汇交力系、力偶系平衡
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平面汇交力系和平面力偶系的平衡
平衡方程
平面汇交力系
例 已知：系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小， P=20kN； 求：系统平衡时，杆AB，BC受力.
1.1 平面汇交力系的平衡
解： AB、BC杆为二力杆，取滑轮B （或点B），画受力图.建图示 坐标系
1.2 平面力偶系的平衡
1.平面力偶系的合成和平衡条件 已知：
任选一段距离d
=
=
=Leabharlann 1.2 平面力偶系的平衡平面力偶系平衡的充要条件 ，有如下平衡方程 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩 的代数和等于零。
1.2 平面力偶系的平衡
例 已知： 求： 光滑螺柱 AB所受水平力.
解 由力偶只能由力偶平衡的性质， 其受力图为
解得
1.1 平面汇交力系的平衡
1.平面汇交力系合成
合力 FR 在x轴，y轴投影分别为
合力等于各力矢量和
由合矢量投影定理，得合力投影定理
合力的大小为：
方向为：
cos(FR
,
i)
Fix FR
作用点为力的汇交点.
cos(FR
,
j)
Fiy FR
2.平面汇交力系的平衡方程 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力为零。
1.1 平面汇交力系的平衡
平面力系：各力的作用线在同一平面内。 平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。 平面平行力系：各力的作用线都在同一平面内且相互平行的力系。 平面力偶系：在同一平面内有n个力偶作用，形成一个平面力偶系。 平面任意力系：各力的作用线都在同一平面内且任意分布的力系。
第二章平面汇交力系及平面力偶系
一、几何法合成（作图法）
1、两力的合成方法——平行四边形法则。
2、多个力的合成。方法——力多边形法 则（依据平行四边形法则）。将汇交
力系各力平行移至首尾相接，起点至
第
终点连线为合力。
一 章
静 力 学 基 础
理论力学教学课件
第一节 平面汇交力系的合成
一、几何法（作图法）
F1
R12
O
F2
F3
R123
同理 ：Ry= F1y+ F2y+ F3y
R FX 2 Fy 2
第二节 平面汇交力系合成的解析法
例 用 解 析 法 求 三 力 的 合 力 。 已 知 F1=100N ，
F2=200N，F3=300N 。
F1
45°
O
F2
解：F1X=F1COS45°=71N F1y=F1sin45°=71N F2X=F2=200N
静 力
自行封闭。
学 基
础
第二节 平面汇交力系的合成与 平衡的解析法
一、解析法合成（计算 ） 1、力在直角坐标轴上的投影
y
a’
A
αF
B
b’
oa
b
x
ab:F在x轴上的投影（Fx). a’b’:F在y轴上的投影（Fy）。
Fx=ab=Fsinα
第
一
Fy=a’ b’= - Fcosα
章
静 力 学 基 础
第二节 平面汇交力系合成的解析法
解：据平衡方程：ΣFx=0 ΣFy=0
ΣFy=-P- FD cos30°-FCBsin30°=0 FCB=-74.6 KN （BC杆受压） ΣF x=-FAB - FD sin30°FCBcos30°=0 FAB =54.6 KN （AB杆受拉）
1、两力的合成方法——平行四边形法则。
2、多个力的合成。方法——力多边形法 则（依据平行四边形法则）。将汇交
力系各力平行移至首尾相接，起点至
第
终点连线为合力。
一 章
静 力 学 基 础
理论力学教学课件
第一节 平面汇交力系的合成
一、几何法（作图法）
F1
R12
O
F2
F3
R123
同理 ：Ry= F1y+ F2y+ F3y
R FX 2 Fy 2
第二节 平面汇交力系合成的解析法
例 用 解 析 法 求 三 力 的 合 力 。 已 知 F1=100N ，
F2=200N，F3=300N 。
F1
45°
O
F2
解：F1X=F1COS45°=71N F1y=F1sin45°=71N F2X=F2=200N
静 力
自行封闭。
学 基
