电压稳定分析 奇异值分解详解
电力系统中的电压稳定性分析
电力系统中的电压稳定性分析在现代社会，电力系统的稳定运行对于我们的日常生活和工业生产至关重要。
其中，电压稳定性是电力系统运行中的一个关键问题。
理解和分析电力系统中的电压稳定性，对于保障电力供应的质量和可靠性具有重要意义。
电压，简单来说，就是推动电荷在电路中流动的“压力”。
而电压稳定性，指的是电力系统在给定的运行条件下，经受一定的扰动后，各母线电压能够维持在可接受的范围内，不发生电压崩溃的能力。
那么，为什么要关注电压稳定性呢？想象一下，如果电压不稳定，家里的电灯可能会忽明忽暗，电器设备可能会无法正常工作，甚至损坏。
对于工业生产来说，电压不稳定可能导致生产线停工，造成巨大的经济损失。
电力系统中的电压稳定性受到多种因素的影响。
首先是电源的分布和特性。
如果电源分布不合理，或者电源本身的输出特性不稳定，就容易导致电压波动。
比如说，在一个区域内，如果主要依靠远距离输电来供电，那么输电线路上的损耗和电压降就可能较大，从而影响到接收端的电压稳定性。
其次，负荷的变化也是一个重要因素。
当负荷突然增加时，如果电力系统不能及时提供足够的电力，电压就会下降。
相反，当负荷突然减少时，电压可能会升高。
特别是一些大容量的冲击性负荷，如大型电动机的启动，会对电压稳定性产生较大的影响。
再者，电力系统的网络结构也对电压稳定性起着关键作用。
线路的阻抗、变压器的参数等都会影响电压的分布和传输。
如果网络结构不合理，存在薄弱环节，就容易在某些情况下出现电压不稳定的问题。
另外，无功功率的平衡也是影响电压稳定性的重要因素。
无功功率不像有功功率那样直接用于做功，但它对于维持电压的稳定至关重要。
如果无功功率供应不足，电压就会下降；反之，如果无功功率过剩，电压就会升高。
为了分析电力系统的电压稳定性，工程师们采用了各种方法和工具。
其中，静态电压稳定性分析方法是一种常用的手段。
这种方法通过计算电力系统在给定运行状态下的一些指标，如电压灵敏度、负荷裕度等，来评估系统的电压稳定性。
负荷特性对基于奇异值分解法分析静态电压稳定的影响
，
Ｊ Ｑ ｖ
㈩
式中： △ Ｐ 、 △ Ｑ分别为节点有功微增量变化和无功微增量变化 ； Ａ Ｕ 、 Ａ ０ 分别为节点 电压 幅值微增量和 电
压 角度微 增量 变化 。 式（ １ ）是 线性化 的潮流 方程 ， 完整 的雅 克 比矩 阵可 以写成
‘ ， ： Ｊ
∞
Ｊ ｏ Ｕ １
一
步证明采用恒功率模型分析电压稳定得出的结论偏 于保守 。通过对 比电动机模型与恒功率模型对应
的系统雅克比矩 阵最小奇异值 ， 得到电动机模型 比恒功率模型更不利于系统的电压稳定 。
１ 奇异 值 分解 法 用 于 电压 稳定 性 分 析
潮流雅克 比矩阵的最小奇异值被作为接近静态电压稳定极 限的一个指标 ， 最小奇异值大小用来表
第３ ３卷第 １ ／ ２期
２ ０ １ ３年 ４月
东
北
电
力
大
学
学
报
Ｖ０ ｌ ＿ ３ ３． Ｎｏ ． １ ／ ２
Ａｐ ｒ ．， ２ ０１ ３
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ Ｏ ｆ Ｎ ｏ ｒ ｔ ｈ ｅ ａ ｓ ｔ Ｄｉ ａ ｉｉ ｎ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
或是薄弱 区域 的划分也会有一定影 响。
关 键
词： 奇异值分解法 ； 负荷 特性 ； 静态 电压稳定
文献标识码 ： Ａ
中图分类号 ： Ｔ Ｍ ７ １ ２
