抛物线专题复习总结

抛物线专题复习一、例题分析1.已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x 轴上，其上一点),3(m P -到焦点F 的距离是5，则抛物线的方程为（ ） A ．x y 82=B ．x y 82-=C ．x y 42=D ．x y 42-=2.过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于),(),,(2211y x B y x A 两点，若,621=+x x 则=||AB （ ）A ．10B ．8C ．6D ．43.设斜率为2的直线l 过抛物线)0(2≠=a ax y 的焦点F ，且和y 轴交于点.A 若O OAF (∆为坐标原点）的面积为4，则抛物线的方程为（ ）A ．x y 42±=B ．x y 82±=C ．x y 42=D ．x y 82=4.若抛物线2ax y =的焦点与椭圆02=-y 的右焦点重合，则=a （ ）A ．81 B ．81- C ．8D ．8-5. 已知抛物线C 与双曲线122=-y x 有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程为（ ）A ． x y 222±=B ．x y 22±=C ．x y 42±=D ．x y 242±=6.已知过抛物线x y 62=焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是（ ）A ．6π或65πB ．4π或43πC ．3π或32πD ．2π7.如果直线l 过定点)2,1(M ，且与抛物线22x y =有且仅有一个公共点，则直线l 的方程为 ．8.若抛物线p px y (22=>)0，过其焦点F 倾斜角为060的直线l 交抛物线于B A ,两点，且,4||=AB 则此抛物线的方程为 ．9.已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线x y =与抛物线C 交于B A ,两点，若)2,2(P 为AB 的中点，则抛物线C 的方程为 ．10.设抛物线p px y (22=>)0的焦点为F ，点).2,0(A 若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为 ．11.设P 是抛物线x y 42=上的一个动点.(I)求点P 到点)1,1(-A 的距离与点P 到直线1-=x 的距离之和的最小值； (II)若),2,3(B 求||||PF PB +的最小值.12.已知抛物线p px y (22=>)0的焦点为F ，点A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为OB B ,的中点为.M (I)求抛物线的方程；(II)过M 作FA MN ⊥，垂足为,N 求点N 的坐标；(III)以M 为圆心,MB 为半径作圆.M 当)0,(m K 是x 轴上一动点时,讨论直线AK 与圆M 的位置关系. 13.已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点)0,1(F 的距离减去它到y 轴的距离之差都是1. (I)求曲线C 的方程；(II)是否存在正数,m 对于过点)0,(m M 且与曲线C 有两个交点B A ,的任一直线，都有→→⋅FB FA <0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由. 二、练习题：1.设椭圆22221(00)x y m n m n +=>>，的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同,离心率为12，则椭圆的方程为（ ）A ．2211216x y += B ．2211612x y += C ．2214864x y += D ．2216448x y +=2.若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线px y 22=的准线上，则p 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．3.抛物线2y x =-上的点到直线0834=-+y x 距离的最小值是( )A ．14 B ．34 C ．85D ．3 4. 直线ｙ＝ｘ－3与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，过A 、B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形APQB 的面积为（ ）A ．36.B ．48C ．56D ．64.5．连接抛物线24x y =的焦点F 与点(10)M ，所得的线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则三角形OAM 的面积为（ ）Ａ．1-Ｂ．32-Ｃ．1Ｄ．32+6．抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是（ ） Ａ．4Ｂ．Ｃ．Ｄ．87.已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的∆面积为 ． 8.已知F 是抛物线24C y x =：的焦点,A B ，是C 上的两个点,线段AB 的中点为(22)M ，,则=∆ABF S ． 9.已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，则______.a =10.已知抛物线x y 42=,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(),(),2211y x B y x 、两点,则=+min 2221)(y y ．11.