磁学_6

作业： 作业：8-15，8-17，8-21 ， ，
§6.5 与变化的电场相联系的磁场 L 安培环路定理遇到的问题： • 安培环路定理遇到的问题： S1 在稳恒条件下 ∂I = 0 ∂t I 安路环路定理成立
S2
考虑电容器充放电时的 ∂I 在非稳恒条件下 ∂I ≠ 0 磁感应强度沿任何闭合 ∂t 回路L的线积分 的线积分： 回路 的线积分： L 若按S 面计算穿过L的电流 的电流， 若按 1面计算穿过 的电流， S2 S1 等于I。 面计算， 等于 。但如果按 S2 面计算， 没有通过L回路的环流 回路的环流。 没有通过 回路的环流。说 I 明上述安培环路定理不适用 于非稳恒的情况。 于非稳恒的情况。
Id
ε 0ε r Φ e ≡
∫∫ D ⋅ d S
S
位移电流密度矢量 全电流
dΦ e ∂E ≡ ε 0ε r = ε 0 ε r ∫∫ ⋅ dS dt ∂t S
全电流是连续的。 I = ∫∫ j0 + jd ) ⋅ dS 全电流是连续的。 （
S
∂D jd = ∂t
缩小至导线的截面积，因导体内E~0不仅高频 将S1缩小至导线的截面积，因导体内 不仅高频
∴
dt
=
ε o S dt
=
εoS
I
在平行板间取一半径为r 的圆为回路 穿过该回路的电通量随时间的变化率
πr I dΦ e 2 dE = πr = dt dt εoS
2
充电电流
极板面积
所取回路半径
r≤R
d ∵ ∫ B ⋅ dl = µ o ( I + ε o ∫∫SE ⋅ d S ) L dt dΦ e dE πr 2I B ∵ = πr 2 = dt dt εoS 2 πr I ∴ 2 π rB = µ o S πr 2I B = µo , r ≤ R 2π r ⋅ S
d
+++++++++
λ2
V2
这两根带电长直导线单位长度线段相互作用磁力： 这两根带电长直导线单位长度线段相互作用磁力：
µ o I 2 I1 µ o λ 2V 2 λ 1V 1 Fm = = 2π d 2π d λ1 清华p32 清华 λ 1带电线上的运动电荷 E1 = 2 πε 0 d 在λ 2带电线处的电场强度 ∵γ ∼ 1
结果表明： 结果表明：虽然电场强度的时间变化率已经相当大 但它所激发的磁场仍然是很弱，在实验上不易测到。 但它所激发的磁场仍然是很弱，在实验上不易测到。
µoε o
例题二 2：一板面半径为 ：一板面半径为R=0.2m的圆形平板电容器， 的圆形平板电容器， 正以I=10A的电流充电。求在板间距轴线r1=0.1m处 正以 的电流充电。 处 处的磁场。 和r2=0.3m 处的磁场。 1 q 解： ∵ E = εo S r S dE 1 dq 1
∫∫
S
dq j0 ⋅ d S = − dt
S
S2
高斯定理： 高斯定理：
∫∫ D ⋅ dS = q
I
∫∫
S
∂D ∫∫ D ⋅ d S = ∫∫ ∂ t ⋅ d S S S ∂D ∂D （ ⋅ j0 ⋅ dS = − ∫∫ ⋅ dS ∫∫ j0 + ∂t ）dS = 0 ∂t S S dq d = dt dt
得位移电流的瞬时值
Id = ε 0ε r ρω I0
一般良导体
ρ ≈ 10 Ω⋅ m, εr = 1
−8
一般良导体 ρ ≈ 10
−8
Ω⋅ m, ε r = 1
Id << 1 I0
Id −12 −8 ∴ = 9.0 ×10 ×10 × 2πf I0 18 只要电流变化频率 f << 10 Hz
结论
虽然，只要有电位移通量的变化就有位移电流存在， 虽然，只要有电位移通量的变化就有位移电流存在， 但实际上当电场变化的频率不是非常高时， 但实际上当电场变化的频率不是非常高时，在导体 内位移电流与传导电流相比是微不足道的。 内位移电流与传导电流相比是微不足道的。如，当 −17 导体内该比值为： 频率 f=50Hz 时，导体内该比值为： d / I 0 ≈ 10 I 另外，位移电流的相位超前传导电流 另外， 所以， 所以， 2 位移电流不消耗功率，不产生焦耳热。 位移电流不消耗功率，不产生焦耳热。
2 πε 0 d
Fe
=
c
2
≈ 10
磁力比电力小很多！ 磁力比电力小很多！
实验上总是观察到磁力而没发现电力的原因 是导线上的正、负电荷的电场彼此抵消了。 是导线上的正、负电荷的电场彼此抵消了。 在原子内部电荷间的相互作用主要是电力， 在原子内部电荷间的相互作用主要是电力，而 磁力不过是一种小到“二级” 的效应。 磁力不过是一种小到“二级”(V2/c2 )的效应。 的效应
i
∫ B ⋅ dl
L
= µo ∑ Ii
