lg I−lg10−12)＝10(lg I+12)，∴lg I=L10−12，当L1＝60时，lg I1=L110−12=6010−12=−6，∴I1＝10−6，当L2＝75时，lg I2=L210−12=7510−12=−4.5，∴I2＝10−4.5，∴I1I2=10−610−4.5=10−1.5=10−32，二、填空题（共5题，每题5分，共25分）已知抛物线y 2＝2px 的焦点与双曲线x 24−y 2＝1的右顶点重合，则抛物线的焦点坐标为________；准线方程为________．【答案】 (2, 0),x ＝−2 【考点】圆锥曲线的综合问题 【解析】由双曲线方程求得双曲线的右顶点坐标，可得抛物线的焦点坐标，进一步求得抛物线的准线方程． 【解答】 双曲线x 24−y 2＝1的右顶点坐标为(2, 0)，即抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(2, 0)； 则抛物线的直线方程为x ＝−(2)(x +1)7的展开式中x 3的系数是________．【答案】 35【考点】二项式定理及相关概念 【解析】利用二项式定理求得(x +1)7的展开式的通项公式，进而求得结果． 【解答】∵ (x +1)7的展开式的通项公式为T r+1＝C 7r x 7−r，r ＝0，1，…，7， ∴ (x +1)7的展开式中x 3的系数为C 74=(35)在△ABC 中，∠ABC ＝60∘，BC ＝2AB ＝2，E 为AC 的中点，则AB →⋅BE →=________． 【答案】 −1【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】先在△ABC 中，利用余弦定理，算出AC =√3，确定△ABC 是以A 为直角的直角三角形，然后AB →⋅BE →=AB →⋅(AE →−AB →)，结合平面向量数量积的运算法则求解即可． 【解答】由于∠ABC ＝60∘，BC ＝2AB ＝2，根据余弦定理可知，AC 2＝AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cos ∠ABC =1+4−2×1×2×12=3，∴ AC =√3，△ABC 为直角三角形，且A 为直角，∴ AB →⋅BE →=AB →⋅(AE →−AB →)=AB →⋅AE →−AB →2=0−12=−1．已知两点A(−1, 0)，B(1, 0)，若直线x −y +a ＝0上存在点P(x, y)满足AP →⋅BP →=0，则实数a 满足的取值范围是________． 【答案】[−√2, √2] 【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】问题转化为求直线l 与圆x 2+y 2＝1有公共点时，a 的取值范围，利用数形结合思想能求出结果． 【解答】∵ 直线l:x −y +a ＝0，点A(−1, 0)，B(1, 0)， 直线l 上存在点P 满足AP →⋅BP →=0，∴ P 的轨迹方程是x 2+y 2＝（1）∴ 如图，直线l 与圆x 2+y 2＝1有公共点， ∴ 圆心O(0, 0)到直线l:x −y +a ＝0的距离： d =√2≤1，解得−√2≤a ≤√2．∴ 实数a 的取值范围为[−√2, √2]． 故答案为：[−√2, √2]．集合A ={(x, y)||x|+|y|=a, a >0}，B ={(x, y)||xy|+1=|x|+|y|}，若A ∩B 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为________． ①a 的值可以为2； ②a 的值可以为√2； ③a 的值可以为2+√2；【答案】②③【考点】两角和与差的正切公式集合关系中的参数取值问题【解析】根据曲线性质求出集合A，B对应的图象，结合两角和差的正切公式进行求解即可．【解答】解：A={(x, y)||x|+|y|=a, a>0}，x≥0，y≥0时，即x+y=a表示在第一象限内的线段，将x，y分别换成−x，−y方程不变，因此|x|+|y|=a关于x轴对称，也关于y轴对称，那么，集合A={(x, y)||x|+|y|=a, a>0}表示点集为正方形.∵|xy|+1=|x|+|y|，∴|xy|−|x|−|y|+1=0，即(|x|−1)(|y|−1)=0，∴|x|=1或|y|=1，即x=±1或y=±1，∴B={(x, y)|x=±1, 或y=±1}，表示2组平行线，A∩B为8个点，构成正八边形.①如图1，∠AOB=45∘,又A(1, a−1)，∴tan∠xOA=a−1，tan∠AOB=tan2∠xOA=2tan∠xOA1−tan2∠xOA =2(a−1)1−(a−1)2=1，即2a−2=2a−a2，∴a2=2, ∵a>0，∴a=√2.②如图2，∠AOB=45∘,又A(a−1, 1),∴tan∠xOA=1a−1，tan∠AOB=tan2∠xOA=2tan∠xOA 1−tan2∠xOA=2a−11−(1a−1)2=2(a−1)(a−1)2−1=1，即2a−2=−2a+a2，∴a2−4a+2=0，解得a=2+√2或a=2−√2（舍去），综上a=√2或a=2+√2．故答案为：②③.三、解答题（共6小题，共85分，每题必须写出详细的解答过程）已知△ABC，满足a=√7，b＝2，______，判断△ABC的面积S>2是否成立？说明理由．从①A=π3，②cos B=√217这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】选①，△ABC的面积S>2成立，理由如下：当A=π3时，cos A=12=4+c2−72⋅2c，所以c2−2c−3＝0，所以c＝3，则△ABC的面积S=12bc sin A=12×2×3×sinπ3=32√3，因为32√3=√274>√4=2，所以S>2成立．选②，△ABC的面积S>2不成立，理由如下：当cos B=√217时，cos B=a2+c2−b22ac=√217，即22√7c=√217，整理得，c2−2√3c+3=0，所以c=√3，因a2＝7，b2+c2＝4+3＝7，所以△ABC是A为直角的三角形，所以△ABC的面积S=12bc=12×2×√3=√3<2，所以不成立．【考点】余弦定理【解析】选①，先利用余弦定理可解得c＝3，从而求得三角形面积为3√32，由此作出判断；选②，先利用余弦定理可得c=√3，结合已知条件可知△ABC是A为直角的三角形，进而求得面积为√3，此时S>2不成立．【解答】选①，△ABC的面积S>2成立，理由如下：当A=π3时，cos A=12=4+c2−72⋅2c，所以c2−2c−3＝0，所以c＝3，则△ABC的面积S=12bc sin A=12×2×3×sinπ3=32√3，因为32√3=√274>√4=2，所以S>2成立．选②，△ABC的面积S>2不成立，理由如下：当cos B=√217时，cos B=a2+c2−b22ac=√217，即22√7c=√217，整理得，c2−2√3c+3=0，所以c=√3，因a2＝7，b2+c2＝4+3＝7，所以△ABC是A为直角的三角形，所以△ABC的面积S=12bc=12×2×√3=√3<2，所以不成立．2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人．某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如表：(Ⅱ)从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X为选出的中年员工的人数，求X的分布列和数学期望．【答案】（1）该单位员工共140+180+80＝400人，抽取的老年员工140×20400=7人，中年员工180×20400=9人，青年员工80×20400=4人．（2）X的可取值为0，1，2，P(X=0)=C32C82=328，P(X=1)=C31⋅C51C82=1528，P(X=0)=C52C82=1028．所以X的分布列为数学期望E(X)=0×328+1×1528+2×1028=54．【考点】离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差【解析】(Ⅰ)先算出该单位的所有员工数量，再根据分层抽样的特点，逐一求解样本中老年、中年、青年员工的数量即可．(Ⅱ)随机变量X的可取值为0，1，2，结合超几何分布计算概率的方式逐一求取每个X 的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．【解答】（1）该单位员工共140+180+80＝400人，抽取的老年员工140×20400=7人，中年员工180×20400=9人，青年员工80×20400=4人．（2）X的可取值为0，1，2，P(X=0)=C32C82=328，P(X=1)=C31⋅C51C82=1528，P(X=0)=C52C82=1028．所以X的分布列为数学期望E(X)=0×328+1×1528+2×1028=54．如图，已知四边形ABCD为菱形，且∠A＝60∘，取AD中点为E．现将四边形EBCD沿BE折起至EBHG，使得∠AEG＝90∘．(Ⅰ)求证：AE⊥平面EBHG；(Ⅱ)求二面角A−GH−B的余弦值；(Ⅲ)若点F 满足AF →=λAB →，当EF // 平面AGH 时，求λ的值．【答案】（1）证明：在左图中，△ABD 为等边三角形，E 为AD 中点 所以BE ⊥AD ，所以BE ⊥AE ． 因为∠AEG ＝90∘， 所以GE ⊥AE ．因为GE ⊥AE ，BE ⊥AE ，GE ∩BE ＝E 所以AE ⊥平面EBHG ．（2） 设菱形ABCD 的边长为2，由(Ⅰ)可知GE ⊥AE ，BE ⊥AE ，GE ⊥BE ．所以以E 为原点，EA ，EB ，EG 所在直线分别为x ，y ，z 轴， 建立如图空间坐标系可得A(1, 0, 0)，B(0,√3,0)，G(0, 0, 1)，H(0,√3,2)．AG →=(−1,0,1)，AH →=(−1,√3,2)设平面AGH 的法向量为n →=(x,y,z)，所以{n →⋅AG →=0n →⋅AH →=0，即{−x +z =0−x +√3y +2z =0． 令x ＝1，则n →=(1,−√33,1)． 平面EBHG 的法向量为EA →=(1,0,0)．设二面角A −GH −B 的大小为θ(θ<900)cos θ=|cos <n →,EA →>=√217． (Ⅲ) 由AF →=λAB →，则F(1−λ,√3λ,0)， 所以EF →=(1−λ,√3λ,0)．因为EF // 平面AGH ，则n →⋅EF →=0． 即1−2λ＝（0） 所以λ=12．