础
第二节 平面汇交力系的合成与 平衡的解析法
一、解析法合成（计算 ） 1、力在直角坐标轴上的投影
y
a’
A
αF
B
b’
oa
b
x
ab:F在x轴上的投影（Fx). a’b’:F在y轴上的投影（Fy）。
Fx=ab=Fsinα
第
一
Fy=a’ b’= - Fcosα
章
静 力 学 基 础
第二节 平面汇交力系合成的解析法
解：据平衡方程：ΣFx=0 ΣFy=0
ΣFy=-P- FD cos30°-FCBsin30°=0 FCB=-74.6 KN （BC杆受压） ΣF x=-FAB - FD sin30°FCBcos30°=0 FAB =54.6 KN （AB杆受拉）
第2章平面汇交力系与第3章平面力偶系
F
x
0
F
y
0
FA F sin 45 sin( 180 90 1 ) 10 FA F 7.9 N 4
FA
F
1
FN B FA
FNB
2-10
解2: 解析法 研究AB杆，画受力图
F F
X
0 FA cos 1 F cos 0 0 FA sin 1 FN B F sin 0
d
d
m1 F1d1;
m2 F2 d 2
又m1 P 1d
m2 P2d
' RA P P 1 2 ' RB P 1 P 2
合力矩 M RA d ( P1 P2' )d P1d P2' d m1 m2
2-23
m 即合力偶矩等于各个力偶矩的代数和。 2. 平衡： m m 0
方向：以逆时针为正，顺时针为负。
若用矢量表示： m BA F
2-18
注：力偶无合力，即不能与某力作等效变换，其是一个 基本的力素。 证明： FR=F-F'=0
由合力距定理，可知
M
C
0, F 'CB F CA 0 CB F 1 CA F '
FR
若CB CB d成立, 必有CB
A
1
Y
O
10 FA F 7.9 N 4
F
C
45°
B
FA
FNB
2-11
§2-3 力矩、力偶的概念及其性质
力对物体可以产生 移动效应--取决于力的大小、方向 转动效应--取决于力矩的大小、方向 一、力对点的矩
平面汇交力系和平面力偶系
第二章 平面汇交力系与平面力偶系§2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法一、汇交力系合成与平衡的几何法 汇交力系：是指各力的作用线汇交于同一点的力系。
若汇交力系中各力的作用线位于同一平面内时，称为平面汇交力系，否则称为空间汇交力系。
1、平面汇交力系的合成先讨论3个汇交力系的合成。
设汇交力系1F ，2F ，3F汇交于O （图1），由静力学公理3：力的平行四边形法则（力的三角形）可作图2，说明)(),,(321F F F F=如图和图所示，其中321F F F F ++=F2F 3F OFO1F 2F 3F12F讨论：1）图2中的中间过程12F 可不必求，去掉12F 的图称为力多边形，由力多边形求合力大小和方向的方法称为合力多边形法则。
2）力多边形法则：各分力矢依一定次序首尾相接，形成一力矢折线链，合力矢是封闭边，合力矢的方向是从第一个力矢的起点指向最后一个力矢的终点。
3）上述求合力矢的方法可推广到几个汇交力系的情况。
结论：汇交力系合成的结果是一个合力，合力作用线通过汇交点，合力的大小和方向即：∑=i F F用力多边形法则求合力的大小和方向的方法称为合成的几何法。
2．平面汇交力系的平衡1F 2F iF 2-n F 1-n F n F设作用在刚体上的汇交力系),,(21n F F F 为平衡力系，即 0),,(21≡n F F F先将121,,-n F F F 由力多边形法合成为一个力1-N F，（∑-=-=111n i i N F F ）0),(),,(121≡≡-n N n F F F F F由静力公理1，作用在刚体上二力平衡的必要充分条件是：1-N F 与n F等值，反向，共线，即n N F F =-1， 可得01=+-n N F F，或0=∑i F结论：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：力系中各力的乖量和为零，用几何法表示的平衡条件是0=∑i F，力多边形自行封闭。
例1． 已知：简支梁AB ，在中点作用力F，方向如图，求反力FA B C45F AF BACα 45FF BF α解：1。
