弹簧10大模型

图 1 图2“弹簧”模型10大问题太原市第十二中学 姚维明模型建构:在我们的日常生活中，弹簧虽然形态各异,大小不同,但是从弹簧秤,机动车的减震装置,各种复位按钮和机械钟表内的动力装置等,弹簧处处在为我们服务.因为弹簧本身的特性，如弹簧弹力的方向与弹簧所处的伸缩状态有关、弹力的大小与弹簧形变量大小有关；而且，弹簧在伸缩过程中涉及的物理过程较复杂，物理概念和规律较多，如力和加速度、功和能、冲量和动量等，因此，弹簧类试题多年来深受物理命题专家的青睐。

【模型】弹簧【特点】：（1）一般问题中的轻弹簧是一种理想模型，不计质量。

（2） 弹簧弹力不能突变，弹力变化需要形变量变化，需要时间的积累。

（3）弹力变化：F = kx 或△F =k △x ，其中F 为弹力（△F 为弹力变化），k 为劲度系数，x 为形变量（△x 为形变变化量）。

（4）弹簧可以贮存能量，弹力做功和弹性势能的关系为：W =－△E P 其中W 为弹簧弹力做功，△E P 为弹性势能变化。

另外， 弹性势能计算公式暂不做要求。

一、轻弹簧的弹力与弹簧秤的读数问题【典案1】如图1，四个完全相同的轻弹簧都处于水平位置，它们的右端受到大小相等的拉力F 作用，而左端的情况则各不相同：⑴弹簧的左端固定在墙上⑵弹簧的左端受到大小也为F 的拉力作用⑶弹簧的左端拴一小物块m ，物块在光滑的水平面上滑动⑷弹簧的左端拴一个小物块m ，物块在粗糙的水平面上滑动以1l 、2l 、3l 、4l 依次表示四条弹簧的伸长量，则有A 、1l 2lB 、4l >3lC 、1l >3lD 、2l =4l〖解析〗因轻弹簧自身质量不计，则轻弹簧的伸长量与轻弹簧上的弹力大小成正比，因为四种状态中轻弹簧的弹力均为F ，故四种状态轻弹簧的伸长量相同；选D【体验1】如图2，四个完全相同的弹簧秤都处于水平位置，它们的右端受到大小相等的拉力F 作用，而左端的情况则各不相同：⑴弹簧秤的左端固定在墙上⑵弹簧秤的左端受到大小也为F 的拉力作用⑶弹簧秤的左端拴一小物块m 1，物块在光滑的水平面上滑动⑷弹簧秤的左端拴一个小物块m 1，物块在粗糙的水平面上滑动以1l 、2l 、3l 、4l 依次表示四条弹簧的伸长量，则有A 、1l =2lB 、4l =3lC 、1l >3lD 、2l =4l〖解析〗弹簧秤的读数取决于弹簧的伸长量，而弹簧秤自身有质量，前两种情况弹簧秤处于平衡状态，则弹簧的伸长量相同，则读数相同；后两种情况弹簧秤处于加速状态，则弹簧上的弹力不等于F ，则读数不同。

对⑶设弹簧秤自身质量也为m 2，则有弹簧秤的读数为2111'm m F m a m F +== 对⑷设物块所受的滑动摩擦力为F ，弹簧秤自身质量为m 2,弹簧秤的拉力为F ’,物块与弹簧秤的共同加速度为21m m f F a +-=，则弹簧秤的读数为21211'm m fm Fm f a m F ++=+=,因此，应选A 、C 【点评】轻弹簧的伸长量或弹簧秤的读数只与弹簧上的弹力大小成正比，而当弹簧秤自身有质量时，弹簧秤的读数与作用在弹簧秤钮上的力没有直关系。

二、弹簧与绳子约束问题的区别【典案2】（1）如图3所示，物体的质量为m ，L 2为质量不计的轻弹簧，一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为，L 1为一水平绳，现将L 1剪断，求剪断瞬间物体的加速度与弹簧的弹力。