【考点】二面角的平面角及求法 直线与平面平行 直线与平面垂直【解析】(Ⅰ)只需证明GE ⊥AE ，BE ⊥AE ，GE ∩BE ＝E ，由线面垂直的判定定理可得证明； (Ⅱ)以E 为原点，EA ，EB ，EG 所在直线分别为x ，y ，z 轴，求得平面AGH 的法向量和平面EBHG 的法向量．设二面角A −GH −B 的大小为θ(θ<900)，即可得到所求值； (Ⅲ) 由AF →=λAB →，则F(1−λ,√3λ,0)，由n →⋅EF →=0．计算可得所求值． 【解答】（1）证明：在左图中，△ABD 为等边三角形，E 为AD 中点 所以BE ⊥AD ，所以BE ⊥AE ． 因为∠AEG ＝90∘， 所以GE ⊥AE ．因为GE ⊥AE ，BE ⊥AE ，GE ∩BE ＝E 所以AE ⊥平面EBHG ．（2） 设菱形ABCD 的边长为2，由(Ⅰ)可知GE ⊥AE ，BE ⊥AE ，GE ⊥BE ．所以以E 为原点，EA ，EB ，EG 所在直线分别为x ，y ，z 轴， 建立如图空间坐标系可得A(1, 0, 0)，B(0,√3,0)，G(0, 0, 1)，H(0,√3,2)．AG →=(−1,0,1)，AH →=(−1,√3,2)设平面AGH 的法向量为n →=(x,y,z)，所以{n →⋅AG →=0n →⋅AH →=0，即{−x +z =0−x +√3y +2z =0． 令x ＝1，则n →=(1,−√33,1)． 平面EBHG 的法向量为EA →=(1,0,0)．设二面角A −GH −B 的大小为θ(θ<900)cos θ=|cos <n →,EA →>=√217． (Ⅲ) 由AF →=λAB →，则F(1−λ,√3λ,0)，所以EF →=(1−λ,√3λ,0)．因为EF // 平面AGH ，则n →⋅EF →=0． 即1−2λ＝（0） 所以λ=12．已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F(1, 0)，离心率为√22．直线l 过点F 且不平行于坐标轴，l 与C 有两交点A ，B ，线段AB 的中点为M ． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(Ⅲ)延长线段OM 与椭圆C 交于点P ，若四边形OAPB 为平行四边形，求此时直线l 的斜率． 【答案】（1）由题意可知，c ＝1，e =ca =√22， ∵ a 2＝b 2+c 2，∴ a =√2,b =1， ∴ 椭圆的方程为x 22+y 2=1．（2）设直线l 的方程为y ＝k(x −1)(k ≠0)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 联立{y =k(x −1)x 22+y 2=1，消去y 得，(2k 2+1)x 2−4k 2x +2k 2−2＝0， 则x 1+x 2=4k 22k 2+1，∵ M 为线段AB 的中点，∴ x M =x 1+x 22=2k 22k 2+1，y M =k(x M −1)=−k2k 2+1，∴ k OM =y M x M=−12k ，∴ k OM ⋅k l =−12k ×k =−12为定值．(Ⅲ)若四边形OAPB 为平行四边形，则OA →+OB →=OP →，∴ x P =x 1+x 2=4k 22k 2+1，y P =y 1+y 2=k(x 1+x 2)−2k =−2k2k 2+1， ∵ 点P 在椭圆上，∴ (4k 22k 2+1)2+2×(−2k2k 2+1)2=2，解得k 2=12，即k =±√22，∴ 当四边形OAPB 为平行四边形时，直线l 的斜率为k =±√22． 【考点】直线与椭圆的位置关系 椭圆的标准方程 椭圆的应用 【解析】(Ⅰ)由题可知，c ＝1，e =c a=√22，再结合a 2＝b 2+c 2，解出a 和b 的值即可得解；(Ⅱ)设直线l 的方程为y ＝k(x −1)(k ≠0)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立直线l 的方程和椭圆的方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，写出两根之和与系数的关系；由于M 为线段AB 的中点，利用中点坐标公式可用k 表示点M 的坐标，利用k OM =y M x M可求出直线OM 的斜率，进而得解；(Ⅲ)若四边形OAPB 为平行四边形，则OA →+OB →=OP →，利用平面向量的线性坐标运算可以用k 表示点P 的坐标，再将其代入椭圆方程即可得到关于k 的方程，解之即可得解． 【解答】（1）由题意可知，c ＝1，e =ca =√22， ∵ a 2＝b 2+c 2，∴ a =√2,b =1， ∴ 椭圆的方程为x 22+y 2=1．（2）设直线l 的方程为y ＝k(x −1)(k ≠0)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 联立{y =k(x −1)x 22+y 2=1 ，消去y 得，(2k 2+1)x 2−4k 2x +2k 2−2＝0， 则x 1+x 2=4k 22k 2+1，∵ M 为线段AB 的中点，∴ x M =x 1+x 22=2k 22k 2+1，y M =k(x M −1)=−k2k 2+1，∴ k OM =y M x M=−12k，∴ k OM ⋅k l =−12k ×k =−12为定值．(Ⅲ)若四边形OAPB 为平行四边形，则OA →+OB →=OP →，∴ x P =x 1+x 2=4k 22k 2+1，y P =y 1+y 2=k(x 1+x 2)−2k =−2k2k 2+1， ∵ 点P 在椭圆上，∴ (4k 22k 2+1)2+2×(−2k2k 2+1)2=2，解得k 2=12，即k =±√22， ∴ 当四边形OAPB 为平行四边形时，直线l 的斜率为k =±√22．已知函数，f(x)＝x 2(x >0)，g(x)＝a ln x(a >0)．(Ⅰ)若f(x)>g(x)恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)当a ＝1时，过f(x)上一点(1, 1)作g(x)的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由．【答案】令ℎ(x)＝f(x)−g(x)＝x 2−a ln x(x >0)， 所以ℎ′(x)＝2x −ax =2x 2−a 2x，令ℎ′(x)=2x 2−a 2x =0，解得x =√a 2，当x 变化时，ℎ′(x)，ℎ(x)的变化情况如下表：所以在(0, +∞)的最小值为ℎ(√a2)=a2−a ln √a2=a2−a2ln a2，令ℎ(√a2)>0，解得0<a <2e ，所以当0<a <2e 时，ℎ(x)>0恒成立，即f(x)>g(x)恒成立． （2）可作出2条切线．理由如下：当a ＝1时，g(x)＝ln x ，设过点(1, 1)的直线l 与g(x)＝ln x 相切于点P(x 0, y 0)，g′(x 0)=y 0−1x 0−1，即1x 0=y 0−1x 0−1，整理得x 0ln x 0−2x 0+1＝0，令m(x)＝x ln x −2x +1，则m(x)在(0, +∞)上的零点个数与切点P 的个数一一对应，m′(x)＝ln x −1，令m′(x)＝ln x −1＝0解得x ＝e ． 当x 变化时，m′(x)，m(x)的变化情况如下表：所以m(x)在(0, e)上单调递减，在(e, +∞)上单调递增，且m(1e 2)=1e 2ln 1e 2−2e 2+1=−4e 2+1>0，m(e)＝e ln e −2e +1＝−e +1<0，m(e 2)＝e 2ln e 2−2e 2+1＝1>0，所以m(x)在(1e 2, e)和(e, e 2)上各有一个零点， 即x ln x −2x +1＝0有两个不同的解， 所以过点(1, 1)可以作出2条切线． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 利用导数研究函数的最值【解析】(Ⅰ)令ℎ(x)＝f(x)−g(x)＝x 2−a ln x(x >0)，则ℎ′(x)=2x 2−a 2x，利用当x 变化时，ℎ′(x)，ℎ(x)的变化情况可得当0<a <2e 时，ℎ(x)>0恒成立，即f(x)>g(x)恒成立； (Ⅱ)当a ＝1时，g(x)＝ln x ，设过点(1, 1)的直线l 与g(x)＝ln x 相切于点P(x 0, y 0)，则1x 0=y 0−1x 0−1，整理得x 0ln x 0−2x 0+1＝0，令m(x)＝x ln x −2x +1，则m(x)在(0, +∞)上的零点个数与切点P 的个数一一对应，m′(x)＝ln x −1，令m′(x)＝ln x −1＝0解得x ＝e ．通过对x 变化时，m′(x)，m(x)的变化情况的分析，可得答案． 【解答】令ℎ(x)＝f(x)−g(x)＝x 2−a ln x(x >0)， 所以ℎ′(x)＝2x −ax =2x 2−a 2x，令ℎ′(x)=2x 2−a 2x =0，解得x =√a2，当x 变化时，ℎ′(x)，ℎ(x)的变化情况如下表：所以在(0, +∞)的最小值为ℎ(√a 2)=a 2−a ln √a 2=a 2−a 2ln a 2，令ℎ(√a 2)>0，解得0<a <2e ，所以当0<a <2e 时，ℎ(x)>0恒成立，即f(x)>g(x)恒成立． （2）可作出2条切线．理由如下：当a ＝1时，g(x)＝ln x ，设过点(1, 1)的直线l 与g(x)＝ln x 相切于点P(x 0, y 0)，g′(x 0)=y 0−1x 0−1，即1x 0=y 0−1x 0−1，整理得x 0ln x 0−2x 0+1＝0，令m(x)＝x ln x −2x +1，则m(x)在(0, +∞)上的零点个数与切点P 的个数一一对应，m′(x)＝ln x −1，令m′(x)＝ln x −1＝0解得x ＝e ． 当x 变化时，m′(x)，m(x)的变化情况如下表：所以m(x)在(0, e)上单调递减，在(e, +∞)上单调递增，且m(1e 2)=1e 2ln 1e 2−2e 2+1=−4e 2+1>0，m(e)＝e ln e −2e +1＝−e +1<0，m(e 2)＝e 2ln e 2−2e 2+1＝1>0，所以m(x)在(1e2, e)和(e, e2)上各有一个零点，即x ln x−2x+1＝0有两个不同的解，所以过点(1, 1)可以作出2条切线．有限个元素组成的集合A＝{a1, a2, ..., a n}，n∈N∗，记集合A中的元素个数为card(A)，即card(A)＝n．定义A+A＝{x+y|x∈A, y∈A}，集合A+A中的元素个数记为card(A+A)，当card(A+A)=n(n+1)2时，称集合A具有性质P．(Ⅰ)A＝{1, 4, 7}，B＝{2, 4, 8}，判断集合A，B是否具有性质P，并说明理由；(Ⅱ)设集合A＝{a1, a2, a3, 2020}．