模糊数学
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什么是模糊数学
• 涉及学科 模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析， 模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支
分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择；
人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、 农业、气象、信息、经济、文学、音乐
• 模糊产品 洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯
• 研究项目 European Network of Excellence 120个子项目与模糊有关 LIFE (Laboratory for International Fuzzy Engineering Research)
Int. J. Uncertainty, Fuzziness, knowledge-based Systems
IEEE 系列杂志 主要杂志25种，涉及模糊内容20,000余种
• 国际会议 IFSA (Int. Fuzzy Systems Association) EUFIT、NAFIP、Fuzzy-IEEE、IPMU
绪论
一、什么是模糊数学 二、模糊数学的产生与基本思想 三、模糊数学的发展 四、为什么研究模糊数学
一、什么是模糊数学
•模糊概念 秃子悖论: 天下所有的人都是秃子
设头发根数n n=1 显然 若n=k 为秃子 n=k+1 亦为秃子
模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间 无明显分界线
年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、 高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、 阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。
•基本思想 用属于程度代替属于或不属于。 某个人属于秃子的程度为0.8, 另一个人属于 秃子的程度为0.3等.
三、模糊数学的发展
75年之前，发展缓慢；80以后发展迅速； 90-92 Fuzzy Boom
分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择；
人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、 农业、气象、信息、经济、文学、音乐
• 模糊产品 洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯
• 研究项目 European Network of Excellence 120个子项目与模糊有关 LIFE (Laboratory for International Fuzzy Engineering Research)
Int. J. Uncertainty, Fuzziness, knowledge-based Systems
IEEE 系列杂志 主要杂志25种，涉及模糊内容20,000余种
• 国际会议 IFSA (Int. Fuzzy Systems Association) EUFIT、NAFIP、Fuzzy-IEEE、IPMU
绪论
一、什么是模糊数学 二、模糊数学的产生与基本思想 三、模糊数学的发展 四、为什么研究模糊数学
一、什么是模糊数学
•模糊概念 秃子悖论: 天下所有的人都是秃子
设头发根数n n=1 显然 若n=k 为秃子 n=k+1 亦为秃子
模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间 无明显分界线
年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、 高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、 阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。
•基本思想 用属于程度代替属于或不属于。 某个人属于秃子的程度为0.8, 另一个人属于 秃子的程度为0.3等.
三、模糊数学的发展
75年之前，发展缓慢；80以后发展迅速； 90-92 Fuzzy Boom
模糊数学基本概念
模糊数学是一种处理模糊和不确定性问题的数学方法，它基于模糊集合理论，用于描述和处理无法精确量化的概念和现象。
以下是模糊数学的一些基本概念：
模糊集合：模糊集合是一种将不确定性或模糊性引入集合概念的数学工具。
与传统的集合不同，模糊集合中的元素具有一定的隶属度，表示元素与集合的模糊关系。
