《离散数学》第七章 图的基本概念 讲稿

7.1 无向图及有向图

一、本节主要内容

无向图与有向图

顶点的度数

握手定理

简单图

完全图

子图

补图

二、教学内容

无序对: 两个元素组成的二元组（没有顺序），即

无论a,b是否相同，（a,b ）＝（b, a ）无序积: A与B 为两个集合，A&B={(x,y) |

x∈A∧y∈B}

例A={a1, a2}, B={b1, b2}

A&B={(a1 , b1 ), (a1 , b2 ) ,(a2 , b1 ) ,(a2 , b2 )}

A&A={(a1 , a1 ), (a1 , a2 ) ,(a2 , a2 )}

多重集合: 元素可以重复出现的集合

无向图与有向图

定义无向图G=, 其中

(1) V?≠为顶点集，元素称为顶点

(2) E为V&V的多重子集，其元素

称为无向边，简称边.

例如, G=如图所示,

其中V={v1, v2, …,v5},

E={(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)}

定义无向图G=, 其中

(1) V≠?为顶点集，元素称为顶点

(2) E为V&V的多重子集，其元素

称为无向边，简称边.

例如, G=如图所示,

其中V={v1, v2, …,v5},

E={(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)} 无向图与有向图(续)

定义有向图D=, 其中

(1) V同无向图的顶点集, 元素也称

为顶点

(2) E为V?V的多重子集，其元素

称为有向边，简称边.

用无向边代替D的所有有向边

所得到的无向图称作D的基图

右图是有向图，试写出它的V和E

无向图与有向图(续)

通常用G表示无向图, D表示有向图,

也常用G泛指无向图和有向图,

用ek表示无向边或有向边.

V(G), E(G), V(D), E(D): G和D的顶点集, 边集.

n 阶图: n个顶点的图

有限图: V, E都是有穷集合的图

零图: E=?

平凡图: 1 阶零图

顶点和边的关联与相邻

定义设ek=(vi, vj)是无向图G=的一条边, 称vi, vj为ek的端点, ek与vi ( vj)关联.

若vi ≠ vj, 则称ek与vi ( vj)的关联次数为1;

若vi = vj, 则称ek为环, 此时称ek与vi 的关联次数为2;

若vi不是ek端点, 则称ek与vi 的关联次数为0.

无边关联的顶点称作孤立点.

定义设无向图G=, vi,vj∈V,

ek,el∈E,

若(vi,vj) ∈E, 则称vi,vj相邻;

若ek,el至少有一个公共端点, 则称ek,el相邻.

对有向图有类似定义. 设ek=?vi,vj?是有向图的一条边, vi,vj是ek端点,又称vi

是ek的始点, vj是ek的终点,

vi邻接到vj, vj邻接于vi.

邻域和关联集

设无向图G , v ∈V(G)

v 的邻域 N(v)={u|u ∈V(G)∧(u,v)∈E(G)∧u ≠v} v 的闭邻域 = N(v)∪{v} v 的关联集 I(v)={e|e ∈E(G)∧e 与v 关联} 设有向图D, v ∈V(D)

v 的后继元集 ={u|u ∈V(D)∧∈E(G)∧u ≠v}

v 的先驱元集 ={u|u ∈V(D)∧∈E(G)∧u ≠v}

v 的邻域

v 的闭邻域

顶点的度数

设G=为无向图, v ∈V,

v 的度数(度) d(v): v 作为边的端点的次数之和 悬挂顶点: 度数为1的顶点 悬挂边: 与悬挂顶点关联的边 G 的最大度?(G)=max{d(v)| v ∈V} G 的最小度δ(G)=min{d(v)| v ∈V} 例如 d(v5)=3, d(v2)=4, d(v1)=4, ?(G)=4, δ(G)=1,

v4是悬挂顶点, e7是悬挂边, e1是环

顶点的度数(续)

设D=为有向图, v ∈V,

v 的出度d+(v): v 作为边的始点的次数之和 v 的入度d -(v): v 作为边的终点的次数之和 v 的度数(度) d(v): v 作为边的端点次数之和 d(v)= d+(v)+ d-(v)

D 的最大出度?+(D), 最小出度δ+(D) 最大入度?-(D), 最小入度δ-(D) 最大度?(D), 最小度δ(D) 例如 d+(a)=4, d-(a)=1, d(a)=5, d+(b)=0, d-(b)=3, d(b)=3,

?+(D)=4, δ+(D)=0, ?-(D)=3, δ-(D)=1, ?(D)=5, δ(D)=3. 图论基本定理——握手定理

定理 任意无向图和有向图的所有顶点度数之和都等于边数的2倍, 并且有向图的所有顶点入度之和等于出度之和等于边数.