a1<a2<a3<2020，且a i∈N∗(i＝1, 2, 3)，若集合A具有性质P，求a1+a2+a3的最大值；(Ⅲ)设集合A＝{a1, a2, ..., a n}，其中数列{a n}为等比数列，a i>0(i＝1, 2,…,n)且公比为有理数，判断集合A是否具有性质P并说明理由．【答案】（1）集合A不具有性质P，集合B具有性质P．事实上，∵A＝{1, 4, 7}，∴A+A＝{2, 5, 8, 11, 14}，card(A+A)＝5≠3(3+1)2，故A不具有性质P；∵B＝{2, 4, 8}，∴B+B＝{4, 6, 8, 10, 12, 16}，card(B+B)＝6=3(3+1)2，故B具有性质P．（2）若三个数a，b，c成等差数列，则A＝{a, b, c}不具有性质P，理由是a+c＝2b．∵a1<a2<a3<2020，且a i∈N∗(i＝1, 2, 3)，∴a3≤2019，要使a1+a2+a3取最大，则a3＝2019，a2≤2018，易知{2018, 2019, 2020}不具有性质P，要使a1+a2+a3取最大，则a2＝2017，a1≤2016，要使a1+a2+a3取最大，检验可得a1＝2014；∴(a1+a2+a3)max＝6050；(Ⅲ)集合A具有性质P．设等比数列的公比为q，∴a n=a1q n−1(a1>0)且q为有理数．假设当i<k≤l<j时有a i+a j＝a k+a l成立，则有q j−i＝q k−i+q l−i−(1)∵q为有理数，设q=mn（m，n∈N∗且m与n互质），因此有(m n )j−i=(mn)k−i+(mn)l−i−1，即m j−i＝m k−i n j−k+m l−i n j−l−n j−i．上式左边是m的倍数，右边是n的倍数，而m与n互质，显然a i+a j＝a k+a l不成立．∴card(A+A)=C n1+C n2=n(n+1)2，故集合A具有性质P．【考点】数列与函数的综合【解析】(Ⅰ)由已知集合结合定义求得A+A与B+B，再由性质P的概念判断；(Ⅱ)首先说明若三个数a，b，c成等差数列，则A＝{a, b, c}不具有性质P，由a1<a2< a3<2020，得a3≤2019，结合集合A具有性质P依次求出a3＝2019，a2＝2017，a1＝2014，可得a1+a2+a3的最大值；(Ⅲ)设等比数列的公比为q，得a n=a1q n−1(a1>0)且q为有理数，假设当i<k≤l<j 时有a i+a j＝a k+a l成立，则有q j−i＝q k−i+q l−i−1，设q=mn（m，n∈N∗且m与n互质），因此有(mn )j−i=(mn)k−i+(mn)l−i−1，整理后出现矛盾，说明a i+a j＝a k+a l不成立，得到card(A+A)=C n1+C n2=n(n+1)2，说明集合A具有性质P．【解答】（1）集合A不具有性质P，集合B具有性质P．事实上，∵A＝{1, 4, 7}，∴A+A＝{2, 5, 8, 11, 14}，card(A+A)＝5≠3(3+1)2，故A不具有性质P；∵B＝{2, 4, 8}，∴B+B＝{4, 6, 8, 10, 12, 16}，card(B+B)＝6=3(3+1)2，故B具有性质P．（2）若三个数a，b，c成等差数列，则A＝{a, b, c}不具有性质P，理由是a+c＝2b．∵a1<a2<a3<2020，且a i∈N∗(i＝1, 2, 3)，∴a3≤2019，要使a1+a2+a3取最大，则a3＝2019，a2≤2018，易知{2018, 2019, 2020}不具有性质P，要使a1+a2+a3取最大，则a2＝2017，a1≤2016，要使a1+a2+a3取最大，检验可得a1＝2014；∴(a1+a2+a3)max＝6050；(Ⅲ)集合A具有性质P．设等比数列的公比为q，∴a n=a1q n−1(a1>0)且q为有理数．假设当i<k≤l<j时有a i+a j＝a k+a l成立，则有q j−i＝q k−i+q l−i−(1)∵q为有理数，设q=mn（m，n∈N∗且m与n互质），因此有(m n )j−i=(mn)k−i+(mn)l−i−1，即m j−i＝m k−i n j−k+m l−i n j−l−n j−i．上式左边是m的倍数，右边是n的倍数，而m与n互质，显然a i+a j＝a k+a l不成立．∴card(A+A)=C n1+C n2=n(n+1)2，故集合A具有性质P．。
首都师范大学附属中学2019-2020学年第一学期高一年级月考试卷数学及答案
2019-2020学年首师附第一学期高一年级月考试卷（数学）一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分）1．已知集合A={x|-2＜x ＜2}，B={-2，0，1，2}，则A∩B =A ．{0，1}B ．{-1，0，1}C ．{-2，0，1，2}D ．{-1，0，1，2}2．如果a ＜b ＜0，那么下列不等式成立的是A ．a 1＜b 1B ．ab ＜b 2C ．-ab ＜-a 2D ．-a 1＜-b1 3．若-1≤x ＜y ≤1，则x-y 的取值范围为A ．[-2，2]B ．[-2，0）C ．（0，2]D ．（-2，2）4．已知a+b ＞0，b ＜0，那么a ，b ，-a ，-b 的大小关系是A ．a ＞b ＞-b ＞-aB ．a ＞-b ＞-a ＞bC ．a ＞-b ＞b ＞-aD ．a ＞b ＞-a ＞-b5．“x ＞3”是“x 2-5x+6＞0”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知集合P={x|x 2≤1}，M={a}，若P ∪M=P ，则a 的取值范围是A ．（-∞，-1]B ．[1，+∞）C ．[-1，1]D ．（-∞，-1]∪[1，+∞）7．给出下列命题： ①∃x ∈Z ，使x 3＜1； ②∃x ∈Q ，使x 2=2；③∀x ∈N ，使x 3＞x 2； ④∀x ∈R ，使x 2+x+1＞0其中正确的命题是A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④8．已知集合A ，B ，C 中，A ⊆B ，A⊆C ，若B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，则A 的子集最多有A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个9．如图所示，I 是全集，A ，B ，C 是I 的子集，则阴影部分表示的集合是A ．（A ∩B ）∩C B ．（A ∩C I B ）∩CC ．（A ∩B ）∩（C I C ）D ．（C I B ）∪A ∩C10．已知ab ≠0，则“a-b=1”是“a 3-b 3-ab-a 2-b 2=0”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11．若0＜a 1＜a 2，0＜b 1＜b 2，且a 1+a 2=b 1+b 2=1，则下列代数式中值最大的是A ．a 1b 1+a 2b 2B ．a 1a 2+b 1b 2C ．a 1b 2+a 2b 1D ．21 12．用三个不等式a ＞b ，ab ＞0，a 1＜b1中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为A ．0B ．1C ．2D ．313．已知集合A={x|x=2m-1，m ∈Z }，B={x|x=2n ，n ∈Z }，且x 1，x 2∈A ，x 3∈B ，则下列说法不正确的是A ．x 1·x 2∈AB ．x 2·x 3∈BC ．x 1+x 2∈BD ．x 1+x 2+x 3∈A14．设集合A={x|-1≤x ＜2}，B={x|x ＜a}，若A ∩B ≠Φ，则a 的取值范围是A ．（-∞，2）B ．（2，+∞）C ．（-1，+∞）D ．（-1，2]15．由实数x ，-x ，|x|，2x ，-33x 所组成的集合最多含A ．2个元素B ．3个元素C ．4个元素D ．5个元素16．若集合A={x||x|≤1,x ∈R }，B={y|y=x 2,x ∈R }，则A ∩B=A ．{x|-1≤x ≤1}B ．{x|x ≥0}C ．{x|0≤x ≤1}D ．Φ17．不等式(x+1)(|x|-1)＞0成立的充分不必要条件可以是A ．x ∈（1，+∞）B ．x ∈（2，+∞）C ．x ∈（-∞，-1）∪（1，+∞）D ．x ∈（-∞，-1）18．设p ：函数y=3x 2+4x+m 的图像与x 轴无交点，q ：m ≥2-x 2对任意的x ∈R 恒成立，则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件19．关于x 的方程x 2+(m-3)x+7-m=0的两根都大于3，则m 的取值范围是A ．（-∞，1-25）∪（1+25，+∞）B ．（-27，1-25] C ．（-∞，-27）∪（1-25，+∞） D ．（-∞，1-25] 20．设计和S={A 0，A 1，A 2，A 3，A 4，A 5}，在S 上定义运算“⊕”为：A i ⊕A j =A k ，其中k 为i+j被4除的余数，i,j=0,1,2,3,4,5，则满足关系式(x ⊕x)⊕A 2=A 0的x （x ∈S ）的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）21．命题“∃x ∈R ，x 2+x+1＞0”的否定是_______________________________。
首师大附中2020——2020学年度第一学期高一分班考试 考前必背知识点及复习提纲
