课时1-3.1数系的扩充和复数的概念_教学设计_教案
3.1.1数系的扩充和复数的概念(教学设计)
§3.1.1数系的扩充和复数的概念（教学设计）教学目标：知识与技能目标：了解引进复数的必要性；理解并掌握复数的有关概念（复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等）。
理解虚数单位i 以及i 与实数的四则运算规律。
过程与方法目标：通过问题情境，了解扩充数系的必要性，感受数系的扩充过程，体会引入虚数单位i 和复数形式的合理性，使学生对数的概念有一个初步的、完整的认识。
情感、态度与价值观目标：通过问题情境，体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。
教学重点：复数的概念，虚数单位i ，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用教学难点：虚数单位i 的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位i 并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的.在规定i 的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立教学过程：一、创设情境、新课引入：数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N 随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q .显然N Q .如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z ，则有Z Q 、N Z .如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R .因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集R 以后，像x 2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数i ，叫做虚数单位.并由此产生的了复数二、师生互动、新课讲解1.虚数单位i :(1)它的平方等于-1，即 21i =-;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.2. i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i !3. i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =14.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示*3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C .6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等这就是说，如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i 与4+3i 不能比较大小.现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小例1：请说出复数1132,,,0.222i i i +-的实部和虚部，有没有纯虚数？ 答：它们都是虚数，它们的实部分别是3，21，－3;，0虚部分别是2，-3，-21，-0.2 i -0.2 是纯虚数.例2（课本P103例1）：实数m 取什么数值时，复数z =m +1+(m －1)i 是:(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？［分析］因为m ∈R ，所以m +1，m －1都是实数，由复数z =a +bi 是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m 的值.解：(1)当m －1=0，即m =1时，复数z 是实数；(2)当m －1≠0，即m ≠1时，复数z 是虚数；(3)当m +1=0，且m －1≠0时，即m =－1时，复数z 是纯虚数.变式训练2：当m 为何实数时，复数（1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数解：(1)m=1±；（2）1m ≠±；（3）m=-2例3：已知（x+y ）+（x-2y ）i=（2x-5）+（3x+y ）i ，求实数x,y 的值.