第2章平面汇交力系与平面力偶系优秀课件
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第二章平面汇交力系及平面力偶系
一、几何法合成（作图法）
1、两力的合成方法——平行四边形法则。
2、多个力的合成。方法——力多边形法 则（依据平行四边形法则）。将汇交
力系各力平行移至首尾相接，起点至
第
终点连线为合力。
一 章
静 力 学 基 础
理论力学教学课件
第一节 平面汇交力系的合成
一、几何法（作图法）
F1
R12
O
F2
F3
R123
同理 ：Ry= F1y+ F2y+ F3y
R FX 2 Fy 2
第二节 平面汇交力系合成的解析法
例 用 解 析 法 求 三 力 的 合 力 。 已 知 F1=100N ，
F2=200N，F3=300N 。
F1
45°
O
F2
解：F1X=F1COS45°=71N F1y=F1sin45°=71N F2X=F2=200N
静 力
自行封闭。
学 基
础
第二节 平面汇交力系的合成与 平衡的解析法
一、解析法合成（计算 ） 1、力在直角坐标轴上的投影
y
a’
A
αF
B
b’
oa
b
x
ab:F在x轴上的投影（Fx). a’b’:F在y轴上的投影（Fy）。
Fx=ab=Fsinα
第
一
Fy=a’ b’= - Fcosα
章
静 力 学 基 础
第二节 平面汇交力系合成的解析法
解：据平衡方程：ΣFx=0 ΣFy=0
ΣFy=-P- FD cos30°-FCBsin30°=0 FCB=-74.6 KN （BC杆受压） ΣF x=-FAB - FD sin30°FCBcos30°=0 FAB =54.6 KN （AB杆受拉）
1、两力的合成方法——平行四边形法则。
2、多个力的合成。方法——力多边形法 则（依据平行四边形法则）。将汇交
力系各力平行移至首尾相接，起点至
第
终点连线为合力。
一 章
静 力 学 基 础
理论力学教学课件
第一节 平面汇交力系的合成
一、几何法（作图法）
F1
R12
O
F2
F3
R123
同理 ：Ry= F1y+ F2y+ F3y
R FX 2 Fy 2
第二节 平面汇交力系合成的解析法
例 用 解 析 法 求 三 力 的 合 力 。 已 知 F1=100N ，
F2=200N，F3=300N 。
F1
45°
O
F2
解：F1X=F1COS45°=71N F1y=F1sin45°=71N F2X=F2=200N
静 力
自行封闭。
学 基
础
第二节 平面汇交力系的合成与 平衡的解析法
一、解析法合成（计算 ） 1、力在直角坐标轴上的投影
y
a’
A
αF
B
b’
oa
b
x
ab:F在x轴上的投影（Fx). a’b’:F在y轴上的投影（Fy）。
Fx=ab=Fsinα
第
一
Fy=a’ b’= - Fcosα
章
静 力 学 基 础
第二节 平面汇交力系合成的解析法
解：据平衡方程：ΣFx=0 ΣFy=0
ΣFy=-P- FD cos30°-FCBsin30°=0 FCB=-74.6 KN （BC杆受压） ΣF x=-FAB - FD sin30°FCBcos30°=0 FAB =54.6 KN （AB杆受拉）
t2平面汇交力系与平面力偶系
应用场景
在机械工程、土木工程等领域中，需要分析物体在多个力矩作用下的平衡状态，以确定物体的转动状态和稳定性。
03
平面汇交力系与平面力偶 系的联系
力的平移定理
力的平移定理：一个作用在刚体上的力，可以平移而不改变它对刚体的作用，但必 须同时附加一力偶。
力的平移定理描述了力的位置变化对刚体运动的影响，即力的平移不会改变刚体的 运动状态，但需要附加一个与原力等效的力偶。
t2平面汇交力系与平面力偶 系
contents
目录
