分式含参问题
探究含参的分式方程(教学设计)
探究含参的分式方程（教学设计）成都铁中何怿熹教学目标：1、利用增根解决分式方程的参数问题2、解题过程中数学的转化思想和分类讨论思想的应用3、充分感受并学会对于复杂问题联立求解，避免漏解的重要性3、感受分式方程含参问题知识的横向联系，与不等式、概率等知识有机结合教学重点：分式方程化成整式方程时，未知数系数有参和无参的区别；有解和无解情况的具体考虑教学难点：分式方程化成整式方程时，未知数系数有参时，有解和无解情况的考虑教学信息技术的使用：爱学派平台、微课、mindmaster软件的使用、平板电脑、电子白板、Internet的使用一、课前准备工作1.通过爱学派平台给学生推送与分式方程增根问题的微课，预习相关内容，并完成一些对应习题，通过平台的数据统计反馈，了解学生对预设问题的掌握情况，便于在课堂教学中就学生的易错问题做详细剖析。
2.完成本章的知识体系的梳理，通过爱学派平台推送任务，学生以思维导图的形式呈现其总结归纳过程，并用于课堂展示，也给学生提供相互学习的机会。
二、复习回顾先做课前展示，思维导图的完成分享教学过程：（一）含参的整式方程ax=b的解的情况：①当a≠0时，方程的解x___________②当a=0时,{若此时b≠0时,等式两边___________________，此时方程___________________若此时b=0时，等式两边___________________，此时方程___________________，设计意图：以学生较为容易理解的整式方程引入，让学生感受在解决含参问题时分类讨论思想的重要性，为后面分式方程的含参问题中化成整式方程时，系数含参且无解类型的探讨埋下伏笔（二）分式方程的基本解法1、解分式方程的基本思想2、解分式方程的步骤①去分母:_________ ②解整式方程③验根：________________________________验根过程中算得使原分式方程的分母或最简公分母为零的根,我们称它为原方程的______，也叫原方程_______设计意图：对分式方程求解过程的复习也是贯穿整堂课求解含参分式方程的基础，强化学生对分式方程转化至整式方程求解通法。
中考数学12题含参分式方程与含参不等式组
第一部分 含参分式方程与含参不等式组1．从4,3,1,3,4−−这五个数中，随机抽取一个数，记为m ，若m 使得关于,x y 的二元一次方程组2223x y mx y +=⎧⎨−=−⎩有解，且使关于x 的分式方程12111m x x −−=−−有正数解，那么这五个数中所有满足条件的m 的值之和是（ ）A ．1B ．2C ．1−D ．2−2．从、0、25这五个数中，随机抽取一个数记为m ，若数m 使关于x 的不等式组⎩⎨⎧+≥−−+>14122m x m x 无解，且使关于x 的分式方程1222−=−−−−x m x x 有非负整数解，那么这五个数中所有满足条件的m 的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43. 若关于x 的不等式组3428712x x x a x +≤+⎧⎪⎨+−<⎪⎩有且仅有5个整数解，且关于y 的分式方程3111y a y y−−−=−−有非负整数解，则满足条件的所有整数a 的和为（ ） A ．12 B ．14 C ．21 D ．244．若整数既使得关于的分式方程有正整数解，又使得关于的不等式组至少有3个整数解，则符合条件的有（ ）个A ．B ．C ．D ．5. 若函数与轴有交点，且关于的不等式组 无解，则符合条件的整数的和为（ ） A ． 7 B ． 10 C ．12 D ．156．若整数a 既使得关于x 的分式方程1216−=−−−x xx ax 有非负分数解，又使得关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+<−a x x x 123623至少有三个负整数解，则符合条件的所有a 的个数为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2、、12−−a x 32133ax xx x −+=−−x 318221123x x a x ⎧−+≥⎪⎪⎨+⎪−<⎪⎩a 6235212)3(2−+−−=a ax x a y x x ⎪⎩⎪⎨⎧<−−+−≤−1233162)2(4x x a x a x a7．要使关于的方程有两个实数根，且使关于的分式方程的解为非负数的所有整数的个数为（ ） A ．个B ．个C ．个D ．个8．若a 使得关于x 的分式方程21224a x x −=−−有正整数解，且函数223y ax x =−−与21y x =−的图象有交点，则满足条件的所有整数a 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．