略解：x=3,y= -2222(1)Z m m m i=+-+-课堂练习1：（课本P104练习NO ：1；2；3）课堂练习2：1.a=0是复数a+bi(a,b ∈R ）为纯虚数的（ ）A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.非必要非充分条件2.以3i-2的虚部为实部，以3i 2+3i 的实部为虚部的复数是（ ）A.-2+3iB.3-3iC.-3+3iD.3+3i3.下列n 的取值中，使i n =1(i 是虚数单位）的是（ ）A.n=2B.n=3C.n=4D.n=54.复数z=i+i 2+i 3+i 4的值是（ ）A.-１B.0C.1 Ｄ.i5.我们已知i 是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，那么方程x 2=－1的另一个根是________.6.复数i 2 (1+i)的实部是________.7、：已知(2x －1)+i =y －(3－y )i ，其中x ，y ∈R ，求x 与y .解：根据复数相等的定义，得方程组⎩⎨⎧--==-)3(1,12y y x ，所以x =25，y =4 三、课堂小结，巩固反思：这节课我们学习了虚数单位i 及它的两条性质，复数的定义、实部、虚部及有关分类问题，复数相等的充要条件，复平面等等.基本思想是：利用复数的概念，联系以前学过的实数的性质，对复数的知识有较完整的认识，以及利用转化的思想将复数问题转化为实数问题。
教学设计2：3.1.1数系的扩充和复数的概念
3.1.1数系的扩充和复数的概念教学设计一、教学背景分析1.本课时在教材中的地位与作用本节课在教材中起着承上启下的作用，能够让学生了解数系扩充的历史，感受数学的理性精神及数学在解决生产生活问题中的价值，渗透数学文化.2.学情分析高二学生的理性思维已经得到发展，能够较为理性的分析和解决问题，但是对虚数单位i的理解以及复数的分类是难点也是重点，需要给学生足够的时间去经历知识的生成，而不是灌输式的将结论直接告诉学生、而后通过大量练习进行强化.3.教学目标的确定及依据知识与技能目标：了解数系扩充的过程，理解复数的基本概念，掌握复数相等的充要条件.过程与方法目标：经历理性分析数系扩充的过程，运用类比推理的方法实现从实数系向复数系的扩充.情感态度与价值观目标：强化理性思维的价值，渗透数学文化.4.教学重点、难点及处理办法教学重点：了解引入复数的必要性，理解复数的基本概念.教学难点：了解数系扩充的过程，理解并接受虚数单位i.二、教法与学法分析教学方法：诱思探究法合作交流法学法分析：建构-探究-归纳-应用.三、教学过程根据以上分析，教学过程从精设问题、引发冲突；引入新数、生成概念；应用举例、强化新知；课堂小结、回顾归纳；布置作业、课外拓展五个环节进行设计：四、教学效果预测学生了解了数系扩充的必要性与合理性，能够类比从自然数系一步步扩充到实数系的过程完成从实数系向复数系的扩充.经历了概念的生成过程，理解复数的代数表达形式，掌握实部、虚部的概念，能够清晰的掌握复数的分类，体会并掌握复数相等的充要条件.享受解决问题的愉悦，感悟数系扩充的历史.但是对虚数单位i的理解和接受是重点也是难点，学生掌握的情况仍需通过课后的作业、练习进行检测和反馈.。
高中数学3.1.1数系的扩充与复数的概念教学设计
课型：新授课课时：一课时年级：高二〔下〕一、教材分析《数系的扩充与复数的引入》是新课标高中数学选修2-2第三章的第一节课的内容，属于高中数学必修课程中几何与代数主题下的内容。
这节课的主要内容是数系扩充的意义与复数概念的引入，是第一次提出数系扩充的概念，也是阶段数系的最后一次扩充，对于高中生来说，对复数的根本概念的掌握是十分重要的，复数的学习不仅是高中数学中的重要内容，可以帮助学生对数的概念有一个初步的较为完整的认识，也给他们运用数学解决问题增添了新的工具。
并且在实际生活中，复数在电力学、热力学、流体力学、固体力学、系统分析、信息分析等方面都得到了广泛发运用，是现代人才必备的根底知识之一。
因此本节课具有重要的承前启后的作用，是本章的重点内容。
二、学情分析本节课之前，学生已经有了根本的数系扩充的经历与体会，这些内容的学习为本节发学习起到了一定的铺垫作用，但是学生对数的分类的掌握还是主要依靠简单的概念理解与记忆，对数系扩充过程中实际意义及在这其中人类理性的作用体会并不是很深，现阶段大局部学生学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，并且局部学生学习的信心不够，对数学产生不了兴趣，学生有根本的分类与抽象概括的数学方法与思想思想，并且观察抽象能力，以及特殊到一般的概括、归纳能力，逻辑思维能力得到了一定的锻炼。
