分式方程中的参数问题
分式方程的增根与无解详解(最新整理)
x-2 (x-3)=m
整理得：
x=6-m
∵原方程有解，故 6-m 不是增根。
∴6-m≠3 即 m≠3
∵x＞0
∴m＜6
由此可得答案为 m 的取值范围是 m＜6 且 m≠3。 一、分式方程有增根，求参数值
2
x2 4xa 例 7 a 为何值时，关于 x 的方程 x 3 =0 有增根？
解：原方程两边同乘以（x-3）去分母整理，得 x2-4x+a=0（※） 因为分式方程有增根，增根为 x=3，把 x=3 代入（※）得，9-12+a=0 a=3
整理得（a－1）x＝－10
②
1
若原方程无解，则有两种情形： （1）当 a－1＝0（即 a＝1）时，方程②为 0x＝－10，此方程无解，所以原方程无解。 （2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解．原方程若有增根，增根为 x＝2 或－2，把 x＝2 或－2 代入方程②中，求出 a＝－4 或 6． 综上所述，a＝1 或 a＝一４或 a＝6 时，原分式方程无解． 例 5：（2005 扬州中考题）
入（※）得 m=-2
3 所以 m=- 2 或-2 时，原分式方程有增根
k
2
点评：分式方程有增根，不一定分式方程无解（无实根），如方程 x 1 +1= ( x 1)( x 2) 有增根，可求得 k=-
2
8
3 ，但分式方程这时有一实根 x= 3 。
二、分式方程是无实数解，求参数值
x2 m 例 9 若关于 x 的方程 x 5 = x 5 +2 无实数，求 m 的值。
整理得：
m(x+1)=7-x2
当 x= -1 时,此时 m 无解；
当 x=1 时,解得 m=3。
含参数的分式方程
2
例1：若关于x的方程
3 4 x-4 xk
有
正数解，求k的取值范围。
例2：解关于x的分式方程
1 a （1 a 1）. x 1
例2、 1 a （1 a 1）. x 1
解：（a-1）x=a-2
a-2 检验：当x= a 1 时，x-1=…
未知数系数含 有字母要同除 时要讨论系数
是否为0
认真根据题中 范围进行检验
有
正数解，求m的取值范围 .
5、分式方程
3 x
6 x -1
-
x（x xm-1）
0
有解，
求m满足的条件。
6、已知关于x的方程1- x 2m 的解 x 2 x2 -4
满足x≤-2，求m的取值范围
7、如果关于x的方程
1
x 2-x
2m x2 -4
的解
｛ 也是不等式组
1-xx -2 2
2（x-3）≤x-8
当a为何值时方程
ax x2
3
1 2
x x
无解
分析：
分式方程无解可能存在两种情况：
1、去分母后整式方程无解
2、整式方程的解为分式方程的增根
当a为何值时方程
ax x2
3
1 2
x x
无解
两种情况：1、去分母后整式方程无解2、整式方程的解为分式方程的增根
解：方程两边同时乘x-2得ax+3（x-2）=（x-1）
m 1 （0 m 0且m 1）. x x 1
1、分式方程
x x -1
k x -1
-
x x 1
0
有增
根，求k的值.
