高二数学变化率与导数3
高二数学变化率与导数知识点总结
高二数学变化率与导数知识点总结在高二数学学习中，变化率和导数是非常重要的概念。
它们是微积分的基础，也是我们理解函数变化规律和求解问题的重要工具。
下面是关于高二数学中变化率和导数的知识点总结。
1. 变化率的概念变化率是描述一个量相对于另一个量的变化程度的指标。
在数学中，我们通常用函数的导数来表示变化率。
对于函数y = f(x)，它的变化率可以用以下两种方式表示：- 平均变化率：平均变化率是函数在某个区间上的变化量与该区间长度的比值。
如果x的取值从a到b，对应的y的取值从f(a)到f(b)，则该区间上的平均变化率为：平均变化率 = (f(b) - f(a)) / (b - a)- 瞬时变化率：瞬时变化率是指在某一点上的瞬时变化速度。
如果函数在x点的导数存在，则该点的瞬时变化率为导数值，即：瞬时变化率 = f'(x)2. 导数的定义和性质导数是描述函数变化率的工具，它的定义如下：- 对于函数y = f(x)，如果函数在某一点x上的导数存在，那么导数表示函数在该点的瞬时变化率。
导数的定义如下： f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
导数具有以下几个重要的性质：- 导数存在的条件：函数在某一点x处的导数存在的充分必要条件是函数在该点的左导数和右导数存在且相等。
- 导数的几何意义：函数在某一点的导数等于函数曲线在该点切线的斜率。
切线的斜率可以用导数来表示。
- 导数与函数单调性的关系：如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数在某区间内的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
- 导数与函数极值的关系：如果函数在某一点的导数存在且为0，那么该点可能是函数的极值点。
3. 常见函数的导数- 幂函数导数：对于幂函数y = x^n，其中n为常数，它的导数为：dy/dx = n*x^(n-1)- 指数函数导数：对于指数函数y = a^x，其中a为常数且大于0且不等于1，它的导数为：dy/dx = a^x * ln(a)- 对数函数导数：对于对数函数y = log_a(x)，其中a为常数且大于0且不等于1，它的导数为：dy/dx = 1 / (x * ln(a))- 三角函数导数：对于三角函数sin(x)，cos(x)，tan(x)等，它们的导数可以通过基本导数公式来求解。
高二数学复习典型题型与知识点专题讲解14---导数的概念及其意义+导数的运算(解析版)
高二数学复习典型题型与知识点专题讲解14 导数的概念及其意义+导数的运算一、典例精析拓思维（名师点拨） 知识点1 变化率与导数 知识点2 导数几何意义 知识点3 导数的四则运算 知识点4 复合函数求导 二、题型归类练专练一、典例精析拓思维（名师点拨）知识点1 变化率与导数例1．（2021·江苏·高二专题练习）函数()221y f x x ==-在区间[]1,1x +∆上的平均变化率yx∆∆等于（ ）．A ．4B ．42x +∆C ．()242x +∆D ．4x 【答案】B 【详解】因函数()221y f x x ==-，则()f x 在区间[]1,1x +∆上的函数增量y ∆有：()()()()()22112112142y f x f x x x ∆=+∆-+∆---=∆+∆=，于是有42yx x∆=+∆∆， 所以所求平均变化率yx∆∆等于42x +∆.故选：B练习1-1．（2021·江苏·高二专题练习）已知函数()224f x x =-的图象上一点()1,2-及邻近一点()1,2x y +∆-+∆，则yx∆=∆（ ） A ．4B ．4x ∆C ．42x +∆D ．()242x +∆ 【答案】C 【详解】解：∵()()()()()22112142424y f x f x x x ∆=+∆-=+∆---=∆+∆，∴24yx x∆=∆+∆， 故选：C ．名师点评：平均变化率函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率是2121()()f x f x y x x x -∆=∆-. 例2．（2021·全国·高二课时练习）已知函数()f x 在0x 处的导数为0()f x '，则()()000lim x f x m x f x x∆→-∆-∆等于（ ）A ．0()mf x 'B ．0()mf x '-C ．0(1)f m x -'D ．01()f x m' 【答案】B 【详解】因为函数()f x 在0x 处的导数为0()f x '， 所以()()0000im)l (x f x m x f f x x x m ∆→-∆-'=-∆，所以()()()()0000000liml ()imx x f x m x f x f x m x f x m xxf m x m ∆→∆→-∆--∆-=-=-∆-'∆，故选：B.练习2-1．（2021·山西·晋城市第一中学校高二阶段练习）设()f x 为可导函数，且当0x ∆→时，()()1112f f x x--∆→-∆，则曲线()y f x =在点()() 1,1f 处的切线斜率为（ ）A ．2B ．1-C ．1D ．2- 【答案】D 【详解】解：由导数的几何意义，点()() 1,1f 处的切线斜率为(1)f '， 因为0x ∆→时，()()1112f f x x--∆→-∆，所以()()()()11(1)liml 11222imx x f f x f f x xxf ∆→∆→--∆--∆='=-∆∆=，所以在点()() 1,1f 处的切线斜率为2-， 故选：D.名师点评：瞬时变化率函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率0000()()lim lim x x f x x f x yx x ∆→∆→+∆-∆=∆∆. 在实际解题时要注意00()()f x x f x +∆-中两（）中的量做差得到的结果才是分母中的x ∆.如在例2()()0000lim()x f x m x f x f x x∆→-∆-'≠∆，在该式中，分子两（）中的量作差后得到的()()00x m x x m x -∆-=-∆，所以()()0000lim ()x f xm x f x f x m x∆→-∆-'=-∆，所以在题目中的分母要凑配常数，即：()()()()()000000lim()lim()x x m m f x m x f x f x m x f x f x xxm ∆→∆→---∆--∆-'=∆-=∆.知识点2 导数几何意义例1．（2021·全国·高二单元测试）如图，函数()y f x =的图象在点(2,)P y 处的切线是l ，则(2)(2)f f '+=（ ）A ．-3B ．-2C ．2D ．1 【答案】D 【详解】解：由题图可得函数()y f x =的图象在点P 处的切线与x 轴交于点(4,0)，与y 轴交于点(0,4)，则切线:4l x y +=，(2)2f ∴=，(2)1f '=-，(2)(2)211f f '+=-=，故选：D.练习1-1．（2021·全国·高二单元测试）已知()y f x =的图象如图所示，则()A f x '与()B f x '的大小关系是（ ） A ．()()A B f x f x ''> B ．()()A B f x f x ''= C ．()()A B f x f x ''<D ．()A f x '与()B f x '大小不能确定 【答案】A 【详解】根据题意，由图象可得f （x ）在x ＝x A 处切线的斜率大于在x ＝x B 处切线的斜率， 则有()()A B f x f x ''>； 故选：A名师点评：函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '的几何意义是在曲线()y f x =上点00(,)P x y 处的切线的斜率（0()k f x '=）.例2．（2021·陕西汉中·一模（理））已知函数3C :()ln f x x x =+，则曲线在点(1,(1))f 处的切线方程为___________． 【答案】430x y --= 【详解】解：因为21()3f x x x'=+， 所以(1)4k f '==， 又(1)1,f =故切线方程为14(1)y x -=-， 整理为430x y --=， 故答案为：430x y --=练习2-1．（2021·四川成都·一模（文））曲线()3f x x x =-在点(2,6)处的切线方程为_______．【答案】11160x y --= 【详解】因为()3f x x x =-，所以()231f x x '=-，()211f '=所以切线方程为()6112y x -=-，即11160x y --= 故答案为：11160x y --=名师点评：曲线求切线问题可分为两类：①在点00(,)P x y 处的切线，此时00(,)P x y 为切点；②过点00(,)P x y 处的切线方程，此时需另设切点求解.如本例2，求函数3C :()ln f x x x =+，在点(1,(1))f 处的切线方程，此时切点为(1,(1))f ，只需求出斜率(1)k f '=.例3．（2021·河南·南阳中学高三阶段练习（文））曲线()ln 3f x x =+的过点()1,1-的切线方程为________．【答案】20x y -+= 【详解】设切点坐标为()00,ln 3x x +，()1f x x'=，()001f x x '∴=，∴切线方程为()0001ln 3y x x x x --=-， 切线过点()1,1-，()00011ln 31x x x ∴--=--， 化简得：0011ln x x +=，解得：01x =， ∴切线方程为2y x =+，即20x y -+=．故答案为：20x y -+=.练习3-1．（2021·全国·高二课时练习）已知函数()32698f x x x x =-+-+，则过点()0,0可作曲线()y f x =的切线的条数为___________.【答案】2 【详解】∵点()0,0不在函数()y f x =的图象上，∴点()0,0不是切点，设切点为()320000,698P x x x x -+-+（00x ≠），由()32698f x x x x =-+-+，可得()23129'=-+-f x x x ，则切线的斜率()20003129k f x x x '==-+-，∴3220000006983129x x x x x x -+-+-+-=，解得01x =-或02x =，故切线有2条. 故答案为：2名师点评：曲线求切线问题可分为两类：①在点00(,)P x y 处的切线，此时00(,)P x y 为切点；②过点00(,)P x y 处的切线方程，此时无论00(,)P x y 是否在曲线上，都需另设切点求解.如本例3，求曲线()ln 3f x x =+的过点()1,1-的切线方程，此时应设切点00(,)P x y ，在利用导数0()k f x '=，求出切线方程，再利用()1,1-在切线上，求出切点00(,)P x y ，从而求出切线方程.注意和例题2做对比.知识点3 导数的四则运算例1．