天津市耀华中学2014-2015学年高一上学期期末数学试卷1
2020-2021学年天津市耀华中学高一上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年天津市耀华中学高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共48.0分）<1}，则A∩B=()1.设集合A={x|−3<x<3},B={x|1x−1A. {x|2<x<3}B. {x|−3<x<1}C. {x|−3<x<3}D. {x|−3<x<1或2<x<3}2.如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则下列结论正确的是()A. 二面角D−BC−E是直二面角B. 直线BM，EN是异面直线C. CM⊥END. 直线EN与平面MCB所成角的正弦值为√343.设m是整数且k=4m+2，若f(sinx)=sin kx，求f(cosx)为()A. sin kxB. coskxC. −sinkxD. −coskx4.在ΔABC中，“tanBtanC>1”是“ΔABC为钝角三角形”的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知a=log45，b=(1)log413，c=log56，则()4A. c>b>aB. c>a>bC. b>c>aD. b>a>c6.已知a=log0.60.5，b=cos2，c=0.60.5，则()A. a>c>bB. a>b>cC. c>a>bD. c>b>a7.设f(x)=2x+x−4，则函数f(x)的零点位于区间()A. (−1,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)8.某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成).已知OA=10米，OB=x米(0<x<10)，线段BA、线段CD、弧BC⏜、弧AD⏜的长度之和为30米，圆心角为θ弧度，则θ关于x的函数解析式是()A. θ=2x+10x+10B. θ=x+102x+10C. θ=10−x10+xD. θ=10−x2x+109.定义在区间(0,π2)上的函数y=2cosx的图象与函数y=3tanx的图象的交点为M，则点M到x轴的距离为()A. √32B. √3 C. 1 D. 1210.函数f(x)=sin2x+√3cos2x在区间[0,π]上的零点之和是()A. 2π3B. 7π12C. 7π6D. 4π311.函数y=f(x)的图象向右平移π3单位后与函数y=sin2x的图象重合，则y=f(x)的解析式是()A. f(x)=cos(2x−π3) B. f(x)=cos(2x−π6)C. f(x)=cos(2x+π6) D. f(x)=cos(2x+π3)12.下列结论正确的是()A. 若直线l1：2(m+1)x+(m−3)y+7−5m=0与直线l2：(m−3)x+2y−5=0垂直，则m=3B. 若a=log0.20.1，b=0.20.1，c=0.10.2，则a>b>cC. 圆O1：x2+y2−2x=0和圆O2：x2+y2−4y=0公共弦长为2√55D. 线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强二、单空题（本大题共6小题，共24.0分）13.已知等比数列{a n}的各项都为正数，满足a1=2，a7=4a5，设b n=log2a1+log2a2+⋯+log2a n，则数列{1b n}的前2019项和S2019______．14.函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0)最大值为5，最小值为−1，则振幅A为______．15. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别交单位圆于A 、B 两点．已知A 、B 两点的横坐标分别是√210、2√55.求tan(α+β)的值= ______ ．16. 定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x +4)=f(x)，且在[0,2]上的解析式为f(x)={x(1−x),0≤x ≤1sinπx,1<x ≤2，则f(294)+f(416)= ______ ． 17. 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2−b 2=(acosB +bcosA)2，且△ABC 的面积为25，则△ABC 周长的最小值为______．18. 函数f(x)=sinωx −√3cosωx(ω>0)的图象在y 轴右侧的第一个最低点的横坐标为11π12，则实数ω=______．三、解答题（本大题共3小题，共36.0分）19. 已知α，β∈(0,π2)，且sin(α+2β)=75sinα．(1)求tan(α+β)−6tanβ的值；(2)若tanα=3tanβ，求α的值．20. 已知向量，，，设函数． (Ⅰ)求的最小正周期；(Ⅱ)求在上的最大值和最小值．21. 已知函数f(x)=sinωx +√3cosωx(ω>0)的周期为π．(1)求函数f(x)的振幅，初相；(2)用五点法作出在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f(x)的图象可由y =sinx 的图象经过怎样的变换而得到的？参考答案及解析1.答案：D解析：解：B ={x|x <1，或x >2}；∴A ∩B ={x|−3<x <1，或2<x <3}．故选：D ．可求出集合B ，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，分式不等式的解法，以及交集的运算．2.答案：D解析：解：点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，如图，构造长方体ABCD −PQGH ，则E 是GH 中点，在A 中，∵二面角D −BC −G 是直二面角，∴二面角D −BC −E 是锐二面角，故A 错误；在B 中，连结BD ，MN ，则N 是BD 中点，∴MN//BE ，∴BM 与EN 是相交线，故B 错误；在C 中，以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，CG 为z 轴，建立空间直角坐标系，设AB =2，则B(0,2,0)，C(0,0,0)，D(2,0,0)，E(1,0,√3)，M(32,0,√32)，E(1,0,√3)，N(1,1,0)， CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,0,√32)，EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−√3)， CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−32≠0，∴CM 与EN 不垂直，故C 错误； 在D 中，EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−√3)，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,0,√32)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)， 设平面MCB 的法向量n⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32x +√32y =0n ⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =2y =0，取x =1，得n ⃗ =(1,−√3,0)， 设直线EN 与平面MCB 所成角为θ，则sinθ=|EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√34． ∴直线EN 与平面MCB 所成角的正弦值为√34.故D 正确． 故选：D ．构造长方体ABCD −PQGH ，则E 是GH 中点．在A 中，二面角D −BC −E 是锐二面角；在B 中，连结BD ，MN ，则N 是BD 中点，MN//BE ，从而BM 与EN 是相交线；在C 中，以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，CG 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法推导出CM 与EN 不垂直；在D 中，求出平面MCB 的法向量，利用向量法能求出直线EN 与平面MCB 所成角的正弦值．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．3.答案：A解析：故选A ．4.答案：D解析：解：△ABC 中，若tanBtanC >1，∴tanB 、tanC 都大于零，故B 和C 都是锐角，∴tan(B +C)=tanB+tanC1−tanB⋅tanC <0，根据A +B +C =π，可得tanA =−tan(B +C)>0，故A 为锐角，故△ABC 的形状为锐角三角形，若△ABC 为钝角三角形，B 或C 为钝角，则tanBtanC <0，若A 为钝角，则tanA <0，tan(B +C)=tanB+tanC1−tanB⋅tanC >0，tanBtanC <1，故在△ABC 中，“tanBtanC >1”是“△ABC 为钝角三角形”的既不充分也不必要条件故选：D ．根据两角和的正切公式，诱导公式，结合充要条件的定义，判断可得答案．本题以充要条件为载体，考查三角形形状的判断，难度中档．5.答案：D解析：解：∵log 56>0，log 45>0，∴log 56log 45=log 56⋅log 54<(log 56+log 542)2=(log 5242)2<(log 5252)2=1，∴log 56<log 45<log 416=2，又(14)log 413=4log 43=3，∴b >a >c ．故选：D ．根据基本不等式和对数的运算即可得log 56log45<1，则log 56<log 45<2，进一步得到a ，b ，c 的大小关系．本题考查了对数的运算性质，基本不等式的应用，对数函数的单调性，考查了计算能力，属于中档题． 6.答案：A解析：解：∵a =log 0.60.5>log 0.60.6=1，b =cos2<0，0<c =0.60.5<0.60=1，∴a >c >b ．故选：A ．利用对数函数、三角函数、指数函数的单调性求解．本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数、三角函数、指数函数的单调性的合理运用．7.答案：C解析：本题考察了函数零点的判定定理，函数的零点的研究就可转化为相应方程根的问题，函数与方程的思想得到了很好的体现，属于基础题．根据零点的判定定理，直接将选项代入解析式即可．解：∵f(x)=2x +x −4，∴f(1)=−1<0，f(2)=2>0，故选：C．8.答案：A解析：解：根据题意，可算得弧BC=x⋅θ(米)，弧AD=10θ(米)．∴2(10−x)+x⋅θ+10θ=30，∴θ=2x+10x+10(0<x<10)，故选：A．根据弧长公式和周长列方程得出θ关于x的函数解析式；本题考查了函数解析式的求解，弧长公式的应用，属于基础题．9.答案：B解析：解：由题意，令2cosx=3tanx，x∈(0,π2)，可得2cos2x=3sinx，即2−2sin2x=3sinx，即2sin2x+3sinx−2=0，求得sinx=12，∴x=π6，∴y=2cosπ6=2×√32=√3．即点M到x轴的距离为√3．故选：B．由题意令2cosx=3tanx，x∈(0,π2)，求出x的值，再计算对应的y值．本题考查了正切函数和余弦函数的应用问题，是基础题．10.答案：C解析：解：由f(x)=sin2x+√3cos2x=0得sin2x=−√3cos2x，即tan2x=−√3，即2x=kπ−π3，即x=kπ2−π6，∵0≤x ≤π，∴当k =1时，x =π3，当k =2时，x =5π6，则函数f(x)的零点之和为π3+5π6=7π6，故选：C ． 由f(x)=0结合正切函数的性质求出函数的零点即可得到结论．本题主要考查函数零点的求解和应用，根据正切函数的性质求出x 的值是解决本题的关键． 11.答案：C解析：解：由题意可得把函数y =sin2x 的图象向左平移π3单位后与函数y =f(x)的图象重合， 故f(x)=sin2(x +π3)=sin(2x +2π3)=cos[π2−(2x +2π3)]=cos(−π6−2x)=cos(2x +π6)， 故选C ．由题意可得把函数y =sin2x 的图象向左平移π3单位后与函数y =f(x)的图象重合，再根据诱导公式，以及函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，求得y =f(x)的解析式．本题主要考查诱导公式的应用，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于中档题． 12.答案：B解析：解：对于A ：若直线l 1：2(m +1)x +(m −3)y +7−5m =0与直线l 2：(m −3)x +2y −5=0垂直，所以2(m +1)(m −3)+(m −3)×2=0，则m =3或m =−2. 故A 错误，对于B ：∵log 0.20.1>1，而1>0.20.1>0.20.2>0.10.2，∴log 0.20.1>0.20.1>0.10.2>0，∴a >b >c. 故B 正确．对于C ：∵O 1(1,0)，r 1=1，O 2(0,2)，r 2=2，|O 1O 2|=√5，r 2−r 1<|O 1O 2|<r 1+r 2， ∴圆O 1：x 2+y 2−2x =0和圆O 2：x 2+y 2−4y =0相交．由{x 2+y 2−2x =0x 2+y 2−4y =0可得公共弦所在直线方程x −2y =0， ∴O 1(1,0)到直线的距离d =√5=√55，∴公共弦长2√r 12−d 2=4√55. 故C 错误．对于D ：线性相关系数r 绝对值越大，两个变量的线性相关性越强． 故D 错误．故选：B ．对于A ：若直线l 1与直线l 2垂直，则2(m +1)(m −3)+(m −3)×2=0，解得m ，即可判断A 是否正确；对于B ：log 0.20.1>1，log 0.20.1>1，而1>0.20.1>0.20.2>0.10.2即可判断B 是否正确；对于C ：两个圆方程作差，可得可得公共弦所在直线方程，再由弦长公式，即可判断C 是否正确； 对于D ：由线性相关系数r 绝对值越大，两个变量的线性相关性越强． 即可判断D 是否正确． 本题考查直线与直线，圆与圆，对数，变量的相关关系，属于中档题．13.答案：20191010解析：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．设等比数列{a n }的公比为q >0，根据a 1=2，a 7=4a 5，可得q 2=4，解得q.利用通项公式、对数运算性质可得b n ，再利用求和公式、裂项求和方法即可得出．