)(v N )(v D +

Γ)(v D -

Γ)()()(v v v N D D D -

+ΓΓ= }{)()(v v N v N D D =

证 G 中每条边（包括环）均有两个端点，所以在计算G 中各顶点度数之和时，每条边均提供2度，m 条边共提供2m 度.

有向图的每条边提供一个入度和一个出度, 故所有顶点入度之和等于出度之和等于边数. 握手定理(续)

推论 在任何无向图和有向图中，度为奇数的顶点个数必为偶数. 证 设G=为任意图，令 V1={v | v ∈V ∧d(v)为奇数} V2={v | v ∈V ∧d(v)为偶数}

则V1∪V2=V, V1∩V2=?，由握手定理可知

∑∑∑∈∈∈+==2

1

)()()(2V v V v V

v v d v d v d m

由于2m,

∑∈2

)(V v v d 均为偶数，所以 ∑∈1

)(V v v d 也为偶数, 但因为

V1中顶点度数都为奇数，所以|V1|必为偶数.

图的度数列

设无向图G 的顶点集V={v1, v2, …, vn} G 的度数序列: d(v1), d(v2), …, d(vn) 如右图度数序列:4,4,2,1,3

设有向图D 的顶点集V={v1, v2, …, vn} D 的度数序列: d(v1), d(v2), …, d(vn) D 的出度序列: d+(v1), d+(v2), …, d+(vn) D 的入度序列: d -(v1), d -(v2), …, d -(vn) 如右图度数序列:5,3,3,3

出度序列:4,0,2,1 入度序列:1,3,1,2 握手定理的应用

例1 (3,3,3,4), (2,3,4,6,8)能成为图的度数序列吗? 解 不可能. 它们都有奇数个奇数.

例2 已知图G 有10条边, 4个3度顶点, 其余顶点的度数均小于等于2, 问G 至少有多少个顶点? 解 设G 有n 个顶点. 由握手定理, 4?3+2?(n-4)≥2?10 解得 n ≥8

握手定理的应用(续)

例3 给定下列各序列,哪组可以构成无向图的度数序列 (2,2,2,2,2) (1,1,2,2,3) (1,1,2,2,2) (1,3,4,4,5)

多重图与简单图

定义(1) 在无向图中,如果有2条或2条以上的边关联同一对顶点, 则称这些边为平行边, 平行边的条数称为重数.

(2)在有向图中,如果有2条或2条以上的边具有相同的始点和终点, 则称这些边为有向平行边, 简称平行边, 平行边的条数称为重数.

(3) 含平行边的图称为多重图.

(4) 既无平行边也无环的图称为简单图.

注意:简单图是极其重要的概念

多重图与简单图(续)

例如

e5和e6 是平行边重数为2不是简单图e2和e3 是平行边,重数为2 e6和e7

不是平行边不是简单图

图的同构

定义设G1=, G2=为两个无向图(有

向图), 若存在双射函数f: V1→V2, 使得对于任意的

vi,vj∈V1,

(vi,vj)∈E1（∈E1）

当且仅当

(f(vi),f(vj))∈E2（∈E2），并且,

(vi,vj)（）与(f(vi),f(vj))（）

的重数相同，则称G1与G2是同构的，记作G1?G2.

图的同构(续)

几点说明：

图之间的同构关系具有自反性、对称性和传递性.

能找到多条同构的必要条件, 但它们都不是充分条件:

①边数相同，顶点数相同

②度数列相同(不计度数的顺序)

③对应顶点的关联集及邻域的元素个数相同，等等

若破坏必要条件，则两图不同构

图的同构(续)

例1 试画出4阶3条边的所有非同构的无向简单图

例2 判断下述每一对图是否同构:

(1)

度数列不同不同构

例2 (续)

(2)

不同构入(出)度列不同

度数列相同但不同构为什么?

完全图与正则图

n阶无向完全图Kn: 每个顶点都与其余顶点相邻的n阶无向简单图.

简单性质: 边数m=n(n-1)/2, ?=δ=n-1

n阶有向完全图: 每对顶点之间均有两条方向相反的有向边的n阶有向简单图.

