函数的对称性(课堂PPT)
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反比例函数的对称性课件
k x
动脑筋: 你能根据学过的反比例函数的图象,在下列图象中
1 选出y= x 的图象吗?
(A)
(B)
(C)
(D)
例题: 2 观察y= x 的图象,回答下列问题: (1)点A(2,m)在反比例函数y=
k x
的图象上,则m= 1
.
(2)你能写出A点关于原点对称点A’的坐标吗?点A’在 函数反比例y= 2 的图象上吗?
x
(3)点A和A’的连线一定经过哪一点? (4)分别过A和A’作x轴的垂线,垂足分别为B、B’，则下 y 列关系正确的是（ ）. A.OA=OA’ B.∠AOB=∠A’OB’ A C.A、O、A’在同一条直线上. B’ (5) 你能求出S△ABC= . o B A’
变式题： k2 如果一次函数y=k1 x+1与y= 的图象交于A（1，3） x 与点B 。 （1）分别写出这两个函数的表达式； (2)你能求出点B的坐标吗？你是怎样求的？ 与同伴进行交流。
通过做上面两道题,你能的到什么结论?
练一练: 1.某函数具有下列两条性质:①图象关于原点对称 ②当x>0时,y随x 的增大而减小 请你写出符合条件的一个函数解析式 . 2.P是反比例函数图象上的一点,且点P到x轴的距离 为2,到y轴的距离为3,则反比例函数解析式为 . 点P关于原点的对称点在此反比例函数图象上吗? 为什么? k 3.反比例函数y= x 与正比例函数函数y=2x的图象 . 有交点,则k的取值范围是 若反比例函数y= 与一次函数y=kx+2的图象有交点, 则k的取值范围是 .
x
(6).如图,四边形ABA’B’ x
做一做: k2 如图,正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=
x
的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为（ 3 ， 2 （1）分别写出这两个函数的表达式； y
动脑筋: 你能根据学过的反比例函数的图象,在下列图象中
1 选出y= x 的图象吗?
(A)
(B)
(C)
(D)
例题: 2 观察y= x 的图象,回答下列问题: (1)点A(2,m)在反比例函数y=
k x
的图象上,则m= 1
.
(2)你能写出A点关于原点对称点A’的坐标吗?点A’在 函数反比例y= 2 的图象上吗?
x
(3)点A和A’的连线一定经过哪一点? (4)分别过A和A’作x轴的垂线,垂足分别为B、B’，则下 y 列关系正确的是（ ）. A.OA=OA’ B.∠AOB=∠A’OB’ A C.A、O、A’在同一条直线上. B’ (5) 你能求出S△ABC= . o B A’
变式题： k2 如果一次函数y=k1 x+1与y= 的图象交于A（1，3） x 与点B 。 （1）分别写出这两个函数的表达式； (2)你能求出点B的坐标吗？你是怎样求的？ 与同伴进行交流。
通过做上面两道题,你能的到什么结论?
练一练: 1.某函数具有下列两条性质:①图象关于原点对称 ②当x>0时,y随x 的增大而减小 请你写出符合条件的一个函数解析式 . 2.P是反比例函数图象上的一点,且点P到x轴的距离 为2,到y轴的距离为3,则反比例函数解析式为 . 点P关于原点的对称点在此反比例函数图象上吗? 为什么? k 3.反比例函数y= x 与正比例函数函数y=2x的图象 . 有交点,则k的取值范围是 若反比例函数y= 与一次函数y=kx+2的图象有交点, 则k的取值范围是 .
