2013高三数学一轮复习课时提能演练 2.8 幂函数 理 新课标

2013版高三新课标理科数学一轮复习课时提能演练 2.8 幂函数
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.(2012·惠州模拟)在同一坐标系内，函数y ＝x a
(a≠0)和y ＝ax ＋1a 的图象
是( )
2.(2012·浏阳模拟)为了得到函数y ＝2x －3
－1的图象，只需把函数y ＝2x
的图象上所有的点
( )
(A)向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 (B)向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 (C)向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 (D)向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 3.函数y ＝ln|sinx|，x∈[－π2，0)∪(0，π
2
]的图象是( )
4.()2
4x 5 x 1f x x 4x 3 x 1
-≤⎧=⎨
-+>⎩的图象和g(x)＝log 2x 的图象的交点个数是( )
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
5.(预测题)一给定函数y ＝f(x)的图象在下列图中，并且对任意a 1∈(0,1)，由关系式a n ＋1＝f(a n )得到的数列{a n }，满足a n ＋1<a n (n∈N *
)，则该函数的图象可能是( )
6.(2012·江门模拟)定义在R 上的函数y ＝f(x ＋1) 的
图象如图所示，它在定义域上是减函数，给出如下命 题：①f(0)＝1；②f(－1)＝1；③若x>0，则f(x)<0； ④若x<0，则f(x)>0，其中正确的是( ) (A)②③ (B)①④ (C)②④ (D)①③ 二、填空题(每小题6分，共18分)
7.如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)
的解析式为 .
8.(2012·临沂模拟)若函数y ＝f(x)(x∈R)满足f(x ＋2)＝f(x)，且x∈[－1,1)时，f(x)＝|x|，则函数y ＝f(x)的图象与函数y ＝log 4|x|的图象的交点的个数为 .
9.(易错题)已知函数f(x)＝(12)x
的图象与函数y ＝g(x)的图象关于直线y ＝x 对称，令h(x)
＝g(1－|x|)，则关于h(x)有下列命题： ①h(x)的图象关于原点对称； ②h(x)为偶函数； ③h(x)的最小值为0； ④h(x)在(0,1)上为减函数.
其中正确命题的序号为 .(将你认为正确的命题的序号都填上) 三、解答题(每小题15分，共30分) 10.作出下列函数的大致图象 (1)y ＝x 2
－2|x|； (2)y ＝log 13
[3(x ＋2)]；
(3)y ＝1－x.
11. (1)已知函数y ＝f(x)的定义域为R ，且当x∈R 时，f(m ＋x)＝f(m －x)恒成立，求证y ＝f(x)的图象关于直线x ＝m 对称；
(2)若函数y ＝log 2|ax －1|的图象的对称轴是x ＝2，求非零实数a 的值. 【探究创新】
(16分)已知函数y ＝f(x)同时满足以下五个条件： (1)f(x ＋1)的定义域是[－3,1]； (2)f(x)是奇函数；
(3)在[－2,0)上，f′(x)>0； (4)f(－1)＝0；
(5)f(x)既有最大值又有最小值.
请画出函数y ＝f(x)的一个图象，并写出相应于这个图象的函数解析式.
答案解析
1.【解析】选B.首先若a ＞0，则y ＝ax ＋1a 应为增函数，只能是A 或C ，应有纵截距1
a ＞0，
因而排除A 、C ；故a ＜0，此时，幂函数的图象应不过原点，排除D ，故选B. 2. 【解析】选A.把y ＝2x
的图象向右平移3个单位长度得到y ＝2x －3
的图象，再向下平移1
个单位长度得到y ＝2
x －3
－1的图象，故选A.
3.【解析】选B.由已知y ＝ln|sinx|得y 为定义域上的偶函数，其图象应关于y 轴对称，故排除A 、D ，又x ∈[－π2，0)∪(0，π
2]时0＜|sinx|≤1，∴y ＝ln|sinx|∈(－∞，0]，结
合B 、C 知，B 正确.
4.【解析】选C.在同一坐标系中作出f(x)和g(x)的图象如图所示， 由图象知有两个交点，故选C.
【误区警示】本题易由于作图没有去掉(1,0)点，而误选B.
