第1讲 等腰三角形

第1讲等腰三角形知识点1．等腰三角形⑴定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

⑵性质：①等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）；②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合（简称“三线合一”）。

③等腰三角形是轴对称图形。

⑶判定方法：①等腰三角形的定义；②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。

2．等边三角形（也叫正三角形）⑴定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。

⑵性质：①等边三角形的各角相等，并且每一个角都等于60°；②等边三角形是轴对称图形。

⑶判定方法：①等边三角形的定义；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

3．等腰直角三角形⑴定义：顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形。

⑵性质：等腰直角三角形的两个锐角都等于45°。

知识点2.线段的垂直平分线：⑴定义：垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线或中垂线。

⑵性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。

⑶判定方法：线段的垂直平分线的定义；⑷重要规律：三角形的三边的垂直平分线相交于一点，这个点叫做三角形的外心，它到三角形的三个顶点的距离相等。

知识点3.角的平分线⑴性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

⑵判定方法：角平分线的定义；⑶重要规律：三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心，，它到三角形的三边的距离相等。

专题1—等腰三角形例1.等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角为度．变式练习1：（2012广安）已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=BC，则△ABC底角的度数为（）A．45°B．75°C．45°或75°D．60°变式练习2：等腰三角形的一个角是另一个角的2倍，则这个等腰三角形的顶角等于．变式练习3：已知等腰三角形的一个外角等于140°，那么这个等腰三角形的顶角等于．变式练习4：（2012广元）已知等腰三角形的一个内角为80°，则另两个角的度数是:例2.下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是（）A．等腰三角形两底角相等B．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合C．等腰三角形是中心对称图形D．等腰三角形是轴对称图形变式练习1：性质“等腰三角形的三线合一”，其中所指的“线”之一是（）A．等腰三角形底角的平分线B．等腰三角形腰上的高C．等腰三角形腰上的中线D．等腰三角形顶角的平分线变式练习2：等腰三角形的对称轴是．例3.（2012铜仁）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC 交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（）A．6B．7C．8D．9变式练习1：（2012孝感）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC=2，则AD的长是（）A．512-B．512+C．51-D．51+变式练习2：（2012黄冈）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC点E，垂足为点D，连接BE，则∠EBC 的度数为________°.:例4.（2012攀枝花）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A． 20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对变式练习1：（2012随州）等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为_________。

变式练习2：（2012哈尔滨）一个等腰三角形的两边长分别为5或6，则这个等腰三角形的周长是．例5.（2012莱芜）在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，若点P在边AC上移动，则BP 的最小值是.变式练习1：（2011山东济宁）如图，等边三角形ABC 中，D 、E 分别为AB 、BC 边上的两个动点，且总使AD=BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ，则FGAF= ．例6.（2011四川乐山）如图，已知∠AOB=α，在射线OA 、OB 上分别取点OA 1=OB ，连结AB ，在BA 、BB 上分别取点A 、B ，使B 1 B= B A ，连结A B…按此规律上去，记∠A B 1 B=1θ，∠3232A B B θ=，…，∠n+11A n n n B B θ+=则⑴1θ= ； ⑵ n θ= 。

变式练习1：（2011广东茂名）如图，已知△ABC 是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在同一直线上，且CG ＝CD ，DF ＝DE ，则∠E ＝ 度．GFE CBA第15题D例7.（2011湖北鄂州）如图，在等腰三角形ABC 中，∠ABC=90°，D 为AC 边上中点，过D 点作DE ⊥DF ，交AB 于E ，交BC 于F ，若AE=4，FC=3，求EF 长．变式练习1：（2011江苏扬州，23,10分）已知：如图，锐角△ABC 的两条高BD 、CE 相交于点O ，且OB=OC ，（1）求证：△ABC 是等腰三角形；（2）判断点O 是否在∠BAC 的角平分线上，并说明理由。