通过情境设置引导学生独立思考，大胆探索和灵活运用分类，归纳等数学思想的学习方法，可以让学生很好的掌握本节课的内容体会数学扩充的意义。
三、教学目标1.知识与技能(1)通过回忆数系扩充的过程，体会数系扩充的必要性与意义，能说出每次数系扩充的实际意义；(2)理解并掌握复数的有关概念〔复数、复数集、复数的代数形式、实部、虚部〕，能准确说出复数的实部虚部；(3)理解并掌握复数相等的充要条件、复数集与实数集的关系、复数的分类，并能用语言或图形表达复数的分类，能解决含有字母的复数相关问题。
2.过程与方法(1)通过回忆数系扩充的过程，让学生通过类比的方法对实数系进行扩充，提高学生类比思考与总结归纳的能力。
3.1《数系的扩充和复数的概念--数系的扩充》教案(新人教选修1-2)
课题：3.1 数系的扩大教课目标：认识数集的扩大过程教课过程：从数学史发展的角度来看，第一数系扩展伊始主假如因为实践的需要正是为认识决实践中出现的问题，人们不停将数的领域加以扩展第一是实践需要引入了自然数，人们最早就认同了自然数自然数是不一样种类数中最先等和最基本的它的产生能够说完整部是社会实践的推进的结果引入自然数后，任何失散的对象都能够用自然数予以量化了以自然数为源泉，数系得以不停扩大随后又引入了分数我国古代在对分数的引入与使用中长久居于当先地位究其原由，这与我国古代数学一开始便同天文历法结下了不解之缘有关这供给了数学与其余学科的亲密有关的一个例证事实上，在我国古代数学与天文学的关系极为亲密中国历史上把天文学家和数学家合称为“畴人”正能够反应出这一点别的，由于调整历法数据的要求，中国古代数学家发展了分数近似算法：“调日法”，使得我国古代在数的有理迫近方面达到了很高的水平数系扩大到分数这一步，应当说关于对付实践的需要就基本上够用了小数在数学中是很实用的我国是最早使用小数的民族可是在我国从刘徽产生十进小数思想到被宽泛应用的宋元期间，经历了一千多年的时间这是什么原由呢？生活实践中缺少小数应用的紧急性、必需性是一个重要原由以后，小数的使用也正是因为生活实践的推进但是，数学的发展又拥有独立性、波折性，数系的引入历史证了然这一点现实世界中大批存在的拥有相反意义的量，但这却其实不意味着人们就必定能够产生出负数的观点，在西方负数的引入是很晚的事，就从反面说了然这一点在我国，负数的产生，也其实不完整部是实质需要的产物出于解方程组的必需，也许是负数引入更重要的原由吧因此，起码我们能够说负数在我国的产生是实践与数学双方面联合的产物无理数的引入，虽然也存在着客观要素因为现实世界中除了失散量外，还存在大批连续量，而为了刻画出连续量就一定引入无理数但数学史的发展表示，无理数引入的直接动力来自于数学内部在东西方，都是因为研究几何问题才引入了无理数的假如说与客观要素有联系的话，这种联系也只好说是间接的，而非直接的从实质应用的角度来说，正如我们前方指出的那样，无理数是不必需的，事实上为了实质使用，对无理数我们也都是仅取其近似值而已从实数今后，数系的进一步推行，主要也是来自于数学内部的原由了虚数的引入是一个突出的例证正是因为解方程的需要，人们才不得不引入了缺少现实背景的虚数而虚数的被宽泛认同又是其几何意义确实立这表示了直观性的几何对代数的促使作用数学与自然科学有着相互影响、相互作用的关系数学为自然科学供给定量描绘的工具，自然科学则向数学供给大批的问题在数学发展的历史上，自然科学一直以发问者的身份刺激着数学的发展源于自然科学的数学识题，从对数学的作用和影响来看，大概上可概括为两类：一类是延长性问题，即对已形成的数学理论起着扩展成就的作用；另一类问题常常致使数学在思想方法上发生质的变化，因此关于数学的发展显得尤其重要实质上，物理学与数学之间的相互推进，比我们这本书中所叙述的要屡次得多到现在，物理学方面的问题仍旧是刺激数学发展的一个重要源泉总之，数学史的这些案例证明：并不是数学向前发展的每一步，都需要生产实践的直接推动数系的扩大，既是因为社会实践的推进，又切合算术、几何、代数这些数学学科理论发展的要求它不是随随意便，想怎么扩大就怎么扩大的过去是这样，未来也必定是这样从数系扩大的历史过程中，我们一方面看到，数学从实践中汲取营养而发展，反过来又解决了实践提出的问题；另一方面看到，几何和代数的知识是相互联系，并且相互促使的我们要学好数学，不单要注意实践中的数学识题，并且要注意代数、几何不一样学科间的相互关系简言之，有的数类（如分数）的引入拥有显然的客观背景，有的在当时则完整部是出于数学研究自己的需要纵观数学发展的进度，问题是数学的心脏数学识题是推进数学发展的主要动力自然数学识题的根源是多样的数学识题的根源大概上能够分为两部分，一部分根源于生产、生活实质以及其余科学技术领域；另一部分根源于数学自己，也就是由数学识题衍生出新的数学识题特别是当数学渐渐形成理论系统以后，它就开始以一个真实发问者的身份出现，不停地向自己提出新的问题这种问题，我们称之为数学系统内部问题数学发展到必定阶段，数学内部问题就成了推进数学发展的主要动力。
