北京西城区2015届高三二模数学理试题(扫描版含答案)
2015西城区高三二模数学(理科)
2015西城区高三二模数学（理科）一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）设集合A={x|x﹣1＞0}，集合B={x|x≤3}，则A∩B=（）A．（﹣1，3）B．（1，3]C．[1，3） D．[﹣1，3]2．（5分）已知平面向量，，，=（﹣1，1），=（2，3），=（﹣2，k），若（+）∥，则实数k=（）A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣83．（5分）设命题p：函数f（x）=e x﹣1在R上为增函数；命题q：函数f（x）=cos（x+π）为奇函数．则下列命题中真命题是（）A．p∧q B．（￢p）∨q C．（￢p）∧（￢q）D．p∧（￢q）4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的n∈{1，2，3}，则输出的s属于（）A．{1‚2}B．{1‚3}C．{2‚3}D．{1‚3‚9}5．（5分）某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y（万元）与x 满足函数关系y=4x2+64，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x为（）A．3 B．4 C．5 D．66．（5分）数列{a n}为等差数列，满足a2+a4+…+a20=10，则数列{a n}前21 项的和等于（）A．B．21 C．42 D．847．（5分）若“x＞1”是“不等式2x＞a﹣x成立”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．a＞3 B．a＜3 C．a＞4 D．a＜48．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=，BC=AA1=1，点M为AB1的中点，点P为对角线AC1上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P、Q可以重合），则MP+PQ的最小值为（）A． B． C．D．1二、填空题：（本小题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）复数=．10．（5分）双曲线C：﹣=1的离心率为；渐近线的方程为．11．（5分）已知角α的终边经过点（﹣3，4），则；cos2α=．12．（5分）如图，P为⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B、C，且PC=2PA，D为线段PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E．若PB=，则PA=；AD•DE=．13．（5分）现有6人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有种．（用数字作答）14．（5分）如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x（x∈[0，π]），OP所经过正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S=f（x），那么对于函数f（x）有以下三个结论：①f（）=；②任意x∈[0，]，都有f（﹣x）+f（+x）=4；③任意x1，x2∈（，π），且x1≠x2，都有＜0．其中所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在锐角△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知a=，b=3，sinB+sinA=2．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求△ABC 的面积．16．（13分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）当a=b=3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n，比较m，n 的大小关系；（Ⅱ）在这10 个卖场中，随机选取2 个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望．（Ⅲ）若a=1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达到最小值．（只需写出结论）17．（14分）如图，在边长为4 的菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥DC，如图．（1）求证：A1E⊥平面BCDE；（2）求二面角E﹣A1B﹣C的余弦值；（3）判断在线段EB上是否存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18．（13分）已知函数f（x）=，其中a∈R．（1）当a=﹣时，求 f （x）的单调区间；（2）当a＞0时，证明：存在实数m＞0，使得对于任意的实数x，都有|f（x）|≤m成立．19．（14分）设F1，F2分别为椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点A为椭圆E的左顶点，点B为椭圆E 的上顶点，且|AB|=2．（1）若椭圆E 的离心率为，求椭圆E 的方程；（2）设P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，直线F2P与y 轴相交于点Q，若以PQ 为直径的圆经过点F1，证明：|OP|＞．20．（13分）无穷数列P：a1，a2，…，a n，…，满足a i∈N*，且a i≤a i+1（i∈N*），对于数列P，记T k （P）=min{n|a n≥k}（k∈N*），其中min{n|a n≥k}表示集合{n|a n≥k}中最小的数．（Ⅰ）若数列P：1‚3‚4‚7‚…，写出T1（P），T2（P），…，T5（P）；（Ⅱ）若T k（P）=2k﹣1，求数列P 前n项的和；（Ⅲ）已知a20=46，求s=a1+a2+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+T46（P）的值．参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．【解答】由A中不等式解得：x＞1，即A=（1，+∞），∵B=（﹣∞，3]，∴A∩B=（1，3]．故选：B．2．【解答】∵=（﹣1，1），=（2，3），∴+=（1，4），若（+）∥，则，即k=﹣8，故选：D．3．【解答】命题p：函数f（x）=e x﹣1在R上为增函数，为真命题，则￢p为假命题，命题q：函数f（x）=cos（x+π）=﹣cosx为偶函数，故q为假命题，则￢为真命题，∴p∧q为假命题，￢p∨q为假命题，￢p∧￢q为假命题，p∧￢q为真命题．故选：D．4．【解答】由程序框图可得，当n的值为1时，不满足条件n＞2，可得n=3，满足条件n＞2，计算并输出s=1；当n的值为2时，不满足条件n＞2，可得n=9，满足条件n＞2，计算并输出s=2；当n的值为3时，满足条件n＞2，计算并输出s=1；综上，输出的s∈{1‚2}．故选：A．5．【解答】解法一，根据题意，得；该设备所花费的年平均费用为f（x）===4x+，其中x＞0；∵x＞0，∴4x+≥2=32，当且仅当4x=，即x=4时，取“=”；∴当x=4时，该设备的年平均花费最低．解法二，根据题意，得；该设备所花费的年平均费用为f（x）==，其中x＞0；设t=，∴4x2﹣tx+64=0，∴△=t2﹣4×4×64≥0，解得t≥32或t≤﹣32（不和题意，舍去），当t=32时，x==4，∴x=4时，该设备的年平均花费最低．故选：B．6．【解答】根据题意，得10=a2+a4+…+a20=a2+a20+a4+a18+…+a10+a12=10a11，∴a11=1，∴S21=a1+a21+a2+a20+…+a10+a12+a11=21a11=21，故选：B．7．【解答】若2x＞a﹣x，即2x+x＞a；设f（x）=2x+x，该函数为增函数；根据题意“不等式2x+x＞a成立，即f（x）＞a成立”能得到“x＞1”，并且反之不成立；∵x＞1时，f（x）＞3；∴a＞3．故选A．8．【解答】由题意，要求MP+PQ的最小值，就是P到底面ABCD的距离的最小值与MP的最小值之和，Q是P在底面上的射影距离最小，展开三角形ACC1与三角形AB1C1，在同一个平面上，如图，易知∠B1AC1=∠C1AC=30°，AM=，可知MQ⊥AC时，MP+PQ的最小，最小值为：=．故选：C．二、填空题：（本小题共6小题，每小题5分，共30分）9．【解答】=．故答案为：1+3i．10．【解答】∵双曲线的方程是﹣=1，∴a2=8，b2=4，∴c2=a2+b2=12，∴a=2，b=2，c=2，∴离心率为e==，渐近线的方程为y=±x，故答案为：，y=±x．11．【解答】∵角α的终边经过点（﹣3，4），则x=﹣3，y=4，r=|OP|=5，∴cosα==﹣cos2α=2cos2α﹣1=﹣，故答案为：﹣；﹣．12．【解答】∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，PB=，∴PA2=•2PA，∴PA=；∵PA2=PB•PC，PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB ， ∴PB=BD ，∴BD•DC=PB•2PB ， ∵AD•DE=BD•DC ， ∴AD•DE=2PB 2=． 故答案为：，．13．【解答】分类讨论，甲站第2个位置，则乙站4，5，6中的一个位置，不同的排法有=72种；甲站第3个位置，则乙站1，5，6中的一个位置，不同的排法有=72种； 甲站第4个位置，则乙站1，2，6中的一个位置，不同的排法有=72种； 甲站第5个位置，则乙站1，2，3中的一个位置，不同的排法有=72种，故共有72+72+72+72=288． 故答案为：288．14．【解答】当0≤x ≤arctan2时，f （x ）==；当arctan2＜x ＜，在△OBE 中，f （x ）=S 矩形OABM ﹣S △OME =2﹣=2﹣；当x=时，f （x ）=2；当＜x ≤π﹣arctan2时，同理可得f （x ）=2﹣． 当π﹣arctan2＜x ≤π时，f （x ）=4﹣=4+．于是可得：①==，正确； ②对任意x ∈[0，]，都有f （﹣x ）+f （+x ）=4用换元法，以x 代替﹣x ，可得：f （x ）+f （π﹣x ）=4， 因此，故②正确； ③不妨设x 1＜x 2，则＜0⇔f （x 1）＞f （x 2），显然不正确．综上只有：①②正确．故答案为：①②．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解答】（Ⅰ）锐角△ABC 中，由条件利用正弦定理可得=，∴sinB=3sinA，再根据sinB+sinA=2，求得sinA=，∴角A=．