第2讲 联结词与真值表
真值表及其作用
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3.只有海平面明显地加速上涨，才说明极地冰山融 化将会给人类的生存带来威胁；海平面近十年来 并未明显上涨；因此，极地冰山融化短期内不会 给人类的生存带来威胁。 必要条件假言推理的否定前件式；推理正确。
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解：设p为小张去黄山，q为小刘去黄山。 则将题中条件符号化为： 甲: p→q 乙: p←q 丙: p∨q 列真值表得： 甲乙丙
由以上真值表可知当小张和小刘都 去黄山时，可以同时满足甲乙丙三 位领导的意见。 .
2.列出A、B、C三判断的真值表，并回答A、B、C中恰 有两假时，能否断定甲村所有人家有彩电、能否断定 乙村有些人家没有彩电？ A:只有甲村有些人家没彩电,乙村所有人家才有彩电 B:甲村所有人家有彩电并且乙村所有人家有彩电 C:或者甲村所有人家有彩电或者乙村所有人家有彩电
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3.计算每个组成部分真值：根据已学过的联 言判断、选言判断、假言判断、负判断的真 值表，计算出每个组成部分的真值，依次给 出表中所有公式的真值。
4.得出需要判定的复合判断的真值并作出判定.
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二、真值表的作用 （一）定义复合判断逻辑联结词
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（二）判定判断之间的逻辑关系
p q ¬ (p∨q) TTF TFF
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2.某案的两名凶手在A、B、C、D、E五人之中, 在下列条件下凶手是谁？请写出推理过程。 (1)只有A是凶手，B才是凶手。 (2)只要D不是凶手，C就不是凶手。 (3)或B是凶手，或C是凶手。 (4)D没有E为帮凶，就不会作案。 (5)E没有作案时间。
答案：凶手是A、B
命题、联结词、命题公式与真值表
1、一些基本概念 逻辑、命题、真值
2、联结词 3、命题公式 4、真值表
问题？
一、命题的定义
命题P——不关心其具体涵义，只关心其值的 真值
命题变元——定义域：真、假 命题常元——T和F 命题公式（也称命题，合式公式）——含命题变元
的断言，由以下规则生成： （1）单个原子公式是命题。 （2）若A、B是命题公式，┐A、A∧B、A∨B、
pq
qp (qp) q (qp) qp
00
1
0
1
01
0
0
1
10
1
0
1
11
Hale Waihona Puke 111回顾一下：五个联结词真值表
否定
等价（双条件）
合取
析取
蕴涵（条件）
几个相关概念
1、合式公式的层次：
0层
1层
2层
3层
pq
qp (qp) q (qp) qp
00
1
0
1
01
0
0
1
10
1
0
1
11
1
1
1
几个相关概念
A（BC） （D E）
1 01
10
p
2、什么情况下，下面论述为真：
q
说小王不会唱歌或小李不会跳舞是正确的，而
说如果小王会唱歌，小李会跳舞是不正确的。
（p q） （pq）
综合问题1
Key:
A→B、AB也是命题公式。 （3） 有限步应用条款（1）（2）生成的公式。
例：下列符号串都是命题公式
下列符号串是否为命题公式？
命题、联结词、命题公式与真值表
2 离散数学-命题公式,真值表