2、x
a
1
2a - x x2
含参数的分式方程
特殊情况处理
当参数取某些特殊值时，分式 方程可能出现特殊情况，如增 根、减根等。
对于这些特殊情况，需要采取 特定的处理方法，如分类讨论 、验证等。
特殊情况的处理是分式方程求 解过程中的重要环节，需要特 别关注。
PART 04
典型例题解析与讨论
一元一次含参数分式方程方源自形式形如 $frac{ax+b}{c} = d$，其中 $a, b, c, d$ 是常数，$c neq 0$
确定参数的取值范围 是分式方程求解的重 要步骤。
当参数取某些特定值 时，分式方程可能无 解、有唯一解或有无 穷多解。
参数变化对解的影响
随着参数的变化，分式方程的解 也会发生变化。
参数的微小变化可能导致解的显 著变化，如解的个数、解的性质
等。
通过分析参数变化对解的影响， 可以深入了解分式方程的性质。
待定系数法
待定系数思想
通过设定一些待定系数，将含参数的分式方程转化为关于待定系数的整式方程组 ，从而求解参数值。
待定系数步骤
首先根据方程特点设定待定系数；然后利用方程条件构建关于待定系数的整式方 程组；最后求解方程组得到参数值。
PART 03
参数对分式方程解的影响
参数取值范围
参数的取值范围直接 影响分式方程是否有 解，以及解的性质。
方程解的性质分析
本研究还对含参数分式方程的解进行了深入的性质分析，包括解的存在性、唯一性、连续性和可微性等 。这些性质分析为进一步的理论研究和实际应用提供了重要的参考依据。
未来研究方向展望
01
拓展应用领域
目前，含参数分式方程在多个领域具有广泛的应用前景， 如物理学、工程学、经济学等。未来研究可以进一步拓展 该方法的应用领域，探索其在更多实际问题中的适用性。
专题09 分式方程中的参数问题(解析版)
八下数学思维解法技巧培优小专题专题9 分式方程中的参数问题题型一由分式方程解的情况求参数的值或取值范围【典例1】（2019•淅川县期末）若关于x的方程2m−3x−1−xx−1=0无解，则m的值是（）A．3B．2C．1D．﹣1【点拨】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x﹣1＝0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．【解析】解：去分母得：2m﹣3﹣x＝0，由分式方程无解，得到x﹣1＝0，即x＝1，把x＝1代入整式方程得：2m﹣4＝0，解得：m＝2，故选：B．【典例2】（2019•吉安县期末）若mx−3−1−x3−x=0无解，则m的值是（）A．3B．﹣3C．﹣2D．2【点拨】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到m的值，经检验即可得到分式方程的解．【解析】解：去分母得：m﹣x+1＝0，由分式方程无解，得到x﹣3＝0，即x＝3，把x＝3代入整式方程得：m＝2，故选：D．【典例3】（2019•齐齐哈尔）关于x的分式方程2x−ax−1−11−x=3的解为非负数，则a的取值范围为a≤4且a≠3．【点拨】根据解分式方程的方法和方程2x−ax−1−11−x=3的解为非负数，可以求得a的取值范围．【解析】解：2x−ax−1−11−x=3，方程两边同乘以x﹣1，得2x ﹣a +1＝3（x ﹣1）， 去括号，得 2x ﹣a +1＝3x ﹣3， 移项及合并同类项，得 x ＝4﹣a ，∵关于x 的分式方程2x−a x−1−11−x=3的解为非负数，x ﹣1≠0，∴{4−a ≥0(4−a)−1≠0， 解得，a ≤4且a ≠3， 故答案为：a ≤4且a ≠3．【典例4】（2019•江阴市期中）若分式方程x−2x−3−2=mx−3有增根，则m 的值为 1 ． 【点拨】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m 的值．【解析】解：方程的两边都乘以（x ﹣3），得 x ﹣2﹣2（x ﹣3）＝m ， 化简，得 m ＝﹣x +4，原方程的增根为x ＝3， 把x ＝3代入m ＝﹣x +4， 得m ＝1， 故答案为：1．【典例5】（2019•江都区四模）若关于x 的分式方程1x−2−m 2−x=1的解是正数，求m 的取值范围．【点拨】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为正数确定出m 的范围即可．【解析】解：去分母得：1+m ＝x ﹣2， 解得：x ＝m +3，由分式方程的解为正数，得到m +3＞0，且m +3≠2，解得：m ＞﹣3且m ≠﹣1．