x
(6).如图,四边形ABA’B’ x
做一做: k2 如图,正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=
x
的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为（ 3 ， 2 （1）分别写出这两个函数的表达式； y
反比例函数性质-对称性与几何意义ppt
的面积求K值时，一定要注意图像所在 的象限，从而确定K的符号。
能力提高,拓展思维--典型例题 确定解析式
反比例函数
k y= x
与一次函数y=-x-k的图象相交
于点A，过点A作AB垂直于x轴于点B，已知三角形AOB 的面积等于2，直线y=-x-k与x轴相交于点C，求反比 例函数与一次函数的解析式。 y
4 2.若在反比例函数 y 中也用同样的方法分别 x 取P，Q两点填写表格： 4 y x
P（1,-4） Q（2,-2）
S1的值 4
S2的值
S1与S2 关系
与k的关 系
4
s1=s2
s1=s2=|k|
于是：我们发现了反比例函数的几何意义
k 对于反比例函数 y x 点Q是其图像上的任意 一点，作QA垂直于y轴， 作QB垂直于X轴，矩 形QABO的面积与k有 |k| 什么关系SAOBQ= 三角形QAO与三角形 QBO的面积和k又有什 K 么关系呢？SQAO=SQBO=
如图,点M是反比例函数 为 2 .
y=
4 x
图象上的一
点,MP⊥x轴于P.则△POM的面积
y
M
o P
x
应用新知,加深理解--几何意义应用
应用三、已知面积，求K
﹣ 12 下面各点 PA⊥x轴于A.则△POA的面积为6,则k= --------。
也在这个反比例函数图象上的是（ B ）
A（2,3） B（-2,6） C（2,6）
y A
o C x
（2）若一次函数y=ax+1经过A
点，求此一次函数的解析式。 B
（3）若一次函数与x轴相交于点C,
求∠AOC的度数和|AO|: |AC|的值
K
高中数学人教A版必修1《函数的对称性与周期的应用研究》PPT
函数图象能够直观形象的表示出函数 的变化情况，可以帮助我们理解抽象函 数关系的意义，同时函数图象又是运用 数形结合思想方法的基础，利用函数图 象可以更好的研究函数的性质；
当我们面对一个函数的图象的
时候，也是要学会利用图象去研究 这个函数的有关的性质，而不是计 算求值.
结束
谢谢！
函数y=f(x)关于点（1，2）对称
函数y=f(x)关于点（-1，-2）对称
t
f (x) f (6 x) (x 6)2 7(6 x) 4 x2 5x 2
x2 7x 4 x 3 f (x) x2 5x 3 x 3
在函数图象的变换中， “左加右减”
第二部分
二.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ何研究函数问题
函数f(x)=
log2 x, x 0,
log
1 2
(
x),
x
0
f (x) f (0)
这是一种计算的思维！ 能不能运用函数的性质来理解和解决问题呢？
f (x) f (8)
利用函数的解析式研究函数的性质
结合函数的图象研究函数的性质.
f (x) f (x T )
y f (x)是奇函数
普通高等学校春季招生考试 数 学（理工农医类）（北京卷）
y f (x)
y f (x)
小结：
(a x) (a x) a 2
要有能力把用自然语言所描述的函数性质 用数学的符号语言表达出来.
函数y=f(x)关于点（1，0）对称
2. 请你用数学符号语言表示奇函数的代数涵义 3．奇函数 y f (x) 的图象有什么特征呢？
代数特征：自变量互 为相反数，其对应函 数值也互为相反数.
代数特征：自变量 互为相反数，其 对应函数值相等， 定义域关于原点 对称
当我们面对一个函数的图象的
时候，也是要学会利用图象去研究 这个函数的有关的性质，而不是计 算求值.
结束
谢谢！
函数y=f(x)关于点（1，2）对称
函数y=f(x)关于点（-1，-2）对称
t
f (x) f (6 x) (x 6)2 7(6 x) 4 x2 5x 2
x2 7x 4 x 3 f (x) x2 5x 3 x 3
在函数图象的变换中， “左加右减”
第二部分
二.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ何研究函数问题
函数f(x)=
log2 x, x 0,
log
1 2
(
x),
x
0
f (x) f (0)
这是一种计算的思维！ 能不能运用函数的性质来理解和解决问题呢？
f (x) f (8)
利用函数的解析式研究函数的性质
结合函数的图象研究函数的性质.
f (x) f (x T )
y f (x)是奇函数
普通高等学校春季招生考试 数 学（理工农医类）（北京卷）
y f (x)
y f (x)
小结：
(a x) (a x) a 2
要有能力把用自然语言所描述的函数性质 用数学的符号语言表达出来.