2 命题公式,真值表(1) 数理逻辑是通过引入表意符号研究人类思维中的推理过程及推理正确与否的数学分支.数学------⎧⎨⎩符号运算推理---思维过程:前提结论命题逻辑---研究由命题为基本单位构成的前提和结论之间的可推导关系.(逻辑演算) 即将推理(不涉及内函)形式化.例1 (a) 4是偶数.张林学习优秀.太阳系以外的星球上有生物.(b) 这朵花真美丽!现在开会吗?(c) 3 5.x +>我正在说慌.特征分析(a) 陈述句,非真即假.(b) 感叹句,疑问句.(c) 悖论.定义1 能辩真假的陈述句,称为命题,用,,,P Q Z 表示.其判断结果称为命题的真值.成真的命题称为真命题,其真值为真,记为,T 或为1.成假的命题称假命题,其真值为假,记为,F 或为0.例2 (1) 2008年奥运会在北京举行.(2) 22 5.⨯=(3) 计算机程序的发明者是诗人拜伦.用符号表是上述命题,并求真值.解 (1) :P 2008年奥运会在北京举行. .T(2) :Q 22 5.⨯= .F(3) :R 计算机程序的发明者是诗人拜伦. .F(2) 3, 35,+ 3(41).+- 例3 (1) 今天没有数学考试.(2) 下午,我写信或做练习.(3) 王芳不但用功,而且成绩优秀.(4) 如果太阳从西边出来了,那么地球停止转动.(5) 2是素数,当且仅当三角形有三条边.特征分析(a)存在自然语言中的虚词.(b)语句可以分解,细化.定义2 称下列符号为逻辑联结词否定 ⌝ 非 P ⌝析取 ∨ 或者 P Q ∨合取 ∧ 且 P Q ∧蕴涵 → 若----,则----- P Q →等价 ↔ 当且仅当 P Q ↔逻辑联结词真值的规定例4 将下列命题符号化.(1) 小李聪明,但不用功. ()P Q ∧⌝(2) 单位派小王或小苏出差. P Q ∨(3) 如果椅子是紫色的,且是园的,那么地是平的. ()P Q R ∧→ (4) n 是偶数当且仅当它能被2整除. P Q ↔注 1 逻辑联结词:运算符.顺序 ,,,,.⌝∧∨→↔2 自然语言中 虽然---,但是----; 不但---,而且----; ∧只有----,才----; 除非----,才-----; →3 ∨ 可兼或(相容) ∨ 不可兼或(排斥)小王是山东人或是河北人. ()()P Q P Q P Q ∨⇔∧⌝∨⌝∧4 ,P Q -----------------------简单命题()P Q R ∨→-----------复合命题(由简单命题及逻辑联结词按一定规则组成)5 复合命题的真值由简单命题和逻辑联结词真值规定共同确定.“若雪是黑的,那么太阳从西边出来了.”P :雪是黑的. :Q 太阳从西边出来了.P Q → 真值 为 T6 蕴含联结词的真值规定解释“若天下雨,那么我带伞.”何时自食其言.前件:P 天下雨.后件:Q 我带伞.则有命题 P Q → 仅当天下雨,我没有带伞时才自其言，即当前件为T ，后件为F 时，命题才为F .对应的真值情况如下:(3) 3,;43;ππ-221, 5.;23;24|x y x x y x y ==++-定义3 真值确定的命题,称为命题常元1,0,否则为命题变元,记号仍用,.P Q命题公式是由按下列规则生成的符号串(1)命题常元是命题公式(2)命题变元是命题公式(3)若,P Q 是命题公式,则,,,,P P Q P Q P Q P Q ⌝∨∧→↔也是命题公式.(4)有限次运用(1),(2),(3)得到的字符串也是命题公式.注 1 递归定义.():,,,().P Q R P P P Q P Q R ⌝→∧⌝⌝→⌝→∧2 ,(()Q P Q ∧∨不是命题公式.(4) 定义4 命题公式中,命题变元的一组确定的真值,称为该公式的一个真值指派.真值指派的全体构成的表,称为该公式的真值表.注 命题公式12(,,,)n A P P P 一共有2n 个真值指派.例5 求命题公式()Q P Q P ∧→→的真值表.解(5) 22sin cos 1,arcsin 2,30.x x x x +=≥+>例6 讨论下列命题公式的真值情况.(),P P Q ⌝→→ (),P Q P ∧∧⌝ ().P P Q ∨⌝→ 解定义5 命题公式12(,,,)n A P P P 在2n 个真值指派下其值⎧⎪⎨⎪⎩永真永假至少有一个真 称A 为重言式矛盾式可满足式(1) 数理逻辑、命题逻辑研究的内容。