例8.（2010 内蒙古包头）如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．第18题图B AEDF C①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？AQ CDBP变式练习：已知：如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BD⊥AC于D，且BD=8cm.点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，直线PQ由点B出发沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于P，交BC于Q，交BD于F，连接PM，设运动时间为t(s)，（0＜t＜5）.解答下列问题：（1）当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形；（2）设四边形PQCM的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PQCM=S△ABC？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.（4）连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由.专题二---等边三角形例1．(2011绍兴)数学课上，李老师出示了如下框中的题目．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况•探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：AE_____DB（填“＞”，“＜”或“=”）．（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE_____DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC 的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．例2.如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60度．恒成立的结论有_______．（把你认为正确的序号都填上）变式练习：1．（2009南平）在菱形ABCD中，∠B=60°，AC是对角线．（1）如图1，点E、F分别在边BC、CD上，且BE=CF．①求证：△ABE≌△ACF；②求证：△AEF是等边三角形．（2）若点E在BC的延长线上，在直线CD上是否存在点F，使△AEF是等边三角形？请证明你的结论（图2备用）．2．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．将△BOC绕点C 逆时针旋转60°得△ADC，连接OD．（1）求证：△DOC是等边三角形；（2）当AO=5，BO=4，α=150°时，求CO的长；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．例3．如图，△ABC 是等边三角形，CE 是外角平分线，点D 在AC 上，连结BD 并延长与CE 交于点E ．（1）求证：△ABD ∽△CED ．（2）若AB ＝6，AD ＝2CD ，求BE 的长．变式练习. 如图，等边△OAB 和等边△AFE 的一边都在x 轴上，双曲线y ＝(k ＞0)经过边OB 的中点C 和AE 的中点D ．已知等边△OAB 的边长为4．(1)求该双曲线所表示的函数解析式； (2)求等边△AEF 的边长．例4．如图①，△ABC 是等边三角形，D 、E 分别为边BC和AC 上的点，且BD=CE ，过D 作BE 的平行线，过E 作BC 的平行线，它们交于点F ，连接AF ． （1）求证：△ABE ≌△CAD ；（2）试判断△ADF 的形状，并说明理由； （3）若将D 、E 分别移为边CB 的延长线和AC 的延长线上的点，其它条件不变（如图②），则△ADF 的形状是否改变，说明理由．A DE BFC变式练习1. 如图1，△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD=CD，∠BDC=120，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．（1）探究BM、MN、NC之间的关系，并说明理由；（2）若△ABC的边长为2，求△AMN的周长；（3）若点M、N分别是线段AB、CA延长线上的点，其他条件不变，此时（1）中的结论是否还成立，在图2中画出图形，并说明理由．2. 等边ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角形绕P点旋转。

（1）如图1，当三等分，且PE⊥AB时，判断△EPF形状，并说明理由；（2）在（1）问条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB面积；（3）在三角板旋转过程中，若CF=AE=2，（CF≠B P），如图3，求PE长.。

3．已知△ABC 是等边三角形，点P 是AC 上一点，PE ⊥BC 于点E ，交AB 于点F ，在CB 的延长线上截取BD=PA ，PD 交AB 于点I ，PA=nPC ．（1）如图1，若n=1，则EB BD =_____，FLED=_____； （2）如图2，若∠EPD=60°，试求n 和FLED的值；（3）如图3，若点P 在AC 边的延长线上，且n=3，其他条件不变，则EBBD=_____．（只写答案不写过程）4. （1）已知：如图①，AOB ∆和COD ∆都是等边三角形 求证：（1）①AC BD =，②∠APB=60°；（2）如图②，AOB ∆和COD ∆都是等腰三角形，若OA=OB ，OC=OD ，∠AOB=∠COD =α，则AC 与BD 间的等量关系式为 .，∠APB 的大小为 . （3）如图③，在AOB ∆和COD ∆中，若OA=k•OB，OC=k•OD（k ＞1），∠AOB=∠COD =α，则AC 与BD 间的等量关系式为 .，∠APB 的大小为 .例5.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q 不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．变式练习1. 已知：如图（1），在平面直角坐标系xoy中，边长为2的等边△OAB的顶点B 在第一象限，顶点A在x轴的正半轴，另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC=AC，∠C=120°．现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC 向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止．（1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；（2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；（3）如图（2），现有∠MCN=60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN 绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．中考链接1.（2012湖北荆门）如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，PE⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为点Q ．若BF=2，则PE 的长为（ ）A ． 2B ． 2C ．D ． 32.如图，在等边ABC 中，AC=3，点O 在AC 上，且AO=1，点P 是AB 上一点，连接OP ，以线段OP 为一边作为正OPD ，且O 、P 、D 三点依次呈逆时针方向，当点D 恰好落在边BC 上时，则AP 的长是3. 如图，以正ABC 的高AD 为边作第二个正ADE 交AC 于点F ，再以AF 为边作第三个正AFG 交AE 于H ，再以AH 为边作第四个正AHI ，如此下去，已知ABC 的面积1S 为1，按上述方法所作的正三角形面积分别为23n S S S ，，，（n 为正整数），那么n S =4.（2012甘肃白银）如图，已知△ABC 是等边三角形，点D 、F 分别在线段BC 、AB 上，∠EFB=60°，DC=EF ．（1）求证：四边形EFCD 是平行四边形； （2）若BF=EF ，求证：AE=AD ．5．（江苏镇江）等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）．（1）求证：AM＝AN；（2）设BP＝x．①若BM＝38，求x的值；②记四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式以及S的最小值；③连接DE，分别与边AB、AC交于点G、H（如图2），当x取何值时，∠BAD＝15°？并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由．AB C EDPM N图1AB CE DPM N图2GH专题三---等腰直角三角形例1. 如图，在等腰直角ABC ∆中，90ACB O∠=，O 是斜边AB 的中点，点D 、E 分别在直角边AC 、BC 上，且90DOE O∠=，DE 交OC 于点P.则。