隶属函数：隶属函数是模糊集合中元素与集合的隶属度之间的映射关系。
它描述了元素在模糊集合中的程度或概率。
模糊关系：模糊关系是一种描述模糊集合之间的关系的数学工具。
它反映了元素之间的模糊连接或模糊相似性。
模糊逻辑：模糊逻辑是一种处理模糊命题和推理的逻辑系统。
它扩展了传统的二值逻辑，允许命题具有模糊的真值或隶属度。
模糊推理：模糊推理是一种基于模糊规则和模糊推理机制进行推理和决策的方法。
它能够处理模糊的输入和输出，并提供模糊的推理结果。
模糊数学运算：模糊数学中存在一系列的运算，包括模糊集合的并、交、补运算，模糊关系的复合运算等。
这些运算用于处理模糊集合和模糊关系的操作。
模糊控制：模糊控制是一种应用模糊数学方法进行控制的技术。
它通过模糊逻辑和模糊推理实现对复杂系统的控制，具有适应性和容错性的特点。
以上是模糊数学的一些基本概念，它们构成了模糊数学理论的基础，被广泛应用于人工智能、决策分析、模式识别、控制系统等领域。
模糊数学_3第五章 模糊映射与变换,模糊关系方程
f fR : u V
满足：
{ f (u)} R | u
f (u ) vu
反之任给一普通映射 f : U V 也可确定普通关系
R {(u,v) | v f (u )}
或
1 当v f (u ) X R (u ,v) 0 当v f (u )
普通关系的映射象和原象都是清晰的。
~
R | u 4 f (u4 ) (0.7,0,0.4)
~
R | u1 0.4 0.7 0 ~ R | u 2 0.1 0.4 0.3 R ~ u R|u ~ 3 0 0.5 0 R | u 4 0.7 0 0.4 ~ v
对于模糊集合普通映射， f : U V 给定 A F (U )，在 f 之下的象应当是什么？ ~ 给定 B F (V )，在 f 之下的原象应当是什么？ ~ 普通集合 f 怎样扩展到 F (U ) 与 F (V ) 之间去。 • 定义5.６ 设 f : U V ，所谓 f 在模糊集类上的扩展， 1 乃是指这样两个映射，仍记为 f 与 f
f : U V
设 A 1, 0, 0.2, 0, 0.1,， 0.9
~
由扩展原理： f ( A) (v1) A (u1 ) A (u2 ) A (u3 )
~ ~ ~ ~
1 0 0.2 1
f ( A) (v2 ) 0.1
f ( A) (v3 ) 0.9
在身高论域V上应表现为
0 .1 0 .2 1 . 5 1 .6
b a R (0.8,1,0.8,0.6,0.2) 0.8 1 0.8 0.6 0.2 1.4m 1.5m 1.6m 1.7m 1.8m
第22章 模糊数学模型
25
0
1 100 + x ∫25
[1 + (
x − 25 2 −1 ) ] 5 x
常用取大“∨”和取小“∧”算子来定义 Fuzzy 集之间的运算。 定义 2 对于论域 X 上的模糊集 A ， B ，其隶属函数分别为 μ A ( x) ， μ B ( x ) 。
i) 若对任意 x ∈ X ，有 μ B ( x) ≤ μ A ( x ) ，则称 A 包含 B ，记为 B ⊆ A ； ii) 若 A ⊆ B 且 B ⊆ A ，则称 A 与 B 相等，记为 A = B 。 定义 3 对于论域 X 上的模糊集 A ， B ，
（union） 和交 （intersection） ， i) 称 Fuzzy 集 C = A U B ，D = A I B 为 A 与 B 的并 即
C = ( A U B)( x) = max{A( x), B( x)} = A( x) ∨ B( x) D = ( A I B( x) = min{A( x), B( x)} = A( x) ∧ B( x)
C
例3
已知
X = {1,2,3,4,5,6,7,8, } ，
A= 0.3 0.5 0.8 0.4 0.1 ， + + + + 1 2 3 4 5 0.2 0.3 0.9 0.5 ， B= + + + 3 4 5 6
则有
-260-
0.3 0.5 0.8 0.4 0.9 0.5 ， + + + + + 1 2 3 4 5 6 0.2 0.3 0.1 AI B ＝ ， + + 3 4 5 0.7 0.5 0.2 0.6 0.9 1 1 1 AC = + + + + + + + 。 1 2 3 4 5 6 7 8 AU B ＝
模糊数学和其应用
04
总结与展望
模糊数学的重要性和意义
模糊数学是处理模糊性现象的一种数学 理论和方法，它突破了经典数学的局限 性，能够更好地描述现实世界中的复杂 问题。
模糊数学的应用领域广泛，包括控制论、信 息论、系统论、人工智能、计算机科学等， 对现代科学技术的发展起到了重要的推动作 用。
模糊数学的出现和发展，不仅丰富 了数学理论体系，也促进了各学科 之间的交叉融合，为解决实际问题 提供了新的思路和方法。
随着计算机技术的发展，模糊 数学的应用越来越广泛，成为 解决复杂问题的重要工具之一 。
模糊数学的基本概念
模糊集合
与传统集合不同，模糊集合的成员关系不再是确 定的，而是存在一定的隶属度。例如，一个人的 身高属于某个身高的模糊集合，其隶属度可以根 据实际情况进行确定。