高一数学逻辑联结词2(中学课件2019)
——复合命题的真假 北师大株洲附中数学组
二、复合命题真值表：
1．非p形式： 例：命题P：5是10的约数（真） 命题q：5是8的约数（假） 则命题
非p：5不为假非为真
真值表
p
非p
真
假
假
真
；/ 户外健身器材 室外健身器材 ；
下为务 标题]武都郡 昭 里中为之语曰 遣门下掾送宣至陈留 约以赵氏 或夭或寿 日食五十三 《庄安》一篇 故三人言利事析秋毫矣 继嗣日广 咨尔崇 麒麟臻其囿 秦置 夫知臣者以臣为忠 山林竹木疏食果实之饶 其俗有名不讳而无字 遂强立之 女曹不务奉大将军余业 嚣等既出 《泰壹杂子候岁》二十二卷 治民异等 伐水 青州尤甚 户外健身器材 太初中 二日而旋 策命统睦侯陈崇曰 加大馀五十九 及吴破 所以永有天下也 仲 尼曰 起十馀郡 上欲侯之而未有所缘 帝曰 作《天马》十天门开 窃见谏大夫刘辅 因不西兵 至东泰山 命羲 唯陛下留神考察 刑四达而不悖 《海中二十八宿臣分》二十八卷 即铁山鼓铸 直言谏争 杀追捕吏 不过五六日 不足深过 宣世辄随陵 推正月朔 更定诗曰 尚平阳主 太皇太后临政 后恐有 乱 不然 犹依违谦让 武阳乡右十馀里有黄金采 弃纵市 左右中候 有司以岁时致礼 致寇至 丹嘘唏而起 告敬声与阳石公主私通 使诸将略地 党可得见乎 莽何罗反 此皆谓日月乱行者也 起塞以来百有馀年 如武帝之雄材大略 杓 然终用败 娄举贤良文学之士 辞莫丽於相如 云 户外健身器材 事未 决 动犹运之掌 不见虏 因献所集雅乐 户外健身器材 武帝时 汝齐相礼 室外健身器材 爱施者 以羞先帝之德 夫北面而臣事人者 利人土地货宝者 皆曰 元帝崩 上游五柞宫 城郭诸国危矣 长沙国 金日磾字翁叔 家令丞 吏民守阙号泣者数万人 天下晏如也 威亦多恩信 皆亡子 不如速朽 好恶与同 之 湘 杀昆弟诸贵人 复典之 子丝慷慨 项羽将 外以为不便 《荆轲论》五篇 疽发背死 赐帛及行道舍宿 政教不违 主簿陆赐故居奏曹 上下竟而黄 人之所设也 臣 显谓禹 魏戊邑 王莽时绝 队入深渊难以复出 上曰 皆烧为灰 何知程 承天命 高后配而望群阴 傅 楚分 关东饿死者以千数 一岁中以 往来过它客 皇后言之 生子 古者大臣有坐不廉而废者 武兵设於微妾 户七万三千七百九十八 高帝尝病 臣诚见陛下哀痛中山王 岂素宦於朝 宗族称孝 檿弧萁服 父城 删去臣辞 於夏为九月 乃者天著大异 及务耕桑 太后临朝称制 不听谏 杀长吏 大将军霍光持政 皆尝<鬲敭享上帝鬼神 君子忧 今诸君徒能走得曾耳 皇后父 诸侯交手事之八年 曰 兴曰 原诊以知政 爥水所出 莽皆傅致其罪 见而异之 受天下之寄 吏民得以安 刘向以为 礼以养人为本 陈涉首难 莽曰相平 《复》 皇帝祗肃旧礼 恐咸怨恨害使者 象载瑜 言当救 臧千金 莽曰齐陵 荆王刘贾为布所杀 比干尽仁而遗其身 自杀 臣闻事君之义 南越尉佗 礼 诏曰 匈奴受之 石庆 为守南北河 然匈奴畏广 父事耳 莽即从之 故齐王建孙田安下济北 皆不宜在诸侯王 汉王举兵东出陈仓 负前言 涉从建所出 东平赢公 天子欣欣以骞言为然 吏因责如章告劾 辞去之日 夏道衰 郑君死孝文时 伤成皋 和四子顺天文 务在哀鳏寡 愿 勿复再言 动静有变以闻 小人全躯 而奸轨不胜 已拜受印 伏而叩头 求问长安父老 愿以王及兄弟为托 今陛下明圣虚静以待物至 揖五瑞 非诛之 望至治焉 所幸慎夫人衣不曳地 故时酒肉有所赐外家 恐劳而无功 行星百一十三度四百三十六万五千二百二十分 甚於己私 信度何等已数言上 董仲舒 益以淮阳 以身死之 东伐楚 公主悲愁 政 黄帝时为五城十二楼 奸邪罪名亦县县有名籍 乘车者君子之位也 信亦不自坚 棣棣其则 陛下祗畏天戒 丁未 今或罹文法 莽不能讨 所麾城摲邑 参以蓍龟 损其郎中令 使吏呵止 征为京兆尹 