2020最新函数图像的对称问题(小结)
函数的对称性与周期性(归纳总结)
函数的对称性与周期性（归纳总结）一、函数对称性：1.2.3.4.5.6.7.8.f（a+x）=f（a-x）==>f（x）关于x=a对称f（a+x）=f（b-x）==>f（x）关于x=（a+b）/2对称f（a+x）=-f（a-x）==>f（x）关于点（a，0）对称f（a+x）=-f（a-x）+2b==>f（x）关于点（a，b）对称f（a+x）=-f（b-x）+c==>f（x）关于点[（a+b）/2，c/2]对称y=f（x）与y=f（-x）关于x=0对称y=f（x）与y=-f（x）关于y=0对称y=f（x）与y=-f（-x）关于点（0,0）对称例1：证明函数y=f（a+x）与y=f（b-x）关于x=（b-a）/2对称。
【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a+x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a+m）=f[b（2tm）] ∴b2t=a，==>t=（b-a）/2，即证得对称轴为x=（b-a）/2.例2：证明函数y=f（a-x）与y=f（xb）关于x=（a+b）/2对称。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a-x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a-m）=f[（2tm）b] ∴2t-b=a，==>t=（a+b）/2，即证得对称轴为x=（a+b）/2.二、函数的周期性令a,b均不为零，若：1、函数y=f（x）存在f（x）=f（x+a）==>函数最小正周期T=|a|2、函数y=f（x）存在f（a+x）=f（b+x）==>函数最小正周期T=|b-a|3、函数y=f（x）存在f（x）=-f（x+a）==>函数最小正周期T=|2a|4、函数y=f（x）存在f（x+a）=1/f（x）==>函数最小正周期T=|2a|5、函数y=f（x）存在f（x+a）=[f（x）+1]/[1f（x）]==>函数最小正周期T=|4a|这里只对第2~5点进行解析。
函数的对称问题重点
函数的对称问题湖南彭向阳一、函数的自对称问题1．函数 y=f(x 的图象关于直线x=a 对称f(a+x=f(a-x ；特别，函数y=f(x 的图象关于y 轴对称f(x=f(-x.2．函数 y=f(x 的图象关于点(a,b 对称f(a+x+f(a-x=2b ；特别，函数y=f(x 的图象关于原点对称f(-x=-f(x.主要题型：1.求对称轴 (中心：除了三角函数y=sinx ， y=cosx 的对称轴〔中心〕可以由以下结论直接写出来 (对称轴为函数取得最值时的x=,对称中心为函数与x 轴的交点外，其它函数的对称轴(中心就必须求解，求解有两种方法，一是利用对称的定义求解；二是利用图象变换求解.例 1 确定函数的图象的对称中心.解析 1 设函数的图象的对称中心为〔h， k〕，在图象上任意取一点P 〔x， y〕，它关于〔 h， k〕的对称点为Q〔 2h-x， 2k-y 〕， Q 点也在图象上，即有，由于，两式相加得，化简得〔*〕.由于 P 点的任意性，即〔 * 〕式对任意 x 都成立，从而必有 x 的系数和常数项都为 0，即h=1，k=1.所以函数的图象的对称中心为〔1,1〕.解析 2 设函数，那么g(x为奇函数，其对称中心为原点，由于，说明函数f(x 的图象是由g(x 的图象分别向右、向上平移 1 个单位得到，而原点向右、向上分别平移 1 个单位得到点 (1,1.所以函数的图象的对称中心为〔1,1〕.例 2 曲线 f(x=ax 3+bx2+cx ，当 x=1-时，f(x有极小值；当x=1+时，f(x有极大值，且在x=1 处切线的斜率为.(1 求 f(x ；(2 曲线上是否存在一点P，使得 y=f(x 的图象关于点P 中心对称？假设存在，求出点P 的坐标，并给出证明；假设不存在，请说明理由.解析 (1 =3ax2+2bx+c ，由题意知 1- 与 1+ 是 =3ax2+2bx+c=0 的根，代入解得 b=-3a， c=-6a.