（2021·江苏·高二专题练习）求下列函数的导数；（1）32235y x x =-+（2）22log xy x =+（3）31sin x y x-=（4）sin sin cos x y x x =+【答案】（1）266y x x '=- （2）12ln 2ln 2x y x '=+（3）()2323sin cos 1sin x x x x y x--'=（4）11sin 2y x'=+（1）解：因为32235y x x =-+，所以266y x x '=-； （2）解：因为22log xy x =+，所以12ln 2ln 2x y x '=+； （3）解：因为31sin x y x -=，所以()()()()()3323221sin sin 13sin cos 1sin sin x x x x x x x x y x x ''-----'== （4） 解：因为sin sin cos xy x x=+，所以()()()()()()()22sin sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin sin 11sin 2sin cos sin cos x x x x x x x x x x x x y x x x x x ''+-++--'===+++练习1-1．（2021·全国·高二课时练习）已知函数()f x 的导数为()f x '，而且()()232ln f x x xf x '=++，求()2f '. 【答案】94-【详解】()()1232f x x f x ''=++，()()124322f f ''∴=++，解得：()924f '=-.名师点评：导数的运算法则： (1)[()()]()()f x g x f x g x '''±=±(2)[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=⋅+⋅ (3)2()()()()()[](()0)()()f x f xg x f x g x g x g x g x ''⋅-⋅'=≠ 知识点4 复合函数求导例1．（2021·全国·高二课时练习）求下列函数的导数.（1）()sin 23y x =+；（2）21e x y -+=；（3）()22log 21y x =-.【答案】（1）()2cos 23x +（2）212e x -+-（3）()2421ln 2xx -⋅（1）函数()sin 23y x =+可以看作函数sin y u =和23u x =+的复合函数，由复合函数的求导法则可得()()()sin 23cos 22cos 2cos 23x u x y y u u x u u x ''⋅'''=⋅=+=⋅==+. （2）函数21e x y -+=可以看作函数u y e =和21u x =-+的复合函数， 由复合函数的求导法则可得()()()21e 21e 22eu u x x u x y y u x -+''''=⋅=⋅-+=⋅-=-'. （3）函数()22log 21y x =-可以看作函数2log y u =和221u x =-的复合函数，由复合函数的求导法则可得()2144ln 221ln 2x u x xy y u x u x '''=⋅=⋅=-⋅.练习1-1．（2021·全国·高二课时练习）求下列函数的导数： （1）7(35)y x =+；（2）57e x y -=；（3）ln(4)y x =-+；（4）213x y -=；（5）sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（6）34(35)y x =-.【答案】（1）621(35)y x '=+（2）57e 5x y -'=（3）14y x '=- （4）212ln 33x y -'=⨯（5）2cos 26y x π⎛⎫'=- ⎪⎝⎭（6）149(35)4x y --'= （1）667(35)(35)21(35)y x x x ''=+⨯+=+；（2）5757e e (57)5x x x y --'⨯'=-=；（3） 11(4)44y x x x ''=⨯-+=-+- （4）1212ln 3(21)2ln 333x x x y --'⨯-=⨯'=；（5）cos 2(2)2cos 2666y x x x πππ⎛⎫⎛⎫''=-⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（6）314149(33(35)45)(35)4x y x x --'=---'=⨯．名师点评：复合函数(())y f g x =的导数和函数()y f μ=,()g x μ=的导数间的关系为x x y y μμ'''=⋅,即y 对x 的导数等于y 对μ的导数与μ对x 的导数的乘积.二、题型归类练专练一、单选题1．（2021·全国·高二课时练习）函数()2f x x =在1x =附近(即从1到1x +∆之间)的平均变化率是（ ）A ．2x +∆B ．2x -∆C ．2D ．22()x +∆ 【答案】C 【详解】Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )－2＝2Δx . 所以2 2.y x x x∆∆==∆∆ 故选：C2．（2021·全国·高一课时练习）函数2()1f x x =+，当自变量x 由1变到1.1时，函数()f x 的平均变化率为（ ） A ．2.1B ．1.1C ．2D ．1 【答案】A 【详解】由题意，函数的平均变化率为：()()221.11 1.112.11.110.1f f --==-. 故选：A.3．（2021·江苏·高二专题练习）函数()12f x x=在2x =处的导数为（ ） A ．2B ．12C ．14D ．18- 【答案】D 【详解】()()()()000011222222111lim lim lim lim 2428x x x x f x f x f x x x x x ∆→∆→∆→∆→-∆+∆-+∆⨯⎛⎫===-⋅=- ⎪∆∆∆+∆⎝⎭，所以函数()f x 在2x =处的导数为18-.故选：D.4．（2021·江苏·高二专题练习）设函数()f x 在0x x =附近有定义，且有()()()002f x f x x b x x a +-=+∆∆∆，其中a ，b 为常数，则（ ） A ．()f x a '=B ．()f x b '=C ．()0f x a '=D ．()0f x b '=【答案】C【详解】因为()()()002f x f x x b x x a +-=+∆∆∆，所以()()00f x x f x a b x x+∆-=+∆∆，则()()()0000lim lim x x f x x f x a b x a x∆→∆→+∆-=+∆=∆，即()0f x a '=. 故选：C.5．（2021·全国·高二课时练习）已知曲线y ＝13x 3上一点P 82,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，则该曲线在P 点处切线的斜率为（ ）A ．4B ．2C ．－4D ．8【答案】A【详解】3322200011()133lim lim lim 33()3x x x x x x y y x x x x x x x ∆→∆→∆→+∆-∆'⎡⎤===+⋅∆+∆=⎣⎦∆∆ 故y ′＝x 2，y ′|x ＝2＝22＝4，结合导数的几何意义知，曲线在P 点处切线的斜率为4.故选：A6．（2021·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））已知函数2()ln 2f x x m x x =-+的图象在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线与直线20x y +=垂直，则m =（ ） A ．54B ．54-C ．12D ．12- 【答案】C【详解】函数2()ln 2f x x m x x =-+的导数为()22m f x x x'=-+， 可得在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线的斜率为1322f m ⎛⎫=⎪⎭'- ⎝， 又切线与直线20x y +=垂直，所以()13212m -⋅-=-，解得12m =. 故选：C ．7．（2021·四川·树德中学高三期中（文））设函数()()ln f x g x x x =++，曲线()y g x =在点1,1g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为（ ）A ．4y x =B ．48=-y xC ．22y x =+D ．21y x =+【答案】A【详解】因为曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，所以(1)3(1)2g g =⎧⎨='⎩， 因为()()ln =++f x g x x x ，则1()()1f x g x x''=++，所以1(1)(1)141f g ''=++=， 且(1)(1)1ln14f g =++=，因此曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()441y x -=-，即4y x =，故选：A.8．（2021·江苏·扬州中学高二阶段练习）已知()()220x f x e xf '=-，则()1f '=（ ）A ．243e -B ．2423e -C ．ln 2e +D ．221e - 【答案】B【详解】()()2e 20x f x xf '=-，则()()22e 20x f x f ''=-，()()0220f f ''=-，()203f '=.()242e 3x f x '=-，()2412e 3f '=-.故选：B二、填空题9．（2021·河南·高二期末（文））已知函数()2e sin x f x x m x =⋅-的图象在0x =处的切线与直线310x y ++=垂直，则实数m =___________.【答案】-1【详解】()2sin x f x x e m x =⋅-的定义域为R ，则()22cos x x f x e x e m x '=+⋅-，则函数在0x =处的切线斜率为1(0)2k f m '==-，又直线310x y ++=的斜率213k =-， 由切线和直线垂直，则121k k ，即1(2)()13m -⨯-=-， 解得1m =-.故答案为：1-10．（2021·山东·高三阶段练习）曲线2()ln(2)f x x x =+在点(1,(1))f 处的切线方程为________.【答案】3ln 22y x =+-【详解】()11()2222f x x x x x x ''=⋅+=+， (1)3k f '∴==，又(1)1ln 2f =+，∴切线方程为(1ln 2)3(1)y x -+=-，即3ln 22y x =+-故答案为：3ln 22y x =+-11．（2021·陕西蒲城·高三期中（理））已知函数()sin cos f x x x x =+，则()f π'-＝_____．【答案】π【详解】由()sin cos f x x x x =+求导得：()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=，于是得()cos()f ππππ'-=--=，所以()f ππ'-=.故答案为：π12．（2021·云南师大附中高三阶段练习（理））已知函数cos2()1x f x x =+，则曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为____________．