四年级上册数学讲义(共6讲)--第5讲 加法原理(二) 全国通用(含答案)
小学四年级奥数课件：加法原理
例2： 旗杆上最多可以挂两面信号旗，现有红色、
蓝色和黄色的信号旗各一面，如果用挂信号旗表 示信号，最多能表示出多少种不同的信号？
根据挂信号旗的面数可以将信号分为两类。第 一类是只挂一面信号旗，有红、黄、蓝3种；第二 类是挂两面信号旗，按前面学的乘法原理会有： 3×2=6种。所以，一共可以表示出不同的信号
例1： 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，
还可以乘轮船。一天中火车有4班，汽车有3班， 轮船有2班。问：一天中乘坐这些交通工具从甲地 到乙地，共有多少种不同走法？
一天中乘坐火车有4种走法，乘坐汽车有3种走 法，乘坐轮船有2种走法，所以一天中从甲地到乙 地共有：4＋3＋2=9（种）不同走法。
例6： 右图中每个小方格的边长都是1。一只小虫从
直线AB上的O点出发，沿着横线与竖线爬行，可上 可下，可左可右，但最后仍要回到AB上（不一定 回到O点）。如果小虫爬行
的总长是3，那么小虫有多
少条不同的爬行路线？
பைடு நூலகம்
第一步往上，再往左右有两种可能（因为必须 回到AB线上）， 分别是：（上1，左1，下1）， （上1，右1，下1）； 第一步往上，再往下也有两 种可能：（上1，下1，左1），（上1，下1，右1）； 同理第一步往下也有4种可能；
例4： 用五种颜色给右图的五个区域染色，每个区
域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问： 共有多少种不同的染色方法？
在本例中没有一个区域与其它所有区域都相邻， 那么就要分颜色相同与不同两种情况分析。
当区域A与区域E颜色相同时，A有5种颜色可选； B有4种颜色可选；C有3种颜色可选；D也有3种颜色 可选。根据乘法原理，此时不同的染色方法有
再就是左右， 第一步往左，第二步分别上下各 一种：（左1，上1，下1），（左1，下1，上1）； 第一步往左，第二步还往左右，则第三步也只能左 右，共4种；同理第一步往右也有6种情况。共有：
四年级上册数学讲义(共6讲)--第4讲 加乘原理 全国通用(含答案)
知识要点【课前引入】在做加、乘原理的题时，我们经常会遇到为地图涂色的题目。
关于为地图涂色有一个看起来简单，但证明过程却十分复杂的题目——四色猜想。
四色猜想是世界近代三大数学难题之一。
四色猜想的提出来自英国。
1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。
”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。
兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。
1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。
哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。
但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。
世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。
1878~1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。
11年后，即1890年，数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。
不久，泰勒的证明也被人们否定了。
后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。
于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。
先辈数学大师们的努力，为后世的数学家揭示四色猜想之谜铺平了道路。
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。
1913年，伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧，美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。
四年级数学加法原理讲解(二)
第21讲加法原理（二）我们通常解题；总是要先列出算式；然后求解。
可是对有些题目来说；这样做不仅麻烦；而且有时根本就列不出算式。
这一讲我们介绍利用加法原理在“图上作业”的解题方法。
例1小明要登上10级台阶；他每一步只能登1级或2级台阶；他登上10级台阶共有多少种不同的登法？分析与解：登上第1级台阶只有1种登法。