函数y=f(x)关于点（1，0）对称
2. 请你用数学符号语言表示奇函数的代数涵义 3．奇函数 y f (x) 的图象有什么特征呢？
代数特征：自变量互 为相反数，其对应函 数值也互为相反数.
代数特征：自变量 互为相反数，其 对应函数值相等， 定义域关于原点 对称
函数的周期性和对称性PPT课件
13
2、常见的判断周期的恒等式(可用递推法证明)
1 f ( x a) f ( x a)（, a R且a 0） T 2a
(2) f ( x a) f ( x)(3) f ( x a) 1
f (x)
T 2a
T 2a
为保守起见,我加了一个绝对值
X=a X=b
15
性质2.若函数 f (x)以 a,0, b,0 为对称点，那么
此函数是周期函数，周期T= 2 a b
假定 b a f (x) f (2a x)
f (2b (2a x))
f (x 2b 2a)
的图象，并指出两者的关系。 关于x=0对称
y f x 1 y f 1 x
(-1,0)
(1,0)
y f x
若函数 y f x上任意一点关于某直线（或某点） 的对称点在 y g x 上，就称 y f x和 y g x
关于某直线（或某点）对称，这种对称性称为互 对称。
例3：设 f x 1 x2的图象与 g x 的图象关 于直线 x 1 对称，求 g x的解析式。
g x 1 x 22
9
(二)、自对称问题常联系恒等式进行x的变换
例4：设 f x图象关于直线 x 1对称,在,1
上，f x 1 x2, 求当 x 1, 时 , f x的
为周期函数，T是函数的一个周期。若所有周期 中存在一个最小正数，则称它是函数的最小正周 期。
理解（1）.是否所有周期函数都有最小正周期？
(2).若T是y f x的一个周期，则kT（k是非
零整数）均是 y f x的周期吗？
12
2、常见的判断周期的恒等式(可用递推法证明)
1 f ( x a) f ( x a)（, a R且a 0） T 2a
(2) f ( x a) f ( x)(3) f ( x a) 1
f (x)
T 2a
T 2a
为保守起见,我加了一个绝对值
X=a X=b
15
性质2.若函数 f (x)以 a,0, b,0 为对称点，那么
此函数是周期函数，周期T= 2 a b
假定 b a f (x) f (2a x)
f (2b (2a x))
f (x 2b 2a)
的图象，并指出两者的关系。 关于x=0对称
y f x 1 y f 1 x
(-1,0)
(1,0)
y f x
若函数 y f x上任意一点关于某直线（或某点） 的对称点在 y g x 上，就称 y f x和 y g x
关于某直线（或某点）对称，这种对称性称为互 对称。
例3：设 f x 1 x2的图象与 g x 的图象关 于直线 x 1 对称，求 g x的解析式。
g x 1 x 22
9
(二)、自对称问题常联系恒等式进行x的变换
例4：设 f x图象关于直线 x 1对称,在,1
上，f x 1 x2, 求当 x 1, 时 , f x的
为周期函数，T是函数的一个周期。若所有周期 中存在一个最小正数，则称它是函数的最小正周 期。
理解（1）.是否所有周期函数都有最小正周期？
(2).若T是y f x的一个周期，则kT（k是非
零整数）均是 y f x的周期吗？
12
函数的对称性课件——2025届高三数学一轮复习
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若函数y＝f (x－1)是偶函数，则函数y＝f (x)的图象关于直线x＝1对称．( × )
(2)若函数y＝f (x＋1)是奇函数，则函数y＝f (x)的图象关于点(1，0)对称． ( √ )
(3)若函数f (x)满足f (x－1)＝f (x＋1)，则f (x)的图象关于y轴对称．
(1)B (2)1
[(1)因为f (5＋x)＝f (3－x)，所以f (x)的图象关于直线x＝4对称，而f (x)＝
3|x－a|＋2的图象关于直线x＝a对称，所以a＝4，f (6)＝3|6-4|＋2＝11.故选B.