• 平面汇交力系 • 平面力矩与平面力偶系 • 平面汇交力系与平面力偶系的联系 • 实例分析
01
平面汇交力系
定义与性质
定义
平面汇交力系是指所有力都汇交于一 点或者所有力都位于同一平面内的力 系。
性质
平面汇交力系中，力的方向和大小是 确定的，且所有力的作用线都汇交于 一点或者都位于同一平面内。
02
在进行工程设计和建设时，需 要充分考虑各种力和力矩的作 用，并进行精确的分析和计算 。
03
在机械、航空航天、交通等工 程领域，平面汇交力系与平面 力偶系的应用非常广泛，它们 是工程力学的重要组成部分。
感谢您的观看
THANKS
平面汇交力系主要应用于刚体 在平面运动中的动力学问题，
如机械手、机器人等。
平面力偶系主要应用于分析 旋转刚体的平衡问题，如电
机转子、涡轮机等。
在实际应用中，需要根据问题 的具体需求选择合适的力系进 行分析，以简化问实际工程中的平面汇交力系问题
01
平面汇交力系在工程中常常出现在固定装置的受力分析，例如桥梁、 建筑物的固定连接处。
平面力矩的合成
规则
平面力矩的合成遵循平行四边形定则，即以两个力为邻边作 平行四边形，其对角线矢量等于两个力的力矩之和。
在机械工程、土木工程等领域中，需要分析物体在多个力矩作用下的平衡状态，以确定物体的转动状态和稳定性。
03
平面汇交力系与平面力偶 系的联系
力的平移定理
力的平移定理：一个作用在刚体上的力，可以平移而不改变它对刚体的作用，但必 须同时附加一力偶。
力的平移定理描述了力的位置变化对刚体运动的影响，即力的平移不会改变刚体的 运动状态，但需要附加一个与原力等效的力偶。
t2平面汇交力系与平面力偶 系
contents
目录
• 平面汇交力系 • 平面力矩与平面力偶系 • 平面汇交力系与平面力偶系的联系 • 实例分析
01
平面汇交力系
定义与性质
定义
平面汇交力系是指所有力都汇交于一 点或者所有力都位于同一平面内的力 系。
性质
平面汇交力系中，力的方向和大小是 确定的，且所有力的作用线都汇交于 一点或者都位于同一平面内。
02
在进行工程设计和建设时，需 要充分考虑各种力和力矩的作 用，并进行精确的分析和计算 。
03
在机械、航空航天、交通等工 程领域，平面汇交力系与平面 力偶系的应用非常广泛，它们 是工程力学的重要组成部分。
感谢您的观看
THANKS
平面汇交力系主要应用于刚体 在平面运动中的动力学问题，
如机械手、机器人等。
平面力偶系主要应用于分析 旋转刚体的平衡问题，如电
机转子、涡轮机等。
在实际应用中，需要根据问题 的具体需求选择合适的力系进 行分析，以简化问实际工程中的平面汇交力系问题
01
平面汇交力系在工程中常常出现在固定装置的受力分析，例如桥梁、 建筑物的固定连接处。
平面力矩的合成
规则
平面力矩的合成遵循平行四边形定则，即以两个力为邻边作 平行四边形，其对角线矢量等于两个力的力矩之和。
平面汇交力系和平面力偶系
第二章 平面汇交力系与平面力偶系§2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法一、汇交力系合成与平衡的几何法 汇交力系：是指各力的作用线汇交于同一点的力系。
若汇交力系中各力的作用线位于同一平面内时，称为平面汇交力系，否则称为空间汇交力系。
1、平面汇交力系的合成先讨论3个汇交力系的合成。
设汇交力系1F ，2F ，3F汇交于O （图1），由静力学公理3：力的平行四边形法则（力的三角形）可作图2，说明)(),,(321F F F F=如图和图所示，其中321F F F F ++=F2F 3F OFO1F 2F 3F12F讨论：1）图2中的中间过程12F 可不必求，去掉12F 的图称为力多边形，由力多边形求合力大小和方向的方法称为合力多边形法则。