若抛物线22x y =上的A(),(),2211y x B y x 、关于直线m x y l +=:对称，且,2121-=x x 求实数m 的值. 12.已知椭圆C 1：13422=+y x ,抛物线C 2：)0(2)(2>=-p px m y ,且C 1、C 2的公共弦AB 过椭圆C 1的右焦点.（Ⅰ）当x AB ⊥轴时，求p 、m 的值，并判断抛物线C 2的焦点是否在直线AB 上； （Ⅱ）若34=p 且抛物线C 2的焦点在直线AB 上，求m 的值及直线AB13．如图倾斜角为α的直线经过抛物线28y x =的焦点F ，且与抛物线 交于A B ，两点．（Ⅰ）求抛物线焦点F 的坐标及准线l 的方程； （Ⅱ）若α为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ， 证明cos2FP FP α-为定值，并求此定值．14．设F 是抛物线2:4G x y =的焦点．（I ）过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程； （II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0FA FB =，延长AF ，BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求四边形ABCD 面积的最小值．15．已知正三角形OAB 的三个顶点都在抛物线22y x =上，其中O 为坐标原点，设圆C 是OAB △的内接圆（点C 为圆心）（I ）求圆C 的方程；（II ）设圆M 的方程为22(47cos )(7sin )1x y θθ--+-=，过圆M 上任意一点P 分别作圆C 的两条切线PE PF ，，切点为E F ，，求→→⋅CF CE 的最大值和最小值．16．在平面直角坐标系xOy 中，过定点(0)C p ，作直线与抛物线22x py =（0p >）相交于A B ，两点． （I ）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求ANB △面积的最小值；（II ）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．例题参考答案 BBBBD B7. 1,024==--x y x ；8. x y 32=；9. x y 42=；10.423；11.5，4； 12.解：(I) 抛物线px y 22=的准线为.4.2,524,22x y p pp x =∴=∴=+∴-= (II)),2,0(),4,0(),4,4(M B A ∴ 又.34),0,1(=∴FA k F又FA MN ⊥，,43-=∴MN k 则FA 的方程为),1(34-=x y MN 的方程为,432x y -=-解得).54,58(N(III)由题意得，圆M 的圆心为(),2,0半径为2，当4=m 时，直线AK 的方程为.4=x 此时，直线AK 与圆M 相离； 当4≠m 时，直线AK 的方程为),(44m x my --=即,04)4(4=---m x m x 圆心M 到直线AK 的距离,)4(16|82|2-++=m m d令d >2，解得m >1，故当m >1时,直线AK 与圆M 相离；m =1时,直线AK 与圆M 相切；m <1时,直线AK 与圆M 相交. 13.解：(I)设),(y x P 是曲线C 上的任意一点，则有x x y x (1)1(22=-+->),0化简得x x y (42=>).0 (II)设过点m m M )(0,(>)0的直线l 与曲线C 的交点为l y x B y x A ),(),,(2211的方程为,m ty x +=与x y 42=联立，消y 得，)(16,04422m t m ty y +=∆=-->0，,4,42121m y y t y y -==+∴又),,1(),,1(2211y x FB y x FA -=-=→→有→→⋅FB FA <0，有2121211)(y y x x x x +++-<0又1)44(44,422212122212++-+⋅∴=y y y y y y y x <0，162+-∴m m <24t , 对任意16,0)4(,2min 2+-∴=∈m m t R t <0，223-∴<m <.223+ 练习题参考答案： BCABB C 7．21；8．2；9．14；10．32； 11．解：B A , 关于l 对称，,l AB ⊥∴且AB 中点),(00y x M 在l 上，可设AB 方程为,n x y +-=与22x y =联立，消y ，得,2,21,0221212n x x x x n x x -=-=+∴=-+由,2121-=x x 得,1=n又),45,41(.45,41200210-∴=+-=-=+=M n x y x x x 由点M 在l 上，易得.23=m 12．解 （Ⅰ）当AB ⊥x 轴时，点A 、B 关于x 轴对称，所以m ＝0，直线AB 的方程为x =1，从而点A 的坐标为（1，23）或（1，－23）. 因为点A 在抛物线上，所以p 249=，即89=p . 此时C 2的焦点坐标为（169，0），该焦点不在直线AB 上. （Ⅱ）解：当C 2的焦点在AB 时，由（Ⅰ）知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为)1(-=x k y .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 消去y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k . ……①设A 、B 的坐标分别为（x 1,y 1）, （x 2,y 2）, 则x 1,x 2是方程①的两根，x 1＋x 2＝22438k k +.因为AB 既是过C 1的右焦点的弦，又是过C 2的焦点的弦，所以)(214)212()212(2121x x x x AB +-=-+-=，且34)2()2(212121++=++=+++=x x p x x p x p x AB .