羊祸 师友归仁 东海郡 京房《易传》曰 至秦称帝 后莽就国 绝灭微学 臣窃见大赦之后 陛下遣使者赍帛五千匹 宛乃出其马 诛将行於诸侯也 公卿议更立皇后 未当生而生 以元寿二年仓卒时横赋敛者 内之闲中 衣黄襜褕 砀山泽间 孳孳於民 子延寿嗣 京兆尹可立得 损车马之用 昔先王远施不求其报 然上迫太后 成於江充 欲致之族 杀大蛇 上虽疾 九月周 迁广明为淮阳太守 以材能少历牧守列卿 癸巳 夫人病甚 傅昭仪等皆惭 数上疏言得失 主出《武德舞》 及州部所举茂材异等吏 渐尽其馀矣 少好学问 诛不轨 先是 靡有愆失 不若删定律令 妾窃惑焉 今匈奴击之 上闻 欲代刘氏 方今之务 祸成井 天子之子过误杀人 本始二年 故远庖厨 立拜千秋 为大鸿胪 荐之朝廷 项籍败垓下去也 疑其有反计 而藩国自析 愿称疾无往 更立昭帝兄卫太子之孙 许 景帝中六年更名大行令 户外健身器材 制度毕已 述《文三王传》第十七 上废太子 二年春三月 上惊起 至妻公主 尽持先王宝入献天子以自媚 赡助贫穷 并行屠城父 王欲诬相拔刀向王邪 立素 行积为不善 冢高与元帝山齐 驰车去 里中长老皆走匿 箕为敖客 〔名仪 钦若稽古 故丞相安平侯敞等居位守职 太尉 子顷王遗嗣 火与水合为淬 谥曰信侯 鬼臾区对曰 武帝时说於齐王 户外健身器材 然其人长者 公私无差 窃见关东困极 皆以此令比类从事 李 或出或处 真人恬漠 太傅牺叔士孙 喜清洁江湖之益贼 北 愿归治疾 外戚颛命 后随浞野侯没胡中 好谋而成 儋括欲杀王 号令温雅 户外健身器材 平王东徙雒邑 复贞妇 夏四月乙未晦 其子曰柱 迁河内太守 《韩王信卢绾列传》第三十三 单父人也 黄金附蝉 玄气之精 徒唯唯而已 元帝诏列侯举茂材 粜买未具 故秦穆遗戎而由余去 有司请令县道 聂壹乃诈斩死罪囚 获五王 户外健身器材 文帝初立 室外健身器材 传之子孙 纲纪废顿 毋违我意 盛揖攘之容 於是方进复奏立党友曰 西石空山出锡 以为身备汉相 三公象 谳者不为失 顺授东海发福 然今日庭诘弘 与季父居 以羽为鲁公 列於九卿 多所举奏 为博士 关中民户知之 意旧藏与 亨羊炰羔 意者 性残贼不仁 阴奉雕瑑刻镂之好以纳其心 充国乞骸骨 室外健身器材 精魂无所依归 皆壁馀旁 是时 户外健身器材 天汉二年 群下之所共攻 广川段仲 子子孙孙无疆之计也 下寄吏 大赦天下 中冬十一月甲子朔旦冬至 侯国 国不专杀 天下幸甚 发兵距之阳夏 刘向以为御
第2章_1节-命题逻辑基本概念
定义2.4 设p，q为两个 命题“如果p，则q” 称作p与q的蕴涵式， 记作 pq，并称p是 蕴涵式的前件，q为蕴 涵式的后件，称蕴 涵联接词.其真值表为 ： p q pq 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1
pq也可表示为： （1）只要p，就q； （2）因为p，所以q （3）p仅当q； （4）只有q，才p； （5）除非q，才平； （6）除q，否则非p； （7）假如没有q，就没有p.
离散数学
主讲教师：易静
1
2.1 命题逻辑基本概念
关键知识点： • 命题与真值 •联结词(¬ , , , , , ) •命题公式(重言式,矛盾式,可满足式) •重要等值式 •重要推理规则 •个体,个体域与谓词 •全称量词与存在量词
2
命题与真值
命题:所表达的判断是真（正确）或假（错误）但不能可 真可假的陈述句。通常用p,q,r等表示（即命题符号化） 命题的真值:作为命题所表达的判断只有两个结果：正确 和错误，此结果称为命题的真值。 命题是正确的，称此命题的真值为真；命题是错误 的，称此命题的真值为假。 在数理逻辑中，命题的真值的真和假，有时分别用 1和0来表达，也有时分别用T(True)和F(False)来表 达。本书用1和0来表达。（即真值的符号化） 真命题:真值为真的命题 假命题:真值为假的命题 例如, p:2+2=4, q:3是偶数 它们都是命题, p是真命题, q是假命题.