首师大附中2020——2020学年度第一学期高一分班考试说明考前必背知识点及复习提纲高一年级英语科目（BSD2020秋）考试范围：必修第一册加（第二册选考）第二册（unit 4）加初中的所有内容必修第一册重点词汇Unit 11.senior adj.较高的,高级的2.stressful adj.充满压力的,紧张的3.schedule n.日程表,计划表4.expectation n.预料,预期;期待5.confidence n.自信,信心;信赖6.positive n.优势,优点adj.积极的7.recover vi.恢复健康,康复8.challenge n.挑战;具有挑战性的事物vt. 向……挑战9.arise vi.(问题或困难)出现,发生10.chat vi.& n.闲谈,聊天11.voluntary adj.志愿的;服务的;自愿的12.various adj.各种各样的;多种(类型)的13.convenient adj.方便的,便利的14.quality n.质量,品质15.aim n.目的,意图vi.力求达到16.reduce vt.减少;降低;缩小17.remove vt.移走;去掉18.position n.职位;位置anise vt.组织,筹划20.seek vt.寻求;请求21.supply n.供应,供给22.feature n.以……为特点;是……的特征23.inspire vt.鼓励,激励24.eager adj.热切的;渴望的25.attractive adj.有吸引力的;好看的,美观的26.contact n.联系,联络ut.(写的打电话)联系(某人)anisation n.组织,团体,机构28.contribution n.贡献29.intend vt.计划,打算,想要rmal adj.非正式的31.all in all总而言之,总的来说32.according to按……所说,根据33.tend to do sth.易于做某事34.suffer from(身体或精神上)遭受……(痛苦)35.due to因为36.in other words换句话说37.graduate from从……毕业38.apply for申请39.give up放弃40.deal with对付,应付,处理41.be responsible for...对……负责42.adapt to sth.适应某事43.look forward to (doing) sth.期待,盼望Unit 21.athlete n.运动员2.frequency n.发生的频率,发生率3.rather than而不是4.gymnastics n.体操5.balanced adj.均衡的6.defeat vt.(在比赛、战争中)战胜,打败7.inspiration n.给人以灵感的人/物;灵感;激励,鼓舞8.replacement n.替换的人(物)9.desire n.渴望10.sharply adv.严厉地,毫不客气地11.announcement n.通告,公告12.in good/bad shape健康状况良好/不佳13.remind vt.使(某人)想起,提醒14.annual adj.一年一度的,每年的15.application n.申请书16.regularly adv.经常;定期地17.relieve vt.减轻,缓解18.awkward adj.令人尴尬的19.benefit n.好处,益处20.equipment n.设备,装备21.principle n.原则,基本的观念22.amount n.数量,数额23.achievable adj.可完成的24.satisfaction n.满足,满意25.amazed adj.大为惊奇的,惊讶的26.response n.回答,答复27.try out for sth.参加选拔;争取成为28.crash into猛撞,猛击29.gather around聚集30.not...anymore不再……31.let sb. down使失望,辜负(别人的信任或期望)32.pay off取得成功;奏效33.keep up with跟上,保持同步34.in case以防万一35.sign up报名36.warm-up做热身运动,准备活动37.ought to aux.应该,应当38.cheer up(使)高兴起来,(使)振作起来39.be fed up with厌烦的,不满的,无法再忍受的40.in particular尤其,特别41.be capable of有能力做42.make sure确保43.take advantage of sth.利用某物Unit 31.occasion n.重要的社交活动;时刻;时候2.graduation n.毕业3.congratulation n.恭喜,祝贺4.decorate vt.&vi.装饰,布置,美化5.tradition n.传统6.immediately adv.即刻,马上7.decoration n.装饰物8.account n.描述,报道9.summarise vt.&vi.总结,概括10.character n.人物,角色;字,字体11.attach vt.贴;固定;附上12.expectant adj.期待的,期望的13.surround vt.环绕,围绕14.entire adj.全部的,整个的15.throughout prep.在整个期间,自始至终16.original adj.原先的,最早的,最初的17.greet vt.问候,欢迎;打招呼18.appropriately adv.合适地,适当地19.specific adj.具体的,特定的20.represent vt.象征21.fortunate adj.幸运的22.memory n.记忆,回忆23.patience n.耐心;耐力24.behaviour n.行为,举止25.whisper vt.&vi.低声说,低语26.description n.描述,描写27.awesome adj.令人赞叹的;很好的28.select vt.挑选,选拔29.Dragon-Boat Festival 端午节30.lunar month阴历月,农历月31.put up张贴32.let off 使某物爆炸33.sweep away扫除;清除34.upside down倒置地,颠倒地35.scare sb./sth.away把……吓跑36.as far as 就……而言37.in general普遍地38.make an effort尽力39.move in搬来(和某人)一起居住40.over and over再三地,重复地41.catch sb. s eye吸引某人的注意;遇到某人的目光42.pass away去世43.no longer不再44.calm down冷静下来第二册为选考内容（只需要记和背诵课本上的单词即可）Unit 1 单词详解Ⅰ.核心单词(A)写作词汇—写词形1.senior adj.较高的,高级的2. campus n.校园3.schedule n.日程表,计划表4.positive n.优势,优点adj.积极的5.pressure n.压力6.leisure n.空闲,闲暇,业余时间7.recover vi.恢复健康,康复8.challenge n.挑战;具有挑战性的事物vt.向……挑战9.chat vi.& n.闲谈,聊天10. various adj.各种各样的;多种(类型)的11.quality n.质量,品质12.media n.新闻媒体,大众传播媒介(总称)13.aim n.目的,意图vi.力求达到14.update vt.更新15.saying n.格言,谚语16.downtown adv.向/在城镇商业中心区17.expert n.专家,行家18.position n.职位;位置19.seek vt.寻求;请求20.power n.电,电力;力量21.supply n.供应,供给22.feature vt.以……为特色,是……的特征23.attractive adj.有吸引力的;好看的,美观的24.intend vt.计划,打算,想要25.adapt vi.(使)适应(B)阅读词汇—明词义1.secondary adj.中等教育;中级的;次要的2.challenging adj.富有挑战性的3.dynamic adj.充满活力的;精力充沛的petence n.能力,胜任5.negative n.劣势 adj.消极的6.arise vi.(问题或困难)出现,发生7.lifestyle n.生活方式8.digital adj.数字的,数码的9.range n.一系列;范围10.hardware n.(计算机)硬件11.addict n.对……着迷的人12.drag vt.拖,拉13.goal n. 目标,目的14.target n.目标15.ahead adv.在前面;向前16.remove vt.移走;去掉17.absolutely adv.正是,当然18.frank adj.坦率的,坦诚的19.function n.功能20.tough adj.困难的,难办的21.typical adj.平常的;一贯的;典型的22.certificate n.合格证书23.eager adj.热切的;渴望的24.sort n.种,类;类型25.besides adv.除此之外,而且26.contact n. 联系,联络; vt.(写信、打电话)联系(某人)27.personal adj.个人的,私人的28.opportunity n.机会(C)拓展词汇—灵活用1.stressed adj.焦虑的,紧张的→stress n.压力;忧虑;紧张v.强调→stressful adj.使紧张的,压力重的2.differ vi.不同,不一样,有区别→difference n.不同,差别→different adj.不同的3.expectation n.期待,预料,预期→ expect v.期望,预料4.confidence n.自信,信心;信赖→confident adj.自信的,有信心的5.injury n. 伤,损害→injure vt.伤害,损害6.unfortunately adv.不幸地;令人遗憾地→fortunate adj.幸运的,交好运的→ fortunately adv. 幸运地7.voluntary adj.志愿的;服务的;自愿的→ volunteer vi.& vt.自愿做;义务做n.志愿者8.convenient adj.方便的,便利的→ conveniently adv.便利地,方便地→convenience n.便利,便利的事物9.suffer vi.& vt.遭受(痛苦)→ suffering n. 痛苦,苦难10.reduce vt.减少;降低;缩小→ reduction n. 减少,降低,缩小anise vt.组织,筹划→ organisation n.组织,团体,机构12.professional adj.专业的,职业的→profession n. 职业,行业13.graduate v.毕业→graduation n.毕业,毕业典礼→undergraduaten. 大学本科生14.inspire vt.鼓励,激励→inspiring adj. 鼓舞人心的→inspirationn. 灵感,鼓舞15.independently adv. 独立地,自立地→independent adj.独立的; 单独的→independence n.独立,自主16.apply vi.申请;请求→application n. 应用,申请,应用程序17.responsible adj. 负责的;有责任心的→responsibly adv. 认真负责地,可信赖地→response n. 响应,反应,回答→responsibility n. 责任,职责,义务18.contribution n.贡献→contribute v.贡献,捐献Ⅱ.重点短语1.deal with 对付,应付,处理2.all in all 总而言之,总的来说3.surf the Internet 网上冲浪,浏览因特网4.from time to time 有时;偶尔;间或5.according to按……所说,根据6.in person 亲自7.tend to do sth. 