第1讲：认识有理数

第一讲：认识有理数模块一 正数与负数在小学时我们学过像1、9、3.81、12.56、32、436这样的数，在小学时，老师给我们说，它们分别是整数、小数、分数，进入初中以后，我们把像1、9、3.81、12.56、32、436这样的数叫 ；如果我们把在小学学过的整数、小数、分数前面加一个“—”，比如像这些数，－3，-2，－1，－0.58，41-......，我们把它们叫 。

把下列具有相反意义的量有用线边起来：（1）收入20元 前进100米 后退100米 支出20元 高于海平面155米 亏损6万元 盈余6万元 低于海平面155米（2）零上10C ︒运出50筐梨高于海平面8848米 低于海平面392米运进80筐梨 零下5C ︒学习与归纳：①为了表示具有相反意义的量，我们通常把其中一个数前面加上 号，把另一 个数前面加上 号来进行区分；前面带 号的数叫做正数，前面 的 号经常可以省略不写，前面带 号的数叫做负数，前 面的 号不可以省略；② 既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界点； ③ 大于零， 小于零，正数 一切负数。

现在我们就把正数与负数的概念总结如下： 像5，2.1，21，⋅⋅⋅这样的数叫做正数，它们都比0大。

在正数前面加上“—”号的数叫做负数，如：13-，6.1-，32-，⋅⋅⋅ 0既不是正数，也不是负数。

典型例题讲解（理解新知识） 例1：填空：（1）如果收入50元记作50+元，那么支出50元，记作 ，80-元表示 。

（2）手表的指针顺时针旋转︒90记作︒-90，那么逆时针旋转︒60则记作 。

（3）如果比海平面高规定为正，那么珠穆朗玛峰海拨8848米记作 ，吐鲁番盆地海拨155-米表示 。

变式练习： 判断题：（1）前进100米和前进－30米是两个相反意义的量（ ） （2）前进100米和后退－100米是两个相反意义的量（ ）（3）零上10C ︒和支出20元是两个相的反意义的量（ ）解题方法点拨：（1）用正数和负数表示具有相反意义的量时，可以根据实际，规定哪种意义的量为正数，那么具有相反意义的量就为负数。

（2）一般情况下，正、负规定如下：模块二 有理数及其分类试一试：把下列各数分别填在相应的大括号内7， 25.9-， 109-， 274， 106， 15-， 157， 31.25， 301-， 5.3- 0 ， 2.1 ， 10% ， 314-。

正整数集合{ …}； 负整数集合{ …}； 整数集合{ …}； 正分数集合{ …}； 负分数集合{ …}； 有理数集合{ …}；学习归纳：①像1，2，3，4，5，…这样的数叫 ，像5-，4-，3-，2-，1-这样的 数叫 ； 0， 统称为整数； ②像21，0.8，45，327的数叫 ，像21-，—0.8，45-，327-的数叫 ； ， 统称为分数； ③ 和 统称为有理数；有理数常用的两种分类方式：注意：在所有含“正”、“负”字眼的集合中，都不能出现“0”．因为“0”既不是正数也不是负数．在有理数的分类中，未出现小学学过的“小数”“自然数”，是因为有 理数中的小数都可以化成分数的形式；而“自然数”又包含在整数的范围内．典型例题讲解（理解新知识）例2：把下列各数填在相应的括号内。

5-， +31， 1.62， 4， 0， 1-， 1， 61， 7-， 371-， 7， π 。

（1）正整数集合：（ ）（2）分数集合：（ ）（3）负数集合：（ ）（4）有理数集合：（ ）（5）非负数集合：（ ）解题方法点拨：认识有理数，我们只要根据概念直接理解就可以了，同时，我们也要注意以下几点： （1）0不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界，更是一个整数。