题型二 分式方程与不等式的综合【典例6】（2019•九龙坡区校级月考）已知关于x 的分式方程2−ax 1−x−1x−1+1＝0有整数解，且关于x 的不等式组{3x ≤2(x −12)2x −x−13＜a的解集为x ≤﹣1，则符合条件的所有整数a 的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【点拨】解分式方程得x =4a+1且x ≠1，则整数a 为0，1，﹣2，﹣3，﹣5时分式方程的解为整数解，再解不等式组得到a ＞−43，从而得到满足条件的整数a 的值． 【解析】解：去分母得2﹣ax +1+1﹣x ＝0， 解得x =4a+1且x ≠1，当整数a 为0，1，﹣2，﹣3，﹣5时，分式方程的解为整数解， 解不等式组为{x ≤−1x ＜3a−15，而不等式组的解集为x ≤﹣1， 所以3a−15＞−1，解得a ＞−43，∴满足条件的整数a 的值为0，1． 故选：A ．【典例7】（2019•巴南区期中）若关于x 的分式方程m 2−x−1＝1−xx−2的解为正数，且关于y 的不等式组{2y−53≤−3y −m −1＞−1无解，那么符合条件的所有整数m 的和为（ ）A ．5B ．3C ．1D ．0【点拨】根据题意可以求得m 的取值范围，从而可以得到符合条件的m 的整数值，从而可以解答本题． 【解析】解：由方程m2−x−1＝1−xx−2，解得，x ＝4﹣m ，则{4−m ＞04−m ≠2， 解得，m ＜4且m ≠2，∵关于y 的不等式组{2y−53≤−3y −m −1＞−1无解，解得，m ≥﹣2，由上可得，m 的取值范围是：﹣2≤m ＜4，且m ≠2， ∴符合条件的所有整数m 的和为：﹣2+（﹣1）+0+1+3＝1， 故选：C ．【典例8】（2019•沙坪坝区校级月考）若实数a 使关于x 的不等式组{13x −1≤x−1212a −3x ＞0有且只有4个整数解，且使关于x 的方程2x−1+5−a 1−x=−2的解为正数，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）A ．7B ．10C ．12D ．1【点拨】解不等式组求得其解集，根据不等式组只有4个整数解得出a 的取值范围，解分式方程得出x =5−a2，由方程的解为正数且分式有意义得出a 的取值范围，综合两者所求最终确定a 的范围，据此可得答案．【解析】解：解不等式组{13x −1≤x−1212a −3x ＞0得，−3≤x ＜a 6， ∵不等式组只有4个整数解， ∴0＜a6≤1， ∴0＜a ≤6， 解分式方程2x−1+5−a1−x=−2得：x =5−a2， ∵分式方程的解为正数， ∴5−a 2＞0，且5−a 2≠1，解得：a ＜5且a ≠3，综上可得，a 的取值范围为0＜a ＜5，且a ≠3， 则符合条件的所有整数a 的和为：1+2+4＝7． 故选：A ．【典例9】（2019•沙坪坝区校级一模）如果关于x 的不等式组{5x+36≤x +115a −x ≥0至少有3个整数解，且关于x的分式方程axx−5=1−a 5−x−3xx−5的解为整数，则符合条件的所有整数a 的取值之和为（ ）A ．﹣10B ．﹣9C ．﹣7D ．﹣3【点拨】先分别解不等式组里的两个不等式，因为不等式组有解，写出其解集为﹣3≤x ≤15a ，根据不等式组至少有3个整数解，可得a 的取值，再解分式方程得x =a−1a+3，根据解为整数即得到a 的范围．得到两个a 的范围必须同时满足，即求得可得到的整数a 的值．【解析】解：解不等式组{5x+36≤x +115a −x ≥0，得：﹣3≤x ≤15a ， ∵至少有3个整数解， ∴15a ≥﹣1，∴a ≥﹣5， 解方程：ax x−5=1−a 5−x−3x x−5，ax ＝a ﹣1﹣3x ， x =a−1a+3，∵分式方程有解且解为整数，a−1a+3≠5，∴a ≠﹣4，a +3是a ﹣1的约数， ∵a ≥﹣5，∴a ＝﹣5，﹣2，﹣1，1，∴符合条件的所有整数a 的和为﹣7， 故选：C ．【典例10】（2019•长寿区模拟）若关于x 的方程k 1−x=3x−1−2有非负实数解，关于x 的一次不等式组{x−12−2x ≤1x +k ≤2有解，则满足这两个条件的所有整数k 的值的和是 ﹣6 ．【点拨】分式方程去分母转化为整式方程，表示出分式方程的解，由分式方程有非负实数解确定出k 的范围，由不等式有解确定出k 的范围，进而确定出k 的具体范围，求出整数解，进而求出之和即可． 【解析】解：分式方程去分母得：﹣k ＝3﹣2x +2， 解得：x =k+52，由分式方程有非负实数解，得到k+52≥0，且k+52≠1，解得：k ≥﹣5且k ≠﹣3， 不等式组整理得：{x ≥−1x ≤2−k，由不等式组有解，得到2﹣k ≥﹣1，即k ≤3，综上，k 的范围为﹣5≤k ≤3，且k ≠﹣3，即整数k ＝﹣5，﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，3， 则所有满足题意整数k 的值的和为﹣6， 故答案为：﹣6巩固练习1．