模块学习评价

模块五学习评价一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列不等式中，解集为R 的是( )A ．x 2＋4x ＋4>0B ．|x |>0C ．x 2>－xD ．x 2－x ＋14≥02．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12＝( )A ．15B ．30C ．31D ．643．一个三角形的两个角分别等于120°和45°，若45°所对的边长为46，则120°角所对的边长是( )A ．4B ．12 3C ．43D ．124．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 5．数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝( )A ．2n －1B ．2n －1－1C ．2n ＋1D ．4n －17．已知数列{a n }通项公式a n ＝3n －50，则前n 项和S n 的最小值为( )A ．－784B ．－392C ．－389D ．－3688．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 所对的边，若c ·cos A ＝b ，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是钝角三角形C ．一定是直角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形9．在△ABC 中，若tan B ＝cos (C －B )sin A ＋sin (C －B )，则三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能11．已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且tan B ＝2－3a 2－b 2＋c 2，BC →·BA →＝12，则tan B 等于( )A.32 B.3－1 C ．2D ．2－ 312．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．在R 上定义运算☆：a ☆b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ☆(x －2)<0的实数x 的取值范围为________．15．设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________.16．如图1，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B 后，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50米，山坡对于地平面的坡角为θ，则cos θ＝________.图1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3＝a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{a n}的通项公式．18．(本小题满分12分)在△ABC中，a＝3，b＝26，∠B＝2∠A，(1)求cos A的值；(2)求c的值．20．(本小题满分12分)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cos Bcos C＝－b2a＋c.(1)求角B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．21．(本小题满分12分)已知等差数列{a n}前三项的和为－3，前三项的积为8.(1)求等差数列{a n}的通项公式；(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|a n|}的前n项和．22．(本小题满分12分)某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．模块五学习评价答案1.【解析】 A 的解集为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)，B 的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)，C 的解集为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，D 等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≥0，故其解集为R .【答案】 D2.【解析】 等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝a 4＋a 12＝16，又∵a 4＝1，∴a 12＝15.3.【解析】 设120°角所对的边长为a ，由正弦定理得a ＝46sin 45°×sin 120°＝12. 4.【解析】5.n n n －1n －1n －2322a 1)＋a 1＝1×(1－2n )1－2＝2n－1.【答案】 A6.【解析】 原不等式等价于⎩⎨⎧ x ＋2y －2≥0x －y ＋1≥0或⎩⎨⎧x ＋2y －2≤0x －y ＋1≤0.故原不等式表示的区域由这两个不等式组表示的区域组成．只有A 选项正确． 7.【解析】 由3n －50≥0及n ∈N *知n ≥17，∴n ≤16时，a n ＜0，a 17＞0，∴S 16最小，S 16＝16a 1＋16×152d ＝16×(－47)＋120×3＝－392.8.【解析】 法一 由正弦定理及c ·cos A ＝b 得sin C cos A ＝sin B ，即sin C cos A ＝sin(π－A －C )．∴sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C .∴sin A cos C ＝0，又sin A ≠0，∴cos C ＝0，∴C ＝π2， ∴△ABC 一定是直角三角形．法二 由余弦定理及c ·cos A ＝b 可得c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b ，∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2，∴c 2＝a 2＋b 2，∴△ABC 一定是直角三角形．故选C. 9.【解析】 ∵△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，∴tan B ＝cos (C －B )sin A ＋sin (C －B )＝cos C cos B ＋sin C sin B sin (B ＋C )＋sin (C －B )＝cos C cos B ＋sin C sin B 2cos B ·sin C ，∴2tan B ＝1tan C ＋tan B ，∴tan B ＝1tan C ，∴B ，C 互余，△ABC 为直角三角形．【答案】 B 1011.【解析】 由BC →·BA →＝12得ac cos B ＝12，∴2ac cos B ＝1.又由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－1， ∴a 2－b 2＋c 2＝1，∴tan B ＝2－31＝2－ 3.【答案】 D12.【解析】 若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x ，存储费用是x 8，总费用是800x ＋x 8≥2x 8·800x ＝20，当且仅当800x ＝x 8即x ＝80时，取等号．