若数使关于的不等式组有解且所有解都是的解，且使关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的个数是（ ） A ． B ． C ． D ．10．使得关于的不等式组有且只有4个整数解，且关于的分式方程的解为正数的所有整数的值之和为（ ） A ．11 B ．15 C ．18 D ．1911. 若整数a 使得关于x 的方程xax −=−−2232的解为非负数，且使得关于y 的不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤−−>+−03221223a y y y 至少有四个整数解，则所有符合条件的整数a 的和为（ ） A ．17 B ．18 C ．22 D ．2512．若关于的不等式组的所有整数解的和为，且使关于的分式方程的解大于1，则满足条件的所有整数的和是（ ） A ．6 B ．11 C ．12 D ．1513．若数a 使关于x 的不等式组51123522x x x a x a−+⎧+≤⎪⎨⎪−>+⎩至少有3个整数解，且使关于y 的分式方x 2210ax x −−=x 2233x a x x++=−−a 3456a x 32(1)122x a x xx −≥−−⎧⎪⎨−−≥⎪⎩260x +>y 5311y a y y −+=−−a 5432x 6101131+282x a x x −≥−⎧⎪⎨−<−+⎪⎩x 127844ax x x −+=−−−a x 323124152()183x x x a x−⎧−<+⎪⎪⎨⎪−≥⎪⎩5y yay y −+=−2322a程32211ay y−−=−−有非负整数解，则满足条件的所有整数a的和是（）A．14B．15C．23D．2414.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24. 若关于x 的不等式组有且仅有5个整数解，且关于y 的分式方程=1有非负整数解，则满足条件的所有整数a 的和为（ ）A ．12B ．14C ．21D ．3325．从这五个数中，随机抽取一个数记为，若数使关于的不等式组无解，且使关于的分式方程有非负整数解，那么这五个数中所有满足条件的的个数是（ ▲ ）A ．1B ．2C ．3D ．426．若数使关于的不等式组至少有3个整数解且所有解都是的解，且使关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2、、12−−、0、25m m x ⎩⎨⎧+≥−−+>14122m x m x x 1222−=−−−−x m x x m m x ⎪⎩⎪⎨⎧<−≤−m x xx9253152≤−x x 2113124=−−+−−xm x x m 27.28.32.已知关于x 的分式方程的解为正数，且关于x 的不等式组无解，则所有满足条件的整数a 的绝对值之和是（ ）A ．11B ．10C ．7D ．61311a x x +=−−314143513x x x a −+⎧+>⎪⎪⎨−⎪<⎪⎩29.30.31.33.34.。
分式方程的含参问题
分式方程的含参问题
分式方程的含参问题是指分式方程中包含一个或多个参数的问题。
例如，考虑以下分式方程：
$\frac{x+3}{x-2}=a$
其中，$a$是一个参数。
这个方程中的未知数是$x$，参数是$a$。
我们可以通过解这个方程来求出$x$的值，并且可以根据参数$a$的取值的不同，得到不同的解。
通过化简方程，我们可以得到：
$x+3=a(x-2)$
然后，根据参数$a$的取值进行分类讨论：
当$a=0$时，方程变为$3=0$，没有实数解。
当$a\neq 0$时，可以通过将方程进一步化简为一次方程求解，得到$x=\frac{3}{a+1}$。
所以，当$a\neq 0$时，方程的解为$x=\frac{3}{a+1}$。
当
$a=0$时，方程无解。
这就是这个分式方程的含参问题的解。
中考数学复习典型压轴题专题讲解4---分式方程的含参问题与应用