【答案】+10x y -=【详解】解：由题，得()()()22sin 21cos 21x x x f x x -⋅+-=+'，则(0)1f '=-，而(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y x -=-，即10x y +-=.故答案为：+10x y -=.三、解答题13．（2021·山西·芮城中学高二阶段练习）已知曲线3S 2y x x =-：（1）求曲线S 在点(2,4)A 处的切线方程；（2）求过点(1,1)B -并与曲线S 相切的直线方程.【答案】（1）10160x y --=（2）20x y --=或5410x y +-=（1）∵32y x x =-，则232y x '=-，∴当2x =时，10y '=，∴点A 处的切线方程为：()4102y x -=-，即10160x y --=.（2）设()3000,2P x x x -为切点，则切线的斜率为()20032f x x '=-，故切线方程为：()()()320000232y x x x x x --=--， 又知切线过点()1,1-，代入上述方程()()()32000012321x x x x ---=--，解得01x =或012x =-， 故所求的切线方程为20x y --=或5410x y +-=.14．（2021·北京市第十五中学南口学校高三期中）已知函数321()33f x x x x =--，求曲线()y f x =在1x =处的切线的方程. 【答案】143y x =-+ 因为321()33f x x x x =--，所以111(1)1333f =--=-，2()23f x x x '=-- 所以(1)1234f '=--=-所以曲线()y f x =在1x =处的切线的方程为()11413y x +=--，即143y x =-+。
3.1.1 变化率问题 3.1.2导数的概念 教案(人教A版选修1-1)
3．1 变化率与导数3．1.1变化率问题3．1.2导数的概念(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能通过大量的实例的分析，让学生经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数．2．过程与方法通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法．3．情感、态度与价值观学生在从平均变化率到瞬时变化率的探索过程中，通过动手算、动脑思和集体合作讨论，发展思维能力，树立敢于战胜困难的信息，养成主动获取知识和敢于探索求知的习惯，激发求知欲，增强合作交流意识．●重点、难点重点：了解导数概念的形成，理解导数有内涵．难点：在平均变化率的基础上探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵．通过列举大量实例增强学生对导数概念形成的理解，以化解重点；通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点．(教师用书独具)●教学建议学生对平均变化率已有了很好的认识，同时在物理课程中已学习过瞬时速度，因此，学生已经具备了一定的认知基础，于是，在教学设计中，宜采用相互讨论、探究规律和引导发现的教学方法，本着为学生发展的原则，通过师生互动、共同探索，形成概念，并学以致用．在学生的认知基础上，为了让学生明确导数就是瞬时变化率，函数f (x )在x ＝x 0处的导数反映了函数f (x )在x ＝x 0处附近变化的快慢，从而更好地理解导数的概念．在学法指导上，应回避了学生较难理解的极限思想，而是通过让学生体验逼近的思想，让他们通过自主探究，发现导数的内涵．使学生在学习过程中探究能力，分析问题、解决问题的能力都得到了不同程度的提升．●教学流程创设问题情境，引出问题：如何刻画物体运动的快慢？⇒引导学生结合物理知识，分析、比较，引出平均变化率与瞬时变化率的概念.⇒通过引导学生回答所提问题理解瞬时变化率，得出导数的概念.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握如何计算平均变化率.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握求瞬时速度的方法，为求导数打下基础.⇒通过例3及其变式训练，学会求函数在某点处的导数的步骤与方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.(对应学生用书第45页)【问题导思】实例：(1)当你吹气球时会发现随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加的会越来越慢．(2)从高空放下一件物体，随着时间的变化，物体下降的速度会越来越快． 1．如何用数学的观点刻画物体运动的快慢？ 【提示】 可以运用平均变化率来刻画．2．实例(2)中，当t 1≈t 2时刻时，平均变化率有什么样的特点？ 【提示】 平均变化率接近t 1或t 2时刻的速度． 1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢． 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 (1)定义式：lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值． (3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li mΔx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.(对应学生用书第45页)求函数f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 都为13，在哪一点附近平均变化率最大？【思路探究】 (1)Δx 、Δy 分别为多少？(2)平均变化率怎么求？(3)哪一点附近的平均变化率大？【自主解答】 在x ＝1附近的平均变化率为 k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx ＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx ＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx ＝6＋Δx .若Δx ＝13，则k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1＜k 2＜k 3，故在x ＝3附近的平均变化率最大．1．解答本题的关键是弄清在某点处自变量的增量Δx 与函数值的增量Δy . 2．求函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率的三个步骤 (1)求自变量的增量：Δx ＝x 2－x 1. (2)求函数值的增量：Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (3)作商求函数的平均变化率：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.求函数y ＝sin x 在0到π6之间和π3到π2之间的平均变化率，并比较它们的大小．【解】 函数y ＝sin x 在0到π6之间的平均变化率为sin π6－sin 0π6－0＝3π，在π3到π2之间的平均变化率为sin π2－sin π3π2－π3＝3(2－3)π. ∵2－3＜1，∴3π＞3(2－3)π.∴函数y ＝sin x 在0到π6之间的平均变化率为3π，在π3到π2之间的平均变化率为3(2－3)π，且在0到π6之间的平均变化率较大．s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 (t ≥3)29＋3(t －3)2(0≤t ＜3) 求(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度． (2)物体的初速度v 0.【思路探究】 (1)求物体在[3,5]内的平均速度应选择哪一段函数的解析式？(2)物体的初速度v 0的含义是什么？如何去求？【自主解答】 (1)∵物体在t ∈[3,5]内时，s ＝3t 2＋2，且时间增量Δt ＝5－3＝2， 物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3,5]上的平均速度为 Δs Δt ＝482＝24(m/s)． (2)求物体的初速度v 0，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f (0＋Δt )－f (0)Δt＝29＋3[(0＋Δt )－3]2－29－3(0－3)2Δt ＝3Δt －18，∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为 li mΔt →0 ΔsΔt＝li mΔt →0 (3Δt －18)＝－18， 即物体的初速度为－18 m/s.1．解答本例首先要弄清第(1)问是求平均变化率，而第(2)问实际上是求t ＝0时的瞬时速度(即瞬时变化率)．2．求瞬时速度应先求平均速度v ＝Δs ，再用公式v ＝li mΔt →0 Δs，求得瞬时速度． 3．如果物体的运动方程是s ＝s (t )，那么函数s ＝s (t )，在t ＝t 0处的导数，就是物体在t ＝t 0时的瞬时速度．一辆汽车按规律s ＝2t 2＋3做直线运动，求这辆车在t ＝2时的瞬时速度(时间单位：s ，位移单位：m)．【解】 设这辆车在t ＝2附近的时间变化量为Δt ，则位移的增量Δs ＝[2(2＋Δt )2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt ＋2(Δt )2，Δs Δt ＝8＋2Δt ，当Δx 趋于0时，平均变化率ΔsΔt 趋于8. 所以，这辆车在t ＝2时的瞬时速度为8 m/s.【思路探究】 求Δy →求ΔyΔx→取极限→得f ′(1) 【自主解答】 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝[3(1＋Δx )2＋a (1＋Δx )＋b ]－(3＋a ＋b )＝3(Δx )2＋(6＋a )Δx .Δy Δx ＝3(Δx )2＋(6＋a )Δx Δx＝3Δx ＋6＋a . li mΔx →0 ΔyΔx＝li mΔx →0 (3Δx ＋6＋a )＝6＋a . ∴f ′(1)＝6＋a .1．求函数f (x )在某点处导数的步骤与求瞬时变化率的步骤相同，简称：一差、二比、三极限．2．利用定义求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的两个注意点(1)在求平均变化率Δy Δx 时，要注意对Δy Δx 的变形与约分，变形不彻底可能导致li mΔx →0 ΔyΔx 不存在．(2)当对Δy Δx 取极限时，一定要把ΔyΔx变形到当Δx →0时，分母是一个非零常数的形式．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值． 