理论力学课件 7.1 空间汇交力系的合成与平衡
F z = F cos g
空间汇交力系和空间力偶系
（2）空间汇交力系的合成
FR = å Fi
由合矢量投影定理，得合力投影定理：
å å F Rx =
Fix FRy =
Fiy
å FRz =
Fiz
1、空间汇交力系的合成与平衡
合力的大小为： FR = FRx2 + FRy2 + FRy2
å å å 方向为：cos(FR,i) =
F1
θ
FA P AA
1、空间汇交力系的合成与平衡
y
x
求解得: F1=F2=3.54kN FA=8.66kN
空间汇交力系和空间力偶系
空间汇交力系和空间力偶系
空间汇交力系和空间力偶系
本讲主要内容
1、空间汇交力系的合成与平衡 2、力对点的矩和力对轴的矩 3、空间力偶及其性质 4、空间力偶系的合成与平衡
空间汇交力系和空间力偶系
1、空间汇交力系的合成与平衡
空间汇交力系和空间力偶系
（1）力在坐标轴上的投影a. 直接投影法
1、空间汇交力系的合成与平衡
Fz
γF
β α
Fy
Fx
Fx = F cosa
Fy = F cos b
Fz = F cosg
空间汇交力系和空间力偶系
（1） 力在坐标轴上的投影b. 二次投影法 间接投影法
1、空间汇交力系的合成与平衡
Fz
γF Fy
j Fx
Fxy = F sinγ
Fx = F sin g cos j
Fy = F sin g sin j
Fix FR
cos(FR, j) =
Fiy FR
cos(FR,k) =
空间汇交力系和空间力偶系
（2）空间汇交力系的合成
FR = å Fi
由合矢量投影定理，得合力投影定理：
å å F Rx =
Fix FRy =
Fiy
å FRz =
Fiz
1、空间汇交力系的合成与平衡
合力的大小为： FR = FRx2 + FRy2 + FRy2
å å å 方向为：cos(FR,i) =
F1
θ
FA P AA
1、空间汇交力系的合成与平衡
y
x
求解得: F1=F2=3.54kN FA=8.66kN
空间汇交力系和空间力偶系
空间汇交力系和空间力偶系
空间汇交力系和空间力偶系
本讲主要内容
1、空间汇交力系的合成与平衡 2、力对点的矩和力对轴的矩 3、空间力偶及其性质 4、空间力偶系的合成与平衡
空间汇交力系和空间力偶系
1、空间汇交力系的合成与平衡
空间汇交力系和空间力偶系
（1）力在坐标轴上的投影a. 直接投影法
1、空间汇交力系的合成与平衡
Fz
γF
β α
Fy
Fx
Fx = F cosa
Fy = F cos b
Fz = F cosg
空间汇交力系和空间力偶系
（1） 力在坐标轴上的投影b. 二次投影法 间接投影法
1、空间汇交力系的合成与平衡
Fz
γF Fy
j Fx
Fxy = F sinγ
Fx = F sin g cos j
Fy = F sin g sin j
Fix FR
cos(FR, j) =
Fiy FR
cos(FR,k) =
平面汇交力系和平面力偶系
平面汇交力系和平面力偶系
平面汇交力系和平面力偶系是平面力学中的两个重要概念。
平面汇交力系是指各力的作用线在同一平面内且汇交于一点的力系。
在平面汇交力系中，力的大小和方向可以通过力的矢量表示。
平面汇交力系的合成可以通过力的多边形法则来进行，即将各个力按照首尾相接的顺序连接起来，形成一个封闭的多边形，合力则为这个多边形的封闭矢量。
平面力偶系是指由若干个力偶组成的力系，其中力偶是由大小相等、方向相反且不共线的两个力组成的力矩对。
在平面力偶系中，力偶的作用效果是产生旋转，而不是平移。
平面力偶系的合成可以通过力偶矩的代数和来进行。
平面汇交力系和平面力偶系在工程和物理学中有广泛的应用。
在结构分析、机械设计和力学问题中，常常需要考虑和分析平面汇交力系和平面力偶系的作用效果。
总的来说，平面汇交力系和平面力偶系是平面力学中的重要概念，它们的合成和平衡条件对于理解和解决平面力学问题至关重要。
第2章平面汇交力系与平面力偶系
FBA
FBC
FAB
A
' F' FBA BC
B B
B
P
C
F2 F1
C
FCB
解：
y
FBA F2
600
300
（1） 取滑轮为研究对象，将其视为 一个几何点。受力如图所示。
其中 F1= F2 =P = 20 kN （2）选取图示坐标系。列方程
B