随着 电力 系统 规模 不 断扩 大 ， 用 电需求 的快 速攀 升 ， 迫 使 系统运 行 在 临 界点 附 近 ， 电压 稳 定 问题 日
会有所变化 。分析及 Ｉ Ｅ Ｅ Ｅ一１ ４节点 系统计算 表明 ， 负荷模型 是常用 的 Ｚ Ｉ Ｐ模 型时 ， 潮 流雅 可 比矩 阵最 小特征值相 比于恒功率模 型会有所 增大 ； 负荷模 型是 电动 机类 电压敏感 负荷 ， 在 电压下 降到一 定程度 时， 潮流雅克 比矩 阵最小特征值相 比于恒功率模型会有所减小 ； 且采用不 同的负荷模 型对薄弱节点识别
奇异值分解的稳定性分析
奇异值分解是线性代数中一个非常重要的概念，它在数据降维、特征提取、信号处理和推荐系统等领域有着广泛的应用。
在实际应用中，奇异值分解的稳定性是一个非常重要的问题，影响着模型的准确性和鲁棒性。
在本文中，我们将对奇异值分解的稳定性进行深入分析。
奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积的过程，即A=UΣV^T，其中A是一个m×n的矩阵，U是一个m×m 的正交矩阵，Σ是一个m×n的对角矩阵，V是一个n×n的正交矩阵。
这个分解的主要优点是能够将原始矩阵A分解成由奇异值和奇异向量构成的形式，从而能够更好地理解和分析原始矩阵的性质。
首先，我们来讨论奇异值分解的稳定性。
在实际应用中，我们经常会遇到数据的噪声和扰动，这些噪声和扰动会对奇异值分解的结果产生影响，从而影响模型的准确性。
因此，我们需要分析奇异值分解在面对噪声和扰动时的稳定性。
其次，我们需要考虑奇异值分解的数值稳定性。
在实际计算中，由于计算机的精度限制和数值计算误差，奇异值分解的结果可能会产生较大的误差。
因此，我们需要对奇异值分解的数值稳定性进行分析，从而保证计算结果的准确性。
在分析奇异值分解的稳定性时，我们需要考虑以下几个因素。
首先，我们需要考虑输入矩阵的条件数。
输入矩阵的条件数越大，奇异值分解的稳定性就越差，因为输入矩阵的条件数反映了矩阵的奇异值之间的差异程度，条件数越大，奇异值之间的差异程度就越大，奇异值分解的结果就越不稳定。
因此，我们需要在实际应用中尽量避免输入矩阵的条件数过大。
其次，我们需要考虑奇异值分解的截断误差。
在实际计算中，由于计算机的精度限制，我们无法精确地计算所有的奇异值和奇异向量，因此需要对奇异值进行截断。
这就会产生截断误差，从而影响奇异值分解的稳定性。
因此，我们需要对截断误差进行分析，从而选择合适的截断方法，保证奇异值分解的稳定性。
电力系统中电压稳定性分析方法
电力系统中电压稳定性分析方法在现代社会中，电力系统的稳定运行对于保障人们的生产生活至关重要。
而电压稳定性作为电力系统稳定性的一个重要方面，直接影响着电力设备的正常工作以及电能的质量。
因此，深入研究电力系统中电压稳定性的分析方法具有极其重要的意义。
要理解电压稳定性，首先得明白电压是什么。
简单来说，电压就是推动电荷流动的“力量”。
在电力系统中，电压需要保持在一个合适的范围内，才能让各种电器设备正常运转。
如果电压出现大幅度的波动或者降低到一定程度，就可能导致设备故障、停电等问题，这就是电压不稳定的表现。
那么，如何分析电力系统中的电压稳定性呢？这可不是一件简单的事情，需要综合运用多种方法。
一种常见的方法是静态分析方法。
静态分析主要通过研究电力系统在某一特定运行状态下的潮流方程来评估电压稳定性。
潮流计算就是根据给定的网络结构、参数和负荷情况，计算电力系统中各节点的电压、电流和功率分布。
通过对潮流计算结果的分析，可以得到系统中各节点的电压水平以及功率传输的情况。