【解】 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1) ＝a (1＋Δx )2＋c －(a ＋c ) ＝2a ·Δx ＋(Δx )2，∴Δy ＝2a ·Δx ＋(Δx )2＝2a ＋Δx . 因此f ′(1)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0(2a ＋Δx )＝2a .∴2a＝2，a＝1.(对应学生用书第48页)求物体的瞬时速度、初速度时要注意步骤的规范性(12分)(2013·长沙高二检测)一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2.(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．【思路点拨】本题已知函数解析式，求初速度即t＝0时的瞬时速度，t＝2时的瞬时速度和t∈[0,2]时的平均速度，可以用一差、二比、三极限的方法．【规范解答】(1)当t＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt]，即[0，Δt]，∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2，2分Δs Δt＝3Δt－(Δt)2Δt＝3－Δt，3分lim Δt→0ΔsΔt＝limΔt→0(3－Δt)＝3.4分∴物体的初速度为3.(2)取一时间段[2,2＋Δt]，∴Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22) ＝－Δt－(Δt)2，6分Δs Δt＝－Δt－(Δt)2Δt＝－1－Δt，7分lim Δt→0ΔsΔt＝limΔt→0(－1－Δt)＝－1，8分∴当t＝2时，物体的瞬时速度为－1.(3)当t∈[0,2]时，Δt＝2－0＝2.Δs ＝s (2)－s (0)＝(3×2－22)－(3×0－02)＝210分 v ＝Δs Δt ＝22＝1. ∴在0到2之间，物体的平均速度为1.12分解答此类问题首先要理解概念与公式的内涵，其次在解题过程中要严格按规定步骤解答，切忌跨步，以免出错．1．平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，当Δx 趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x 0处的瞬时变化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解．另外，它们都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快．2．函数在一点处的导数，就是在该点函数值的改变量与自变量的改变量的比值的极限，它是一个定值，不是变数.(对应学生用书第48页)1．已知物体位移公式s ＝s (t )，从t 0到t 0＋Δt 这段时间内，下列说法错误的是( ) A ．Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)叫做位移增量B.Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt 叫做这段时间内物体的平均速度C.ΔsΔt 不一定与Δt 有关 D.lim Δt →ΔsΔt叫做这段时间内物体的平均速度 【解析】 D 错误，应为t ＝t 0时的瞬时速度． 【答案】 D2．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43D ．0.44【解析】 ∵x ＝2，Δx ＝0.1， ∴Δy ＝f (2＋0.1)－f (2)＝2.12－22＝0.41. 【答案】 B3．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b 【解析】Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝a ＋b ·Δx ， f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0(a ＋b ·Δx )＝a . 【答案】 C4．一物体运动的方程是s ＝3＋t 2，求物体在t ＝2时的瞬时速度． 【解】 Δs ＝(2＋Δt )2－4＝4Δt ＋(Δt )2.∴ΔsΔt＝4＋Δt . ∴当Δt →0时，瞬时速度为4.(对应学生用书第103页)一、选择题1．已知函数y ＝x 2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则ΔyΔx 等于( )A ．2B ．2xC ．2＋ΔxD ．2＋(Δx )2【解析】 Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2.∴Δy Δx ＝2Δx ＋(Δx )2Δx＝2＋Δx . 【答案】 C2．自由落体运动的公式为s ＝s (t )＝12gt 2(g ＝10 m/s 2)，若v ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt ，则下列说法正确的是( )A ．v 是在0～1 s 这段时间内的速度B ．v 是1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的速度C ．5Δt ＋10是物体在t ＝1 s 这一时刻的速度D ．5Δt ＋10是物体从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度【解析】 由平均速度的概念知：v ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt ＝5Δt ＋10.故应选D.【答案】 D3．(2013·惠州高二检测)某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t (t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为( )A.12316米/秒B.12516米/秒 C ．8米/秒 D.674米/秒【解析】 ∵Δs Δt ＝(4＋Δt )2＋34＋Δt －16－34Δt＝(Δt )2＋8Δt ＋－3Δt 4(4＋Δt )Δt＝Δt ＋8－316＋4Δt，∴lim Δt →0 Δs Δt ＝8－316＝12516. 【答案】 B4．函数f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1，k 2的大小关系是( )A ．k 1＜k 2B ．k 1＞k 2C ．k 1＝k 2D ．无法确定【解析】 k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝2x 0＋Δx ，k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx＝2x 0－Δx ，而Δx 可正可负，故k 1、k 2大小关系不确定．【答案】 D5．已知点P (x 0，y 0)是抛物线y ＝3x 2＋6x ＋1上一点，且f ′(x 0)＝0，则点P 的坐标为( )A ．(1,10)B ．(－1，－2)C ．(1，－2)D ．(－1,10)【解析】 Δy ＝3(x 0＋Δx )2＋6(x 0＋Δx )－3x 20－6x 0＝6x 0·Δx ＋3(Δx )2＋6Δx ，∴lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(6x 0＋3Δx ＋6)＝6x 0＋6＝0. ∴x 0＝－1，y 0＝－2.【答案】 B二、填空题6．(2013·洛阳高二检测)一小球沿斜面自由滚下，其运动方程是s (t )＝t 2, (s 的单位：米，t 的单位：秒)，则小球在t ＝5时的瞬时速度为________．【解析】 v ′(5)＝lim Δt →0 s (5＋Δt )－s (5)Δt＝lim Δt →0(10＋Δt )＝10 【答案】 10米/秒7．已知函数f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________.【解析】 f ′(1)＝lim Δx →0 a (1＋Δx )＋4－a －4Δx ＝lim Δx →0 a Δx Δx＝2，∴a ＝2. 【答案】 28．若函数f(x)在x＝a处的导数为m，那么limΔx→0f(a＋Δx)－f(a－Δx)Δx＝________.【解析】∵limΔx→0f(a＋Δx)－f(a)Δx＝m，则limΔx→0f(a－Δx)－f(a)－Δx＝m.∴limΔx→0f(a＋Δx)－f(a－Δx)Δx＝limΔx→0f(a＋Δx)－f(a)＋f(a)－f(a－Δx)Δx＝limΔx→0f(a＋Δx)－f(a)＋limΔx→0f(a－Δx)－f(a)－Δx＝m＋m＝2m.【答案】2m三、解答题9．已知f(x)＝(x－1)2，求f′(x0)，f′(0)．【解】∵Δf＝(x0＋Δx－1)2－(x0－1)2＝2x0·Δx－2Δx＋(Δx)2，∴ΔfΔx＝2x0Δx－2Δx＋(Δx)2Δx＝2x0－2＋Δx，f′(x0)＝limΔx→0ΔfΔx＝limΔx→0(2x0－2＋Δx)＝2x0－2，把x0＝0代入上式，得f′(0)＝2×0－2＝＝－2.10．设质点做直线运动，已知路程s是时间t的函数：s＝3t2＋2t＋1.(1)求从t＝2到t＝2＋Δt的平均速度，并求当Δt＝1，Δt＝0.1时的平均速度；(2)求当t＝2时的瞬时速度．【解】(1)从t＝2到t＝2＋Δt内的平均速度为：Δs Δt＝s(2＋Δt)－s(2)Δt＝3(2＋Δt)2＋2(2＋Δt)＋1－3×4－2×2－1Δt＝14Δt＋3(Δt)2Δt＝14＋3Δt.当Δt＝1时，平均速度为14＋3×1＝17；当Δt＝0.1时，平均速度为14＋3×0.1＝14.3.(2)t＝2时的瞬时速度为：v＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(14＋3Δt)＝14.11．(2013·黄冈高二检测)枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果枪弹的加速度是a ＝5×105 m/s 2，它从枪口射出所用的时间为t 1＝1.6×10－3 s ，求枪弹射出枪口时的瞬时速度． 【解】 ∵s (t )＝12at 2， ∴Δs ＝s (t 1＋Δt )－s (t 1)＝12a (t 1＋Δt )2－12at 21＝at 1Δt ＋12a (Δt )2， Δs Δt ＝at 1Δt ＋12a (Δt )2Δt ＝at 1＋12a Δt . ∴枪弹射出枪口时的瞬时速度为v ＝lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (at 1＋12a Δt )＝at 1. 由题意a ＝5×105 m/s 2，t 1＝1.6×10－3s ， ∴v ＝at 1＝5×105×1.6×10－3 ＝800(m/s)，即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.(教师用书独具)求函数y ＝1x在x ＝1时的瞬时变化率． 【解】 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1) ＝11＋Δx －1＝1－1＋Δx 1＋Δx＝1－1－Δx (1＋1＋Δx )1＋Δx＝－Δx (1＋1＋Δx )1＋Δx， ∴Δy Δx ＝－1(1＋1＋Δx )1＋Δx . ∴Δx 趋于0时，Δy Δx 趋于－12. ∴x ＝1时的瞬时变化率为－12.求y ＝x 在x ＝1处的导数．【解】 由题意知Δy ＝1＋Δx －1， ∴Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝(1＋Δx －1)(1＋Δx ＋1)Δx (1＋Δx ＋1) ＝11＋Δx ＋1， ∴y ′|x ＝1＝lim Δx →011＋Δx ＋1＝12.。