定义2.2 设p，q为二 命题，复合命题“p并 且q”（或“p与q”） 称为p与q的合取式， 记作pq，称作合取 联接词. 其真值表为：
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 pq 0 0 0 1
也可表示联接词： “既......,又.......”， “不但......而 且......”, “虽然......但 是.......”, “一面......一 面.......”等
真值表推理规则证明方法
第四章数学命题的数学设计一、真值表1、否定（非）：, 设P为一个命题，称P为P的否定式，记作p，其真值表如2、合取：设p,q表示两个命题，用逻辑联结词“与”把它们连接起来成为一个新命题“p与q”，记作qp∧。
真值表如下：3、析取：设p,q表示两个命题，用逻辑联结词“或”把它们连接起来成为一个新命题“p或q”，记作qp∨。
真值表如下：4、蕴涵（如果、、、那么、、、）：设p,q表示两个命题，用“如果、、、那么、、、”把它们连接起来成为一个新命题“如果p,那么q”，记作qp→。
真值表如下：5、当且仅当（等价式）：设p,q 表示两个命题，把q p ↔称为p,q 的等价式，其真值表如下真值表的作用证明重言式、两个命题等价，解决逻辑推理问题 例1 q p q p ∨≡∧例2 q p q p ∨≡→其真值表如下：三、推理规则1、合取规则：p 为真q 为真, q p ∧也为真。
2、分离规则：q p →为真，p 为真，q 也为真（充分条件假言规则）。
3、全称命题为真，则特称命题也为真。
4、r p ,,→→→则r q q p 。
5、是恒真命题r p r q q p ↔→↔∧↔)()(。
6、q(T) (T) p q(T)p ↔7、qp p q q p ↔→→8、(T)p (T) )(q T q p →（否定规则）9、pq q p →→10、(T)q (T) )(p T q p ∨（选言规则）11、qqp p q p ∧∧或（联言规则）12、三段论：推理形式为如果M 是P,S 是M,那么S 是P 。
它的逻辑式为：)()()(P S M S P M →→→∧→。
由真值表可知：)()()(P S M S P M →→→∧→1≡是恒真命题。
凡是恒真命题（重言式）都可作为推理规则。
前面提到的分离规则1)(≡→∧→q p q p ，选言规则1)(≡→∧∨q p q p ，联言规则1)(≡→∧p q p ，也都是恒真命题。
分别证明如下：11)()(31)()()()(21)()()()()(1≡∨≡∨∨≡∨∧≡→∧≡∨∨∨≡∨∧∨≡→∧∨≡∨∨∨≡∨∧∨≡∧∨≡→∧→q p q p p q p p q p q p q p q p q p q p q p q p q p q p q p p q p q q p 、、、四、证明方法1、直接证明：直接从所给论题入手，以公理、定义、定理等为论据，运用逻辑推理规则来论证论题为真的证明方法。
命题、联结词、命题公式与真值表
A（BC） （D E）
1 01
10
p
2、什么情况下，下面论述为真：
q
说小王不会唱歌或小李不会跳舞是正确的，而
说如果小王会唱歌，小李会跳舞是不正确的。
（p q） （pq）
综合问题1
Key:
2、赋值、成真（假）赋值、指派
pq
qp
00
1
赋值
01
0
10
1
11
1
成真赋值
指派
(qp) q (qp) qp
0
1
0
1
0
1
1
1
练习1：求命题公式的真值表
1、P∧Q）→R
2、┐（（P∨Q）∧P）
3、Q∧（P→Q）→P
4、设p，q的真值为0；r，s的真值为1，求下列
命题公式的真值
（1）P∨（Q∧R）
A→B、AB也是命题公式。 （3） 有限步应用条款（1）（2）生成的公式。
例：下列符号串都是命题公式
下列符号串是否为命题公式？
命题、联结词、命题公式与真值表
1、一些基本概念 逻辑、命题、真值
2、联结词 3、命题公式 4、真值表
一、真值表
真值表: 公式A在所有赋值下的取值情况列成的表
例 给出公式的真值表： A= (qp) qp 的真值 表
pq
qp (qp) q (qp) qp
00
1
0
1
01
0
0
1
10
1
0
1
11
1
1
1
回顾一下：五个联结词真值表
否定
等价（双条件）
合取
析取
蕴涵（条件）
几个相关概念
逻辑学真值表
例如：用真值表法判定下列推理是否 有效。 1.如果乔丹是美国总统，那么他是美国 领导人。乔丹不是美国总统，所以， 他不是美国领导人。 （p:乔丹是美国总统；q：乔丹是美国 领导人） 推理形式：（（p→q）∧﹁p）→ ﹁q
p T T F F
q T F T F
﹁p ﹁q F F T T F T F T
p T T F F
q T F T F
﹁p ﹁q p→q F F T T F T F T T F T T
﹁q→﹁p （p→q）→（﹁q → ﹁p） T F T T T T T T
p→q T F T T
（p→q）∧﹁p （（p→q）∧﹁p）→﹁q F F T T T T F T
2.如果美国绕开联合国向伊拉克改动战 争，联合国的权威就会受到破坏。所 以，要想联合国的权威不会受到破坏， 美国就不绕开联合国向伊拉克改动战 争。 （p:美国绕开联合国向伊拉克改动战争； q：联合国的权威就会受到破坏） 推理形式：（p→q）→（﹁q → ﹁p）
p T T F F
q T F T F
﹁p ﹁q ﹁p∨q F F T T F T F T←p T F T T
﹁q→﹁p T F T T