隶属函数
用于描述模糊集合中元素属于该集合的程度。隶 属函数的确定需要根据实推理规则不再是一 一对应的，而是存在一定的连续性。例如，在医 疗诊断中，病人的症状与疾病之间的关系可能存 在一定的模糊性，通过模糊逻辑可以进行更准确 的推理。
模糊运算
与传统运算不同，模糊运算的结果不再是确定的 数值，而是存在一定的隶属度。例如，两个模糊 数的加法运算结果也是一个模糊数，其隶属度取 决于两个输入的隶属度。
模糊数学在图像处理中的应用
总结词
模糊数学在图像处理中主要用于图像增强和图像恢复。
详细描述
通过模糊数学的方法，可以对图像进行平滑、锐化、边缘检测等操作，提高图像的视觉效果和识别能 力。例如，在医学影像处理中，可以利用模糊数学的方法对CT、MRI等医学影像进行降噪、增强和三 维重建等处理，提高医学诊断的准确性和可靠性。
02
模糊数学的应用领域
模糊控制
模糊数学
5 模糊集的运算
例 设U={u1,u2,u3}， A=0.3/u1+0.8/u2+0.6/u3 B=0.6/u1+0.4/u2+0.7/u3 则：
A∩B=(0.3∧0.6)/u1+(0.8∧0.4)/u2+(0.6∧0.7)/u3 =0.3/u1+0.4/u2+0.6/u3 A∪B=(0.3∨0.6)/u1+(0.8∨0.4)/u2+(0.6∨0.7)/u3 =0.6/u1+0.8/u2+0.7/u3 ¬ A=(1-0.3)/u1+(1-0.8)/u2+(1-0.6)/u3 =0.7/u1+0.2/u2+0.4/u3
6 模糊集的λ水平截集
λ水平截集是把模糊集合转化成普通集合的一个重要概念。
定义 设A∈F(U),λ∈[0,1]，则称普通集合 Aλ={u|u∈U,μA(u)≥λ} 为A的一个λ水平截集， λ称为阈值或置信水平。 λ水平截集有如下性质： (1)设A，B ∈F(U)，则： (A∪B)λ=Aλ∪Bλ (A∩B)λ=Aλ∩Bλ A1 A2 (2)若λ1, λ2∈[0,1]，且λ1<λ2 ，则： 阈值λ越大，其水平截集Aλ越小，当λ＝1时，Aλ最小，称它 为模糊集的核。
A={0.98, 0.90, 0.86}
4 模糊集的表示方法
若论域离散且有限，则模糊集A可表示为： A={μA(u1),μA(u2),…,μA(un)} 也可写为： A=μA(u1)/u1+μA(u2)/u2+…+μA(un)/un
A
或者：
i 1
n
n
A
(ui ) / ui , 或者A
模糊数学
模糊数学的认识与理解1、模糊数学的产生1965 年美国控制论学者L.A.扎德发表论文《模糊集合》，标志着这门新学科的诞生。
模糊数学又称FUZZY 数学，亦称弗晰数学或模糊性数学。
现代数学是建立在集合论的基础上。
集合论的重要意义就一个侧面看，在与它把数学的抽象能力延伸到人类认识过程的深处。
一组对象确定一组属性，人们可以通过说明属性来说明概念（内涵），也可以通过指明对象来说明它。
符合概念的那些对象的全体叫做这个概念的外延，外延其实就是集合。
从这个意义上讲，集合可以表现概念，而集合论中的关系和运算又可以表现判断和推理，一切现实的理论系统都一可能纳入集合描述的数学框架。
但是，数学的发展也是阶段性的。
经典集合论只能把自己的表现力限制在那些有明确外延的概念和事物上，它明确地限定：每个集合都必须由明确的元素构成，元素对集合的隶属关系必须是明确的，决不能模棱两可。
对于那些外延不分明的概念和事物，经典集合论是暂时不去反映的，属于待发展的范畴。
在较长时间里，精确数学及随机数学在描述自然界多种事物的运动规律中，获得显著效果。
但是，在客观世界中还普遍存在着大量的模糊现象。
以前人们回避它，但是，由于现代科技所面对的系统日益复杂，模糊性总是伴随着复杂性出现。
各门学科，尤其是人文、社会学科及其它“软科学”的数学化、定量化趋向把模糊性的数学处理问题推向中心地位。
更重要的是，随着电子计算机、控制论、系统科学的迅速发展，要使计算机能像人脑那样对复杂事物具有识别能力，就必须研究和处理模糊性。
我们研究人类系统的行为，或者处理可与人类系统行为相比拟的复杂系统，如航天系统、人脑系统、社会系统等，参数和变量甚多，各种因素相互交错，系统很复杂，它的模糊性也很明显。
从认识方面说，模糊性是指概念外延的不确定性，从而造成判断的不确定性。
在日常生活中，经常遇到许多模糊事物，没有分明的数量界限，要使用一些模糊的词句来形容、描述。
比如，比较年轻、高个、大胖子、好、漂亮、善、热、远……。
模糊数学-模糊数学基本知识
隶属函数参数化
1. 三角形隶属函数
0
trig ( x;
a,
b,
c)
x a ba
cx
cb
0
xa a xb b xc
cx
trig(x; a,b, c) max(min( x a , c x), 0) ba cb
参数a,b,c确定了三角形MF三个顶点的x坐标。
2. 梯形隶属函数
0
xa
trap(x, a, b, c, d )
g(x;50,20)
bell(x:20,4,50)
❖ (2)模糊子集运算的基本性质
模糊集合间的并、交、补（余）运算 具有如下的性质.