FBC
F1
x
X 0, Y 0,
FBA F1cos600 F2cos300 0 FBC F1cos300 F2cos600 0
解：（1）取碾子为研究对 象。 画受力图。
F
F
O B
O B
FB
P
P
A FA
A
（2）根据力系平衡的几何条件，作封闭的力多边形。
按比例，先画已知力，各力矢首位相接。
FB
a.从图中按比例量得
FA=11.4 kN , FB=10 kN 5 kN
FA
0
P
b.也可由几何关系计算
Rh cos 0.866 R
即：若作用在刚体上 {F1 , F2 ,, Fn } {FR }
则：
M O ( FR ) MO (Fi )
i 1
n
在古代，人们没有大型的 起重工具，只能依靠人力和畜力 。在建造宏伟的建筑物时，为了 将巨大的石柱竖立起来，可能采 用了右图所示的方法。其中起关 键作用的是用木材作成的 A 字形 支架。试从力学角度说明采用此 项措施的必要性。
P
解： 取梁为研究对象。 画受力图。
注意：这里所设力 FA 的方向与 实际方向相反。
解：取横梁为研究对象。画受力图。 建立图示直角坐标系。 由平面汇交力系的平衡条件列方程
FBC
FAB
A
' F' FBA BC
B B
B
P
C
F2 F1
C
FCB
解：
y
FBA F2
600
300
（1） 取滑轮为研究对象，将其视为 一个几何点。受力如图所示。
其中 F1= F2 =P = 20 kN （2）选取图示坐标系。列方程
B
FBC
F1
x
X 0, Y 0,
FBA F1cos600 F2cos300 0 FBC F1cos300 F2cos600 0
解：（1）取碾子为研究对 象。 画受力图。
F
F
O B
O B
FB
P
P
A FA
A
（2）根据力系平衡的几何条件，作封闭的力多边形。
按比例，先画已知力，各力矢首位相接。
FB
a.从图中按比例量得
FA=11.4 kN , FB=10 kN 5 kN
FA
0
P
b.也可由几何关系计算
Rh cos 0.866 R
即：若作用在刚体上 {F1 , F2 ,, Fn } {FR }
则：
M O ( FR ) MO (Fi )
i 1
n
在古代，人们没有大型的 起重工具，只能依靠人力和畜力 。在建造宏伟的建筑物时，为了 将巨大的石柱竖立起来，可能采 用了右图所示的方法。其中起关 键作用的是用木材作成的 A 字形 支架。试从力学角度说明采用此 项措施的必要性。
P
解： 取梁为研究对象。 画受力图。
注意：这里所设力 FA 的方向与 实际方向相反。
解：取横梁为研究对象。画受力图。 建立图示直角坐标系。 由平面汇交力系的平衡条件列方程
理论力学课件 4.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
平面汇交力系和平面力偶系
各力的作用线都汇交于一点的力系。可分为空间汇交 力系和平面汇交力系。
合力
多个力汇交于一点，如果能用一个力来等效替换， 此力称为合力。简言之：如果一个力与某一力系等 效，则称此力为该力系的合力。
平面汇交力系和平面力偶系
（1）两个共点力的合成
力三角形规则
尾 首
1、平面汇交力系合成与平衡 的几何法
注意：力三角形规则求出的是合力的大小与方向， 作用点仍在交汇点。
力多边形规则 力多边形 不唯一
注意：力多边形规则求出的是合力的大小与方向， 作用点仍在交汇点。
1、平面汇交力系合成与平衡 的几何法
平面汇交力系和平面力偶系
（3）汇交力系平衡的几何条件
å 平衡条件 FR = Fi = 0
汇交力系平衡的必要和充分条件是：
该力系的力多边形自行封闭 平衡的几何条件
1、平面汇交力系合成与平衡 的几何法
平面汇交力系和平面力偶系
平面汇交力系和平面力偶系
本讲主要内容
1、平面汇交力系合成与平衡的几何法 2、平面汇交力系合成与平衡的解析法 3、平面力对点的矩和平面力偶 4、平面力偶系的合成和平衡条件
平面汇交力系和平面力偶系
1、平面汇交力系合成与平衡 的几何法
平面汇交力系和平面力偶系
汇交力系
1、平面汇交力系合成与平衡 的几何法
解：CD为二力杆，取AB杆为研究对象，画受力图
E
1、平面汇交力系合成与平衡 的几何法
FA θ
FC 45°
F
A
C
B
汇交力系，利用平衡的几何条件，画封闭的力三角形.