易于做某事8.get ahead 取得进步,获得成功9.suffer from (身体或精神上)遭受……(痛苦)10.to be frank坦白说,坦率地说11.more often than not通常;多半12.due to因为13.in other words换句话说14.graduate from从……毕业15.apply for申请16.sort of 有几分,有点17.give up放弃18.be responsible for 对……负责19.as well as……以及……20.make a contribution to捐赠,贡献给;为……做出贡献21.adapt to sth.适应某事22.at the moment此刻,目前,眼下23.look forward to (doing) sth.期待,盼望Unit 2 详细解答Ⅰ.核心单词(A)写作词汇—写词形1.athlete n.运动员2.prefer vt.更喜欢3.rather adv.有点儿;而是4.balanced adj.均衡的5.diet n.日常饮食6.defeat vt.(在比赛、战争中)战胜,打败7.bounce vi. & vt.(使)弹起,(使)反弹8.system n.系统9.particular n.尤其,特别adj.特定的10.benefit n.好处;益处11.prevent vt.预防;阻止,阻挡12.guideline n.指导方针,指导原则13.principle n.原则,基本的观念14.amount n.数量,数额15.shortcut n.捷径,近路16.earn vt.赢得;博得17.bone n.骨头,骨18.sweat n.汗水19.sight n.视野20.overtake vt.超过21.medal n.奖牌;勋章22.gesture n.姿态;手势;姿势itary n.军队adj.军事的24.adopt v.采取;采纳25.remind vt.使(某人)想起;提醒(B)阅读词汇—明词义1.jog vi. & n. 慢跑2.cycle vi. 骑自行车3.track n.跑道4.within prep.在……之内5.desire n.渴望6.crash vi. & vt. 猛撞7.gather vi. & vt.聚集,聚合8.pack n.包,包裹vi. & vt.把……包起来9.extra adj. 额外的;另外的10.energy n.力量;活力11.clap vi. & vt.鼓掌;拍手12.muscle n. 肌肉13.pirate n. 海盗14.case n. 状况,场合,事例,实例15.quit vi. & vt. 停止(做某事)16.immune adj. 免疫的;有免疫力的17.awkward adj. 令人尴尬的18.membership n. 会员身份19.capable adj. 能干的,能力强的20.upper adj. 较上的,上面的21.oxygen n. 氧22.overnight adv. 突然,一下子23.overdo vt. 把……做得过火24.sportsmanship n. 体育精神25.bronze n. 铜26.regularly adv.定期地;经常27.calorie n. 卡路里28.punch v. 用拳猛打munity n.社区;社会30.routine n.例行程序,常规adj. 例行公事的,日常的,平淡的(C)拓展词汇—灵活用1.weakness n.虚弱,弱点→weak adj.不牢固的,虚弱的,弱的→weaken v.削弱,减弱2.professional n.专业人才adj. 专业的,职业的→profession n.职业; 声明; 同业3.inspiration n. 激励,鼓舞;给人以灵感的人/物;灵感→inspire v.鼓励,激励;赋予灵感→inspired adj.能力卓越的;借助于灵感创作的→inspiring adj.激励人心的; 启发灵感的4.sharply adv.严厉地,急剧地→sharpness n.锋利; 严厉; 锐利; 敏锐→sharpen v.使尖锐, 加重5.crowd n. 人群→crowded adj.拥挤的, 挤满的6.announcement n. 通告,公告→announce v. 发布,宣布;通知;声称→announcer n.播音员;广播员7.defence n. 防守队员,后卫→defend v. 保护;保卫;辩护;防御8.annual adj. 一年一度的,每年的→annually adv.每年一次地9.application n. 申请书→applicant n. 申请人→apply vi.请求;申请10.disappointment n. 失望,扫兴,沮丧→disappoint v.使失望→disappointed adj.失望的, 沮丧的; 失意的→disappointing adj.令人失望的; 令人扫兴的11.amazingly adv.惊人地,了不起地→amazing adj.令人惊异的→amaze v.使吃惊12.regularly adv.经常;定期地→regular n. 正规军人; 老顾客adj.规则的, 经常做(或发生)的→regularity n. 经常性, 规律性→regularizev. 使合法化;使正式存在13.relieve vt. 减轻,缓解→relief n.减轻,缓解14.strengthen vi. & vt.(使)强健→strength n.力,力气,力量;强度→strong adj. 强壮的, 强健的;强劲的15.achievable adj. 可完成的;做得成的→achieve v.实现, 完成; 达到→achiever n.成功者16.satisfaction n.满足,满意→satisfactory adj.令人满意的; 够好的→satisfy v.使满意, 使满足; 使确信→satisfying adj.令人满足的;令人满意的→satisfied adj.感到满意的17.experienced adj.富有经验的→experience n.经验;体验; 经历, 阅历v.经历; 感受; 体验; 遭受→experiential adj.经验的; 根据经验的; 经验得来的18.flexibility n.灵活性→flexible adj.有弹性的, 柔韧的;灵活的19.effective adj.有效的, 实际的→effect n.结果, 效果, 影响v. 使发生; 实现;引起→effectively adv.有效地; 事实上→effectivity n.有效性; 效用, 功能→affect v. 影响; 使感动;假装20.influence n. 影响,支配力→influential adj.有很大影响的; 有支配力的Ⅱ.重点短语1.in good /bad shape 健康状况良好/不佳2.rather than而不是3.keep fit保持健康4.prefer to更喜欢5.up to多达6.on one's own亲自;独自7.have a strong desire to do sth. 有做某事的强烈愿望8.gather around聚集9.not...anymore不再……10.try out for sth.参加选拔;争取成为(团队的一员)11.crash into猛撞,猛击12.pay off 取得成功;奏效13.keep up with 跟上,保持同步14.let sb. down使失望,辜负(别人的信任或期望)15.make it 取得成功16.according to根据,依据17.at the end of 在……的末尾18.no more than 仅仅19.find out找到,发现20.be related to和……有联系21.what's up怎么了22.ought to应该,应当23.in case 以防万一24.warm up做热身运动、准备活动25.focus on致力于……;集中注意力于……26.be based on以……为基础27.reduce the risk of减少……的风险28.as well as ……以及……29.cheer up (使)高兴起来,(使)振作起来30.be fed up with对……感到厌烦31.due to由于,因为32.in particular尤其,特别33.be capable of 有能力34.make sure确保35.after all毕竟,终究,别忘了36.give up放弃37.take advantage of sth. 利用某物38.more than 超过;不仅仅39.catch up with 赶上40.be made of 由……制成41.be amazed at对……感到惊讶bine... with ...将……和……结合起来43.on the one hand... on the other hand 一方面……另一方面……44.work out 锻炼;解决ed to do sth. 过去常常做某事46.catch the attention of引起……的注意47.participate in参加48.go through通过;经历Unit 3 详细解答Ⅰ.核心单词(A)写作词汇—写词形1.lunar adj.阴历的;月球的2.adult n.成人,成年人3.immediately adv.即刻,马上4.gathering n.聚会5.account n.描述,报道6.summarise vi.& vt.总结,概括7. attach vt.贴;固定;附上8.flight n.航班9.retired adj.退休的10.joy n.欢欣,愉快,喜悦11.throughout prep.在整个期间,自始至终12.custom n.风俗,习惯;传统13.specific adj.具体的,特定的14.effort n.努力;力气15.extend vt.提供,给予,表示16.memory n.记忆,回忆17.somehow adv.不知怎的;不知为什么18.whisper vi.& vt.低声说,低语19.merry adj.快乐的20.roll vt.使成筒形(球形) n.一卷;面包卷21.event n.事件;活动22.awesome adj.令人赞叹的;很好的23.downstairs adv.往楼下,在楼下24.nowhere adv.哪儿也见不到25.select vt.挑选,选拔26.calm vi.& vt.(使)平静,(使)镇定(B)阅读词汇—明词义1.dragon n.龙2.barbecue n.烧烤野餐3.sticky adj.黏性的,黏的ntern n.