又 f(x 在 x=1 处切线的斜率为，所以，即3a+2b+c=，解得. 所以f(x .f(x0+x+f(x0-x=2y0 ，(2 假设存在P(x0 ， y0，使得f(x 的图象关于点P 中心对称，那么即，化简得.由于是对任意实数x 都成立，所以，而 P在曲线y=f(x上.所以曲线上存在点P，使得y=f(x的图象关于点P 中心对称 .2.证明对称性：证明对称性有三种方法，一是利用定义，二是利用图象变换，三是利用前面的结论 ( 函数 y=f(x的图象关于点(a,b对称f(a+x+f(a-x=2b来解决.例 3 求证函数的图象关于点P〔 1,3 〕成中心对称.证明 1 在函数的图象上任意取一点A〔x， y〕，它关于点P〔 1,3 〕的对称点为 B〔2-x ， 6-y 〕，因为，所以点 B 在函数的图象上，故函数的图象关于点P〔 1,3 〕对称 .证明2因为.由于是奇函数，所以的图象关于原点对称，将它的图象分别向右平移 1 个单位，向上平移 3 个单位，就得到函数的图象，所以的图象关于点P〔 1,3 〕对称 .所以的图象关于点 P〔 1,3 〕对称 .3．函数的对称性求函数的值或参数的值:由函数的对称性求值，关键是将对称问题转化为等式问题，然后对变量进行赋值求解. 例4 定义在R 上的函数f(x的图象关于点对称，且满足那么f(1+f(2+f(3++f(2005 的值为〔〕.A ．解析由f(x 的图象关于点，即，即对称，那么说明函数，又，函数 f(x是偶函数是奇函数，也就是有，所以.所以，又，即 f(x 以 3 为周期， f(2=f(-1=1 ， f(3=f(0=-2 ，所以 f(1+f(2+f(3+ +f(2005=668 〔 f(1+f(2+f(3 〕 +f(2005=f(2005=f(1=1 ，选 D.例 5 函数f(x=的图象关于点中心对称，求f(x.解析 1 设 f(x图象上任意一点A〔 x，y〕，它关于点的对称点为B，由于 A、 B 都在 f(x上，所以，相加整理得，解得 a=1.所以 f(x=.解析 2 由上面的公式有，代入化简整理得a=1.解析 3 由题意知将函数y=f(x的图象向左平移 1 个单位长度，向下平移个单位长度得y=的图象，它关于原点对称，即是奇函数，=，即 y=，它是奇函数必须常数项为0，即 a=1.二、函数的互对称问题1． y=f(x 与 y=g(x 的图象关于直线x=a 对称f(a+x=g(a-x ；2． y=f(x 与 y=g(x 的图象关于直线y=b 对称f(x+g(x=2b ；3． y=f(x 与 y=g(x 的图象关于点 (a ， b 对称f(a+x+g(a-x=2b.4． y=f(x 与 y=g(x 的图象关于直线y=x 对称f(x 和 g(x 互为反函数 .记住这些结论不仅仅便于解决选择填空题，也便于解答题中的图象互相对称的函数解析式的求解问题 . 主要题型：1. 判断两个函数图象的对称关系例 6 在同一平面直角坐标系中，函数f(x=2x+1与g(x=21-x的图象关于(.A．直线ｘ＝ 1 对称 B. ｘ轴对称C.ｙ轴对称D. 直线ｙ＝ｘ对称解析作为一个选择题，可以取特殊点验证法，在f(x上取点(1,4，g(x上点(-1,4，而这两个点关于y 轴对称，所以选择 C.当然也可利用上面的结论解决，因为f(-x=2-x+1=g(x，所以f(x、g(x的图象关于y 轴对称，选 C.2．证明两个函数图象的对称性：一般利用对称的定义，先证明前一个函数图象上任意一点关于直线 ( 点的对称点在后一个函数的图象上，再证明后一个函数图象上任意一点关于直线( 点的对称点也在前一个函数的图象上，这两个步骤不能少.当然也可利用上面的结论来解决.例 7 函数f(x=x3-x，将y=f(x的图象沿x 轴、 y 轴正向分别平行移动t 、 s 单位，得到函数 y=g(x 的图象 . 求证： f(x和g(x的图象关于点A〔〕对称.解析由得g(x=(x-t3-(x-t+s.在 y=f(x的图象上任取一点P(x1,y1 ，设Q(x2,y2是P 关于点 A 的对称点，那么有，∴x1=t -x2, y1=s-y2.