c
b
FA
a
θ
FC
F 45°bF源自FCaFA c
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60°
y FBC
B
Fy 0 FBC F1 cos 30 F2 cos 60 0
FBC 1.366P 27.32kN （压力）
30°
x
F1
例3-1 图示圆轴斜齿轮，
已知：啮合力Fn ， 螺旋角β，压力角α
求：力Fn在三个坐标轴上的投影。 解：
Fxy= Fncos α Fz= –Fnsin α
合力偶矩矢的方向余弦
cosa M x
M
cos b M y
M
cos M z
M
空间力偶系的平衡条件
合力偶矩矢 M 等于零：
M=ΣMi= 0
M ( M x )2 ( M y )2 ( M z )2 0
空间力偶系的平衡方程
ΣMx= 0 ΣMy= 0 ΣMz= 0
力对点O的矩在三个坐标轴上的投影为
rr MO (F )x yFz zFy
rr MO (F ) y zFx xFz
rr MO (F )z xFy yFx
(3-10)
2.力对轴的矩
力对轴的矩是力使物体绕轴转动的度量
Mz (F)>0
Mz (F)= MO (Fxy)=± Fxy·d
§3-2 力对点的矩和力对轴的矩
1. 力对点的矩以矢量表示——力矩矢
在空间力系中，力使物体绕某点转动的效应，与相
应的力矩平面在空间的方位有关。
在xOy平面内的力F 对O点之矩（力矩平面P）
使物体绕z轴转动；
不在xOy平面内的力F1对O点之矩 z
（力矩平面P1）
z1
F1
使物体绕z1轴转动，
P1
z1轴垂直于力矩平面P1 。
Fx= – Fncos α cos β
Fy= – Fncos α sin β Fz= –Fnsin α
β
例3-3 图示起重装置，BCED平面与水平面夹角30°
已知：物重P=10kN，CE=EB=DE， =30°
求：杆受力及绳拉力
解：画受力图如图
∑Fx= 0 F1sin 45°–F2 sin 45°= 0 F1=F2
等于各分力在同一轴上投影的代数和。 Fx= Fx1 + Fx2 +……+Fxn=∑Fxi Fy= Fy1 + Fy2 +……+Fyn=∑Fyi Fz= Fz1 + Fz2 +……+Fzn=∑Fzi
4.汇交力系的平衡方程
汇交力系的平衡条件：合力等于零。
FR Fx2 Fy2 Fz2 ( Fxi )2 ( Fyi )2 ( Fzi )2 0
Fx= Fx1 + Fx2 +……+Fxn=∑Fxi=0 Fy= Fy1 + Fy2 +……+Fyn=∑Fyi=0 Fz= Fz1 + Fz2 +……+Fzn=∑Fzi=0
空间汇交力系的平衡方程：
∑Fx= 0 ∑Fy= 0 ∑Fz= 0
Fx 0 Fy 0
例2-3 已知：系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮
平行力称为力偶，记为（F , F ′)。
力偶矩：度量力偶使物体产生 的转动效应。
空间力偶的三要素
(1) 大小: 力F与力臂d的乘积 (2) 方向: 转动方向 (3) 作用面：力偶作用面。
空间力偶矩的矢量表示法：M=rBA×F
力偶矩矢M垂直于力偶作用面 按右手螺旋法则表示力偶矩矢的指向。
AΔABC
力偶矩矢M的大小（模） M=Fd =2AΔABC
大小， P=20kN
求：系统平衡时，杆AB、BC受力。 解： AB、BC为二力杆，
取滑轮B，画受力图。F1=F2=P
用解析法，建图示坐标系
Fx 0 FBA F1 cos 60 F2 cos 30 0 FBA
解得
FBA 0.366P 7.321kN （压力）
F2
ΣMz= 0 平面
例2-5 已知： M1=M2=10 N.m , M3=20 N.m , l =200 mm
求：光滑螺柱A、B 所受水平力
解：由于力偶只能由力偶平衡， A、B 所受水平力必为力偶
M 0
l
FAl M1 M 2 M 3 0
解得
FA
FB
M1
M2 l
M3
10 10 20 200 103
O
y
x
P
B
AF
力对点之矩的矢量表示法：力矩矢
MO(F) =r×F （3–8） r —力作用点的矢径
按右手螺旋法则表示力矩矢的指向
力矩矢MO(F)垂直于平面OAB
