平面图形的镶嵌
平面图形的镶嵌
y ＝4 x ＝1
平面图形的镶嵌
初二十五班 刘泽洋
一． 研究原因
课堂上，老师讲解了如何通过计算说明平面图形如何进行大面积镶嵌，对此我产生了浓厚的兴趣。
于是便有了如下研究。
二．
研究内容 用边长相等的正六边形与正三角形进行平面镶嵌 三．
研究过程 1. 理论计算
∵n 边形内角和为﹙n －2﹚·180°
则可得知正六边形一个内角为﹙6－2﹚·180°÷6＝120°
正三角形一个内角为﹙3－2﹚·180°÷3＝60°
设当边长相等的正六边形与正三角形镶嵌成一个拼接单元时，正六边形数量为x ，正三角形数量为y 。
则可得 120°x + 60°y ＝ 360°
∵x 、y 均为正整数
∴{ ∴有两种方式：1个正六边形与4个正三角形或2个正六边形与2个正三角形。
2. 图案设计
四. 感悟
通过本次对平面镶嵌的研究，我感受到几何学科的奥妙。
发现了数学这门学科在生活的巨大应用与价值。
在生活中应用数学，是我这次研究的最大收获。
{y ＝2 x ＝
2。
关于平面图形的镶嵌课件课件
规律,镶嵌成若干个图案：
18 (1).第4个图案中有绿色地砖(
)块.
(2).第n个图案中有绿色地砖( 4n+2 )块.
问题
单独用同一种平面图 形如果不能镶嵌,用两种 或者两种以上平面图形能 不能镶嵌呢?
（1） 正三角形与正方形的平面镶嵌
设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正方形的角。
m 3 60m 90n 360 n 2
注意：各种图形拼接后要既 无缝隙，又不重叠
（1）用边长相同的正三角形能否镶嵌？
结论：用边长相同的正三角形可以镶嵌
（2）用边长相同的正方形能否镶嵌？ 结论：用边长相同的正方形可以镶嵌
（3）用边长相同的正五边形能否镶嵌？
啊!拼不了啦,
13
为什么呢?你
2
能说说道理吗?
∠1+∠2+∠3=?
（4）用边长相同的正六边形能否镶嵌？ 结论：用边长相同的正六边形可以镶嵌
想一想
镶嵌平面图案需要的什么条件？
拼接在同一个点的各个角的和 恰好等于360度
13 2
要用几个形状、大小完全相同 的图形不留空隙、不重叠地镶 嵌一个平面，需使得拼接点处 的各角之和为360°．
你还能找到能镶嵌的其他正多边形吗？
要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看：这 种正多边形的一个内角的倍数是否是360°， 在正多边形里，正三角形的每个内角都是 60°，正四边形的每个内角都是90°，正六 边形的每个内角都是120°，这三种多边形的 一个内角的倍数都是360°，而其他的正多边 形的每个内角的倍数都不是360°，所以说： 在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六 边形可以镶嵌，而其他的正多边形不可镶嵌．
注意：同一个组合会有 不同的镶嵌效果
镶嵌(数学八年级上P26)
镶嵌（八年级上P26）1.平面图形的镶嵌(密铺)概念：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形实行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌(密铺)。
2.理解平面图形的密铺：(1)要用几个形状、大小完全相同的图形不留空隙、不重叠地密铺一个平面，需使得拼接点处的各角之和为360°。
(2)单一多边形密铺：任意三角形(6个)、四边形(4个)、正六边形(3个)能够密铺；(3)单一正n边形密铺的条件：假设360°除以正n边形的一个内角等于整数，则能够单独用它密铺；就是说：正多边形的一个内角度数能整除360°。
(4)多种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件：a. n个正多边形中的一个内角的倍数的和是360°；b. n个正多边形的边长相等，或其中一个或n个正多边形的边长是另一个或n个正多边形的边长的整数倍。
典型例题为了美化校园环境，在学校广场用两种边长相等的正多边形地砖镶地面，现已有一种正方形，则另一种正多边形能够是()A.正三角形B.正五边形C.正六角形D.正三角形或正八边形答案：D解析:分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．解：正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，∵3×60°+2×90°=360°，∴正三角形能够；正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，正方形的每个内角是90°，108m+90n=360°显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；正方形的每个内角是90°，正六边形的每个内角是120度．90m+120n=360°，m=4-4/3n，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；正方形的每个内角是90°，正八边形的每个内角为：180°-360°÷8=135°，∵90°+2×135°=360°，∴正八边形能够．应选D．。