1)幂等律 A~ A~ A~, A~ A~ A~
2)交换律 A~ B~ B~ A~; A~ B~ B~ A~
3)结合律 ( A~ B~) C~ A~ (B~ C~),
论域U上的模糊集A由隶属函数uA来表征， uA的大小反映了x对于模糊子集的从属程度。 模糊子集完全由隶属函数来描述。
❖ 模糊子集的表示方法 （1）向量法
（2）查德表示法 有限集 无限集
模糊集举例 例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则 AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
经典集合论的例子： 设U={ 红桃，方块，黑桃，梅花 }
V={ A，1，2，3，4，5，6，7，8，9， 10，J, Q, K } 求U×V
解： U×V＝{ (红桃，A)，（红 桃, 2），……，（
梅花, K） }
35
模糊关系论例子： 设有一组学生U:
U={ 张三，李四，王五 } 他们对球类运动V:
( A~ B~) C~ A~ (B~ C~).
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rij
n
。
在实际处理过程中，R 的收敛速度是比较快的。为进一步加快收敛速度，通常采取如下 处理方法： R→R2→R4→R8→ →R2k
…
即先将 R 自乘改造为 R2，再自乘得 R4，如此继续下去，直到某一步出现 R2k=Rk=R*。此时 R*满足了传递性, 于是模糊相似矩阵(R)就被改造成了一个模糊等价关系矩阵(R*)。 (4) 模糊聚类。对满足传递性的模糊分类关系的 R*进行聚类处理，给定不同置信水平 的，求 R 阵，找出 R*的显示，得到普通的分类关系。当=1 时，每个样品自成一类，随
第 2 节 模糊模式识别
1. 方法简介 “模式”一词来源于英文 Pattern，原意是典范、式样、样品，在不同场合有其不同的 含义。在此我们讲的模式是指具有一定结构的信息集合。
模式识别就是识别给定的事物以及与它相同或类似的事物，也可以理解为模式的分类， 即把样品分成若干类，判断给定事物属于哪一类，这与我们前面介绍的判别分析很相似。 模式识别的方法大致可以分为两种， 即根据最大隶属原则进行识别的直接法和根据择近 原则进行归类的间接法，分别简介如下： (1) 若已知 n 个类型在被识别的全体对象 U 上的隶属函数，则可按隶属原则进行归类。 此处介绍的是针对正态型模糊集的情形。对于正态型模糊变量 x，其隶属度为
A( x ) e
2 2 2
x a 2 b
其中 a 为均值，b =2 , 为相应的方差。按泰勒级数展开，取近似值得
x a 2 A( x ) 1 b 0 xa b xa b
若有 n 种类型 m 个指标的情形，则第 i 种类型在第 j 种指标上的隶属函数是
*
值的降低，由细到粗逐渐归并，最后得到动态聚类谱系图。 4. DPS 平台操作示例 首先在编辑状态下输入编辑数据，格式是每一行为一个样本，每一列为一个变量，然后 将待分析的数据定义成数据矩阵块，在菜单方式下选择“模糊数学模糊聚类”功能项，回 车执行时，系统将提示用户选择数据转换方法： 0.不转换 1.数据中心化 2.对数转换 3.数据规格化 4.数据标准化
模糊数学方法
在自然科学或社会科学研究中,存在着许多定义不很严格或者说具有模糊性的概念。这 里所谓的模糊性， 主要是指客观事物的差异在中间过渡中的不分明性， 如某一生态条件对某 种害虫、某种作物的存活或适应性可以评价为“有利、比较有利、不那么有利、不利” ；灾 害性霜冻气候对农业产量的影响程度为“较重、严重、很严重” ，等等。这些通常是本来就 属于模糊的概念，为处理分析这些“模糊”概念的数据，便产生了模糊集合论。 根据集合论的要求， 一个对象对应于一个集合， 要么属于， 要么不属于， 二者必居其一， 且仅居其一。 这样的集合论本身并无法处理具体的模糊概念。 为处理这些模糊概念而进行的 种种努力，催生了模糊数学。模糊数学的理论基础是模糊集。模糊集的理论是 1965 年美国 自动控制专家查德(L. A. Zadeh)教授首先提出来的，近 10 多年来发展很快。 模糊集合论的提出虽然较晚，但目前在各个领域的应用十分广泛。实践证明，模糊数学 在农业中主要用于病虫测报、种植区划、品种选育等方面，在图像识别、天气预报、地质地 震、交通运输、医疗诊断、信息控制、人工智能等诸多领域的应用也已初见成效。从该学科 的发展趋势来看，它具有极其强大的生命力和渗透力。 在侧重于应用的模糊数学分析中，经常应用到聚类分析、模式识别和综合评判等方法。 在 DPS 系统中，我们将模糊数学的分析方法与一般常规统计方法区别开来，列专章介绍其 分析原理及系统设计的有关功能模块程序的操作要领，供用户参考和使用。