中考数学复习典型压轴题专题讲解中考数学复习典型压轴题专题讲解专题04分式方程的含参问题与应用分式方程的含参问题与应用【解题解题方法指导方法指导方法指导】】1. 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数．2.解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．3.分式方程的增根问题：（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．4.分式方程的应用列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工作时间等等．列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．题型剖析】】【题型剖析解分式方程【类型1】解分式方程【例1】（2019•江都区三模）解方程：【分析】先去分母，将方程化为一元一次方程，然后解之即可，最后验根．【解析】去分母，得4x﹣5（x﹣1）＝0，去括号，得4x﹣5x+5＝0，合并同类项，得﹣x+5＝0，解得x＝5，检验：将x＝5代入原分式方程，左边＝0＝右边，∴原分式方程的解为x＝5．【方法小结】本题考查了实数运算以及解分式方程，熟练掌握特殊三角函数值与幂的运算、解分式方程是解题的关键．【变式1-1】（2019•润州区二模）（1）解方程：。
分式方程中参数问题的四种考法(解析版)(人教版)
1】．关于
x
的方程
3x x3
2
3
m
x
的解不小于1，则
m
的取值范围为
．
【答案】 m 7 且 m ¹ - 9
【分析】先解分式方程可得 x 6 m ，由题意得 6 m 1，再由 x 3，得 6 m 3 ，求
出 m 的取值范围即可．
【详解】解：
3x x3
2
3
m
x
，
3x 2 x 3 m ，
专题 09 分式方程中参数问题的四种考法
类型一、整数解问题求参数
x m 1
例．若关于
x
的不Hale Waihona Puke 式组x21
x 4
1
有解且至多有
5
个整数解，且关于
y
的方程
y
1
1
3
my 1 y
的解为整数，则符合条件的整数
m
的个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
x m 1
【分析】先解出不等式组的解集，然后根据不等式组
解不等式 y 3 2 y a 得： y<2a 3，
∴10 y 2a 3
∵不等式组至多有 3 个整数解，
∴ 2a 3 13 ，
∴a 8．
方程
x
1
3
x 3
a x
1
，
1 x a x 3 ，解得： x a 4 2
∵分式方程有非负整数解，
∴ x 0 （x 为非负整数）且 x 3，
情况二：当整式方程有解，是分式方程的增根，即 x=2 或 x=6， ①当 x=2 时，代入 (m 1)x 6 0 ，得： 2m 8 0
综合算式专项练习解含参数的分式方程
综合算式专项练习解含参数的分式方程在数学学习中，分式方程是一种重要的数学问题类型。
分式方程的求解需要我们掌握一定的解法和技巧。
本文将针对含参数的分式方程进行综合算式专项练习，通过解题实例来深入理解和掌握解题方法。
一、基础概念回顾在进一步讨论含参数的分式方程之前，首先回顾一下基础概念。
1. 分式方程：含有未知数的分式等式称为分式方程。
例如：$\frac{1}{x} + \frac{2}{x+1} = \frac{3}{x+2}$。
2. 参数：在分式方程中，参数是指可以取不同值的常数。
在解含参数的分式方程时，我们需要找出参数的取值范围，使得等式成立。
二、解含参数的分式方程的步骤解含参数的分式方程的一般步骤如下：步骤一：将所有分母通分。
步骤二：对等式两边进行化简，消去分母。
步骤三：解得含有参数的方程。
步骤四：讨论参数的取值范围，使方程成立。
下面通过实例演示以上步骤。
例题一：求解分式方程$\frac{x+1}{x-2} + \frac{2}{x+1} =\frac{3}{x-1}$，并确定参数的取值范围。
解题步骤：步骤一：将所有分母通分。
由于$x-2$和$x-1$互为因式，故通分后得到：$(x+1)(x-1) + 2(x-2) = 3(x-2)$。
步骤二：对等式两边进行化简，消去分母。
展开得：$x^2 - x + 1 + 2x - 4 = 3x - 6$。
合并同类项后得到：$x^2 + x - 9 = 3x - 6$。
步骤三：解得含有参数的方程。
移项后得到：$x^2 - 2x - 3 = 0$。
步骤四：讨论参数的取值范围，使方程成立。
使用二次方程求根公式解得：$x = 3$或$x = -1$。
因此参数的取值范围为：$x \in \{-1, 3\}$。
说明：通过解方程可得参数的取值范围。
同时，我们还可以检验得到的解是否满足原分式方程。
结论：分式方程$\frac{x+1}{x-2} + \frac{2}{x+1} = \frac{3}{x-1}$的解为$x \in \{-1, 3\}$。
分式中的含参问题专题