2）力多边形法则：各分力矢依一定次序首尾相接，形成一力矢折线链，合力矢是封闭边，合力矢的方向是从第一个力矢的起点指向最后一个力矢的终点。
3）上述求合力矢的方法可推广到几个汇交力系的情况。
结论：汇交力系合成的结果是一个合力，合力作用线通过汇交点，合力的大小和方向即：∑=i F F用力多边形法则求合力的大小和方向的方法称为合成的几何法。
2．平面汇交力系的平衡1F 2F iF 2-n F 1-n F n F设作用在刚体上的汇交力系),,(21n F F F 为平衡力系，即 0),,(21≡n F F F先将121,,-n F F F 由力多边形法合成为一个力1-N F，（∑-=-=111n i i N F F ）0),(),,(121≡≡-n N n F F F F F由静力公理1，作用在刚体上二力平衡的必要充分条件是：1-N F 与n F等值，反向，共线，即n N F F =-1， 可得01=+-n N F F，或0=∑i F结论：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：力系中各力的乖量和为零，用几何法表示的平衡条件是0=∑i F，力多边形自行封闭。
例1． 已知：简支梁AB ，在中点作用力F，方向如图，求反力FA B C45F AF BACα 45FF BF α解：1。
第2章平面汇交力系与第3章平面力偶系
2. 解析法：
Fx 0 Fy 0
[例1] 图示杆AB长为l， AC=BC, =45°，F=10N。求：
A、B处反力。 解1: 几何法
O F
研究AB杆，画受力图，并
作力旳三角形
由正弦定理
FA sin 45
sin(180
F 90
1)
FA
A
10 FA 4 F 7.9N
F
1
C
45°
B
FNB
反作用。
28
[例] 画出每个构件旳受力图
C
C
C
OI
B
K
H
D
B
I
D
A
D
Q
B
O
IK
A
29
解：
C
OI K
H D
A Q
FC
FC'
C
FI
B
FT
D
FRD
B
FB
FR' D FOY
FOX O
I
A
Q
C
I
D
SI B
K
S B
NK
30
二、几种注意点 1. 明确画旳是受力图，而不是施力图； 2. 每一种力都要有施力者——不多画力； 3. 每解除一种约束都要画出相应旳约束反力—不错画 力，不漏画力； 4. 刚体系各刚体之间旳力要成对出现——不错画力； 5. 整体受力分析时不出现内力。
定理：平面汇交力系旳合力对平面内任一点旳矩，等于全
部各分力对同一点旳矩旳代数和
即：
n
mO (R )mO (Fi )
i 1
[证] 由合力投影定理有： od=ob+oc
第二章1平面汇交力系与平面力偶系
2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力 F 至少多大？ F 3.力 F 沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力 多大？
解:取碾子画受力图. 用几何法，按比例画封闭力四边形
R h θ arccos 30 R
F B sin θ F F A F B cosθ P
F 1 1 .4 k N A
由合力投影定理可得：
F F 2 0 0 0 4 3 3 0 0 N 6 3 3 0 N x x
F F 0 2500 3000 N 550 N y y
则合力的大小为：
2 x 2 y 2 2
FF F 6 3 3 0 5 5 0 0 N 8 3 8 6 N
F , X 0 F , Y 0 8 0 4 5 4 R R 0 D A 4 5 PR A
各力的汇交点
(4) 解得
R A 5 P 22 . 4 kN 2
R R D A
1 10 kN 5
力的值为负值,表示假设的指向与实际指向相反.