(3) 聚类分析。用上述方法建立起来的相似关系 R，一般只满足反射性和对称性，不满 足传递性，因而还不是模糊等价关系。为此，需要将 R 改造成 R*后得到聚类图，在适当的 阈值上进行截取，便可得到所需要的分类。将 R 改造成 R*，可用求传递闭包的方法。 。R 自 乘的思想是按最短距离法原则，寻求两个向量 xi 与 xj 的亲密程度。 假设 R2=(rij )，即 rij = k 1 (rik∧rkj )，说明 xi 与 xj 是通过第三者 K 作为媒介而发生关系， rik∧rkj 表示 xi 与 xj 的关系密切程度是以 min(rik , rkj)为准则， 因 k 是任意的, 故从一切 rik∧rkj 中寻求一个使 xi 和 xj 关系最密切的通道。Rm 随 m 的增加，允许连接 xi 与 xj 的链的边就越 多。由于从 xi 到 xj 的一切链中, 一定存在一个使最大边长达到极小的链，这个边长就是相 当于
定义 3
模糊集运算定义。若 A、B 为 X 上两个模糊集，它们的和集、交集和 A 的余集 (AB) (x)= max ( A(x), B(x) ) (AB) (x)= min ( A(x), B(x) ) AC (x)=1－A(x)
都是模糊集, 其隶属函数分别定义为：
关于模糊集的和、交等运算，可以推广到任意多个模糊集合中去。 定义 4 定义 5 素为： 若一个矩阵元素取值为[0, 1]区间内， 则称该矩阵为模糊矩阵。 同普通矩阵一样， 若 A 和 B 是 n×m 和 m×l 的模糊矩阵，则它们的乘积 C=AB 为 n×l 阵, 其元
2 b ij 2 2 ij
(1) ( 2) bij a ij a ij
,
,
(i=1, 2, …, n; j=1, 2, …, m)。其中，
(1) a ij min( x ij )
,
(2) aij max( x ij )
,
, 而
2 ij
是 xij 的方差。 待判别对象 B 的 m 个指标分别具有参数 aj , bj (j=1, 2, …, m)，
第1节
1. 模糊集的概念
模糊聚类分析
对于一个普通的集合 A，空间中任一元素 x，要么 xA，要么 xA，二者必居其一。这 一特征可用一个函数表示为：
1 A( x ) 0 x A x A
A(x)即为集合 A 的特征函数。将特征函数推广到模糊集，在普通集合中只取 0、1 两值推广 到模糊集中为[0, 1]区间。 定义 1 设 X 为全域，若 A 为 X 上取值[0, 1]的一个函数，则称 A 为模糊集。 如给 5 个同学的性格稳重程度打分，按百分制给分，再除以 100，这样给定了一个从域 X=｛x1 , x2 , x3 , x4, x5｝到[0, 1]闭区间的映射。 x1：85 分，即 A(x1)=0.85 x2：75 分， x3：98 分， x4：30 分， x5：60 分， 定义 2 A(x2)=0.75 A(x3)=0.98 A(x4)=0.30 A(x5)=0.60
作出数据转换方式的选择后， 系统又将提示选择建立模糊相似关系的计算方法， 共有上面所 述的 8 种方法可供选择。 分析输出的结果包括各个样本的联结序号、 联结水平、 聚类谱系图索引及在屏幕上显示 聚类谱系图(拷屏可得到谱系图硬拷贝, 或按 S 将图形文件以“.BMP”格式存放在盘上，然 后可在 Windows 有关应用软件中调出)。
其中
(1) a ij
和
( 2) a ij
2 b 2 2 ij 2 分别是第 i 类元素第 j 种指标的最小值和最大值， ij , 而 ij 是第 i 类元
素第 j 种指标的方差。 (2) 若有 n 种类型(A1, A2, …, AN), 每类都有 m 个指标，且均为正态型模糊变量， 相应的 参数分别为
这样确定出一个模糊子集 A=(0.85, 0.75, 0.98, 0.30, 0.60)。 若 A 为 X 上的任一模糊集，对任意 0 1，记 A=｛x｜xX, A(x)｝,称 A 为 A 的截集。 A是普通集合而不是模糊集。 由于模糊集的边界是模糊的, 如果要把模糊概念转化为数 学语言，需要选取不同的置信水平 (0 1) 来确定其隶属关系。截集就是将模糊集转 化为普通集的方法。模糊集 A 是一个具有游移边界的集合，它随值的变小而增大，即当1 <2 时，有 A1∩A2。