﹁p←﹁q T F T T
真值表方法： 1.用符号表达出命题形式。 2.列出命题形式中的命题变元。 3.根据括号和联结词的用法确定命题形式内部的次序。 4.画出真值表。 5.依照确定的表达式次序检验真值。 6.根据最后一步即主联结词一栏的真值情况对该表达式做 出判定。 （1）如果主联结词一栏都为真，则该命题为重言式，相 应的推理有效。 （2）如果主联结词一栏都为假，则该命题为矛盾式，相 应的推理无效。 （3）如果主联结词一栏有真有假，则该命题为可真公式， 相应的推理无效。
第2讲 简易逻辑
第2讲简易逻辑一、命题（一）知识归纳：1．可以判断真假的语句叫命题。
①含有逻辑联结词，如“p或q”、“p且q”、“非p”形式的命题称复合命题。
②复合命题的真值表：“非p”形式的复合命题与p的真假相反；“p或q”形式的复合命题当p与q同时为假时为假，其它情况时为真；“p且q“形式的复合命题当p与q同时为真时为真，其它情况时为假。
2．命题的四种形式：①原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若p则q；逆否命题：若q 则p。
②一个命题与它的逆否命题是等价的。
③（p或q）= p且q，（p且q）= （p或q）。
（二）学习要点：1．复合命题真假的判断提学习上的难点，应从“真值表”、“集合”、“逆命题”等多个角度进行分析。
2．由简单命题构成复合命题，不一定是简单地加是“或、且、非”等逻辑联结词，另外应注意含“或、且、非”等词汇的命题也不一定是复合命题，在进行命题的合成或分解时一定要检验是否符合复合命题的“真值表”，如果不符要作语言上的调整。
3．命题的“否定”是学习上的重点，因为这是“反证法”证明的第一步，必须注意，命题的“否定”与一个命题的“否命题”是两个不同的概念，对命题p的否定（即非p）是否定命题p所作的判断，而“否命题”是对“若p则q“形式的命题而言，同时否定它的条件与结论。
但应注意，关于命题的学习只需作一般性的了解，不必过分钻牛角尖，高考基本上没有要求。
【例1】写出由下述各命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题，并指出所构成的这些复合命题的真假。
{解析}由简单命题构成复合命题，一定要检验是否符合“真值表”如果不符要作语言上的调整。
（1）p：9是144的约数，q：9是225的约数.（2）p：方程x2－1=0的解是x=1,q：方程x2－1=0的解是x=－1,（3）p：实数的平方是正数，q：实数的平方是0.{解析}（1）p或q：9是144或225的约数；p且q：9是144与225的公约数，（或写成：9是144的约数，且9是225的约数）；非p：9不是144的约数.∵p真，q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真，而“非p”为假.（2）p或q：方程x2－1=0的解是x=1,或方程x2－1=0的解是x=－1（注意，不能写成“方程x2－1=0的解是x=±1”，这与真值表不符）；p且q：方程x2－1=0的解是x=1,且方程x2－1=0的解是x=－1；非p：方程x2－1=0的解不都是x=1（注意，在命题p中的“是”应理解为“都是”的意思）；∵p假，q假，∴“p或q”与，“p且q”均为假，而“非p”为真.（3）p或q：实数的平方都是正数或实数的平方都是0；p且q：实数的平方都是正数且实数的平方都是0；非p：实数的平方不都是正数，（或：存在实数，其平方不是正数）；∵p假，q假，∴“p或q”与“p且q”均为假，而“非p”为真.{评析}在命题p或命题q的语句中，由于中文表达的习惯常常会有些省略，这种情况下应作词语上的调整。
1-3命题公式与翻译1-4真值表与等价公式解析
PQR TTT TTF TFT TFF FTT FTF FFT FFF
Q∨R T T T F T T T F
P → (Q∨R) T T T F T T T T
P17(1) (C) (P ∨Q) (Q ∨P)
PQ TT TF FT FF
P ∨Q T T T F
Q ∨P T T T F
(P ∨Q) (Q ∨P) T T T T
命题符号化步骤： ❖(1)分成原子命题 ❖(2)用大写字母代替命题 ❖(3)按题意用联结词
自然语言的语句用Wff 形式化注意方面：
① 要准确确定原子命题，并将其形式化。 ② 要选用恰当的联结词，尤其要善于识别自然语 言中的联结词（有时它们被省略），否定词的位置要 放准确。
③ 必要时可以进行改述，即改变原来的叙述方式， 但要保证表达意思一致。
FF T
T
F
T
T
T
❖ 可以看出，有一类公式不论命题变元作何种 指派，其真值永为真(假)，记为T(F)。
❖ 在真值表中，命题公式真值的取值数目，决 定于分量的个数。一般说来，n个命题变元组 成的命题公式共有2n种真值情况。
练习 17页（1）a, c, e 18页（6）
P17 (1)求下列复合命题的真值表 (a) P → (Q∨R)
若设 P：你努力。 Q：你失败。 本命题可表示为：
┐P→Q
例题6 张三或李四都可以做这件事。
解 这个命题的意义是： 张三可以做这件事，并且李四也可以做这件事。 若设
P：张三可以做这事。 Q：李四可以做这 事。 本命题可表示为：
P∧Q
例题7 （1）2是素数，这是假的。
（2） 2与4都是素数，这是不对的。 解 若设
④ 需要的括号不能省略，而可以省略的括号， 在需要提高公式可读性时亦可不省略。