例4. 简易压榨机如图所示。已知P试求当连杆AB、AC与铅垂线成角时，托板给被压物 体的力。
O
tg
F Ry F Rx
F F
RY
RX
平面汇交力系平衡的必要和充分条 y 件是该力系的合力为零: F R 0
F F 0 Rx X
O
F F 0 Ry X
例2.如图所示吊环受到三条钢丝绳的拉力作用。已知F1=2000N， F2=5000N，F3=3000N。试求合力。
FR F23 F1 F12 F2
F4
FR
F4
F2 F4
FR
F3
理论力学第二章汇交力系与平面力偶系
FBC= 224.23 kN 代入（3）、（4）解得
tan θ = 1.631 , θ = 58.5°
FA= 303.29 kN
y
FBC
FD
C
45°
30°
x
W2
y
FA
θB
x
45°
W1 F'BC
第二章 汇交力系与平面力偶系
§2–1 平面汇交力系的合成与平衡
投影法的符号法则： 当由平衡方程求得某一未知力的值
y
FBC
B 30°
x
FAB
FD 30° W
b
联立求解,得
FAB= －54.5kN , FBC= 74.5kN
反力FAB为负值，说明该力实际指向与图上假定指向相反。 即杆AB实际上受拉力。
第二章 汇交力系与平面力偶系
§2–1 平面汇交力系的合成与平衡
例2–5 如图已知W1=100 kN， W2=250 kN。不计各
Fx F cos
Fy
Fy F cos
O 2、力在空间直角坐标轴上的投影：
F
Fx x
一次投影法：
Z
Fx F cos Fy F cos
F
O
y
FZ F cos
第二章 汇交力系与平面力偶系
x
★§2–2 空间汇交力系的合成与平衡 二次投影法：
已知力F 和某一平面（oxy)的夹
角为θ，又已知力F 在该平面
杆自重，A，B，C，D各点均为光滑铰链。试求平衡状
态下杆AB内力及与水平的夹角。
A
θB
D
W1
45° C
30°
W2 第二章 汇交力系与平面力偶系
§2–1 平面汇交力系的合成与平衡
平面汇交力系与平面力偶系精品PPT课件
四块相同的均质板，各重P，长2b，叠放如图示。 在板I右端点A挂着重物B，其重2P。欲使各板都平衡， 求每块板可伸出的最大距离。
3P
P
N3
4P
P
N4
P 2P
求图示结构AB杆与AC杆所受的力，已知F力位于AD 的中点E且垂直AD。
FA FAB
A FA
FAC
45 o 45 o
F
FA
FD
450
F
B
C
D
W3
F
W2
W1
塔吊及所受荷载如图。自重P=200kN，中心 通过塔基中心。起重量W=25kN，距右轨B为 15m.平衡物重Q，距左轨A为6m，在不考虑风 荷载时， 求： （1）满载时，为了保证塔
身不至于倾覆，Q至 少应多大？ （2）空载时，Q又应该不 超过多大，才不至于 使塔身向另一侧倾覆？
如图示，一钢筋混凝土梁BC置于砖墙上，挑出1.5m， 顶端C作用一集中力P=1kN，梁自重q=1.2kN/m，取 抗倾覆安全系数κ=1.5，试求BA段的长度a。
的力矩。
抗倾覆力矩（Mk）：抵抗结构或构件倾覆
的力矩。
K=抗倾覆安全系数
K MK Mq
规范规定：钢筋砼构件的抗倾覆安全系数 K≥1.5
带有雨蓬的钢筋混凝土门顶过梁，尺寸如图示，梁 和板的长度均为4m。设在此梁上的砖砌至3m高时， 便欲将雨篷下的木支撑拆除。试验算此时雨蓬会不 会绕A点倾覆。已知钢筋混凝土容重为25kN／m3 ， 砖砌体容重为19kN/m3 ，验算时应考虑雨蓬最外边 缘B上作用有施工荷载F=1kN。
3 如果力F通过矩心O，则mo(F)=0，此时力对物体
的作用效应为移动。
4 互成平衡的二力对同一点之矩的代数和等于零。
第2章平面汇交力系与平面力偶系
FBA
FBC
FAB
A
' F' FBA BC
B B
B
P
C
F2 F1
C
FCB
解：
y