如果在增加负荷的过程中，某些节点的电压持续下降，甚至达到崩溃的临界值，那么就说明系统在该运行状态下电压稳定性较差。
静态分析方法中，还有一个重要的概念叫做“PV 曲线”。
它描绘了节点电压随着注入有功功率的变化情况。
通过观察 PV 曲线的形状和特征，可以直观地了解系统的电压稳定性。
当 PV 曲线的斜率逐渐减小并趋近于零时，就意味着系统接近电压崩溃的临界点。
除了静态分析，动态分析方法在电压稳定性研究中也发挥着重要作用。
动态分析考虑了系统中各种动态元件的特性，比如发电机的励磁调节系统、负荷的动态特性等。
与静态分析不同，动态分析能够捕捉到系统在受到扰动后的暂态过程中的电压变化情况。
在动态分析中，常用的工具包括时域仿真和小干扰稳定性分析。
时域仿真可以详细地模拟系统在各种故障或扰动下的动态响应，通过观察电压的变化轨迹来判断系统的稳定性。
小干扰稳定性分析则是通过建立系统的线性化模型，分析系统在受到小扰动后的稳定性。
直流可调稳压电源的电压稳定性与波动度分析与测试方法
直流可调稳压电源的电压稳定性与波动度分析与测试方法导言：直流可调稳压电源是一种常见的电子设备，用于提供稳定的直流电压供应。
在许多领域，如电子实验、通信、工业自动化等，对电源的稳定性和波动度有着严格的要求。
本文将探讨直流可调稳压电源的电压稳定性和波动度的分析方法，以及相应的测试方法。
1. 电压稳定性的分析直流可调稳压电源的电压稳定性是指其在不同负载情况下输出电压的稳定程度。
在实际应用中，我们通常关注电源的负载调整能力和负载响应速度，来评估电源的电压稳定性。
1.1 负载调整能力负载调整能力是指电源在负载变化时保持输出电压稳定的能力。
一般来说，电源的负载调整能力越好，电压稳定性越高。
在测试电源的负载调整能力时，可以通过改变负载的电流来模拟实际负载的变化，并观察电源输出电压的变化情况。
1.2 负载响应速度负载响应速度是指电源在负载变化时输出电压恢复到稳定状态所需要的时间。
较好的电源应具备较快的负载响应速度，以保持负载变化时电压的稳定性。
在实际测试中，常常通过给电源施加一个短暂的负载变化，并观察电源输出电压的恢复时间来评估负载响应速度。
2. 波动度的分析直流可调稳压电源的波动度反映了其输出电压的纹波特性。
纹波是指电源输出电压中存在的交流成分，通常以直流电压的百分比来表示。
波动度越小，表示电源输出电压的纹波越小，稳定性越好。
2.1 波动度的计算方法波动度通常以百分比的方式表示。
计算公式如下：波动度（%）= （Vmax - Vmin）/ Vavg × 100%其中，Vmax为输出电压的最大值，Vmin为输出电压的最小值，Vavg为输出电压的平均值。
通过此公式可以计算出电源的波动度，并据此评估电源的输出电压稳定性。
2.2 波动度的测试方法测量直流可调稳压电源的波动度通常使用示波器和负载。
具体测试步骤如下：步骤一：将示波器与电源连接，设置示波器为AC耦合模式。
步骤二：设置示波器的垂直、水平、触发等参数，以确保能够正确观测到输出电压的纹波。
电压稳定性分析
电力系统电压稳定性分析方法报告关于电力系统电压稳定性的分析方法大致可以分为两类：静态分析法和动态分析法，其中电压稳定的静态分析方法的核心是电力系统潮流方程，本质上是研究潮流方程是否存在可行解的问题，动态分析方法主要电压崩溃的机理和电力系统稳定性的本质的方面进行分析的，以便能提出有效措施,避免电压崩溃事故的发生。
下面将分别介绍电力系统电压稳定的静态分析方法和动态分析方法。
1、静态稳定分析方法电压稳定的静态分析方法主要包括连续潮流法、非线性规划法、奇异值分解法、特征值分析法、灵敏度分析法等。