登上第2级台阶可由第1级台阶上去；或者从平地跨2级上去；故有2种登法。
登上第3级台阶可从第1级台阶跨2级上去；或者从第2级台阶上去；所以登上第3级台阶的方法数是登上第1级台阶的方法数与登上第2级台阶的方法数之和；共有1+2＝3（种）……一般地；登上第n级台阶；或者从第（n—1）级台阶跨一级上去；或者从第（n—2）级台阶跨两级上去。
根据加法原理；如果登上第（n—1）级和第（n—2）级分别有a种和b种方法；则登上第n级有（a＋b）种方法。
因此只要知道登上第1级和第2级台阶各有几种方法；就可以依次推算出登上以后各级的方法数。
由登上第1级有1种方法；登上第2级有2种方法；可得出下面一串数：1；2；3；5；8；13；21；34；55；89。
其中从第三个数起；每个数都是它前面两个数之和。
登上第10级台阶的方法数对应这串数的第10个；即89。
也可以在图上直接写出计算得出的登上各级台阶的方法数（见下图）。
例2在左下图中；从A点沿实线走最短路径到B点；共有多少条不同路线？分析与解：题目要求从左下向右上走；所以走到任一点；例如右上图中的D点；不是经过左边的E点；就是经过下边的F点。
如果到E点有a种走法（此处a＝6）；到F点有b种走法（此处b＝4）；根据加法原理；到D点就有（a＋b）种走法（此处为6＋4=10）。
我们可以从左下角A点开始；按加法原理；依次向上、向右填上到各点的走法数（见右上图）；最后得到共有35条不同路线。
例3左下图是某街区的道路图。
从A点沿最短路线到B点；其中经过C点和D点的不同路线共有多少条？分析与解：本题可以同例2一样从A标到B；也可以将从A到B分为三段；先是从A到C；再从C到D；最后从D到B。
【详解】四年级上第05讲_加法原理与乘法原理
第五讲 加法原理与乘法原理1. 例题1答案：9种详解：小高一家外出旅行，火车、汽车或飞机只要选择其中一类就可以完成要做的事情，所以这是出行方式分成了三类，即加法原理，有4329++=种出行方式．2. 例题2答案：16种详解：房子的四个部分都要染色，所以先给屋顶染色，有2种颜色可以选择，接下来给烟囱染色，也有2种颜色可以选择，再接下来给门染色，也有2种颜色可以选择，最后给窗染色，同样有2种颜色可以选择，分了四步即乘法原理，一共有222216⨯⨯⨯=种不同的染色方法．3. 例题3答案：17种详解：分成“甲→乙→丙”和“甲→丁→丙”这两类路线．对于“甲→乙→丙”这类路线：第一步从甲到乙，有3种走法，第二步从乙到丙，有3种走法，利用乘法原理得到共有339⨯=种走法．类似地，对于“甲→丁→丙”这类路线，共有248⨯=种走法．把两类的走法加起来，可得从甲地到丙地一共有9817+=种走法．4. 例题4答案：35种详解：标数法，如下图：5. 例题5答案：81000种详解：一个减法算式，只要被减数和减数确定了，这个减法算式就是确定的，而且被减数和减数都要有，所以先选择一个被减数，再选择一个减数．被减数是三位数，三位数的总个数有两种算法，方法一：最小的三位数是100，最大的三位数是999，所以一共有9991001900-+=个三位数；方法二：三位数必须要有百位、十位、个位，所以先给百位选择一个数字，1~9有9种选择，再给十位选择一个数字，0~9有10种选择，最后给百位选择一个数字，0~9有10种选择，一共分了三步即乘法原理，一共有91010900⨯⨯=个三位数．两位数的总个数算法和三位数一样，一种是9910190-+=个两位数，另一种是91090⨯=个两位数．要组成一个减法算式，先从三位数中选择1个作为被减数，一共有900种选择，再从两位数中选择1个作为减数，一共有90种选择，分了两步即乘法原理，共有9009081000⨯=种不同的写法．AB 1 1 1 1 1 1 1 1 23 4 5 36 10 15 410 20 356. 例题6答案：30种；750种；275种详解：（1）从所有的书中任取1本，即可以选择小说或者漫画或者科普书，即在三类中选择1本，加法原理，共有1510530++=种不同的取法；（2）从每一层中各任取1本，可以先在第一层取小说，再在第二层取漫画，最后在第三层取科普书，分了三步即乘法原理，共有15105750⨯⨯=种不同的取法；（3）从中取出2本不同类别的书，可以是小说和漫画，也可以是漫画和科普，还可以是小说和科普，这是分了三类，在第一类小说和漫画必须各有一本，所以先取小说再取漫画，有1510150⨯=种不同的取法；在第二类漫画和科普必须各有一本，所以先取漫画再取科普，有10550⨯=种不同的取法；在第三类小说和科普必须各有一本，所以先取小说再取科普，有15575⨯=种不同的取法，三类是加法原理，共有1505075275++=种不同的取法．7. 练习1答案：18种详解：从小说、漫画中任意取一本即可，即加法原理，有81018+=种取法．8. 练习2答案：8种详解：先给眼睛染，有2种方法；再给嘴巴染，有2种方法；最后给身子染，有2种染法，分三步，乘法原理，所以共有2228⨯⨯=中不同的染法．