〖解析〗设L 1的拉力为T 1，弹簧的拉力为T 2，重力为mg ，物体在三个力的作用下保持平衡， 沿着水平竖直方向建立直角坐标系。

则：θθθtan sin cos 1122mg T T T mg T ===，剪断线的瞬间，T 1消失，而弹簧的长度L 2未及发生变化，T 2的大小和方向都不变，物体即在T 1反方向获得加速度。

瞬时弹簧的弹力：θcos 2mgT = 方向沿弹簧向上。

【点评】弹簧的两端都有其他物体或力的约束时，使其发生形变时，弹力不能由某一值突变为零或由零突变为某一值。

图3 图4（2）如果把案例2中的弹簧换成细绳子，其它条件不变，将L 1剪断，求剪断瞬间物体的加速度和绳子的张力。

〖解析〗设L 1的拉力为T 1，弹簧的拉力为T 2，重力为mg剪断绳子时，由于绳子要发生突变，因此小球将做单摆运动，小球受力如图。

沿着径向和切向建立直角坐标系。

则：ma mg =θsinθcos 2mg T =解得瞬时物体的加速度：θsin g a = 方向为切向。

瞬时绳子的张力：θcos 2mg T = 方向沿绳子向上。

【点评】弹簧发生渐变，所以瞬时弹簧弹力“来不及变化”。

绳子发生突变，瞬时张力“突然发生变化”，它们有质的变化。

因此要具体问题，具体处理。

比较上面的两典案可以发现：弹簧与绳子的加速度、拉力大小方向都发生了变化。

【体验2】A 、B 两球质量分别为m 1与m 2，用一劲度系数为k 的弹簧相连，一长为l 1的细线与m 1相连，置于水平光滑桌面上，细线的另一端拴在竖直轴OO /上，如图7所示，当m 1与m 2均以角速度ω绕OO /做匀速圆周运动时，弹簧长度为l 2。

求：（1）此时弹簧伸长量多大？绳子张力多大？（2）将线突然烧断瞬间两球加速度各多大？〖解析〗（1）m 2只受弹簧弹力，设弹簧伸长Δl ，满足k Δl =m 2ω2(l 1＋l 2)∴弹簧伸长量Δl =m 2ω2(l 1＋l 2)/k对m 1，受绳拉力T 和弹簧弹力F 做匀速圆周运动，满足：T －F =m 1ω2l 1绳子拉力T =m 1ω2l 1＋m 2ω2(l 1＋l 2)（2）线烧断瞬间A 球加速度a 1=F /m 1=m 2ω2(l 1＋l 2)/m 1B 球加速度a 2=F /m 2=ω2(l 1＋l 2)三、静态平衡下的弹簧问题【典案3】一个重为G 的小圆环套在一个竖直放置的半径为R 的光滑圆环上,小圆环由一根劲度系数为k ,自然长度为L (L <2R)的轻弹簧系着,轻弹簧的另一端固定在大圆环的最高点,如图8所示,当小圆环静止时,轻弹簧与竖直方向的夹角为多少?〖解析〗选小环为研究对象,它受到重力G ，弹簧拉力T 和大环支持力N ，由于小环处于平衡状态，所以T 、N 、G组成一个封闭的三角图8图5图7形，根据数学知识可以看出三角形A OB 跟力三角形TNG 相似，得θcos 2R R T G = )c o s 2(L R k kx T -==θG kR kL22cos -=θ 轻弹簧与竖直方向的夹角为)(21G KR kL cso -=-θ 【点评】这类问题一般形式比较单一，通常用胡克定律F =kx 和数学知识求解.【体验3】如图9所示S 1和S 2表示劲度系数分别为k 1和k 2的两根弹簧，k 1＞k 2。

a 和b 表示质量分别为m a 和m b 的两个物块，m a ＞m b ，将弹簧与物块按如图所示方式悬挂起来。

现要求两根弹簧的总长度最大，则应使：（ ）A ．S 1在上，a 在上B ．S 1在上，b 在上C ．S 2在上，a 在上D ．S 2在上，b 在上[解析]上面弹簧弹力是确定的，等于a b 两物体的重力要使上面的伸长量大，应使劲度系数小的在上，即S 2在上面要使下面伸长量大，应让质量大的物体在下面，即a 物体在下面正确答案D 【点评】本题是根据胡克定律解题的，由F =kx 知要使形变量x 最大，则必有F 最大或k 最小。