（1）连续潮流法[1] [2] [3]常规潮流计算方法可以大致画出P-Q曲线的上半支和Q-V曲线的右半支，可以确定网络中不同点的电压稳定水平，但是其在电压崩溃点无解和在电压崩溃点附近不能可靠收敛，然而对于调度人员来说，最实用的电压稳定安全指标是功率裕度指标，即电压失稳临界点，因此，文献[1][2][3]中给出另一种潮流技术方法—连续潮流法。
连续潮流法是求取PV曲线的有力工具，它通过不断更新潮流方程，使得所以可能的负荷状态下，无论在稳定平衡点还是不稳定平衡点潮流方程都有解，克服了接近稳定极限运行状态时的潮流的收敛性差的问题。
连续潮流法具有较强的鲁棒性和灵活性，是解决临界点附近的收敛问题的理想方法。
但由于该方法计算量大，计算时间长，因此提出将常规潮流的计算方法和连续潮流法结合起来，以达到快速、准确的目的。
具体做法是先从基本工况开始，逐步增加负荷，采用常规潮流方法如牛顿-拉夫逊法或快速解耦法（PQ分解法）等，计算潮流解，直至计算不收敛点。
然后，从该点后采用连续潮流法求解潮流。
（2）非线性规划法[1]汤涌.电力系统电压稳定性分析.北京：科学出版社，2011[2]周双喜，朱凌志，郭锡玖，王小海.电力系统电压稳定性及其控制.北京：中国电力出版社，2003[3]Venkataramana Ajjarapu,Colin Christy.THE CONTINUATION POWER FLOW ：A TOOL FOR SIEADY STATE VOLTAGE STABILITY ANALYSIS. Transactions on Power Systems，1992，7（1）：416-423[2]配电网中对电压稳定性影响较大的负荷主要是有载调压变压器和补偿电容。
(完整版)电压稳定性的分析方法
电压稳定性的分析方法经过对上章节建立的数学模型的讨论可以得到，静态分析法和动态分析法是目前广泛运用于分析电压稳定性的两种分析方法，前者主要建立在稳态潮流方程的基础之上；后者主要建立在非线性微分方程的基础之上。
3.1 静态电压稳定性的分析方法静态问题一般是指系统电压失稳的问题，很早以前，研究人员认为导致这种问题的原因是整个系统的负载过大，在基础学科不断的发展之下，科研工作者将数学工具中的代数方程应用到电压稳定的研究中，其中潮流多值法和雅可比矩阵奇异法，延拓潮流法以及最大传输功率法为最常用的数学计算工具。
研究人员对于静态问题的研究，通常是将电力系统建立在传输功率达到最大时的稳定极限电压的前提下，之后采用数学计算方法（即稳态的潮流方程）对电力系统中稳定电压的临界点问题进行分析。
下面简要地叙述静态分析方法中比较具有代表性、使用广泛的方法。
3.1.1最大功率法有的观点认为系统有不正常现象一般都是由于需要的负荷达到或越过了电力网络传输功率最大值的时候引起的，而该观点是以电力系统中静态电压稳定极限状态下传输功率达到极限值（即最大功率法）作为基本依据。
这种代数计算方法又是以电力系统中每一负荷节点的有功功率准则，无功功率准则和整体负荷的复功率的叠加之和准则，另外这种依据也是作为求解电力系统稳态电压临界值的常用方法。
3.1.2灵敏度分析法对于系统的稳定性的判定，我们可以通过分析输出变化对周围条件变化的灵敏度，利用系统参数与周围条件变化的具体关系进行分析研究的方法。
灵敏度分析法因其计算简便，工作量小，概念明确等优点而被广泛运用。
其中G L dE dV /、L L dQ dV /、L G dQ dQ /、L G dV dQ /为比较常见的灵敏度计算判别公式。