分式含参专题1．关于x 的方程+＝有增根，则增根是 ．2．若关于x 的方程21=-+x mx 的解是非负数，则m 的取值范围是 ． 3．已知关于x 的方程＝﹣1的解小于1，则a 的取值范围是 ．4．若数a 使关于x 的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y 的方程＝2的解为非负数，则符合条件的所有整数a 的和为 ．5．将三支长度相同的蜡烛A ，B ，C 同时点燃，当蜡烛A 剩一半时，蜡烛B 和蜡烛C 剩余部分的长度之比为28：33，当蜡烛B 剩一半时，蜡烛A 和蜡烛C 剩余部分的长度之比为16：25，若整个燃烧过程中．每支蜡烛燃烧速度均保持不变，则当蜡烛C 剩一半时，蜡烛A 和蜡烛B 剩余部分的长度之比为 ．6．有下列说法：①不论k 取何实数，多项式x 2﹣ky 2总能分解能两个一次因式积的形式；②关于x 的分式方程无解，则m ＝1：③关于x 、y 的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，其中，当a 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为，其中正确的是 ．（填序号）7．解关于x 的方程： （1）（2）8．已知关于x 的方程．（1）m 取何值时，方程的解为x ＝4； （2）m 取何值时，方程有增根．9．已知，关于x的分式方程，（1）若方程无解．求k的取值；（2）若方程的解为正数，求k的取值范围；（3）若方程的解为整数，求整数k的取值范围．10．通过观察，发现方程不难求得方程：的解是；的解是；的解是；…（1）观察上述方程及其解，可猜想关于x的方程的解是；（2）试验证：当都是方程的解；（3）利用你猜想的结论，解关于x的方程．11．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如＝＝+＝1+，＝＝a﹣1+，则和都是“和谐分式”．（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是：（填序号）；①；②；③；④（2）将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：＝．（3）若分式的值为整数，求a的整数值；（4）若分式的值为m，则m的取值范围是（直接写出答案）．（5）应用：已知方程组有正整数解，求整数m的值．12．对x，y定义一种新运算T，规定T（x，y）＝（其中a，b是非零常数，且x+y≠0），这里等式右边是通常的四则运算．如：T（3，1）＝＝，T（m，﹣2）＝．（1）填空：T（4，﹣1）＝（用含a，b的代数式表示）；（2）若T（﹣2，0）＝﹣2且T（5，﹣1）＝6．①求a与b的值；②若T（3m﹣10，m）＝T（m，3m﹣10），求m的值．参考答案与试题解析1．【解答】解：∵方程的最简公分母为x2﹣1，由分式方程有增根，得到x2﹣1＝0，（x+1）（x﹣1）＝0，即x＝±1，将原方程去分母得到k（x﹣1）+3（x+1）＝7，即（k+3）x＝4+k，当x＝1时，（k+3）x＝4+k，代入发现方程k+3＝4+k，不成立；当x＝﹣1时，﹣k﹣3＝4+k，解得k＝﹣3.5．综上，增根只能是x＝﹣1．2．【解答】解：由原方程，得x+m＝2x﹣2，x＝m+2，则m+2≥0，且m+2≠1，解得m≥﹣2且m≠﹣1．故答案为：m≥﹣2且m≠﹣1．3．【解答】解：两边都乘以（x﹣2），得x+a＝2﹣x解得x＝，由于方程的解小于1，所以＜1且≠2，解得a＞0，a≠﹣2，∴a＞0，故答案为：a＞0．4．【解答】解：，解①得，x＜5；解②得，∴不等式组的解集为；∵不等式有且只有四个整数解，∴，解得，﹣2＜a≤2；解分式方程得，y＝2﹣a（a≠1）；∵方程的解为非负数，∴2﹣a≥0即a≤2；综上可知，﹣2＜a≤2且a≠1，∵a是整数，∴a＝﹣1，0，2；∴﹣1+0+2＝1故答案为1．由题意可知，蜡烛A剩一半所用时间t1＝＝，此时蜡烛B剩余部分的长度为：l﹣yt1＝l﹣，蜡烛C剩余部分的长度：l﹣zt1＝l﹣．由题意，可得＝，整理，得10x＝33y﹣28z①；蜡烛B剩一半所用时间t2＝＝，此时蜡烛A剩余部分的长度为：l﹣xt2＝l﹣蜡烛C剩余部分的长度：l﹣zt2＝l﹣．由题意，可得＝，整理，得25x＝18y+16z②．①与②联立组成方程组，解得．所以，蜡烛C剩一半所用时间t3＝＝＝＝，此时蜡烛A剩余部分的长度为：l﹣xt3＝l﹣＝，蜡烛B剩余部分的长度：l﹣yt3＝l﹣x•＝1﹣＝，蜡烛A和蜡烛B剩余部分的长度之比为：＝．故答案为：．6．