(2)已知函数g(x)＝x2－2x＋a(ex-1＋e－x+1)，∵g(1＋x)－g(1－x)
数f (x)关于点(1，0)对称，因为函数f (x)定义域为R，所以f (1)＝0，B正确；
又因为函数f (x)的图象关于直线x＝2对称，所以f (3)＝0，由f (－3x＋1)＝－f (3x
2
3
＋1)，令x＝ ，可得f (－1)＝－f (3)＝0，D正确；
可构造函数f (x)＝cos
π
2
− 2 满足题意，此时f (2)＝cos 0＝1，f (0)＝cos (－π)
以将f (x)向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝f (x＋1)＋
1，该函数的对称中心为点(0，0)，故y＝f (x＋1)＋1为奇函数．
(2)对于A，由二次函数的性质可知，函数f (x)＝2x2＋1无对称中心，故A错误；
对于B，函数f (x)＝x3是奇函数，故其图象关于原点对称，故B正确；
2+1 2−2+3
3
＝
函数的奇偶性对称性周期性课件共19张PPT
(2)已知 f (x) 是奇函数，且当 x 0 时，f (x) eax .若 f (ln 2) 8 ，则a ___-_3______.
(3)(2020·海南 8)若定义在 R 的奇函数 f(x)在(, 0) 单调递减，且 f(2)=0，则满足
xf (x 1) 0 的 x 的取值范围是（ D ）
A．13
B． 2
C．
13 2
D．123
专题三：函数的周期性
变式 5：(1)设定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 2 f x ，若 f 1 2 ，则 f 99 _-_2__.
(2)(2022·湖北模拟)定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 1 f x 2 ，则下列是周期函数的是 （ D ）A． y f x x B． y f x x C． y f x 2x D． y f x 2x
叫做偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I， 奇函数 都有－x∈I，且_f_(－__x_)_＝__－__f_(x_)_，那么函数f(x) 关于_原__点__对称 就叫做奇函数
复习回顾 2.周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数 T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且_f_(_x＋__T__)＝__f_(x_)_，那么函数y＝f(x) 就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最_小___的正数， 那么这个_最__小__正__数__就叫做f(x)的最小正周期.
课堂小结
函数的性质
奇偶性
判断 求解析 求参数
对称性
轴对称： 中心对称：
周期性
求值 求解析 比较大小
祝同学们前程似锦！
函数的对称性和周期性27页PPT
，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
函数的对称性和周期性
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
函数的对称性和周期性
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
二次函数图象中的“对称性” ppt课件
（2）求抛物线y=2x2-4x-5关于y轴对称的抛物线。
（3）求抛物线y=2x2-4x-5关于原点成中心对称的抛物线。
（4）求抛物线y=2x2-4x-5绕着 顶点旋转180°得到的抛物线。
▲ 抛物线关于x轴对称：将解析式中的(x，y)换成它的对称点(x，－y)
y＝ax2＋bx＋c变为y＝－ax2－bx－c.
变式训练:已知二次函数的图像经过A（-1,0）、 B（3,0）,且函数有最小值-8，试求二次函数 解析式.
y 2(x 1)2 8
ppt课件
12
巧用“对称性” 化繁为 简
6、求代数式的值
▲ 抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2，且
经过点P（3，0），则a+b+c的值为（ B ）
（1）设抛物线顶点为(m,n)则顶点式为y=a(x-m)²+n
抛物线绕顶点坐标旋转180后,解析式中a变为-a,其余不发生变化：y=-a(x-m)²+n
（2）如果原解析式为y=ax²+bx+c,顶点纵p坐pt标课件为n
14
则新解析式为y=2n-(ax²+bx+c)=-ax²-bx+2n-c
最短路径：“将军饮马” 问
y
1
M
A O1N
Bx
C
D
▲ 若点N（n,0)是对称轴上的一个动点，当NA＋NC的值最小时，求n的值.