定位矢量 —力矩矢始端必须在矩心
z
力矩矢的三要素
(1) 大小: 力F与力臂h的乘积
MO(F)
(2) 方向: 转动方向 (3) 作用面：力矩作用面。
F3
F4
合力F R F123 F4
合力 F R
F4
F3
注意：各分力矢首尾相接，合力矢与第一分力矢
同起点 并与最后分力同终点。
2. 汇交力系平衡的几何条件
汇交力系平衡条件：合力
FR Fi 0
平面汇交力系平衡的几何条件——
力多边形自行封闭。
F5
F1
F2
F4
F3
F2 F1
F3
F5 F4
例题 已知：梁重P=10kN,α=45° 求：钢索AC和BC所受的拉力。
力对轴之矩的解析式
Mx(F)= y Fz－z Fy My(F)= z Fx－x Fz Mz(F)= x Fy－y Fx
(3-12)
z
Fz
Fx
z
x xy
F
Fy
y
3.力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系
由式（3-10）与式（3-12）可知
力对点的矩矢在通过该点的轴上的投影
等于力对该轴之矩
[MO(F)]x = Mx(F) [MO(F)]y = My(F) [MO(F)]z = Mz(F)
单位 N.m
2.空间力偶等效定理
作用在同一刚体上的两个空间力偶， 如果力偶矩矢相等，则它们彼此等效 。
定位矢量 滑移矢量 自由矢量（搬来搬去，滑来滑去）
力偶矩矢是自由矢量
力偶的性质
(1)合力为零,力偶不能与一个力平衡。 (2)力偶在任意轴上的投影为零。 (3)力偶对任一点之矩等于力偶矩自己的值。
公理1 公理3
平衡力系
合力/分力
课程回顾
力的平行四边形法则。 加减平衡力系原理。
物体受力分析
等效力系
（作用效果）
力系等效替换
公理1、3
建立平衡条件
公理2 二力平衡条件(二力杆)。
公理4
作用和反作用定律。
公理5 刚化原理。
约束和约束力：自由体和非自由体
方向：必与该约束所能阻碍的位移方向相反
大小+方向 正交力系
4.合力矩定理
平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩 等于各分力对同一点之矩的代数和。
MO(FR )=∑MO(Fi )
合力矩定理的应用
例2-4 求齿轮啮合力F 对轮心O点之矩。
F=1400N , =20o
F
合力矩定理的应用
例2-4 求齿轮啮合力F 对轮心O点之矩。
F=1400N , =20o
∑Fy= 0
FA sin 30 F1 cos 45 cos 30 F2 cos 45 cos 30 0
∑Fz= 0
F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos 30 P 0 解得： F1 F2 3.54kN FA 8.66kN
力的投影与分力间的关系
力的投影
z
Fz
F
γ
Fx
Fy
x
Fxy
力的分解
z
Fz
F
γ
y
Fx
Fy
y
x
Fxy
力在空间直角坐(1标.3-轴5)上的投影与分力的大小相等。
2）合矢量投影定理
空间汇交力系的合力
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和
F= F1 + F2 +……+Fn=∑Fi 合力投影定理：合力在某轴上的投影
z MO(F)
Mz
O Mx
My
y
x
例3-4 图示手柄，已知 F，l，a，
求：M x F , M y F , M z F
解：把力 F 分解如图
M x F F l acos
M y F Fl cos M z F F l a sin
力偶的可改装性
M=20kN.m
10kN 2m
M=20kN.m
20kN 1m
10kN
20kN
保持力偶矩不变，分别改变力和力偶臂 大小，其作用效果不变
3. 空间力偶系的合成与平衡
力偶系的合成
合力偶矩矢M，等于各分力偶矩矢的矢量和。
M=ΣMi
=
合力偶矩矢M的大小为
M ( M x )2 ( M y )2 ( M z )2
合力矩定理
MO (F) = MO(Ft)+ MO (Fr)
= Fcos ×0.06+ 0
= 1400cos20o×0.06
120
= 78.93 N.m
Fr= Fsin F
Ft= Fcos
O