高二数学选修1、3-1-1变化率问题与导数的概念
3.1.1变化率问题与导数的概念一、选择题1．在函数变化率的定义中，自变量的增量Δx满足()A．Δx＜0B．Δx＞0C．Δx＝0 D．Δx≠0[答案] D[解析]自变量的增量Δx可正、可负，但不可为0.2．函数在某一点的导数是()A．在该点的函数的增量与自变量的增量的比B．一个函数C．一个常数，不是变数D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率[答案] C[解析]由导数定义可知，函数在某一点的导数，就是平均变化率的极限值．3．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x②y＝x2③y＝x3④y＝1x中，平均变化率最大的是()A．④B．③C．②D．①[答案] B[解析]①的平均变化率为1，②的平均变化率为2.3，③的平均变化率为3.99，④的平均变化率为－0.77.4．质点M的运动规律为s＝4t＋4t2，则质点M在t＝t0时的速度为()A．4＋4t0B．0C．8t0＋4 D．4t0＋4t20[答案] C[解析]Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝4Δt2＋4Δt＋8t0Δt，ΔsΔt＝4Δt＋4＋8t0，lim Δt→0ΔsΔt＝limΔt→0(4Δt＋4＋8t0)＝4＋8t0.5．函数y＝x＋1x在x＝1处的导数是()A．2 B.5 2C．1 D．0[答案] D[解析] Δy ＝(Δx ＋1)＋1Δx ＋1－1－1＝Δx ＋－Δx Δx ＋1， Δy Δx ＝1－1Δx ＋1， lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎝⎛⎭⎫1－1Δx ＋1＝1－1＝0， ∴函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数为0. 6．函数y ＝f (x )，当自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，Δy ＝( )A ．f (x 0＋Δx )B ．f (x 0)＋ΔxC ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0) [答案] D[解析] Δy 看作相对于f (x 0)的“增量”，可用f (x 0＋Δx )－f (x 0)代替．7．一个物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则物体在t ＝2时的瞬时速度为( )A ．3B ．4C ．5D ．7 [答案] B[解析] lim Δt →0 3＋(2＋Δt )2－3－22Δt＝lim Δt →0 Δt 2＋4Δt Δt＝lim Δt →0 (Δt ＋4)＝4. 8．f (x )在x ＝x 0处可导，则lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ( ) A ．与x 0，Δx 有关B ．仅与x 0有关，而与Δx 无关C ．仅与Δx 有关，而与x 0无关D ．与x 0，Δx 均无关[答案] B[解析] 式子lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx表示的意义是求f ′(x 0)，即求f (x )在x 0处的导数，它仅与x 0有关，与Δx 无关．9．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b [答案] C[解析]∵f′(x0)＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→0aΔx＋b(Δx)2Δx＝limΔx→0(a＋bΔx)＝a.∴f′(x0)＝a.10．f(x)在x＝a处可导，则limh→0f(a＋3h)－f(a－h)2h等于()A．f′(a) B.12f′(a)C．4f′(a) D．2f′(a) [答案] D[解析]limh→0f(a＋3h)－f(a－h)2h＝limh→0f(a＋3h)－f(a)＋f(a)－f(a－h)2h＝32limh→0f(a＋3h)－f(a)3h＋12limh→0f(a)－f(a－h)h＝32f′(a)＋12f′(a)＝2f′(a)．二、填空题11．f(x0)＝0，f′(x0)＝4，则limΔx→0f(x0＋2Δx)－f(x0)Δx＝________.[答案]8[解析]limΔx→0f(x0＋2Δx)－f(x0)Δx＝2limΔx→0f(x0＋2Δx)－f(x0)2Δx＝2f′(x0)＝8.12．某物体做匀速运动，其运动方程是s＝v t＋b，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度关系是________．[答案]相等[解析]v0＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0s(t0＋Δt)－s(t0)Δt＝limΔt→0v(t0＋Δt)－v t0Δt＝limΔt→0v·ΔtΔt＝v.13．设x0∈(a，b)，y＝f(x)在x0处可导是y＝f(x)在(a，b)内可导的________条件．[答案]必要不充分[解析]y＝f(x)在x0∈(a，b)处可导不一定在(a，b)的所有点处可导，反之，y＝f(x)在(a，b)内可导，必然在(a，b)中的x0处可导．14．一球沿斜面自由滚下，其运动方程是S＝t2(S的单位：m，t的单位：s)，则小球在t ＝5时的瞬时速度为______．[答案] 10m/s[解析] v ＝S ′|t ＝5＝lim Δx →0S (5＋Δx )－S (5)Δxlim Δx →0 (10＋Δx )＝10(m/s)． 三、解答题15．一物体作自由落体运动，已知s ＝s (t )＝12gt 2. (1)计算t 从3秒到3.1秒、3.01秒，两段内的平均速度；(2)求t ＝3秒时的瞬时速度．[解析] (1)取一小段时间[3,3＋Δt ]，此时物体的位置改变量Δs ＝12g (3＋Δt )2－12g ·32＝12g (6＋Δt )Δt ，相应的平均速度v ＝Δs Δt ＝g 2(6＋Δt ) 当Δt ＝0.1时，即t 从3秒到3.1秒v ＝3.05g ；当Δt ＝0.01时，即t 从3秒到3.01秒v ＝3.005g .Δt 越小，v 就越接近时刻t 的速度．(2)v ＝lim Δt →0 Δs Δt＝lim Δt →0 g 2(6＋Δt )＝3g ＝29.4m/s. 16．若f ′(x )＝A ，求lim h →0f (x ＋h )－f (x －2h )h . [解析] 原式＝lim h →0 f (x ＋h )－f (x )＋f (x )－f (x －2h )h＝lim h →0 f (x ＋h )－f (x )h ＋lim h →02·f (x －2h )－f (x )－2h＝A ＋2A ＝3A .17．求函数y ＝x 在x ＝1处的导数．[解析] 解法一：(导数定义法)Δy ＝1＋Δx －1，Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， 所以lim Δx →0 11＋Δx ＋1＝12， 即y ′|x ＝1＝12. 解法二：(导函数的函数值法)Δy ＝x ＋Δx －x ，Δy Δx ＝x ＋Δx －x Δx ＝1x ＋Δx ＋x. 所以y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 1x ＋Δx ＋x ＝12x， 故y ′|x ＝1＝12. 18．路灯距地面8m ，一个身高1.6m 的人以84m/min 的速度在地面上从路灯在地面上的射影C 沿某直线离开路灯，(1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式；(2)求人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率．[解析] (1)如图所示，设人从C 点运动到B 处的路程为x m ，AB 为身影长度，AB 的长度为y m.由于CD ∥BE ，则AB AC ＝BE CD， 即y y ＋x ＝1.68，所以y ＝14x . (2)∵84m/min ＝1.4m/s ，而x ＝1.4t .∴y ＝14x ＝14×1.4t ＝720t ， t ∈[0，＋∞)．Δy ＝720(10＋Δt )－720×10＝720Δt ， ∴y ′|t ＝10＝lim Δt →0 Δy Δt ＝720即人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率为720.。
高中数学——变化率与导数
y=f(x)在 x=x0 处的导数,
记作 f'(x0)或 y'|������ =������ ,即 f'(x0)= lim
0
= lim
������(������0 +Δ������)-������(������0 ) . Δ������ Δ������ →0
(2)当 x 变化时,f'(x)是 x 的一个函数,我们称 y=f'(x)为 f(x)的导函数 (简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作 y',即 f'(x)=y'= lim
������(������+Δ������)-������(������) . Δ������ Δ������ →0
3.1
目标导航
变化率与导数
预习导引
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
预习交流 2
(1)“函数 f(x)在点 x0 处的导数”“导函数”“导数”三者之间有什么区别与 联系? 提示:①函数在一点处的导数,就是在该点的函数改变量与自变量的改 变量的比值的极限,它是一个定值,不是变数. ②“导函数”简称“导数”. ③导数 f'(x),是针对某一区间内任意点 x 而言的.函数 f(x)在区间(a,b)内 每一点都可导,是指对于区间(a,b)内的每一个确定的值 x0,都对应着一个确 定的导数 f'(x0),根据函数的定义,在区间(a,b)内就构成了一个新的函数,就是 函数 f(x)的导函数 f'(x). ④函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f'(x0)就是导数 f'(x)在 x=x0 处的函数值, 即 f'(x0)=f'(x)|������ =������ .