x11 x 21 X x n1
提供了以下 8 种建立相似矩阵的方法：
x12 x 22 xn2
x1m x2m x nm n m
①相关系数法： ②最大最小法： ③算术平均最小法： ④几何平均最小法： ⑤绝对指数法： ⑥绝对值减数法： ⑦夹角余弦法： ⑧欧氏距离：
且为正态型模糊变量，则 B 与各个类型的贴近度为
0 (1) 2 1 a j a ij 1 2 b j bij ( Aij , B ) 1 2) 2 a j a ij 1 1 2 b j bij 0
m
有模糊单位阵，记为 I；模糊零矩阵，记为 0；元素皆为 1 的矩阵用Ｊ表示。
Cij=
k 1
( a ik bkj )
(i=1, 2, …, n; j=1, 2, …, l) (20.1) 4) AＪ=ＪA; 5)
符号“∨”和“∧”含意的定义为： a∨b=max(a, b)，a∧b=min(a, b)。 模糊矩阵乘法性质包括: 1) (AB)C=A (BC)；2) AI=IA=A；3) A0=0A=0; 2. 模糊分类关系 模糊聚类分析是在模糊分类关系基础上进行聚类。由集合的概念, 可给出如下定义： 定义 6 定义 7 n 个样品的全体所组成的集合 X 作为全域，令 XY=｛(X, Y)｜xX, yY｝,则称 设 R 为 XY 上的一个集合，并且满足： XY 为 X 的全域乘积空间。 1) 反身性: (xi , yi)R，即集合中每个元素和它自己同属一类； 2) 对称性: 若(x, y)R，则(y, x)R，即集合中(x, y)元素同属于类 R 时, 则(y, x)也同属 于 R； 3) 传递性: (x, y)R，(y, z)R，则有(x, z)R。 上述三条性质称为等价关系，满足这三条性质的集合 R 为一分类关系。 聚类分析的基本思想是用相似性尺度来衡量事物之间的亲疏程度, 并以此来实现分类， 模糊聚类分析的实质就则是根据研究对象本身的属性未构造模糊矩阵， 在此基础上根据一定 的隶属度来确定其分类关系。 3. 模糊聚类 利用模糊集理论进行聚类分析的具体步骤如下： (1) 若定义相似系数矩阵用的是定量观察资料，在定义相似系数矩阵之前，可先对原始 数据进行变换处理，变换的方法同系统聚类分析, 可参考第 17 章系统聚类分析一节。 (2) 计算模糊相似矩阵。设Ｕ是需要被分类对象的全体，建立Ｕ上的相似系数 R,Ｒ(i, j) 表示 i 与 j 之间的相似程度，当Ｕ为有限集时，R 是一个矩阵，称为相似系数矩阵。定义相 似系数矩阵的工作， 原则上可以按系统聚类分析中的相似系数确定方法， 但也可以用主观评 定或集体打分的办法。DPS 平台，对数据集 若 A、B 为模糊矩阵且 aij bij (一切 i, j)，则 AB，又若 AB, 则 AC BC，CACB。
n
。
在实际处理过程中，R 的收敛速度是比较快的。为进一步加快收敛速度，通常采取如下 处理方法： R→R2→R4→R8→ →R2k
…
即先将 R 自乘改造为 R2，再自乘得 R4，如此继续下去，直到某一步出现 R2k=Rk=R*。此时 R*满足了传递性, 于是模糊相似矩阵(R)就被改造成了一个模糊等价关系矩阵(R*)。 (4) 模糊聚类。对满足传递性的模糊分类关系的 R*进行聚类处理，给定不同置信水平 的，求 R 阵，找出 R*的显示，得到普通的分类关系。当=1 时，每个样品自成一类，随
第 2 节 模糊模式识别
1. 方法简介 “模式”一词来源于英文 Pattern，原意是典范、式样、样品，在不同场合有其不同的 含义。在此我们讲的模式是指具有一定结构的信息集合。
模式识别就是识别给定的事物以及与它相同或类似的事物，也可以理解为模式的分类， 即把样品分成若干类，判断给定事物属于哪一类，这与我们前面介绍的判别分析很相似。 模式识别的方法大致可以分为两种， 即根据最大隶属原则进行识别的直接法和根据择近 原则进行归类的间接法，分别简介如下： (1) 若已知 n 个类型在被识别的全体对象 U 上的隶属函数，则可按隶属原则进行归类。 此处介绍的是针对正态型模糊集的情形。对于正态型模糊变量 x，其隶属度为
A( x ) e
2 2 2
x a 2 b
其中 a 为均值，b =2 , 为相应的方差。按泰勒级数展开，取近似值得
x a 2 A( x ) 1 b 0 xa b xa b
若有 n 种类型 m 个指标的情形，则第 i 种类型在第 j 种指标上的隶属函数是