《平面图形的镶嵌》教学课件
镶嵌的条件
围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。
学生心得体会分享
学生A
通过学习，我深刻理解了 平面图形镶嵌的原理和方 法，感受到了数学的美妙 和实用性。
学生B
在动手实践中，我发现了 很多有趣的镶嵌组合，对 平面图形的认识也更加深 入了。
学生C
节奏与韵律感营造方法
通过调整图形元素的间距、大小、形态和色彩等视觉属性，形成有规律 的排列组合和变化，营造出富有节奏感和韵律感的视觉效果。
03
节奏与韵律感在设计中的应用
如网页设计、UI设计、插画设计等，利用节奏和韵律感来增强视觉吸引
力和提升用户体验。
色彩搭配和视觉效果优化
色彩搭配原则
在平面图形镶嵌中，色彩搭配应遵循色彩的和谐与对比原则，通过合理的色彩组合来营造 出符合主题和氛围的视觉效果。
引导学生对自己的作品进行客观 评价，发现自己的优点和不足，
为今后的创作提供改进方向。
展示与交流
鼓励学生之间相互评价作品，发现 他人的优点并学习借鉴，同时提出 建设性的意见和建议，促进共同进
步。
互相评价
教师对学生的作品进行点评，肯定 学生的成绩和进步，指出存在的问 题并提出改进意见，引导学生不断 提高创作水平。
《平面图形的镶嵌》教学课件
contents
目录
• 平面图形镶嵌基本概念 • 常见平面图形镶嵌方法 • 美学原理在平面图形镶嵌中应用 • 创意设计实践：个性化平面图形镶嵌 • 评价标准及欣赏能力提升途径 • 课堂总结与拓展延伸
01 平面图形镶嵌基本概念
镶嵌定义及性质
镶嵌定义
用形状、大小完全相同的一种或 几种平面图形进行拼接，彼此之 间不留空隙、不重叠地铺成一片 ，这就是平面图形的镶嵌。
平面图形的镶嵌
平面图形的镶嵌教学目标1. 理解平面图形的镶嵌的含义、掌握哪些平面图形能够镶嵌，镶嵌的理由。
2. 通过探索平面图形的镶嵌，知道常见的一种或多种正多边形能够镶嵌.3. 经历探索多边形镶嵌的过程，进一步发展学生的合情推理水平，开发、培养学生创造性思维.教学重点：以正三角形、正四边形和正六边形的镶嵌.教学难点：用同一种平面图形或者几种平面图形能够镶嵌的条件.教学过程：一、巧设情景问题，引入课题我们经常能见到各种建筑物的地板，观察地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案.这种用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形实行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌.这节课我们来探索平面图形的镶嵌.二、讲授新课（一）用同一种正多边形镶嵌做一做，回答以下问题：平面图形的镶嵌，需注意：各种图形拼接后要既无缝隙，又不重叠，那我们先来探索正多边形镶嵌的条件，大家拿出准备好硬纸片分组来做一做：(1)用形状、大小完全相同的正三角形能否镶嵌？在用正三角形镶嵌的图案中，观察每个拼接点处有几个角？它们的和为多少度？发现：用形状、大小完全相同的正三角形能够镶嵌。
从用正三角形镶嵌的图案中，观察到：每个拼接点处有6个角，这6个角都为60°，它们的和为360°(2) 用形状、大小完全相同的正四边形能够镶嵌吗？在用正四边形镶嵌的图案中，观察每个拼接点处有几个角？它们的和为多少度？发现：：用形状、大小完全相同的正四边形能够镶嵌。
在用四边形镶嵌的图案中，观察到：每个拼接点处有4个角，这4个角都为90°，它们的和为360°.(3) 用形状、大小完全相同的正五边形能够镶嵌吗？发现：用形状、大小完全相同的正五边形不能够镶嵌。
(4) 用形状、大小完全相同的正六边形能够镶嵌吗？在用正六边形镶嵌的图案中，观察每个拼接点处有几个角？它们的和为多少度？发现：：用形状、大小完全相同的正六边形能够镶嵌。
平面图形的镶嵌课题学习
1.任意全等的三角形都 __可__以__密铺, 2.在每个拼接点处有 _六__个角，而这 _六__个角的
和恰好是这个三角形的内角和的 _两__倍，也 就是它们的和为 _3_6_0_o，
3.任意全等的四边形 __可__以_密铺. 4.在每个拼接点处有 _四__个角，而这 __四_个角的
和恰好是这个四边形的四个内角之 _和__,也就 是它们的和为 _3_6_0_o.