代入 y=f(x ，得 x2 和 y2 满足方程：s-y2=(t-x23-(t-x2，即y2=(x2-t3-(x2-t+s，可知点 Q(x2,y2 在 y=g(x 的图象上 .反过来，同样可以证明，在y=g(x的图象上的点关于点 A 的对称点也在y=f(x的图象上，因此，f(x和g(x的图象关于点A〔〕对称.3．由两个函数图象的对称性求参数值：首先必须根据对称性由函数求出另一函数的解析式，然后再由条件确定参数的值.例 8 f(x 是定义在上的偶函数，g(x的图象与f(x的图象关于直线x=1 对称，且当时， g(x=2a(x-2-3(x-23 ，其中为常数，假设f(x 的最大值为12，求 a 的值 .解析由于 g(x 的图象与 f(x 的图象关于直线x=1 对称，所以 f(1+x=g(1-x ，即 f(x=g(2-x.当时，，所以f(x=g(2-x= 2a(2-x-2-3(2-x-23=-2ax+3x3，因为f(x 是偶函数，所以当时，， f(x=f(-x=2ax-3x3.因为当时，=-2a+9x2 ≤ -2a+9<0，所以f(x 在上是减函数，从而f(x 在上是增函数，所以f(x 的最大值为f(1=f(-1=2a-3=12 ，即.。
高三函数对称性知识点汇总
高三函数对称性知识点汇总函数是数学中的重要概念，在高三数学学习中，函数的对称性是一个重要的知识点。
本文将对高三函数对称性的相关知识进行汇总，并介绍不同函数的对称性及其特点。
函数的对称性是指函数图像在某种变换下保持不变的性质。
在高三函数学习中，常见的函数对称性有以下几种：关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称、关于直线对称、关于点对称。
一、关于x轴对称若函数图像在x轴两侧关于x轴对称，即对于函数中的每一个点(x, y)，都存在另一个点(x, -y)也在函数图像上，则称函数关于x轴对称。
对于一个函数关于x轴对称的特点有：1. 函数的解析式中只含有偶次项，或不包含奇次项。
2. 函数图像关于y轴对称。
若函数图像在y轴两侧关于y轴对称，即对于函数中的每一个点(x, y)，都存在另一个点(-x, y)也在函数图像上，则称函数关于y 轴对称。
对于一个函数关于y轴对称的特点有：1. 函数的解析式中只含有偶次幂的x，或不包含x。
2. 函数图像关于x轴对称。
三、关于原点对称若函数图像关于原点对称，即对于函数中的每一个点(x, y)，都存在另一个点(-x, -y)也在函数图像上，则称函数关于原点对称。
对于一个函数关于原点对称的特点有：1. 函数的解析式中只含有偶次幂的x，或不包含x。
2. 函数图像关于原点对称。
当函数图像在直线L两侧对称时，我们称函数关于直线L对称。
对于关于直线对称的函数，其特点有：1. 函数的解析式中含有x与常数的乘积，并且在函数中不含有形如|x|的项。
2. 函数图像上关于直线L对称。
五、关于点对称若函数图像在点P两侧对称时，我们称函数关于点P对称。
对于关于点对称的函数，其特点有：1. 函数的解析式中含有x与常数的乘积，并且在函数中不含有形如|x|的项。
2. 函数图像关于点P对称。
综上所述，高三数学中的函数对称性知识点主要包括关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称、关于直线对称、关于点对称等几种形式。
函数对称性公式大总结
函数对称性公式大总结1. 引言在数学中，函数对称性是指函数在某种变换下保持不变的特性。
函数对称性广泛应用于各个数学分支，如代数、几何和微积分等。
本文将对常见的函数对称性公式进行总结，以帮助读者更好地理解和应用这些公式。
2. 对称轴对称轴是函数对称性的一个重要概念。
对称轴是指函数图像关于某一直线对称。
对称轴上的点与其对称点关于对称轴对称。
对称轴的方程可以通过观察函数的特性或运用特定的公式来确定。
2.1 y轴对称性若函数满足f(x) = f(-x)，则函数具有y轴对称性。
对于奇函数来说，其图像关于y轴对称；对于偶函数来说，其图像与y 轴重合。