灯笼,提灯5.turkey n.火鸡6.snack n.(正餐以外的)小吃,点心7.wine n.葡萄酒8.hotpot n.火锅9.host n.主人;东道主;主持人10.sweep vt.扫;打扫11.character n.字,字体;人物,角色12.accent n.口音13.teenager n.青少年,十几岁的孩子14.neat adj.整洁的15.stocking n.长筒袜16.slightly adv.略微,稍微17.pole n.地极,北/南极18.envelope n.信封19.stuff vt.给……填馅;填,塞p n.大腿部21.frosty adj.严寒的22.eve n.前夕;前一天23.branch n.树枝24.plate n.盘;碟25.ballet n.芭蕾舞剧,芭蕾舞表演26.affair n.事件27.uniform n.制服28.tear n.眼泪,泪水(C)拓展词汇—灵活用1.occasion n.重要的社交活动;时刻,时候→occasional adj.偶然的, 临时的→occasionally adv.偶然地2.graduation n.毕业→graduate v.毕业n.毕业生3.congratulation n.恭喜,祝贺→congratulate vt.道贺,祝贺4. decorate vi.& vt.装饰,布置,美化→decoration n.装饰物,装饰图案→decorated adj.装修过的;装饰过的5.tradition n.传统→traditional adj.传统的→traditionally adv.传统地6.character n.字,字体;人物,角色→characteristic adj.典型的;独特的n.特征; 特点;品质7.expectant adj.期待的,期望的→expect v.期待,期盼8.scare vt.吓唬;使(某人)惊恐n.惊恐;害怕→scary adj.可怕的,吓人的→scared adj.感到害怕的9.surround vt.环绕,围绕→surroundings n.周围的环境10.original adj.原先的,最早的,最初的→origin n.起源;起因;出身11.greet vt.问候,欢迎;打招呼→greeting n.祝贺; 问候12. appropriately adv.合适地,适当地→appropriate adj.合适的,适当的13.represent vt.代表→representative n.代表, 典型人物, 众议院议员→representation n.代表,表示,表现;描绘14.fortunate adj.幸运的→fortunately adv.幸运地→fortunen.巨款;命运;运气15.patience n.耐心;耐力→patient adj.能忍耐的,有耐性的16. behaviour n.行为,举止→behave v.表现,行为;表现得体17.description n.描述,描写→describe v.描述;形容;把……称为Ⅱ.重点短语1.make a wish 许愿e to an end 结束3.be at war/peace with sb. 与某人交战/和平共处4.put up张贴5.let off使爆炸6.sweep away扫除;清除7.upside down倒置地,颠倒地8.scare sb./sth. away把某人/某物吓跑9.fill sb. in on...告诉某人……的细节10.be up to...在做……, 从事……11.in general普遍地12.make an effort尽力,努力13.move in 搬进新居14.take turns to do...轮流做……15.over and over再三地,重复地16.catch sb.'s eye吸引某人的注意;遇到某人的目光17.pass away去世18.no longer不再19.on the way在路上;即将到来20.calm down冷静下来21.prepare for...为……做准备22.get dressed穿好衣服23.be nowhere to be seen无影无踪24.in one’s seventies在某人七十几岁的时候25.look forward to盼望;期待26.date back to追溯,追溯到e to mind突然记起作文话题（1）校园生活（2）节日（3）人与自然（4）中华文化（5）网络与安全。
【全国百强校】北京市首都师范大学附属中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题
【全国百强校】北京市首都师范大学附属中学【最新】高一上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合071235432{|}{{1}}U x Z x A B =∈≤==＜，，，，，，，，，则U AB =（ ） A ．∅B ．{}1,2,3C ．{}1,2,3,4,5D ．{}0,1,2,3,6 2．下列函数中，与y x =是相同的函数是（ ）A．y B ．lg10x y =C ．2x y x = D ．1y =3．函数()327x f x x =+-的零点所在区间为（ ）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,3 4．已知32121=0.3log 22a b c -⎛⎫== ⎪⎝⎭，，，则a ，b ，c 的大小关系（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ．b a c >> 5．下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在0-∞（，）上单调递增的函数是（ ） A ．()2f x x = B ．()()2x f x = C ．()21log f x x = D ．()f x x x = 6．函数1(,0]()3(21)(1),(0,)xf x a x a x ⎧⎛⎫∈-∞⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+-∈+∞⎩，x 在(),-∞+∞上是减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．10,,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 7．已知奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(3)0f =，则不等式()1()0x f x ->的解集为（ ）A ．()3,1--B ．()()3,12,--⋃+∞C ．()()303-∞,,+D ．()()3,01,3-8．已知函数322x f x a x a x a g x =-++=-（）（）（），（）若对任意x ∈R ，总有0f x （）＜或()0g x <成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),4-∞-B ．[)4,0-C ．()4,0-D ．()4,-+∞二、填空题9．给定映射22f a b a b a b →+-：（，）（，），则在映射f 下，（3，1）的原象是______．10．求值：221log 4238()27--+lg11lg 1)100+-=____________． 11．已知函数2f x x b =+（）在区间12-（，）上的函数值恒为正，则b 的取值范围为______．12．函数212log (4)y x x =-+的单调递减区间为______． 13．已知三个函数222x f x x g x x h x log x x =+=-=+（），（），（）的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系是______．三、双空题14．某同学为研究函数())01f x x =≤≤的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设CP x =，则AP PF f x +=（）．请你参考这些信息，推知函数()f x 的图象的对称轴是______；函数49g x f x =-（）（）的零点的个数是______．四、解答题15．已知集合{}|3A x a x a =≤≤+,24{|}120B x x x =--＞（1）若A B =∅，求实数a 的取值范围；（2）若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围．16．已知函数121201a a f x log x log xa a =+--≠（）（）（）（＞，）（1）求f x （）的定义域；（2）判断f x （）的奇偶性并给予证明；（3）求关于x 的不等式0f x （）＞的解集． 17．定义在[]4,4-上的奇函数()f x ，已知当[]4,0x ∈-时，()143x x a f x =+()a R ∈. （1）求()f x 在[]0,4上的解析式.（2）若[]2,1x ∈--时，不等式()1123x x m f x -≤-恒成立，求实数m 的取值范围. 18．对于函数f x （），若存在实数，使得00f x x =（）成立，则x 0称为f （x ）的“不动点”． （1）设函数322x f x x +=+（），求f x （）的不动点； （2）设函数2120f x ax b x b a =+++-≠（）（）（），若对于任意的实数b ，函数f （x ）恒有两相异的不动点，求实数a 的取值范围；（3）设函数f x （）定义在-∞+∞（，）上，证明：若f f x （（））存在唯一的不动点，则f x （）也存在唯一的不动点．参考答案1．A【分析】 通过={07}U x Z x ∈≤<可以得到全集中的元素，再通过补集和交集运算求出最后答案.【详解】解：070123{|}{}{45651}432U x Z x B =∈≤<==，，，，，，，，，，，， {0}6U B ∴=，123{}U A A B =∴⋂=∅，，，，故选A ．【点睛】本题考查利用集合的交集、补集、并集的定义进行集合间的运算．属于简单题.2．B【分析】求出各选项函数的定义域，并对解析式进行化简，要求所选函数的定义域和解析式都与函数y x =的定义域和解析式一致，可得出正确的选项.【详解】对于A选项，函数y x ==定义域为R ，其解析式与函数y x =的解析式不一致，两个函数不是同一函数；对于B 选项，函数lg10x y x ==的定义域为R ，其解析式与函数y x =的解析式一致，两个函数是同一函数；对于C 选项，函数2x y x=的定义域为{}0x x ≠，和函数y x =的定义域不一致，两个函数不是同一函数；对于D 选项，111y x ==-+的定义域为R ，但其解析式与函数y x =的解析式不一致，两个函数不是同一函数.