4、在边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六 边形中取两种正多边形镶嵌，哪两种正多边形 可以进 行平面镶嵌？
⑤设一个拼接点处有x个正方形，y个正六边形， 则有90x+120y=360， 方程没有正整数解， 所以用正方形和正六边形不能进行平面镶嵌；
4、在边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六 边形中取两种正多边形镶嵌，哪两种正多边形 可以进 行平面镶嵌？
的正多边 边之间的关 形 系
A、 3
B 、4
C、5
D 、6
3、如果只用一种正多边形作平面镶嵌，而且在每一 个正多边形的每一个顶点周围都有6个正多边形，则 该正多边形的边数为（ A ）
A、3
B、4
C、5
D、6
4、用正五边形和什么多边形能密铺？请你 设计一种图案。
解：如下图所示，
概念
平面镶嵌
可以进行
平面镶嵌
拼接点 处各角 之间的 关系
3、在边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正 六边形中取一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形 可 以进行平面镶嵌？
所以正三角形、正方形、正六边形能单独 进行平面镶嵌， 正五边形不能进行平面镶嵌。
用同种正多边形能进行镶嵌的条件是：
正多边形的一个内角的度数能整除 360 ° 可以用一种图形单独作平面镶嵌的 正多边形有 正三角形、正方形、正 六边形
数学综合实践课《平面图形的镶嵌》教案
数学综合实践课《平面图形的镶嵌》教案一、教学目标：1. 让学生了解平面图形镶嵌的概念，学会用简单的几何图形进行镶嵌。
2. 培养学生观察、分析、解决问题的能力，提高空间想象能力。
3. 培养学生合作学习的精神，提高学生的动手操作能力。
二、教学内容：1. 平面图形镶嵌的定义及特点。
2. 常见几何图形的镶嵌方法。
3. 镶嵌图案的设计与创作。
三、教学重点与难点：1. 重点：让学生掌握平面图形镶嵌的方法，学会设计简单的镶嵌图案。
2. 难点：如何运用不同的几何图形进行创新性的镶嵌设计。
四、教学准备：1. 教师准备镶嵌图案的示例及素材。
2. 学生准备剪刀、彩纸、直尺、圆规等工具。
五、教学过程：1. 导入新课：通过展示一些生活中的镶嵌图案，引导学生关注镶嵌现象，激发学生的学习兴趣。
2. 知识讲解：介绍平面图形镶嵌的定义及特点，讲解常见几何图形的镶嵌方法。
3. 动手实践：学生分组进行镶嵌图案的设计与制作，教师巡回指导。
4. 作品展示：学生展示自己的镶嵌作品，分享创作过程中的心得体会。
5. 总结评价：教师对学生的作品进行评价，总结本节课的学习内容。
6. 拓展延伸：鼓励学生课后搜集更多的镶嵌图案，进行创新性的设计制作。
六、教学评价：1. 学生能理解平面图形镶嵌的概念，并能够运用不同的几何图形进行简单的镶嵌设计。
2. 学生能够通过实践活动，提高观察、分析、解决问题的能力，以及空间想象能力。
3. 学生在创作过程中能够展现出合作学习的精神，以及动手操作的能力。