（Ⅱ）锐角△ABC 中，由条件利用余弦定理可得a2=7=c2+9﹣6c•cos，解得c=1 或c=2．当c=1时，cosB==﹣＜0，故B为钝角，这与已知△ABC为锐角三角形相矛盾，故不满足条件．当c=2时，△ABC 的面积为bc•sinA=•3•2•=．16．【解答】（Ⅰ）根据茎叶图，可得甲组数据的平均数为=24，乙组数据的平均数为=26.5，甲型号电视机的“星级卖场”数量为m=5，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n=5，所以m=n；（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，X的分布列为：∴Eξ=0×+1×+2×=1．（Ⅲ）若a=1，b=0时，s2达到最小值．17．【解答】（1）证明：∵DE⊥BE，BE∥DC，∴DE⊥DC，∵A1D⊥DC，A1D∩DE=D，∴DC⊥平面A1DE，∴DC⊥A1E，∵A1E⊥DE，DC∩DE=D，∴A1E⊥平面BCDE；（2）解：由题意，以EB，ED，EA1分别为x，y，z轴，建立坐标系，则DE=2，A1（0，0，2），B（2，0，0），C（4，2，0），D（0，2，0），∴=（﹣2，0，2），=（2，2，0），平面A1BE的一个法向量为=（0，1，0），设平面A1BC的一个法向量为=（x，y，z），则，∴=（﹣，1，﹣），∴cos＜，＞=，∴二面角E﹣A1B﹣C的余弦值为﹣；（3）解：在线段EB上不存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC，设P（t，0，0）（0≤t≤2），则=（t，0，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面A1DP的法向量为=（a，b，c），则，∴=（2，，t），∵平面A1DP⊥平面A1BC，∴﹣2+﹣t=0，∴t=﹣3，∵0≤t≤2，∴在线段EB上不存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC．18．【解答】（1）当a=﹣时，f（x）=；f（x）的定义域为{x|x≠±2}；；∴f（x）在（﹣∞，﹣2），（﹣2，2），（2，∞）上单调递减；∴f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣2），（﹣2，2），（2，+∞）；（2）证明：当a＞0时，f（x）=的定义域为R；f′（x）=，令f′（x）=0得：，；∴f（x）在（﹣∞，x1]，[x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减；又f（1）=0，当x＜1时，f（x）；当x＞1时，f（x）＜0；∴x≤1时，0≤f（x）≤f（x1）；x＞1时，f（x2）≤f（x）＜0；记M=max{|f（x1）|，|f（x2）|}，其中max{|f（x1）|，|f（x2）|}表示两数|f（x1）|，|f（x2）|中最大的数；综上，当a＞0时，存在实数m∈[M，+∞），使得对任意的实数x，不等式|f（x）|≤m恒成立．19．【解答】（1）设c=，由题意可得a2+b2=4，且e==，解得a=，b=1，c=，则椭圆方程为+y2=1；（2）证明：a2+b2=4，则椭圆E：+=1，F1（﹣c，0），F2（c，0），c==，设P（x0，y0），则x 0≠c，直线F1P的斜率=，直线F 2P的斜率为=，直线F2P：y=（x﹣c），当x=0时，y=﹣，即Q（0，﹣），F 1Q的斜率为=，以PQ 为直径的圆经过点F1，即有F 1P⊥F1Q，即有•=•=﹣1，化简可得y02=x02﹣（2a2﹣4）①又P为E上一点，在第一象限内，则+=1，x0＞0，y0＞0，②由①②解得x0=a2，y0=2﹣a2，即有|OP|2=x02+y02=（a2﹣2）2+2，由a2+b2=4＜2a2，即a2＞2，则有|OP|＞．20．【解答】（Ⅰ）∵数列P：1‚3‚4‚7‚…，即从第三项起每项是前两项的和，∴T1（P）=1，T2（P）=2，T3（P）=2，T4（P）=3，T5（P）=4；（Ⅱ）∵T k（P）=2k﹣1，∴T1（P）=1，T2（P）=3，T3（P）=5，T4（P）=7，…∵T2（P）=3，且T k（P）=min{n|a n≥k}（k∈N*），∴a3≥2，且a2＜2，同理，由T3（P）=5，且T k（P）=min{n|a n≥k}（k∈N*），得a5≥3，a4＜3，以此类推，得a7≥4，a6＜4；…；a2n﹣1≥n，a2n﹣2＜n；…∵a i≤a i+1（i∈N*），a i∈N*，∴a1=a2=1，a3=a4=2，…，a2n﹣1=a2n=n，…当n为奇数时，a1+a2+a3+…+a n=2（1+2+…+）+=，当n为偶数时，a1+a2+a3+…+a n=2（1+2+…+）=，∴数列{a n}前n项的和S n=；（Ⅲ）考查符合条件的数列P中，，若存在某个i（1≤i≤19）满足a i≤a i+1对应可得T k（P），及s=a1+a2+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+T46（P）．∵T k（P）=min{n|a n≥k}（k∈N*），∴（P）=i+1，下面将数列P略作调整，仅将第a i的值增加1，具体如下：将a j′=a j+1，对于任何j（j≠1）令a j′=a j，可得数列P′及其对应数列T k（P′），根据数列T k（P′）的定义，可得（P′）=i，且T j（P′）=T j（P）（j≠a i+1）．显然（P′）=（P）﹣1，∴s′=a1′+a2′+…+a20′+T1（P′）+T2（P′）+…+T46（P′）=a 1+a2+…+a i﹣1+（a i+1）+a i+1+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+（﹣1）++…+T46（P）=a1+a2+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+T46（P）=s，即调整后s′=s．如果数列{a n′}还有存在相邻两项不相等，继续做以上的操作，最终一定可以经过有限次的操作，使得{a n}中的每一项变为相等，且操作中保持s的值不变，而当a1=a2=…=a20=46时，T1（P）=T2（P）=…=T46（P）=1，∴s=a1+a2+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+T46（P）=46×20+46=966．。
北京市西城区2015届高三一模考试数学理试卷(word)-含答案
北京市西城区2015 年高三一模试卷数学（理科）2015.4本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1 至2 页，第Ⅱ卷3 至6 页，共150 分。
考试时长120 分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共40 分）一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
＝，则实数a的取值范围是（）1．设集合A ={0，1}，集合B ={x | x > a}，若A BA．a≤1 B．a≥1 C．a≥0 D．a≤02．复数z 满足z ⋅i = 3 − i，则在复平面内，复数z 对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．在极坐标系中，曲线ρ = 2cosθ 是（）A．过极点的直线B．半径为2 的圆C．半于极点对称的图形D．关于极轴对称的图形4．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为3，则输出的n 的值为（）A．4 B．5 C．6 D．75．设函数f (x)的定义域为R，则“∀x∈R，f (x +1) > f (x) ”是“函数f (x)为增函数”的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是( )7． 已知6 枝玫瑰与3 枝康乃馨的价格之和大于24 元，而4 枝玫瑰与4 枝康乃馨的价格之和小于20 元，那么2 枝玫瑰和3 枝康乃馨的价格的比较结果是 ( )A ．2 枝玫瑰的价格高B ．3 枝康乃馨的价格高C ．价格相同D ．不确定8． 已知抛物线所围成的封闭曲线如图所示，给定点 A (0，a )，若 在此封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点A 对称，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(1，3)B ．(2，4)C ．（32，3）D ．（52，3） 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分.9． 已知平面向量a , b 满足a = (1, −1), (a + b ) ⊥ (a − b ),那么｜b ｜＝ .10．已知双曲线()222210x y a b a b=>>0－，的一个焦点是抛物线 y 2 = 8x 的焦点，且双曲线C 的离心率为2，那么双曲线C 的方程为 .11．在△ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为a , b , c ,若则a = .12．若数列{a n }满足a 1 = 2，且对于任意的m , n ∈N ＊，都有m n m n a a a +=+ , 则3a = ； 数列{ a n } 前10 项的和S 10 = .13．某种产品的加工需要 A , B , C , D , E 五道工艺，其中 A 必须在D 的前面完成（不一定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间， B 与C 必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有 种. （用数字作答）14．如图，四面体 ABCD 的一条棱长为 x ，其余棱长均为 1，记四面体 ABCD 的体积为F (x )，则函数F(x)的单调增区间是；最大值为.三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13 分）设函数（Ⅰ）当，时，求函数 f (x)的值域；（Ⅱ）已知函数y = f (x)的图象与直线y =1有交点，求相邻两个交点间的最短距离．16．（本小题满分13 分）2014 年12 月28 日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价．具体如下表．（不考虑公交卡折扣情况）已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5 元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭出站的乘客中随机选出120 人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1 人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5 元的概率；（Ⅱ）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2 人，记X 为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5 元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5 元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里，试写出s 的取值范围．（只需写出结论）17．（本小题满分14 分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD是边长为4 的正方形，EF∥AD ，平面ADEF ⊥平面ABCD，且BC = 2EF ，AE = AF ，点G 是EF 的中点。