9. 练习3答案：11种简答：分成“甲→乙→丙”和“甲→丙”这两类路线．对于“甲→乙→丙”这类路线：第一步从甲到乙，有3种走法，第二步从乙到丙，有3种走法，利用乘法原理得到共有339⨯=种走法．而对于“甲→丙”这类路线，共有2种走法．把两类的走法加起来，可得从甲地到丙地一共有9211+=种走法．10. 练习4答案：10种简答：标数法：11. 作业1答案：54000种．简答：乘法原理，30404554000⨯⨯=种．12. 作业2A B1 1 1 1 1 1 23 4 36 10答案：27种简答：乘法原理，33327⨯⨯=种．13. 作业3答案：（1）60种；（2）6000种简答：（1）加法原理，30201060++=种．（2）乘法原理，3020106000⨯⨯=种．14. 作业4答案：26种简答：分三类：水墨、油画，4312⨯=种选法；油画、水彩，326⨯=种选法；水墨、水彩，428⨯=种选法，所以一共有126826++=种选法．15. 作业5答案：25种简答：标数法，如下图所示．A B 1 1 1 1 1 112 3 4 5 3 6 10 15 10 25。
小学奥数：第5讲四年级数学乘法和加法原理学案
1、植树问题的类型和方法是什么？2、园林工人要在周长300米的圆形花坛边等距离地栽上树.他们先沿着花坛的边每隔3米挖一个坑，当挖完30个坑时，突然接到通知：改为每隔5米栽一颗树.这样，他们还要挖多少个坑才能完成任务？导入：生活中常有没有过这样的情况：在做同一件事时，有许多不同的方法？是的，所以印证了一句经典名言-条条大路通罗马。
一、同步知识梳理知识点1：加法原理的定义完成一件工作共有N类方法。
在第一类方法中有m1种不同的方法，在第二类方法中有m2种不同的方法，……，在第N类方法中有m n种不同的方法，那么完成这件工作共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋m n种不同方法。
这就是加法原理．知识点2：加法原理运用的范围完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”。
知识点3：运用加法原理的分类方法分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法．只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确．运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数．通俗地说，就是“整体等于局部之和”．知识点4：加法原理解题三部曲1、完成一件事分N类；2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）；3、类类相加知识点5：比较特殊的加法计数法（1）枚举法枚举法又叫穷举法，就是把所有符合条件的对象一一列举出来进行计数．分类讨论的时候经常会需要把每一类的情况全部列举出来，这时的方法就是枚举法．枚举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏．AB引入：除了刚才做每一件事情都有不同的方法之外，做每一件事情的每一步骤也可以有不同的方法哦，你可以举例说一说吗？知识点1：乘法原理的定义完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有m1种方法，完成第二个步骤有m2种方法，…，完成第N个步骤有m n种方法，那么，完成这件工作共有m1×m2×…×m n种方法。
四年级奥数第六讲——乘法原理与加法原理(学生用)(2)(2021年整理)
四年级奥数第六讲——乘法原理与加法原理(学生用)(2)(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（四年级奥数第六讲——乘法原理与加法原理(学生用)(2)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为四年级奥数第六讲——乘法原理与加法原理(学生用)(2)(word版可编辑修改)的全部内容。