从而)(214342121x x x x +-=++.所以91621=+x x ，即91643822=+kk .解得6,62±==k k 即. 因为C 2的焦点),32(m F '在直线)1(-=x k y 上，所以k m 31-=.即3636-==m m 或. 当36=m 时，直线AB 的方程为)1(6--=x y ；当36-=m 时，直线AB 的方程为)1(6-=x y . 13．（I ）解：设抛物线的标准方程为22y px =，则28p =，从而p =因此焦点02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，的坐标为(20)，， 又准线方程的一般式为2px =-．从而所求准线的方程为2x =-． （II ）解：设()A A A x y ，，()B B B x y ，，直线AB 的斜率为tan k α=，则直线方程为(2)y k x =-．将此式代入28y x =得22224(2)40k x k x k -++=，故224(2)A B k x x k++=． 记直线m 与AB 的交点为()E E E x y ，，则222(2)2A B E x x k x k +--=，4(2)E Ey k x k=-=，故直线m 的方程为224124k y x k k k ⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭，令0y =，得点P 的横坐标22244p k x k +=+，故2224(1)4sin P Ek FP x x k α+=-==． 从而222442sin cos 2(1cos 2)8sin sin FP FP ααααα-=-==为定值． 14．解：（I ）设切点2004x Q x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．由2xy '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ，故所求切线方程为2000()42x x y x x -=-．即20424x x y x =-．因为点(0)P -4，在切线上．所以2044x -=-，216x =，04x =±．所求切线方程为24y x =±-． （II ）设11()A x y ，，22()C x y ，．由题意知，直线AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设0k >． 因直线AC 过焦点(01)F ，，所以直线AC 的方程为1y kx =+．点A C ，的坐标满足方程组214y kx x y =+⎧⎨=⎩，，得2440x kx --=，由根与系数的关系知121244.x x k x x +=⎧⎨=-⎩，24(1)AC k ===+．因为AC BD ⊥，所以BD 的斜率为1k -，从而BD 的方程为11y x k=-+． 同理可求得22214(1)41k BD k k ⎛⎫+⎛⎫=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．2222218(1)18(2)322ABCD k S AC BD k k k +===++≥． 当1k =时，等号成立．所以，四边形ABCD 面积的最小值为32．15．（I ）解：设A B ，两点坐标分别为2112y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，2222y y ⎛⎫⎪⎝⎭，，由题设知=．解得221212y y ==，所以(6A，(6B -，或(6A -，，(6B ． 设圆心C 的坐标为(0)r ，，则2643r =⨯=，所以圆C 的方程为22(4)16x y -+=． ···· 4分 （II ）解：设2ECF a ∠=，则2||||cos 216cos 232cos 16CE CF CE CF ααα===-．8分在Rt PCE △中，4cos ||||x PC PC α==，由圆的几何性质得 ||||17PC MC +=≤18+=，||||1716PC MC -=-=≥，所以12cos 23α≤≤，由此可得1689CE CF --≤≤．则CE CF 的最大值为169-，最小值为8-．再由弦长公式得12AB x -=2=又由点到直线的距离公式得d =从而112222ABNS d AB p ===△···∴当0k =时，2max ()ABN S =△．（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，则以AC 为直径的圆的方程为11(0)()()()0x x x y p y y -----=，将直线方程y a =代入得211()()0x x x a p a y -+--=，则21114()()4()2p x a p a y a y a p a ⎡⎤⎛⎫=---=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦△． 设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为3344()()P x y Q x y ，，，，则有34PQ x x =-==令02p a -=，得2p a =，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2py =， 即抛物线的通径所在的直线．x16．解：（Ⅰ）依题意，点N 的坐标为(0)N p -，，可设1122()()A x y B x y ，，，，直线AB 的方程为y kx p =+，与22x py =联立得22x py y kx p ⎧=⎨=+⎩，．消去y 22220x pkx p --=由韦达定理得122x x pk +=，2122x x p =-．。