北京市西城区高三二模试卷.docx
北京市西城区2015年高三二模试卷数 学（文科） 2015.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|10}A x x =->，集合3{|}B x x =≤，则A B =（ ）（A ）(1,3)-（B ）(1,3]（C ）[1,3)（D ）[1,3]-3. 设命题p ：函数1()e x f x -=在R 上为增函数；命题q ：函数()cos 2f x x =为奇函数. 则 下列命题中真命题是（ ）（A ）p q ∧ （B ）()p q ⌝∨ （C ）()()p q ⌝∧⌝ （D ）()p q ∧⌝4．执行如图所示的程序框图，若输入的{1,2,3}n ∈，2．已知平面向量,,a b c 满足(1,1)=-a ，(2,3)=b ，(2,)k =-c ，若()//+a b c ，则实数k =（ ） （A ）4 （B ）4- （C ）8 （D ）8-则输出的s 属于（ ） （A ）{1,2} （B ）{1,3} （C ）{2,3}（D ）{1,3,9}5. 一个几何体的三视图中，正（主）视图和 侧(左)视图如图所示，则俯视图可以为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）6. 某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y （万元）与 x 满足函数关系2464y x =+，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x 为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）67. “3m >”是“曲线22(2)1mx m y --=为双曲线”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件8. 在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB BC AA ===，点P 为对角线1AC 上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点（点P ，Q 可以重合），则1B P PQ +的最小值为（ ）第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 复数10i3i=+____. 10. 抛物线24C y x =：的准线l 的方程是____；以C 的焦点为圆心，且与直线l 相切的圆的 方程是____.11．设函数,11,1()2,.x x f x x x -⎧>⎪=⎨⎪-⎩≤ 则[(2)]f f =____；函数()f x 的值域是____.12．在ABC ∆中, 角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ， 若7a =，3b =，2c =， 则A =____；ABC ∆的面积为____.13. 若,x y 满足,2,1,y x y x x y +⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤若z x my =+的最大值为53，则实数m =____.14. 如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺时针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记AOP ∠为([0,π])x x ∈，OP 所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积()S f x =，那么对于函数()f x 有以下三个结论： ○1 π3()32f =；○2 函数()f x 在区间π(,π)2上为减函数；○3 任意π[0,]2x ∈，都有()(π)4f x f x +-=.其中所有正确结论的序号是____.（A ）2 （B ）3 （C ）32（D ）2三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知函数cos 2(sin cos )()cos sin x x x f x x x+=-.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）求函数()f x 的单调增区间.16．（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，*11()n n a S n +=+∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 为等差数列，且11b a =，公差为21a a . 当3n ≥时，比较1nb +与121nb b b ++++的大小．17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥E ABCD -中，AE DE ⊥，CD ⊥平面ADE , AB ⊥平面ADE ，6CD DA ==，2AB =，3DE =.（Ⅰ）求棱锥C ADE -的体积； （Ⅱ）求证：平面ACE ⊥平面CDE ；（Ⅲ）在线段DE 上是否存在一点F ,使//AF 平面BCE ？若存在,求出EF ED的值；若不存在，说明理由.18．（本小题满分13分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）求在这10个卖场中，甲型号电视机的“星级卖场”的个数；（Ⅱ）若在这10个卖场中，乙型号电视机销售量的平均数为26.7，求a >b 的概率；（Ⅲ）若a =1，记乙型号电视机销售量的方差为s 2，根据茎叶图推断b 为何值时，s 2达到最小值．（只需写出结论） （注：方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 为1x ，2x ，…，n x的平均数）19．（本小题满分14分）设1F ，2F 分别为椭圆2222 + 1(0)x y E a b a b=>>：的左、右焦点，点A 为椭圆E 的左顶点，点B 为椭圆E 的上顶点，且||2AB =. （Ⅰ）若椭圆E 的离心率为63，求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，直线2F P 与y 轴相交于点Q . 若以PQ 为直径的圆经过点1F ，证明：点P 在直线20x y +-=上.20．（本小题满分13分）已知函数21()1xf x ax-=+，其中a ∈R . （Ⅰ）当14a =-时，求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a >时，证明：存在实数0m >，使得对任意的x ，都有()m f x m -≤≤成立； （Ⅲ）当2a =时，是否存在实数k ，使得关于x 的方程()()f x k x a =-仅有负实数解？当12a =-时的情形又如何？(只需写出结论)北京市西城区2015年高三二模试卷参考答案及评分标准高三数学（文科） 2015.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．D 4．A 5．C 6．B 7．A 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．13i + 10．1x =- 22(1)4x y -+= 11．52- [3,)-+∞ 12．π3 33213．2 14．○1 ○3 注：第10，11题第一问2分，第二问3分. 第14题多选、漏选或错选均不得分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得cos sin 0x x -≠， ……………… 1分即 tan 1x ≠， ……………… 2分解得 ππ4x k ≠+， ……………… 4分 所以函数()f x 的定义域为π{|π,}4x x k k ≠+∈Z . ……………… 5分（Ⅱ）解：cos 2(sin cos )()cos sin x x x f x x x +=-22(cos sin )(sin cos )cos sin x x x x x x-+=-……………… 7分(cos sin )(sin cos )x x x x =++sin 21x =+， ……………… 9分由 ππ2π22π22k x k -++≤≤，得 ππππ44k x k -++≤≤， ……………… 11分又因为 ππ4x k ≠+，所以函数()f x 的单增区间是ππ(π,π)44k k -++，k ∈Z . （或写成ππ[π,π)44k k -++）……………… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为11n n a S +=+， ○1 所以当2n ≥时，11n n a S -=+， ○2由 ○1○2两式相减，得1n n n a a a +-=，即12n n a a +=(2)n ≥， ………………3分 因为当1n =时，2112a a =+=，所以212a a =， ………………4分 所以 *12()n nan a +=∈N ． ………………5分所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以 12n n a -=． ………………7分 （Ⅱ）解：因为1(1)221n b n n =+-⨯=-， ………………9分所以121n b n +=+，212(121)1112n n n b b b n +-++++=+=+， ………………11分 因为2(1)(21)(2)n n n n +-+=-， ………………12分 由3n ≥，得(2)0n n ->，所以当3n ≥时，1121n n b b b b +<++++. ………………13分17．