解：设等比数列{a n }的公比为q >0，∵a 1=2，a 7=4a 5，∴q 2=4，解得q =2．∴a n =2n ，log 2a n =n ．∴b n =log 2a 1+log 2a 2+⋯+log 2a n =1+2+⋯…+(n −1)+n =n(n+1)2． ∴1b n =2(1n −1n+1)． 则数列{1b n }的前2019项和S 2019=2(1−12+12−13+⋯…+12019−12019+1) =2(1−12020)=20191010．故答案为20191010． 14.答案：3解析：解：∵A >0，∴当sin(ωx +φ)=1时，函数取得最大值，当sin(ωx +φ)=−1时，函数取得最小值， 即{A +B =5−A +B =−1； 解得A =3，B =2， 故答案为：3．根据正弦函数的图象和性质，建立方程即可得到结论．本题主要考查余弦函数的性质，利用余弦函数的单调性和最值是解决本题的关键，比较基础．15.答案：−3解析：解：∵cosα=√210，cosβ=2√55，α、β均为锐角， ∴sinα=√1−cos 2α=7√210，sinβ=√1−cos 2β=√55， ∴tanα=7，tanβ=12， ∴tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=7+121−7×12=−3．故答案为：−3． 利用cosα=√210，cosβ=2√55，α、β均为锐角，可求得sinα与sinβ的值，继而可得tanα=7，tanβ=12，利用两角和的正切即可求得答案．本题考查任意角的三角函数的定义，考查同角三角函数间的关系式及两角和的正切，属于中档题．16.答案：516解析：解：由f(x +4)=f(x)，得函数的周期是4，则f(294)=f(8−34)=f(−34)， ∵f(x)是奇函数，∴f(−34)=−f(34)=−34×14=−316， f(416)=f(8−76)=f(−76)=−f(76)=−sin7π6=sin π6=12，则f(294)+f(416)=12−316=516． 故答案为：516．根据函数的奇偶性和周期性，以及分段函数的表达式代入即可得到结论．本题主要考查函数值的计算，根据函数的奇偶性和周期性以及分段函数的表达式进行转化是解决本题的关键．17.答案：10+10√2解析：解：若a 2−b 2=(acosB +bcosA)2，则a2−b2=(a⋅c2+a2−b22ca +b⋅b2+c2−a22bc)2，即为a2−b2=c2，即a2=b2+c2，可得角A为直角，由题意可得S△ABC=12bc=25，即bc=50，周长l=a+b+c=√b2+c2+b+c≥√2bc+2√bc=10+10√2，当且仅当b=c=5√2时取得等号．则周长的最小值为10+10√2．故答案为：10+10√2．运用余弦定理和勾股定理可得三角形为直角三角形，再由基本不等式可得所求最小值．本题考查三角形的余弦定理和面积公式的运用，以及基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．18.答案：2解析：解：f(x)=sinωx−√3cosωx(ω>0)=2sin(ωx−π3)，∵图象在y轴右侧的第一个最低点的横坐标为11π12，∴由五点对应法得11π12ω−π3=3π2得11π12ω=3π2+π3=11π6，则ω=2，故答案为：2．利用辅助角公式进行化简，结合y轴右侧的第一个最低点的横坐标为11π12，利用五点对应法建立方程进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式求出f(x)的表达式，结合五点对应法建立方程是解决本题的关键．19.答案：解：(1)由sin(α+2β)=75sinα，得sin[(α+β)+β]=75sin[(α+β)−β]，∴5sin(α+β)cosβ+5cos(α+β)sinβ=7sin(α+β)cosβ−7cos(α+β)sinβ，得2sin(α+β)cosβ−12cos(α+β)sinβ=0，即tan(α+β)−6tanβ=0；(2)由tan(α+β)−6tanβ=0，得tanα+tanβ1−tanαtanβ−6tanβ=0，又tanα=3tanβ，∴tanβ=13tanα，代入上式得：43tanα1−13tan2α−2tanα=0，解得：tanα=1，∵α∈(0,π2)，∴α=π4．解析：(1)把已知等式变形，展开两角和与差的正弦，在转化为正切求得tan(α+β)−6tanβ的值；(2)由(1)求出的tan(α+β)−6tanβ的值，展开两角和的正切，结合tanα=3tanβ求α的值．本题考查三角函数的化简求值，考查了两角和与差的三角函数的应用，是中档题．20.答案：(Ⅰ)；(Ⅱ)最小值，最大值1．解析：解：(Ⅰ)=．所以的周期.(Ⅱ)当时，，由在上的图象可知：当，即时，取最小值，当，即时，取最大值．21.答案：解：(1)∵函数f(x)=sinωx+√3cosωx=2sin(ωx+π3)(ω>0)的周期为T=2πω=π，∴ω=2，f(x)=2sin(2x+π3)，∴振幅为2，初相为π3．(2)列表：2x+π30π2π3π22πx−π6π12π37π125π6f(x)020−20作图：(3)由y=sinx的图象向左平移π3个单位，再把所得图象上的各点的横坐标变为原来的12，再把所得图象上的各点的纵坐标变为原来的2倍，即可得到函数f(x)的图象．解析：(1)利用两角和的正弦公式求得f(x)=2sin(ωx+π3)(ω>0)，再根据它的周期为2πω=π，求得ω的值，可得f(x)=2sin(ωx+π3)，从而求得振幅和初相．(2)用五点法作函数y=Asin(ωx+φ)在一个周期上的简图．(3)根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象性质，用五点法作函数y=Asin(ωx+φ)在一个周期上的简图，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．。
2014-2015年天津市耀华中学高一(上)数学期末试卷与答案
2014-2015学年天津市耀华中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：1．（5分）设，是两个不共线向量，若向量与向量共线，则λ的值为（）A．B．﹣2 C．D．2．（5分）为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位3．（5分）已知与为互相垂直的单位向量，，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（，+∞）C．（﹣2，）D．（﹣）（）4．（5分）若，则tanα＝A．B．2 C．D．﹣25．（5分）函数的单调增区间是（）A． B．C． D．6．（5分）已知向量=（cosθ，sinθ），向量=（，﹣1）则|2﹣|的最大值，最小值分别是（）A．4，0 B．4，4C．16，0 D．4，07．（5分）函数y=的最小正周期是（）A．B．C．πD．2π8．（5分）设f（x）是定义域为R，最小正周期为的函数，若，则等于（）A．B．1 C．0 D．9．（5分）若tanα=3，则的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．610．（5分）若曲线y=Asinωｘ+a（A＞0，ω＞0）在区间上截直线y=2与y=﹣1所得的弦长相等且不为0，则下列对a和A的描述正确的是（）A．B．a=1，A＞1 C．≤D．a=1，A≤1二、填空题：11．（5分）已知向量=（2，3），=（﹣l，2），若与垂直，则m等于．12．（5分）若向量，满足且与的夹角为，则=．13．（5分）已知函数f（x）=Atan（ωｘ+φ）（ω＞0，|φ|＜），y=f（x）的部分图象如图，则f（）=．14．（5分）已知f（x）=sin（ω＞0），f（）=f（），且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则ω＝．15．（5分）函数的最大值等于．。
【精品】2014-2015年天津市和平区高一(上)期末数学试卷带解析
2014-2015学年天津市和平区高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将题中正确选项的代号填在下列表格中）1．（3分）sin（﹣）的值是（）A．B．﹣ C．D．﹣2．（3分）以下说法错误的是（）A．零向量与任一非零向量平行B．零向量与单位向量的模不相等C．平行向量方向相同D．平行向量一定是共线向量3．（3分）若α的终边与单位圆交于点（，﹣），则cosα=（）A．B．﹣ C．D．﹣4．（3分）函数f（x）=2sin（﹣x）是（）A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数C．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为4π的偶函数5．（3分）已知向量=（x，1），=（4，x），且与共线，方向相同，则x=（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．46．（3分）下列函数在[，π]上是增函数的是（）A．y=sinx B．y=cosx C．y=cos2x D．y=sin2x7．（3分）平面直角坐标系xOy中，=（2，1），=（3，k），若△ABC是直角三角形，则k的可能值的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．48．（3分）已知，则的值为（）A．B．C．4 D．8二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分，请将答案直接填在题中的横线上）9．（4分）化简：=．10．（4分）与角﹣1560°终边相同的角的集合中，最小正角是，最大负角是．11．（4分）把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是．12．（4分）比较大小：cos sin（﹣）（填“＞”或“＜”）13．（4分）已知||=2，||=1，，的夹角为60°，=+5，=m﹣2，则m=时，⊥．14．（4分）若x∈[﹣，]，则函数y=+2tanx+1的最小值为，最大值为．三、解答题（本大题共6小题，满分52分，解答题应写出文字说明，演算步骤）15．（8分）已知sinα=，且α是第一象限角（Ⅰ）求cosα的值（Ⅱ）求tan（π+α）cos（π﹣α）﹣sin（+α）的值．16．（8分）已知||=，||=1．（1）若，的夹角θ为45°，求|﹣|；（2）若（﹣）⊥，求与的夹角θ．17．（9分）在平面内给定三个向量=（3，2），=（﹣1，2），=（4，1）（Ⅰ）求满足=m+n的实数m、n的值（Ⅱ）若向量满足（）∥（），且||=，求向量的坐标．18．（9分）已知sinα+cosα=，且α∈（，π）（Ⅰ）求tanα的值（Ⅱ）求2sin2（）﹣sin（α+）的值．19．（9分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的周期为π，且图象上一个最低点为M（，﹣2）（Ⅰ）求f（x）的解析式（Ⅱ）求f（x）的单调增区间．20．（9分）设向量=（6cosx，﹣），=（cosx，sin2x），x∈[0，]（1）若||=2，求x的值；（2）设函数f（x）=•，求f（x）的最大、最小值．2014-2015学年天津市和平区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将题中正确选项的代号填在下列表格中）1．（3分）sin（﹣）的值是（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：sin（﹣）=﹣sin=﹣，故选：D．2．（3分）以下说法错误的是（）A．零向量与任一非零向量平行B．零向量与单位向量的模不相等C．平行向量方向相同D．平行向量一定是共线向量【解答】解：∵零向量是模为0，方向任意∴A，B对∵平行向量即共线向量是方向相同或相反的向量∴C错D对故选：C．3．（3分）若α的终边与单位圆交于点（，﹣），则cosα=（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：由题意可得，x=，y=﹣，r==1，∴cosα==，故选：A．4．（3分）函数f（x）=2sin（﹣x）是（）A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数C．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为4π的偶函数【解答】解：∵f（x）=2sin（﹣x）=2cosx∴由余弦函数的图象和性质可知函数为最小正周期为2π的偶函数．．故选：B．5．（3分）已知向量=（x，1），=（4，x），且与共线，方向相同，则x=（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．4【解答】解：向量=（x，1），=（4，x），且与共线，可得：x2=4，因为两个向量方向相同，可得x=2．故选：A．6．（3分）下列函数在[，π]上是增函数的是（）A．y=sinx B．y=cosx C．y=cos2x D．y=sin2x【解答】解：根据正弦函数y=sinx，余弦函数y=cosx的图象知这两个函数在[]上是减函数；∵，∴2x∈[π，2π]；而根据正余弦函数的图象知道只有余弦函数y=cosx在[π，2π]是增函数；∴y=cos2x在[]上是增函数．故选：C．7．（3分）平面直角坐标系xOy中，=（2，1），=（3，k），若△ABC是直角三角形，则k的可能值的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由题意当A为直角时，=6+k=0，解得k=﹣6；当B为直角时，==2+k﹣1=0，解得k=﹣1；当C为直角时，==3+k（k﹣1）=0，方程无解．故△ABC是直角三角形，则k的可能值的个数为2故选：B．8．（3分）已知，则的值为（）A．B．C．4 D．8【解答】解：=2tanx﹣=2tanx+=2•=∴==8故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分，请将答案直接填在题中的横线上）9．（4分）化简：=．【解答】解：=====故答案为：10．（4分）与角﹣1560°终边相同的角的集合中，最小正角是240°，最大负角是﹣120°．【解答】解：根据终边相同的角相差360°的整数倍，故与﹣1560°终边相同的角可表示为：{α|α=k•360°﹣1560°，k∈Z}．则当k=4时，α=4×360°﹣1560°=﹣120°，此时为最大的负角．当k=5时，α=5×360°﹣1560°=240°，此时为最小的正角．故答案为：240°，﹣120°11．（4分）把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是．【解答】解：y=sinx y=sin（x+）y=sin（2x+）故答案为：y=sin（2x+）12．（4分）比较大小：cos＞sin（﹣）（填“＞”或“＜”）【解答】解：∵cos=cos（）=sin，sin（﹣）=﹣sin（）=sin∵＞＞＞0，且正弦函数在[0，]是单调递增的．