3.力偶和力偶矩
力偶实例
水龙头 电机转子
驾驶盘
丝锥
1. 力偶矩以矢量表示——力偶矩矢
y FBC
B
Fy 0 FBC F1 cos 30 F2 cos 60 0
FBC 1.366P 27.32kN （压力）
30°
x
F1
例3-1 图示圆轴斜齿轮，
已知：啮合力Fn ， 螺旋角β，压力角α
求：力Fn在三个坐标轴上的投影。 解：
Fxy= Fncos α Fz= –Fnsin α
合力偶矩矢的方向余弦
cosa M x
M
cos b M y
M
cos M z
M
空间力偶系的平衡条件
合力偶矩矢 M 等于零：
M=ΣMi= 0
M ( M x )2 ( M y )2 ( M z )2 0
空间力偶系的平衡方程
ΣMx= 0 ΣMy= 0 ΣMz= 0
力对点O的矩在三个坐标轴上的投影为
rr MO (F )x yFz zFy
rr MO (F ) y zFx xFz
rr MO (F )z xFy yFx
(3-10)
2.力对轴的矩
力对轴的矩是力使物体绕轴转动的度量
Mz (F)>0
Mz (F)= MO (Fxy)=± Fxy·d
§3-2 力对点的矩和力对轴的矩
1. 力对点的矩以矢量表示——力矩矢
在空间力系中，力使物体绕某点转动的效应，与相
应的力矩平面在空间的方位有关。
在xOy平面内的力F 对O点之矩（力矩平面P）
使物体绕z轴转动；
不在xOy平面内的力F1对O点之矩 z
（力矩平面P1）
z1
F1
使物体绕z1轴转动，
P1
z1轴垂直于力矩平面P1 。
Fx= – Fncos α cos β
Fy= – Fncos α sin β Fz= –Fnsin α
β
例3-3 图示起重装置，BCED平面与水平面夹角30°
已知：物重P=10kN，CE=EB=DE， =30°
求：杆受力及绳拉力
解：画受力图如图
∑Fx= 0 F1sin 45°–F2 sin 45°= 0 F1=F2
等于各分力在同一轴上投影的代数和。 Fx= Fx1 + Fx2 +……+Fxn=∑Fxi Fy= Fy1 + Fy2 +……+Fyn=∑Fyi Fz= Fz1 + Fz2 +……+Fzn=∑Fzi
4.汇交力系的平衡方程
汇交力系的平衡条件：合力等于零。
FR Fx2 Fy2 Fz2 ( Fxi )2 ( Fyi )2 ( Fzi )2 0
Fx= Fx1 + Fx2 +……+Fxn=∑Fxi=0 Fy= Fy1 + Fy2 +……+Fyn=∑Fyi=0 Fz= Fz1 + Fz2 +……+Fzn=∑Fzi=0
空间汇交力系的平衡方程：
∑Fx= 0 ∑Fy= 0 ∑Fz= 0
Fx 0 Fy 0
例2-3 已知：系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮
平行力称为力偶，记为（F , F ′)。
力偶矩：度量力偶使物体产生 的转动效应。
空间力偶的三要素
(1) 大小: 力F与力臂d的乘积 (2) 方向: 转动方向 (3) 作用面：力偶作用面。
空间力偶矩的矢量表示法：M=rBA×F
力偶矩矢M垂直于力偶作用面 按右手螺旋法则表示力偶矩矢的指向。
AΔABC
力偶矩矢M的大小（模） M=Fd =2AΔABC
大小， P=20kN
求：系统平衡时，杆AB、BC受力。 解： AB、BC为二力杆，
取滑轮B，画受力图。F1=F2=P
用解析法，建图示坐标系
Fx 0 FBA F1 cos 60 F2 cos 30 0 FBA
解得
FBA 0.366P 7.321kN （压力）
F2
ΣMz= 0 平面
例2-5 已知： M1=M2=10 N.m , M3=20 N.m , l =200 mm
求：光滑螺柱A、B 所受水平力
解：由于力偶只能由力偶平衡， A、B 所受水平力必为力偶
M 0
l
FAl M1 M 2 M 3 0
解得
FA
FB
M1
M2 l
M3
10 10 20 200 103
O
y
x
P
B
AF
力对点之矩的矢量表示法：力矩矢
MO(F) =r×F （3–8） r —力作用点的矢径
按右手螺旋法则表示力矩矢的指向
力矩矢MO(F)垂直于平面OAB
定位矢量 —力矩矢始端必须在矩心
z
力矩矢的三要素
(1) 大小: 力F与力臂h的乘积