（2019•九龙坡区期末）关于x 的分式方程ax−24−x+6x−4=−3的解为正数，且关于x 的不等式组{x ＞1a+x 2≥x −72有解，则满足上述要求的所有整数a 的绝对值之和为（ ）A ．12B ．14C ．16D ．18【点拨】根据分式方程的解为正数即可得出a ＜2且a ≠1，根据不等式组有解，即可得出a ＞﹣5，找出﹣5＜a ＜2且a ≠1中所有的整数，将其相加即可得出结论． 【解析】解：解分式方程得x =43−a ， 因为分式方程的解为正数， 所以43−a＞0且43−a≠4，解得：a ＜3且a ≠2， 解不等式a+x 2≥x −72，得：x ≤a +7，∵不等式组有解， ∴a +7＞1， 解得：a ＞﹣6，综上，﹣6＜a ＜3，且a ≠2，则满足上述要求的所有整数a 绝对值之和为5+4+3+2+1+0+1＝16， 故选：C ．2．（2019•南岸区模拟）若数k 使关于x 的不等式组{3x +k ≤0x3−x−12≤1只有4个整数解，且使关于y 的分式方程k y−1+1=y+ky+1的解为正数，则符合条件的所有整数k 的积为（ ） A ．2 B ．0 C ．﹣3 D ．﹣6【点拨】解不等式组求得其解集，根据不等式组只有4个整数解得出k 的取值范围，解分式方程得出y ＝﹣2k +1，由方程的解为整数且分式有意义得出k 的取值范围，综合两者所求最终确定k 的范围，据此可得答案．【解析】解：解不等式组{3x +k ≤0x3−x−12≤1得：﹣3≤x ≤−k3， ∵不等式组只有4个整数解， ∴0≤−k3＜1， 解得：﹣3＜k ≤0， 解分式方程k y−1+1=y+ky+1得：y ＝﹣2k +1，∵分式方程的解为正数， ∴﹣2k +1＞0且﹣2k +1≠1， 解得：k ＜12且k ≠0，综上，k 的取值范围为﹣3＜k ＜0，则符合条件的所有整数k 的积为﹣2×（﹣1）＝2， 故选：A ．3．（2019•嘉祥县模拟）若关于x 的方程3x−1=1−k1−x无解，则k 的值为（ ） A ．3B ．1C ．0D ．﹣1【点拨】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x 的值，代入整式方程计算即可求出k 的值．【解析】解：去分母得：3＝x ﹣1+k ， 由分式方程无解，得到x ＝1， 把x ＝1代入整式方程得：k ＝3， 故选：A ．4．（2019•碑林区校级期末）若关于x 的分式方程x+a x−2+a 2=12x−4无解，则a 的值为（ ）A ．−32B ．2C ．−32或2D ．−32或﹣2【点拨】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出a 的值即可． 【解析】解：去分母得：2x +2a +ax ﹣2a ＝1， 整理得：（a +2）x ＝1，由分式方程无解，得到a +2＝0或x =1a+2=2， 解得：a ＝﹣2或a =−32， 故选：D ．5．（2019•渝中区校级期中）关于y 的分式方程3−a y−2=y−62−y 有正整数解，且关于x 的不等式{3x +32＜3a 2x−36≥23无解，则满足条件的所有整数a 的和为（ ） A ．﹣4B ．0C ．﹣8D ．﹣12【点拨】依据不等式组无解，即可得到a ≤4；依据分式方程有正整数解，即可得到a ＞﹣12且a ≠﹣4，进而得出﹣12＜a ≤4且a ≠﹣4，根据y =a+124是正整数，可得a ＝﹣8，0，4，计算和可得结论． 【解析】解：解不等式3x +32＜3a 得，x ＜2a−12， 解不等式2x−36≥23得，x ≥72，∵不等式组无解， ∴72≥2a−12，解得a ≤4；由分式方程3−ay−2=y−62−y ， 可得y =a+124， ∵分式方程有正整数解， ∴y ＞0且y ≠2， 即a+124＞0且a+124≠2，解得a ＞﹣12且a ≠﹣4， ∴﹣12＜a ≤4且a ≠﹣4，∵a+124是正整数，∴a ＝﹣8，0，4，∴满足条件的所有整数a 的和＝﹣8+0+4＝﹣4， 故选：A ．6．（2019•渝中区二模）若数a 使关于x 的不等式组{x−22≤−12x +27x +4＞−a有且只有4个整数解，且使关于y 的分式方程2y−1+a 1−y=3的解为正数，则符合条件的所有整数a 的和为（ ） A ．﹣2B ．0C ．3D ．6【点拨】先分别解不等式组里的两个不等式，因为不等式组有解，写出其解集为−4−a 7＜x ≤3，得到在此范围内的整数解为x ＝0，1，2，3，进而得到−4−a 7的范围，求得此时满足的a 的范围；再解分式方程得y =5−a3，解为正数即得到a 的范围．