FBA F2
600
300
（1） 取滑轮为研究对象，将其视为 一个几何点。受力如图所示。
其中 F1= F2 =P = 20 kN （2）选取图示坐标系。列方程
B
FBC
F1
x
X 0, Y 0,
FBA F1cos600 F2cos300 0 FBC F1cos300 F2cos600 0
解：（1）取碾子为研究对 象。 画受力图。
F
F
O B
O B
FB
P
P
A FA
A
（2）根据力系平衡的几何条件，作封闭的力多边形。
按比例，先画已知力，各力矢首位相接。
FB
a.从图中按比例量得
FA=11.4 kN , FB=10 kN 5 kN
FA
0
P
b.也可由几何关系计算
Rh cos 0.866 R
即：若作用在刚体上 {F1 , F2 ,, Fn } {FR }
则：
M O ( FR ) MO (Fi )
i 1
n
在古代，人们没有大型的 起重工具，只能依靠人力和畜力 。在建造宏伟的建筑物时，为了 将巨大的石柱竖立起来，可能采 用了右图所示的方法。其中起关 键作用的是用木材作成的 A 字形 支架。试从力学角度说明采用此 项措施的必要性。
P
解： 取梁为研究对象。 画受力图。
注意：这里所设力 FA 的方向与 实际方向相反。
解：取横梁为研究对象。画受力图。 建立图示直角坐标系。 由平面汇交力系的平衡条件列方程
FBC
FAB
A
' F' FBA BC
B B
B
P
C
F2 F1
C
FCB
解：
y
FBA F2
600
300
（1） 取滑轮为研究对象，将其视为 一个几何点。受力如图所示。
其中 F1= F2 =P = 20 kN （2）选取图示坐标系。列方程
B
FBC
F1
x
X 0, Y 0,
FBA F1cos600 F2cos300 0 FBC F1cos300 F2cos600 0
解：（1）取碾子为研究对 象。 画受力图。
F
F
O B
O B
FB
P
P
A FA
A
（2）根据力系平衡的几何条件，作封闭的力多边形。
按比例，先画已知力，各力矢首位相接。
FB
a.从图中按比例量得
FA=11.4 kN , FB=10 kN 5 kN
FA
0
P
b.也可由几何关系计算
Rh cos 0.866 R
即：若作用在刚体上 {F1 , F2 ,, Fn } {FR }
则：
M O ( FR ) MO (Fi )
i 1
n
在古代，人们没有大型的 起重工具，只能依靠人力和畜力 。在建造宏伟的建筑物时，为了 将巨大的石柱竖立起来，可能采 用了右图所示的方法。其中起关 键作用的是用木材作成的 A 字形 支架。试从力学角度说明采用此 项措施的必要性。
P
解： 取梁为研究对象。 画受力图。
注意：这里所设力 FA 的方向与 实际方向相反。
解：取横梁为研究对象。画受力图。 建立图示直角坐标系。 由平面汇交力系的平衡条件列方程
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F R F 1 F 2 F n F R i x F Rjy F R ( X 1 i Y 1 j ) ( X 2 i Y 2 j ) ( X n i Y n j )
( X 1 X 2 X n ) i ( Y 1 Y 2 Y n ) j
比较上式：
n
F Rx X 1X2 Xn Xi X
1）三个共点力的合成
设 {F1,F2,F3}为作用在A点的力系
F 3 F2
A
F1
F F3
R FR12
F2
F1
FR12 F1 F2 FR FR12 F3
FR F 3
F2
F1
FR F1 F2 F3
2）多个共点力的合成 设 {F1,F2, Fn}为作用在A点的汇交力系
则该力系的合力为 {F R }{F 1,F 2, F n}
n i 1
FRyY1Y2 Yn Yi Y
i1