式中：L V ——负荷节点；L Q ——无功功率注入量；G E 、G Q ——无功源节点的电压；Q ——为电力系统中无功功率和负荷无功需求之间的差值。
在一般常用的简单系统中，每种判断方法都是等价的，并且可以依据系统功率极限值给出准确的判断结果。
电力系统中的电压稳定性分析
电力系统中的电压稳定性分析电力系统是由发电机、变电所、输电线路、负荷等组成的一个复杂的能源系统。
在电力系统中，保持稳定的电压是非常重要的。
因为电压的不稳定将会导致电力设备的损坏，甚至失去供电，引发重大事故。
因此，电压稳定性分析是电力系统调度和运行的重要问题之一。
一、电压稳定性的基本概念电压稳定性指电力系统的电压波动或变化的程度，通常以电压的净波动指数（NSI）描述。
NSI是电压波动的数量与系统额定电压的比值。
当NSI大于5%时，说明电网电压变化不稳定。
二、电压稳定性的原因电力系统的电压稳定性是由许多因素决定的，其中最主要的因素是电力负荷，其次是输电线路和发电机。
1. 电力负荷：电力系统中的负荷是不断变化的。
当负荷超过一定范围时，电压将出现波动甚至暂时停电，造成电网不稳定。
2. 输电线路：输电线路是电力系统中电能输送的重要部分。
输电线路的阻抗会引起电压波动。
3. 发电机：发电机的负载变化和电压调节引起的电压波动是影响电力系统电压稳定性的两个重要因素。
三、电压稳定性的分析方法电压稳定性的分析方法主要包括静态分析和动态分析两种。
1. 静态分析：通过计算得出电力系统的状态，对电网的电压稳定性进行分析。
静态分析方法主要有潮流计算、潮流灵敏度分析、潮流约束方法等。
2. 动态分析：电压稳定性的动态分析是指对电力系统的电压-功角特性进行分析，寻找系统中临界支路或节点，以及电气机械暂态过程的动态稳定性。
动态分析方法主要有转子运动方程、应用李雅普诺夫定理、频域分析等。
四、提高电压稳定性的措施通过对电力系统的电压稳定性分析，可以提出一些措施来提高电网的稳定性。
1. 选用适当的控制模式和调节参数。
2. 加强智能化的电力监控系统，及时监测电网的各种参数。
3. 增加电容器补偿以提高输电线路的功率因数，减少系统的阻抗。
4. 优化电网结构，调整负荷分布，并加强对发电机的调节。
综上所述，电力系统中的电压稳定性是保证电力系统安全稳定运行的关键之一。
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max min
（4-38）
当矩阵A奇异时，则 min=0 且con(A)为无穷大；若con(A)接近1，则A远离 奇异，如果con(A)越大，则更接近奇异。因此，若con(A)>con(B),则认为A 比B更奇异。
1. 电力系统模型
假设一个电力系统，除平衡节点外，系统的节点总数为n,m是电 压可调的节点数，则系统的潮流方程可描述为 P(θ,U)=0 Q(θ,U)=0 (4-39) Q [Q1 , Q2 ,, Qn ] 表示无功平 式中，P [ P 1, P 2 ,, P n ] 表示有功平衡； 衡；θ和U表示节点电压的角度和幅值。将方程组线性化为
J R JQU JQ J P J PU
（4-36）
4.3.2奇异值分解法
可以证明，就矩阵A的范数F而言 ， A ' 是最接近A的秩为r-1的 矩阵，类似的 A'' 1E1 2 E2 r 2 Er 2 ，是 最接近A的秩为r-2的矩阵，以此类推。 mn 雅可比矩阵J R 是电力系统电压稳定静态分析方法中的 重要矩阵，将上述奇异值分解理论应用于改矩阵，可得到，在正常 min>0;当系统达到静态稳定极限时， 情况下，雅可比矩阵非奇异， 雅可比矩阵奇异， min =0.
