概率论结课论文
概率论大数定律及其应用
概率论基础结课论文题目：独立随机序列的大数事件的定理与应用作者：信计1301班王彩云130350119摘要：概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。
概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律。
概率论与数理统计学的基本定律之一，又称弱大数理论。
大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性，它是概率论中一个非常重要的定律，是随机现象统计规律性的具体表现，应用很广泛。
本文介绍了几种常用的大数定律，并分析了它们在理论与实际中的应用。
关键词：弱大数定理伯努利大数定理随机变量数学期望概率引言：“大数定律”本来是一个数学概念，又叫做“平均法则”。
在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律，通俗的说，这个定律就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。
比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下时哪一面朝上本身是偶然的，但当我们向上抛的硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万时之后，我们就会发现，硬币朝上的次数大约占总数的二分之一。
偶然之中包含着必然。
从概率的统计定义中可以看出：一个事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近，人们在实践中观察其他的一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性。
这就是说，无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个体的个别特征无关，而且结果也不再是随机的。
深入考虑后，人们会提出这样的问题：稳定性的确切含义是什么？在什么条件下具有稳定性？这就是我们大数要研究的问题。
概率与统计是研究随机现象的统计规律的学科，而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。
然而，在大量重复试验或观察中，我们会发现，一个事件发生的频率具有稳定性，它的稳定性会随着试验次数的增多表现得越来越明显。
高中数学概率论文3000字_高中数学概率毕业论文范文模板
高中数学概率论文3000字_高中数学概率毕业论文范文模板高中数学概率论文3000字(一)：概率与高中数学其他知识点的交汇分析论文摘要：在高中数学各个知识点中，能够明显看到概率与其他知识点的交汇。
所以教师在概率教学过程中，不仅要对概率知识及解题技能进行讲授，还对概率与数列、不等式、解析几何、向量、三角函数等其他知识点的交汇进行讲解，促使学生融会贯通，形成更完整的知识体系，实现思维能力的全面提升。
关键词：高中数学概率知识点交汇陶行知先生反对教育与生活、社会脱节，特别强调要在“做”中获得知识。
数学属于一门科学性、应用性非常强的学科，其中的各大知识点均有一定的内在联系。
如果学生无法将这些知识点融会贯通，就没有真正掌握数学知识的精髓，在生活中自然难以灵活应用。
概率是高中数学知识点中的关键部分，与其他知识点有着明显的渗透交汇，也是高考中的重难点。
文章对概率与高中数学其他知识点的交汇展开分析，希望能够提升学生的融会贯通意识，有效培养学生的数学思维能力与学科核心素养。
一、概率与数列的交汇数列在高中数学的各大知识点中属于难点，有着极强的逻辑性与规律性。
在学习数列知识的过程中，学生不仅要善于观察，还要有清晰的逻辑思维。
概率在近些年的高考试题中大量出现，将概率与数列知识点进行交汇教学，能够促进学生数学综合能力的整体提升。
比如，有这样的典型例题：小明与小红两人玩“闭眼跳格子”的游戏。
小明跳的格子上分别标记着1、4、7、10、13……小红跳的格子上分别标记着2、6、10、14、18……游戏规则是先让小明闭眼在小红随意打乱顺序的格子上任意一跳，如果小明所踩到的格子号码正好自己这边也有，那么则获胜，否则是小红获胜。
请问：在该游戏中，小明的获胜概率多大？二、概率与不等式的交汇不等式属于高中数学中的重难点。
将概率与不等式知识进行交汇，能够为概率学习与不等式学习带来全新思路，从而有效盘活学生的学习思维。
同时，从概率的角度去审视不等式问题，很多时候能够帮助学生对复杂不等式进行理解，关键点就在于能够发散学生的思维。