∴sin＞sin故答案为：＞13．（4分）已知||=2，||=1，，的夹角为60°，=+5，=m﹣2，则m=时，⊥．【解答】解：因为||=2，||=1，，的夹角为60°，所以=||||cos60°=1，又⊥，所以•=0，即（+5）（m﹣2）=0，所以=0，即4m﹣10+5m﹣2=0，解得m=；故答案为：．14．（4分）若x∈[﹣，]，则函数y=+2tanx+1的最小值为1，最大值为5．【解答】解：y=+2tanx+1=+2tanx+1=tan2x+2tanx+2=（tanx+1）2+1，∵x∈[﹣，]，∴tanx∈[﹣，1]，∴当tanx=﹣1，即x=﹣时，函数y=+2tanx+1取得最小值1；当tanx=1，即x=时，函数y=+2tanx+1取得最大值4+1=5．故答案为：1，5．三、解答题（本大题共6小题，满分52分，解答题应写出文字说明，演算步骤）15．（8分）已知sinα=，且α是第一象限角（Ⅰ）求cosα的值（Ⅱ）求tan（π+α）cos（π﹣α）﹣sin（+α）的值．【解答】解：（Ⅰ）sinα=，且α是第一象限角cosα==（Ⅱ）tanαcos（π﹣α）﹣sin（+α）=﹣tanαcosα﹣cosα=﹣sinα﹣cosα==．16．（8分）已知||=，||=1．（1）若，的夹角θ为45°，求|﹣|；（2）若（﹣）⊥，求与的夹角θ．【解答】解：（1）∵===1，∴===1．（2）∵，∴，∴，又∵0≤θ≤π，∴．17．（9分）在平面内给定三个向量=（3，2），=（﹣1，2），=（4，1）（Ⅰ）求满足=m+n的实数m、n的值（Ⅱ）若向量满足（）∥（），且||=，求向量的坐标．【解答】解：（Ⅰ）由已知条件以及=m+n，可得：（3，2）=m（﹣2，2）+n （4，1）=（﹣m+4n，2m+n）．∴，解得实数m=，n=．（Ⅱ）设向量=（x，y），=（x﹣4，y﹣1），=（2，4），∵（）∥（），||=，∴，解得或，向量的坐标为（3，﹣1）或（5，3）．18．（9分）已知sinα+cosα=，且α∈（，π）（Ⅰ）求tanα的值（Ⅱ）求2sin2（）﹣sin（α+）的值．【解答】解：（Ⅰ）将sinα+c osα=①两边平方得：1+2sinαcosα=，即sinαcosα=﹣，∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=，∵α∈（，π），∴sinα＞0，cosα＜0，即sinα﹣cosα＞0，∴sinα﹣cosα=②，联立①②解得：sinα=，cosα=﹣，则tanα=﹣；（Ⅱ）∵cosα=﹣，∴原式=1﹣cos2（+）﹣sin（α+）=1﹣cos（α+）﹣sin（α+）=1﹣cosα+sinα﹣sinα﹣cosα=1﹣cosα=．19．（9分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的周期为π，且图象上一个最低点为M（，﹣2）（Ⅰ）求f（x）的解析式（Ⅱ）求f（x）的单调增区间．【解答】（本题满分为9分）解：（Ⅰ）由图象上一个最低点为M（，﹣2），可得A=2…1分由周期T=π，可得ω=，∴f（x）=2sin（2x+φ）…2分由点M（，﹣2）在图象上，得2sin（2×+φ）=﹣2，即有sin（+φ）=﹣1，…3分∴+φ=﹣（k∈Z），∴φ=﹣（k∈Z），…4分∵0＜φ＜∴k=1，φ=，∴f（x）的解析式为：f（x）=2sin（2x+）…5分（Ⅱ）由﹣2x+≤，（k∈Z）可解得：≤x≤（k∈Z），可得f（x）的单调增区间为：[，]（k∈Z）…9分20．（9分）设向量=（6cosx，﹣），=（cosx，sin2x），x∈[0，]（1）若||=2，求x的值；（2）设函数f（x）=•，求f（x）的最大、最小值．【解答】解：（1）∵向量=（6cosx，﹣），||=2，∴，化为，∴．∵x∈[0，]，∴，解得．（2）函数f（x）=•===+3=+3．∵x∈[0，]，∴，∴，∴．∴函数f（x）的最小值、最大值分别为，6．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
中学2014-2015学年高一上学期期末考试数学试卷word版含答案
D．无论 为何值,均有4个零点
9.已知直角梯形ABCD中,AD∥BC, ∠ADC＝90°,AD＝2,BC＝1,P是腰DC上的动点,
则 的最小值为 （）
A．4B．5C． D．2
10.
A． B． C． D．
二、填空题: 本大题共5小题, 每小题5分, 共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置, 书写不清, 模棱两可均不得分
(1)当9天购买一次配料时, 求该食堂用于配料的保管费用 是多少元？
(2)设该食堂 天购买一次配料, 求该食堂在这 天中用于配料的总费用 （元）关于 的函数关系式, 并求该食堂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少?
20.对于函数 , 如果存在实数 使得 , 那么称 为 的线性函数.
(1)下面给出两组函数, 是否分别为 的线性函数？并说明理由;
19.
已知武汉二中食堂需要定期购买食品配料, 该食堂每天需要食品配料200千克, 配料的价格为 元/千克, 每次购买配料需支付运费236元.每次购买来的配料还需支付保管费用（若 天购买一次, 需要支付 天的保管费）. 其标准如下: 7天以内（含7天）, 无论重量多少, 均按10元/天支付; 超出7天以外的天数, 根据实际剩余配料的重量, 以每天0.03元/千克支付.
第一组: ;
第二组: ;
(2)设 , 线性函数 .若不等式
在 上有解, 求实数 的取值范围;
21.(1)有时一个式子可以分拆成两个式子, 求和时可以达到相消化简的目的, 如我们初中曾学
过: = =
请用上面的数学思维来证明如下:
11.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2, 则这个圆心角所对的弧长是.
12.已知 ,则 =. (用t表示)
2023-2024学年天津市和平区耀华中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年天津市和平区耀华中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本题共有12个小题，每小题3分，请将正确答案填涂到答题卡相应位置上，答在试卷上的无效）1．设集合U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，3，6}，B ＝{2，3，4}，则A ∩（∁U B ）（ ） A ．{3}B ．{1，6}C ．{5，6}D ．{1，3}2．集合A ＝{x |x ＜﹣1或x ≥1}，B ＝{x |ax +2≤0}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[﹣2，2]B ．[﹣2，2）C ．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞）D ．[﹣2，0）∪（0，2）3．命题“∃x ＞1，x 2﹣x ＞0”的否定是（ ） A ．∃x ≤1，x 2﹣x ＞0 B ．∀x ＞1，x 2﹣x ≤0 C ．∃x ＞1，x 2﹣x ≤0D ．∀x ≤1，x 2﹣x ＞04．“n ＝1”是“幂函数f(x)=(n 2−3n +3)⋅x n2−3n在（0，+∞）上是减函数”的一个（ ）条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要5．设a ，b ，c ，d 为实数，且a ＞b ＞0＞c ＞d ，则下列不等式正确的是（ ） A ．c 2＞cdB ．a ﹣c ＜b ﹣dC ．ac ＞bdD ．c a −db＞06．若关于x 的不等式k |x |＞|x ﹣2|恰好有4个整数解，则实数k 的范围为（ ） A ．（0，25]B ．（25，35]C ．（35，23]D ．（32，1]7．若不等式组{x 2−2x −3≤0x 2+4x −(1+a)≤0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[﹣5，+∞）B ．[﹣4，+∞）C ．（﹣∞，﹣4]D ．（﹣∞，﹣5]8．设函数f(x)=x 3−1x 3，则f （x ）是（ ） A ．奇函数，且在（0，+∞）单调递增 B ．奇函数，且在（0，+∞）单调递减 C ．偶函数，且在（0，+∞）单调递增D ．偶函数，且在（0，+∞）单调递减9．已知偶函数f （x ）在区间[0，+∞）单调递增，则满足f （2x ﹣1）＜f （13）的x 取值范围是（ ）A ．（13，23）B ．[13，23）C ．（12，23）D ．[12，23）10．设a =(45)12，b =(54)15，c =(34)34，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．a ＜c ＜bD ．b ＜c ＜a11．已知函数f(x)={(a −3)x +2a ，x ＜1ax 2+(a +1)x ，x ≥1在R 上是单调的函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(−∞，−13]B ．（3，4]C ．(−∞，−13]∪(3，4]D ．(−∞，−13)∪(3，4]12．设函数f(x)={1−ax ，x ＜a ，x 2−4x +3，x ≥a.若f （x ）存在最小值，则a 的取值范围为（ ）A ．[−√2，√2]B ．[0，√2]C ．[−√2，√2]∪(2，+∞)D ．[0，√2]∪(2，+∞)二、填空题（本题共有8个小题，每题4分，请将答案填在答题卡相应位置上，答在试卷上的无效） 13．函数y =√16−x 2x的定义域是 ．14．已知幂函数f （x ）＝x a 的图像过点(√2，2)，则f （4）＝ ． 15．函数y =x 4+2x +√x −1−2√2−x 的值域为 ．16．已知函数y ＝f （x ）是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝x 3+2x +1，则f （0）+f （﹣1）＝ ． 17．已知函数y ＝f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 4﹣2x ，则函数f （x ）在上（﹣∞，0）的解析式为 ． 18．已知幂函数y =x m2−2m−3(m ∈N ∗)的图象关于y 轴对称，且在（0，+∞）上单调递减，则满足（a +1）﹣m＜（3﹣2a ）﹣m的取值范围为 ．19．已知函数f(x)={3x ，x ≥3−x 2+6x ，x ＜3，则不等式f （x 2﹣2x ）＜f （3x ﹣4）的解集是 ．20．设函数f(x)={−(x −a)2+a +52，x ＜1−12x +1，x ≥1，若f （1）是函数f （x ）的最大值，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题（本题共有3个小题，总分32分，请将答案填在答题卡相应位置上，答在试卷上的无效） 21．（8分）计算： （1）(0.25)−2+823−(116)−0.75； （2）823×100−12×√(1681)−34×(14)−3；（3）(12)0+2−2×(214)−12−(0.01)0.5；（4）(279)0.5+0．1−2+(21027)−23−3π0+3748．22．（12分）（1）若不等式ax 2+（1﹣a ）x +a ﹣2≥﹣2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）解关于x 的不等式ax 2+（1﹣a ）x +a ﹣2＜a ﹣1（a ∈R ）． 23．（12分）已知函数f （x ）＝x 2+4ax +2a +6． （1）若f （x ）的值域是[0，+∞），求a 的值；（2）若函数f （x ）≥0恒成立，求g （a ）＝2﹣a |a ﹣1|的值域．2023-2024学年天津市和平区耀华中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共有12个小题，每小题3分，请将正确答案填涂到答题卡相应位置上，答在试卷上的无效）1．设集合U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，3，6}，B ＝{2，3，4}，则A ∩（∁U B ）（ ） A ．{3}B ．{1，6}C ．{5，6}D ．{1，3}解：∵∁U B ＝{1，5，6}，A ＝{1，3，6}，∴A ∩（∁U B ）＝{1，6}． 故选：B ．2．集合A ＝{x |x ＜﹣1或x ≥1}，B ＝{x |ax +2≤0}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[﹣2，2]B ．[﹣2，2）C ．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞）D ．[﹣2，0）∪（0，2）解：∵B ⊆A ，∴①当B ＝∅时，即ax +2≤0无解，此时a ＝0，满足题意； ②当B ≠∅时，即ax +2≤0有解，当a ＞0时，可得x ≤−2a，要使B ⊆A ，则需要{a ＞0−2a ＜−1，解得0＜a ＜2．当a ＜0时，可得x ≥−2a，要使B ⊆A ，则需要{a ＜0−2a ≥1，解得﹣2≤a ＜0，综上，实数a 的取值范围是[﹣2，2）． 故选：B ．3．命题“∃x ＞1，x 2﹣x ＞0”的否定是（ ） A ．∃x ≤1，x 2﹣x ＞0 B ．∀x ＞1，x 2﹣x ≤0 C ．∃x ＞1，x 2﹣x ≤0D ．∀x ≤1，x 2﹣x ＞0解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x ＞1，x 2﹣x ＞0”的否定是：∀x ＞1，x 2﹣x ≤0． 故选：B ．4．“n ＝1”是“幂函数f(x)=(n 2−3n +3)⋅x n2−3n在（0，+∞）上是减函数”的一个（ ）条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 解：若幂函数f(x)=(n 2−3n +3)⋅x n2−3n在（0，+∞）上是减函数，则{n 2−3n +3=1n 2−3n ＜0，解得n ＝1或n ＝2，故“n ＝1”是“幂函数f(x)=(n 2−3n +3)⋅x n 2−3n在（0，+∞）上是减函数”的一个充分不必要条件．故选：A ．5．设a ，b ，c ，d 为实数，且a ＞b ＞0＞c ＞d ，则下列不等式正确的是（ ） A ．c 2＞cdB ．a ﹣c ＜b ﹣dC ．ac ＞bdD ．c a −db＞0解：选项A ：因为0＞c ＞d ，由不等式的性质，两边同乘负数，不等式变号，可得c 2＜cd ，所以选项A 错误．选项B ：取a ＝2，b ＝1，c ＝﹣1，d ＝﹣2，则a ﹣c ＝3，b ﹣d ＝3，此时a ﹣c ＝b ﹣d ，所以选项B 错误． 选项C ：取a ＝2，b ＝1，c ＝﹣1，d ＝﹣2，则ac ＝﹣2，bd ＝﹣2，此时ac ＝bd ，所以选项C 错误． 选项D ：因为a ＞b ＞0，0＞c ＞d ，所以ad ＜bd ＜bc ，所以c a ＞d b ，即c a −db＞0，所以选项D 正确．