常见的函数对称于y轴的公式有：•奇函数的定义：f(x) = -f(x)•偶函数的定义：f(x) = f(-x)2.2 x轴对称性若函数满足f(x) = -f(x)，则函数具有x轴对称性。
对于奇函数来说，其图像关于x轴对称；对于偶函数来说，其图像与x 轴重合。
常见的函数对称于x轴的公式有：•奇函数的定义：f(x) = -f(x)•偶函数的定义：f(x) = f(-x)3. 极限和导数对称性在微积分中，极限和导数也可以与函数的对称性相关联。
3.1 极限对称性若函数f(x)在某一点x=a的极限存在，并且与x=a的对称点x=-a的极限相等，即lim(x->a) f(x) = lim(x->-a) f(x)，则函数具有极限对称性。
常见的函数具有极限对称性的公式有：•正弦函数的极限对称性：lim(x->0) sin(x) = lim(x->0) sin(-x)•余弦函数的极限对称性：lim(x->0) cos(x) = lim(x->0) cos(-x)3.2 导数对称性若函数f(x)在某一点x=a可导，并且其导数与x=a的对称点x=-a的导数相等，即f’(a) = f’(-a)，则函数具有导数对称性。
常见的函数具有导数对称性的公式有：•正弦函数的导数对称性：(sin(x))’ = cos(-x)•余弦函数的导数对称性：(cos(x))’ = -sin(-x)4. 对称性的应用函数对称性是解决许多数学问题的重要工具。
高一函数对称知识点总结
高一函数对称知识点总结函数是数学中一个重要的概念，它在数学和实际问题中都有着广泛的应用。
在高一阶段，函数的对称性是一个重要的知识点。
本文将对高一函数对称的相关知识点进行总结。
一、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数图像关于y轴或者原点的对称性。
具体而言，我们可以通过函数的表达式来确定函数的奇偶性。
如果对于函数中的任意x，有f(-x) = f(x)，则函数是偶函数；如果对于函数中的任意x，有f(-x) = -f(x)，则函数是奇函数；如果函数既不是奇函数也不是偶函数，则函数是一个既非奇又非偶的函数。
二、函数图像的对称轴对于函数来说，其图像的对称轴是一个重要的概念。
对称轴可以是x轴或y轴，也可以是其他直线。
具体而言，如果函数的图像关于x轴对称，则称该函数关于x轴对称；如果函数的图像关于y轴对称，则称该函数关于y轴对称；如果函数的图像关于直线y=x对称，则称该函数关于直线y=x对称。
三、函数的周期性周期函数是指在一定区间上具有重复规律的函数。
如果存在一个正数T，使得对于函数中的任意x，有f(x+T) = f(x)，则称函数具有周期T。
具体而言，我们可以通过函数的图像或者函数的表达式来确定函数的周期性。
常见的周期函数有正弦函数和余弦函数等。
四、函数的点对称性在函数中，存在一类特殊的函数点对称性。
如果对于函数中的任意x，有f(-x) = -f(x)，则称函数具有点对称性。
点对称性使得函数图像关于原点对称。
常见的具有点对称性的函数有二次函数。
五、函数图像的轴对称点对于函数图像来说，存在一个或多个轴对称的点。
轴对称点是指函数图像上关于某一条直线对称的点。
具体而言，如果函数的图像关于点（a，b）对称，则称（a，b）是函数图像的轴对称点。
常见的具有轴对称点的函数有开口向上（或向下）的二次函数。
六、函数的变换对称性在函数的变换中，也存在一些对称性。
具体而言，平移、翻转和缩放等变换可能保持函数的对称性不变。
通过对函数进行适当的平移、翻转和缩放等变换，我们可以得到新的具有对称性的函数。
函数图像的对称问题(小结)
函数图像的对称问题潘建荣函数问题的对称性问题是函数性质的一个重要方面，也是历年高考热点问题之一，除了常见的自身对称（奇偶函数的对称性），两函数图像对称（原函数与反函数的对称性）以外，函数图象的对称性还有一些图像关于点对称和关于直线对称的两类问题，在这里，两函．．数图象关于某直线对称或关于某点．．．．．．．．．．．．．．．成．中心对称．．．．与函数自身的对称轴或对称中心．．．．．．．．．．．．．是有本质区别的，注意不要把它们相混淆。