13.【解析】 由条件可知，x ☆(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2<0，即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1.【答案】 (－2,1)15.【解析】 由首项和公比写出等比数列的前4项，然后代入代数式a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|求值．也可以构造新数列，利用其前n 项和公式求解．法一 a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝1＋|1×(－2)|＋1×(－2)2＋|1×(－2)3|＝15. 法二 因为a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|，数列{|a n |}是首项为1，公比为2的等比数列，故所求代数式的值为1－241－2＝15.【答案】 1516.【解析】 在△ABC 中，BC ＝AB sin ∠BAC sin ∠ACB ＝100sin 15°sin (45°－15°)＝50(6－2)，在△BCD 中，sin ∠BDC ＝BC sin ∠CBD CD ＝50(6－2)sin 45°50＝3－1，由图知cos θ＝sin ∠ADE ＝sin ∠BDC ＝3－1.【答案】3－117.【解】 设{a n }的公差为d .由S 3＝a 22，得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3.由S 1，S 2，S 4成等比数列得，S 22＝S 1S 4.又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ， 故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )．若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0，此时S n ＝0，不合题意；若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )，解得d ＝0或d ＝2. 因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1.18.【解】 (1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝26sin 2A .所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33.又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2B ＝223.在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539.所以c ＝a sin Csin A ＝5.20.【解】 (1)∵cos B cos C ＝－b 2a ＋c ，由正弦定理知cos B cos C ＝－sin B2sin A ＋sin C ，即2sinA cosB ＋sinC cos B ＋cos C sin B ＝0，∴2sin A cos B ＋sin(B ＋C )＝0.∵B ＋C ＝π－A ，∴2sin A cos B ＋sin A ＝0， ∴sin A (2cos B ＋1)＝0，∵sin A ≠0， ∴cos B ＝－12，∵B ∈(0，π)，∴B ＝2π3.(2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝2π3代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得13＝16－2ac ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12，∴ac ＝3， ∴S △ABC ＝12·ac ·sin B ＝12×3×32＝334.21.【解】 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d . 由题意知⎩⎨⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝8，解得⎩⎨⎧ a 1＝2，d ＝－3，或⎩⎨⎧a 1＝－4，d ＝3.故等差数列{a n }的通项公式为：a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不是等比数列，所以a n ＝3n －7.当n ＝1时，数列{|a n |}的和为：S 1＝4；当n ＝2时，数列{|a n |}的和为：S 2＝4＋1＝5；当n ≥3时，S n ＝－a 1－a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )＋2S 2＝－4n ＋n (n －1)2×3＋10＝32n 2－112n ＋10. 当n ＝2时，符合上式．所以 S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，32n 2－112n ＋10，n >1.22.【解】 (1)设该厂应每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨，由题意知，面粉的保管等其他费用为3[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝3×x (6x ＋6)2＝9x (x ＋1)，设平均每天所支付的总费用为Y 1元，则 Y 1＝9x (x ＋1)＋900x ＋1 800×6＝9x ＋900x ＋10 809 ≥29x ·900x ＋10 809＝10 989，当且仅当9x ＝900x ，即x ＝10时取等号．该厂每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天支付的总费用最少． (2)设该厂利用此优惠条件后，每隔x 天购买一次面粉，因为不少于210吨，每天用面粉6吨，所以至少每隔2106＝35天购买一次面粉，即x ≥35.设平均每天支付的总费用为Y 2元，则 Y 2＝9x (x ＋1)＋900x ＋1 800×6×910 ＝9x ＋900x ＋9 729(x ≥35)，记f (x )＝x ＋100x ，x ∈[35，＋∞)，设x 1，x 2∈[35，＋∞)， 取x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋100x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋100x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫100x 1－100x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－100)x 1x 2，∵35≤x 1<x 2，∴x 1x 2>0， x 1－x 2<0，x 1x 2－100>0，∴(x 1－x 2)(x 1x 2－100)x 1x 2<0，f (x 1)－f (x 2)<0，∴函数f (x )＝x ＋100x 在[35，＋∞)上是增函数， ∴当x ≥35时，f (x )min ＝f (35)．所以，当x ＝35时，Y 2有最小值，此时Y 2的最小值小于10 989.故该厂应接受此优惠条件．。