（本小题满分14分） （Ⅰ）解：在Rt ΔADE 中，2233AE AD DE =-=. ………………1分因为CD ⊥平面ADE ，所以棱锥C ADE -的体积为Δ1193332C ADE ADE AE DEV S CD CD -⋅==⋅⋅=⋅. ………………4分（Ⅱ）证明：因为 CD ⊥平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，所以CD AE ⊥. ………………5分 又因为AE DE ⊥，CDDE D =,所以AE ⊥平面CDE . ………………7分 又因为AE ⊂平面ACE ，所以平面ACE ⊥平面CDE . …………………8分 （Ⅲ）结论：在线段DE 上存在一点F ,且13EFED =，使//AF 平面BCE .…………………9分解：设F 为线段DE 上一点, 且13EF ED =， ………………10分过点F 作//FM CD 交CE 于M ，则1=3FM CD .因为CD ⊥平面ADE ,AB ⊥平面ADE ， 所以//CD AB . 又因为3CD AB =所以MF AB =，//FM AB ,所以四边形ABM F 是平行四边形，则//AF BM . ………………12分 又因为AF ⊄平面BCE ，BM ⊂平面BCE ，所以//AF 平面BCE . ………………14分18．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：根据茎叶图， 得甲组数据的平均数为101014182225273041432410+++++++++=， ………2分由茎叶图，知甲型号电视机的“星级卖场”的个数为5. ………………4分 （Ⅱ）解：记事件A 为“a >b ”， ………………5分因为乙组数据的平均数为26.7， 所以10182022233132(30)(30)4326.710a b +++++++++++=，解得 8a b +=. ………………7分 所以 a 和b 取值共有9种情况，它们是：(0,8)，(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)， (6,2)，(7,1)，(8,0)， ………………8分ABCED FM其中a >b 有4种情况，它们是：(5,3)，(6,2)，(7,1)，(8,0)， ………………9分 所以a >b 的概率4()9P A =. ………………10分 （Ⅲ）解：当b =0时，2s 达到最小值． ………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设22c a b =-，由题意，得224a b +=，且63c a =， ………………2分 解得3a =，1b =，2c =. ………………4分所以椭圆E 的方程为2213x y +=. ………………5分 （Ⅱ）解：由题意，得224a b +=，所以椭圆E 的方程为222214x y a a +=-， 则1(,0)F c -，2(,0)F c ，22224c a b a =-=-. 设00(,)P x y ，由题意，知0x c ≠，则直线1F P 的斜率10F P y k x c=+， ………………6分 直线2F P 的斜率200F P y k x c=-， 所以直线2F P 的方程为00()y y x c x c=--， 当0x =时，00y cy x c -=-，即点00(0,)Q y c x c--， 所以直线1F Q 的斜率为10F Q y k c x =-， ………………8分 因为以PQ 为直径的圆经过点1F ， 所以11PF F Q ⊥.所以1100001F P F Q y yk k x c c x ⨯=⨯=-+-， ………………10分化简，得22200(24)y x a =--， ○1又因为P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，所以22002214x y a a +=-，00x >，00y >， ○2 由○1○2，解得202a x =，20122y a =-， ………………12分 所以002x y +=，即点P 在直线20x y +-=上. ………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当14a =-时，函数21()114x f x x -=-， 求导，得22222224(1)3()114(1)4(1)44x x x f x x x -+----'==--， ………………2分 因为(1)0f =，(1)43f '=-， ………………3分 所以函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为4340x y +-=.………………4分 （Ⅱ）证明：当0a >时，21()1x f x ax -=+的定义域为R . 求导，得22221()(1)ax ax f x ax --'=+， ………………5分 令()0f x '=，解得11110x a =-+<，21111x a =++>， ………………6分当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表： x1(,)x -∞ 1x 12(,)x x 2x 2(,)x +∞ ()f x ' +0 - 0 + ()f x↗ ↘ ↗ ………………8分所以函数()f x 在1(,)x -∞，2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减.又因为(1)0f =，当1x <时，21()01xf x ax -=>+；当1x >时，21()01xf x ax -=<+，所以当1x ≤时，10()()f x f x ≤≤；当1x >时，2()()0f x f x <≤.记12max{()|,()|}||M f x f x =，其中12max{()|,()|}||f x f x 为两数1()||f x ，2()||f x 中最大的数，综上，当0a >时，存在实数[,)m M ∈+∞，使得对任意的实数x ，不等式()m f x m -≤≤ 恒成立. ………………10分（Ⅲ）解：当12a =-与2a =时，不存在实数k ，使得关于实数x 的方程()()f x k x a =-仅 有负实数解.。
2015年北京市西城区高三二模(文)
北京市西城区2015年高三二模文科数学试卷2015.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|10}A x x =->，集合3{|}B x x =≤，则A B =I （ ） （A ）(1,3)- （B ）(1,3] （C ）[1,3) （D ）[1,3]-【考点】集合的运算 【难度】1 【答案】B【解析】因为{|1}A x x => ，所以{|13}A B x x =<≤I 。
故选B 。
2．已知平面向量,,a b c 满足(1,1)=-a ，(2,3)=b ，(2,)k =-c ，若()//+a b c ，则实数k =（ ） （A ）4 （B ）4- （C ）8（D ）8-【考点】平面向量的线性运算，平面向量的坐标运算 【难度】1 【答案】D【解析】由已知条件有(1,4)a b +=r r ，因(2,)k =-c 为 ()//a b c +r r r 所以有214k-= ，故选D 3. 设命题p ：函数1()e x f x -=在R 上为增函数；命题q ：函数()cos 2f x x =为奇函数. 则下列命题中真命题是（ ）（A ）p q ∧ （B ）()p q ⌝∨ （C ）()()p q ⌝∧⌝ （D ）()p q ∧⌝ 【考点】简单的逻辑联结词 【难度】1 【答案】D【解析】因1()x f x e -=在R 上是增函数，故p 命题为真；而()cos(2)cos2()f x x x f x -=-==,所以()f x 为偶函数，故q 命题为假，则q ⌝为真，从而()p q ∧⌝为真命题，选D. 4．执行如图所示的程序框图，若输入的{1,2,3}n ∈，则输出的s 属于（ ）（A ）{1,2} （B ）{1,3} （C ）{2,3} （D ）{1,3,9} 【考点】算法和程序框图 【难度】1 【答案】A【解析】当n=1时，经过判断后重新赋值得到n=3，所以输出的s=1；当n=2时经过判断后重新赋值得n=9，此时输出s=2；当n=3时，判断为是，直接输出s=1，所以s 的集合为｛1，2｝.选A视图和 侧(左)视图如图所示，则俯视图不可能为（ ）(A ) （B ） （C ） （D ） 【考点】空间几何体的三视图 【难度】1 【答案】C【解析】结合正视图和侧视图，且注意到正视图中间为虚线，可知应选C 6. 某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y （万元）与 x 满足函数关系2464y x =+，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x 为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【考点】均值定理的应用 【难度】1 【答案】B【解析】设年平均花费为t ，则2464164()32y x t x xxx+===+≥（当且仅当16x x=时，即x=4时，取等号）。
北京市西城区2015年高三二模理综试卷及答案详解
2．下图为苯丙氨酸部分代谢途径示意图。苯丙酮尿症是由于苯丙氨酸羟化酶基因突变所致。 患者的苯丙氨酸羟化酶失活，苯丙氨酸转化为酪氨酸受阻，组织细胞中苯丙氨酸和苯丙 酮酸蓄积，表现为智力低下、毛发与皮肤颜色较浅等症状。下列分析错．误．的是（ ）
A．一个基因可能会影响多个性状表现 B．生物的一个性状只受一个基因的控制 C．基因可通过控制酶的合成控制代谢过程，进而控制性状 D．在婴幼儿时期限制对苯丙氨酸的摄入可缓解患者的病症
可能用到的相对原子质量： H1 N14 O16 Mg24 Si28
选择题（共 20 题 每小题 6 分 共 120 分）
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．下列有关细胞的叙述错．误．的是（ ）
A．大肠杆菌基因的转录仅发生在拟核区 B．蓝藻没有叶绿体，但可以进行光合作用 C．乳酸菌与醋酸杆菌异化作用类型不同 D．酵母菌的细胞核和线粒体内可进行 DNA 复制
品红溶液褪色
结论
氧化性： Cl2 Br2 l2
H 的浓度是影响反应 速率的唯一因素 蔗糖水解产物没有还 原性
气体中含有 Cl2
12．恒温慢容下，向 2L 密闭容器中加入 MgSO4 (s) 和 (CO)(g) ，发生反应：
MgSO4 (s) CO(g)
MgO(s) CO2 (g) SO2 (g)
B．向硫酸铝溶液中加入氨水制备氢氧化铝： Al3
3NH2
H2O
AlOH 3
3NH4
C．铁在潮湿的环境中生锈： 3Fe 4H2O Fe3O4 4H2
D．二氧化氮溶于水有硝酸生成： 3NO2 H2O 2HNO3 NO
