专训1 全等三角形判定的六种应用

专训1全等三角形判定的六种应用
名师点金：一般三角形全等的判定方法有四种：SSS，SAS，ASA，AAS；直角三角形是一种特殊的三角形，它的判定方法除了上述四种之外，还有一种特殊的方法，即“HL”．具体到某一道题目时，要根据题目所给出的条件进行观察、分析，选择合适的、简单易行的方法来解题．
已知一边一角型
应用1：一次全等型
1．如图，在△ABC中，BD＝DC，∠1＝∠2，求证：AD平分∠BAC.
(第1题)
2．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，连接AD，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，且BE＝CF.
求证：AD是△ABC的中线．
(第2题)
应用2：两次全等型
3．如图，∠C＝∠D，AC＝AD，求证：BC＝BD.
(第3题)
4．如图，D是△ABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB＝EC，∠BAE＝∠CAE.求证：∠ABE＝∠ACE.
(第4题)
已知两边型
应用3：一次全等型
5．【2016·河北】如图，点B，F，C，E在直线l上(F，C之间不能直接测量)，点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC.
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)指出图中所有平行的线段，并说明理由．
(第5题)
应用4：两次全等型
6．如图，AB＝CB，AD＝CD，E是BD上任意一点．求证：AE＝CE.
(第6题)
7．如图，已知AD＝AE，AB＝AC.求证：BF＝FC.
(第7题)
已知两角型
应用5：一次全等型
8．如图，已知∠BDC＝∠CEB＝90°，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC.求证：OB＝OC.
(第8题)
应用6：两次全等型
9．如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠BAC＝∠CDB，∠ACB＝∠DBC，分别延长BA与CD交于点F.求证：BF＝CF.
(第9题)
答案
1．证明：∵BD＝DC，
∴∠DBC＝∠DCB.
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠DBC＝∠2＋∠DCB，
即∠ABC＝∠ACB.
∴AB＝AC.
在△ABD和△ACD中，
＝AC，
1＝∠2，
＝CD，
∴△ABD≌△ACD(SAS)．
∴∠BAD＝∠CAD.
即AD平分∠BAC.
2．证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BED＝∠CFD＝90°.
又∵∠BDE＝∠CDF，BE＝CF，
∴△DBE≌△DCF.
∴BD＝CD.
即D是BC的中点，∴AD是△ABC的中线．
3．证明：过点A作AM⊥BC，AN⊥BD，分别交BC的延长线，BD的延长线于点M，N.
∴∠M＝∠N＝90°.
∵∠ACB＝∠ADB，
∴∠ACM＝∠ADN.
在△ACM和△ADN中，
M＝∠N，
ACM＝∠ADN，
＝AD，
∴△ACM≌△ADN(AAS)．
∴AM＝AN，CM＝DN.
在Rt△ABM和Rt△ABN中，
＝AB，
＝AN，
∴Rt△ABM≌Rt△ABN(HL)．
∴BM＝BN.
∴BM－CM＝BN－DN，即BC＝BD.
4．证明：过E作EF⊥AB于F，EG⊥AC于G，则∠AFE＝∠AGE＝90°.
在△AFE和△AGE中，
AFE＝∠AGE，
FAE＝∠GAE，
＝AE，
∴△AFE≌△AGE(AAS)，
∴EF＝EG.
在Rt△BFE和Rt△CGE中，
＝EC，
＝EG，
∴Rt△BFE≌Rt△CGE(HL)，
∴∠ABE＝∠ACE.
5．(1)证明：∵BF＝EC，
∴BF＋FC＝EC＋CF，即BC＝EF.
又∵AB＝DE，AC＝DF，
∴△ABC≌△DEF.
(2)解：AB∥DE，AC∥DF.
理由：∵△ABC≌△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE.
∴AB∥DE，AC∥DF.
6．证明：在△ABD和△CBD中，
＝CB，
＝CD，
＝BD，
∴△ABD≌△CBD(SSS)．
∴∠ABE＝∠CBE.
在△ABE和△CBE中，
＝CB，
ABE＝∠CBE，
＝BE，
∴△ABE≌△CBE(SAS)．
∴AE＝CE.
7．证明：在△ACD和△ABE中，＝AD，
A＝∠A，
＝AC，
∴△ACD≌△ABE(SAS)，
∴∠B＝∠C.
又∵AD＝AE，AB＝AC，
∴AB－AD＝AC－AE，即BD＝CE.在△DBF和△ECF中，
B＝∠C，
BFD＝∠CFE，
＝CE，
∴△DBF≌△ECF(AAS)，∴BF＝FC. 8．证明：在△DOB与△EOC中，∵∠BDC＝∠CEB＝90°，
∠DOB＝∠EOC，
∴∠B＝∠C.
又AO平分∠BAC，
∴∠BAO＝∠CAO.
在△ABO与△ACO中，
BAO＝∠CAO，
B＝∠C，
＝AO，
∴△ABO≌△ACO(AAS)．
∴OB＝OC.
9．证明：在△ABC和△DCB中，BAC＝∠CDB，
ACB＝∠DBC，
＝CB，
∴△ABC≌△DCB(AAS)．
∴AC＝DB.
又∵∠BAC＝∠CDB，
∴∠FAC＝∠FDB.
在△FAC和△FDB中，F＝∠F，
FAC＝∠FDB，
＝DB，
∴△FAC≌△FDB(AAS)．∴BF＝CF.。