简单性质: 边数m=n(n-1), ?=δ=2(n-1),

?+=δ+=?-=δ-=n-1

n阶k正则图: ?=δ=k 的n阶无向简单图

简单性质: 边数m=nk/2

完全图与正则图(续)

(1) 为5阶无向完全图K5

(2) 为3阶有向完全图

(3) 为彼得森图, 它是3 正则图

子图

定义设G=, G '=是2个图

(1) 若V '?V且E '?E, 则称G '为G的子图, G为G '的

母图, 记作G '?G

(2)若G '?G且G '≠ G（即V '?V 或E '?E），称G '为G的真子图

(3) 若G '?G 且V '=V，则称G '为G的生成子图

(4) 设V '?V 且V '≠?, 以V '为顶点集, 以两端点都在

V '中的所有边为边集的G的子图称作V '的导

出子图，记作G[V ']

(5) 设E '?E且E '≠?, 以E '为边集, 以E '中边关联的

所有顶点为顶点集的G的子图称作E '的导出子

图, 记作G[E ']

子图(续)

例画出K4的所有非同构的生成子图

补图

定义设G=为n阶无向简单图，以V为顶点集,所有使G成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集的图，称为G的补图，记作G?G.

若G ? G , 则称G 是自补图.

例 画出5阶7条边的所有非同构的无向简单图

首先，画出5阶3条边的所有非同构的无向简单图 然后，画出各自的补图

7.2 通路、回路与图的连通性

一、本节主要内容

简单通(回)路, 初级通(回)路, 复杂通(回)路 无向连通图, 连通分支

弱连通图, 单向连通图, 强连通图 点割集与割点

边割集与割边(桥) 二、教学内容 通路与回路

定义 给定图G=（无向或有向的），设G 中顶点与边的交替序列Γ=v0e1v1e2…elvl ，

(1) 若?i(1≤i ≤l), vi -1 和 vi 是ei 的端点(对于有向图, 要求vi -1是始点, vi 是终点), 则称Γ为通路, v0是通路的起点, vl 是通路的终点, l 为通路的长度. 又若v0=vl ，则称Γ为回路. (2) 若通路(回路)中所有顶点(对于回路, 除v0=vl)各异，则称为初级通路(初级回路).初级通路又称作路径, 初级回路又称作圈.

(3) 若通路(回路)中所有边各异, 则称为简单通路(简单回路), 否则称为复杂通路(复杂回路). 通路与回路(续) 说明:

在无向图中，环是长度为1的圈, 两条平行边构成长度为2的圈. 在有向图中，环是长度为1的圈, 两条方向相反边构成长度为2的圈. 在无向简单图中, 所有圈的长度≥3; 在有向简单图中, 所有圈的长度≥2. 通路与回路(续)

定理 在n 阶图G 中，若从顶点vi 到vj （vi ≠vj ）存在通 路，则从vi 到vj 存在长度小于等于n -1的通路.

推论 在n 阶图G 中，若从顶点vi 到vj （vi ≠vj ）存在通

121212G G G G G G ??例设与均为无向简单图，当且仅当

路，则从vi到vj存在长度小于等于n-1的初级通路.

定理在一个n阶图G中，若存在vi到自身的回路，则

一定存在vi到自身长度小于等于n的回路.

推论在一个n阶图G中，若存在vi到自身的简单回

路，则一定存在长度小于等于n的初级回路.

无向图的连通性

设无向图G=,

u与v连通: 若u与v之间有通路. 规定u与自身总连通.

连通关系R={| u,v ∈V且u~v}是V上的等价关系

连通图: 平凡图, 或者任意两点都连通的图

连通分支: V关于R的等价类的导出子图

设V/R={V1,V2,…,Vk}, G[V1], G[V2], …,G[Vk]是G的连通分支, 其个数记作p(G)=k.

G是连通图? p(G)=1

短程线与距离

u与v之间的短程线: u与v之间长度最短的通路

(u与v连通)

u与v之间的距离d(u,v): u与v之间短程线的长度

若u与v不连通, 规定d(u,v)=∞.

性质：

d(u,v)≥0, 且d(u,v)=0 ? u=v

d(u,v)=d(v,u)（对称性）

d(u,v)+d(v,w)≥d(u,w) （三角不等式)

点割集

记G-v: 从G中删除v及关联的边

G-V': 从G中删除V'中所有的顶点及关联的边

G-e : 从G中删除e

G-E': 从G中删除E'中所有边

定义设无向图G=, 如果存在顶点子集V'?V, 使p(G-V')>p(G)，而且删除V'的任何真子集V''后（? V''?V'），p(G-V'')=p(G), 则称V'为G的点割集. 若{v}为点割集, 则称v为割点.