▲在抛物线的对称轴上是否存在点Q， 使得△ACQ周长最小？
▲在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点Ppp到t课B件、C两点距离之差最大？
16
感悟与反思
1、抛物线是轴对称图形，充分利用对称轴的方程 x=(x1+x2)/2,注意数形结合思想.
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f(x)=f(4-x)
f(1+x)=f(3-x) f(2+x)=f(2-x)
对于任意的x 你还能得到怎样的等式？
4-x
x
x
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
x2
4
思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称 f(x)=f(-2-x)
Y
-2-x
-3 -2 -1
x=-1
x
x
1 2345678
y=f(x)图像关于直线x=a对称
已知
f(x)=f(2a-x)
( ) 在y=f(x)图像上任取一点P
P’
? P(x0,f(x0))
若点P关于直线x=a的对称点P’ P’(2a-x0,f(x0)) 也在f(x)图像上
2a-x0 x0
xa
f(x0)=f(2a-x0) P’在f(x)的图像上 则y=f(x)图像关于直线x=a对称
求证
f(x)=f(2a-x)
( ) 在y=f(x)图像上任取一点P
P’
P(x0,f(x0))
点P关于直线x=a的对称点P’也在f(x)图像上
2a-x0 x0
则有P’的坐标应满足y=f(x) P’(2a-x0,f(x0))
xa
f(x0)=f(2a-x0)
即： f(x)=f(2a-x)
8
（代数证明） 求证
F(a-x)+F(a+x)=2b
16
☺ 数学思想方法: 1.数形结合 2.由特殊到一般 3.类比思想
17
知识迁移： 已知对任意x，有f(x+2)=f(-x), 当x [2,3]，y=x 求当x [-1,0]时，f(x)的解析式？
18
谢谢!
19
函数图像关于(0,0)中心对称 奇函数
F(-x)=-F(x) 即：F(-x)+F(x)=0
从”数”的角度看，
Y=f(x)图像关于直线x=2对称
y
f(1)=f(3)
f (x)
f(0)= f(4)
f(-2)=f(6)
4-x
-3 -2 -1 0
1 23
x2
f(310)=f(4-310)
f(x)=f(4-x)
x
x
4567 8
3
从”形”的角度看， Y=f(x)图像关于直线x=2对称
Y
f (x)
从”数”的角度看，
-x
x
函数图像关于(a,0)中心对称
F(x)+F(2a-x)=0 F(a-x)+F(a+x)=0
-x
x
21
函数图像关于(a,0)中心对称
F(x)+F(2a-x)=0 F(a+x)+F(a-x)=0
a
22
函数图像关于(a,0)中心对称
23
轴对称 函数图像关于直线x=0对称
中心对称性 函数图像关于(0,0)中心对称
34
y=f(x)图像上每一点及其关于x=a对称点 都在y=f(x)图像上
则y=f(x)图像上图象关于x=a对称
xa
P’(2a-x0,y0)代入y=f(x)
Y0=f(2a-x0)
31
函数图像关于直线x=0对称
函数图像关于(0,0)中心对称
F(-x)=F(x)
函数图像关于直线x=a对称
函数图像关于(a,0)中心对称
由f(x)图像关于x=a对称
2a-x0 x0
xa
P’也在y=f(x)图像上
y0=f(x0) f(2a-x0)=f(x0)
即： f(x)=f(2a-x)
33
猜测：若f(x)图像关于直线x=a对称 f(x)有怎样的对称关系式？
f(x)= f(2a-x) f(a-x)=f(a+x)
(2a-xP0’, y0)
25
26
-3 -2x x-1x
1xx x 2 3 4 5 6
27
-x
-3 -2 -1
x
12
28
29
F(1)F(1) F(2)F(2)
f( 6x)f( 6x) F(x)F(x)