得到两个a 的范围必须同时满足，即求得可得到的整数a 的值． 【解析】解：解不等式x−22≤−12x +2，得：x ≤3解不等式7x +4＞﹣a ，得：x ＞−4−a7∵不等式组有且只有4个整数解 ∴在−4−a 7＜x ≤3的范围内只有4个整数解∴整数解为x ＝0，1，2，3 ∴−1≤−4−a7＜0 解得：﹣4＜a ≤3① 解方程：2y−1+a 1−y=3解得：y =5−a 3∵分式方程有解且解为正数∴{5−a3≠15−a3＞0 解得：a ＜5且a ≠2② ∴所有满足①②的整数a 的值有：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3 ∴符合条件的所有整数a 的和为﹣2故选：A ．7．（2019•江油市一模）若数a 使关于x 的不等式组{x−22≤−12x +22x +4＞−a有且仅有四个整数解，且使关于y 的分式方程ay−2+22−y=2有非负数解，则满足条件的整数a 的值是 ﹣2 ．【点拨】先解不等式组，根据不等式组有且仅有四个整数解，得出﹣4＜a ≤﹣2，再解分式方程a y−2+22−y=2，根据分式方程有非负数解，得到a ≥﹣2且a ≠2，进而得到满足条件的整数a 的值．【解析】解：解不等式组{x−22≤−12x +22x +4＞−a ，可得{x ≤3x ＞−a+42，∵不等式组有且仅有四个整数解， ∴﹣1≤−a+42＜0， ∴﹣4＜a ≤﹣2， 解分式方程a y−2+22−y=2，可得y =12（a +2），又∵分式方程有非负数解， ∴y ≥0，且y ≠2，即12（a +2）≥0，12（a +2）≠2，解得a ≥﹣2且a ≠2，∴满足条件的整数a 的值为﹣2， 故答案为：﹣2．8．（2019•保康县模拟）若关于x 的方程x+m x−3+3m 3−x=2的解为正数，则m 的取值范围是 m ＜3且m ≠32．【点拨】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为正数，确定出m 的范围即可． 【解析】解：去分母得：x +m ﹣3m ＝2x ﹣6， 解得：x ＝6﹣2m ，由分式方程的解为正数，得到6﹣2m ＞0，且6﹣2m ≠3， 解得：m ＜3且m ≠32， 故答案为：m ＜3且m ≠32，9．（2019•沙坪坝区校级期中）关于x的分式方程2x−1+kxx2−1=3x+1会产生增根，则k＝﹣4或6．【点拨】根据增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，把增根代入化为整式方程的方程即可求出k的值．【解析】解：方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得2（x+1）+kx＝3（x﹣1），即（k﹣1）x＝﹣5，∵最简公分母为（x+1）（x﹣1），∴原方程增根为x＝±1，∴把x＝1代入整式方程，得k＝﹣4．把x＝﹣1代入整式方程，得k＝6．综上可知k＝﹣4或6．故答案为：﹣4或6。
专题04 分式方程中的参数问题(解析版)
专题04 分式方程中的参数问题考纲要求:1. 了解分式方程的概念2.会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个），会对分式方程的解进行检验.3.会用分式方程解决简单的事件问题.基础知识回顾:1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.2.解分式方程的一般步骤：()1去分母化分式方程为整式方程.()2解这个整式方程，求出整式方程的根.()3检验，得出结论.一般代入原方程的最简公分母进行检验.3.增根是分式方程化为整式方程的根，但它使得原分式方程的分母为零.应用举例:招数一、分式方程增根问题：增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母0，确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【例1】若关于x的分式方程+＝2m有增根，则m的值为______．【答案】1【解析】方程两边都乘x﹣2，得x﹣2m＝2m（x﹣2）∵原方程有增根，∴最简公分母x﹣2＝0，解得x＝2，当x＝2时，m＝1故m的值是1，故答案为1招数二、分式方程无解问题：分式方程无解分为以下两种情况：①原方程解不出数来，也就是整式方程无解；②整式方程能解出来，但是解出来的数使得原分式方程的分母为零，也就是所谓的增根，所以切记一定要讨论。