9． 下列说法不．正．确．的是 A．为除去 FeSO4 溶液中的 Fe2 (SO4 )3 ，可加入铁粉，再过滤 B．为除去溴苯中的溴，可用 NaOH 溶液洗涤，再分液 C．为除去乙炔气中少量的 H2S ，可使其通过 CuSO4 溶液 D．为除去 CO2 中少量 SO2 ，可使其通过饱和 Na2CO 溶液
北京市西城区2015届高三二模理科综合试卷(扫描版).pdf
生物答案解析 【考点】真核细胞与原核细胞的区别 【解析】 A选项考查大肠杆菌基因转录的场所，大肠杆菌的基因除在拟核区外，质粒中也有基因，所以大肠杆菌基因转录的场所在拟核区和质粒。
A错误 蓝藻为原核生物，无叶绿体但含有光合色素能进行光合作用。
B正确 异化作用是将自身有机物分解成无机物，并释放能量的过程，分为需氧型和厌氧型。
乳酸菌异化作用类型为厌氧性，醋酸杆菌异化作用类型为需氧型。
C正确 酵母菌为真核生物，DNA分布在细胞核和线粒体中，并能完成复制过程。
D正确 2． 【答案】B 【考点】信息提取，基因与性状的关系 【解析】 由题知，苯丙氨酸羟化酶基因突变，会导致苯丙酮尿症；苯丙氨酸羟化酶失活，苯丙氨酸转化为酪氨酸受阻，苯丙氨酸和苯丙酮酸蓄积，表现智力低下，毛发与皮肤颜色较浅等症状。
一个基因确实可以影响多个性状表现。
A正确 由题知，苯丙氨酸羟化酶基因突变，最终会使毛发与皮肤颜色较浅等症状，由图知，若控制酪氨酸酶的基因突变同样会使黑色素减少，出现毛发与皮肤颜色较浅等症状，所以不是一个性状只受一个基因控制。
B错误 苯丙氨酸羟化酶基因突变，苯丙氨酸羟化酶失活，苯丙氨酸转化为酪氨酸受阻，苯丙氨酸和苯丙酮酸蓄积，表现智力低下，毛发与皮肤颜色较浅等症状。
表明基因可以通过控制酶的合成控制代谢，进而控制性状。
C正确 苯丙氨酸羟化酶基因突变，苯丙氨酸羟化酶失活，苯丙氨酸转化为酪氨酸受阻，苯丙氨酸和苯丙酮酸蓄积，表现智力低下，毛发与皮肤颜色较浅等症状。
所以如果婴儿期限制对苯丙氨酸的摄入，苯丙氨酸和苯丙酮酸蓄积减少，可缓解患者的病症。
D正确 3． 【答案】C 【考点】信息提取 【解析】 由图知，阻断副交感神经心率大幅度提高，说明副交感神经对心脏搏动起抑制作用。
A正确由图知，阻断副交感神经心率大幅度提高。
阻断交感神经心率降低的变化并不明显。
B正确 阻断副交感神经，心率大幅度提高，说明副交感神经对心脏搏动起抑制作用。
阻断交感神经心率降低，说明交感神经对心脏搏动起促进作用。
数学_2015年北京市西城区高考数学二模试卷(理科)(含答案)
2015年北京市西城区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共40分）1. 设集合A ＝{x|x −1>0}，集合B ＝{x|x ≤3}，则A ∩B ＝（ ） A (−1, 3) B (1, 3] C [1, 3) D [−1, 3]2. 已知平面向量a →，b →，c →，a →=(−1, 1)，b →=(2, 3)，c →=(−2, k)，若(a →+b →) // c →，则实数k ＝（ ）A 4B −4C 8D −83. 设命题 p ：函数f(x)=e x−1在R 上为增函数；命题q ：函数f(x)=cos(x +π)为奇函数．则下列命题中真命题是（ ）A p ∧qB (￢p)∨qC (￢p)∧(￢q)D p ∧(￢q)4. 执行如图所示的程序框图，若输入的n ∈{1, 2, 3}，则输出的s 属于（ ）A {1‚2}B {1‚3}C {2‚3}D {1‚3‚9}5. 某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y （万元）与x 满足函数关系y ＝4x 2+64，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x 为（ ）A 3B 4C 5D 66. 数列{a n }为等差数列，满足a 2+a 4+...+a 20＝10，则数列{a n }前21 项的和等于（ ） A 212 B 21 C 42 D 847. 若“x >1”是“不等式2x >a −x 成立”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ） A a >3 B a <3 C a >4 D a <48. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =√2，BC =AA 1=1，点M 为AB 1的中点，点P 为对角线AC 1上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点（点P ，Q 可以重合），则MP +PQ 的最小值为( )A √22 B √32 C 34 D 1二、填空题：（本小题共6小题，每小题5分，共30分） 9. 复数10i3+i =________． 10. 双曲线C:x 28−y 24=1的离心率为________；渐近线的方程为________．11. 已知角α的终边经过点(−3, 4)，则cosα=________；cos2α=________．12. 如图，P为⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B、C，且PC=2PA，D为线段PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E．若PB=34，则PA=________；AD⋅DE=________．13. 现有6人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有________种．（用数字作答）14. 如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x(x∈[0, π])，OP所经过正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S＝f(x)，那么对于函数f(x)有以下三个结论：①f(π3)=√32；②任意x∈[0, π2]，都有f(π2−x)+f(π2+x)＝4；③任意x1，x2∈(π2, π)，且x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0．其中所有正确结论的序号是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=√7，b＝3，√7sinB+sinA＝2√3．(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)求△ABC的面积．16. 某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．(Ⅰ)当a＝b＝3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n，比较m，n的大小关系；(Ⅱ)在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记X为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X的分布列和数学期望．(Ⅲ)若a＝1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达到最小值．（只需写出结论）17. 如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD＝60∘，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥DC，如图．（1）求证：A1E⊥平面BCDE；（2）求二面角E−A1B−C的余弦值；（3）判断在线段EB上是否存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC？若存在，求出EPPB的值；若不存在，说明理由．18. 已知函数f(x)=1−x1+ax2，其中a∈R．（1）当a=−14时，求f(x)的单调区间；（2）当a>0时，证明：存在实数m>0，使得对于任意的实数x，都有|f(x)|≤m成立．19. 设F1，F2分别为椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点A为椭圆E的左顶点，点B为椭圆E的上顶点，且|AB|＝2．（1）若椭圆E的离心率为√63，求椭圆E的方程；（2）设P为椭圆E上一点，且在第一象限内，直线F2P与y轴相交于点Q，若以PQ为直径的圆经过点F1，证明：|OP|>√2．20. 无穷数列P:a1，a2，…，a n，…，满足a i∈N∗，且a i≤a i+1(i∈N∗)，对于数列P，记T k(P)=min{n|a n≥k}(k∈N∗)，其中min{n|a n≥k}表示集合{n|a n≥k}中最小的数．（1）若数列P:1‚3‚4‚7‚…，写出T1(P)，T2(P)，…，T5(P)；（2）若T k(P)=2k−1，求数列P前n项的和；（3）已知a20=46，求s=a1+a2+...+a20+T1(P)+T2(P)+...+T46(P)的值．2015年北京市西城区高考数学二模试卷（理科）答案1. B2. D3. D4. A5. B6. B7. A8. C9. 1+3i 10. √62,y =±√22x 11. −35,−725 12. 32,9813. 28814. ①②15. （1）锐角△ABC 中，由条件利用正弦定理可得√7sinA=3sinB，∴ √7sinB ＝3sinA ，再根据√7sinB +sinA ＝2√3，求得sinA =√32，∴ 角A =π3．（2） 锐角△ABC 中，由条件利用余弦定理可得a 2＝7＝c 2+9−6c ⋅cos π3，解得c ＝1 或c ＝2．当c ＝1时，cosB =a 2+c 2−b 22ac=−√714<0，故B 为钝角，这与已知△ABC 为锐角三角形相矛盾，故不满足条件．当c ＝2时，△ABC 的面积为12bc ⋅sinA =12⋅3⋅2⋅√32=3√32． 16. （1）根据茎叶图，可得甲组数据的平均数为10+10+14+18+22+25+27+30+41+4310=24，乙组数据的平均数为10+18+20+22+23+31+32+33+33+4310=26.5，甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ＝5，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n ＝5，所以m ＝n ；（2）X 的可能取值为0，1，2， P(X ＝0)=C 50C52C 102=29，P(X ＝1)=C 51C51C 102=59，P(X ＝2)=C 52C50C 102=29，X 的分布列为：∴ Eξ＝0×29+1×59+2×29=1． (Ⅲ)若a ＝1，b ＝0时，s 2达到最小值． 17. 