电力系统电压稳定静态分析
1 非线性规划法 2 奇异值分解法 3 特征值分析法 4 灵敏度分析 5分岔分析法
奇异值分解法：
奇异值分解是有关矩阵问题的强有力工具，已在众多领 域中得到应用。该方法由潮流雅克比矩阵的行列式符号决定 所研究系统是稳定的或不稳定的，潮流雅克比矩阵的最小奇 异值作为静态电压稳定性的指标，最小奇异值大小可表示运 行点和静态电压稳定极限间的距离。奇异值分解法用于电力 系统分析是基于以下定理和定义。 mn 定理4.1 设A R ，则存在单位正交矩阵U和V,使得
P J P Q 0
0 U J QU
P J P Q J U J Q
(4-41)
P J P Q J QU U
(4-42) (4-43)
4.3.2奇异值分解法
在系统满足解耦条件下，式（4-42）可用于描述静态功角问题，如果 J P 非奇异，则系统功角稳定；式（4-43）可用于描述节点电压对注入的无
功功率的灵敏度，可作为衡量系统电压稳定性的一个指标。 2）PQ不可解耦 当系统处于重载情况，则无功功率与角度之间的相互作用不可忽视，则PQ 不可解耦。在这种情况下，可引入简化雅可比矩阵。假设式（4-41）中ΔP=0， 可得到 0 0 J P Q 0 J QU U (4-44) 可定义简化雅可比矩阵： (4-45) 1
V
T
AU
0
0 0
（4-28）
式中，
r min0 . diag ( 1 , 2 ,...., r ) 且 max1 2
4.3.2奇异值分解法
,有奇异值分解式（4-28），则称 1 2 n ( r 1 r 2 n 0) 为A的奇异值 ，称U的列向量为A的 右奇异向量，V的列向量为A的左奇异向量。 T A的右奇异值向量为 A A 的单位正交右特征向量，左奇异特征向量为 AT A 的单位正交左特征向量。如果A有n个奇异值，则 A T 也有个奇异值， 且A和 A T 的非零奇异值是相同的，非零奇异值的个数为A的秩。 对矩阵A进行奇异值分解： A V U T （4-29） 其中，∑包含零奇异值，左右奇异向量间的关系如下： （4-30） Au i i vi , i 1,2, , min m, n 定义4.1 设A
i
b
（4-34）
R
A
T
2 F
i2
2 1 2 2 2 n i ( j 1,2,, r), 则有 若假设
A 1 E1 2 E 2 r E r
A' 1E1 2 E2 r 1Er 1
4.3.2奇异值分解法
nn AX b , A R 因此，对于线性方程组 ，A是非奇异的，而 b R
n
。则对矩
阵A进行奇异值分解后，系统的解X可以写成:
X A b(V U )b
1 T i 1
n
U iViT
可以看出，如果奇异值 i 足够小，则矩阵A或向量b的微小变化，会引起X的 大的变化。 mn 2 r min0 . 那么 定理4.2 设A ，有奇异值 max 1
R
mn
Aui 0, i minm, n 1,, n A T v i i u i , i 1 , 2 , , min m , n A T v i 0 , i min m , n 1 , , m
（4-31） （4-32） （4-33）
在无穷多个能使雅可比矩阵降阶的矩阵中，按照式（436）构造的降阶矩阵 J ' 是就范数而言最接近原矩阵J，且 有 J J' min （4-37） F min 可以反映雅可比矩阵接近奇异的程度。 可见， 矩阵的奇异程度还可以用条件数来表示，满秩矩阵的条 件数为
4.3.2奇异值分解法
con( A)
4.3.2奇异值分解法
J PU (4-40) J QU U 式中，矩阵J为完全雅可比矩阵；子矩阵 J p、J PU、J Q、J QU 为潮流方程偏
微分形成的雅可比矩阵的子阵。 1）PQ可解耦 即有功P和角度θ相关，与电压U无关；无功Q和电压U相关，与角度θ无 关，则有