故选：D ．6．若关于x 的不等式k |x |＞|x ﹣2|恰好有4个整数解，则实数k 的范围为（ ） A ．（0，25]B ．（25，35]C ．（35，23]D ．（32，1]解：∵k |x |＞|x ﹣2|，∴k ＞0，∴两边同时平方得k 2x 2＞（x ﹣2）2，即（1﹣k 2）x 2﹣4x +4＜0， 要使关于x 的不等式k |x |＞|x ﹣2|恰好有4个整数解， 又Δ＝16﹣16（1﹣k 2）＝16k 2＞0，则1﹣k 2＞0， ∴0＜k 2＜1，解得0＜k ＜1，作出函数 y ＝k |x |与 y ＝﹣|x ﹣2|的图象，如图所示：∵0＜k＜1，∴x A＞1，∴关于x的不等式k|x|﹣|x﹣2|＞0恰好有4个整数解，分别为2，3，4，5，联立{y=kxy=x−2，解得x B=21−k∈(5，6]，即5＜21−k＜6，解得35＜k≤23，故实数k的取值范围是（35，23]，故选：C．7．若不等式组{x 2−2x−3≤0x2+4x−(1+a)≤0的解集不是空集，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，+∞）B．[﹣4，+∞）C．（﹣∞，﹣4]D．（﹣∞，﹣5]解：由x2﹣2x﹣3≤0⇒﹣1≤x≤3，若不等式组{x2−2x−3≤0x2+4x−(1+a)≤0的解集是空集，∴x2+4x﹣（1+a）＞0在[﹣1，3]上恒成立，令f（x）＝x2+4x﹣（1+a），则二次函数f（x）开口向上，且对称轴为直线x＝﹣2，∴f（x）在[﹣1，3]上单调递增，∴要使f（x）＞0在[﹣1，3]上恒成立，则f（﹣1）＝﹣4﹣a＞0，解得a＜﹣4．故不等式组{x2−2x−3≤0x2+4x−(1+a)≤0的解集不是空集，实数a的取值范围是[﹣4，+∞）．故选：B．8．设函数f(x)=x3−1x3，则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，+∞）单调递增B．奇函数，且在（0，+∞）单调递减C．偶函数，且在（0，+∞）单调递增D．偶函数，且在（0，+∞）单调递减解：函数的定义域为{x|x≠0}，f（﹣x）＝﹣x3+1x3=−（x3−1x3）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数，当x ＞0时，y ＝x 3和y =−1x 3是增函数，则f （x ）在（0，+∞）上也是增函数， 故选：A ．9．已知偶函数f （x ）在区间[0，+∞）单调递增，则满足f （2x ﹣1）＜f （13）的x 取值范围是（ ）A ．（13，23）B ．[13，23）C ．（12，23）D ．[12，23）解：∵f （x ）是偶函数，∴f （x ）＝f （|x |）， ∴不等式等价为f （|2x ﹣1|）＜f(13)，∵f （x ）在区间[0，+∞）单调递增， ∴|2x −1|＜13，解得13＜x ＜23．故选：A ．10．设a =(45)12，b =(54)15，c =(34)34，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．a ＜c ＜bD ．b ＜c ＜a解：0＜2764＜12＜1625＜1，y =x 14在（0，+∞）上单调递增， a =(45)12=(1625)14＜1，b =(54)15＞1，c =(34)34=(2764)14＜1，故c =(2764)14＜(1625)14=a ． 综上，c ＜a ＜b ． 故选：A ．11．已知函数f(x)={(a −3)x +2a ，x ＜1ax 2+(a +1)x ，x ≥1在R 上是单调的函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(−∞，−13]B ．（3，4]C ．(−∞，−13]∪(3，4]D ．(−∞，−13)∪(3，4]解：根据题意，分2种情况讨论：若函数f(x)={(a −3)x +2a ，x ＜1ax 2+(a +1)x ，x ≥1在R 上是单调递增函数，则有{ a −3＞0a ＞0−a+12a≤1(a −3)+2a ≤a +(a +1)，解可得3＜a ≤4，若函数f(x)={(a −3)x +2a ，x ＜1ax 2+(a +1)x ，x ≥1在R 上是单调递减函数，则有{ a −3＜0a ＜0−a+12a≤1(a −3)+2a ≥a +(a +1)，无解；综合可得：3＜a ≤4，即a 的取值范围为（3，4]． 故选：B ．12．设函数f(x)={1−ax ，x ＜a ，x 2−4x +3，x ≥a.若f （x ）存在最小值，则a 的取值范围为（ ）A ．[−√2，√2]B ．[0，√2]C ．[−√2，√2]∪(2，+∞)D ．[0，√2]∪(2，+∞)解：∵函数f(x)={1−ax ，x ＜a ，x 2−4x +3，x ≥a.，∴当a ＝0时，f （x ）={1，x ＜0x 2−4x +3，x ≥0，∴f （x ）min ＝f （2）＝﹣1，故a ＝0符合题意；当a ＜0时，则x ＜a ，f （x ）＝1﹣ax 在（﹣∞，a ）上单调递增，且当x →﹣∞，f （x ）→﹣∞，故f （x ）没有最小值；当a ＞0，则x ＜a ，f （x ）＝1﹣ax 在（﹣∞，a ）上单调递减，f （x ）＞f （a ）＝1﹣a 2，x ≥a ，f （x ）min ={−1，0＜a ＜2a 2−4a +3，a ≥2，若f （x ）存在最小值，则满足需{1−a 2≥−10＜a ＜2或{1−a 2≥a 2−4a +3a ≥2，解得0＜a ≤√2． 综上所述，实数a 的取值范围为[0，√2]， 故选：B ．二、填空题（本题共有8个小题，每题4分，请将答案填在答题卡相应位置上，答在试卷上的无效） 13．函数y =√16−x 2x的定义域是 [﹣4，0）∪（0，4] ． 解：由函数y =√16−x 2x，可得{x ≠016−x 2≥0，求得﹣4≤x ＜0 或0＜x ≤4，故答案为：[﹣4，0）∪（0，4]．14．已知幂函数f （x ）＝x a 的图像过点(√2，2)，则f （4）＝ 16 ．解：∵幂函数f （x ）＝x a 的图像过点（√2，2）， ∴f （√2）＝（√2）a ＝2，解得a ＝2， ∴f （x ）＝x 2， ∴f （4）＝16． 故答案为：16．15．函数y =x 4+2x +√x −1−2√2−x 的值域为 [1，21] ． 解：由函数的解析式可得定义域满足{x −1≥02−x ≥0，解得1≤x ≤2，即函数的定义域为[1，2]．由复合函数的单调性可知，函数y =x 4+2x +√x −1−2√2−x 在[1，2]上单调递增， 所以f （x ）∈[f （1），f （2）]，而f （1）＝1+2+0﹣2√2−1=1，f （2）＝24+2×2+√2−1−2×0＝21． 即函数的值域为[1，21]． 故答案为：[1，21]．16．已知函数y ＝f （x ）是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝x 3+2x +1，则f （0）+f （﹣1）＝ ﹣4 ．解：因为y ＝f （x ）是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝x 3+2x +1， 所以f （1）＝4，所以f （﹣1）＝﹣f （1）＝﹣4，f （0）＝0， 则f （0）+f （﹣1）＝0﹣4＝﹣4． 故答案为：﹣4．17．已知函数y ＝f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 4﹣2x ，则函数f （x ）在上（﹣∞，0）的解析式为 f （x ）＝﹣x 4﹣2x （x ＜0） ． 解：根据题意，设x ∈（﹣∞，0），则﹣x ∈（0，+∞）， 则f （﹣x ）＝（﹣x ）4﹣2（﹣x ）＝x 4+2x ，又由f （x ）为奇函数，则f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣x 4﹣2x ． 故答案为：f （x ）＝﹣x 4﹣2x （x ＜0）． 18．已知幂函数y =x m2−2m−3(m ∈N ∗)的图象关于y 轴对称，且在（0，+∞）上单调递减，则满足（a +1）﹣m＜（3﹣2a ）﹣m的取值范围为 {a |a ＜﹣1或23＜a ＜32} ．解：幂函数在（0，+∞）上单调递减，故m 2﹣2m ﹣3＜0，解得﹣1＜m ＜3， 又m ∈N *，故m ＝1或2，当m ＝1时，y ＝x ﹣4的图象关于y 轴对称，满足题意， 当m ＝2时，y ＝x﹣3的图象不关于y 轴对称，舍去，故m ＝1，不等式化为（a +1）﹣1＜（3﹣2a ）﹣1， 函数y ＝x﹣1在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调递减，故a +1＞3﹣2a ＞0或0＞a +1＞3﹣2a 或a +1＜0＜3﹣2a ，解得a ＜﹣1或23＜a ＜32．故答案为：{a |a ＜﹣1或23＜a ＜32}．19．已知函数f(x)={3x ，x ≥3−x 2+6x ，x ＜3，则不等式f （x 2﹣2x ）＜f （3x ﹣4）的解集是 （1，4） ．解：作出函数f(x)={3x ，x ≥3−x 2+6x ，x ＜3的图象如图，由图可知，函数f （x ）在R 上为增函数，则由式f （x 2﹣2x ）＜f （3x ﹣4），得式x 2﹣2x ＜3x ﹣4，即x 2﹣5x +4＜0，解得1＜x ＜4． ∴不等式f （x 2﹣2x ）＜f （3x ﹣4）的解集是（1，4）． 故答案为：（1，4）．20．设函数f(x)={−(x −a)2+a +52，x ＜1−12x +1，x ≥1，若f （1）是函数f （x ）的最大值，则实数a 的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[3+√132，+∞) ． 解：当x ≥1时，f(x)=−12x +1在单调递减，当x ＜1时，f(x)=−(x −a)2+a +52在（﹣∞，a ）上单调递增，在（a ，+∞）上单调递减，若a ＜1，x ＜1，f （x ）在x ＝a 处取得最大值，要使f （1）是函数f （x ）的最大值，所以a +52≤−12+1，解得a ≤﹣2，则a ≤﹣2， 若a ≥1，x ＜1，f （x ）在x ＝1处取得最大值，要使f （1）是函数f （x ）的最大值，所以−(1−a)2+a +52≤−12+1， 即a 2﹣3a ﹣1≥0，解得a ≥3+√132或a ≤3−√132，所以a ≥3+√132， 所以实数a 的取值范围为(−∞，−2]∪[3+√132，+∞)．故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[3+√132，+∞)．三、解答题（本题共有3个小题，总分32分，请将答案填在答题卡相应位置上，答在试卷上的无效） 21．（8分）计算： （1）(0.25)−2+823−(116)−0.75； （2）823×100−12×√(1681)−34×(14)−3；（3）(12)0+2−2×(214)−12−(0.01)0.5；（4）(279)0.5+0．1−2+(21027)−23−3π0+3748．解：（1）(0.25)−2+823−(116)−0.75=16+4−8=12； （2）823×100−12×√(1681)−34×(14)−3=4×110×278×64=4325；（3）原式=1+14×(49)12−(1100)12=1+16−110=1615； （4）原式=(259)12+(110)−2+(6427)−23−3+3748=53+100+916−3+3748=100． 22．（12分）（1）若不等式ax 2+（1﹣a ）x +a ﹣2≥﹣2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）解关于x 的不等式ax 2+（1﹣a ）x +a ﹣2＜a ﹣1（a ∈R ）．解：（1）不等式ax 2+（1﹣a ）x +a ﹣2≥﹣2即ax 2+（1﹣a ）x +a ≥0对一切实数x 恒成立， 当a ＝0时，x ≥0，即不等式不恒成立；当a ＜0时，由二次函数y ＝ax 2+（1﹣a ）x +a 的图象开口向下，不等式不恒成立； 当a ＞0时，只需Δ≤0，即（1﹣a ）2﹣4a 2≤0，解得a ≥13．综上可得，a 的取值范围是[13，+∞）：（2）关于x 的不等式ax 2+（1﹣a ）x +a ﹣2＜a ﹣1即为ax 2+（1﹣a ）x ﹣1＜0，第11页（共11页） 化为（x ﹣1）（ax +1）＜0，当a ＝0时，x ﹣1＜0，解得x ＜1；当a ＞0时，不等式化为（x ﹣1）（x +1a ）＜0，解得−1a＜x ＜1； 当a ＝﹣1时，不等式化为（x ﹣1）2＞0，解得x ≠1；当a ＜﹣1时，1＞−1a ，不等式化为（x ﹣1）（x +1a ）＞0，解得x ＞1或x ＜−1a； 当﹣1＜a ＜0时，1＜−1a ，不等式化为（x ﹣1）（x +1a ）＞0，解得x ＜1或x ＞−1a． 综上可得，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＜1}；当a ＞0时，不等式的解集为{x |−1a＜x ＜1}； 当a ＝﹣1时，不等式的解集为{x |x ≠1}；当a ＜﹣1时，不等式的解集为{x |x ＞1或x ＜−1a}； 当﹣1＜a ＜0时，不等式的解集为{x |x ＜1或x ＞−1a}． 23．（12分）已知函数f （x ）＝x 2+4ax +2a +6．（1）若f （x ）的值域是[0，+∞），求a 的值；（2）若函数f （x ）≥0恒成立，求g （a ）＝2﹣a |a ﹣1|的值域．解：（1）由于函数的值域为[0，+∞），则判别式Δ＝16a 2﹣4（2a +6）＝0，解得a ＝﹣1或a =32； （2）由于函数f （x ）≥0恒成立，则Δ＝16a 2﹣4（2a +6）≤0，解得﹣1≤a ≤32，则﹣2≤a ﹣1≤12， ∴f （a ）＝2﹣a |a ﹣1|={a 2−a +2，−1≤a ≤1−a 2+a +2，1＜a ≤32， ①当﹣1≤a ≤1时，f （a ）=(a −12)2+74，f （12）≤f （a ）≤f （﹣1）， ∴74≤f （a ）≤4， ②1＜a ≤32时，f （a ）=(a −12)2+94−，f （32）≤f （a ）＜f （1）， ∴54≤f （a ）＜2， 综上函数f （a ）的值域为[54，4]．。
耀华中学数学高一上期末基础练习(课后培优)