证明：∵ DE ⊥BE ，BE // DC ， ∴ DE ⊥DC ，∵ A 1D ⊥DC ，A 1D ∩DE ＝D ， ∴ DC ⊥平面A 1DE ， ∴ DC ⊥A 1E ，∵ A 1E ⊥DE ，DC ∩DE ＝D ， ∴ A 1E ⊥平面BCDE ；由题意，以EB ，ED ，EA 1分别为x ，y ，z 轴，建立坐标系，则DE ＝2√3， A 1(0, 0, 2)，B(2, 0, 0)，C(4, 2√3, 0)，D(0, 2√3, 0)， ∴ BA 1→=(−2, 0, 2)，BC →=(2, 2√3, 0)， 平面A 1BE 的一个法向量为n →=(0, 1, 0)，设平面A 1BC 的一个法向量为m →=(x, y, z)，则{−2x +2z =02x +2√3y =0，∴ m →=(−√3, 1, −√3)， ∴ cos <m →，n →>=√77， ∴ 二面角E −A 1B −C 的余弦值为−√77； 在线段EB 上不存在一点P ，使平面A 1DP ⊥平面A 1BC ，设P(t, 0, 0)(0≤t ≤2)，则A 1P →=(t, 0, −2)，A 1D →=(0, 2√3, −2)，设平面A 1DP 的法向量为p →=(a, b, c)，则{2√3b −2c =0ta −2c =0，∴ p →=(2, √3, t)，∵ 平面A 1DP ⊥平面A 1BC ， ∴ −2√3+√3−√3t ＝0，∴ t ＝−3， ∵ 0≤t ≤2，∴ 在线段EB 上不存在一点P ，使平面A 1DP ⊥平面A 1BC ．18. 解：（1）当a =−14时，f(x)=1−x 1−14x 2；f(x)的定义域为{x|x ≠±2}； f′(x)=−14(x 2−2x+4)(1−14x 2)2=−(x−1)2−34(1−14x 2)2<0；∴ f(x)在(−∞, −2)，(−2, 2)，(2, ∞)上单调递减；∴ f(x)的单调递减区间为(−∞, −2)，(−2, 2)，(2, +∞)； （2）证明：当a >0时，f(x)=1−x1+ax 2的定义域为R ； f′(x)=ax 2−2ax−1(1+ax 2)2，令f′(x)=0得：x1=1−√1+1a <0，x2=1+√1+1a>1；∴ f(x)在(−∞, x1],[x2, +∞)上单调递增，在(x1, x2)上单调递减；又f(1)=0，当x<1时，f(x)1−x1+ax2>0；当x>1时，f(x)<0；∴ x≤1时，0≤f(x)≤f(x1)；x>1时，f(x2)≤f(x)<0；记M=max{|f(x1)|, |f(x2)|}，其中max{|f(x1)|, |f(x2)|}表示两数|f(x1)|，|f(x2)|中最大的数；综上，当a>0时，存在实数m∈[M, +∞)，使得对任意的实数x，不等式|f(x)|≤m恒成立．19. 设c=√a2−b2，由题意可得a2+b2＝4，且e=ca =√63，解得a=√3，b＝1，c=√2，则椭圆方程为x 23+y2＝1；证明：a2+b2＝4，则椭圆E:x2a2+y24−a2=1，F1(−c, 0)，F2(c, 0)，c=√a2−b2=√2a2−4，设P(x0, y0)，则x0≠c，直线F1P的斜率k F1P =y0x0+c，直线F2P的斜率为k F2P =y0x0−c，直线F2P:y=y0x0−c(x−c)，当x＝0时，y=−y0cx0−c ，即Q(0, −y0cx0−c)，F1Q的斜率为k F1Q =y0c−x0，以PQ为直径的圆经过点F1，即有F1P⊥F1Q，即有k F1P ⋅k F1Q=y0x0+c⋅y0c−x0=−1，化简可得y02＝x02−(2a2−4)①又P为E上一点，在第一象限内，则x02a2+y024−a2=1，x0>0，y0>0，②由①②解得x0=12a2，y0＝2−12a2，即有|OP|2＝x02+y02=12(a2−2)2+2，由a2+b2＝4<2a2，即a2>2，则有|OP|>√2．20. 解：（1）∵ 数列P:1‚3‚4‚7‚…，即从第三项起每项是前两项的和，∴ T 1(P)=1，T 2(P)=2，T 3(P)=2，T 4(P)=3，T 5(P)=4； （2）∵ T k (P)=2k −1，∴ T 1(P)=1，T 2(P)=3，T 3(P)=5，T 4(P)=7，… ∵ T 2(P)=3，且T k (P)=min{n|a n ≥k}(k ∈N ∗)， ∴ a 3≥2，且a 2<2，同理，由T 3(P)=5，且T k (P)=min{n|a n ≥k}(k ∈N ∗)， 得a 5≥3，a 4<3，以此类推，得a 7≥4，a 6<4；…；a 2n−1≥n ，a 2n−2<n ；… ∵ a i ≤a i+1(i ∈N ∗)，a i ∈N ∗，∴ a 1=a 2=1，a 3=a 4=2，…，a 2n−1=a 2n =n ，… 当n 为奇数时，a 1+a 2+a 3+...+a n =2(1+2+...+n−12)+n+12=(n+1)24，当n 为偶数时，a 1+a 2+a 3+...+a n =2(1+2+...+n 2)=n 2+2n 4，∴ 数列{a n }前n 项的和S n ={(n+1)24，n 为奇数n 2+2n4，n 为偶数；（3）考查符合条件的数列P 中，若存在某个i(1≤i ≤19)满足a i ≤a i+1，对应可得T k (P)，及s =a 1+a 2+...+a 20+T 1(P)+T 2(P)+...+T 46(P)． ∵ T k (P)=min{n|a n ≥k}(k ∈N ∗)，∴ T a i +1(P)=i +1，下面将数列P 略作调整，仅将第a i 的值增加1，具体如下：将a j ′=a j +1，对于任何j(j ≠1)令a j ′=a j ，可得数列P′及其对应数列T k (P′)， 根据数列T k (P′)的定义，可得T a i +1(P′)=i ，且T j (P′)=T j (P)(j ≠a i +1)． 显然T a i +1(P′)=T a i +1(P)−1，∴ s′=a 1′+a 2′+...+a 20′+T 1(P′)+T 2(P′)+...+T 46(P′)=a 1+a 2+...+a i−1+(a i +1)+a i+1+...+a 20+T 1(P)+T 2(P)+...+(T a i +1−1)+T a i +2+...+T 46(P)=a 1+a 2+...+a 20+T 1(P)+T 2(P)+...+T 46(P)=s ， 即调整后s′=s ．如果数列{a n ′}还有存在相邻两项不相等，继续做以上的操作， 最终一定可以经过有限次的操作，使得{a n }中的每一项变为相等， 且操作中保持s 的值不变，而当a 1=a 2=...=a 20=46时，T 1(P)=T 2(P)=...=T 46(P)=1，∴ s =a 1+a 2+...+a 20+T 1(P)+T 2(P)+...+T 46(P)=46×20+46=966．。
2015年北京市西城区高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2015年北京市西城区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）设集合A＝{x|x﹣1＞0}，集合B＝{x|x≤3}，则A∩B＝（）A．（﹣1，3）B．（1，3]C．[1，3）D．[﹣1，3] 2．（5分）已知平面向量，，，＝（﹣1，1），＝（2，3），＝（﹣2，k），若（+）∥，则实数k＝（）A．4B．﹣4C．8D．﹣83．（5分）设命题p：函数f（x）＝e x﹣1在R上为增函数；命题q：函数f（x）＝cos（x+π）为奇函数．则下列命题中真命题是（）A．p∧q B．（￢p）∨q C．（￢p）∧（￢q）D．p∧（￢q）4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的n∈{1，2，3}，则输出的s属于（）A．{1‚2}B．{1‚3}C．{2‚3}D．{1‚3‚9} 5．（5分）某生产厂商更新设备，已知在未来x年内，此设备所花费的各种费用总和y（万元）与x满足函数关系y＝4x2+64，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x为（）A．3B．4C．5D．66．（5分）数列{a n}为等差数列，满足a2+a4+…+a20＝10，则数列{a n}前21 项的和等于（）A．B．21C．42D．847．（5分）若“x＞1”是“不等式2x＞a﹣x成立”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（）A．a＞3B．a＜3C．a＞4D．a＜48．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝，BC＝AA1＝1，点M为AB1的中点，点P为对角线AC1上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P、Q可以重合），则MP+PQ的最小值为（）A．B．C．D．1二、填空题：（本小题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）复数＝．10．（5分）双曲线C：﹣＝1的离心率为；渐近线的方程为．11．（5分）已知角α的终边经过点（﹣3，4），则cosα；cos2α＝．12．（5分）如图，P为⊙O外一点，P A是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B、C，且PC＝2P A，D为线段PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E．若PB＝，则P A＝；AD•DE＝．13．（5分）现有6人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有种．（用数字作答）14．（5分）如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA 出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x（x∈[0，π]），OP所经过正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S＝f（x），那么对于函数f（x）有以下三个结论：①f（）＝；②任意x∈[0，]，都有f（﹣x）+f（+x）＝4；③任意x1，x2∈（，π），且x1≠x2，都有＜0．其中所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a ＝，b＝3，sin B+sin A＝2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求△ABC的面积．16．（13分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）当a＝b＝3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n，比较m，n的大小关系；（Ⅱ）在这10 个卖场中，随机选取2 个卖场，记X为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X的分布列和数学期望．