教学设计1：3.1.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.1数系的扩充和复数的概念【教学目标】依照课程标准对本节课的要求，本节课的教学目标如下：（1）通过回忆数系的扩充过程，观察所列举的复数能简述复数的定义，并能说出复数的实部与虚部.（2）通过小组讨论能将复数归类，并能用语言或图形表达复数的分类，会解决含有字母的复数的分类问题.（3）通过比较给出的两个复数能归纳出复数相等的充要条件，并能解决与例题相似的题目.【教学重点】复数的概念【教学难点】虚数单位i的引进及复数的概念【教学过程】一、问题情境(多媒体)问题1:同学们,从小到大，我们认识了各种各样的数.进入高中，我们学习了集合，你知道的数集有哪些？分别用什么记号表示？问题2:你能用集合关系符号将这些数集“串”起来吗？设计意图：一方面从学生已有的认知入手，便于学生快速进入学习状态，激发他们的学习热情，培养学生的归纳、概括与表达能力；另一方面为引入虚数单位“i”埋下伏笔，引入课题.恩格斯曾经说过：“各种数集是数学的两大基本柱石之一，整个数学都是由此提炼、演变与发展起来的.”如此高的评价，看来我们要好好体会其中的奥秘，最熟悉的地方往往也能发现亮丽的风景.这些数并不是从来就有，也不是从天而降的，任何事物的发生发展总是有原因的.远古的人类，为了统计捕获的野兽和采集的野果，创造了自然数，那么其它数呢？它们产生的原因是什么呢？（归纳学生的回答：原因之一——客观需求）从数学内部看，我们研究数，与数的运算是分不开的，数集只是包含了运算的对象，那么运算的规则呢？一代代数学家们追求的不仅仅是数集的扩充，更是运算规则的完善.二、学生活动问题3:我们常说的运算，是指加、减、乘、除、乘方、开方等运算，思考一下，这些运算在各个数集中总能实施吗？（学生回答）追问：这些问题是怎么解决的呢？——添加新数通过添加新数，解决了某些运算在原来的数集中不是总可以实施的矛盾.正是数学家们追求完美的理性精神，促使他们不断发现问题，解决问题，从而推动数学的发展.（原因之二——数学内因）设计意图：让学生思考数集扩充的原因，在此基础之上，帮助学生重新建构数集的扩充过程，这是本节课的生长点.问题4:那么在实数范围内加、减、乘、除、乘方、开方这些运算总能实施了吗？问题5:需要解决什么问题？（负数开偶次方的问题）我们知道，非负数可以开平方，负数只能开奇次方？现实的问题摆在眼前，如何才能解决？——添加新数学生讨论：尝试添加新数，求解方程222=-=--=-.1,2,(1)1x x x设计意图：教师引领学生采用类比的思想，将问题转化为找一个数的平方为－1，从而让“引入新数”水到渠成．第一个正视这类问题的是意大利数学家卡尔丹.16世纪，意大利数学家卡尔丹遇到问题“将10分成两部分，使两者的乘积等于40”时，出现了困惑.他认为把答案写成“15+和5--”就可以满足条件，但是却无法解释.面对这些矛盾，笛卡尔、欧拉、高斯等一个5-15又一个数学家们加入了研究的队伍，经过他们严密的论证，最后终于确定了它的合理地位.但是这类数与之前得到的实实在在的实数相比，似乎缺少有力的现实基础，所以法国数学家笛卡尔就将其命名为“虚数”，表示与实数相对应.从此虚数也加入了数的行列，与实数“平起平坐，和平共处”.1777年，瑞士数学家欧拉首次提出用i表示平方等于-1的新数.1801年，德国数学家高斯系统地使用了这个符号，使i通行于世.三、建构数学实数集的扩充就从引入平方等于－1的“新数”i开始的.（一）我们引入新数i，叫做“虚数单位”，并规定：（1）i2=-1;（2）实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立.由这两个规定，我们得到：i代表一个数，；另外规定（2）保证了虚数加入后，能与实数“和平共处，互帮互助”.根据以上两项规定，请同学们思考问题6：添加的新数仅仅是i吗？问题7：你还能写出其他含有i的数吗？问题8：你能写出一个形式，把刚才所写出来的数都包含在内吗？设计意图：学生通过问题6、7的铺垫，引导学生由特殊到一般，抽象概括出复数的代数形式z=(,)+∈R，帮助学生主动建构复数的代数形式．a bi a b我们构造的数都可以用bia+是由实数与虚数单位i“复合”运作而成，我们把a+来表示.bi它们称为复数，由所有的复数组成的集合称为复数集，记作C，我们常用字母z表示复数.（二）bia+为复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫=（Rz+ab,），也称bia∈复数的虚部（是实数）.