远辉教育奥数班第六讲——乘法原理与加法原理主讲人：杨老师学生:四年级电话：62379828一、学习要点：Ⅰ乘法原理在日常生活中常常会遇到这样一些问题，就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时,又有几种不同的方法，要知道完成这件事一共有多少种方法，就用我们将讨论的乘法原理来解决．例如某人要从北京到大连拿一份资料，之后再到天津开会．其中，他从北京到大连可以乘长途汽车、火车或飞机,而他从大连到天津却只想乘船．那么，他从北京经大连到天津共有多少种不同的走法？分析这个问题发现，某人从北京到天津要分两步走．第一步是从北京到大连，可以有三种走法,即:第二步是从大连到天津，只选择乘船这一种走法，所以他从北京到天津共有下面的三种走法:注意到 3×1=3．如果此人到大连后,可以乘船或飞机到天津，那么他从北京到天津则有以下的走法：共有六种走法，注意到3×2=6．在上面讨论问题的过程中,我们把所有可能的办法一一列举出来．这种方法叫穷举法．穷举法对于讨论方法数不太多的问题是很有效的．在上面的例子中,完成一件事要分两个步骤．由穷举法得到的结论看到，用第一步所有的可能方法数乘以第二步所有的可能方法数，就是完成这件事所有的方法数．一般地，如果完成一件事需要n个步骤,其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么,完成这件事一共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法．这就是乘法原理．Ⅱ加法原理生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中,又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法,就要用我们将讨论的加法原理来解决．例如某人从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津,有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？分析这个问题发现,此人去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法．在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候,只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数．一般地,如果完成一件事有k类方法,第一类方法中有m1种不同做法,第二类方法中有m2种不同做法，…,第k类方法中有mk种不同的做法,则完成这件事共有N=m1+m2+…+mk种不同的方法．这就是加法原理．二、典例剖析：Ⅰ乘法原理例1 某人到食堂去买饭，主食有三种，副食有五种，他主食和副食各买一种，共有多少种不同的买法？例2 右图中有7个点和十条线段，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何线段和点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同的走法？例3 书架上有6本不同的外语书，4本不同的语文书，从中任取外语、语文书各一本,有多少种不同的取法？例4 王英、赵明、李刚三人约好每人报名参加学校运动会的跳远、跳高、100米跑、200米跑四项中的一项比赛，问：报名的结果会出现多少种不同的情形？例5由数字0、1、2、3组成三位数，问：①可组成多少个不相等的三位数？②可组成多少个没有重复数字的三位数？例6 由数字1、2、3、4、5、6共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？例7 右图中共有16个方格，要把A、B、C、D四个不同的棋子放在方格里,并使每行每列只能出现一个棋子．问：共有多少种不同的放法?例8 现有一角的人民币4张，贰角的人民币2张,壹元的人民币3张，如果从中至少取一张，至多取9张，那么,共可以配成多少种不同的钱数？Ⅱ加法原理例1 学校组织读书活动，要求每个同学读一本书．小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书150本，不同的科技书200本，不同的小说100本．那么，小明借一本书可以有多少种不同的选法?例2一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不相同．问：①从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？②从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？例3 如右图,从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可走,从甲地到丙地有3条路可走．那么,从甲地到丙地共有多少种走法？例4 如下页图，一只小甲虫要从A点出发沿着线段爬到B点,要求任何点和线段不可重复经过．问:这只甲虫有多少种不同的走法?例5 有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6．将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？例6 从1到500的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个?