（Ⅲ）若a＝1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达到最小值．（只需写出结论）17．（14分）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥DC，如图．（1）求证：A1E⊥平面BCDE；（2）求二面角E﹣A1B﹣C的余弦值；（3）判断在线段EB上是否存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18．（13分）已知函数f（x）＝，其中a∈R．（1）当a＝﹣时，求f（x）的单调区间；（2）当a＞0时，证明：存在实数m＞0，使得对于任意的实数x，都有|f（x）|≤m成立．19．（14分）设F1，F2分别为椭圆E：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点A为椭圆E的左顶点，点B为椭圆E的上顶点，且|AB|＝2．（1）若椭圆E的离心率为，求椭圆E的方程；（2）设P为椭圆E上一点，且在第一象限内，直线F2P与y轴相交于点Q，若以PQ为直径的圆经过点F1，证明：|OP|＞．20．（13分）无穷数列P：a1，a2，…，a n，…，满足a i∈N*，且a i≤a i+1（i∈N*），对于数列P，记T k（P）＝min{n|a n≥k}（k∈N*），其中min{n|a n≥k}表示集合{n|a n≥k}中最小的数．（Ⅰ）若数列P：1‚3‚4‚7‚…，写出T1（P），T2（P），…，T5（P）；（Ⅱ）若T k（P）＝2k﹣1，求数列P前n项的和；（Ⅲ）已知a20＝46，求s＝a1+a2+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+T46（P）的值．2015年北京市西城区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）设集合A＝{x|x﹣1＞0}，集合B＝{x|x≤3}，则A∩B＝（）A．（﹣1，3）B．（1，3]C．[1，3）D．[﹣1，3]【解答】解：由A中不等式解得：x＞1，即A＝（1，+∞），∵B＝（﹣∞，3]，∴A∩B＝（1，3]．故选：B．2．（5分）已知平面向量，，，＝（﹣1，1），＝（2，3），＝（﹣2，k），若（+）∥，则实数k＝（）A．4B．﹣4C．8D．﹣8【解答】解：∵＝（﹣1，1），＝（2，3），∴+＝（1，4），若（+）∥，则，即k＝﹣8，故选：D．3．（5分）设命题p：函数f（x）＝e x﹣1在R上为增函数；命题q：函数f（x）＝cos（x+π）为奇函数．则下列命题中真命题是（）A．p∧q B．（￢p）∨q C．（￢p）∧（￢q）D．p∧（￢q）【解答】解：命题p：函数f（x）＝e x﹣1在R上为增函数，为真命题，则￢p为假命题，命题q：函数f（x）＝cos（x+π）＝﹣cos x为偶函数，故q为假命题，则￢为真命题，∴p∧q为假命题，￢p∨q为假命题，￢p∧￢q为假命题，p∧￢q为真命题．故选：D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的n∈{1，2，3}，则输出的s属于（）A．{1‚2}B．{1‚3}C．{2‚3}D．{1‚3‚9}【解答】解：由程序框图可得，当n的值为1时，不满足条件n＞2，可得n＝3，满足条件n＞2，计算并输出s ＝1；当n的值为2时，不满足条件n＞2，可得n＝9，满足条件n＞2，计算并输出s ＝2；当n的值为3时，满足条件n＞2，计算并输出s＝1；综上，输出的s∈{1‚2}．故选：A．5．（5分）某生产厂商更新设备，已知在未来x年内，此设备所花费的各种费用总和y（万元）与x满足函数关系y＝4x2+64，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：解法一，根据题意，得；该设备所花费的年平均费用为f（x）＝＝＝4x+，其中x＞0；∵x＞0，∴4x+≥2＝32，当且仅当4x＝，即x＝4时，取“＝”；∴当x＝4时，该设备的年平均花费最低．解法二，根据题意，得；该设备所花费的年平均费用为f（x）＝＝，其中x＞0；设t＝，∴4x2﹣tx+64＝0，∴△＝t2﹣4×4×64≥0，解得t≥32或t≤﹣32（不和题意，舍去），当t＝32时，x＝＝4，∴x＝4时，该设备的年平均花费最低．故选：B．6．（5分）数列{a n}为等差数列，满足a2+a4+…+a20＝10，则数列{a n}前21 项的和等于（）A．B．21C．42D．84【解答】解：根据题意，得10＝a2+a4+…+a20＝a2+a20+a4+a18+…+a10+a12＝10a11，∴a11＝1，∴S21＝a1+a21+a2+a20+…+a10+a12+a11＝21a11＝21，故选：B．7．（5分）若“x＞1”是“不等式2x＞a﹣x成立”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（）A．a＞3B．a＜3C．a＞4D．a＜4【解答】解：若2x＞a﹣x，即2x+x＞a；设f（x）＝2x+x，该函数为增函数；根据题意“不等式2x+x＞a成立，即f（x）＞a成立”能得到“x＞1”，并且反之不成立；∵x＞1时，f（x）＞3；∴a＞3．故选：A．8．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝，BC＝AA1＝1，点M为AB1的中点，点P为对角线AC1上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P、Q可以重合），则MP+PQ的最小值为（）A．B．C．D．1【解答】解：由题意，要求MP+PQ的最小值，就是P到底面ABCD的距离的最小值与MP的最小值之和，Q是P在底面上的射影距离最小，展开三角形ACC1与三角形AB1C1，在同一个平面上，如图，易知∠B1AC1＝∠C1AC＝30°，AM ＝，可知MQ⊥AC时，MP+PQ的最小，最小值为：＝．故选：C．二、填空题：（本小题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）复数＝1+3i．【解答】解：＝．故答案为：1+3i．10．（5分）双曲线C：﹣＝1的离心率为；渐近线的方程为y＝±x．【解答】解：∵双曲线的方程是﹣＝1，∴a2＝8，b2＝4，∴c2＝a2+b2＝12，∴a＝2，b＝2，c＝2，∴离心率为e＝＝，渐近线的方程为y＝±x，故答案为：，y＝±x．11．（5分）已知角α的终边经过点（﹣3，4），则cosα﹣；cos2α＝﹣．【解答】解：∵角α的终边经过点（﹣3，4），则x＝﹣3，y＝4，r＝|OP|＝5，∴cosα＝＝﹣cos2α＝2cos2α﹣1＝﹣，故答案为：﹣；﹣．12．（5分）如图，P为⊙O外一点，P A是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B、C，且PC＝2P A，D为线段PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E．若PB＝，则P A＝；AD•DE＝．【解答】解：∵P A是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴P A2＝PB•PC，∵PC＝2P A，PB＝，∴P A2＝•2P A，∴P A＝；∵P A2＝PB•PC，PC＝2P A，∴P A＝2PB，∴PD＝2PB，∴PB＝BD，∴BD•DC＝PB•2PB，∵AD•DE＝BD•DC，∴AD•DE＝2PB2＝．故答案为：，．13．（5分）现有6人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有 288 种．（用数字作答）【解答】解：分类讨论，甲站第2个位置，则乙站4，5，6中的一个位置，不同的排法有＝72种；甲站第3个位置，则乙站1，5，6中的一个位置，不同的排法有＝72种；甲站第4个位置，则乙站1，2，6中的一个位置，不同的排法有＝72种；甲站第5个位置，则乙站1，2，3中的一个位置，不同的排法有＝72种， 故共有72+72+72+72＝288．故答案为：288．14．（5分）如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 的中点，射线OP 从OA出发，绕着点O 顺时针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记∠AOP 为x （x ∈[0，π]），OP 所经过正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积S ＝f （x ），那么对于函数f （x ）有以下三个结论：①f （）＝；②任意x ∈[0，]，都有f （﹣x ）+f （+x ）＝4；③任意x 1，x 2∈（，π），且x 1≠x 2，都有＜0． 其中所有正确结论的序号是 ①② ．【解答】解：当0≤x ≤arctan2时，f （x ）＝＝； 当arctan2＜x ＜，在△OBE 中，f （x ）＝S 矩形OABM ﹣S △OME ＝2﹣＝2﹣； 当x ＝时，f （x ）＝2； 当＜x ≤π﹣arctan2时，同理可得f （x ）＝2﹣．当π﹣arctan2＜x≤π时，f（x）＝4﹣＝4+．于是可得：①＝＝，正确；②对任意x∈[0，]，都有f（﹣x）+f（+x）＝4用换元法，以x代替﹣x，可得：f（x）+f（π﹣x）＝4，因此，故②正确；③不妨设x1＜x2，则＜0⇔f（x1）＞f（x2），显然不正确．综上只有：①②正确．故答案为：①②．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a ＝，b＝3，sin B+sin A＝2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）锐角△ABC中，由条件利用正弦定理可得＝，∴sin B＝3sin A，再根据sin B+sin A＝2，求得sin A＝，∴角A＝．（Ⅱ）锐角△ABC中，由条件利用余弦定理可得a2＝7＝c2+9﹣6c•cos，解得c＝1 或c＝2．当c＝1时，cos B＝＝﹣＜0，故B为钝角，这与已知△ABC为锐角三角形相矛盾，故不满足条件．当c＝2时，△ABC的面积为bc•sin A＝•3•2•＝．16．（13分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）当a＝b＝3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n，比较m，n的大小关系；（Ⅱ）在这10 个卖场中，随机选取2 个卖场，记X为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X的分布列和数学期望．（Ⅲ）若a＝1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达到最小值．