大学概率论论文
微积分在概率论与数理统计中的应用摘要： 大二概率论课程结课了，在这门课上我学到了一些关于概率论和数理统计的许多知识。
这些知识既可以对我的专业方面有很大的指导作用、强化了我相关的数理逻辑能力。
课后，在兴趣的激励下，我从课本、习题以及相关网络资源中找到了更多关于概率论与数理统计的知识。
现通过这篇论文对我学习过程中的体会，并结合以往的数学知识（重点在微积分部分）关键词：概率论与数理统计 其他数学知识 微积分概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的一门数学学科，已在包括控制、通信、生物、物理、力学、金融、社会科学、以及其他工程技术科学等诸多领域中获得了广泛的应用。
学习和掌握概率论与数理统计的基本理论和基本方法并将应用于科学研究的和工程实际中，是社会发展对高素质人才培养提出的必然要求。
----概率论与数理统计（前言） 一般认为, 概率论源于赌博问题, 创立于 1654年7 月29 日 。
考古证实骰子古而有之, 那么为何直到17 世纪概率论才诞生? 历史表明概率论的诞生和发展需要先进的数学技术和理性的思考。
众所周知, 概率论的大厦是建筑在微积分的地基之上的, 如在函数关系的对应下, 随机事件先是被简化为集合, 继之被简化为实数, 随着样本空间被简化为数集, 概率相应地由集函数约化为实函数. 以函数的观点衡量分布函数F(x),F(x)的性质是十分良好的: 单调有界、 可积、 几乎处处连续、 几乎处处可导. 因之, 微积分中有关函数的种种思想方法可以通畅无阻地进入概率论领域. 随机变量的数字特征、 概率密度与分布函数的关系、 连续型随机变量的计算等, 显然借鉴或搬运了微积分的现有成果. 又如概率论中运用微积分的基础 ) ) ) 极限论的地方也非常多, 诸如分布函数的性质、大数定律、 中心极限定理等. 总之, 微积分的思想方法渗透到了概率论的各个方面, 换言之, 没有微积分的推动, 就没有概率论的公理化与系统化, 概率论就难以形成一门独立的学科. 微积分与概率论的亲缘关系, 决定了概率论的确定论的特征. 但是作为微积分的一门后继课程, 概率论并非按微积分中的思维方法发展下去,而是另辟蹊径, 其发展路径与微积分大相径庭, 最终成为了随机数学的典型代表, 具备了与微积分相当的地位. 更因其非线性、 反因果的非理性特征, 显得比经典的微积分更具有时代精神. 而作为确定性数学典型代表的微积分对概率论的发展具有很大作用, 因此讨论微积分在概率论中的地位, 探究概率论与微积分的联系及方法的相互应用作用巨大。
概率论结课论文
概率论学习带给我的启示进过这么久对概率论的学习，在基础知识的积累之上，在高等数学工具的应用之下，我对这门课程有了更为深入的认识。
一、概率论定义的变迁与意义概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。
和数理统计一起，是研究随机现象及其规律的一门数学学科。
传统概率(拉普拉斯概率)的定义是由法国数学家拉普拉斯(Laplace)提出的。
如果一个随机试验所包含的单位事件是有限的，且每个单位事件发生的可能性均相等，则这个随机试验叫做拉普拉斯试验。
传统概率在实践中被广泛应用于确定事件的概率值，其理论根据是：如果没有足够的论据来证明一个事件的概率大于另一个事件的概率，那么可以认为这两个事件的概率值相等。
如果仔细观察这个定义会发现拉普拉斯用概率解释了概率，定义中用了"相同的可能性"一词，其实指的就是"相同的概率"。
这个定义也并没有说出，到底什么是概率，以及如何用数字来确定概率。
因此，如何定义概率，如何把概率论建立在严格的逻辑基础上，是概率理论发展的困难所在，对这一问题的探索一直持续了3个世纪。
20世纪初完成的勒贝格测度与积分理论及随后发展的抽象测度和积分理论，为概率公理体系的建立奠定了基础。
在这种背景下，苏联数学家柯尔莫哥洛夫1933年在他的《概率论基础》一书中第一次给出了概率的测度论的定义和一套严密的公理体系。
他的公理化方法成为现代概率论的基础，使概率论成为严谨的数学分支，对概率论的迅速发展起了积极的作用。
概率的公理化定义：设随机实验E的样本空间为Ω。
若按照某种方法，对E的每一事件A赋于一个实数P(A)，且满足以下公理：1°非负性：P(A)≥0；2°规范性：P(Ω)=1；3°可列（完全）可加性：对于两两互不相容的可列无穷多个事件A1，A2，A3，A4……有P(A1∪A2∪……∪An∪……)=P(A1)+P(A2)+……P(An)+……，则称实数P(A)为事件A的概率。
概率论与数理统计论文 (1)