造成解题失误，下面就这些问题给出一般结论，希望对同学们有帮助。
一、 同一个函数图象关于直线的对称设a,b 均为常数，函数)(x f y = 对一切数学x 都满足)()(x b f x a f -=+，则函数的图象关于直线2b a x +=对称。
推论1：在直角坐标系中，满足)()(x a f x a f -=+的函数y=f(x)关于直线x=a 对称（其中a 为常数）.推论2：在直角坐标系中，满足)()(a x f x a f -=-的函数 的图象关于直线x=0对称。
例1 已知函数的定义域为R ，且对于一切实数x 满足),7()7(),2()2(x f x f x f x f -=+-=+， ，当]7,2[∈x 时， ， f(x)2)2(-=x 当]20,16[∈x 时，求函数)(2)(x f x x g -=的表达式。
解析 由 )7()7(),2()2(x f x f x f x f -=+-=+知，函数)(x f y =的图象关于直线x=2和x=7对称，且有)10()]3(7[)]3(7[)4()]2(2[]2)2[()(+=++=+-=-=--=+-=x f x f x f x f x f x f x f )()10(x f x f =-∴当]17,16[∈x 时， ]7,6[10∈-x ，此时22)12()210()10()(-=--=-=x x x f x f ； 当x ]20,17(∈时，],7,4[)20(4),0,3(20∈---∈-x x22)22(]2)20(4[)]20(4[)20()(-=---=--=-=∴x x x f x f x f ，g(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤≤--)2017()22(2)1716()12(222x x x x x x 二、两个函数图象关于直线的对称在同一直角坐标系中，函数)(x a f y +=与函数)(x b f y -=的图象关于直线2a b x -=对称（其中a ，b 均为常数）推论1：在直角坐标系中，函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图象关于直线x=0对称。
函数与像的对称性与变换
函数与像的对称性与变换函数与像的对称性与变换是数学中一个重要的概念和技巧，它主要用于研究函数图像的性质与特点。
通过对函数的变换和对称性的研究，可以更深入地了解函数的行为和特性，从而解决一些实际问题。
一、函数的对称性函数的对称性是指函数图像在某些操作下表现出的某种规律性。
常见的函数对称性有：奇函数、偶函数、周期函数和一般函数。
1. 奇函数：若对于任意x，有f(x)=-f(-x)，则函数f(x)为奇函数。
奇函数的图像以原点为对称中心，即左右对称。
2. 偶函数：若对于任意x，有f(x)=f(-x)，则函数f(x)为偶函数。
偶函数的图像以y轴为对称轴，即左右对称。
3. 周期函数：若存在正数T，对于任意x，有f(x+T)=f(x)，则函数f(x)为周期函数。
周期函数的图像呈现出某种规律的重复性。
4. 一般函数：既不满足奇函数也不满足偶函数性质的函数称为一般函数，它的图像没有明显的对称性。
二、函数的变换函数的变换是指通过一系列的操作，改变函数图像的位置、形状、大小等特征。
常见的函数变换操作包括平移、伸缩、翻转和旋转等。
1. 平移：函数的平移是指将整个函数图像沿着坐标轴的方向移动一定的距离。
平移有水平平移和垂直平移两种情况，分别用平移量a和b 来表示。
2. 伸缩：函数的伸缩是指将整个函数图像在坐标轴的方向上进行拉伸或压缩。
伸缩有水平伸缩和垂直伸缩两种情况，分别用伸缩因子k 和h来表示。
3. 翻转：函数的翻转是指将整个函数图像关于某一直线对称。
翻转有水平翻转和垂直翻转两种情况，分别用翻转轴x=a和y=b来表示。
4. 旋转：函数的旋转是指将整个函数图像绕坐标原点或者某一点旋转一定的角度。
旋转用旋转中心和旋转角度来表示。
三、应用实例函数与像的对称性与变换在实际问题中有着广泛的应用。
以下举几个例子进行说明。