故选B.【点睛】本题考查函数相等概念的理解，判断两个函数是否为同一函数，关键看定义域和对应关系是否一致，而对应关系主要是看解析式，意在考查学生对于这个概念的理解，属于基础题. 3．C【解析】很明显函数()f x 在定义域内单调递增，函数()f x 在定义域内为连续函数，且： ()()121321720,2322760f f =+⨯-=-=+⨯-=，利用函数零点存在定理可得：函数()327xf x x =+-的零点所在区间为()1,2. 本题选择C 选项.点睛：三个防范 一是严格把握零点存在性定理的条件，；二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；三是函数f (x )在[a ，b ]上单调且f (a )f (b )＜0，则f (x )在[a ，b ]上只有一个零点. 4．D【分析】利用指数函数的单调性与1作比较可以得出a 与b 的大小关系，通过对数函数的图像性质可以得到0c <，得到最终的结果.【详解】 由指数函数和对数函数图像可知：32121(0,1),0.31,log 202a b c -⎛⎫=∈=>=< ⎪⎝⎭， 则a b c ，，的大小关系是：b a c >>.故选D ．【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5．C【分析】通过题意，利用函数单调性及奇偶性的定义依次分析四个选项中函数，可得答案.【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，2y x ，为二次函数，其对称轴为y 轴，在其定义域内既是偶函数但在()0-∞，上单调递减，不符合题意；对于B ，2,022,0x xx x y x -⎧≥==⎨<⎩，在其定义域内既是偶函数但在()0-∞，上单调递减，不符合题意；对于C ，()()2222log ,01log log log ,0x x f x f x x x x x ->⎧===-=⎨--<⎩（），在其定义域内既是偶函数又在()0-∞，上单调递增，符合题意； 对于D ，22,0,0x x y x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，为奇函数，不符合题意； 故选C ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．6．B【解析】【分析】由题意，此分段函数是一个减函数，故一次函数系数为负，且在分段点处，函数值应是右侧小于等于左侧，由此得相关不等式，即可求解【详解】 解：依题意，0210113a a -<⎧⎪⎨⎛⎫≥- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得102a ≤<， 故选B ．【点睛】本题考查函数单调性的性质，熟知一些基本函数的单调性是正确解对本题的关键，本题中有一易错点，忘记验证分段点处函数值的大小验证，做题时要注意考虑完全．7．D【分析】根据题意，由奇函数的性质可得()30f -=，结合函数的单调性分析可得()0f x >与()0f x <的解集，又由10(1)()0()0x x f x f x ->⎧->⇒⎨>⎩或()100x f x -<⎧⎨<⎩，分析可得x 的取值范围，即可得答案．【详解】解：根据题意，()f x 为奇函数且(3)0f =，则(3)0f -=，又由()f x 在,0上单调递减，则在(),3∞--上，()0f x >，在()30-，上，()0f x <, 又由()f x 为奇函数，则在03（，）上，()0f x >，在()3+∞，上，()0f x <， 则()0f x <的解集为(3,0)(3,),()0f x -+∞>的解集为()()303,,-∞-；10(1)()0()0x x f x f x ->⎧->⇒⎨>⎩或()100x f x -<⎧⎨<⎩， 分析可得：30x -<<或13x <<，故不等式的解集为()()301,3-，；故选D ．【点睛】 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析()0f x >与()0f x <的解集，属于基础题．8．C【解析】【分析】由题意可知(,1)-∞时，()0g x <成立，进而得到(-)(+3)0a x a x a +<对1x ≥均成立，得到a 满足的条件0131a a a <⎧⎪<⎨⎪--<⎩，求解不等式组可得答案．【详解】解：由()220xg x -=<，得(,1)-∞，故对1x ≥时，()0g x <不成立， 从而对任意1,()0x f x ≥<恒成立，由于(-)(+3)0a x a x a +<对任意1x ≥恒成立，如图所示，则必满足0131a a a <⎧⎪<⎨⎪--<⎩，解得40a ．则实数a 的取值范围是(4,0)-．故选C ．【点睛】本题考查了函数的值，考查了不等式的解法，体现了恒成立思想的应用，属于中档题． 9．（1，1）【分析】由题意可得2321a b a b +=⎧⎨-=⎩，求解方程组得答案． 【详解】解：由题意，2321a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩． ∴在映射f 下，（3，1）的原象是(1,1)． 故答案为(1,1)．【点睛】本题考查映射的概念，是基础的计算题．10．-3【分析】利用对数、指数的性质和运算法则求解．【详解】解：2142log -（827）23-+lg 1100+1）lg1 14=-[（23）3]23--2+1）0 1944=--2+1 ＝﹣3．故答案为﹣3．【点睛】本题考查对数式、指数式的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数、指数的性质、运算法则的合理运用．11．[2+∞，）【解析】【分析】结合函数()f x 是增函数，转化为()10f -≥即可． 【详解】解：()2f x x b =+为增函数，∴若()2f x x b =+在区间()12-，上的函数值恒为正， 则只需要()120f b -=-+≥即可，即2b ≥，即实数b 的取值范围是[2+∞，），故答案为[2+∞，） 【点睛】本题主要考查函数恒成立问题，利用函数为增函数，转化为最小值大于等于0是解决本题的关键．12．02（，）【解析】【分析】根据真数大于0，可得函数的定义域；结合复合函数“同增异减”的原则，可确定函数的单调递减区间．【详解】解：由240x x -+>得：04x ∈（，）， 故函数()f x 的定义域是04（，）； 令24t x x =-+，则12log y t =， ∵12log y t =为减函数，24t x x =-+在02（，）上为增函数，在24（，）上为减函数； 故函数212log (4)y x x =-+的单调递减区间为是(0,2)．故答案为：()02，【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，函数的定义域，对数函数的图象和性质，难度中档． 13．a c b ＜＜【分析】根据函数解析式判断出()()()222log xf x xg x xh x x x =+=-=+，，都是单调递增函数，运用函数零点定理判断a b c ，，的范围即可得a b c ，，的大小．【详解】解：由于()1111001022f f -=-=-<=>，（） 故()2x f x x =+的零点()10a ∈-， ∵20g =（） ∴()g x 的零点2b =； ∵()11110110222h h ⎛⎫=-+=-<=> ⎪⎝⎭，∴()h x 的零点1,12c ⎛⎫∈⎪⎝⎭， 由于函数()()()222log x f x x g x x h x x x =+=-=+，，均是定义域上的单调增函数，∴a c b <<.故答案为a c b <<【点睛】本题考查了函数的单调性，在求解函数零点的范围问题中的应用，结合函数零点定理判断即可．14．12x = 2 【分析】从运动的观点看，当点P 从C 点向点B 运动的过程中，在运动到BC 的中点之前，PA PF +的值渐渐变小，过了中点之后又渐渐变大，可得函数f （x ）的图象的对称轴；函数()49g x f x =-（）的零点的个数就是()94f x =的解的个数． 【详解】解：由题意可得函数()f x AP PF =+，从运动的观点看，当点P 从C 点向点B 运动的过程中，在运动到BC 的中点之前，PA PF +的值渐渐变小，过了中点之后又渐渐变大， ∵当点P 在BC 的中点上时，即C B P 、、三点共线时，即P 在矩形ADFE 的对角线AF 上时，PA PF +取得最小值；当P 在点B 或点C 时，PA PF +取得最大值∴函数()f x 的图象的对称轴是12x =； ()()490g x f x =-=，即()94f x =．故函数()()49g x f x =-的零点的个数就是()94f x =的解的个数．而由题意可得()94f x =的解有2个， 故答案为12x =；2. 【点睛】本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，考查化归与转化的数学思想，属于中档题．15．（1）[]2,3-；（2）{5|a a -＜或6}a ＞．【分析】（1）求出集合{}32|{|A x a x a B x x =≤≤+=<-，或6}x >，由A B =∅，列出不等式组，能求出实数a 的取值范围．（2）由A B B ⋃=，得到A B ⊆，由此能求出实数a 的取值范围．【详解】解：（1）∵集合{}|3A x a x a =≤≤+，24120{|}2{|B x x x x x =-->=<-或6}x >，A B =∅，∴236a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得23a -≤≤ ∴实数a 的取值范围是[]2,3-（2）A B B A B =∴⊆，32a ∴+-＜或6a ＞，解得5a -＜或6a ＞．∴实数a 的取值范围是{5|a a <-或6}a >【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．将集合的运算转化成子集问题需注意，若A B B ⋃=则有A B ⊆，进而转化为不等式范围问题.16．（1）11,22⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）详见解析；（3）详见解析. 