【解答】解：①当k为负值时，多项式x2﹣ky2不能分解能两个一次因式积的形式，故①不正确；②将关于x的分式方程两边同时乘以（x﹣2）得3﹣x﹣m＝x﹣2∴x＝∵原分式方程无解，∴x＝2∴＝2解得m＝1故②正确；③将所给方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得（a﹣1）x+（a+2）y＝（x+y）a+2y﹣x＝2a﹣5∴解得：则当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为，故③正确．综上，正确答案为：②③．7．【解答】解：（1）移项：＝1﹣b，去分母：a＝（1﹣b）（x﹣a），去括号：a＝（1﹣b）x﹣a（1﹣b），移项：（1﹣b）x＝a+a（1﹣b）．∵b≠1，∴1﹣b≠0．方程两边同除以1﹣b，得x＝．检验：当x＝时，x﹣a≠0，∴x＝是原方程的解．（2）解：方程两边同乘以x（x+1），得x+1+x（x+m）＝x（x+1），整理得mx＝﹣1．当m＝0时，原方程无解．当m≠0时，．检验：把代入∴是原方程的解．∴当m＝0时，原方程无解，当m≠0时原方程的解为．8．【解答】解：（1）方程两边同乘以（x﹣3）得：x＝2x﹣6﹣mm＝x﹣6把x＝4代入，得m＝﹣2．答：m取﹣2时，方程的解为x＝4；∴把x＝3代入m＝x﹣6得m＝﹣3．答：m取﹣3时，方程有增根．9．【解答】(1)解：去分母，得2（x+2）﹣（4﹣k）x＝k+1，即2x+4﹣4x+kx＝k+1整理，得（k﹣2）x＝k﹣3当k＝2时，方程无解；当k≠2时，x＝因为x＝0、﹣2时，分式方程无解，∴＝0，＝﹣2时，分式方程无解，解＝0得，k＝3；解＝﹣2得，k＝．所以当k＝2、3、时，关于x的方程无解．(2)k>3或k<2(3)k=110．【解答】解：（1）x1＝a，x2＝；（2）把x＝a﹣1代入方程，左边＝a﹣1+，右边＝a﹣1+，左边＝右边，所以x＝a﹣1是方程的解；把x＝代入方程，左边＝+a﹣1，右边＝a﹣1+，左边＝右边，所以x＝是方程的解；（3）方程变形得，+＝a+，x+＝a+，∴x﹣1+＝a﹣1+，∴x﹣1＝a﹣1或x﹣1＝，∴x1＝a，x2＝．11．【解答】解：（1）①＝，故是和谐分式；②＝，故不是和谐分式；③＝，故是和谐分式；④＝，故是和谐分式；故答案为①③④；（2）＝＝＝，故答案为；（3）＝＝2﹣，当为整数时，也为整数，∴整数a+1为3的因数，即a+1可取得的整数值为±1，±3．∴a的可能整数值为0，﹣2，2，﹣4；（4）＝2+，而0＜≤3，∴2＜m≤5，故答案为：2＜m≤5．（5）解方程组得，∵方程组有正整数解，∴m＝﹣1或﹣7．12．【解答】解：（1）T（4，﹣1）＝＝；故答案为：；（2）①∵T（﹣2，0）＝﹣2且T（5，﹣1）＝6，∴解得②解法一：∵a＝1，b＝﹣1，且x+y≠0，∴T（x，y）＝＝＝x﹣y．∴T（3m﹣10，m）＝3m﹣10﹣m＝2m﹣10，T（m，3m﹣10）＝m﹣3m+10＝﹣2m+10．∵T（3m﹣10，m）＝T（m，3m﹣10），∴2m﹣10＝﹣2m+10，解得，m＝5．解法二：由解法①可得T（x，y）＝x﹣y，当T（x，y）＝T（y，x）时，x﹣y＝y﹣x，∴x＝y．∵T（3m﹣10，m）＝T（m，3m﹣10），∴3m﹣10＝m，∴m＝5．。
(完整版)含有参数的分式方程
含有参数的分式方程【问题一】解含有参数的分式方程例如：解关于x 的方程11(1)1a a x +=≠- 分析：解分式方程的一般是方法将分式方程转化为整式方程，通过在等式两边乘以最简公分母达到去分母的效果。
在解决含有参数的分式方程时，将参数看作一个常数进行运算，用含有参数的代数式表示方程的解。
解：去分母，方程两边同时乘以1x -得：1(1)1a x x +-=-整理方程得：(1)2a x a -=-∵1a ≠，∴10a -≠， ∴21a x a -=- 检验，当21a x a -=-时，10x -≠ ∴原分式方程的解为21a x a -=- 小结：将等式中的参数看作常数，用含有参数的代数式表示一个未知数的值，是解决含参问题的基本方法。
练习：解关于x 的方程10(0,1)1m m m x x -=≠≠+且 （1m x m=-） 【问题二】已知含有参数的分式方程有特殊解，求参数的值例如：当a 为何值时，关于x 的方程12325x a x a +-=-+的解为0. 分析：将方程的解代入原方程建立关于参数的方程。
解：当x =0是方程的解时有0123025a a +-=-+，解得 15a = 当15a =时，50a +≠ 所以15a =是方程23152a a -=-+的解. 所以当15a =时，原方程的解为0 . 小结：方程的解是指使得等式两边相等的未知数的值，所以将方程的解代入原式，等式依然成立。