一、选择题1．(0分)[ID ：12094]设6log 3a =，lg5b =，14log 7c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>2．(0分)[ID ：12093]设集合{}1|21x A x -=≥，{}3|log ,B y y x x A ==∈，则BA =（ ） A ．()0,1B ．[)0,1C ．(]0,1D ．[]0,13．(0分)[ID ：12122]定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，212[0,)()x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-，则（ ）．A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-4．(0分)[ID ：12105]已知131log 4a =，154b=，136c =，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>5．(0分)[ID ：12103]已知函数ln ()xf x x=，若(2)a f =，(3)b f =，(5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b <<6．(0分)[ID ：12102]已知函数2()2log x f x x =+，2()2log x g x x -=+，2()2log 1x h x x =⋅-的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）． A ．b a c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a b c <<7．(0分)[ID ：12097]函数()2sin f x x x =的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．8．(0分)[ID ：12082]设f(x)＝()2,01,0x a x x a x x ⎧-≤⎪⎨++>⎪⎩若f(0)是f(x)的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[－1，2]B ．[－1，0]C ．[1，2]D ．[0，2]9．(0分)[ID ：12058]已知函数()2log 14x f x x ⎧+=⎨+⎩0x x >≤，则()()3y f f x =-的零点个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．610．(0分)[ID ：12057]设函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,则实数的a取值范围是( ) A ．()()1,00,1-⋃ B ．()(),11,-∞-⋃+∞ C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃11．(0分)[ID ：12031]设函数()f x 是定义为R 的偶函数，且()f x 对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+且当[]2,0x ∈-时， ()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()log 20(1a f x x a -+=>恰好有3个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．()1,2B ．()2,+∞C．(D．)212．(0分)[ID ：12030]若函数ya >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a56＋log a 485＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．413．(0分)[ID ：12072]设()f x 是R 上的周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有()()0f x f x --=，当[]1,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()()log 10a f x x -+=(0a >且1a ≠)恰有五个不相同的实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]3,5B ．()3,5C ．[]4,6D ．()4,614．(0分)[ID ：12064]下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ）A ．1ln||y x = B ．3y x = C ．||2x y =D ．cos y x =15．(0分)[ID ：12040]下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是 A ．11y x=- B ．cos y x =C ．ln(1)y x =+D ．2x y -=二、填空题16．(0分)[ID ：12228]定义在R 上的奇函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增，且f （4）=0，则不等式f （x ）≥0的解集是___． 17．(0分)[ID ：12225]若155325a b c ===，则111a b c+-=__________． 18．(0分)[ID ：12202]已知函数()22ln 0210x x f x x x x ⎧+=⎨--+≤⎩，＞，，若存在互不相等实数a b c d 、、、，有()()()()f a f b f c f d ===，则+++a b c d 的取值范围是______. 19．(0分)[ID ：12186]若函数cos ()2||xf x x x=++，则11(lg 2)lg (lg 5)lg 25f f f f ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______. 20．(0分)[ID ：12184]已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x 成立，则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝ ． 21．(0分)[ID ：12175]若函数()()()()22,0,0x x x f x g x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩为奇函数，则()()1f g -=________．22．(0分)[ID ：12171]对于复数a bc d ，，，，若集合{}S a b c d =，，，具有性质“对任意x y S ∈，，必有xy S ∈”，则当221{1a b c b===，，时，b c d ++等于___________23．(0分)[ID ：12168]若集合{||1|2}A x x =-<，2|04x B x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则A B =______.24．(0分)[ID ：12145]已知函数2,01,()1(1),13,2x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩则关于x 的方程4()0x f x k -=的所有根的和的最大值是_______.25．(0分)[ID ：12212]设A,B 是两个非空集合，定义运算A ×B ={x|x ∈A ∪B,且x ∉A ∩B}．已知A ={x|y =√2x −x 2}，B ={y|y =2x ,x >0}，则A ×B =________.三、解答题26．(0分)[ID ：12323]定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()y f x =满足()()1f xy f x f y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且函数()f x 在(),0-∞上是减函数.（1）求()1f -，并证明函数()y f x =是偶函数； （2）若()21f =，解不等式4121f f x x ⎛⎫⎛⎫--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 27．(0分)[ID ：12299]已知函数()()4412log 2log 2f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.（1）当[]2,4x ∈时，求该函数的值域；（2）求()f x 在区间[]2,t （2t >)上的最小值()g t .28．(0分)[ID ：12295]科研人员在对某物质的繁殖情况进行调查时发现，1月、2月、3月该物质的数量分别为3、5、9个单位.为了预测以后各月该物质的数量，甲选择了模型2y ax bx c =++，乙选择了模型x y pq r =+，其中y 为该物质的数量，x 为月份数，a ，b ，c ，p ，q ，r 为常数.（1）若5月份检测到该物质有32个单位，你认为哪个模型较好，请说明理由. （2）对于乙选择的模型，试分别计算4月、7月和10月该物质的当月增长量，从计算结果中你对增长速度的体会是什么？29．(0分)[ID ：12266]为弘扬中华传统文化，学校课外阅读兴趣小组进行每日一小时的“经典名著”和“古诗词”的阅读活动. 根据调查，小明同学阅读两类读物的阅读量统计如下：小明阅读“经典名著”的阅读量()f t （单位：字）与时间t （单位：分钟）满足二次函数关系，部分数据如下表所示；阅读“古诗词”的阅读量()g t （单位：字）与时间t （单位：分钟）满足如图1所示的关系.（1）请分别写出函数()f t 和()g t 的解析式；（2）在每天的一小时课外阅读活动中，小明如何分配“经典名著”和“古诗词”的阅读时间，使每天的阅读量最大，最大值是多少？30．(0分)[ID ：12254]已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，为二次函数且顶点为(1,1)，(2)0f =.（1）求函数()f x 在R 上的解析式；（2）若函数()f x 在区间[1,2]a --上单调递增，求实数a 的取值范围.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．A 2．B 3．A 4．C 5．D 6．D 7．C 8．D9．C10．C11．D12．C13．D14．A15．D二、填空题16．-40∪4+∞）【解析】【分析】由奇函数的性质可得f（0）=0由函数单调性可得在（04）上f （x）＜0在（4+∞）上f（x）＞0结合函数的奇偶性可得在（-40）上的函数值的情况从而可得答案【详解】根17．1【解析】故答案为18．【解析】【分析】不妨设根据二次函数对称性求得的值根据绝对值的定义求得的关系式将转化为来表示根据的取值范围求得的取值范围【详解】不妨设画出函数的图像如下图所示二次函数的对称轴为所以不妨设则由得得结合图19．10【解析】【分析】由得由此即可得到本题答案【详解】由得所以则所以故答案为：1 0【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性化简求值20．7【解析】【分析】【详解】设则因为所以故答案为721．【解析】根据题意当时为奇函数则故答案为22．-1【解析】由题意可得：结合集合元素的互异性则：由可得：或当时故当时故综上可得：23．【解析】【分析】先分别求解出绝对值不等式分式不等式的解集作为集合然后根据交集概念求解的结果【详解】因为所以所以；又因为所以所以所以；则故答案为：【点睛】解分式不等式的方法：首先将分式不等式转化为整式24．5【解析】【分析】将化简为同时设可得的函数解析式可得当k等于8时与的交点的所有根的和的最大可得答案【详解】解：由可得：设由函数的性质与图像可得当k等于8时与的交点的所有根的和的最大此时根分别为：当时25．01∪2+∞【解析】【分析】分别确定集合AB然后求解A×B即可【详解】求解函数y=2x-x2的定义域可得：A=x|0≤x≤2求解函数y=2xx>0的值域可得B=x|x>1则A∪B=x|x≥0A∩B=三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】构造函数()log 2x xf x =，利用单调性比较大小即可. 【详解】构造函数()21log 1log 212log xx x f x x==-=-，则()f x 在()1,+∞上是增函数， 又()6a f =，()10b f =，()14c f =，故a b c <<. 故选A 【点睛】本题考查实数大小的比较，考查对数函数的单调性，考查构造函数法，属于中档题.2．B解析：B 【解析】 【分析】先化简集合A,B,再求BA 得解.【详解】由题得{}10|22{|1}x A x x x -=≥=≥，{}|0B y y =≥.所以{|01}BA x x =≤<.故选B 【点睛】本题主要考查集合的化简和补集运算，考查指数函数的单调性和对数函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．A解析：A 【解析】由对任意x 1，x 2 ∈ [0，＋∞)(x 1≠x 2)，有()()1212f x f x x x -- <0，得f (x )在[0，＋∞)上单独递减，所以(3)(2)(2)(1)f f f f <=-<，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行4．C解析：C 【解析】 【分析】首先将b 表示为对数的形式，判断出0b <，然后利用中间值以及对数、指数函数的单调性比较32与,a c 的大小，即可得到,,a b c 的大小关系. 【详解】因为154b=，所以551log log 104b =<=，又因为(133331log log 4log 3,log 4a ==∈，所以31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 又因为131133336,82c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，所以3,22c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以c a b >>. 故选：C. 【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较大小，难度一般.利用指、对数函数的单调性比较大小时，注意数值的正负，对于同为正或者负的情况可利用中间值进行比较.5．D解析：D 【解析】 【分析】可以得出11ln 32,ln 251010a c ==，从而得出c ＜a ，同样的方法得出a ＜b ，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】()ln 2ln 322210a f ===, ()1ln 255ln 5510c f ===,根据对数函数的单调性得到a>c, ()ln 333b f ==,又因为()ln 2ln8226a f ===，()ln 3ln 9336b f ===，再由对数函数的单调性得到a<b,∴c ＜a ，且a ＜b ；∴c ＜a ＜b ． 故选D ． 【点睛】考查对数的运算性质，对数函数的单调性．比较两数的大小常见方法有：做差和0比较，做商和1比较，或者构造函数利用函数的单调性得到结果.6．D解析：D 【解析】 【分析】函数2()2log x x f x =+，2()2log x x g x -=+，2()2log 1x x h x =-的零点可以转化为求函数2log x y =与函数2x y =-，2x y -=-,2x y -=的交点，再通过数形结合得到a ，b ，c 的大小关系. 