5.【解析】选B.对∀a 1∈(0,1)，∵a n ＋1＝f(a n )，又a n ＋1<a n ，∴f(a n )<a n ，a n <a 1，则对函数y ＝f(x)有f(x)<x ，x ∈(0,1)，∴y ＝f(x)的图象上的点的纵坐标小于横坐标.故选B.
6.【解题指南】由y ＝f(x ＋1)的图象通过平移得到y ＝f(x)的图象，结合图象判断. 【解析】选B.由y ＝f(x ＋1)的图象向右平移一个单位得到函数y ＝f(x)的图象如图所示，
结合图象知①④正确，②③错误，故选B.
7.【解析】当x ∈[－1,0]时，设y ＝kx ＋b ，由图象得⎩
⎪⎨
⎪⎧
－k ＋b ＝0
k ×0＋b ＝1得⎩
⎪⎨
⎪⎧
k ＝1
b ＝1，∴y ＝x
＋1，当x>0时，设y ＝a(x －2)2－1，由图象得：0＝a(4－2)2
－1得a ＝14，
∴y ＝14
(x －2)2
－1，
综上可知f(x)＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋1，x ∈[－1，0]14(x －2)2
－1，x ∈(0，＋∞).
答案：f(x)＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋1，x ∈[－1，0]14
(x －2)2
－1，x ∈(0，＋∞)
8.【解析】∵函数y ＝f(x)满足f(x ＋2)＝f(x)， ∴该函数的周期为2，又∵x ∈[－1,1)时，f(x)＝|x|，
∴可得到该函数的图象，在同一直角坐标系中，画出两函数的图象如图，可得交点有6个.
答案：6
9.【解题指南】先求g(x)，再求h(x)并化简，最后判断.
【解析】g(x)＝log 12
x ，∴h(x)＝log 12
(1－|x|)，
∴h(x)＝12
12
log (1x),1x 0log (1x),0x 1+-<≤⎧⎪⎨-<<⎪⎩，
得函数h(x)的大致图象如图，故正确命题序号为②③
.
答案：②③
10.【解析】(1)y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－2x(x ≥0)
x 2
＋2x(x<0)的图象如图(1).
(2)y ＝log 13
3＋log 13
(x ＋2)＝－1＋log 13
(x ＋2)，其图象如图(2).
(3)y ＝－(x －1)，其图象如图
(3).
11. 【解析】(1)设P(x 0，y 0)是y ＝f(x)图象上任意一点， 则y 0＝f(x 0).
又P 点关于x ＝m 的对称点为P ′，则P ′的坐标为 (2m －x 0，y 0).由已知f(m ＋x)＝f(m －x)，得 f(2m －x 0)＝f(m ＋(m －x 0)) ＝f(m －(m －x 0))＝f(x 0)＝y 0.即 P ′(2m －x 0，y 0)在y ＝f(x)的图象上.
∴y ＝f(x)的图象关于直线x ＝m 对称. (2)由题意知对定义域内的任意x ， 有f(2－x)＝f(2＋x)恒成立.
∴|a(2－x)－1|＝|a(2＋x)－1|恒成立， 即|－ax ＋(2a －1)|＝|ax ＋(2a －1)|恒成立. 又∵a ≠0，∴2a －1＝0，得 a ＝1
2.
【方法技巧】函数对称问题解题技巧
(1)证明函数图象的对称性，只需证明其图象上的任意一点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图象上即可.
(2)①若f(a ＋x)＝f(a －x)，x ∈R 恒成立， 则y ＝f(x)的图象关于直线x ＝a 对称； ②若f(a ＋x)＝－f(a －x)，x ∈R 恒成立， 则y ＝f(x)的图象关于点(a,0)对称. 【探究创新】
【解析】由(1)知，－3≤x ≤1，－2≤x ＋1≤2，故f(x)的定义域是[－2,2]. 由(3)知，f(x)在[－2,0)上是增函数.
综合(2)和(4)知，f(x)在(0,2]上也是增函数，且f(－1)＝－f(1)＝0，f(0)＝0. 故函数y ＝f(x)的一个图象如图所示，与之相应的函数解析式是f(x)＝
x 1 2x 00 x 0
.x 1 0x 2+-≤<⎧⎪
=⎨⎪-<≤⎩。