变化率问题(教学课件)高二数学(人教A版2019选修第二册)
∴抛物线f ( x) x2+2x在点P(1,3)处的切线方程为
y 3 4( x 1),即4x y 1 0.
例3 求抛物线f(x)=2x2-1在x=1处的切线方程.
解1：由已知得,当x 1时,f (1) 1.
取点P(1,1),在点P附近任宋取老一点Q(1 x, f (1 x)),则
内并非静止,因此,用平均速度不能精确描述运动员在这一时间段的运动状态.
为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念. 我们把物体在 某一时刻的速度称为瞬时速度(instantaneous velocity).
探究 瞬时速度与平均速度有什么关系? 你能利用这种关系求运动员在t=1
s时的瞬时速度吗?
0.001 0.0001 0.00001 0.000001
∆x <0
∆x >0
k x 宋师2 老数
∆x
1.99学精
0.01
k x 2
2.01
1.999品工 宋老师0.001 宋老师1.数99学99作精室品工作数室学精0.0001
2.001 2.0001
1.99999 1.999999
品工0作.00001 室 0.000001
2.00001 2.000001
通过观察可得，当∆x无限趋近于0，即无论x从小于1的一边，还是从大 于1的一边无限趋近于1时，割线P0P的斜率k近都无限趋近于2.
切线的斜率：
事实上，由 k f (1 x) f (1) x 2 可以发现，当∆x在无限趋近于0时，
x x 2无限趋近于2，我们把2叫宋做老“当△x无限趋近于0时，k
y
P•
师数 学精
4
T
品工 宋老师
限趋我近们于发一现个，确当定点宋的P老无位师限置数趋，学作近这精室于个品点工确作数品室P定0室学工时位精作，置割的线直P线0P无 P0T称为抛物线f(x)=x2在点P0(1, 1)处的切线.
2019—2020年新课标北师大版高中数学选修1-1《变化率与导数》章末综合测评及答案解析.docx
（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1 章末综合测评(三) 变化率与导数(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若y＝5x，则y′＝( )A.15x4B．155x4C.5x43D．15x x【解析】y＝x 15，则y′＝15x-45＝155x4.【答案】 B2．某质点沿直线运动的位移方程为f(x)＝－2x2＋1，那么该质点从x＝1到x＝2的平均速度为( )A．－4 B．－5C．－6 D．－7【解析】v＝f(2)－f(1)2－1＝－2×22＋1－(－2×12＋1)2－1＝－6.【答案】 C3．如果物体做S(t)＝2(1－t)2的直线运动，则其在t ＝4 s 时的瞬时速度为( )A ．12B ．－12C ．4D ．－4【解析】 S(t)＝2(1－t)2＝2t 2－4t ＋2，则S ′(t)＝4t －4，所以S ′(4)＝4×4－4＝12.【答案】 A4．曲线y ＝e x 在点A(0,1)处的切线斜率为( ) A ．1 B ．2 C ．eD ．1e【解析】 由题意知y ′＝e x ，故所求切线斜率k ＝e x |x ＝0＝e 0＝1. 【答案】 A5．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( )A ．－1B ．12C ．－2D ．2【解析】 ∵y ′＝－sin 2x －(1＋cos x )cos x sin 2x ＝－1－cos xsin 2x ，又f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＝－1，∴1a ＝－1，∴a ＝－1，故选A. 【答案】 A6．(2016·淮北高二检测)若曲线y ＝f(x)＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b)处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1【解析】 y ′＝2x ＋a ，∴f ′(0)＝a ＝1，∴y ＝x 2＋x ＋b ，又点(0，b)在切线上，故－b ＋1＝0， ∴b ＝1. 【答案】 A7．若函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 的图像的顶点在第四象限，则函数f ′(x)的图像是( )【解析】 f ′(x)＝2x ＋b ，因为f(x)顶点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－b 2，4c －b 24在第四象限．所以b<0，则f ′(x)图像与y 轴交于负半轴．【答案】 A 8．点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是( )A.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫0，π2B ．⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫3π4，π D ．⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤π2，3π4【解析】 y ′＝3x 2－1≥－1，则tan α≥－1. ∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫3π4，π.【答案】 B9．抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 在点(1,2)处的切线与其平行直线bx ＋y ＋c ＝0间的距离是( )A.24B ．22C.322D ． 2【解析】 ∵抛物线过点(1,2)，∴b ＋c ＝1.又∵f ′(1)＝2＋b ，由题意得2＋b ＝－b ，∴b ＝－1，c ＝2. ∴所求的切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0，∴两平行直线x －y ＋1＝0和x －y －2＝0间的距离d ＝|1＋2|2＝322.【答案】 C 10．设函数f(x)＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]【解析】 ∵f ′(x)＝x 2sin θ＋3xcos θ，∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π3因为θ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，5π12，所以θ＋π3∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π3，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π3∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22，1，故f ′(1)∈[2，2]．【答案】 D11．过点(－1,0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为( ) A ．2x ＋y ＋2＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0【解析】 y ′＝2x ＋1，设所求切线的切点为(x 0，x 20＋x 0＋1)． 则x 20＋x 0＋1x 0＋1＝2x 0＋1，∴x 0＝0或x 0＝－2.当x 0＝0时，曲线y ＝x 2＋x ＋1在点(0,1)处的切线斜率为1，方程为y －1＝x ，即x －y ＋1＝0.当x 0＝－2时，切线方程为3x ＋y ＋3＝0.【答案】 D12．点P 是曲线x 2－y －2ln x ＝0上任意一点，则点P 到直线4x ＋4y ＋1＝0的最短距离是( )A.22(1－ln 2)B ．22(1＋ln 2)C.22⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＋ln 2 D ．12(1＋ln 2)【解析】 将直线4x ＋4y ＋1＝0平移后得直线l ：4x ＋4y ＋b ＝0，使直线l 与曲线切于点P(x 0，y 0)，由x 2－y －2lnx ＝0得y ′＝2x －1x，∴直线l 的斜率k ＝2x 0－1x 0＝－1解得x 0＝12或x 0＝－1(舍去)，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，14＋ln 2， 所求的最短距离即为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，14＋ln 2到直线4x ＋4y ＋1＝0的距离d ＝|2＋(1＋4ln 2)＋1|42＝22(1＋ln 2)． 【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上)13．若y ＝－3cot x ，则y ′＝________.【导学号：63470074】【解析】 y ′＝－3(cot x)′＝－3·－1sin 2x ＝3sin 2x .【答案】3sin 2x14．下列四个命题中，正确命题的序号为________． ①若f(x)＝x ，则f ′(0)＝0；②(log a x)′＝xln a ；③加速度是质点的位移s对时间t 的导数；④曲线y ＝x 2在点(0,0)处有切线．【解析】 ①因为f ′(x)＝12x，当x 趋近于0时平均变化率不存在极限，所以函数f(x)在x ＝0处不存在导数，故错误；②(log a x)′＝1xln a ，故错误；③瞬时速度是位移s 对时间t 的导数，故错误；④曲线y ＝x 2在点(0,0)处的切线方程为y ＝0，故正确．【答案】 ④15．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝x 3＋2的一条切线，则k 的值为________． 【解析】 设切点为M(x 0，y 0)，则y 0＝x 30＋2， ① y 0＝kx 0，② ∵y ′＝3x 2，∴k ＝3x 20， ③ 将③代入②得y 0＝3x 30， ④将④代入①得x 0＝1， ∴y 0＝3，代入②得k ＝3. 【答案】 316．(2016·临沂高二检测)设函数f(x)的导数为f ′(x)，且f(x)＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＝________.【解析】 因为f(x)＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2sin x ＋cos x ，所以f ′(x)＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2cos x －sin x ，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2cos π2－sin π2.即f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＝－1，所以f(x)＝－sin x ＋cos x ，故f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－2.【答案】 －2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知某运动着的物体的运动方程为s(t)＝t －1t 2＋2t 2(路程单位：m ，时间单位：s)，求s ′(3)，并解释它的实际意义.【导学号：63470075】【解】 ∵s(t)＝t －1t 2＋2t 2＝tt 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t 2＋2t 2， ∴s ′(t)＝－1t 2＋2·1t 3＋4t ， ∴s ′(3)＝－19＋227＋12＝32327，即物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为32327m/s.18．(本小题满分12分)求过曲线y ＝cos x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，12且与过这点的切线垂直的直线方程．【解】 ∵y ＝cos x ，∴y ′＝－sin x. 曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，12处的切线斜率是y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为23.∴所求直线方程为y －12＝23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π3. 