【详解】令2()2log 0x f x x =+=，则2log 2x x =-．令12()2log 0xg x x -=-=，则2log 2x x -=-．令2()2log 10x x h x =-=，则22log 1x x =,21log 22xx x -==． 所以函数2()2log x x f x =+，2()2log x x g x -=+，2()2log 1x x h x =-的零点可以转化为求函数2log y x =与函数2log x y =与函数2x y =-，2x y -=-,2x y -=的交点，如图所示，可知01a b <<<，1c >， ∴a b c <<．故选:D ． 【点睛】本题主要考查函数的零点问题，考查对数函数和指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7．C解析：C 【解析】 【分析】根据函数()2sin f x x x =是奇函数，且函数过点[],0π，从而得出结论．【详解】由于函数()2sin f x x x =是奇函数，故它的图象关于原点轴对称，可以排除B 和D ；又函数过点(),0π，可以排除A ，所以只有C 符合． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查奇函数的图象和性质，正弦函数与x 轴的交点，属于基础题．8．D解析：D 【解析】 【分析】由分段函数可得当0x =时，2(0)f a =，由于(0)f 是()f x 的最小值，则(,0]-∞为减函数，即有0a ≥，当0x >时，1()f x x a x=++在1x =时取得最小值2a +，则有22a a ≤+，解不等式可得a 的取值范围.【详解】因为当x≤0时，f(x)＝()2x a -，f(0)是f(x)的最小值，所以a≥0.当x ＞0时，1()2f x x a a x=++≥+，当且仅当x ＝1时取“＝”． 要满足f(0)是f(x)的最小值，需22(0)a f a +>=，即220a a --≤，解得12a -≤≤， 所以a 的取值范围是02a ≤≤， 故选D. 【点睛】该题考查的是有关分段函数的问题，涉及到的知识点有分段函数的最小值，利用函数的性质，建立不等关系，求出参数的取值范围，属于简单题目.9．C解析：C 【解析】 【分析】 由题意，函数()()3y ff x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根，进而可得答案. 【详解】 由题意，函数()()3y ff x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，如图所示，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根11t =-，214t =，34t =， 则()1f x =- 有一个解，()14f x =有一个解，()4f x =有三个解， 故方程()()3ff x =有5个解.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中合理利用换元法，结合图象，求得方程()3f t =的根，进而求得方程的零点个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用.10．C解析：C 【解析】【分析】 【详解】因为函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,所以220log log a a a >⎧⎨>-⎩或()()122log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩，解得1a >或10a -<<，即实数的a 取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故选C. 11．D解析：D 【解析】∵对于任意的x ∈R ,都有f (x −2)=f (2+x ),∴函数f (x )是一个周期函数，且T =4.又∵当x ∈[−2,0]时,f (x )=1 2x⎛⎫ ⎪⎝⎭−1,且函数f (x )是定义在R 上的偶函数， 若在区间(−2,6]内关于x 的方程()()log 20a f x x -+=恰有3个不同的实数解， 则函数y =f (x )与y =()log 2a x +在区间(−2,6]上有三个不同的交点，如下图所示：又f (−2)=f (2)=3，则对于函数y =()log 2a x +，由题意可得，当x =2时的函数值小于3，当x =6时的函数值大于3，即4a log <3,且8a log >3,34a <2， 故答案为34,2).点睛：方程根的问题转化为函数的交点，利用周期性，奇偶性画出所研究区间的图像限制关键点处的大小很容易得解12．C解析：C 【解析】 【分析】先分析得到a ＞1，再求出a =2,再利用对数的运算求值得解. 【详解】由题意可得a －a x ≥0，a x ≤a ，定义域为[0，1]， 所以a >1，y ＝x a a -在定义域为[0，1]上单调递减，值域是[0，1]， 所以f (0)＝1a -＝1，f (1)＝0， 所以a ＝2，所log a56＋log a 485＝log 256＋log 2485＝log 28＝3. 故选C 【点睛】本题主要考查指数和对数的运算，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.13．D解析：D 【解析】由()()0f x f x --=，知()f x 是偶函数，当[]1,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且()f x 是R 上的周期为2的函数，作出函数()y f x =和()y log 1a x =+的函数图象，关于x 的方程()()log 10a f x x -+=(0a >且1a ≠)恰有五个不相同的实数根，即为函数()y f x =和()y log 1a x =+的图象有5个交点，所以()()1log 311log 511a aa >⎧⎪+<⎨⎪+>⎩，解得46a <<.故选D.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．14．A解析：A 【解析】本题考察函数的单调性与奇偶性 由函数的奇偶性定义易得1ln||y x =，||2x y =，cos y x =是偶函数，3y x =是奇函数 cos y x =是周期为2π的周期函数，单调区间为[2,(21)]()k k k z ππ+∈0x >时，||2x y =变形为2x y =，由于2>1,所以在区间(0,)+∞上单调递增 0x >时，1ln||y x =变形为1ln y x =，可看成1ln ,y t t x==的复合，易知ln (0)y t t =>为增函数，1(0)t x x=>为减函数，所以1ln ||y x =在区间(0,)+∞上单调递减的函数故选择A15．D解析：D 【解析】 试题分析：11y x=-在区间()1,1-上为增函数；cos y x =在区间()1,1-上先增后减；()ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数；2x y -=在区间()1,1-上为减函数，选D.考点：函数增减性二、填空题16．-40∪4+∞）【解析】【分析】由奇函数的性质可得f （0）=0由函数单调性可得在（04）上f （x ）＜0在（4+∞）上f （x ）＞0结合函数的奇偶性可得在（-40）上的函数值的情况从而可得答案【详解】根 解析： [-4，0]∪[4，+∞） 【解析】 【分析】由奇函数的性质可得f （0）=0，由函数单调性可得在（0，4）上，f （x ）＜0，在（4，+∞）上，f （x ）＞0，结合函数的奇偶性可得在（-4，0）上的函数值的情况，从而可得答案. 【详解】根据题意，函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，则f （0）=0，又由f （x ）在区间（0，+∞）上单调递增，且f （4）=0，则在（0，4）上，f （x ）＜0，在（4，+∞）上，f （x ）＞0，又由函数f （x ）为奇函数，则在（-4，0）上，f （x ）＞0，在（-∞，-4）上，f （x ）＜0， 若f （x ）≥0，则有-4≤x≤0或x≥4， 则不等式f （x ）≥0的解集是[-4，0]∪[4，+∞）；故答案为：[-4，0]∪[4，+∞）． 【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，属于基础题．17．1【解析】故答案为解析：1 【解析】155325a b c ===因为，1553log 25,log 25,log 25a b c ∴===，252525111log 15log 5log 3a b c∴+-=+-25log 251==，故答案为1. 18．【解析】【分析】不妨设根据二次函数对称性求得的值根据绝对值的定义求得的关系式将转化为来表示根据的取值范围求得的取值范围【详解】不妨设画出函数的图像如下图所示二次函数的对称轴为所以不妨设则由得得结合图解析：341112,1e e e ⎡⎫+--⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】不妨设,0,,0a b c d ≤>，根据二次函数对称性求得+a b 的值.根据绝对值的定义求得,c d 的关系式，将d 转化为c 来表示，根据c 的取值范围，求得+++a b c d 的取值范围. 【详解】不妨设,0,,0a b c d ≤>，画出函数()f x 的图像如下图所示.二次函数221y x x =--+的对称轴为1x =-，所以2a b +=-.不妨设c d <，则由2ln 2ln c d +=+得2ln 2ln c d --=+，得44,e cd e d c--==，结合图像可知12ln 2c ≤+<，解得(43,c e e --⎤∈⎦，所以(()4432,e a b c d c c e e c---⎤+++=-++∈⎦，由于42e y x x -=-++在(43,e e --⎤⎦上为减函数，故4341112,21e e e c c e -⎡⎫+--++∈⎢⎣-⎪⎭.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查二次函数的图像，考查含有绝对值函数的图像，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.19．10【解析】【分析】由得由此即可得到本题答案【详解】由得所以则所以故答案为：10【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性化简求值解析：10 【解析】 【分析】 由cos ()2||xf x x x=++，得()()42||f x f x x +-=+，由此即可得到本题答案. 【详解】 由cos ()2||xf x x x =++，得cos()cos ()2||2||x x f x x x x x--=+-+=+--，所以()()42||f x f x x +-=+，则(lg 2)(lg 2)42|lg 2|42lg 2f f +-=+=+，(lg5)(lg5)42|lg5|42lg5f f +-=+=+，所以，11(lg 2)lg (lg 5)lg 42lg 242lg 51025f f f f ⎛⎫⎛⎫+++=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：10 【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性化简求值.20．7【解析】【分析】【详解】设则因为所以故答案为7解析：7 【解析】 【分析】 【详解】 设， 则，因为11222⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x ， 所以，,故答案为7.21．【解析】根据题意当时为奇函数则故答案为 解析：15-【解析】根据题意，当0x <时，()()(),f x g x f x =为奇函数，()()()()()()()()()211113(323)15f g f f f f f f f -=-=-=-=-=-+⨯=-，则故答案为15-.22．-1【解析】由题意可得：结合集合元素的互异性则：由可得：或当时故当时故综上可得：解析：-1 【解析】由题意可得：21,1b a == ，结合集合元素的互异性，则：1b =- ， 由21c b ==- 可得：c i = 或c i =- ， 当c i = 时，bc i S =-∈ ，故d i =- ， 当c i =- 时，bc i S =∈ ，故d i = ， 综上可得：1b c d ++=- .23．【解析】【分析】先分别求解出绝对值不等式分式不等式的解集作为集合然后根据交集概念求解的结果【详解】因为所以所以；又因为所以所以所以；则故答案为：【点睛】解分式不等式的方法：首先将分式不等式转化为整式 解析：()1,2-【解析】 【分析】先分别求解出绝对值不等式、分式不等式的解集作为集合,A B ，然后根据交集概念求解A B 的结果.【详解】因为12x -<，所以13x，所以()1,3A =-；又因为204x x -<+，所以()()4204x x x ⎧+-<⎨≠-⎩，所以42x -<<，所以()4,2B =-； 则()1,2AB =-.故答案为：()1,2-. 【点睛】解分式不等式的方法：首先将分式不等式转化为整式不等式，若对应的整式不等式为高次可因式分解的不等式，可采用数轴穿根法求解集.24．5【解析】【分析】将化简为同时设可得的函数解析式可得当k 等于8时与的交点的所有根的和的最大可得答案【详解】解：由可得：设由函数的性质与图像可得当k 等于8时与的交点的所有根的和的最大此时根分别为：当时解析：5 【解析】 【分析】将2,01,()1(1),13,2xx f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩化简为2,01,1()2,12,412,23,16x x xx f x x x ⎧⎪<≤⎪⎪=⨯<≤⎨⎪⎪⨯<≤⎪⎩同时设4()()x f x g x =，可得()g x 的函数解析式，可得当k 等于8时与()g x 的交点的所有根的和的最大，可得答案. 【详解】解：由2,01,()1(1),13,2xx f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩可得：2,01,1()2,12,412,23,16x x xx f x x x ⎧⎪<≤⎪⎪=⨯<≤⎨⎪⎪⨯<≤⎪⎩设4()()xf xg x =，8,01,1()8,12,418,23,16x x x x g x x x ⎧⎪<≤⎪⎪=⨯<≤⎨⎪⎪⨯<≤⎪⎩由()g x 函数的性质与图像可得，当k 等于8时与()g x 的交点的所有根的和的最大， 此时根分别为：当01x <≤时，188x =，11x =， 当12x <≤时，21848x ⨯=，253x =， 当23x <≤时，318816x ⨯=，373x =，此时所有根的和的最大值为：1235x x x ++=， 故答案为：5. 