点割集(续)

例{v1,v4}, {v6}是点割集, v6是割点.

{v2,v5}是点割集吗？

边割集

定义设无向图G=, E'?E, 若p(G-E')>p(G)且?E''?E',

p(G-E'')=p(G), 则称E'为G的边割集. 若{e}为边割集, 则称e

为割边或桥.

在上一页的图中，{e1,e2}，{e1,e3,e5,e6}，{e8}等是边割集，

e8是桥，{e7,e9,e5,e6}是边割集吗？

几点说明：

Kn无点割集

n阶零图既无点割集，也无边割集.

若G连通，E'为边割集，则p(G-E')=2

若G连通，V'为点割集，则p(G-V')≥2

有向图的连通性

设有向图D=

u可达v: u到v有通路. 规定u到自身总是可达的.

可达具有自反性和传递性

D弱连通(连通): 基图为无向连通图

D单向连通: ?u,v∈V，u可达v 或v可达u

D强连通: ?u,v∈V，u与v相互可达

强连通?单向连通?弱连通

有向图的连通性(续)

例下图(1)强连通, (2)单连通, (3) 弱连通

有向图的短程线与距离

u到v的短程线: u到v长度最短的通路(u可达v)

u与v之间的距离d: u到v的短程线的长度

若u不可达v, 规定d=∞.

性质：

d≥0, 且d=0 ? u=v

d+d ≥d

注意: 没有对称性

7.3 图的矩阵表示

一、本节主要内容

无向图的关联矩阵

有向图的关联矩阵

有向图的邻接矩阵

有向图的可达矩阵

二、教学内容

无向图的关联矩阵

定义设无向图G=, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令mij为vi与ej的关联次数，称(mij)n?m为G的关联矩阵，记为M(G).

定义设无向图G=, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令mij为vi与ej的关联次数，称(mij)n?m为G的关联矩阵，记为M(G).

性质

关联次数为可能取值为0，1，2

有向图的关联矩阵

定义 设无环有向图D=, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令

则称(mij)n ?m 为D 的关联矩阵，记为M(D). 性质:

有向图的邻接矩阵

定义 设有向图D=, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令 )

1(ij a 为顶点vi 邻接到

顶点vj 边的条数，称()

1(ij a )n ?n 为D 的邻接矩阵, 记作A(D), 简记为A. 111000

1110()100120

0000M G ?????

?=??

??

??

110

0010111()000010

1110M D -????--?

?=??

-??

-??

平行边的列相同

)4(2)3(),...,2,1()()2(),...,2,1(2)

1(,1

1m

m n i v d m m j m j

i ij

i

m

j ij

n

i ij =====∑∑∑==(1)

1(1)

1(1)(),1,2,...,(2)(),1,2,...,n

ij i j n ij j

i a d v

i n a d v j n

+=-

=====∑

∑

性质

D 中的通路及回路数

定理 设A 为n 阶有向图D 的邻接矩阵, 则Al(l ≥1)中 元素

)

(l ij a 为D 中vi 到vj 长度为 l 的通路数， )

(l ii a 为vi 到自身长度为 l 的回路数，

∑∑==n i n

j l ij

a

11

)( 为D 中长度为 l 的通路总数，

∑=n

i l ii

a

1

)( 为D 中长度为 l 的回路总数.

D 中的通路及回路数(续)

推论 设Bl=A+A2+…+Al(l ≥1), 则Bl 中元素

为D 中长度小于或等于l 的通路数， 为D 中长度小于或等于l 的回路数. 例 有向图D 如图所示, 求A, A2, A3, A4, 并回答问题：

(1) D 中长度为1, 2, 3, 4的通路各有多 少条？其中回路分别为多少条？ (2) D 中长度小于或等于4的通路为多 少条？其中有多少条回路？

12100

010()00010

010A D ?????

?=??

??

??

有向图的可达矩阵

定义 设D=为有向图, V={v1, v2, …, vn}, 令

称(pij)n ?n 为D 的可达矩阵, 记作P(D), 简记为P. 性质:

P(D)主对角线上的元素全为1.