19．(本小题满分12分)求满足下列条件的函数f(x)．(1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0； (2)f(x)是二次函数，且x 2f ′(x)－(2x －1)f(x)＝1. 【解】 (1)由题意设f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d(a ≠0)， 则f ′(x)＝3ax 2＋2bx ＋c.由已知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝d ＝3，f ′(0)＝c ＝0，f ′(1)＝3a ＋2b ＋c ＝－3，f ′(2)＝12a ＋4b ＋c ＝0，解得a ＝1，b ＝－3，c ＝0，d ＝3. 故f(x)＝x 3－3x 2＋3.(2)由题意设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，则f ′(x)＝2ax ＋b.所以x 2(2ax ＋b)－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c)＝1， 化简得(a －b)x 2＋(b －2c)x ＋c ＝1，此式对任意x 都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，b ＝2c ，c ＝1，得a ＝2，b ＝2，c ＝1，即f(x)＝2x 2＋2x ＋1.20．(本小题满分12分)已知两曲线f(x)＝x 3＋ax 和g(x)＝x 2＋bx ＋c 都经过点P(1,2)，且在点P 处有公切线，试求a ，b ，c 的值．【解】 ∵点P(1,2)在曲线f(x)＝x 3＋ax 上， ∴2＝1＋a ，∴a ＝1，函数f(x)＝x 3＋ax 和g(x)＝x 2＋bx ＋c 的导数分别为f ′(x)＝3x 2＋a 和g ′(x)＝2x ＋b ，且在点P 处有公切线，∴3×12＋a ＝2×1＋b ，得b ＝2，又由点P(1,2)在曲线g(x)＝x 2＋bx ＋c 上可得2＝12＋2×1＋c ，得c ＝－1. 综上，a ＝1，b ＝2，c ＝－1.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x 在x ＝14处的切线为l ，直线g(x)＝kx ＋94与l 平行，求f(x)的图像上的点到直线g(x)的最短距离．【解】 因为f(x)＝x ，所以f ′(x)＝12x.所以切线l 的斜率为k ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14＝1， 切点为T ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，12. 所以切线l 的方程为x －y ＋14＝0. 因为切线l 与直线g(x)＝kx ＋94平行， 所以k ＝1，即g(x)＝x ＋94. f(x)的图像上的点到直线g(x)＝x ＋94的最短距离为切线l ：x －y ＋14＝0与直线x －y ＋94＝0之间的距离， 所以所求最短距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪94－142＝ 2.22．(本小题满分12分)已知直线l 1为曲线f(x)＝x 2＋x －2在点P(1,0)处的切线，l 2为曲线的另一条切线，且l 2⊥l 1.(1)求直线l 2的方程；(2)求直线l 1，l 2与x 轴所围成的三角形的面积S.【解】 (1)设直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，由题意可知k 1＝f ′(1)＝3，故直线l 1的方程为y ＝3x －3，由l 1⊥l 2，可知直线l 2的斜率为－13，设l 2与曲线相切于点Q(x 0，y 0)，则k 2＝f ′(x 0)＝－13， 解得x 0＝－23，代入曲线方程解得y 0＝－209， 故直线l 2的方程为y ＋209＝－13⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋23，化简得到3x ＋9y ＋22＝0. (2)直线l 1，l 2与x 轴交点坐标分别为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－223，0， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －3＝0，3x ＋9y ＋22＝0解得两直线交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16，－52， 故所求三角形的面积S ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－223－1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52＝12512.。
高二数学作业本答案选修版
三一文库（）/高二〔高二数学作业本答案选修版[1]〕以下是为大家整理的关于《高二数学作业本答案选修版》的文章，供大家学习参考！第一章导数及其应用11变化率与导数1.1.1变化率问题1.D2.D3.C4.-3Δt-65.Δx+26.3317.（1）01（2）021（3）218.11m/s,101m/s9.25+3Δt10.128a+64a2t11.f(Δx)-f(0)Δx=1+Δx(Δx＞0),-1-Δx(Δx＜0)112导数的概念1.D2.C3.C4.-15.x0，Δx；x06.67.a=18.a=29.-410.（1）2t-6(2)初速度为v0=-6，初始位置为x0=1（3）在开始运动后3s，在原点向左8m处改变（4）x=1,v=611.水面上升的速度为016m/min.提示：Δv=Δh75+15Δh+(Δh)23，则ΔvΔt=ΔhΔt×75+15Δh+(Δh)23，即limΔt→0ΔvΔt=limΔt→0ΔhΔt×75+15Δh+(Δh)23=limΔt→0ΔhΔt ×25，即v′(t)=25h′(t)，所以h′(t)=125×4=016(m/min) 113导数的几何意义（一）1.C2.B3.B4.f(x)在x0处切线的斜率，y-f(x0)=f′(x0)(x-x0)5.36.135°7.割线的斜率为331，切线的斜率为38.k=-1,x+y+2=09.2x-y+4=010.k=14,切点坐标为12,1211.有两个交点，交点坐标为(1,1),(-2,-8)113导数的几何意义（二）1.C2.A3.B4.y=x+15.±16.37.y=4x-18.1039.1910.a=3,b=-11,c=9.提示：先求出a,b,c三者之间的关系，即c=3+2a,b=-3a-2,再求在点(2,-1)处的斜率，得k=a-2=1，即a=3 11.(1)y=-13x-229(2)1251212导数的计算121几个常用函数的导数1.C2.D3.C4.12,05.45°6.S=πr27.（1）y=x-14（2）y=-x-148.x0=-33669.y=12x+12，y=16x+32.提示：注意点P(3,2)不在曲线上10.证明略，面积为常数211.提示：由图可知，点P在x轴下方的图象上，所以y=-2x,则y′=-1x,令y′=-12,得x=4,故P（4,-4）122基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）1.A2.A3.C4.35.2lg2+2lge6.100!7.（1）1cos2x（2）2(1-x)2(3)2excosx8.x0=0或x0=2±29.(1)π4,π2（2）y=x-1110.k=2或k=-14.提示：设切点为P(x0,x30-3x20+2x0)，则斜率为k=3x20-6x0+2,切线方程为y-(x30-3x20+2x0)=(3x20-6x0+2)(x-x0)，因切线过原点，整理后常数项为零，即2x30-3x20=0，得x0=0或x0=32，代入k=3x20-6x0+2，得k=2,或k=-1411.提示：设C1的切点为P（x1,x21+2x1）,则切线方程为：y=(2x1+2)x-x21;设C2的切点为Q（x2-x22+a）,则切线方程为：y=-2x2x+x22+a.又因为l是过点P，Q的公切线，所以x1+1=-x2,-x21=x22+a,消去x2得方程2x21+2x1+1+a=0,因为C1和C2有且仅有一条公切线，所以有Δ＝0，解得a=-12，此时切线方程为y=x-142基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）。
北师大版高中数学22第二章变化率与导数导数的概念课件
是 –13.1.
v
lim h(2t)h(2) 1.3 1
t 0
t
表示“当t =2, △t趋近于0时, 平均速度 趋近于确定值– 13.1”.
v
探 究:
1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示? 2.函数f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示?
h(t)4.9t26.5t10
求：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度
vh t
h(2t)h(2) 13.14.9t t
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
h(t)4.9t26.5t10
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时间内
△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时间内
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
lim f(x0 Δ x)f(x0)li m f
x 0
x
x 0 x
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作
f (x0)
y | 或
,即
xx0
f(x0) lx i0 m f(x0Δ x)xf(x0).
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:
北师大版高中数学2-2第二章《变化率 与导数》导数的概念课件
一、教学目标：1、知识与技能：通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概 念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。2、过程与方法：①通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力②通 过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。3、情感、态度与价值观：通过运动的 观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.
人教新课标版数学高二课件 变化率问题_ 导数的概念
跟踪训练2 甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示， 则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是
A.v甲>v乙
√ B.v甲<v乙
C.v甲＝v乙
D.大小关系不确定
解析 设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何意义
知，s1(t)在[0，t0]上的平均变化率v甲＝kAC，s2(t)在[0，t0]上的平均变化率
(3)求瞬时速度，当 Δt 无限趋近于 0 时，ΔΔst无限趋近于的常数 v 即为 瞬时速度，即 v＝s′(t0).
跟踪训练3 一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m， 时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，则常数a＝_2__.
解析 质点M在t＝2时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率. ∵质点M在t＝2附近的平均变化率 ΔΔst＝s2＋ΔΔtt－s2＝a2＋ΔΔtt2－4a＝4a＋aΔt，
跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝x2＋2x－5的图象上的一点A(－1，－6)及 邻近一点B(－1＋Δx，－6＋Δy)，则ΔΔyx ＝_Δ_x_.
解析 ΔΔyx＝f－1＋ΔΔxx－f－1
－1＋Δx2＋2－1＋Δx－5－－6
＝
Δx
＝Δx.