三. 平面汇交力系的平衡
FR 0
FRx 0
FRy 0
X0 Y0
平衡方程由两个方程组成，可解两个未知量
四. 解题步骤
1）取研究对象，画受力图； 2）建立坐标系，列方程 ； 3）解未知量； 4）重复以上步骤。
例2-3 已知 AC=CB ，杆 DC 与水平线成 450 角；载荷 P=10 kN ，作用于 B 处。梁与杆的重量忽略不计，试 用解析法求铰链 A 的约束反力和杆 DC 所受的力。
Fmi nPsin10 kN
FB
P
Fmin
F
FB
P
FA
F
例2-2 支架的横梁 AB 与斜杆 DC 彼此以铰链 C 相连 接，并各以铰链 A、D 连接于铅直墙上。已知 AC=CB ； 杆 DC 与水平线成 450 角；载荷 P=10 kN ，作用于 B 处。梁与杆的重量忽略不计，求铰链 A 的约束反力和 杆 DC 所受的力。
E
B
FA
A
C
P
A
B
C
D
FC
P
解： 取梁为研究对象。 注意：这里所设力 FA 的方向与
画受力图。
实际方向相反。
解：取横梁为研究对象。画受力图。 y
建立图示直角坐标系。
由平面汇交力系的平衡条件列方程 A
X 0 , FAco sF Cco 4s 050 Y 0 , F A sin F csi4n 05 P0
解：①分别取AC部分,BC部分 为 分离体
②分画受力图 Fc C
B FB
P A
P A
FA
C
B
a
a
C FC '
③应用几何法求解 力 P, F A , F C ' 构成封闭力多边形
FA
F
' C
45 0
P
FA F'C
P 2
FC F'C
P 2
几何法解题步骤：
①取分离体
②画受力图，做力多边形
③ 按比例测量，或应用几何关系计算
FA
F
由： FBsin F
FA FBcos P
解得： FA=11.34 kN , FB=10 kN
F
O
BP
FB
A
FA
（2）碾子能越过障碍物的力学条件 是FA=0，作出此时封闭的力三角形。
由几何关系可得
FP ta n1.5 15 kN
FB
P 23.09
cos
kN
（3）当拉力与FB垂直时，拉动 碾子的力最小。由几何关系可得
B
A
C
P
A D
解： 取梁为研究对象。 画受力图。
FA
C
FC
E B
P
根据平面汇交力系平衡的几何条 件，可作出封闭的力三角形
FA
P 450 FC
E
FA
A
B
C
FC
Q
按比例尺量得或由几何关系经计算可得
FC 28.3 kN FA22.4kN
注： 若作出其它形式的力三角形， 可以解出同样的结果。
FC
P
FA
例 已知：三铰刚架受力如图 求：A,B两处的反力
解：（1）取碾子为研究对 象。 画受力图。
F
O
B
P
A
F
O
B
P
A
FB
FA
（2）根据力系平衡的几何条件，作封闭的力多边形。
按比例，先画已知力，各力矢首位相接。
a.从图中按比例量得
FA=11.4 kN , FB=10 kN
5 kN
b.也可由几何关系计算
cos R h 0.866偶系
平面汇交力系：同一刚体平面内，位于不同点 的各力作用线汇交于同一点的力系，称为平面 汇交力系。
F1
Fn
F2
说明： 根据力的可传性，作用于刚体的平面汇
交力系一定可以转化成平面共点力系， 所以二者的研究方法相同。以下不再区 分，统称为平面汇交力系。
二、工程中的平面汇交力系问题举例：
三、三力平衡汇交定理
定理： 若刚体在三 个力的作用下保持平 FC 衡，其中两个力汇交
FA A O
于一点，那么第三个
力的作用线也必通过 FBC
FB
汇交点。
O
FAy
FA
Q
A
FAx C
B
Q
FC
四、本章的研究内容
分别用几何法和解析法研究平面汇交力系的 合成与平衡
§2-1 几何法（矢量法）
一、 平面汇交力系的合成—力的多边形法则
E
FA
45 0
B
C
FC
xP
其中：cos 2 sin 1