由此，追问：(,)+∈R能表示实数吗？a bi a b问题9：实数集与扩充后的复数集是什么关系呢？问题10：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集它们之间是什么关系呢？你能用图表的形式画出来吗？设计意图：学生通过讨论自然而然地想到要对复数进行分类，从而深化对复数概念的理解.问题10是让学生直观地感受复数的分类，进一步深化复数的概念.从而攻克本节制定的第二个教学目标.问题11：两个二项式相等的充要条件是什么？你能类比得出两个复数相等的充要条件吗？设计意图：引导学生类比两个二项式相等的条件，归纳出复数相等的充要条件，即实部与实部相等并且虚部与虚部相等.并在此时告诉学生两个复数只能说相等或者不相等，除非它们都是实数时才可以比较大小.伴随着此问题的解决使得本节最后一个教学目标顺利呈现. (三)复数的相等如果两个复数的实部与虚部分别相等,则称两个复数相等,即：a+bi =c+d i (a,b,c,d ∈R) ⇔ a= c 且b =d.例1、 指出下列复数的实部和虚部(1)4;(2)23;(3)56;(6)2i i i -+-+ 注意:复数的实部与虚部都是实数.例2．实数m 分别取什么值时，复数z =m (m -1)+(m -1)i 是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？分析：因为m ∈R ，所以11--m ),m (m 都是实数，由复数z=a +bi (a,b ∈R)是实数、虚数、纯虚数与零的条件可以确定实数m 的值．.00101310121011为纯虚数时，即）当（为虚数；时，即）当（为实数；时，，即）当解（z m ,m )m (m z m ,m z m m =⎩⎨⎧≠-=-≠≠-==-练习1：已知z=m 2(1+i)−(m +i),m 为实数，当m 为何值时，复数z 是(1)实数 (2)虚数 (3)纯虚数设计意图：例题1主要是前后照应，采用概念同化的方式完善认知结构；实现对目标1的巩固.例题2及练习1主要是巩固复设定的目标2中数的分类标准．让学生在解决问题的过程中内化复数有关概念，起到及时反馈、学以致用的功效.设计意图：强化复数相等的充要条件，并让学生感受到复数问题可以化归为实数问题来求解.例3： 已知（2x -1)+i =y -(3-y )i ,其中x,y ∈R,求x,y 的值.解：根据复数相等的定义，得方程组设计意图：强化复数相等的充要条件，并让学生感受到复数问题可以化归为实数问题来求解解：由题意得 {2x −1=y 1=−(3−y ) 解得{x =52y =4设计意图：强化复数相等的充要条件，并让学生感受到复数问题可以化归为实数问题来求解. 的值求，小于且已知复数求实数）若（（：练习k z R k i k k k k z yx i x i y i 0),()65(3)2(,,9-1)2(-)10-31222∈+-+-==++（1） x=1,y=1 (2) k=2设计意图：此题主要是为了及时巩固、检查课堂效果；从而进一步提升学生分析问题和解决问题的能力.（四）课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？还存在哪些疑问？并抛出问题：实数能用数轴上的点来表示，所有的复数也能用数轴上的点来表示吗？设计意图：通过学生总结、教师提炼，深化内容，让学生体会数系扩充过程中蕴含的创新精神和实践能力.提出问题激发学生对复数的后续学习的欲望,为下节课学习埋下伏笔.（五）作业布置1、书面作业：课后习题A组第1、2题.2、知识拓展作业：小组成员交流合作，写一篇与数系扩充和发展有关的小论文；这节课，我们共同感受了数的概念发展的过程，虚数的出现与很多新生事物一样，刚开始并不为人所接受.对于“虚数”的研究，经历了漫长的过程，最终人们发现复数在物理学，空气动力学等很多领域的实际作用后，虚数才被大家所接受，正所谓实践才是检验真理的唯一标准.“数系发展到复数之后还能不能继续扩充？随着数学领域的不断扩展，或许有一天数系会冲破复数集的约束，迈向更广的数系空间.建议有兴趣的同学课下了解章末阅读材料中“四元数”的内容.。
数系的扩充与复数的概念》教案
数系的扩充与复数的概念》教案教案：数系的扩充与复数的概念一、教学目标：1.理解数系的扩充是为了解决方程$x^2=a$(a<0)而引入复数的概念；2.掌握复数的定义与基本运算；3.了解复数在平面直角坐标系中的表示方式；4.掌握解一元二次方程及其应用。
二、教学重难点：1.复数的定义与基本运算；2.复数在平面直角坐标系中的表示；3.解一元二次方程及其应用。