（2）正数集合包括正整数、正分数；整数集合包括正整数、0和负整数；π不是有理数，但14.3是有理数哦。

（3）通常把正数和0统称为非负数；负数和0统称为非正数；正整数和0统称为非负整数 （也叫做自然数）；负整数和0统称为非正整数。

（4）在对有理数进行分类时，必须按同一标准进行分类，不能混淆标准。

课堂练习1. _____________、_____________、_____________统称整数；分数有___________，___________； __________和__________统称有理数2. 珠穆朗玛峰高出海平面8.848km ，记为海拔＋8.848km ，那么吐鲁番盆地低于海平面155m ，应记为海拔_______________．3. 如果从成都出发向西走175km 记作＋175km ，那么－120km 表示__________________．4. 关于0的叙述错误的是（ ） A ．零大于所有的负数 B ．零小于所有的正数 C ．零是整数D ．零既是正数，也是负数5. －3不是（ ） A ．有理数B ．自然数C ．负整数D ．整数6. 负数是指（ ）A ．把某个数的前边加上“－”号B ．不大于0的数C ．除去正数的其它数D ．小于0的数 7. 非负数是（ ） A ．正数B ．零C ．正数和零D ．自然数8. 下列四句话中，错误的是（ ）A ．存在最小的自然数B ．存在最小的正有理数C ．不存在最大的正有理数D ．不存在最大的负有理数 9. 在0，21，－51，－8，+10，+19，+3，－3.4中整数的个数是（ ） A ．6B ．5C ．4D ．310. 关于0的一些说法正确的有__________________．（将序号填在横线上）① 0既不是正数也不是负数；② 0是最小的自然数；③ 0是最小的正数；④ 0是最 小的非负数；⑤ 0既不是奇数也不是偶数；⑥ 0是整数。

11. 最小的自然数是____________，最大的负整数是______________． 12．下列各关系中，不具有相反意义的量的是（ ）A 。

物价上涨3元与下降2元。

B 。

收入增加6.9%和减少3.4%。

C 。

升温5C ︒与降温5C ︒。

D 。

亏本10元与胜利10场。

13．零上C ︒5比零下C ︒3高 C ︒。

14．有七个数：5-，0，312，1.0-，34，41-，14.3，其中正数有 个，负整数有 个，非负数有 个。

15．地图上标有甲地海拔高度34米，乙地海拔高度23米，丙地海拔高度12-米，其中最低处为 地，最高处为 地，它们相差 米。

16. 某次考试成绩90分以上为优秀，以90分不标准把三名同学的成绩记为5+，0，10-， 那么这三名同学的实际成绩分别为 。

17. 写出3个大于1-的负分数 。

课后作业 A 组练习题1。

（1）如果零上5C ︒记作+5C ︒，那么零下3C ︒记作 ；（2）东、西为两个相反方向，如果4-米表示一个物体向西运动4米，那么+2米表示 ，物体原地不动记为 。

2．（1）如果节约了15万元记作15+万元，那么浪费了6万元，记作 。

（2）有理数中，最小的正整数为 ，最大的负整数为 。

3．（1）如果节约20千瓦时电记作20千瓦时，那么浪费10千瓦时电记作 ； （2）如果+20%表示增加20%，那么%6-表示 ； （3）如果50.20-元表示亏本20.50元，那么+100.27表示 。

4．下列说法中错误的是（ ）A ．正有理数是正整数和正分数的统称。

B ．偶数包括正偶数、负偶数和零。

C ．整数是正整数和负整数的统称。

D ．1-是最大的负整数。

5．在4个不同时刻，对同一水池中的水位进行测量，记录如下： 上升3厘米； 下降6厘米； 下降1厘米； 不升不降。

如果上升3厘米记为+3厘米，那么其余3个记录分别记为什么？6．把下列各数：%10- ， 43-， 031.0， 210， 7-， 0，542， 1312-， 9.6， 3.6-， 5+， 21-。

填入它所属于的集合内：正数集合：｛ ｝； 负数集合：｛ ｝； 整数集合：｛ ｝； 负分数集合：｛ ｝ 非正数集合：｛ ｝。

B 组练习题1．某日傍晚，黄山风景区的气温由中午的零上2C ︒下降了7C ︒，这天傍晚黄山风景区的气温是 。

2．冬季某天北京的气温是C ︒-10，长春气温是C ︒-18， 气温比 气温低。

3．下例说法：①正有理数和负有理数统称为有理数。

②存在最小的整数。

③存在最小的自然数。

④0表示什么也没有。

⑤正数、负数统称为有理数。

⑥0是最小的正数。

⑦0既不是整数也不是分数。

⑧0是最小的整数。

⑨最小的正整数是1。

正确的序号是： 。

4．按规律，写出后面的3个数，并指出第199个数是什么。

（1）1，31-，51，71-， ， ， ，第199个数是 。

（2）2，1-，3，1-，4，1-， ， ， ，第199个数是 。

5．一名足球守门员练习折返跑，从守门员位置出发，向前记作正数，返回记作负数。

他的记录如下（单位：米）：5+，3-，10+，8-，6-，12+，10-。

（1）守门员是否回到守门的位置？（2）守门员离开守门的位置最远是多少？（3）守门员离开守门位置达10米以上（包括10米）的次数是多少？6.请问：（1）该公司今年第一季度总收入与总支出各多少万元？ （2）如果收入用正数表示，则总收入与总支出应如何表示？ （3）该公司第一季度利润为多少万元？。