2）几何平衡条件：力的多边形自行封闭
Fn
FR
F3
F2
F1
Fn
F3
F2
F1
例2-1 压路碾子，自重P=20 kN，半径R=0.6m，障碍物高
h=0.08m。碾子中心O处作用一水平拉力F。试求：
（1）当水平拉力F=5 kN时，碾子对地面及障碍物的压力；
（2）欲将碾子拉过障碍物，水平拉力至少应为多大；
（3）力F沿什么方向拉动碾子最省力，此时力F为多大。
FR F1 F2 Fn Fi
Fn
FR F 3
F2
F1
力
多 合力为力多边形的
边 封闭边
形
说明：力系的合成与力序无关
矢量方程为： F R F 1 F 2 F nF i
合力：如果一个力和一个力系等效，则此力称为 该力系的合力。
二、 平面汇交力系的平衡 平衡条件
1）从方程上说： FR 0
几何法的优缺点
（1）各力之间的关系很清楚、直观，便于定性地处理问题。
（2）不便于精确地处理有较多力或各力间几何关系较复杂 的力系平衡问题。一般对于由二力或三力组成的力系的平 衡问题，且当几何关系简单时才应用。
§2-2 解析法
解析法是通过力矢量在坐标轴上的投影来分析力系 的合成和平衡条件
一. 力的解析表示法
X ,Y是力F在两个坐标轴上 的投影(代数量)
力Fx ，Fy 是力F沿着两个坐标轴 方向的两个分力(矢量)
设x、y轴上单位矢量为i 和 j
投影与分力 Fy Y j
间的关系 Fx Xi
Y
y
Fy
F
Fx
j
Oi
x
x
y
Y
Fy
Fx
O X
仿射坐标系中分力 与投影间并没有上
F 述的特殊关系。
x
二. 平面汇交力系的合成
( X 1 X 2 X n ) i ( Y 1 Y 2 Y n ) j
比较上式：
n
F Rx X 1X2 Xn Xi X
1）三个共点力的合成
设 {F1,F2,F3}为作用在A点的力系
F 3 F2
A
F1
F F3
R FR12
F2
F1
FR12 F1 F2 FR FR12 F3
FR F 3
F2
F1
FR F1 F2 F3
2）多个共点力的合成 设 {F1,F2, Fn}为作用在A点的汇交力系
则该力系的合力为 {F R }{F 1,F 2, F n}
n i 1
FRyY1Y2 Yn Yi Y
i1
三. 平面汇交力系的平衡
FR 0
FRx 0
FRy 0
X0 Y0
平衡方程由两个方程组成，可解两个未知量
四. 解题步骤
1）取研究对象，画受力图； 2）建立坐标系，列方程 ； 3）解未知量； 4）重复以上步骤。
例2-3 已知 AC=CB ，杆 DC 与水平线成 450 角；载荷 P=10 kN ，作用于 B 处。梁与杆的重量忽略不计，试 用解析法求铰链 A 的约束反力和杆 DC 所受的力。
Fmi nPsin10 kN
FB
P
Fmin
F
FB
P
FA
F
例2-2 支架的横梁 AB 与斜杆 DC 彼此以铰链 C 相连 接，并各以铰链 A、D 连接于铅直墙上。已知 AC=CB ； 杆 DC 与水平线成 450 角；载荷 P=10 kN ，作用于 B 处。梁与杆的重量忽略不计，求铰链 A 的约束反力和 杆 DC 所受的力。
E
B
FA
A
C
P
A
B
C
D
FC
P
解： 取梁为研究对象。 注意：这里所设力 FA 的方向与
画受力图。
实际方向相反。
解：取横梁为研究对象。画受力图。 y
建立图示直角坐标系。
由平面汇交力系的平衡条件列方程 A
X 0 , FAco sF Cco 4s 050 Y 0 , F A sin F csi4n 05 P0
解：①分别取AC部分,BC部分 为 分离体
②分画受力图 Fc C
B FB
P A
P A
FA
C
B
a
a
C FC '
③应用几何法求解 力 P, F A , F C ' 构成封闭力多边形
FA
F
' C
45 0
P
FA F'C
P 2
FC F'C