四、动态平衡涉及到的弹簧问题【典案4】如图10所示，劲度系数为k 1的轻质弹簧两端分别与质量为m 1 、m 2 的物块1、2拴接，劲度系数为k 2的轻质弹簧上端与物块2拴接，下端压在桌面上（不拴接），整个系统处于平衡状态。

现施力将物块1缓慢地竖直上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面，在此过程中物块2的重力势能增加了多少？物块1的重力势能增加了多少？〖解析〗本题中有两个关键性词语应予重视，“轻质”弹簧——即不计弹簧质量；“缓慢地”竖直上提，系统动能无变化，且上提过程中，系统受合力始终为零。

原先，系统平衡时，k 1 压缩x 1 = m 1 g / k 1 k 2 压缩x 2=（m 1 + m 2 ）g /k 2后来，k 2 下端刚脱离地面时，k 2 没形变，此时k 1 弹簧伸长 x 1′= m 2 g / k 1故物块2的重力势能增加 ∆E p2 = m 2 g x 2=（m 1 + m 2 ）m 2 g 2/k 2 物块1的重力势能增加 ∆E p1= m 1 g （x 1 +x 2 + x 1′）= m 1（m 1 + m 2 ） g 2（1/k 1+ 1/k 2） 〖体验4〗如图11所示，两个木块质量分别为m 1和m 2，两轻质弹簧的劲度系数分别为k 1和k 2，上面木块压在上面的弹簧上（但不拴接），整个系统处于平衡状态，现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面的弹簧，在这过程中下面木块移动的距离 A ．11k g m B. 22k g m图10 图9C.21k g mD.22k g m解析：对弹簧2分析：△F =m 2g ， 所以△x =KF =K g m 2，故选D 【点评】因“缓慢”上提木块，故整个装置在上提过程中是处于一种动态平衡过程中，同静态平衡一样，涉及到的知识是胡克定律，一般用F =kx 或△F =k •△x 来求解。

五、变速运动中的弹簧问题弹簧连续形变其弹力为变力，在弹簧作用下的运动一般是加速度变化的变速运动，简谐运动只是其中的一种。

如果连接弹簧的物体做匀变速，必有变化的外力作用，要注意变化的外力存在极值问题。

【典案5】如图12所示，一升降机在箱底装有若干个弹簧，设在某次事故中，升降机吊索在空中断裂，忽略摩擦力，则升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动过程中A ．升降机的速度不断减小B ．升降机的加速度不断变大C ．先是弹力做的负功小于重力做的正功，然后是弹力做的负功大于重力做的正功D ．到最低点时，升降机加速度的值一定大于重力加速度的值〖解析〗在一般的习题集中，本题常见形式是一个球从高处下落到一支竖在地面上的弹簧的顶端（图12）。

升降机下落到弹簧下端触地后，就相当于球下落到直立的弹簧上，弄清图9 中的小球下落情况，也就明白了图12中升降机的运动情况，为了说明图13中小球接触弹簧后的运动，我们把球接触弹簧后的运动划分成三个点和三个点之间的两个阶段来研究，这三个点就是接触点、平衡点和最低点。

从接触点到平衡点，小球所受的重力大于弹力，加速度逐渐减小，速度逐渐增大，重力的功大于弹力的功，动能逐渐增大，重力势能逐减少，弹性势能逐渐增大；从平衡点到最低点，小球所受的弹力大于重力，加速度逐渐增大，速度逐渐减小，重力的功小于弹力的负功，动能逐渐减少，重力势能逐渐减少，弹性势能逐渐增大。