例7如下页左图，要从A点沿线段走到B,要求每一步都是向右、向上或者向斜上方．问有多少种不同的走法？模拟测试1．某罪犯要从甲地途经乙地和丙地逃到丁地,现在知道从甲地到乙地有3条路可以走，从乙地到丙地有2条路可以走，从丙地到丁地有4条路可以走．问，罪犯共有多少种逃走的方法?2．如右图，在三条平行线上分别有一个点，四个点，三个点(且不在同一条直线上的三个点不共线）．在每条直线上各取一个点，可以画出一个三角形．问：一共可以画出多少个这样的三角形？2．在自然数中，用两位数做被减数，用一位数做减数．共可以组成多少个不同的减法算式？3．一个篮球队，五名队员A、B、C、D、E，由于某种原因，C不能做中锋，而其余四人可以分配到五个位置的任何一个上．问：共有多少种不同的站位方法？5．由数字1、2、3、4、5、6、7、8可组成多少个①三位数？②三位偶数？③没有重复数字的三位偶数?④百位为8的没有重复数字的三位数？⑤百位为8的没有重复数字的三位偶数？6．某市的电话号码是六位数的，首位不能是0，其余各位数上可以是0～9中的任何一个，并且不同位上的数字可以重复．那么，这个城市最多可容纳多少部电话机？7．如右图，从甲地到乙地有三条路，从乙地到丙地有三条路，从甲地到丁地有两条路，从丁地到丙地有四条路，问：从甲地到丙地共有多少种走法？8．书架上有6本不同的画报和7本不同的书，从中最多拿两本（不能不拿)，有多少种不同的拿法？9．如下图中,沿线段从点A走最短的路线到B,各有多少种走法?10．在1～1000的自然数中，一共有多少个数字0？11．在1~500的自然数中，不含数字0和1的数有多少个?12．十把钥匙开十把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，问：最多试开多少次，就能把锁和钥匙配起来？。
四年级精品课程讲义-基本原理部分学生版
四年级精品课程讲义基本原理部分2012 2011 2010 2009 2008加乘原理2填空1填空1大题1填空抽屉原理2填空1填空容斥原理1填空1填空板块一、加法原理和乘法原理知识点：1、加法分类，类类独立；乘法分步，步步相关2、染色问题解决方法：先解决最麻烦的部分，依次类推，是否需要分类，是当你考虑问题到了最后发现某块区域的染色方式不是固定的，而是有不同的染色导致不同的结果，那么这时才考虑分类。
例题精讲例1．某条铁路线上，包括起点和终点在内原来共有7个车站，现在新增了3个车站，相同两个车站往返车票不同，那么，这样需要增加多少种不同的车票？若相同的两个车站的票价是相同的，不同的两个车站之间票价不同，那么现在铁路局共需要制定多少种票价？例2．12个人围成一圈，从中选出三个人，其中恰有两人相邻，共有多少种不同选法？例3．如右图，有一个4×8的棋盘，现将一枚棋子放在棋盘左下角格子A 处，要求每一步只能向棋盘右上或右下走一步（如从C 走一步可走到D 或E），那么将棋子从A走到棋盘右上角B 处共有______种不同的走法。
【巩固】如图，中国象棋的棋子“车”按象棋中走法规则沿着棋盘路线的最短路径从左下角走到右上角，一共有多少种不同的走法？（注：中国象棋中，“车”每一步可以沿直线移动任意多格）【巩固】一楼梯共13级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第13级，且要求第8级楼梯不能登上，共有多少种不同走法？例4．用1，1，2，3，4排在连续的四个格子里，能形成多少个不同的四位数。
例5．用五种颜色染下面的图形，相邻两块不同色，有（）种方法。
例6．五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目。
如果贝贝和妮妮不相邻，共有（）种不同的排法。
例7．如图1所示，一个花坛的道路由3个圆和5条线段组成.小兔要从A处走到B处。
如果它在圆上只能顺时针方向走，在线段上只能从小圆走向大圆，且每条道路最多走一次。
4年级奥数第六讲：加法原理
一、加法原理概念生活中常有这样的情况：在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用其中某一类中的一种方法就可以完成，并且这几类方法是互不影响的．那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到加法原理来解决．完成一件事，有n 类方法可以用。
在第一类办法中有M1种不同的方法，在第二类办法中有M2种不同的方法，……，在第N 类办法中有M(N)种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+M(N)种不同的方法。
二、乘法原理解题三部曲1、完成一件事分N 类方法；2、每类方法中找数量；3、类类相加。