P 2
几何法解题步骤：
①取分离体
②画受力图，做力多边形
③ 按比例测量，或应用几何关系计算
FA
F
由： FBsin F
FA FBcos P
解得： FA=11.34 kN , FB=10 kN
F
O
BP
FB
A
FA
（2）碾子能越过障碍物的力学条件 是FA=0，作出此时封闭的力三角形。
由几何关系可得
FP ta n1.5 15 kN
FB
P 23.09
cos
kN
（3）当拉力与FB垂直时，拉动 碾子的力最小。由几何关系可得
B
A
C
P
A D
解： 取梁为研究对象。 画受力图。
FA
C
FC
E B
P
根据平面汇交力系平衡的几何条 件，可作出封闭的力三角形
FA
P 450 FC
E
FA
A
B
C
FC
Q
按比例尺量得或由几何关系经计算可得
FC 28.3 kN FA22.4kN
注： 若作出其它形式的力三角形， 可以解出同样的结果。
FC
P
FA
例 已知：三铰刚架受力如图 求：A,B两处的反力
解：（1）取碾子为研究对 象。 画受力图。
F
O
B
P
A
F
O
B
P
A
FB
FA
（2）根据力系平衡的几何条件，作封闭的力多边形。
按比例，先画已知力，各力矢首位相接。
a.从图中按比例量得
FA=11.4 kN , FB=10 kN
5 kN
b.也可由几何关系计算
cos R h 0.866偶系
平面汇交力系：同一刚体平面内，位于不同点 的各力作用线汇交于同一点的力系，称为平面 汇交力系。
F1
Fn
F2
说明： 根据力的可传性，作用于刚体的平面汇
交力系一定可以转化成平面共点力系， 所以二者的研究方法相同。以下不再区 分，统称为平面汇交力系。
二、工程中的平面汇交力系问题举例：
三、三力平衡汇交定理
定理： 若刚体在三 个力的作用下保持平 FC 衡，其中两个力汇交
FA A O
于一点，那么第三个
力的作用线也必通过 FBC
FB
汇交点。
O
FAy
FA
Q
A
FAx C
B
Q
FC
四、本章的研究内容
分别用几何法和解析法研究平面汇交力系的 合成与平衡
§2-1 几何法（矢量法）
一、 平面汇交力系的合成—力的多边形法则
E
FA
45 0
B
C
FC
xP
其中：cos 2 sin 1
2）几何平衡条件：力的多边形自行封闭
Fn
FR
F3
F2
F1
Fn
F3
F2
F1
例2-1 压路碾子，自重P=20 kN，半径R=0.6m，障碍物高
h=0.08m。碾子中心O处作用一水平拉力F。试求：
（1）当水平拉力F=5 kN时，碾子对地面及障碍物的压力；
（2）欲将碾子拉过障碍物，水平拉力至少应为多大；
（3）力F沿什么方向拉动碾子最省力，此时力F为多大。
FR F1 F2 Fn Fi
Fn
FR F 3
F2
F1
力
多 合力为力多边形的
边 封闭边
形
说明：力系的合成与力序无关
矢量方程为： F R F 1 F 2 F nF i
合力：如果一个力和一个力系等效，则此力称为 该力系的合力。
二、 平面汇交力系的平衡 平衡条件
1）从方程上说： FR 0
几何法的优缺点
（1）各力之间的关系很清楚、直观，便于定性地处理问题。
（2）不便于精确地处理有较多力或各力间几何关系较复杂 的力系平衡问题。一般对于由二力或三力组成的力系的平 衡问题，且当几何关系简单时才应用。
§2-2 解析法
解析法是通过力矢量在坐标轴上的投影来分析力系 的合成和平衡条件
一. 力的解析表示法
X ,Y是力F在两个坐标轴上 的投影(代数量)
力Fx ，Fy 是力F沿着两个坐标轴 方向的两个分力(矢量)
设x、y轴上单位矢量为i 和 j
投影与分力 Fy Y j
间的关系 Fx Xi
Y
y
Fy
F
Fx
j
Oi
x
x
y
Y
Fy
Fx
O X
仿射坐标系中分力 与投影间并没有上
F 述的特殊关系。
x
二. 平面汇交力系的合成