D 强连通当且仅当P(D)的元素全为1. 有向图的可达矩阵(续)

例 右图所示的有向图D 的可达矩阵为

7.4 最短路径及关键路径

一、本节主要内容 最短路 关键路线

二、教学内容

对于有向图或无向图G 的每条边，附加一个实数w(e)，则称w(e)为边e 上的权. G 连同附加在各边上的实数，称为带权图.

设带权图G=,G 中每条边的权都大于等于0.u,v 为G 中任意两个顶点，从u 到v 的所有通

?

?

??

????????=1101110111110001P

路中带权最小的通路称为u 到v 的最短路径.

求给定两个顶点之间的最短路径，称为最短路径问题. 算法：Dijkstra(标号法)

{}()*()*1()*

()()1()*

1.2./5.i r r i i i i i

r i r r j j j j j r i r v l v v v l v r p l l v v v l v r l v v p r T V r ∞

==-j ij r r 如果顶点与v 不相邻，则w =为顶点到顶点最短路径的权，如果顶点获得了标号，则称顶点在第步获得了标号（永久性标号）

3.为顶点到顶点最短路径的权的上界，如果顶点获得了标号，则称顶点在第步获得了t 标号（临时性标号）

4.P 已经获得标号为第步通过集P 为第步未通过集

例：求图中v0与v5的最短路径

(0)*

000(0)0(1)*(0)(1)*1010100,{},T {},1,2,3,4,5{},min {},T T {}(2)T j j

j i j i v T l P l w j l l l P P t ∈=======?=-0012345j i i i i 第步(r=0)：v 获得p 标号v v ，v ，v ，v ，v ，

v 获得t 标号第1步(r=1)：(1)求下一个p 标号的顶点，将标在顶点v 处，

表明顶点v 获得p 标号.修改通过集和未通过集：v v 修改中各顶点的标1

(1)

(0)(1)*(2)*(1)(2)*

2121(2)(1)(2)*2min{,}

{},min {},T T {}

(2)T min{,}j j

j i

ij i j i

v T j j i

ij l

l l

w l l l P P t l l l w ∈=+==?=-=+i i i i 号：第2步(r=2)：(1)求下一个p 标号的顶点，将标在顶点v 处，表明顶点v 获得p 标号.修改通过集和未通过集：v v 修改中各顶点的标号：

2.关键路径问题

,(){/,}(){/,}D D D V E v V v x x V v x E v v x x V x v E v +=<>∈Γ=∈∧<>∈Γ=∈∧<>∈－设为一个有向图，，则为的后继元集为的先继元集

定义：PERT 图

设D=是n 阶有向带权图

1. D 是简单图

2. D 中无环路

3. 有一个顶点出度为0，称为发点；有一个顶点入度为0，称为收点

4. 记边的权为wij,它常常表示时间

1. 最早完成时间：自发点v1开始，沿最长路径（权）到达vi 所需时间，称为vi 的最早完成时间，记为TE （vi ） ，i=1,2,…,n

j 1i i j ij v ()

234567TE(v )=0,v (1)TE(v )={(v )+w },1,2,,max TE(v )=max{0+1}=1;TE(v )=max{0+2,1+0}=2;TE(v )=max{0+3,2+2}=4;TE(v )=max{1+3,4+4}=8;TE(v )=max{2+4,8+1}=9;TE(v )=max{1+4,2+D i v i TE i n

-

∈Γ≠=显然的最早完成时间按如下公式计算：81378

4}=6;TE(v )=max{6+6,9+1}=12;

v v v v 关键路径：从发点到收点的一条最长路径，

2. 最晚完成时间：在保证收点vn 的最早完成时间不增加的条件下，自发点v1最迟到达vi 所需时间，称为vi 的最晚完成时间，记为TL （vi ）.

j n n i i j ij v ()

876543TL(v )=TL(v ),v ()TL(v )={(v )-w },1,2,,min TL(v )=12;TL(v )=min{12-6}=6;

TL(v )=min{12-1}=11;TL(v )=min{11-1}=10;TL(v )=min{10-4}=6;TL(v )=min{6-2,11-4,6-4}=2;TL(D i v i n TL i n

∈Γ≠=＋

显然的最晚完成时间按如下公式计算：21v )=min{2-0,10-3,6-4}=2;TL(v )=min{2-1,2-2,6-3}=0;

3. 缓冲时间：TS(vi)=TL(vi)- TE(vi) TS(v1)= TS(v3)= TS(v7)= TS(v8)=0 TS(v2)=2-1=1; TS(v4)=6-4=2; TS(v5)=10-8=2; TS(v6)=11-9=2