【分析】（1）根据题意，由函数的分析式分析可得120120x x +>⎧⎨->⎩，解可得x 的取值范围，即可得答案； （2）根据题意，由函数的分析式分析可得f x f x -=-（）（），结合函数的奇偶性的定义分析可得结论；（3）根据题意，分1a ＞与01a ＜＜两种情况讨论，求出不等式的解集，综合即可得答案．【详解】解：（1）根据题意，函数log 12log 12a a f x x x=+--（）（）（）， 则有120120x x +>⎧⎨->⎩，解可得1122x -<<， 即函数f x （）的定义域为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭； （2）首先，定义域关于原点对称，函数1212a a f x log x log x=+--（）（）（）， 则[12121212]a a a a f x log x log x log x log x f x -=--+=-+--=-（）（）（）（）（）（） 则函数f x （）为奇函数，（3）根据题意，12120a a log x log x +--（）（）＞即1212a a log x log x+-（）＞（）， 当1a ＞时，有1201201212x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，解可得102x ＜＜，此时不等式的解集为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当01a ＜＜时，有1201201212x x x x +⎧⎪-⎨⎪+-⎩＞＞＜，解可得102x -<<，此时不等式的解集为102-（，）； 故当1a ＞时，不等式的解集为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当01a ＜＜时，不等式的解集为102-（，）． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定以及性质，注意分析函数的定义域，属于基础题．研究函数问题时，首先要确定函数的定义域，主要依据有：（1）分式的分母不为零；（2）偶次被开方式不小于零；（3）对数的真数大于零等.解决复杂的函数不等式问题时，可以把复杂的函数分解成熟悉的函数，再利用函数的单调性奇偶性等解决相关问题.17．（1）()34x x f x =-；（2）172m ≥ 【分析】（1）根据函数奇偶性求出1a =-，再由[]0,4x ∈时，[]4,0-∈-x ，得到()114343---=-=-x x x x f x ，根据()()f x f x -=-，即可求出结果； （2）由题意，将原不等式化为1121222323+⎛⎫⎛⎫≥+=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x x x x m ，令12()223x x g x ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由指数函数单调性，得到()g x 单调递减，原不等式恒成立，即可转化为()≥m g x 在[]2,1x ∈--上恒成立，从而可求出结果.【详解】（1）因为()f x 是定义在[]4,4-上的奇函数，[]4,0x ∈-时，()143x xa f x =+， 所以()0010043=+=a f ，解得1a =-；所以[]4,0x ∈-时，()1143=-x x f x ， 当[]0,4x ∈时，[]4,0-∈-x ，所以()114343---=-=-x x x x f x ， 又()()f x f x -=-，所以()43-=-x x f x ，()34x x f x =-，即()f x 在[]0,4上的解析式为()34x x f x =-；（2）由（1）知，[]2,1x ∈--时，()1143=-x xf x ， 所以()1123x x m f x -≤-可化为11114323x x x x m --≤-， 整理得1121222323+⎛⎫⎛⎫≥+=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x x x x m ， 令12()223x x g x ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据指数函数单调性可得，12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与23x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭都是减函数， 所以()g x 也是减函数，因为[]2,1x ∈--时，不等式()1123x x m f x -≤-恒成立，等价于()≥m g x 在[]2,1x ∈--上恒成立， 所以，只需max 917()(2)4242≥=-=+⋅=m g x g . 【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求解析式，以及由不等式恒成立求参数的问题，熟记函数奇偶性与函数单调性即可，属于常考题型. 18．（1）f x （）的不动点为-1和2；（2）02（，）；（3）详见解析. 【解析】【分析】（1）设x 为不动点，则有()322x f x x x +==+，得220x x --=，解方程即可． （2）证法一：设0x 为()()f f x 不动点，则()00f x x =，否则设()00f x x ≠，则1x 也为()()f f x 不动点，与已知()()f f x 存在唯一的不动点矛盾．由此能证明若()()f f x 存在唯一的不动点，则()f x 也存在唯一的不动点．证法二：设a 是()()f f x 的唯一不动点，()()f f a a =．设()f a b =，则()()()()()()=f b f f a a f f b f a b ===，，由唯一性，得到b a =，从而a 是()f x 的不动点．如果f 有其它的不动点c ，则c 也是()()ff x 的不动点，由唯一性得c a =，由此能证明若()()ff x 存在唯一的不动点，则()f x 也存在唯一的不动点． 【详解】解：（1）由函数322x f x x x +==+（），得220x x --= 解得1x =-或2x =， ∴f x （）的不动点为-1和2．（2）由f x x =（）得：220ax bx b ++-= 由已知，此方程有相异二实根，0x ∆>恒成立，即()2420b a b -->即2480b ab a -+>对任意b R ∈恒成立．201632002b a a a ∴∆∴-<∴<<<∴实数a 的取值范围是()02，证明：（3）证法一：设函数f x （）定义在-∞+∞（，）上，()()f f x 存在唯一的不动点， 首先若0x 为()()f f x 不动点，则()00f x x =否则设010f x x x ≠（），则1x 也为()()f f x 不动点，即()()f f x 不动点不唯一，与已知()()f f x 存在唯一的不动点矛盾．∴()f x 有不动点0x 时，()f x 的不动点也是()()f f x 的不动点， ∴若()()f f x 存在唯一的不动点，则()f x 也存在唯一的不动点．证法二：设a 是()()ff x 的唯一不动点，()()f f a a =． 设()f a b =，则()()()()()()f b ff a a f f b f a b ====， ∴b 也是()()f f x 的不动点．由唯一性，得到b a =，∴()f a a =，从而a 是f x （）的不动点． 如果f 有其它的不动点c ，则c 也是()()ff x 的不动点， 由唯一性得c a =，∴a 是()f x 的唯一不动点．故若()()f f x 存在唯一的不动点，则()f x 也存在唯一的不动点．【点睛】本题考查函数的不动点的求法，考查实数的取值范围的求法，考查函数存在唯一不动点的证明，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．（1）函数新定义问题的解答关键在于阅读理解时，要准确把握新定义、新信息，并把它纳入已有的知识体系之中，用原来的知识和方法来解决新情景下的问题．（2）本题中还考察了复合函数的性质以及二次函数的相关知识；（3）证明题注意要从存在性及唯一性入手、证明充分必要条件时要分别证明充分性及必要性.。
北京市海淀区高一新生入学分班考试数学试题及答案
高一新生入学分班考试数 学试 题总分：150分 时量：120分钟第Ⅰ卷一. 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．下列运算正确的是（ ）。
A 、a 2·a 3=a 6B 、a 8÷a 4=a 2 C 、a 3+a 3=2a 6 D 、(a 3)2=a 62．一元二次方程2x 2-7x+k=0的一个根是x 1=2,则另一个根和k 的值是 ( )A ．x 2=1 ，k=4B ．x 2= - 1, k= -4C ．x 2=32,k=6 D ．x 2= 32-,k=-6 3．如果关于x 的一元二次方程220x kx -+=中，k 是投掷骰子所得的数字（1，2，3，4，5，6），则该二次方程有两个不等实数根的概率P= ( ) A ．23B ．12C ．13D ．164．二次函数y=-x 2-4x+2的顶点坐标、对称轴分别是( )A.(-2,6)，x=-2B.(2,6)，x=2C.(2,6)，x=-2D.(-2,6)，x=25．已知关于023,034,045=+-=+-=+-c x b x a x x 有两个解无解的方程只有一个解，则化简b a bc c a ---+-的结果是 （ ）A 、2aB 、2bC 、2cD 、06. 在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A 悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y （单位N ）与铁块被提起的高度x （单位cm ）之间的函数关系的大致图象是 （ ）A BC B 7． 下列图中阴影部分的面积与算式12221(|43|-++-的结果相同的是 （ ）8．已知四边形1S 2S ，顺次连结2S 各边中点得四边形3S ，以此类推，则2006S 为（ ）A ．是矩形但不是菱形； B. 是菱形但不是矩形； C.既是菱形又是矩形； D.既非矩形又非菱形.9．如图 ,D 是直角△ABC 斜边BC 上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β. 若10,αβ=︒则的度数是 A ．40︒B ． 50︒C ． 60︒D ．不能确定10．如图为由一些边长为1cm 正方体堆积在桌面形成的立方体的三视图，则该立方体露在外面部分的表面积是________ cm 2。