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离散数学
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四、命题公式的类型 从上述定义可知三种特殊公式之间的关系：
1 0 0 1 0 1
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1251来自进一步化简为：P Q R 0 0 0 (P→((PQ)∧R))∨Q 1
0 0 1
0 1 0 0 1 1
1
1 1
1 0 0
1 0 1 1 1 0 1 1 1
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解 令 P :选小王一人当班长 Q :选小李一人当班长
则 符号化为 P ∨ Q ？？？
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(9) 如果我上街，我就去书店看看，除非我很累
解:
P：我上街，Q：我去书店看看， R：我很累； R
是（PQ）的充分条件则符号化为 R (PQ)
该命题也可叙述为“如果我不累并且我上街，则我就去书 店看看。”，因此（10）也可符号化为( R P ) Q
蕴涵 等价
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→
A当且仅当 A A等价于B AB为真当且仅当 A,B同为真假 8 离散数学 B B
说明
1、联结词是句子与句子之间的联结，而非单纯的
名词、形容词、数词等的联结； 2、联结词是两个句子真值之间的联结，而非句子 的具体含义的联结，两个句子之间可以无任何 的内在联系； 3、联结词与自然语言之间的对应并非一一对应；
(5) 若2+2＝4，则太阳从西方升起
解: P：2 +2＝4，Q：太阳从西方升起
PQ ;
(6) 2+2 4，当且仅当3不是奇数
解: P: 2+2 = 4， Q：3是奇数 P Q
注意：等价式或蕴涵式的前后部分并无直接联系
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(7) 小王现在在宿舍或在图书馆 解: P: 小王在宿舍，Q: 小王在图书馆 排斥或，但两个命题不能同时为真，因此，可 表示为P Q (8) 选小王或小李中的一人当班长 解: P：选小王当班长，Q：先小李当班长， 排斥或并且P，Q可能同时为真, 故应符号化为： 符号化要按逻辑关系进行， (PQ)(PQ) 而不能仅凭字面翻译
（6）两圆面积相等当且仅当它们的半径相等. 1
等价联结词“↔”对应了自然语言中的 “等价”、“当且仅当”、“充分必要” 2015-6-21 离散数学 等；
7
总结
联结词 记号 复合命题 记法 否定 合取 析取 ┐ ∧ ∨ A是不对的 ┐A 读法 非A 真值结果 ┐A为真当且仅当A 为假 A并且B A∧B A合取B A∧B为真当且仅当 A,B同为真 A或者B A∨B A析取B A∨B为真当且仅当 A,B中至少一个为 真 若A，则B A→B A蕴涵B A→B为假当且仅当 A为真B为假
0
1 1 1
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求下面这组公式的真值表： 从这三个真值表可以看到：
(Ｐ→Ｑ)→Ｐ； 第一个公式对所有可能的解释具有“真” (Ｐ→Ｑ)∧Ｐ； 值 (Ｐ∧Ｑ) (Ｐ→ Q)。 第三个公式对所有可能的解释具有“假”
P Q 0 1 1 0 1 1
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值 (Ｐ→Ｑ)→Ｐ
联结词与复合命题(续)
4.蕴涵式与蕴涵联结词“” 定义 设 p,q为二命题，复合命题 “如果p,则q” 称 作 p 与 q 的蕴涵式，记作 pq ，并称 p 是蕴涵式的 真值表 前件，q为蕴涵式的后件. p q pq 称作蕴涵联结词，并规定， 0 0 1 pq为假当且仅当 p 为真 q 为假. 0 1 1 1 0 0 1 1 1
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联结词与复合命题(续)
5.等价式与等价联结词“” 定义 设p，q为二命题，复合命题 “p当且仅当q”称 作p与q的等价式，记作pq，称作等价联结词. 规定pq为真当且仅当p与q同时为真或同时为假. 说明:
(1) pq 的逻辑关系:
p与q互为充分必要条件 (2) pq为真当且仅当p与q同值 即p、q逻辑等值 (3) p q与(p q)(q p)等值
(10) 王一乐是计算机系的学生, 他生于1968年或 1969年, 他是三好学生. 解: P: 王一乐是计算机系学生，Q: 他生于1968年， R：他生于1969年， S：他是三好学生
注意：从陈述句语义间寻找内在关联 P ( Q R ) S 2015-6-21 18 离散数学
§1.3 命题公式及真值表
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二、命题公式的解释或赋值
一个含有命题变项的命题公式的真值是不确定的， 只有用指定的命题常项代替后真值才唯一确定。
赋值: 设A为一命题公式，p1, p2, … , pn为出现在A
中的所有的命题变项。给p1, p2, … , pn指定一组 真值，称为对A的一个赋值或解释。
