2012年浙江省高考数学试卷及答案(文科)(优选.)

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绝密★考试结束前

2012年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）

数学（文科）

本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分（共50分）

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。参考公式台体的体积公式

121

()3

V h S S =

其中1S ,2S 分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高柱体体积公式V Sh =

其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高

锥体的体积公式1

V Sh =

其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高

球的表面积公式

24S R π=

球的体积公式

V R π=

其中R 表示球的半径如果事件,A B 互斥，那么

()()()P A B P A P B +=+

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。 1．设全集{1,2,3,4,5,6},U =设集合{1,2,3,4},{3,4,5},P Q ==则()U P

Q =

.A {1,2,3,4,6} .B {1,2,3,4,5} .C {1,2,5} .D {1,2}

2. 已知i 是虚数单位，则

31i

+=- .A 12i - .B 2i - .C 2i + .D 12i +

3．已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积是

.A 31cm .B 32cm .C 33cm .D 36cm

4．设,a R ∈则“1a =”是“直线1:210l ax y +-=与直线2:240l x y ++=平行的”

.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件

5．设l 是直线，,αβ是两个不同的平面

.A 若,, l l αβαβ则////// .B 若,, l a l βαβ⊥⊥则// .C 若,, l l αβαβ⊥⊥⊥则 .D 若,, l l αβαβ⊥⊥则//

6.．把函数cos21y x =+的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是

7.设,a b 是两个非零向量。

.A 若||||||a b a b +=-，则a b ⊥ .B 若a b ⊥，则||||||a b a b +=- .C 若||||||a b a b +=-,则存在实数,λ使得b a λ= .D 若存在实数,λ使得,b a λ=则||||||a b a b +=-

8．如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点。若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是

.A 3 .B 2 .C 3 .D 29．若正数x ，y 满足35, 34x y xy x y +=+则的最小值是

A 245 .

B 285

.C 5 .D 6 10．设0,0,a b e >>是自然对数的底数

.A 若23a b e a e b +=+，则a b > .B 若23a b e a e b +=+，则a b < .C 若23a b e a e b -=-，则a b > .D 若23a b e a e b -=-，则a b <

非选择题部分（共100分）

注意事项：

1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

2.在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色自拟的签字笔或钢笔描黑。

二．填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11．某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生

中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为____________. 12．从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该

的概率是___________。

13．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是___________。

14．设2,z x y =+其中实数x ，y 满足1020,00x y x y x y -+≥??

+-≤?≥?≥?

则z 的取值范围是________。

15．在ABC ?中，M 是BC 的中点，3,10, AM BC AB AC ==?=则________。

16．设函数()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，当[0,1]x ∈时，

()1f x x =+，则3

()2

f =_______。

17．定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离，已知曲线

21:C y x a =+到直线:l y x =的距离等于曲线222:(4)2C x y ++=到直线:l y x =的

距离，则实数a =______。

三．解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18．（本题满分14分）在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，

且

sin cos .b A B =

⑴求角B 的大小；

⑵若3,sin 2sin ,b C A ==求a ，c 的值。

19．（本题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22,*n S n n n N =+∈，数列{}n b 满足24log 3,*.n n a b n N =+∈ ⑴求,;n n a b

⑵求数列{}n n a b ?的前项和.n T

20．（本题满分15分）如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥1111ABCD A B C D -中，

,AD BC //AD 11,2,4,2,AB AB AD BC AA E DD ⊥===是的中点，F 是平面11B C E 与直线1AA 的交点。

（Ⅰ）证明：（i） 11;EF A D //ii （）111;BA B C EF ⊥平面（Ⅱ）

求1BC 与平面11B C EF 所成的角的正弦值。

21.（本题满分15分）已知,a R ∈函数2()42.f x x ax a =-+ ⑴求()f x 的单调区间

⑵证明：当01x ≤≤时，()20.f x a +->||

22．（本题满分14分）如图，在直角坐标系xoy 中，点1

(1,)2

P 到抛物线2:2(0)C y px p =>的准线的距离为5

。点(,1)M t 是C 上的定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 被直线OM 平分。 ⑴求,p t 的值。