【例2】取5张看上去无差别的卡片，分别在正面写上数字1，2，3，4，5，现把它们洗匀正面朝下，随机摆放在桌面上．从中任意抽出1张，记卡片上的数字为m，则数字m使分式方程﹣1＝无解的概率为________．【答案】．【解答】解：由分式方程，得m＝x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）x＝1或﹣2时，分式方程无解，x＝1时，m＝2，x＝﹣2时，m＝0，所以在1，2，3，4，5取一个数字m使分式方程无解的概率为．招数三、已知分式方程解的范围求参数范围问题：明确告诉了解的范围，首先还是要按正常步骤解出方程，解中肯定带有参数，再根据解的范围求参数的范围，注意：最后一定要讨论增根的问题.【例3】已知关于x的分式方程＝1的解是非正数，则m的取值范围是（）A．m≤3B．m＜3 C．m＞﹣3 D．m≥﹣3【答案】A【解析】方程两边同乘以x﹣3，得2x﹣m＝x﹣3，移项及合并同类项，得x＝m﹣3，∵分式方程＝1的解是非正数，x﹣3≠0，∴，解得，m≤3，故选：A．【例4】若关于x的分式方程=1的解是负数,求m的取值范围.【答案】m<2且m≠0.【解析】解:由=1,得(x+1)2-m=x2-1,解得x=-1+.由已知可得-1+<0,-1+≠1且-1+≠-1,解得m<2且m≠0.招数四、与其它方程或不等式结合求参数问题：【例5】关于x的两个方程260x x--=与213x m x=+-有一个解相同，则m= ．【答案】﹣8．【解析】【例6】若数a使关于x的不等式组有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程﹣＝﹣3的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1【答案】A【解析】由关于x的不等式组得∵有且仅有三个整数解，∴＜x≤3，x＝1，2，或3．∴，∴﹣＜a＜3；由关于y的分式方程﹣＝﹣3得1﹣2y+a＝﹣3（y﹣1），∴y＝2﹣a，∵解为正数，且y＝1为增根，∴a＜2，且a≠1，∴﹣＜a＜2，且a≠1，∴所有满足条件的整数a的值为：﹣2，﹣1，0，其和为﹣3．故选：A ．方法、规律归纳:1.按照基本步骤解分式方程时，关键是确定各分式的最简公分母，若分母为多项式时，应首先进行因式分解，将分式方程转化为整式方程，给分式方程乘最简公分母时，应对分式方程的每一项都乘以最简公分母，不能漏乘常数项；2．检验分式方程的根是否为增根，即分式方程的增根是去分母后整式方程的某个根，如果它使分式方程的最简公分母为0.则为增根． 增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母0，确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．3. 分式方程的增根和无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解；分式方程的增根是去分母后整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．实战演练:1.若关于x 的分式方程﹣1＝有增根，则m 的值为______．【答案】3【解析】方程两边都乘（x ﹣2），得3x ﹣x+2＝m+3∵原方程有增根，∴最简公分母（x ﹣2）＝0，解得x ＝2，当x ＝2时，m ＝3．故答案为3．2.若关于x 的分式方程1322m x x x -=---有增根，则实数m 的值是 ． 【答案】1．【解析】试题分析:去分母，得：13(2),m x x =---由分式方程有增根，得到20,x -= 即 2.x =把2x =代入整式方程可得： 1.m =故答案为：1.3. 若关于x 的分式方程=2a 无解，则a 的值为_____．【答案】1或【解析】解：去分母得：x-3a=2a（x-3），整理得：（1-2a）x=-3a，当1-2a=0时，方程无解，故a=；当1-2a≠0时，x==3时，分式方程无解，则a=1，故关于x的分式方程=2a无解，则a的值为：1或．故答案为：1或．4.已知关于x的分式方程﹣2＝的解为正数，则k的取值范围为（）A．﹣2＜k＜0 B．k＞﹣2且k≠﹣1 C．k＞﹣2 D．k＜2且k≠1【答案】B【解析】∵＝2，∴＝2，∴x＝2+k，∵该分式方程有解，∴2+k≠1，∴k≠﹣1，∵x＞0，∴2+k＞0，∴k＞﹣2，∴k＞﹣2且k≠﹣1，故选：B．5.已知关于x的方程无解，则a的值为_____________．【答案】-4或6或1【解析】由原方程得：2（x+2）+ax=3（x-2），整理得：（a-1）x=-10，（i）当a-1=0，即a=1时，原方程无解；（ii）当a-1≠0，原方程有增根x=±2，当x=2时，2（a-1）=-10，即a=-4；当x=-2时，-2（a-1）=-10，即a=6，即当a=1，-4或6时原方程无解．