七、教学策略：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探索、发现和解决问题。
2. 通过实践活动，让学生在操作中感知、理解和掌握平面图形镶嵌的方法。
3. 鼓励学生进行合作学习，培养学生的团队精神和沟通能力。
八、教学步骤：1. 引导学生观察生活中的镶嵌图案，引发学生对镶嵌现象的兴趣。
2. 讲解平面图形镶嵌的定义及特点，引导学生理解镶嵌的基本原理。
3. 教授常见几何图形的镶嵌方法，让学生掌握镶嵌的基本技巧。
平面图形的镶嵌
平面图形的镶嵌一、【学习目标】1、通过对平面图形镶嵌问题的探究与解决的过程，加深对正多边形的有关概念、性质的理解；2、通过一些常见图案，来继续探究图形的镶嵌问题；3、通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个多边形可以镶嵌平面，并运用这几种图形进行简单的镶嵌的设计。
二、【学习过程】1、认识镶嵌用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌。
2、问题思考问题一：用同一种正多边形能否镶嵌成平面图案，如果能，共有几种正多边形能镶嵌成平面图案呢?问题二：还有哪些正多边形能单独镶嵌？哪些正多边形不能镶嵌？问题三：能用正三角形、正方形、正五边形、正六边形中的其中两种图形镶嵌成一个平面图案吗？3、实际操作拿出准备好的各种纸片进行拼图，然后进行观察、计算，得出结论。
三、【设计图案】① 用正三角形、正方形或正六边形可以镶嵌成一个平面图案（图1）；②用任意三角形可以镶嵌成一个平面图案, 用任意四边形也可以镶嵌成一个平面图案(图2)；用这些全等的三角形可镶嵌平面．如图1用全等的三角形镶嵌平面，镶嵌的方法不止一种，如图2．全等的任意四边形能镶嵌平面，如图3．全等的特殊五边形可镶嵌平面四、【学习结论】（1）正三角形、正方形、正六边形都能单独镶嵌；（2）当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就能拼成一个平面图形；（3）360°除以正多边形的一个内角的度数，若能整除可镶嵌，若不能整除不能镶嵌，所以，内角都不是360°的约数的正多边形，都不能镶嵌；（4）正三角形和正方形组合、正八边形和正方形组合、正三角形和正十二边形组合、正五边形和正十边形组合，正三角形与正六边形组合，而正方形与正六边形不能镶嵌。
不同的组合可以得到不同的镶嵌效果。
只要几个正多边形的内角相加能达到360°，就能镶嵌。
正三角形与正四边形正三角形与正六边形正三角形与正六边形正三角形与正十二边形正五边形与正十边形正四边形与正八边形。
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1、形状、大小完全相同的任意三角形、四边形 能否 能 ） 单独作镶嵌 （ 2. 用任意三角形镶嵌平面时,同一顶点处应摆放 ( 6 )个三角形;用任意四边形镶嵌平面时,同一顶点 处应摆放( 4 )个四边形. 3、下面四种正多边形中,用同一种图形不能平面镶嵌 的是( C ).