⑵求ABP ?面积的最大值。

数学（文科）试题参考答案

一．选择题：

11.160 12．25

13．

1120 14．7[0,]2 15．-16 16．32 17．94

三．解答题

18．本题主要考查正、余弦定理及三角运算等基础知识，同时考查运算求解能力。

（Ⅰ）

由sin cos .b A B =及正弦定理,sin sin a b

A B

=得

sin tan .3

B B B B π

=?==

（Ⅱ）

由sin 2sin ,sin sin a c

C A A C

==及得2,c a = 由3b =及余弦定理222222cos ,9.b a c ac B a c ac =+-=+-得

所以 a c ==

19．本题主要考查等差、等比数列的概念，通项公式及求和公式等基础知识，

同时考查运算求解能力。（Ⅰ）

由22n S n n =+得，当1n =时， 113a S ==

当2n ≥时， 141n n n a S S n -=-=- 所以 41,*,n a n n N =-∈

由12414log 32,*.n n n n n a b b n N --==+?=∈

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 1(41)2,*,n n n a b n n N -?=-?∈ 所以 21372112(41)2n n T n -=+?+?++-?

23123272112(45)2(41)2n n n T n n -=?+?+?+

+-?+-?

所以 212(41)2[34(222)](45)25n n n n n T T n n --=-?-++++=-?+

即 (45)25,*.n n T n n N =-?+∈

20．本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面所成角等基础知识，同时考

查空间想象能力和推理认证能力。

（Ⅰ）（i）

因为11111111,,C B A D C D ADD A ?平面//所以1111.C B A D DA 平面// 又因为1111,B C EF A D DA EF =平面平面所以11,C B EF //

所以 11.A D EF //

ii （）因为11111,BB A B C D ⊥平面所以111.BB B C ⊥

又因为 11111111111,,.B C B A B C ABB A B C BA ⊥⊥⊥所以平面所以

在矩形111,ABB A F AA 中是

的中点，111tan tan 2

A B F AA B ∠=∠= 即 11111.A B F AA B BA B F ∠=∠?⊥

所以111.BA B C EF ⊥平面

（Ⅱ）设1BA 与1B F 交点为H ，连接1,C H 由（Ⅰ）

知111.BA B C EF ⊥平面所以1111BC H BC B C EF ∠是与面所成的角

在矩形111,2,AA B B AB AA BH ==中得

在直角1BHC ?

中，111

sin BH BC BH BC H BC ==

∠=得

所以1BC 与平面11B C EF

21．本题主要考查利用导数研究函数的单调性等性质，及导数应用等基础知识，同时考查

抽象概括、推理论证能力。（Ⅰ）

由题意得2()122f x x a '=- 当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，此时()f x 的单调递增区间为(,).-∞+∞

当0a >

时，()12(f x x x '=此时函数()f x 的

单调递增区间为(,-∞

和),+∞

单调递减区间为[ （Ⅱ）

由于01,x ≤≤故当2a ≤时，33()|2|422442;f x a x ax x x +-=-+≥-+

(第20题图)

F 1

当2a >时，333()|2|42(1)244(1)244 2.f x a x a x x x x x +-=+--≥+-

-=-+

设32()221,01, ()626(g x x x x g x x x x '=-+≤≤=-=+则于是

故 3()|2|4420.f x a x x +-≥-+>

22．本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线地位置关系，同时考查解析几何的基本

思想方法和运算求解能力。

（Ⅰ）由题意知211

5.211

24pt p p t =????=???+==???? （Ⅱ）

设1122(,),(,),A x y B x y 线段AB 的中点为(,).Q m m 由211

12121222

()(),y x y y

y y x x y

x ?=?-+

=-?=? 故 21,k m ?=

所以直线AB 的方程为21

()220.2y m x m x my m m m

-?-+-= 由2222

220

220.x my m m y my m m y x

?-+-=?-+-=?=? 所以22221212(2)4(2)440,2,2.m m m m m y y m y y m m ?=---=->+=?=-

从而12||||AB y y -=

设点P 到直线AB 的距离为,d 则2

d =

设ABP ?的面积为,S 则21

|||12()|2

S AB d m m =

?=-- 由24400 1.m m m ?=->?<<

令2210, (12)16.2

u u S u u S u '=<≤=-?=-则

令10(0,),62S u '=?=

所以max S S ==

故ABP ?

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