故答案为-4或6或16．关于x的方程﹣1＝的解为正数，则k的取值范围是（）A．k＞﹣4 B．k＜4 C．k＞﹣4且k≠4D．k＜4且k≠﹣4 【答案】C．【解析】分式方程去分母得：k﹣（2x﹣4）＝2x，解得：x＝，根据题意得：＞0，且≠2，解得：k＞﹣4，且k≠4．故选：C．7 . 若关于x的方程2230x x+-=与213x x a=+-有一个解相同，则a的值为（）A．1 B．1或﹣3 C．﹣1 D．﹣1或3 【答案】C．【解析】解方程2230x x+-=，得：x1=1，x2=﹣3，∵x=﹣3是方程213x x a=+-的增根，∴当x=1时，代入方程213x x a=+-，得：21131a=+-，解得a=﹣1．故选C．8．若关于x的一元一次不等式组的解集是x≤a，且关于y的分式方程﹣＝1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）A．0 B．1 C．4 D．6【答案】B【解析】由不等式组得：∵解集是x≤a，∴a＜5；由关于y的分式方程﹣＝1得2y﹣a+y﹣4＝y﹣1∴y＝，∵有非负整数解，∴≥0，∴a≥﹣3，且a＝﹣3，a＝﹣1（舍，此时分式方程为增根），a＝1，a＝3它们的和为-3+1+3=1．故选：B．9．已知关于x的不等式组有且只有四个整数解，又关于x的分式方程﹣2=有正数解，则满足条件的整数k的和为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】解不等式-(4x+)＜0，得：x＞，解不等式﹣(x+2)+2≥0，得：x≤2，则不等式组的解集为＜x≤2，∵不等式组有且只有四个整数解，∴﹣2≤＜﹣1，解得:﹣3≤k＜5；解分式方程-2=得：x=，∵分式方程有正数解，∴＞0，且≠1，解得：k＞﹣3且k≠﹣1，所以满足条件的整数k的值为﹣2、0、1、2、3、4，则满足条件的整数k的和为﹣2+0+1+2+3+4=8，故选：D.10.阅读下列材料：在学习“分式方程及其解法”过程中，老师提出一个问题：若关于x的分式方程的解为正数，求a的取值范围？经过小组交流讨论后，同学们逐渐形成了两种意见：小明说：解这个关于x的分式方程，得到方程的解为x=a﹣2．由题意可得a﹣2＞0，所以a＞2，问题解决．小强说：你考虑的不全面．还必须保证a≠3才行．老师说：小强所说完全正确．请回答：小明考虑问题不全面，主要体现在哪里？请你简要说明：．完成下列问题：（1）已知关于x的方程=1的解为负数，求m的取值范围；（2）若关于x的分式方程=﹣1无解．直接写出n的取值范围．【答案】（1）：m＜且m≠﹣；（2）n=1或n=．【解析】请回答：小明没有考虑分式的分母不为0（或分式必须有意义）这个条件；（1）解关于x的分式方程得，x=，∵方程有解，且解为负数，∴，解得：m＜且m≠-；（2）分式方程去分母得：3-2x+nx-2=-x+3，即（n-1）x=2，由分式方程无解，得到x-3=0，即x=3，代入整式方程得：n=；当n-1=0时，整式方程无解，此时n=1，综上，n=1或n=．。
分式方程中的参数大揭秘
x
ax +
1
=
3
-
x
3 +
1 只有一解?
解 原方程可化为整式方程
( a + 3)x2 - 2x - 2 = 0.
¹
( 1 ) 当 a + 3 = 0, 即 a = - 3时,
- 2x - 2 = 0, x = - 1, 这使原方程分母为 0,
_ a X - 3.
( 2 ) 当 a + 3 X 0, 即 a X - 3时, 方程 ¹ 为 关于 x 的一元二次方程.
解 原方程去分母整理得
2x2 = m + 1.
¹
因为原方程的增根可能是 x = 0或 x = 1,
把 x = 0 代入方程 ¹ 得 m = - 1,
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初中数学教与学
把 x = 1代入方程 ¹ 中得 m = 1, 所以 m = ? 1.
三、参数使方程只有一解
例 4 a 为 何 值 时, 关 于 x 的 方 程 2 x
x=
1 2
,
这不是原方程的增根,
_ k = 0符合题意;
( 2 ) 当 k X 0时, 方程 ¹ 为关于 x 的一元
二次方程.
( i) 如果方程 ¹ 没有实数根, 也就不会使
原 方程产生增根, 由 $ = ( 3k - 2) 2 + 4k < 0得
k无实数值.
( ii) 如果方程 ¹ 有实数 根, 就 得舍去 使
¹ 得 a = - 1, 这满足 ¾. 再把 a = - 1代入方
程 ¹ 中得 x = - 1 或 x = - 2.
