上海海事大学复变函数及积分变换前三章例题整理

π −α ⎞ α ⎛ π −α = 2 sin ⎜ cos + i sin ⎟ (三角式) 2⎝ 2 2 ⎠ π −α i π −α α . = 2 sin e 2 . (指数式) arg z = 2 2
10
2
z = z1 + t ( z2 − z1 )
(0 ≤ t ≤ 1)
z1 + z2 . 2
⎧ x = x1 + t ( x2 − x1 ) 参数 t ∈ ( −∞ , + ∞ ), ⎨ ⎩ y = y1 + t ( y2 − y1 )
例11 化简 (1 + i )n + (1 − i )n .
y
y
如图所示,
z3
z3
解
z2 = 2 + i
π 3
z2 = 2 + i
π 3
x
1 ⎞ ⎛ 1 1 + i = 2⎜ + i⎟ 2 2 ⎠ ⎝ π⎤ ⎡ π = 2 ⎢cos + i sin ⎥ 4 4⎦ ⎣ 1 ⎞ ⎛ 1 1 − i = 2⎜ − i⎟ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎡ ⎛ π⎞ ⎛ π ⎞⎤ = 2 ⎢cos⎜ − ⎟ + i sin⎜ − ⎟ ⎥ 4⎠ ⎝ 4 ⎠⎦ ⎣ ⎝
5 3 ⎛ −2 ⎞ − π = − π, 所以 θ = arctan⎜ ⎟ − π = arctan 6 3 ⎝ − 12 ⎠
⎡ ⎛ 5 ⎞ ⎛ 5 ⎞⎤ 故三角表示式为 z = 4 ⎢cos⎜ − π ⎟ + i sin⎜ − π ⎟ ⎥ , ⎝ 6 ⎠⎦ ⎣ ⎝ 6 ⎠
7
指数表示式为 z = 4e 6 . π π ( 2) z = sin + i cos 显然 r = z = 1, 5 5 3π π ⎛ π π⎞ sin = cos⎜ − ⎟ = cos , 10 5 ⎝ 2 5⎠ 3π π ⎛ π π⎞ cos = sin⎜ − ⎟ = sin , 10 5 ⎝ 2 5⎠ 3π 3π 故三角表示式为 z = cos + i sin , 10 10 指数表示式为 z = e
Re( z 2 ) = x 2 − y 2 , Re( z 2 ) ≤ 1 ⇔ x 2 − y 2 ≤ 1,
π⎤ ⎡ π 1 + i = 2 ⎢cos + i sin ⎥ 4 4⎦ ⎣ π π ⎤ ⎡ + 2kπ + 2kπ ⎥ ⎢ 8 4 4 4 ( k = 0,1,2,3). 1 + i = 2 ⎢cos + i sin 4 4 ⎥ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ π π⎤ ⎡ 即 w0 = 8 2 ⎢cos + i sin ⎥ , 16 ⎦ ⎣ 16
所以
(cos 5ϕ + i sin 5ϕ )2 (e 5ϕi )2 = = e19ϕi , (cos 3ϕ − i sin 3ϕ )3 (e − 3ϕi )3
故三角表示式为 z = cos 19ϕ + i sin 19ϕ ,
19ϕi 指数表示式为 z = e .
8 9
.
例6 把复数 z = 1 − cosα + i sin α , 0 ≤ α ≤ π 化为 三角表示式与指数表示 式, 并求 z 的辐角的主值 .
所以它的复数形式的参数方程为
1 若取 t = , 2
得线段 z1 z2 的中点坐标为 z =
z = z1 + t ( z2 2
例8 求下列方程所表示的曲线: (1) z + i = 2; ( 2) z − 2i = z + 2 ;
( 2) z − 2i = z + 2
=
2
7
但由 y ≠ 0知m = −1应舍去. 即只有 m = 4.
3 1 ( −1 − 2i )(1 − i ) = − − i. 2 2 2
3
1 3i 例3 设 z = − − , 求 Re( z ), Im( z ) 与z ⋅ z . i 1− i 解
例4 化简 (1) 5 + 12i ; ( 2) i + − i . 解
nπ cos . 4
3
π π ⎤ ⎡ − + 2kπ ⎥ ⎢ − 4 + 2kπ + i sin 4 1 − i = 2 ⎢cos ⎥ 3 3 ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ ( k = 0,1,2).
6
20
19
21
例13 计算 4 1 + i 的值 .
例14 计算 4 1 + i 的值 .
三、典型例题
例15 指明下列不等式所确定的区域, 是有界的还 是无界的,单连通的还是多连通的. π 1 (1) Re( z 2 ) ≤ 1; ( 2) arg z < ; ( 3) < 3; 3 z (4) z − 1 + z + 1 < 4; (5) z − 1 ⋅ z + 1 < 1. 解 (1) 当 z = x + iy 时,
例7 将通过两点 z1 = x1 + iy1 与 z2 = x2 + iy2 的直
线用复数形式的方程来 表示 .