A
B
C
D
探究活动(四)
----创意空间
结论1： 可以用同一种正多边形镶嵌的图形只有 正三角形，正四边形，正六边形. 结论2: 用一种形状、大小完全相同的三角形、四边 形也能进行平面镶嵌
1、下列多边形一定不能进行平面镶嵌的是（ D ）
A、三角形 B、正方形 C、任意四边形 D、正八边形
2、用正方形一种图形进行平面镶嵌时，在它的一个 顶点周围的正方形的个数是（ B ） A、 3 B 、4 C、5 D 、6
∵m、n为正整数 ∴解为
。
。
。
m=1
n=2
正十边形与正五边 形的平面镶嵌
用正五边形和什么多边形能镶嵌？
用两种正多边形镶嵌，不能与正三角形匹配的 正多边形是 （A）正方形 （B）正六边形 （C）正十二边形 （D）正十八边形
1、镶嵌的要求：
无缝隙，不重叠
2、多边形能否镶嵌的条件：
每个顶点处几个角的和为
正五边形可以镶嵌吗？
1 3 2
正六边形可以镶嵌吗？
正六边形的平面镶嵌 F A E D
B
C
能否 平面 镶嵌
正三角形
能
图形
一个顶点周 围正多边形 的个数
6
正方形
能
4
正五边形
不能
正六边形
能
3
还能找到能镶嵌的其他正多边形吗？
• 要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看：这种正 多边形的一个内角能否被360°整除 • 在正多边形里，正三角形的每个内角都是60°，正 四边形的每个内角都是90°，正六边形的每个内角 都是120°，这三种多边形的一个内角都能被360° 整除 • 而其他的正多边形的每个内角都不能被360°整除 • 所以说：在正多边形里只有正三角形、正四边形、 正六边形可以镶嵌，而其他的正多边形不可镶嵌．
设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正六边形的角。 m 4 m 2 60m 120n 360 , n 1 n 2
（2）正三角形与正六边形的平面镶嵌 图案（Ⅱ）
60° 60°
每个顶点处正三角形4个，正六边形1个。
（3）正三角形和正十二边形平面镶嵌图案
3、如果只用一种正多边形作平面镶嵌，而且在每一 个正多边形的每一个顶点周围都有6个正多边形，则 该正多边形的边数为（ A ） A、3 B、4 C、5 D 、6
4.商店出售下列形状的地砖：①正方形；②长方形； ③正五边形；④正六边形。若只选择其中某一种地 砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（ ） C A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
每个顶点处几个角的和为360°
探究
哪些图形可以镶嵌， 哪些图形不可以镶嵌？
探究活动（一）
用形状、大小完全相同的 三角形能否镶嵌？
正三角形的平面镶嵌
60° 60° 60° 60° 60° 60°
接点处的六个 角和为360°
普通三 角形可以作平面镶嵌吗? 如果能普通三角形如何镶嵌呢?
结论： 形状、大小完全相同的任意 三角形能镶嵌成平面图形。
平面图形的镶嵌
请你欣赏
观察以下图案，说说它们都是 由哪些几何图形组成的？
观察以下图案，说说它们都是 由哪些几何图形组成的？
定 义
用形状和大小完全相同的一种或几种平面图形 进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成 一片，这就是平面图形的镶嵌
例如:
观察以下图形并思考在镶嵌时 如何做到既无缝隙又不重叠?
用同一种平面图形如果 不能密铺,用两种或者两 种以上平面图形能不能 镶嵌呢?
（1） 正三角形与正方形的平面镶嵌
设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正方形的角。
m 3 60m 90n 360 n 2
注意：同一个组合会有 不同的镶嵌效果
①
②
（2）正三角形与正六边形的平面镶嵌 图案（Ⅰ）
探究活动（二）
用同一种四边形可以镶嵌吗？
正方形的平面镶嵌
90°
普通四边形呢
如图,四边形ABCD中,因为 ∠A+∠B+∠C+ ∠D = 360°,所以
D A
用四边形也可以作平面镶嵌
C
B
那么四边形如何 镶嵌呢? 请看!
结论： 形状、大小相同的任意四边形 能镶嵌成平面图形
探究活动（三）
1.正五边形能镶嵌吗？说说理由。 2.正六边形能镶嵌吗？说说理由。 3.还能找到能镶嵌的其他图形吗？
360°
设在一个顶点周围有m个正三角形的角、 n个正十二边形的角，则有 。 。 。
m· 60 +n· 150 =360
2m+5n=12
∵m、n为正整数
∴解为
m=1 nபைடு நூலகம்2
（3）正方形和正八边形的平面镶嵌图案
设在一个顶点周围有个m正四边形的角、n个正八边形 的角，则有
m· 90 +n· 135 =360 2m+3n=8