练习：当a 为何值时，关于x 的方程2334ax a x +=-的解为1. （3a =）【问题三】已知含有参数的分式方程解的范围，求参数的值例如：已知关于x 的方程233x m x x -=--的解为正数，试求m 的取值范围. 分析：将m 看作常数，表示出方程的解，根据方程的解的范围建立关于m 的关系式，注意方程有意义这个前提条件.解：去分母得：2(3)x x m --=解得6x m =-∵原方程的解为正数，∴0x >，即60m ->……………①又∵原方程要有意义 ∴30x -≠，即63m -≠……………②由①②可得6m <且3m ≠所以，当6m <且3m ≠时，方程的解为正数.小结：用含有参数的代数式将方程的解表示出来，进而根据原方程解的范围，建立与参数有关的关系式子。
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分式计算
1．化简
x x x x ---23
1
的结果是 （ ） A 、1
B 、1-x
C 、
1-x x D 、x
x -1 2．若x 取整数，则使分式的值为整数的x 值有（ ）
A ． 3个
B ． 4个
C ． 6个
D ． 8个
3． 若
3,111--+=-b
a
a b b a b a 则的值是（ ） A -2 B 2 C 3 D -3 4.老师出了一道题“化简：
23224
x x
x x +-+
+-” 小明的做法是：原式222222(3)(2)2628
4444
x x x x x x x x x x x +--+----=-==----；
小亮的做法是：原式2
2
(3)(2)(2)624x x x x x x x =+-+-=+-+-=-； 小芳的做法是：原式32313112(2)(2)222
x x x x x x x x x x +-++-=
-=-==++-+++．其中正确的是（ ）
A ．小明
B ．小亮
C ．小芳
D ．没有正确的
5.若分式22
1-2b-3b b -的值为0，则b 的值为（ ）
A. 1
B. -1
C.±1
D. 2
6. 已知
311=-y x ，则y
xy x y xy x ---+2232的值为 。
7.当x 为 时，代数式293132
x x x x
++---的值等于2。
8.若实数m 满足m 2
－m —1 = 0，则 m 2
+ m －2
= 。
9.在公式
()1212
111
0R R R R R =++≠中，已知1R 、2R ，则R=________________。
10.已知30x y -=，求).(222
2y x y
xy x y
x -+-+的值为 。
11、计算
（1）
（2） x x
x x x x x x -÷+----+4)4
4122(
22
12、解关于x 的方程
（1）52-x x +x 255
-=1 （2）4
4214252
-=--+x x x
（3）a 1+x a =b 1+x b
（a ≠b ） （4）612444444
02222y y y y y y y y +++---++-=2
13、已知()
22
584422x A B
x x x x -=+-+--，试确定整数A,B 的值．
14．有这样一道题：“计算222211
1x x x x x x x
-+-÷--+的值，
其中2004x =”甲同学把“2004x =”错抄成“2040x =”，但他的计算结果也正确，你说这是怎么回事？
15．先化简：a
a a a a -+-÷--2
244)111(，然后请选取你喜欢的a 的值代入，求出分式的值。
分式含参问题
一．选择填空题
1．下列分式的变形中，正确的是（ ） A ．
B ．
2
2
x y
x y =
C ．
（a ≠0） D ．
2．下列关于分式的判断，正确的是（ ） A ．
无论x 为何值，不可能得整数值 B ．
当x ≠3时，有意义
C ．
当x=2时，
的值为零
D ．
无论x 为何值，
的值总为正数
3．分式由两个分式和相加而得，则M ，N 的值为（ ）
A ． M =5，N=﹣11
B ． M =﹣1，N=7
C ． M =3，N=﹣1
D ． M =﹣5，N=11 4．如果使分式有意义的一切实数x ，上述分式的值都不变，则=（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
5．关于x 的分式方程，下列说法正确的是（ ）
A ． m ＜﹣5时，方程的解为负数
B ． 方程的解是x=m+5
C ． m ＞﹣5时，方程的解是正数
D ． 无法确定
6．若x 取整数，则使分式的值为整数的x 值有（ ）
A ． 3个
B ． 4个
C ． 6个
D ． 8个
7．如果把分式
中的a 、b 都扩大2倍，那么分式的值 _________ ．
8．给定一列分式，…，则第n 个分式为： _________ ．