1. 对称轴的求解：利用函数的对称性，可以通过观察函数的图像来推断函数的对称轴，并进一步求解问题。
例如，通过观察一条曲线图像在x轴的对称性，可以得出该函数是偶函数，进而得到函数的性质和解析式。
函数的对称性与函数的图象变换总结
对称变换是指两个函数图象之间的对称关系,而”满足 f(x)= f(2a-x)或f(a+x)= f(a-x)有y=f(x)关于直线x=a对称”是 指一个函数自身的性质属性,两者不可混为一谈.
b o
a
x
思考？
(1)若y=f(x)满足f(a-x)=-f(b+x), 则函数图像关于
点( a+b ,0 ) 2 对称
(2)若y=f(x)满足f(a-x)=2c-f(b+x), 则函数图像关于点 (
a+b ,C ) 对称 2
轴对称
函数图像关于直线x=0对称
中心对称性
函数图像关于(0,0)中心对称
函数的对称性
有些函数 其图像有着优美的对称性， 同时又有着优美的对称关系式
知识回顾（偶函数）
从”形”的角度看， Y=f(x)图像关于直线x=0对称
Y
从“数”的角度看， f(-x)=f(x)
f (1) f (1) f (2) f (2) f ( x) f ( x)
-x
-x
o
x a
x
类比探究
中心对称性
从”形”的角度看， y=f(x)图像关于(a,0)中心对称
y
从”数”的角度看， f(x)=-f(2a-x)
f(a-x)=-f(a+x)
b
a-x o
a
a+xx源自类比探究中心对称性
y=f(x)图像关于(a,b)中心对称
y
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解填空题常用到的几个公式
1． AB 和平面M 所成的角为α，AC 在平面M 内，AC 和AB 在平面M 内的射影AB 1所成
的角是β，设∠BAC=θ,则βαθcos cos cos =
2． 在二面角N l M --的面M 内，有直角三角形ABC,斜边BC 在棱上，若A 在平面内N
的射影为D,且∠ACD=1θ，∠ABD=2θ，二面角为θ，则22
122sin sin sin θθθ+= 3． 设F 1,F 2为椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0）的焦点，M 是椭圆上一点，若∠F 1MF 2=θ 则21MF F S ∆=2tan 2θ
b , 21e a
b -= . 4． 设F 1,F 2为双曲线122
22=-b
y a x （a>b>0）的焦点，M 是双曲线上一点，若∠F 1MF 2=θ,则21MF F S ∆=2cot 2θ
b , 12-=e a
b . 5．已知椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0）上一点，F 1,F 2为左右两焦点，∠PF 1F 2=α， ∠P F 2F 1=β，则2
cos 2cos βαβα-+==a c e . 6.设直线b kx y +=与椭圆12222=+b y a x (双曲线122
22=-b
y a x )相交于不同的两点A ),(11y x ,B ),(22y x ,AB 的中点为M ),(00y x ,则0202y a x b k -=(0
202y a x b k =). 7.过抛物线两点，的直线交抛物线于作倾斜角为的焦点B A F p px y ,)0(22θ>=
函数图像的对称问题(小结)
函数问题的对称性问题是函数性质的一个重要方面，也是历年高考热点问题之一，除了常见的自身对称（奇偶函数的对称性），两函数图像对称（原函数与反函数的对称性）以外，函数图象的对称性还有一些图像关于点对称和关于直线对称的两类问题，在这里，两函．．数图象关于某直线对称或关于某点．．．．．．．．．．．．．．．成．中心对称．．．．与函数自身的对称轴或对称中心．．．．．．．．．．．．．
是有本质区别的，注意不要把它们相混淆。
造成解题失误，下面就这些问题给出一般结论，希望对同学们有帮助。
一、 同一个函数图象关于直线的对称
结论1：设a,b 均为常数，函数)(x f y = 对一切数学x 都满足)()(x b f x a f -=+，则函数的图象关于直线2