三、加法原理应用应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点：⑴加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和．（2）在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理，综合分析，正确作出分类和分步．第六讲加法原理知识要点加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．【例 1】 王老师从重庆到南京，他可以乘飞机、汽车直接到达，也可以先到武汉，再由武汉到南京．他从重庆到武汉可乘船，也可乘火车；又从武汉到南京可以乘船、火车或者飞机，如图．那么王老师从重庆到南京有多少种不同走法呢？（2级）【例 2】 从益智中心到王明家有3条路可走，从王明家到张老师家有2条路可走，从益智中心到张老师家有3条路可走，那么从益智中心到张老师家共有多少种走法？（2级）【巩固】 如下图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有4条路，从甲地到丁地有3条路可走，从丁地到丙地也有3条路，请问从甲地到丙地共有多少种不同走法？（2级）丁丙乙甲【例 3】 小宝去给小贝买生日礼物，商店里卖的东西中，有不同的玩具8种，不同的课外书20本，不同的纪念品11种，那么如果选两类（每类一件）不同的东西作为生日礼物，小宝买生日礼物可以有多少种不同的选法？例题精讲【例 4】从北京到广州可以选择直达的飞机和火车，也可以选择中途在上海或者武汉作停留，已知北京到上海、武汉和上海、武汉到广州除了有飞机和火车两种交通方式外还有汽车．问，从北京到广州一共有多少种交通方式供选择？（2级）【例 5】如果从3本不同的语文书、4本不同的数学书、5本不同的外语书中选取2本不同学科的书阅读，那么共有多少种不同的选择？（4级）【例6】五面五种颜色的小旗，任意取出一面、两面或三面排成一行表示各种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？（6级）【例 7】如图，将1，2，3，4，5分别填入图中15的格子中，要求填在黑格里的数比它旁边的两个数都大．共有种不同的填法．【走进美妙数学花园少年数学邀请赛】（6级）【例 8】从1到100的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个? （6级）【例 9】直线a，b上分别有5个点和4个点，以这些点为顶点可以画出多少个三角形？（6级）【巩固】直线a，b上分别有4个点和2个点，以这些点为顶点可以画出多少个三角形？（4级）【例10】如图，从A点到B点的最近路线有多少条？（4级）BA【例 11】如图，某城市的街道由5条东西向马路和7条南北向马路组成，现在要从西南角的A处沿最短的路线走到东北角B出，由于修路，十字路口C不能通过，那么共有＿＿＿＿种不同走法．（6级）A【例 12】如图所示，从A点到B点，如果要求经过C点或D点的最近路线有多少条？（6级）【例13】如图1为一幅街道图，从A出发经过十字路口B，但不经过C，走到D的不同的最短路线有条.（8级）ArrayA【例 14】在下图的街道示意图中，有几处街区有积水不能通行，那么从A到B的最短路线有多少种？（6级）AB 【例 15】在下图的街道示意图中，C处因施工不能通行，从A到B的最短路线有多少条？（6级）CB A【例 16】(第三届“希望杯”2试试题)右图中的“我爱希望杯”有______种不同的读法.（6级）杯杯杯杯杯望望望望希希希爱爱我【例 17】图中有10个编好号码的房间，你可以从小号码房间走到相邻的大号码房间，但不能从大号码走到小号码，从1号房间走到10号房间共有多少种不同的走法？（8级）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
知识要点加法原理（二） —树形图及标数法一、加法原理概念引入生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用加法原理来解决．例如:王老师从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？分析这个问题发现，王老师去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法．在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数．二、加法原理的定义一般地，如果完成一件事有k 类方法，第一类方法中有1m 种不同做法，第二类方法中有2m 种不同做法，…，第k 类方法中有k m 种不同做法，则完成这件事共有12 k N m m m =+++……种不同方法，这就是加法原理．加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：① 完成这件事的任何一种方法必须属于某一类； ② 分别属于不同两类的两种方法是不同的方法．只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确．运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数．通俗地说，就是“整体等于局部之和”．树形法“树形图法”实际上是枚举的一种，但是它借助于图形，可以使枚举过程不仅形象直观，而且有条理又不重复遗漏，使人一目了然．【例1】 一只青蛙在A 、B 、C 这三点之间跳动，若青蛙从A 点跳起，跳4次仍回到A 点，则这只青蛙一共有多少种不同的跳法？【分析】 树形图，如图所示，若青蛙从A 点跳起，跳4次仍回到A 点一共有6种不同的跳法。