【点睛】本题主要考查分段函数的图像与性质，注意分段函数需分对分段区间进行讨论，属于中档题.25．01∪2+∞【解析】【分析】分别确定集合AB 然后求解A×B 即可【详解】求解函数y=2x-x2的定义域可得：A=x|0≤x≤2求解函数y=2xx>0的值域可得B=x|x>1则A ∪B=x|x≥0A∩B= 解析：[0,1]∪(2,+∞)【解析】 【分析】分别确定集合A ,B ，然后求解A ×B 即可. 【详解】求解函数y =√2x −x 2的定义域可得：A ={x|0≤x ≤2}, 求解函数y =2x ,x >0的值域可得B ={x|x >1}， 则A ∪B ={x|x ≥0}，A ∩B ={x|1<x ≤2}结合新定义的运算可知：A ×B = {x|0≤x ≤1或x >2}， 表示为区间形式即[0,1]∪(2,+∞). 【点睛】本题主要考查集合的表示及其应用，新定义知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题 26．（1）()10f -=，证明见解析；（2）[1,2)(2,3]⋃ 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式，对自变量进行合理赋值即可求得函数值，同时也可以得到()f x 与()f x -之间的关系，进而证明；（2）利用函数的奇偶性和单调性，合理转化求解不等式即可. 【详解】（1）令10y x =≠，则()111f x f x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， 得()()()10f f x f x =-=，再令1x =，1y =-，可得()()()111f f f -=--， 得()()2110f f -==，所以()10f -=， 令1y =-，可得()()()()1f x f x f f x -=--=， 又该函数定义域关于原点对称， 所以()f x 是偶函数，即证.（2）因为()21f =，又该函数为偶函数，所以()21f -=. 因为函数()f x 在(),0-∞上是减函数，且是偶函数 所以函数()f x 在()0,∞+上是增函数.又412f f x x ⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2424x f x f x x -⎛⎫=⋅=-⎪⎝⎭， 所以()()242f x f -≤，等价于240,242,x x ->⎧⎨-≤⎩或240,242,x x -<⎧⎨-≥-⎩解得23x <≤或12x ≤<. 所以不等式4121f f x x ⎛⎫⎛⎫--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解集为[1,2)(2,3]⋃. 【点睛】本题考查抽象函数求函数值、证明奇偶性，以及利用函数奇偶性和单调性求解不等式.27．（1）1,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）()2442log 3log 1,21,8t t t g t t ⎧-+<<⎪=⎨-≥⎪⎩ 【解析】【分析】(1)令4log m x =,则可利用换元法将题转化为二次函数值域问题求解;(2)根据二次函数的性质,分类讨论即可.【详解】(1)令4log m x =,则[]2,4x ∈时,1,12m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 则()()22131()222312248f x h m m m m m m ⎛⎫⎛⎫==--=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 故当34m =时,()f x 有最小值为18-,当12m =或1时,()f x 有最大值为0, ∴该函数的值域为1,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦; (2)由(1)可知()2231()231248f x h m m m m ⎛⎫==-+=-- ⎪⎝⎭, []2,x t ∈,41,log 2m t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦, 当413log 24t <<,即2t <<,函数()h m 在41,log 2t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减, ()()()4min log g t h m h t ==2442log 3log 1t t =-+, 当43log 4t ≥,即t ≥时, 函数()h m 在13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在43,log 4t ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增, ()()min 3148g t h m h ⎛⎫===- ⎪⎝⎭, 综上所述:()2442log 3log 1,21,8t t t g t t ⎧-+<<⎪=⎨-≥⎪⎩. 【点睛】本题考查对数函数综合应用,需结合二次函数相关性质答题,属于中档题.28．（1）乙模型更好，详见解析（2）4月增长量为8，7月增长量为64，10月增长量为512；越到后面当月增长量快速上升.【解析】【分析】（1）根据题意分别求两个模型的解析式，然后验证当5x =时的函数值，最接近32的模型好；（2）第n 月的增长量是()()1f n f n --，由增长量总结结论.【详解】（1）对于甲模型有3425939a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得：113a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩23y x x ∴=-+当5x =时，23y =.对于乙模型有23359pq r pq r pq r +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得：121p q r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，21x y ∴=+当5x =时，33y =.因此，乙模型更好；（2）4x =时，当月增长量为()()4321218+-+=， 7x =时，当月增长量为()()76212164+-+=，10x =时，当月增长量为()()1092121512+-+=，从结果可以看出，越到后面当月增长量快速上升.（类似结论也给分）【点睛】本题考查函数模型，意在考查对实际问题题型的分析能力和计算能力，属于基础题型，本题的关键是读懂题意.29．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）设f （t ）=2a ?t bt +，代入（10，2700）与（30，7500），解得a 与b. 令()g t ＝kt ，(040)t ≤<,代入（40，8000），解得k,再令()g t ＝mt +b ，()4060t ≤≤,代入（40，8000），（60，11000），解得m ，b 的值．即可得到()f t 和()g t 的解析式；（2）由题意知每天的阅读量为()()()h t f t g t =+=28012000t t -++，分020t ≤≤和2060t <≤两种情况，分别求得最大值，比较可得结论.【详解】（1）因为f （0）=0，所以可设f （t ）=2a ?t bt +，代入（10，2700）与（30，7500），解得a=-1,b=280.所以()2280f t t t =-+ ,又令()g t ＝kt ，(040)t ≤<,代入（40，8000），解得k=200,令()g t ＝mt +b ，()4060t ≤≤,代入（40，8000），（60，11000），解得m=150,b=2000，所以 ()()200(040)150********t t g t t t ≤<⎧=⎨+≤≤⎩. （2）设小明对“经典名著”的阅读时间为()060t t ≤≤，则对“古诗词”的阅读时间为60t -，① 当06040t ≤-<，即2060t <≤时，()()()()228020060h t f t g t t t t =+=-++- =28012000t t -++=()24013600t --+，所以当40t =时，()h t 有最大值13600．当406060t ≤-≤，即020t ≤≤时，h ()()()()2280150602000t f t g t t t t =+=-++-+ =213011000t t -++，因为()h t 的对称轴方程为65t =，所以 当020t ≤≤时，()h t 是增函数，所以 当20t =时，()h t 有最大值为13200.因为 13600>13200，所以阅读总字数()h t 的最大值为13600，此时对“经典名著”的阅读时间为40分钟，对“古诗词”的阅读时间为20分钟．【点睛】本题考查了分段函数解析式的求法及应用，二次函数的图象和性质，难度中档． 30．（1）()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+>=⎨+≤⎩（2）(]1,3 【解析】【分析】（1）当0x >时，设出二次函数顶点式，结合(2)0f =求得二次函数解析式.根据奇函数的性质，求得当0x <时，()f x 的解析式，从而求得()f x 在R 上的解析式.（2）由（1）画出()f x 的图像，结合()f x 在区间[1,2]a --上单调递增列不等式，解不等式求得a 的取值范围.【详解】（1）∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴()()f x f x -=-且()00f =当0x >时由已知可设2()(1)1(0)f x a x a =-+≠，又(2)0f =解得1a =-所以0x >，2()2f x x x =-+当0x <时，0x ->，∴()()()2222f x f x x x x x ⎡⎤=--=----=+⎣⎦ 又()0f 满足()22f x x x =+∴()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+>=⎨+≤⎩ （2）由（1）可得图象如下图所示：由图可知()f x 的增区间为[1,1]-∵在()f x 区间[1,2]a --上单调递增，∴121a -<-≤解得：(]1,3a ∈∴a 的取值范围为：(]1,3【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查二次函数解析式的求法，考查函数的单调性，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.。
2015-2016天津耀华高一数学期中试卷
天津市耀华中学2015—2016学年第一学期期中形成性检测高一年级（实验三）数学试卷一、选择题1.集合{}7654321，，，，，，=U ，{}7,5,4,2=A ，{}5,4,3=B ,则()()=B C A C U U Y （ ） A.{}6,1 B.{}5,4 C.{}7,5,4,3,2 D.{}7,6,3,2,12.已知集合{}72≤≤-=x x A ，{}121-<<+=m x m x B ，若A B A =Y ，则实数m 的取值范围是（ ）A.43-≤≤mB.43<<-mC.42<<mD.4≤m3.下列式子中正确的是（ ） A.x x =2 B.()2-12-12332=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ C.ab b a lg lg log =D.()y x y x a a a log log log +=+4.若,log ,,323223x c x b a x ==⎪⎭⎫ ⎝⎛=当1>x 时，c b a ,,的大小关系是（ ） A.c b a << B.b a c << C.a b c << D.b c a <<5.方程7log 4=+x x 的解所在的区间是（ ） A.()21，B.()4,3C.()6,5D.()7,6设()()⎩⎨⎧≥-<=-2,1log 2,2231x x x e x f x ，则不等式()2>x f 的解集为（ ） A.()()+∞,32,1Y B.()()+∞,102,1YC.()+∞,10D.()2,17.设()x f 是定义在R 上的奇函数，且在()∞+，0上单调递增，又()03=-f ，则()0>x xf 的解集为（ ）A.()()3,,3-∞-+∞YB.()()0,3,3-+∞YC.()()3,00,3Y -D.()()3,3,0-∞-Y8.设B A ,是两个非空集合，定义{}B A x B A x x B A I Y ∉∈=⨯且，已知 {}22x x y x A -==，{}0,2>==x y y B x ，则=⨯B A （ ）A.[]()+∞,21,0YB.[)()+∞,21,0YC.[]1,0D.[]2,09.函数()()]12lg[2+-+=x m x x f 的值域为R ，则实数m 的取值范围是（ ） A.()40，B.[]40，C.()()∞+∞，，40-YD.(][)∞+∞，，40-Y10.函数()x f 对于任意实数x 满足条件()()x f x f 12=+.若()51-=f ，则()()=5f f （ ） A.51-B.51C.5-D.5二、填空题11.函数()()12log 21-=x x f 的定义域为12.函数322-+=x x y 的单调减区间为13.规定记号“⊗”表示一种运算，即),(2R b a b a ab b a ∈++=⊗，若0>⊗x k 对任意实数x 都成立，则实数k 的取值范围是14.定义在区间()11-，内的函数()x f 满足()()()1lg 2+=--x x f x f ，则()x f 的解析式为15.若方程aa x -=1log 21在区间()10，上有解，则实数a 的取值范围是16.定义在()∞+∞，-上的偶函数()x f 满足()()x f x f -=+1，且在[]01-，上是增函数，下面是关于()x f 的判断：①()()x f x f =+2；②()x f 的图像关于直线1=x 对称；③()x f 在[]10，上是增函数； ④()()02f f =.其中正确的判断是三、解答题17.已知集合{}{}0,03222≤++=>--=b ax x x B x x x A ，且R B A =Y ， {}43≤<=x x B A I ，求b a ,得值.18.已知3222+-=ax x y 在区间[]11-，上的最小值是()a f ，试求()a f 的解析式及其值域.19.已知函数()xa x f 11-=，0,0>>a x （I ）讨论()x f 在定义域上的单调性，并给予证明（II ）若()x f 在[]n m ,上的值域是[]n m ,()n m <<0，求a 的取值范围.。
天津一中2014-2015高一年级数学期末试卷