解
通过两点 ( x1 , y1 ) 与 ( x2 , y2 ) 的直线的方程
故, 由 z1 到 z2 的直线段的参数方程为
α α ⎛ α⎞ 解 z = 1 − cosα + i sin α = 2⎜ sin ⎟ + 2i sin cos 2⎠ 2 2 ⎝ α⎛ α α⎞ = 2 sin ⎜ sin + i cos ⎟ 2⎝ 2 2⎠
1 ⎞ ⎛ 1 i = ±⎜ + i ⎟, 2 ⎠ ⎝ 2
i + − i = ± 2.
1 ⎞ ⎛ 1 − i = ±⎜ − i ⎟, 2 ⎠ ⎝ 2
5 + 12i = ± ( 3 + 2i ).
4
5
6
例5 将下列复数化为三角表示式与指数表示式: π π (1) z = − 12 − 2i; ( 2) z = sin + i cos ; 5 5 (cos 5ϕ + i sin 5ϕ )2 . ( 3) z = (cos 3ϕ − i sin 3ϕ )3 解 (1) r = z = 12 + 4 = 4, 因为 z 在第三象限 ,
( 2) i = x + yi ,
i 3i (1 + i ) 3 1 1 3i =− − = − i, z=− − i ⋅ i (1 − i )(1 + i ) 2 2 i 1− i 3 1 Re( z ) = , Im( z ) = − , 2 2
(1)
5 + 12i = x + iy ,
2 2
5 + 12i = ( x − y ) + 2 xyi ,
解
π⎤ ⎡ π 1 + i = 2 ⎢cos + i sin ⎥ 4 4⎦ ⎣ π π ⎤ ⎡ + 2kπ + 2kπ ⎥ ⎢ 8 4 4 4 ( k = 0,1,2,3). 1 + i = 2 ⎢cos + i sin 4 4 ⎥ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ π π⎤ ⎡ 即 w0 = 8 2 ⎢cos + i sin ⎥ , 16 ⎦ ⎣ 16
将表示 z2 − z1 的向量
o z1 = 1 π π z′ 3 绕 z1 旋转 (或 − )就得 3 3 ′ 到另一个向量 , 它的终点即为所求顶点 z3 (或 z3 ).
z1 = 1
x
z′ 3
i π 因为复数 e 3 的模为1, 转角为 , 3
π
3− 3 1+ 3 3+ 3 1− 3 所以 z3 = + i , z′ = + i. 3 2 2 2 2
n+ 2 2
n
解
1 ⎞ ⎛ 1 1 − i = 2⎜ − i⎟ 2 2 ⎠ ⎝ ⎡ ⎛ π⎞ ⎛ π ⎞⎤ = 2 ⎢cos⎜ − ⎟ + i sin⎜ − ⎟ ⎥ ⎝ 4 ⎠⎦ ⎣ ⎝ 4⎠
⎡ ⎛ π⎞ ⎛ π ⎞⎤ 6 即 w0 = 2 ⎢cos⎜ − ⎟ + i sin⎜ − ⎟ ⎥ , ⎝ 12 ⎠ ⎦ ⎣ ⎝ 12 ⎠ 7π ⎤ ⎡ 7π w1 = 6 2 ⎢cos + i sin ⎥ , 12 ⎦ ⎣ 12 5π ⎤ ⎡ 5π w2 = 6 2 ⎢cos + i sin ⎥ . 4 4⎦ ⎣
⎧ x 2 − y 2 = 0, ⎨ ⎩ 2 xy = 1
⇒ x= y=±
1 , 2
⎛ 3⎞ ⎛ 1⎞ 5 2 2 z ⋅ z = [Re( z )] + [Im( z )] = ⎜ ⎟ + ⎜ − ⎟ = . ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 2
2
2
⎧ x 2 − y 2 = 5, ⎨ ⎩2 xy = 12
⇒ x = ± 3, y = ± 2,
x + ( y + 1) = 2, 圆方程 x + ( y + 1) = 4.
13
所求曲线方程为 y = −3.
14
1 π π 已知 z1 = (1 − 3i ), z2 = sin − i cos , 2 3 3 z 求 z1 ⋅ z2 和 1 . z2 ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ 解 因为 z1 = cos⎜ − ⎟ + i sin⎜ − ⎟, ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ z2 = cos⎜ − ⎟ + i sin⎜ − ⎟, ⎝ 6⎠ ⎝ 6⎠ ⎛ π π⎞ ⎛ π π⎞ 所以 z1 ⋅ z2 = cos⎜ − − ⎟ + i sin⎜ − − ⎟ = − i , ⎝ 3 6⎠ ⎝ 3 6⎠ 3 1 π π⎞ z1 ⎛ ⎛ π π⎞ − i. = cos⎜ − + ⎟ + i sin⎜ − + ⎟ = z2 ⎝ 3 6⎠ ⎝ 3 6⎠ 2 2