B AA B C A C B A A B A A C C A B C A ⎧⎧→⎧→⎪⎪⎨→→⎨⎩⎪⎪⎪→→⎪⎩→⎨⎧→⎧⎪→⎪⎨⎪→→⎨⎩⎪⎪⎪→→⎩⎩【例2】 （2005年《小数报》数学邀请赛）A 、B 、C 三个小朋友互相传球，先从A 开始发球(作为第1次传球)，这样经过了5次传球后，球恰巧又回到A 手中，那么不同的传球方式共多少种？【分析】 树形图，如图所示，A 第1次传给B ，到第5次传回A 有5种不同方式。
同理，A 第1次传给C ，到第5次传回A 有5种不同方式。
所以，这样经过了5次传球后，球恰巧又回到A 手中，不同的传球方式共5510+=种。
B C A A C B A A B B A A C C A B C A ⎧→→⎧→⎨⎪→→⎩⎪⎪→→⎧→⎨⎧→⎪⎨⎪→→⎨⎩⎪⎪⎪→→⎩⎩【例3】 甲、乙二人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢，若没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止．问：一共有多少种可能的情况？【考点】加法原理之树形图法 【难度】3星 【题型】解答三、加法原理解题三部曲1、完成一件事分N 类；2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）；3、类类相加枚举法：枚举法又叫穷举法，就是把所有符合条件的对象一一列举出来进行计数．分类讨论的时候经常会需要把每一类的情况全部列举出来，这时的方法就是枚举法．枚举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏．【解析】 如下图，我们先考虑甲胜第一局的情况：图中打√的为胜者，一共有7种可能的情况．同理，乙胜第一局也有 7种可能的情况．一共有 7＋7=14（种）可能的情况．【例4】 如图，从起点走到终点，要求取出每个站点上的旗子，并且每个站点只允许通过一次，有 种不同的走法。
终点起点【考点】加法原理之树形图法 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】2009年，希望杯，第七届，五年级，一试，第3题 【解析】 给这些点依次标上字母（如左图），然后采用枚举法（如右图）：feca bdefed f de f f e c cd cba共4种不同的走法。
走格子里【例5】 （2008年第十二届香港保良局小学数学世界邀请赛队际赛）如图，小思从X 市开车到Y 市，她必须遵照下图箭头所指示的方向行驶。
请问小思由X 市到Y 市共有多少种不同的路径？YS RQPON MLX【分析】 （方法一）标数法，如图所示，小思由X 市到Y 市共有10种不同的路径。
XL 1M 1Q 3P 1Y 10S 6R 3N 1O 2（方法二）树形图，如图所示，小思由X 市到Y 市共有10种不同的路径。
S YP L Y Q S Y M Q S Y X Q S Y N R S Y R S Y O S Y R S Y O S Y ⎧⎧→⎧⎪⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎪→→⎩⎪→→→⎪⎪⎧⎪⎪⎪→→⎨⎪⎪⎪→→⎨⎪⎪⎪→→⎧⎪⎪⎨⎪→⎩⎪⎩⎪→→⎧⎪⎨⎪→⎩⎩【例6】 （2008年3月第七届“小机灵杯”数学竞赛三年级决赛）图中有10个编好号码的房间，你可从小号码房间走到相邻的大号码房间，但不能从大号码房间走到小号码，从1号房间走到10号房间共有_______种不同的走法。
1098765432113\22\14\15\46\610\229\168\67\1【分析】 标数法，如图所示，从1号房间走到10号房间共有22种不同的走法。
走格子边【例7】 如图所示，从A 点到B 点的最近路线有多少条？BA 1201010644332111111AB【分析】 标数法：每一点的走法数为其左面的走法数与下面的走法数的和，如图所示，从A 点到B 点的最近路线有20条。
【例8】 如图所示，从A 点到B 点，如果要求经过C 点和D 点的最近路线有多少条？【分析】 （方法一）标数法：从A 点到B 点，如果要求经过C 点和D 点的最近路线有600条。