f (5) f (7) f (4) f (8)
f(6x)f(6x)
f (x)
-x
x
-3 -2 -1
1 2345678
则函数图像关于点 (
a+b 2
,0
) 对称
(2)若y=f(x)满足f(a-x)+f(b+x)=2c,
则函数图像关于点 (
a+b 2
,C
) 对称
15
☺ 知识内容：
函数图像的对称性
对称关系式
y=F(x)图像关于x=a轴对称
F(x)=F(2a-x)
F(a-x)=F(a+x)
y=F(x)图像关于点(a,b)中心对称 F(x)+F(2a-x)=2b
-x
x
F(-x)=F(x)
F(-x)=-F(x)
函数图像关于直线x=a对称
函数图像关于(a,0)中心对称
x=a
F(x)=F(2a-x) F(a-x)=F(a+x)
a F(x)+F(2a-x)=0
24
F(a-x)+F(a+x)=0
函数 f ( x ) 图像关于xa轴对称
证明：（必要性）
f(a x )f(a x )x D
函数的对称性
有些函数 其图像有着优美的对称性，
同时又有着优美的对称关系式
1
知识回顾（偶函数）
从”形”的角度看， Y=F(x)图像关于直线x=0对称
Y
从”数”的角度看， F(-x)=F(x)
F(1)F(1) F(2)F(2)
F(x)F(x)
-x
x
-3 -2 -1
1 2345678
X
x0
2
从”形”的角度看，
y=F(x)图像关于(a,0)中心对称
y
F(x)+F(2a-x)=0 F(a-x)+F(a+x)=0
b
a-x o
a+x
a
x
13
类比探究
中心对称性
y=F(x)图像关于(a,b)中心对称
y
F(x)+F(2a-x)=2b F(a+x)+F(a-x)=2b
b
o
a
x
14
思考？
(1)若y=f(x)满足f(a-x)+f(b+x)=0,
5
思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称 f(x)=f(-2-x)
f(-1+x)=f(-1-x)
Y
-1-x
-3 -2 -1
-1+x
x
1 2345678
x=-1
6
猜测：若y=f(x)图像关于直线x=a对称
f(x)= f(2a-x) f(a-x)=f(a+x)
xa
7
（代数证明） 已知
y=f(x)图像关于直线x=a对称
证明: ( )
任取y=f(x)图像上一点P(x0, y0) 设P’是关于P直线x=a的对称点
？ P(x0,f(x0)) 若P’也在f(x)图像上，(需验证)
xa
P’(2a-x0, y0) 代入y=f(x)
f(2a-x0)=f(x0)= y0 f(2a-x0)=y0 P’在f(x)的图像上
函数y=f(x)图像关于x=a轴对称
从”数”的角度看，
y=F(x)图像关于(0,0)中心对称
F(-x)+F(x)=0
y
-x
o xa
x
11
类比探究
中心对称性
从”形”的角度看，
从”数”的角度看，
y=F(x)图像关于(a,0)中心对称
F(x)+F(2a-x)=0
y
2a-x o
a
xx
12
类比探究
中心对称性
从”形”的角度看，
从”数”的角度看，
9
轴对称性
y=f(x)图像关于直线x=a对称
f(x)= f(2a-x)
f(a-x)=f(a+x)
xa
特例：a=0
y=f(x)图像关于直线x=0对称
f(x)= f(-x)
思考？ 若y=f(x)满足f(a-x)=f(b+x),
则函数图像关于 直线 x=
a+b 2
对称
10
类比探究
中心对称性
从”形”的角度看，
F(a-x)=F(a+x) F(x)=F(2a-x)
x=a
32
猜测：若f(x)图像关于直线x=a对称 f(x)有怎样的对称关系式？
证明: ( )
f(x)= f(2a-x) f(a-x)=f(a+x)
任取y=f(x)图像上一点P(x0,y0))
? P’
P(x0,y0)
设P’是P关于直线x=a的对称点 P’(2a-x0,y0)
x 6
x0
x6
思考？若函数f ( x ) 图像关于xa轴对称，
f ( x ) 有怎样的对称关系式？
30