*
值的降低，由细到粗逐渐归并，最后得到动态聚类谱系图。 4. DPS 平台操作示例 首先在编辑状态下输入编辑数据，格式是每一行为一个样本，每一列为一个变量，然后 将待分析的数据定义成数据矩阵块，在菜单方式下选择“模糊数学模糊聚类”功能项，回 车执行时，系统将提示用户选择数据转换方法： 0.不转换 1.数据中心化 2.对数转换 3.数据规格化 4.数据标准化
模糊数学方法
在自然科学或社会科学研究中,存在着许多定义不很严格或者说具有模糊性的概念。这 里所谓的模糊性， 主要是指客观事物的差异在中间过渡中的不分明性， 如某一生态条件对某 种害虫、某种作物的存活或适应性可以评价为“有利、比较有利、不那么有利、不利” ；灾 害性霜冻气候对农业产量的影响程度为“较重、严重、很严重” ，等等。这些通常是本来就 属于模糊的概念，为处理分析这些“模糊”概念的数据，便产生了模糊集合论。 根据集合论的要求， 一个对象对应于一个集合， 要么属于， 要么不属于， 二者必居其一， 且仅居其一。 这样的集合论本身并无法处理具体的模糊概念。 为处理这些模糊概念而进行的 种种努力，催生了模糊数学。模糊数学的理论基础是模糊集。模糊集的理论是 1965 年美国 自动控制专家查德(L. A. Zadeh)教授首先提出来的，近 10 多年来发展很快。 模糊集合论的提出虽然较晚，但目前在各个领域的应用十分广泛。实践证明，模糊数学 在农业中主要用于病虫测报、种植区划、品种选育等方面，在图像识别、天气预报、地质地 震、交通运输、医疗诊断、信息控制、人工智能等诸多领域的应用也已初见成效。从该学科 的发展趋势来看，它具有极其强大的生命力和渗透力。 在侧重于应用的模糊数学分析中，经常应用到聚类分析、模式识别和综合评判等方法。 在 DPS 系统中，我们将模糊数学的分析方法与一般常规统计方法区别开来，列专章介绍其 分析原理及系统设计的有关功能模块程序的操作要领，供用户参考和使用。
(3) 聚类分析。用上述方法建立起来的相似关系 R，一般只满足反射性和对称性，不满 足传递性，因而还不是模糊等价关系。为此，需要将 R 改造成 R*后得到聚类图，在适当的 阈值上进行截取，便可得到所需要的分类。将 R 改造成 R*，可用求传递闭包的方法。 。R 自 乘的思想是按最短距离法原则，寻求两个向量 xi 与 xj 的亲密程度。 假设 R2=(rij )，即 rij = k 1 (rik∧rkj )，说明 xi 与 xj 是通过第三者 K 作为媒介而发生关系， rik∧rkj 表示 xi 与 xj 的关系密切程度是以 min(rik , rkj)为准则， 因 k 是任意的, 故从一切 rik∧rkj 中寻求一个使 xi 和 xj 关系最密切的通道。Rm 随 m 的增加，允许连接 xi 与 xj 的链的边就越 多。由于从 xi 到 xj 的一切链中, 一定存在一个使最大边长达到极小的链，这个边长就是相 当于
定义 3
模糊集运算定义。若 A、B 为 X 上两个模糊集，它们的和集、交集和 A 的余集 (AB) (x)= max ( A(x), B(x) ) (AB) (x)= min ( A(x), B(x) ) AC (x)=1－A(x)
都是模糊集, 其隶属函数分别定义为：
关于模糊集的和、交等运算，可以推广到任意多个模糊集合中去。 定义 4 定义 5 素为： 若一个矩阵元素取值为[0, 1]区间内， 则称该矩阵为模糊矩阵。 同普通矩阵一样， 若 A 和 B 是 n×m 和 m×l 的模糊矩阵，则它们的乘积 C=AB 为 n×l 阵, 其元
2 b ij 2 2 ij
(1) ( 2) bij a ij a ij
,
,
(i=1, 2, …, n; j=1, 2, …, m)。其中，
(1) a ij min( x ij )
,
(2) aij max( x ij )
,
, 而
2 ij
是 xij 的方差。 待判别对象 B 的 m 个指标分别具有参数 aj , bj (j=1, 2, …, m)，
第1节
1. 模糊集的概念
模糊聚类分析
对于一个普通的集合 A，空间中任一元素 x，要么 xA，要么 xA，二者必居其一。这 一特征可用一个函数表示为：
1 A( x ) 0 x A x A