变化的电场和磁场的联系： • 变化的电场和磁场的联系： 1861年麦克斯韦注意到充电时， 年麦克斯韦注意到充电时， 年麦克斯韦注意到充电时 极板间电场是变化的，穿过S 极板间电场是变化的，穿过 1 面的电流在极板上积累， 面的电流在极板上积累，根据 L 电流连续性原理(适于非稳恒） 适于非稳恒） 适于非稳恒 S1 MAG_3
∂D 虽然导体表面E≠ 但可证明 ∴ j ⋅ dS = 虽然导体表面 ≠0但可证明* ∫∫ 0 ∫∫ ∂t ⋅ dS 其位移电流远小于传导电流。 其位移电流远小于传导电流。 S S2 1
电流有趋肤效应， 电流有趋肤效应，就是真电流在低频时也趋肤*。
∫ B ⋅ dl
L
= µ o ∫∫ j 0 ⋅ d S = µ o ∫∫
R
r
r1 I B = µo = 5 × 10 − 6 T r1=0.1m 2π R 2 r2=0.3m>R I πR 2 I −6 B = µo = µo = 6.67 ×10 T 2πr2 ⋅ S 2πr2
6.6平行电流间的相互作用力 平行电流间的相互作用力 的两平行长直载流导线， 相距为 d 的两平行长直载流导线，求每单位长度 线段受另一电流磁场的作用力。 线段受另一电流磁场的作用力。 处所产生的磁场为： 电流 I1在电流 I2处所产生的磁场为： µ o I1 B1 = B2 2π d µ o I1I 2 导线2单位 导线 单位 F2 = B1 I 2 = 长度受力 2π d 处所产生的磁场为： 电流 I2在电流 I1 处所产生的磁场为：
∵ ∫ B ⋅ dl = µ oε o
L
∫∫ E ⋅ d S dt
S
dE ∴ 2π rB = µ o ε oπ r dt
2
两极板间磁感应强度的分布
∴B =
µ oε o
2
dE r ∝ r dt
极板边缘处的磁感应强度。 极板边缘处的磁感应强度。
dE −6 ∴ B（R) = R = 5.6 ×10 T 2 dt
λ 2带电长直导线单位长度 F e = λ 2 λ 1
线段上的电荷受的电力
Fm V 2V 1 = ε 0 µ 0V 2V 1 = 所以磁力与电力的比值为 Fe c2
设有两根载流分别为I 的静止铜导线， 设有两根载流分别为 1 和I 2的静止铜导线，正电荷 几乎不动，而自由电子作定向漂移的速度约为10 几乎不动，而自由电子作定向漂移的速度约为 -4 m/s c = 3×108 m/ s 3× Fm V 2V 1 − 25
d q dq = µ oε o ( S) = µo dt S ε o dt
∂D ∴ ∫∫ j0 ⋅ dS = ∫∫ ⋅ dS ∂t S1 S2
• 普遍的安培环路定理
d ∫LB ⋅ dl = µ o ( I 0 + ε dt ∫∫SE ⋅ dS )
∫ B ⋅ dl
L
= µo ( I 0 + I d )
目录 §6.5 与变化的电场相联系的磁场 • 安培环路定理遇到的问题
• 变化的电场和磁场的联系 • 普遍的安培环路定理
例题一： 例题一：导体中传导电流与位移电流的比值 例题二： 例题二：充电平行板电容器间的磁场 §6.6平行电流间的相互作用力 平行电流间的相互作用力 例题三： 例题三：两长直带电线沿长度方向 运动时， 运动时，其间的作用力
dΦ e ∂E 解： Id ≡ ε0 = ε 0 ∫∫ ⋅ dS r S dt ∂t S dE Id = ε0 π R 2 = 1 .4 A dt 根据对称性，取以轴点为圆心， 根据对称性，取以轴点为圆心， 的圆为回路，其上磁场沿切向、大小相等。 半径为r 的圆为回路，其上磁场沿切向、大小相等。 与电流成右手螺旋。 与电流成右手螺旋。 d
π
例题二 1：一板面半径为 ：一板面半径为R=5.0cm的圆形平板电容器， 的圆形平板电容器， 设充电后电荷在极板上均匀分布， 设充电后电荷在极板上均匀分布，两极板间电场强度 的变化率为dE/dt=2.0×1013V/ms.求 两极板间的位移 的变化率为 × 求 电流。 电流。 两极板间磁感应强度的分布和极板边缘处 的磁感应强度。 的磁感应强度。
dΦ e dE di ρ S = ε 0ε r id = ε 0ε r = ε 0ε r S dt dt dt S π id = ε 0ε r ρωI 0 cos(ωt + ) 2
于是，导体中位移电流和传导电流的振幅比： 于是，导体中位移电流和传导电流的振幅比：
i i E= = =ρ σ σS S
j
运动电荷“产生”了电场和磁场。 变化的电场“产生”磁场。实质上 实质上 是电场和磁场的相对论联系的表现。 是电场和磁场的相对论联系的表现。
另一种证明:通过以 为边介的面 和面S 另一种证明 通过以L为边介的面 1和面 2的 通过以 为边介的面S 电流相等的方法： 电流相等的方法： 极板上电量