（只需写出结论）【解答】解：（Ⅰ）根据茎叶图，可得甲组数据的平均数为＝24，乙组数据的平均数为＝26.5，甲型号电视机的“星级卖场”数量为m＝5，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n＝5，所以m＝n；（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，X的分布列为：∴Eξ＝0×+1×+2×＝1．（Ⅲ）若a＝1，b＝0时，s2达到最小值．17．（14分）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥DC，如图．（1）求证：A1E⊥平面BCDE；（2）求二面角E﹣A1B﹣C的余弦值；（3）判断在线段EB上是否存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【解答】（1）证明：∵DE⊥BE，BE∥DC，∴DE⊥DC，∵A1D⊥DC，A1D∩DE＝D，∴DC⊥平面A1DE，∴DC⊥A1E，∵A1E⊥DE，DC∩DE＝D，∴A1E⊥平面BCDE；（2）解：由题意，以EB，ED，EA1分别为x，y，z轴，建立坐标系，则DE＝2，A1（0，0，2），B（2，0，0），C（4，2，0），D（0，2，0），∴＝（﹣2，0，2），＝（2，2，0），平面A1BE的一个法向量为＝（0，1，0），设平面A1BC的一个法向量为＝（x，y，z），则，∴＝（﹣，1，﹣），∴cos＜，＞＝，∴二面角E﹣A1B﹣C的余弦值为﹣；（3）解：在线段EB上不存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC，设P（t，0，0）（0≤t≤2），则＝（t，0，﹣2），＝（0，2，﹣2），设平面A1DP的法向量为＝（a，b，c），则，∴＝（2，，t），∵平面A1DP⊥平面A1BC，∴﹣2+﹣t＝0，∴t＝﹣3，∵0≤t≤2，∴在线段EB上不存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC．18．（13分）已知函数f（x）＝，其中a∈R．（1）当a＝﹣时，求f（x）的单调区间；（2）当a＞0时，证明：存在实数m＞0，使得对于任意的实数x，都有|f（x）|≤m成立．【解答】解：（1）当a＝﹣时，f（x）＝；f（x）的定义域为{x|x≠±2}；；∴f（x）在（﹣∞，﹣2），（﹣2，2），（2，∞）上单调递减；∴f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣2），（﹣2，2），（2，+∞）；（2）证明：当a＞0时，f（x）＝的定义域为R；f′（x）＝，令f′（x）＝0得：，；∴f（x）在（﹣∞，x1]，[x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减；又f（1）＝0，当x＜1时，f（x）；当x＞1时，f（x）＜0；∴x≤1时，0≤f（x）≤f（x1）；x＞1时，f（x2）≤f（x）＜0；记M＝max{|f（x1）|，|f（x2）|}，其中max{|f（x1）|，|f（x2）|}表示两数|f（x1）|，|f（x2）|中最大的数；综上，当a＞0时，存在实数m∈[M，+∞），使得对任意的实数x，不等式|f（x）|≤m恒成立．19．（14分）设F1，F2分别为椭圆E：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点A为椭圆E的左顶点，点B为椭圆E的上顶点，且|AB|＝2．（1）若椭圆E的离心率为，求椭圆E的方程；（2）设P为椭圆E上一点，且在第一象限内，直线F2P与y轴相交于点Q，若以PQ为直径的圆经过点F1，证明：|OP|＞．【解答】解：（1）设c＝，由题意可得a2+b2＝4，且e＝＝，解得a＝，b＝1，c＝，则椭圆方程为+y2＝1；（2）证明：a2+b2＝4，则椭圆E：+＝1，F1（﹣c，0），F2（c，0），c＝＝，设P（x0，y0），则x 0≠c，直线F1P的斜率＝，直线F 2P的斜率为＝，直线F2P：y＝（x﹣c），当x＝0时，y＝﹣，即Q（0，﹣），F 1Q的斜率为＝，以PQ为直径的圆经过点F1，即有F 1P⊥F1Q，即有•＝•＝﹣1，化简可得y02＝x02﹣（2a2﹣4）①又P为E上一点，在第一象限内，则+＝1，x0＞0，y0＞0，②由①②解得x0＝a2，y0＝2﹣a2，即有|OP|2＝x02+y02＝（a2﹣2）2+2，由a2+b2＝4＜2a2，即a2＞2，则有|OP|＞．20．（13分）无穷数列P：a1，a2，…，a n，…，满足a i∈N*，且a i≤a i+1（i∈N*），对于数列P，记T k（P）＝min{n|a n≥k}（k∈N*），其中min{n|a n≥k}表示集合{n|a n≥k}中最小的数．（Ⅰ）若数列P：1‚3‚4‚7‚…，写出T1（P），T2（P），…，T5（P）；（Ⅱ）若T k（P）＝2k﹣1，求数列P前n项的和；（Ⅲ）已知a20＝46，求s＝a1+a2+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+T46（P）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵数列P：1‚3‚4‚7‚…，即从第三项起每项是前两项的和，∴T1（P）＝1，T2（P）＝2，T3（P）＝2，T4（P）＝3，T5（P）＝4；（Ⅱ）∵T k（P）＝2k﹣1，∴T1（P）＝1，T2（P）＝3，T3（P）＝5，T4（P）＝7，…∵T2（P）＝3，且T k（P）＝min{n|a n≥k}（k∈N*），∴a3≥2，且a2＜2，同理，由T3（P）＝5，且T k（P）＝min{n|a n≥k}（k∈N*），得a5≥3，a4＜3，以此类推，得a7≥4，a6＜4；…；a2n﹣1≥n，a2n﹣2＜n；…∵a i≤a i+1（i∈N*），a i∈N*，∴a1＝a2＝1，a3＝a4＝2，…，a2n﹣1＝a2n＝n，…当n为奇数时，a1+a2+a3+…+a n＝2（1+2+…+）+＝，当n为偶数时，a1+a2+a3+…+a n＝2（1+2+…+）＝，∴数列{a n}前n项的和S n＝；（Ⅲ）考查符合条件的数列P中，若存在某个i（1≤i≤19）满足a i≤a i+1，对应可得T k（P），及s＝a1+a2+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+T46（P）．∵Tk（P）＝min{n|a n≥k}（k∈N*），∴（P）＝i+1，下面将数列P略作调整，仅将第a i的值增加1，具体如下：将a j′＝a j+1，对于任何j（j≠1）令a j′＝a j，可得数列P′及其对应数列T k（P′），根据数列Tk（P′）的定义，可得（P′）＝i，且T j（P′）＝T j（P）（j ≠a i+1）．显然（P′）＝（P）﹣1，∴s′＝a1′+a2′+…+a20′+T1（P′）+T2（P′）+…+T46（P′）＝a 1+a2+…+a i﹣1+（a i+1）+a i+1+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+（﹣1）+ +…+T46（P）＝a1+a2+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+T46（P）＝s，即调整后s′＝s．如果数列{a n′}还有存在相邻两项不相等，继续做以上的操作，最终一定可以经过有限次的操作，使得{a n}中的每一项变为相等，且操作中保持s的值不变，而当a1＝a2＝…＝a20＝46时，T1（P）＝T2（P）＝…＝T46（P）＝1，∴s＝a1+a2+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+T46（P）＝46×20+46＝966．。
北京市西城区2015年高三二模数学(文)试卷及解析(无水印)概述
13. 【解析】 m 2 有题可知当目标函数取最大值
5 5 5 时 x my ，即 x my ，所以直线的恒过定点 3 3 3
5 1 2 ( , 0) ，目标函数在 A 处取得最大值， A( , ) 代入 3 3 3 5 x my ，即 m 图，正方形 ABCD 的边长为 2， O 为 AD 的中点，射线 OP 从 OA 出发，绕着点 O 顺 时针方向旋转至 OD ，在旋转的过程中，记 AOP 为 x x 0 ，π ， OP 所经过的在正 方形 ABCD 内的区域（阴影部分）的面积 S f x ，那么对于函数 f x 有以下三个结 论：
b
为了鼓励卖场， 在同型号电视机的销售中， 该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名 为该型号电视机的“星级卖场”． （Ⅰ）求在这 10 个卖场中，甲型号电视机的“星级卖场”的个数 （Ⅱ）若在这 10 个卖场中，乙型号电视机销售量的平均数为 26.7 ，求 a b 的概率 （Ⅲ） 若a 1， 记乙型号电视机销售量的方差为 s 2 ， 根据茎叶图推断 b 为何值时，s 2 达 到最小值． （只需写出结论） （注：方差 s 2
1 x x 1 n
x
2
2
x
2
2 ，xn 的平均数） xn x ，其中 x 为 x1 ，x2 ，
19． （本小题满分 14 分） 设 F1 ， F2 分别为椭圆 E :
x2 y2 1(a b 0) 的左、右焦点，点 A 为椭圆 E 的左顶点， a2 b2
点 B 为椭圆 E 的上顶点，且 AB 2 ． ⑴ 若椭圆 E 的离心率为
6 ，求椭圆 E 的方程； 3
⑵ 设 P 为椭圆 E 上一点，且在第一象限内，直线 F2 P 与 y 轴相交于点 Q ，若以 PQ 为 直径的圆经过点 F1 ，证明：点 P 在直线 x y 2 0 上．
2015高三数学理科西城二模解析
π π f x f x =4 2 2
③显然 f x 是增函数，所以
故选①②
注：第 10，11，12 题第一问 2 分，第二问 3 分；第 14 题多选、漏选或错选均不得分．
又因为 A1 E ⊥ DE ， DC DE D ， 所以 A1 E ⊥ 平面 BCDE 4分
⑵ 解 ： 因 为 A1 E ⊥ 平 面 BCDE ， DE ⊥ BE ， 所 以 A1 E，DE ，BE 两 两 垂 直 ， 以
EB ，ED ，EA1 分别为 x 轴、 y 轴和 z 轴，如图建立空间直角坐标系， 5 分
2 0 2 1 C5 C5 2 C0 2 C1 5 5C5 5 C5 P ( X 2) ， ， P ( X 1) ， 2 2 2 C10 9 C10 9 C10 9
……8 分
所以 X 的颁布列为：
X P
0
2 9
1
5 9
2
2 9
5 2 所以 E ( X ) 0 1 2 1 ． 9 9 9
x2 2x 4 1 4 1 x 2 4
2
1分
x 1 3 1 4 1 x 2 4
2 2
求导，得 f x
0，
4分
2 ， 所以函数 f x 在区间 ， 2 ，2 ， 2 ， 上单调递减．5 分
5.
64 4 x 2 64 64 ， 即x4 当且仅当 4 x 4x 2 4 64 32 ， x x x
6.
(a1 a21 ) 21 21 ，所以选 B. 2