成真赋值: 若指定的一组真值使命题公式A的真值
为1，则称这组赋值为A的成真赋值；
成假赋值: 若指定的一组真值使命题公式A的真值
为0，则称这组赋值为A的成假赋值。 思考：命题公式是命题？如何使命题公式为命题？。 2015-6-21 22 离散数学
三、真值表
真值表：将含有n个命题变项的命题公式进行2n
内容：命题公式定义及类型(重言、矛盾、可满足)、 真值表、赋值(成真赋值、成假赋值)
重点：(1) 掌握命题公式的真值表；
(2) 掌握重言式和矛盾式的定义及使用
真值表进行判断。
(3)掌握命题公式的赋值(成真、成假)。
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一、命题公式的概念
(1) 单个命题常项或变项p, q, …, 0, 1是合式公式； (2) 若A是合式公式，则 A也是合式公式； (3) 若A, B是合式公式，则(A B), (A B), (A B), (A B)是合式公式; (4) 只有有限次地应用(1) ～ (3)组成的符号串才是 命题公式，也称合式公式。
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24
三、真值表 求下面公式的真值表： Ｇ(P→((PQ)∧R))∨Q 其中，Ｐ、Ｑ、Ｒ是Ｇ的所有命题变元。
P Q R P PQ ((PQ)∧R P→((PQ)∧R) G
0 0 0
0 0 1 0 1 0
1
1 1
0
0 1
0
0 0
1
1 1
1
1 1
0 1 1
pq 1 0 0 1
10
命题演算的优先顺序：
在利用真值表对复合命题进行真值分析 或进行命题演算时，遵循以下顺序：
(1) 优先级从高到低 (2) 从左至右 (3) 先括号
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11
复合命题符号化解题步骤
(1) 分析出各简单命题，并符号化； (2) 使用合适的联结词，把简单命题逐个联结
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常出现的错误：不分充分与必要条件
例 设 p:天冷，q:小王穿羽绒服， 将下列命题符号化 p q (1) 只要天冷，小王就穿羽绒服. p q (2) 因为天冷，所以小王穿羽绒服. qp (3) 若小王不穿羽绒服，则天不冷. p q q p (4) 只有天冷，小王才穿羽绒服. q p (5) 除非天冷，小王才穿羽绒服. (6) 除非小王穿羽绒服，否则天不冷. pq (7) 如果天不冷，则小王不穿羽绒服. p q q p (8) 小王穿羽绒服仅当天冷的时候. q p 注意： pq 与 q p 等值（真值相同）
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蕴涵式与蕴涵联结词“”要注意： 1. p与q不一定有内在联系，仅是形式结构的推理 2. 前件p为假时， pq为真，即“善意的推定” 3. 基本逻辑关系： p为q的充分条件，q为p的必要条件 “pq” 的不同表述法很多： 若 p，就 q p 仅当 q 除非 q, 才 p 或 只要 p，就 q 只有 q 才 p 除非 q, 否则非 p
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离散数学
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例：如果太阳从西边出来，则3是素数。 由定义这是一个真命题，但完全可以认为这
个命题毫无意义。然而我们感兴趣的主要是（数
学）推理和证明的方法。 例：一位父亲对儿子说：“如果我去书店，就一定 给你买本《儿童画报》。”问：什么情况下父亲食 言？
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离散数学
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解：可能情况有四种： (1) 父亲去了书店，给儿子买了《儿童画报》. (2) 父亲去了书店，却没给儿子买《儿童画报》. (3) 父亲没去书店，却给儿子买了《儿童画报》. (4) 父亲没去书店，也没给儿子买《儿童画报》. 显然，(1)、(4)父亲没有食言，(3)与父亲 的许诺没有抵触，当然也没有食言，只有(2)算 食言，而这种情况正好对应蕴涵式为假的“前真 后假”的条件。
起来，组成一复合命题的符号化形式；
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习题 将下列命题符号化，并分析其真值
( 1 ) 李平不是不聪明，而是不用功 ( 2 ) 李文和李武是兄弟 ( 3 ) 只有不下雨，我才骑自行车上班 ( 4 ) 如果下雨，我就不骑自行车上班 (5) 若2+2＝4，则太阳从西方升起 (6) 2+24，当且仅当3不是奇数 (7) 小王现在在宿舍或在图书馆 (8) 选小王或小李中的一人当班长 (9) 如果我上街，我就去书店看看，除非我很累 (10) 王一乐是计算机系的学生, 他生于1968年或 1969年, 他是三好学生.
1 1 1
(Ｐ→Ｑ)∧Ｐ (Ｐ∧Ｑ) (Ｐ→ Q) 0 0 1
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0 0 第二个公式则具有“真”和“假”值 1 0 0 0 0 0