（方法二）标数法：从A 点到C 点的最近路线有10条；从C 点到D 点的最近路线有10条；从D 点到B 点的最近路线有6条；由乘法原理，从A 点到B 点，经过C 点和D 点的最近路线有10106600⨯⨯=条。
B DCB【例9】 如图所示，从A 点到B 点，如果要求经过C 点或D 点的最近路线有多少条？【分析】 （方法一）标数法：从A 点到B 点，如果要求经过C 点或D 点的最近路线有1155条。
（方法二）标数法：从点到C 点的最近路线有35条；从C点到B点的最近路线有21条；由乘法原理，从A点到B点，经过C点的最近路线有3521735⨯=条。
从A点到D点的最近路线有28条；从D点到B点的最近路线有15条；由乘法原理，从A点到B点，经过D点的最近路线有2815420⨯=条。
由加法原理，从A点到B点，经过C点或D点的最近路线有7354201155+=条。
BDBCB【例10】如图所示，从A点到B点，如果要求经过C点或D点的最近路线有多少条？【分析】标数法：从A点到C点的最近路线有10条；从C点到B点的最近路线有126条；由乘法原理，从A点到B点，经过C点的最近路线有101261260⨯=条。
从A点到D点的最近路线有210条；从D点到B点的最近路线有6条；由乘法原理，从A点到B点，经过D点的最近路线有21061260⨯=条。
其中从C点到D点，最近路线有10条，由乘法原理，从A点到B点，经过C点的最近路线有10106600⨯⨯=条，被重复计算。
由加法原理，从A点到B点，经过C点或D点的最近路线有126012606001920+-=条。
B6DB DC【例11】（2008年第三届“巨人杯”综合素质评估六年级）如图，中国象棋的棋子“车”按象棋中走法规则沿着棋盘路线的最短路径从左下角走到右上角，一共有多少种不同的走法？（注：中国象棋中，“车”每一步可以沿直线移动任意多格）車4410637371412125522211車【分析】标数法，如图所示，中国象棋的棋子“车”按象棋中走法规则沿着棋盘路线的最短路径从左下角走到右上角，一共有106种不同的走法。
【例12】（第四届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛）如图所示的道路口，A处有一大群孩子，这群孩子向东或向北走，在从A开始的每个路口，都有一半人向北走，另一半人向东走，如果先后有60个孩子到路口B，问：先后共有多少个孩子到路口C？【分析】标数法：如图所示，设在A处这群孩子一共有16k个，到路口B有5k个孩子，到路口C有4k孩子；所以先后共有605448÷⨯=个孩子到路口C。
发散型【例13】 右图中的“我爱希望杯”有______种不同的读法.杯杯杯杯杯望望望望希希希爱爱我 161511353211111111杯杯杯杯杯望望望望希希希爱爱我【考点】加法原理之标数法 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】2005年，第3届，希望杯，4年级，1试 【解析】 “我爱希望杯”的读法也就是从“我”走到“杯”的方法.如上右图所示，共16种方法.【例14】 在下图中，用水平或者垂直的线段连接相邻的字母，当沿着这些线段行走是，正好拼出“APPLE ”的路线共有多少条？A|A—P—A| | |A—P—P—P—A| | | | |A—P—P—L—P—P—A| | | | | | |A—P—P—L—E—L—P—P—A 1|1—3 —1| | |1—2—7 —2—1| | | | |1—2—4—15—4—2—1| | | | | | |1—2—4—8—31—8—4—2—1【考点】加法原理之标数法 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 要想拼出英语“APPLE ”的单词，必须按照“A →P →P →L →E ”的次序拼写．在图中的每一种拼写方式都对应着一条最短路径．如下图所示，运用标号法原理标号得出共有31种不同的路径．【例15】 如图，用水平线或竖直线连结相邻汉字，沿着这些线读下去，正好可以读成“祖国明天更美好”，那么可读成“祖国明天更美好”的路线有 条.【考点】加法原理之标数法 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如图2所示，利用加法原理，将读到各个字的路线数写在每个字下方，共有不同的路线721127-=(条).【例16】 如图，用水平线或竖直线连结相邻汉字，沿着这些线读下去，正好可以读成“我爱学而思”，那么可读成“我爱学而思”的路线有 条．思而而学学学学爱爱爱爱爱爱我我我我我我我我而学爱我【考点】加法原理之标数法 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 只有一个思，可以从后向前考虑，用标数法。
共有14641464131++++++++=种。