9若关于x 的分式方程有整数解，m 的值是 _________ ．
10.已知
4
32z
y x ==， 222
z y x zx yz xy ++++的值是 _________ ．
三．计算题 11．（1）
21
11x x x x ++=+ （2）2
316111x x x +=+--
（3） （4）
12．（2008•邵阳）已知分式
，及一组数据：﹣2，﹣1，1，2．先将已知
分式化简，再从已知数据中选取一个你喜欢的，且使已知分式有意义的数代替x 求值 ．
13.若解关于x 的分式方程
会产生增根，求m 的值；
若该方程的解为负数，求m 的取值范围．
14. 阅读下列材料:
关于x 的分式方程x ＋
x
1
=c ＋c 1的解是x 1=c ，x 2=c 1;
x －x 1= c －c 1，即x ＋x 1-=c+c
1
-的解是x 1=c ，x 2=－c 1；
x ＋x 2=c ＋c 2的解是x 1=c ，x 2=c 2； x ＋x
3
=c ＋c 3的解是x 1=c ，x 2=c 3.
(1) 请观察上述方程与解的特征,比较关于x 的方程x ＋x m =c ＋c
m
(m ≠0)与它的关系,猜想它的解是什
么,并利用方程解的概念进行验证.
(2) 由上述的观察,比较,猜想,验证可以的出结论;如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和,方程
右边形式与左边的完全相同,只是把其中未知数换成某个常数. 那请你利用这个结论解关于x 的方程:x ＋12-x =a+1
2-a
分式方程应用题
一、 选择题：
1下列各式计算正确的是（ ）
A ．11--=b a b a
B ．ab b a b 2
= C ．()0,≠=a ma na m n D ．a
m a n m n ++=
2、若把分式
xy
y
x +中的x 和y 都扩大2倍，那么分式的值（ ） A ．扩大2倍 B ．不变 C ．缩小2倍 D ．缩小4倍
3、若分式方程x
a x
a x +-=
+-321有增根，则a 的值是（ ） A ．1 B ．0 C ．—1 D ．—2
5、一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为x 千米/时，则可列方程（ ） A ．x x -=+3060
30
100
B ．3060
30
100-=+x x
C ．
x
x +=
-3060
30100 D. 30
6030
100+=-x x
6、某学校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达，后来由于把速度加快20% ，结果于下午4时到达，求原计划行军的速度。
设原计划行军的速度为x km/h ，则可列方程（ ）
A ．1%206060++=x x
B 1%206060-+=x x C. 1%2016060++=）（x x D. 1%2016060-+=）（x x
7、某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得
工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工x 套，则根据题意可得方程为 A 、18%)201(400160=++
x x
B 、18%)201(160
400160=+-+x
x
C 、18%20160400160=-+x
x
D 、18%)201(160400400=+-+x
x
二、填空：
8、若分式||55y y
--的值等于0，则y=_________________
9、计算
2
2142a a a -=
--__________
10、当分式2
223211
x x x x x +++--与分式的值相等时，x 须满足_______________
11、已知关于x 的方程32
2=-+x m
x 的解是正数，则m 的取值范围___________ 12计算
（1）93234962
2
2-⋅+-÷-+-a a b a b
a a （2） 213(2)22x x x x x -÷-+-++
13、解方程：
（1） x x x -=+--23123 （2）2233
111x x x x +-=-+-
14、某校为美化校园，计划对面积为1800平米区域进行绿化，安排甲、乙两工
程队完成，已知甲每天能绿化面积是乙队的两倍，在独立完成面积为400平米的绿化带时，甲比乙少4天。
求
（1）甲、乙两队分别每天能完成绿化面积分别为多少？
（2）若学校每天需要付给甲队绿化面积为0.4万元，乙队0.25万元，为使得这次绿化总费用不超过8万元，至少安排甲队工作多少天？。