函数y=f(x)图像关于x=a轴对称
f(x)=f(2a-x)
证明： （必要性）
分析： 任取y=f(x)图像上一点P(x0,y0)
？若点P关于直线x=a的对称点P’
也在f(x)图像上．
P’
P(x0,y0) 则由P的任意性可知
f(1+x)=f(3-x) f(2+x)=f(2-x)
对于任意的x 你还能得到怎样的等式？
4-x
x
x
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
x2
4
思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称 f(x)=f(-2-x)
Y
-2-x
-3 -2 -1
x=-1
x
x
1 2345678
y=f(x)图像关于直线x=a对称
已知
f(x)=f(2a-x)
( ) 在y=f(x)图像上任取一点P
P’
? P(x0,f(x0))
若点P关于直线x=a的对称点P’ P’(2a-x0,f(x0)) 也在f(x)图像上
2a-x0 x0
xa
f(x0)=f(2a-x0) P’在f(x)的图像上 则y=f(x)图像关于直线x=a对称
求证
f(x)=f(2a-x)
( ) 在y=f(x)图像上任取一点P
P’
P(x0,f(x0))
点P关于直线x=a的对称点P’也在f(x)图像上
2a-x0 x0
则有P’的坐标应满足y=f(x) P’(2a-x0,f(x0))
xa
f(x0)=f(2a-x0)
即： f(x)=f(2a-x)
8
（代数证明） 求证
F(a-x)+F(a+x)=2b
16
☺ 数学思想方法: 1.数形结合 2.由特殊到一般 3.类比思想
17
知识迁移： 已知对任意x，有f(x+2)=f(-x), 当x [2,3]，y=x 求当x [-1,0]时，f(x)的解析式？
18
谢谢!
19
函数图像关于(0,0)中心对称 奇函数
F(-x)=-F(x) 即：F(-x)+F(x)=0
从”数”的角度看，
Y=f(x)图像关于直线x=2对称
y
f(1)=f(3)
f (x)
f(0)= f(4)
f(-2)=f(6)
4-x
-3 -2 -1 0
1 23
x2
f(310)=f(4-310)
f(x)=f(4-x)
x
x
4567 8
3
从”形”的角度看， Y=f(x)图像关于直线x=2对称
Y
f (x)
从”数”的角度看，
-x
x
函数图像关于(a,0)中心对称
F(x)+F(2a-x)=0 F(a-x)+F(a+x)=0
-x
x
21
函数图像关于(a,0)中心对称
F(x)+F(2a-x)=0 F(a+x)+F(a-x)=0
a
22
函数图像关于(a,0)中心对称
23
轴对称 函数图像关于直线x=0对称
中心对称性 函数图像关于(0,0)中心对称
34
y=f(x)图像上每一点及其关于x=a对称点 都在y=f(x)图像上
则y=f(x)图像上图象关于x=a对称
xa
P’(2a-x0,y0)代入y=f(x)
Y0=f(2a-x0)
31
函数图像关于直线x=0对称
函数图像关于(0,0)中心对称
F(-x)=F(x)
函数图像关于直线x=a对称
函数图像关于(a,0)中心对称
由f(x)图像关于x=a对称
2a-x0 x0
xa
P’也在y=f(x)图像上
y0=f(x0) f(2a-x0)=f(x0)
即： f(x)=f(2a-x)
33
猜测：若f(x)图像关于直线x=a对称 f(x)有怎样的对称关系式？
f(x)= f(2a-x) f(a-x)=f(a+x)
(2a-xP0’, y0)
25
26
-3 -2x x-1x
1xx x 2 3 4 5 6
27
-x
-3 -2 -1
x
12
28
29
F(1)F(1) F(2)F(2)
f( 6x)f( 6x) F(x)F(x)
f (5) f (7) f (4) f (8)
f(6x)f(6x)
f (x)
-x
x
-3 -2 -1
1 2345678
则函数图像关于点 (
a+b 2
,0
) 对称
(2)若y=f(x)满足f(a-x)+f(b+x)=2c,