这时 x = - 1为原方程增根; x = - 2为原
方程的解, 且在 - 3与 3之间.
分式方程的含参问题
分式方程的含参问题解含有参数的分式方程解含有参数的分式方程的基本方法是将等式中的参数看作常数，用含有参数的代数式表示未知数的值。
例如，对于关于x的方程1/(x-1)+a=1(a≠1)，可以通过在等式两边乘以最简公分母x-1，然后整理方程，得到x=(a-2)/(a-1)。
在解决含有参数的分式方程时，需要注意将参数看作常数进行运算，用含有参数的代数式表示方程的解。
已知含有参数的分式方程有特殊解，求参数的值如果已知含有参数的分式方程有特殊解，可以将这个特殊解代入原式，然后求解参数的值。
例如，对于关于x的方程(x+12a-3)/(x-2a+5)=0，如果已知其解为0，可以将x=0代入原式，建立关于参数a的方程，然后解出a的值。
在解决这种问题时，需要注意方程的解有意义这个前提条件。
已知含有参数的分式方程解的范围，求参数的值如果已知含有参数的分式方程解的范围，可以用含有参数的代数式将方程的解表示出来，然后根据解的范围建立与参数有关的关系式。
例如，对于关于x的方程x^m-2/(x-3)(x-3)，如果已知其解为正数，可以将m看作常数，表示出方程的解为x=6-m/(x-3)，然后根据解的范围建立关于m的关系式，解出m的取值范围。
在解决这种问题时，需要注意方程的解为正且原式有意义这两个前提条件。
解含有参数的分式方程的基本方法是将等式中的参数看作常数，用含有参数的代数式表示未知数的值。
例如，对于关于x的方程1/(x-1)+a=1(a≠1)，可以通过在等式两边乘以最简公分母x-1，然后整理方程，得到x=(a-2)/(a-1)。
在解决含有参数的分式方程时，需要注意将参数看作常数进行运算，用含有参数的代数式表示方程的解。
如果已知含有参数的分式方程有特殊解，可以将这个特殊解代入原式，然后求解参数的值。
例如，对于关于x的方程(x+12a-3)/(x-2a+5)=0，如果已知其解为0，可以将x=0代入原式，建立关于参数a的方程，然后解出a的值。
(完整版)含有参数的分式方程
含有参数的分式方程【问题一】解含有参数的分式方程例如：解关于x 的方程11(1)1a a x +=≠- 分析：解分式方程的一般是方法将分式方程转化为整式方程，通过在等式两边乘以最简公分母达到去分母的效果。
在解决含有参数的分式方程时，将参数看作一个常数进行运算，用含有参数的代数式表示方程的解。
解：去分母，方程两边同时乘以1x -得：1(1)1a x x +-=-整理方程得：(1)2a x a -=-∵1a ≠，∴10a -≠， ∴21a x a -=- 检验，当21a x a -=-时，10x -≠ ∴原分式方程的解为21a x a -=- 小结：将等式中的参数看作常数，用含有参数的代数式表示一个未知数的值，是解决含参问题的基本方法。
练习：解关于x 的方程10(0,1)1m m m x x -=≠≠+且 （1m x m=-） 【问题二】已知含有参数的分式方程有特殊解，求参数的值例如：当a 为何值时，关于x 的方程12325x a x a +-=-+的解为0. 分析：将方程的解代入原方程建立关于参数的方程。
解：当x =0是方程的解时有0123025a a +-=-+，解得 15a = 当15a =时，50a +≠ 所以15a =是方程23152a a -=-+的解. 所以当15a =时，原方程的解为0 . 小结：方程的解是指使得等式两边相等的未知数的值，所以将方程的解代入原式，等式依然成立。
练习：当a 为何值时，关于x 的方程2334ax a x +=-的解为1. （3a =）【问题三】已知含有参数的分式方程解的范围，求参数的值例如：已知关于x 的方程233x m x x -=--的解为正数，试求m 的取值范围. 分析：将m 看作常数，表示出方程的解，根据方程的解的范围建立关于m 的关系式，注意方程有意义这个前提条件.解：去分母得：2(3)x x m --=解得6x m =-∵原方程的解为正数，∴0x >，即60m ->……………①又∵原方程要有意义 ∴30x -≠，即63m -≠……………②由①②可得6m <且3m ≠所以，当6m <且3m ≠时，方程的解为正数.小结：用含有参数的代数式将方程的解表示出来，进而根据原方程解的范围，建立与参数有关的关系式子。