解析 答案
(2)如图所示是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化
A.4
B.4.1 √
C.0.41
D.3
3＋2.12－3＋22
解析 v ＝
0.1
＝4.1
12345
解析 答案
2.如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变D.－2
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x
f ( x ) 无限趋 近于常数a
lim f ( x ) a
x
函数的极限
例1、分别就自变量x 趋向于 和 的情况，讨论下列 函数的变化趋势： x 1 （1） y 2
1 y 解：当 x 时， 无限趋近于0， 2
• 2.求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率
f x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
练习：
• 过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当 Δx=0.1时割线的斜率.
也有
lim f ( x) C
x
函数的极限
自变量x的变化趋势 x取正值并且无限增大 x取负值并且绝对值无限增大 x 取正值并且无限增大， x 取 负值并且绝对值无限增大
f ( x ) 值的变 化趋势 f ( x ) 无限趋
近于常数a f ( x ) 无限趋 近于常数a
极限表示
x
lim f ( x ) a lim f ( x ) a
x
也可记作:当 x 时，f ( x ) a
当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数 f ( x ) 无限趋近于一个常数a ， 就说当x 趋向于负无穷大时， 函数 f ( x ) 的极限是a ，记作 lim f ( x ) a
x
也可记作: 当 x 时，f ( x ) a
· · · · · ·
函数的极限
y
O
x
1 y 当x 趋向于负无穷大时，函数 的极限是0，记作 x 1 lim 0 x x
函数的极限
一般地，当自变量x 取正值并且无限增大时，如果函数
f ( x ) 无限趋近于一个常数a ， 就说当x 趋向于正无穷大时，
函数 f ( x )的极限是a ，记作 lim f ( x ) a
1.1.1变化率问题
• 问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的 过程,可以发现,随着气球内空气容量的增 加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度, 如何描述这种现象呢?
• 气球的体积V(单位:L)与半径r 4 3 (单位:dm)之间的函数关系是 V (r ) r
3 3V 3 • 如果将半径r表示为体积V的函数,那么 r (V ) 4
微积分主要与四类问题的处理相关:
• 一、已知物体运动的路程作为时间的函数, 求物体在任意时刻的速度与加速度等; • 二、求曲线的切线; • 三、求已知函数的最大值与最小值; • 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函 数增减、变化快慢、最大（小）值等问题 最一般、最有效的工具。
练习：
1.质点运动规律s=t +3,则在时间(3,3+t)中
2
相应的平均速度为( A ) A. 6+t C.3+t 9 B. 6+t+ t D.9+t
• 2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直 线运动,求在4s附近的平均变化率.
25 3t
小结：
f ( x ) f(x2 ) f ( x1 ) • 1.函数的平均变化率 x2 x1 x
1 y 考察函数 当x 无限增大时的变化趋势． x y
函数的极限
O
x
当自变量x 取正值并无限增 1 大时，函数 y 的值无限趋近 x 于0，即|y-0|可以变得任意小．
当x 趋向于正无穷大时，函数 1 1 y 的极限是0，记作 lim 0 x x x
x y
1 1
10 100 1000 10000 100000 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001
请计 0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v : 算
h(t)=-4.9t2+6.5t+10
h
o
t
平均变化率定义:
f(x ) f ( x ) 2 1 上述问题中的变化率可用式子 表示 x2 x1
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
• 若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)
1 0 0.62(dm / L)
• 当V从1增加到2时,气球半径增加了 r (2) r (1) 0.16(dm) 气球的平均膨胀率为 r (2) r (1) 显然
2 1 0.16(dm / L)
0.62>0.16
思考?
• 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平 均膨胀率是多少?
1 lim 即 x 0; 2 x 1 y 趋近于 . 当 x 时， 2
x x
结论：当0 a 1时，都有 lim a 0
x x
函数的极限
( x 0时) 1 f ( x ) ( x 0时) 0 （2） 1 ( x 0时)
这里Δx看作是对于x1的一个 “增量”可用x1+Δx代替x2 同样ห้องสมุดไป่ตู้f=Δy==f(x2)-f(x1)
则平均变化率为
f x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
思考?
• 观察函数f(x)的图象
y f(x2 ) f ( x1 ) 平均变化率 x x2 x1
y
Y=f(x)
我们来分 析一下:
3V r (V ) 4
3
• 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球 的过程,可以发现,随着气球内空气容 量的增加,气球的半径增加越来越慢. 从数学角度,如何描述这种现象呢?
• 当V从0增加到1时,气球半径增加了 r (1) r (0) 0.62(dm) 气球的平均膨胀率为 r (1) r (0)
表示什么?
f(x2) f(x2)-f(x1)=△y A f(x1)
B
直线AB 的斜率
x2-x1=△x x x1 x2
O
做两个题吧!
• 1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则 Δy/Δx=( ) D A 3 B 3Δx-(Δx)2 C 3-(Δx)2 D 3-Δx • 2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。 2x0+Δx
f ( x ) 的值保持为1．即 lim f ( x ) 1; 解：当 x 时， x
f ( x ) 1; 当 x 时，f ( x ) 的值保持为-1，即 xlim
1.1.1变化率问题
导数研究的问题
变化率问题
研究某个变量相对于另一个变量变化 的快慢程度．
(1 x )3 13 2 2 k 3 3x ( x ) 3 3 0.1 0.1 3.31 (1 x ) x
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听使唤，似乎粘在桌子上就不起不来了。身体和思想正在猛烈地作斗争之际，蓦地感到有人在拍着我的脑袋，“你这家丁怎么 这么懒啊，趴在桌上睡死沉去了？”睡眼朦胧地睁开了左眼眼皮，往脑袋有感觉的方向望去。突然见到了大的超近距离的高清 脸图，顿时被吓着了，蓦地坐直身体。“碰”一声，什么东西撞在一起了。“哎哟！疼死我啦！”大双手托着下巴，一脸痛苦 状，泪水都在眼眶里打转。可能我睡得太死了，发现自己的头撞了大的下巴但是一点疼痛感都没。痛的只有那个大。“莲！你 在作甚！你”小琴似乎要责备我，但是又似乎一时又不知道怎么责备我，话没骂出来，又赶紧往大处靠去。“，你没事吧？痛 不痛啊？”小琴关心地又心痛的问到。“痛死我啦！”大显然受不了被我用头一撞的疼痛，大声地叫了出来！惨了！死定了！ 我没救了！怎么办？弄伤了大，我肯定会被这个丑妇人扒皮的。大刚才那句喊痛的声音都这么大了，等下哭闹起来那岂不是厅 外的三姑六婆都能听到？冲进来的话我就玩完了。大眼眶中的泪水愈积愈多，就快要爆发了。我急中生智，快步上前去，用自 己的手掌捂住了大的嘴巴。顿时，大止住了哭声，小琴也不做声了。其实并不是我的手掌有什么神奇的止哭功效，是她俩被我 这个举动又一次惊呆住了。很好，我就是要这个效果。但是光捂住嘴巴是没有用的，不说点什么，接下来就更难解释了。于是， 我把我平生所学的吹牛皮之术给完全运用上了。“大，你安静听我说几句，别出声，而且把泪水鼻涕什么的弄回去好吗？你答 应我的话我就松手！”我说罢，突然觉得自己的要求好为难别人。也罢，她不那样答应我我还真不敢松手。大用着那水汪汪的 眼镜盯着我，过了好一会儿才缓缓地点了点头。“OK，那就没问题了。”我刚把我的手松开，大就跑到小琴旁边，她俩就开始 稍微地抱在一起，两人都用着惊恐夹带疑惑地眼神看着我。很好，我松了一口气，缓缓地又跑回刚才的位置坐了下来，给自己 倒了一杯茶水，喝了一口缓了缓节奏。于是开始吹嘘道：“不瞒大说，其实我是一个秘密帮派派过来傅家坐探子的，但是请放 心，我们这个帮派纯粹是为了报恩才会这样做的。而且，事情的起因，就要追溯到你们祖先那一辈去了。”就这么开头忽悠了 一下，大和小琴就已经进入了听故事的模式了，全神贯注的。搞笑的只是，身为下人的我是坐着的，她俩是站着的。我接着说 道，“其实也不是什么大事，我是听我的师傅讲的。我的师傅则是听我的师公讲的，然后呢，我的师公是”，“行了！这些你 就别讲了，讲正事吧！”不料大突然来了这么一句话打我的岔，看来此等忽悠还是不能把大给蒙到。“嗯，好。事情是这样的。 话说当年傅家的始祖傅元甲在俄罗斯，呃，俄罗
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问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面 的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单 位：秒）存在函数关系 h 2 h(t)=-4.9t +6.5t+10. 如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态?