则函数图像关于点 (
a+b 2
,C
) 对称
15
☺ 知识内容：
函数图像的对称性
对称关系式
y=F(x)图像关于x=a轴对称
F(x)=F(2a-x)
F(a-x)=F(a+x)
y=F(x)图像关于点(a,b)中心对称 F(x)+F(2a-x)=2b
-x
x
F(-x)=F(x)
F(-x)=-F(x)
函数图像关于直线x=a对称
函数图像关于(a,0)中心对称
x=a
F(x)=F(2a-x) F(a-x)=F(a+x)
a F(x)+F(2a-x)=0
24
F(a-x)+F(a+x)=0
函数 f ( x ) 图像关于xa轴对称
证明：（必要性）
f(a x )f(a x )x D
函数的对称性
有些函数 其图像有着优美的对称性，
同时又有着优美的对称关系式
1
知识回顾（偶函数）
从”形”的角度看， Y=F(x)图像关于直线x=0对称
Y
从”数”的角度看， F(-x)=F(x)
F(1)F(1) F(2)F(2)
F(x)F(x)
-x
x
-3 -2 -1
1 2345678
X
x0
2
从”形”的角度看，
y=F(x)图像关于(a,0)中心对称
y
F(x)+F(2a-x)=0 F(a-x)+F(a+x)=0
b
a-x o
a+x
a
x
13
类比探究
中心对称性
y=F(x)图像关于(a,b)中心对称
y
F(x)+F(2a-x)=2b F(a+x)+F(a-x)=2b
b
o
a
x
14
思考？
(1)若y=f(x)满足f(a-x)+f(b+x)=0,
5
思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称 f(x)=f(-2-x)
f(-1+x)=f(-1-x)
Y
-1-x
-3 -2 -1
-1+x
x
1 2345678
x=-1
6
猜测：若y=f(x)图像关于直线x=a对称
f(x)= f(2a-x) f(a-x)=f(a+x)
xa
7
（代数证明） 已知
y=f(x)图像关于直线x=a对称
证明: ( )
任取y=f(x)图像上一点P(x0, y0) 设P’是关于P直线x=a的对称点
？ P(x0,f(x0)) 若P’也在f(x)图像上，(需验证)
xa
P’(2a-x0, y0) 代入y=f(x)
f(2a-x0)=f(x0)= y0 f(2a-x0)=y0 P’在f(x)的图像上
函数y=f(x)图像关于x=a轴对称
从”数”的角度看，
y=F(x)图像关于(0,0)中心对称
F(-x)+F(x)=0
y
-x
o xa
x
11
类比探究
中心对称性
从”形”的角度看，
从”数”的角度看，
y=F(x)图像关于(a,0)中心对称
F(x)+F(2a-x)=0
y
2a-x o
a
xx
12
类比探究
中心对称性
从”形”的角度看，
从”数”的角度看，
9
轴对称性
y=f(x)图像关于直线x=a对称
f(x)= f(2a-x)
f(a-x)=f(a+x)
xa
特例：a=0
y=f(x)图像关于直线x=0对称
f(x)= f(-x)
思考？ 若y=f(x)满足f(a-x)=f(b+x),
则函数图像关于 直线 x=
a+b 2
对称
10
类比探究
中心对称性
从”形”的角度看，
F(a-x)=F(a+x) F(x)=F(2a-x)
x=a
32
猜测：若f(x)图像关于直线x=a对称 f(x)有怎样的对称关系式？
证明: ( )
f(x)= f(2a-x) f(a-x)=f(a+x)
任取y=f(x)图像上一点P(x0,y0))
? P’
P(x0,y0)
设P’是P关于直线x=a的对称点 P’(2a-x0,y0)
x 6
x0
x6
思考？若函数f ( x ) 图像关于xa轴对称，
f ( x ) 有怎样的对称关系式？
30
函数y=f(x)图像关于x=a轴对称
f(x)=f(2a-x)
证明： （必要性）
分析： 任取y=f(x)图像上一点P(x0,y0)
？若点P关于直线x=a的对称点P’
也在f(x)图像上．
P’
P(x0,y0) 则由P的任意性可知