b a x +=对称。
推论1：在直角坐标系中，满足)()(x a f x a f -=+的函数y=f(x)关于直线x=a 对称（其中a 为常数）
推论2：在直角坐标系中，满足)()(a x f x a f -=-的函数 的图象关于直线x=0对称。
例1 已知函数的定义域为R ，且对于一切实数x 满足
),7()7(),2()2(x f x f x f x f -=+-=+，
，当]7,2[∈x 时， ， f(x)2)2(-=x 当]20,16[∈x 时，求函数)(2)(x f x x g -=的表达式。
解：由 )7()7(),2()2(x f x f x f x f -=+-=+知，函数)(x f y =的图象关于直线x=2和x=7对称，且有
)10()]3(7[)]3(7[)4()]2(2[]2)2[()(+=++=+-=-=--=+-=x f x f x f x f x f x f x f )()10(x f x f =-∴
当]17,16[∈x 时， ]7,6[10∈-x ，此时2
2)12()210()10()(-=--=-=x x x f x f ； 当x ]20,17(∈时，],7,4[)20(4),0,3(20∈---∈-x x 22)22(]2)20(4[)]20(4[)20()(-=---=--=-=∴x x x f x f x f ，
g(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤≤--)
2017()22(2)1716()12(222x x x x x x 二、两个函数图象关于直线的对称
结论2：在同一直角坐标系中，函数)(x a f y +=与函数)(x b f y -=的图象关于直线2
a b x -=对称（其中a ，b 均为常数） 推论1：在直角坐标系中，函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图象关于直线x=0对称。
推论2：在直角坐标系中，函数)(x a f y -=与函数)(a x f y -=的图象关于直线x=a 对称（其中a 为常数）。
例2 设函数f(x)x x x g -+==112)(,2，则它们的图象（ ）
A ．关于原点中心对称
B ．关于直线x=0对称
C ．关于直线x=1对称
D ．既不成中心对称也不成轴对称
解析：由推论1知，这两个函数图象的对称轴方程为x=0，即y 轴，故应选B 。
三、 同一个函数图象关于点成中心对称
结论3：设a ，b 均为常数，函数)(x f y =对一切实数x 都满足b x a f x a f 2)()(=-++，则函数)(x f y =的图象关于点(a,b)成中心对称图形。
例2 已知函数)(x f y =满足2002)()(=-+x f x f ，求)2002()(11x f x f -+--的值。
解：由已知，在等式b x a f x a f 2)()(=-++中，令a=0，2b=2002，则函数)(x f y =关于点(0,1001)对称，根据原函数与其反函数的关系，知函数)(1x f
y -=关于点(1001,0)对称。
将上式中的x 用x －1001换，得)2002()(11x f x f -+--=0 。
四、 两个函数图象关于点成中心对称
结论4：设a ，b ，c 均为常数，则函数 )(x a f y += 与)(x b f c y --= 关于点(2,2c a b -)成中心对称图形。
例4 已知函数)(x f y =是定义在实数集R 上的函数，那么)6(x f y -=与)4(+-=x f y 的图象（ ）
A ．关于直线x=5对称
B ．关于直线x=1对称
C ．关于点)0,5(对称
D ．关于点(1,0)对称
解析：由题意，已知式变形为)4(+=-x f y ，)6(x f y --=-，则有a=4，b=6，c=0。
由结论4知，)6(x f y -=与)4(+-=x f y 关于点(
2
0,246-)成中心对称，即关于点 (1,0)对称，故应选择D 。