天津一中2014-2015高一年级数学期末试卷一.选择题(每小题3分，共30分)1.若a<b<0,则下列不等式不能成立的是A.1a >1b B .2a >2b C.|a|>|b| D.(12)a >(12)b 2.不等式2x 2+ax+b>0的解集是{x|x>3或x<-2},则a 、b 的值分别是A.2,12B.2,-2C.2,-12 D .-2,-123.如图,方程y=ax+1a表示的直线可能是 B4.设x,y 满足24,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩则z=x+yA.有最小值2,最大值3B.有最大值3,无最小值C .有最小值2,无最大值 D.既无最小值,也无最大值5.等差数列的首项为125,且从第10项开始为比1大的项,则公差d 的取值范围是 A.d>875 B.d<325 C.875<d<325 D .875<d≤3256.从装有4个红球和3个黑球的口袋内任取3个球,那么互斥而不对立的事件是A.至少有一个红球与都是黑球B.至少有一个红球与恰有一个黑球C.至少有一个红球与至少有一个黑球D .恰有一个红球与恰有两个红球7.已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x≤0－x ＋2， x>0,则不等式f(x)≥x 2的解集为 A .[-1,1] B.[-2,2] C.[-2,1] D.[-1,2]8.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球,2个白球和3个黑球,从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于A.15 B .25 C.35 D.459.已知f(x)是定义在R 上的奇函数,当x≤0时, f(x)=x 2,若∀x ∈[t,t+1],不等式f(x)≤9f(x+t)恒成立,则实数t 的最大值为A .25- B.32- C.23- D.210.如果执行下面的程序框图,那么输出的S=A.2450B.2500 C .2550 D.2652二.填空题(每小题4分，共24分)11.若直线x+my+2=0与2x+3y+1=0互相垂直,则m=_____.-2/312.已知1,a 1,a 2,4成等差数列,1,b 1,b 2,b 3,4成等比数列,则a 1＋a 2b 2的值为_ .5/2 13. 某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为 .1514.在区间[-1,2]上随机取一个数x,则x ∈[0,1]的概率为______．1/315.把J 、Q 、K 三张牌随机地排成一排,则JK 两牌相邻而排的概率为_____．2/316.已知不等式y x a y x +≤+对一切x>0,y>0恒成立,则实数a 的取值范围为 [√2,+∞)三.解答题(共46分)17.袋中有4个不同的红球,2个不同的白球,从中任取2个球.试求：(1)所取的2球都是红球的概率；(2)所取的2球不是同一颜色的概率．解：(1)将4红球编号为1,2,3,4；2个白球编号为5,6.任取2球，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“都是红球”这一事件，则A 包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P(A)＝615＝25.(2)基本事件同(1)，用B 表示“不同色”这一事件，则B 包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P(B)＝815.(12分)18.在△ABC 中，a,b,c 分别为内角A,B,C 的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC（1）求A 的大小；（2）求sinB+sinC 的最大值.解：（1）由已知，根据正弦定理得22(2)(2)a b c b c b c =+++即 222a b c bc =++ 由余弦定理得 2222cos a b c bc A =+- 故 1c o s 2A =-，A=120° （2）由（1）得： sin sin sin sin(60)BC B B +=+︒-1sin 2sin(60)B B B =+=︒+ 故当B=30°时，sinB+sinC 取得最大值1。
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点评： 两个向量夹角为锐角，则两个向量的数量积为正； 两个向量夹角为钝角，则两个向量的数量积为负； 两个向量夹角为直角，则两个向量的数量积为零； 4．若 ，则tanα=（） A． B． 2 C． D． ﹣2 考点： 同角三角函数基本关系的运用． 分析： 本小题主要考查三角函数的求值问题，需要把正弦和余弦化为 正切和正割，两边平方，根据切割的关系进行切割互化，得到关于正切 的方程，解方程得结果． 解答： 解：∵cosα+2sinα=﹣ ， ∴cosα≠0， 两边同时除以cosα得1+2tanα=﹣ ， ∴（1+2tanα）2=5sec2α=5（1+tan2α）， ∴tan2α﹣4tanα+4=0， ∴tanα=2． 故选B． 点评： 同角三角函数之间的关系，其主要应用于同角三角函数的求值 和同角三角函数之间的化简和证明．在应用这些关系式子的时候就要注 意公式成立的前提是角对应的三角函数要有意义． 5．函数 的单调增区间是（） A． B． C．
， 满足 且 与 的夹角为 ，则 = ． 考点： 平面向量数量积的运算． 分析： 根据 可得答案． 解答： 解：∵ 且 与 的夹角为 ∴ =7 ∴则 = 故答案为： 点评： 本题主要考查向量的数量积运算，属基础题．
13．已知函数f（x）=Atan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ），y=f（x）的部分图象如图，则f（ ）= ．
3
C．
4
D．
6
二倍角的正弦；弦切互化． 计算题． 利用两角和公式把原式的分母展开后化简，把tanα的值代入即 解：
． 解答： 解：由题意曲线y=Asinωx+a（A＞0，ω＞0）的图象关于直线 y=a的对称 又截直线y=2及y=﹣1所得的弦长相等 所以，两条直线y=2及y=﹣1关于y=a对称 a= = 又弦长相等且不为0 故振幅A大于 = A＞ 故有a= ，A＞ 故应选A． 点评： 本题考点y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，考查三角函数 的图象的性质及其与相应参数的关系，考查对三角函数图象的特征理解 的能力． 二、填空题： 11．已知向量 =（2，3）， =（﹣l，2），若 与
，又由 与 的夹角为锐角，故 • ＞0，由此得到一个关于λ的不等式，解不等式即可得到实数λ的取值范 围，但要注意， 与 同向的排除． 解答： 解：∵ 与 为互相垂直的单位向量 ∴ ， ， 又∵ ， 且 与 的夹角为锐角， ∴ ， 但当λ=﹣2时， ，不满足要求 故满足条件的实数λ的取值范围是（﹣∞，﹣2） 故选A
=（1，cosθ），﹣ ＜θ＜ ． （Ⅰ）若 ，求θ； （Ⅱ）求 |的最大值． 21．已知函数f（x）= sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，且函数 y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为 ． （1）求f（ ）的值； （2）将函数y=f（x）的图象向右平移 个单位后，得到函数y=g（x）的图象．求g（x）的单调递减区间．
= =cos4x， 故函数的最小正周期为 T= = ， 故选：B． 点评： 本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角函数的周期性及 其求法，利用了y=Asin（ωx+φ）的周期等于 T= ，属于中档题． 8．设f（x）是定义域为R，最小正周期为
的函数，若
，则 等于（） A． B． 1
C．
0
D．
考点： 三角函数的化简求值． 专题： 计算题． 分析： 先根据函数的周期性可以得到 =f（ ）=f（ ），再代入到函数解析式中即可求出答案． 解答： 解：∵
只需将函数y=sin2x的图象向左平移 个单位得到函数 的图象． 故选A． 点评： 本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题． 3．已知 与 为互相垂直的单位向量， ， 且 与 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（） A． （﹣∞，﹣2） B． （ ，+∞） C． （﹣2， ） D． （﹣ ） 考点： 平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角． 分析： 本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，由 与 为互相垂直的单位向量，我们易得 ， ，代入 ， 可求出 •
D． 考点： 正弦函数的单调性． 专题： 计算题；转化思想． 分析： 先根据符合函数的单调性把问题转化为求t=sin（ ﹣2x）=﹣sin（2x﹣ ）大于0的单调递增区间；再转化为求y=sin（2x﹣ ）小于0 的减区间，结合正弦函数的单调性即可求出结论． 解答： 解：由复合函数的单调性知， 求函数 y=lgsin（ ﹣2x）的单调递增区间即是求 t=sin（ ﹣2x）=﹣sin（2x﹣ ）大于0的单调递增区间． 即求y=sin（2x﹣ ）小于0的减区间， ∴2kπ﹣π＜2x﹣ ≤2kπ﹣ ⇒kπ﹣ ＜x≤kπ ，k∈Z． 故选：C． 点评： 本题考查求正弦函数的单调性，主要考查了复合函数的单调性 的判断规则及函数的单调区间的求法，求解本题关键是熟知复合函数单 调性的判断方法以及三角函数单调区间的求法，本题易错点是忘记求函
数的定义域，导致错误选择答案A． 6．已知向量 ，则 |的最大值，最小值分别是（） A． 4 ，0 B． 4，4 C． 16，0 D． 4，0 考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应用． 分析： 首先求出2 的坐标，然后利用模的平方与向量的平方相等讲所求的式子平方，化简 三角函数求最值． 解答： 解：由已知得到 =（2cosθ ，2sinθ+1）， 所以 |2=（2cosθ ）2+（2sinθ+1）2=8+8sin（ ）， 所以 |2的最大值，最小值分别是16和0， 所以 |的最大值，最小值分别是4，0．
，所以A=1，所以f（x）=tan（2x+ ）则f（ ）=tan（ ）= 故答案为： 点评： 本题是基础题，考查正切函数的图象的求法，确定函数的解析 式的方法，求出函数值，考查计算能力． 14．已知f（x）=sin （ω＞0），f（ ）=f（ ），且f（x）在区间 上有最小值，无最大值，则ω= ． 考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 专题： 计算题；作图题；压轴题． 分析： 根据f（ ）=f（ ），且f（x）在区间 上有最小值，无最大值，确定最小值时的x值，然后确定ω的表达式，进 而推出ω的值． 解答： 解：如图所示，
天津市耀华中学2014-2015学年高一上学期期末数 学试卷
一、选择题： 1．设 ， 是两个不共线向量，若向量 与向量 共线，则λ的值为（） A． B． ﹣2 C． D． 2．为得到函数 的图象，只需将函数y=sin2x的图象（） A． 向左平移 个长度单位 B． 向右平移 个长度单位 C． 向左平移 个长度单位 D． 向右平移 个长度单位 3．已知 与 为互相垂直的单位向量， ，
故选：D． 点评： 本题考查了平面向量的坐标运算，包括加减法、数量积；借助 于三角函数的值域求最值． 7．函数y= 的最小正周期是（） A． B． C． π D． 2π 考点： 三角函数的周期性及其求法． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： 利用同角三角函数的基本关系化简函数的解析式为y=cos4x， 再利用y=Asin（ωx+φ）的周期等于 T= ，得出结论． 解答： 解：函数y=
二、填空题： 11．已知向量 =（2，3）， =（﹣l，2），若 与 垂直，则m等于． 12．若向量 ， 满足 且 与 的夹角为 ，则 =． 13．已知函数f（x）=Atan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ），y=f（x）的部分图象如图，则f（ ）=．
14．已知f（x）=sin （ω＞0），f（ ）=f（ ），且f（x）在区间 上有最小值，无最大值，则ω=． 15．函数 的最大值等于． 16．若非零向量 、 ，满足 ，且 ，则 与 的夹角大小为．
三、解答题 17．已知cos（x﹣ ）= ，x∈（ ， ）． （1）求sinx的值； （2）求sin（2x ）的值． 18．已知△ABC三个顶点的直角坐标分别为A（3，4）、B（0，0）、 C（c，0）． （1）若 ，求c的值； （2）若c=5，求sinA的值． 19．已知 ． （1）求函数f（x）的最小正周期； （2）求函数f（x）的值域； （3）求函数f（x）的单调递增区间． 20．已知向量 =（sinθ，1），
，最小正周期为
=f（ ）=f（ ）=sin = 故选A． 点评： 题主要考查函数周期性的应用，考查计算能力，分段函数要注
意定义域，属于基础题． 9．若tanα=3，则 的值等于（） A． 2 B． 考点： 专题： 分析： 可． 解答： = =2tanα=6 故选D 点评： 本题主要考查了三角函数的恒等变换及化简求值．考查了基础 知识的运用． 10．若曲线y=Asinωx+a（A＞0，ω＞0）在区间 上截直线y=2与y=﹣1所得的弦长相等且不为0，则下列对a和A的描述正 确的是（） A． B． a=1，A＞1 C． ≤ D． a=1，A≤1 考点： y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义． 专题： 计算题；数形结合． 分析： 曲线y=Asinωx+a（A＞0，ω＞0）的性质知，在一个周期上截 直线y=2与y=﹣1所得的弦长相等且不为0，可知两条直线关于y=a对称， 由此对称性可求出a，又截得的弦长不为0，故可得振幅大于
考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 专题： 计算题；作图题；压轴题． 分析： 根据函数的图象，求出函数的周期，然后求出ω，确定A的 值，根据（ ，0）求出φ的值，图象经过（0.1）确定A的值，求出函数的解析式，然 后求出f（ ）即可． 解答： 解：由题意可知T= ，所以ω=2， 函数的解析式为：f（x）=Atan（ωx+φ），因为函数过（ ，0）所以0=Atan（ +φ）所以φ= ， 图象经过（0，1），所以，1=Atan
天津市耀华中学2014-2015学年高一上学期期末数 学试卷
一、选择题： 1．设
， 是两个不共线向量，若向量 与向量 共线，则λ的值为（） A． B． ﹣2 C． D． 考点： 平行向量与共线向量． 专题： 平面向量及应用． 分析： 根据向量共线的等价条件得 =m ，解方程即可得到结论． 解答： 解：∵向量 与向量 共线， ∴存在实数m，满足 =m ， 即3 +λ =m（2 ﹣3 ）