三、教学过程：Step 1: 引入教师在黑板上写下方程$x^2=-1$，并询问学生这个方程有没有实数解。
引导学生思考并让他们发表自己的观点。
Step 2: 数系的扩充1.教师讲解当a<0时，方程$x^2=a$没有实数解的情况。
为了解决这个问题，数学家们引入了复数的概念，即数系从实数扩充为复数。
2.教师简要介绍复数的历史背景和意义，以增加学生对复数概念的兴趣。
Step 3: 复数的定义与表示1. 教师引导学生理解复数的定义：复数表示为 a + bi，其中 a 和b 都是实数，i 是虚数单位，满足 $i^2 = -1$。
2. 通过例子引导学生掌握复数的表示方式，如 2 + 3i、-5i、$\sqrt{2} + \sqrt{3}i$。
Step 4: 复数的基本运算1.教师简要介绍复数的基本运算法则：加法、减法、乘法和除法。
2.通过例子分别演示复数的加减乘除运算，并指导学生进行练习。
Step 5: 复数的图示表示1. 教师引导学生理解复数在平面直角坐标系中的表示方法。
将实部和虚部分别看作是复平面上的横坐标和纵坐标，复数 a + bi 对应复平面上的一个点。
2.通过例子和练习让学生熟悉复数在复平面上的图示表示。
Step 6: 一元二次方程的解及其应用1. 教师复习一下一元二次方程的一般形式：$ax^2 + bx + c = 0$，其中 a、b 和 c 都是实数，且 $a \neq 0$。
2.教师讲解如何用复数解一元二次方程，通过例题引导学生理解。
四、课堂练习与讨论五、作业布置1.练习册上的相关习题；2.解一些一元二次方程。
《3.1.1数系的扩充和复数的概念》教学设计
《3.1.1数系的扩充和复数的概念》教学设计一、 问题导入在实数集，像x 2＝－1这样的方程还是无解的二、 知识回顾在研究实际问题和代数方程的过程中，推动了数系的扩充：1.自然数是“数”出来的，产生了自然数集N ；2.为了使类似x ＋5＝3的方程有解，引入了负整数；N3.为了使类似5x ＝3的方程有解，引入了分数；Z Q4.为了使类似x 2＝3的方程有解，引入了无理数；Q R思考：数系的每次扩充有什么共同特点？提问学生① 用图形展示以上数集间的关系：新数集真包含原有数集 ②引入新数③原有数集的加法乘法运算律仍然成立。
三、 新知构建我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，方程x 2＝－1能得到圆满解决呢？引入新数i 满足两点：(1)它的平方等于－1，即i 2＝－1 .(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立. 2.i 与－1的关系: 就是－1的一个平方根，即方程x 2＝－1的一个根。
1.i 叫做虚数单位 。
例举a ＋i ,0＋bi ,a ＋0i ,0＋1i ,归纳得复数的概念2.复数的概念：形如a ＋bi (a 、b ∈R ) 的数叫复数， a 叫复数的实部， b 叫复数的虚部， 全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示。
3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即把复数表示成a ＋bi 的形式，叫做复数的代数形式。
4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数 ，当且仅当b ＝0时，复数a ＋bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z ＝a ＋bi 叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，z ＝bi 叫做纯虚数；当且仅当a ＝b ＝0时，z 就是实数0.四、知识拓展介绍复数的发展史，对复数产生有杰出贡献的数学家：卡当，笛卡尔，欧拉，高斯。
五、深化理解请同学们小组讨论：（1）总结复数的分类（2）所有数集间的关系（3）方程的x 2＝－1的所有根六、复数相等在复数集C ＝{}R b a bi a ∈+,中，任取两个数）与R d c b a di c bi a ∈++,,,(,我们规定：,di c bi a ++与相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d ，记作,di c bi a +=+）R d c b a ∈,,,(，特殊的⇔=+0bi a a ＝b ＝0 .【例1】说出下列复数的实部和虚部，并说明哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数. ①72+； ②i 72； ③0； ④2i ； ⑤85+i ； ⑥i 293-； ⑦)31(-i ； ⑧i 22-； ⑨i ； ⑩22. 实数： ①③④⑩虚数： ②⑤⑥⑦⑧⑨纯虚数： ②⑦⑨【例2】实数m 取什么值时，复数i m m z )1(1-++=是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数。