MO(F)
(2) 方向: 转动方向 (3) 作用面：力矩作用面。
F3
F4
合力F R F123 F4
合力 F R
F4
F3
注意：各分力矢首尾相接，合力矢与第一分力矢
同起点 并与最后分力同终点。
2. 汇交力系平衡的几何条件
汇交力系平衡条件：合力
FR Fi 0
平面汇交力系平衡的几何条件——
力多边形自行封闭。
F5
F1
F2
F4
F3
F2 F1
F3
F5 F4
例题 已知：梁重P=10kN,α=45° 求：钢索AC和BC所受的拉力。
力对轴之矩的解析式
Mx(F)= y Fz－z Fy My(F)= z Fx－x Fz Mz(F)= x Fy－y Fx
(3-12)
z
Fz
Fx
z
x xy
F
Fy
y
3.力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系
由式（3-10）与式（3-12）可知
力对点的矩矢在通过该点的轴上的投影
等于力对该轴之矩
[MO(F)]x = Mx(F) [MO(F)]y = My(F) [MO(F)]z = Mz(F)
单位 N.m
2.空间力偶等效定理
作用在同一刚体上的两个空间力偶， 如果力偶矩矢相等，则它们彼此等效 。
定位矢量 滑移矢量 自由矢量（搬来搬去，滑来滑去）
力偶矩矢是自由矢量
力偶的性质
(1)合力为零,力偶不能与一个力平衡。 (2)力偶在任意轴上的投影为零。 (3)力偶对任一点之矩等于力偶矩自己的值。
公理1 公理3
平衡力系
合力/分力
课程回顾
力的平行四边形法则。 加减平衡力系原理。
物体受力分析
等效力系
（作用效果）
力系等效替换
公理1、3
建立平衡条件
公理2 二力平衡条件(二力杆)。
公理4
作用和反作用定律。
公理5 刚化原理。
约束和约束力：自由体和非自由体
方向：必与该约束所能阻碍的位移方向相反
大小+方向 正交力系
4.合力矩定理
平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩 等于各分力对同一点之矩的代数和。
MO(FR )=∑MO(Fi )
合力矩定理的应用
例2-4 求齿轮啮合力F 对轮心O点之矩。
F=1400N , =20o
F
合力矩定理的应用
例2-4 求齿轮啮合力F 对轮心O点之矩。
F=1400N , =20o
∑Fy= 0
FA sin 30 F1 cos 45 cos 30 F2 cos 45 cos 30 0
∑Fz= 0
F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos 30 P 0 解得： F1 F2 3.54kN FA 8.66kN
力的投影与分力间的关系
力的投影
z
Fz
F
γ
Fx
Fy
x
Fxy
力的分解
z
Fz
F
γ
y
Fx
Fy
y
x
Fxy
力在空间直角坐(1标.3-轴5)上的投影与分力的大小相等。
2）合矢量投影定理
空间汇交力系的合力
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和
F= F1 + F2 +……+Fn=∑Fi 合力投影定理：合力在某轴上的投影
z MO(F)
Mz
O Mx
My
y
x
例3-4 图示手柄，已知 F，l，a，
求：M x F , M y F , M z F
解：把力 F 分解如图
M x F F l acos
M y F Fl cos M z F F l a sin
力偶的可改装性
M=20kN.m
10kN 2m
M=20kN.m
20kN 1m
10kN
20kN
保持力偶矩不变，分别改变力和力偶臂 大小，其作用效果不变
3. 空间力偶系的合成与平衡
力偶系的合成
合力偶矩矢M，等于各分力偶矩矢的矢量和。
M=ΣMi
=
合力偶矩矢M的大小为
M ( M x )2 ( M y )2 ( M z )2
合力矩定理
MO (F) = MO(Ft)+ MO (Fr)
= Fcos ×0.06+ 0
= 1400cos20o×0.06
120
= 78.93 N.m
Fr= Fsin F
Ft= Fcos
O
3.力偶和力偶矩
力偶实例
水龙头 电机转子
驾驶盘
丝锥
1. 力偶矩以矢量表示——力偶矩矢