A(x)即为集合 A 的特征函数。将特征函数推广到模糊集，在普通集合中只取 0、1 两值推广 到模糊集中为[0, 1]区间。 定义 1 设 X 为全域，若 A 为 X 上取值[0, 1]的一个函数，则称 A 为模糊集。 如给 5 个同学的性格稳重程度打分，按百分制给分，再除以 100，这样给定了一个从域 X=｛x1 , x2 , x3 , x4, x5｝到[0, 1]闭区间的映射。 x1：85 分，即 A(x1)=0.85 x2：75 分， x3：98 分， x4：30 分， x5：60 分， 定义 2 A(x2)=0.75 A(x3)=0.98 A(x4)=0.30 A(x5)=0.60
作出数据转换方式的选择后， 系统又将提示选择建立模糊相似关系的计算方法， 共有上面所 述的 8 种方法可供选择。 分析输出的结果包括各个样本的联结序号、 联结水平、 聚类谱系图索引及在屏幕上显示 聚类谱系图(拷屏可得到谱系图硬拷贝, 或按 S 将图形文件以“.BMP”格式存放在盘上，然 后可在 Windows 有关应用软件中调出)。
其中
(1) a ij
和
( 2) a ij
2 b 2 2 ij 2 分别是第 i 类元素第 j 种指标的最小值和最大值， ij , 而 ij 是第 i 类元
素第 j 种指标的方差。 (2) 若有 n 种类型(A1, A2, …, AN), 每类都有 m 个指标，且均为正态型模糊变量， 相应的 参数分别为
这样确定出一个模糊子集 A=(0.85, 0.75, 0.98, 0.30, 0.60)。 若 A 为 X 上的任一模糊集，对任意 0 1，记 A=｛x｜xX, A(x)｝,称 A 为 A 的截集。 A是普通集合而不是模糊集。 由于模糊集的边界是模糊的, 如果要把模糊概念转化为数 学语言，需要选取不同的置信水平 (0 1) 来确定其隶属关系。截集就是将模糊集转 化为普通集的方法。模糊集 A 是一个具有游移边界的集合，它随值的变小而增大，即当1 <2 时，有 A1∩A2。
x11 x 21 X x n1
提供了以下 8 种建立相似矩阵的方法：
x12 x 22 xn2
x1m x2m x nm n m
①相关系数法： ②最大最小法： ③算术平均最小法： ④几何平均最小法： ⑤绝对指数法： ⑥绝对值减数法： ⑦夹角余弦法： ⑧欧氏距离：
且为正态型模糊变量，则 B 与各个类型的贴近度为
0 (1) 2 1 a j a ij 1 2 b j bij ( Aij , B ) 1 2) 2 a j a ij 1 1 2 b j bij 0
m
有模糊单位阵，记为 I；模糊零矩阵，记为 0；元素皆为 1 的矩阵用Ｊ表示。
Cij=
k 1
( a ik bkj )
(i=1, 2, …, n; j=1, 2, …, l) (20.1) 4) AＪ=ＪA; 5)
符号“∨”和“∧”含意的定义为： a∨b=max(a, b)，a∧b=min(a, b)。 模糊矩阵乘法性质包括: 1) (AB)C=A (BC)；2) AI=IA=A；3) A0=0A=0; 2. 模糊分类关系 模糊聚类分析是在模糊分类关系基础上进行聚类。由集合的概念, 可给出如下定义： 定义 6 定义 7 n 个样品的全体所组成的集合 X 作为全域，令 XY=｛(X, Y)｜xX, yY｝,则称 设 R 为 XY 上的一个集合，并且满足： XY 为 X 的全域乘积空间。 1) 反身性: (xi , yi)R，即集合中每个元素和它自己同属一类； 2) 对称性: 若(x, y)R，则(y, x)R，即集合中(x, y)元素同属于类 R 时, 则(y, x)也同属 于 R； 3) 传递性: (x, y)R，(y, z)R，则有(x, z)R。 上述三条性质称为等价关系，满足这三条性质的集合 R 为一分类关系。 聚类分析的基本思想是用相似性尺度来衡量事物之间的亲疏程度, 并以此来实现分类， 模糊聚类分析的实质就则是根据研究对象本身的属性未构造模糊矩阵， 在此基础上根据一定 的隶属度来确定其分类关系。 3. 模糊聚类 利用模糊集理论进行聚类分析的具体步骤如下： (1) 若定义相似系数矩阵用的是定量观察资料，在定义相似系数矩阵之前，可先对原始 数据进行变换处理，变换的方法同系统聚类分析, 可参考第 17 章系统聚类分析一节。 (2) 计算模糊相似矩阵。设Ｕ是需要被分类对象的全体，建立Ｕ上的相似系数 R,Ｒ(i, j) 表示 i 与 j 之间的相似程度，当Ｕ为有限集时，R 是一个矩阵，称为相似系数矩阵。定义相 似系数矩阵的工作， 原则上可以按系统聚类分析中的相似系数确定方法， 但也可以用主观评 定或集体打分的办法。DPS 平台，对数据集 若 A、B 为模糊矩阵且 aij bij (一切 i, j)，则 AB，又若 AB, 则 AC BC，CACB。