高中数学《数系的扩充和复数的概念》教案
高中数学《数系的扩充和复数的概念》教案一、教学目标1. 让学生理解实数和虚数的概念，了解复数的基本形式。
2. 让学生掌握复数的运算规则，包括加、减、乘、除以及共轭复数的概念。
3. 培养学生运用复数解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 实数和虚数的概念：介绍实数和虚数的定义，举例说明实数和虚数的区别。
2. 复数的基本形式：介绍复数的一般形式，解释实部和虚部的意义。
3. 复数的运算规则：讲解复数的加、减、乘、除运算方法，并通过例题演示。
4. 共轭复数的概念：介绍共轭复数的定义，讲解共轭复数的性质和运用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：实数和虚数的概念，复数的基本形式，复数的运算规则，共轭复数的概念。
2. 教学难点：复数的运算规则，共轭复数的性质和运用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解实数、虚数和复数的概念，复数的运算规则，共轭复数的性质和运用。
2. 利用例题演示，让学生直观地理解复数的运算方法。
3. 设计练习题，让学生巩固所学知识。
五、教学步骤1. 引入实数和虚数的概念，举例说明实数和虚数的区别。
2. 讲解复数的一般形式，解释实部和虚部的意义。
3. 讲解复数的加、减、乘、除运算方法，并通过例题演示。
4. 介绍共轭复数的定义，讲解共轭复数的性质和运用。
5. 设计练习题，让学生运用所学知识解决问题。
教案仅供参考，具体教学过程中请根据学生的实际情况进行调整。
六、教学评价1. 通过课堂讲解、例题分析和练习题，评价学生对实数、虚数和复数的概念的理解程度。
2. 通过复数运算的练习题，评价学生对复数运算规则的掌握情况。
3. 通过共轭复数相关练习题，评价学生对共轭复数性质和运用的理解程度。
七、教学拓展1. 介绍复数在工程、物理等领域的应用，激发学生学习复数的兴趣。
2. 引导学生思考复数运算的规律，培养学生的逻辑思维能力。
八、教学资源1. PPT课件：实数、虚数和复数的概念，复数的运算规则，共轭复数的性质和运用。
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教学准备
1. 教学目标
1、了解数系扩充的过程及引入复数的定义，并能说出复数的实部与虚部
2、掌握复数的有关概念和代数符号形式、复数的分类方法及复数相等的问题
3、通过比较给出的两个复数能归纳出复数相等的充要条件，并能解决与例题相似的题目
2. 教学重点/难点
教学重点：引入复数的必要性与复数的相关概念、复数的分类，复数相等的充要条件教学难点：虚数单位i的引进和复数的概念
3. 教学用具
多媒体设备
4. 标签
教学过程
1 复习引入
【师】我们在必修一学习了集合，还记得的数集有哪些？分别用什么记号表示？
【生】回答问题
【师】大家能说说自然数整数有理数实数之间的关系呢？
【生】回答问题；自然数→ 整数→有理数→ 实数
2 新知介绍
【师】解方程
【生】
【师】我们发现此方程在实数范围内无解，说明现有的数集不能满足我们得需求，
那么我们必须把数集进一步扩充，
【板书/PPT】为了解决负数开平方问题，数学家们引入了一个i，把i叫做虚数单位，并且规定
（1）
（2）实数可以与i进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算律仍
然成立
[2]复数的概念
【板书/ppt】
形如a=bi（a，b∈R）的数叫做复数，通常用字母z表示，全体复数所形成的集合叫复数集
一般用字母C表示
复数的代数形式Z=a+bi(a∈R，b∈R）
其中a为实部 b为虚部
[3]复数的分类
【板书/PPT】
【师】我们来看一个例题
实数m取什么值时，复数为
（1）实数？（2）虚数（3）纯虚数
【生】思考交流
【师】（1）当m-1=0，即m=1时，复数z是实数
（2）当m-1≠０，即m≠１时，复数z是虚数
（3）当
即m=-1时，复数z是纯虚数
[4]复数相等
如果两个复数的实部和虚部分别相等，
那么我们就说这两个复数相等
若a，b，c，d∈R，
【师】我们做一下这个题
【板书/PPT】
已知，其中x，y∈R，求x与y 【生】做题
【师】根据复数相等的定义，得方程组。