概率论与数理统计结课论文———浅析数学期望在实际生活中的应用姓名：班级：学号：学院：摘要：数学期望是概率论中的一个重要概念，是随机变量的数字特征之一，体现了随机变量总体取值的平均水平，本文主要阐述了数学期望的定义和性质，讨论了实际生活中的某些应用问题，从而使我们能够使用科学的方法对其进行量化的评价，平衡了极大化期望和极小化风险的矛盾，达到我们期望的最佳效果。
关键词：概率统计；数学期望；实际问题；应用.Abstract：An important concept in probability theory is the mathematical expectation, is one of the digital features of the random variable reflects the average of the overall value of the random variable, the article focuses on the definition and nature of the mathematical expectation, discussed some of the real lifeapplication, so we can use the scientific method to quantify the evaluation of the balance of great expectations and minimize the risk of contradiction, we expect the best results.Key words: srobability and statistics ;mathematical expectation; practical problems;application.引言：早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。
概率论总结论文
概率论总结论文第一篇：概率论总结论文概率论与数理统计在生活中的应用摘要：随机现象无处不在，渗透于日常生活的方方面面和科学技术的各个领域，概率论就是通过研究随机现象及其规律从而指导人们从事物表象看到其本质的一门科学。
生活中买彩票显示了小概率事件发生的几率之小，抽签与体育比赛赛制的选择用概率体现了公平与不公平，用概率来指导决策，减少错误与失败等等，显示了概率在人们日常生活中越来越重要。
数理统计在人们的生活中也不断的发挥重要的作用，如果没有统计学，人们在收集资料和进行各项的大型的数据收集工作是非常困难的，通过对统计方法的研究，使得我们处理各种数据更加简便，所以统计也是一门很实用的科学，应该受到大家的重视。
关键字：概率、保险、彩票、统计、数据、应用概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的一门数学学科，是对随机现象的统计规律进行演绎和归纳的科学。
随着社会的不断发展，概率论与数理统计的知识越来越重要,运用抽样数据进行推断已经成为现代社会一种普遍适用并且强有力的思考方式。
目前，概率论与数理统计的很多原理方法已被越来越多地应用到交通、经济、医学、气象等各种与人们生活息息相关的领域。
本文将就概率论与数理统计的方法与思想，在日常生活中的应用展开一些讨论，,推导出某些表面上并非直观的结论，从中可以看出概率方法与数理统计的思想在解决问题中的高效性、简捷性和实用性。
一、彩票问题“下一个赢家就是你！”这句响亮的具有极大蛊惑性的话是大英帝国彩票的广告词。
买一张大英帝国彩票的诱惑有多大呢？只要你花上1英镑，就有可能获得2200万英镑！一点小小的投资竟然可能得到天文数字般的奖金，这没办法不让人动心，很多人都会想：也许真如广告所说，下一个赢家就是我呢！因此，自从1994年9月开始发行到现在，英国已有超过90%的成年人购买过这种彩票，并且也真的有数以百计的人成为百万富翁。
如今在世界各地都流行着类似的游戏，在我国各省各市也发行了各种福利彩票、体育彩票，各地充满诱惑的广告满天飞，而报纸、电视上关于中大奖的幸运儿的报道也热闹非凡，因此吸引了不计其数的人踊跃购买。
毕业论文概率论中有关独立性的研究.doc
摘要概率论是研究随机性或不确定性等现象的学科，而独立性的研究是其中重要内容之一，由于实际需要，对概率论中独立性的研究也较为重要，并且独立性对解决一些实际问题具有理论意义。
论文关于独立性的研究做了如下分析：首先，本文研究了随机事件独立性的概念、两个和多个事件的独立性、事件独立性与互不相容，互斥的关系以及在生活中的应用，并通过实例进行了分析。
另外，研究了随机变量独立性的概念，性质以及判定方法，也都给出了实例加以论证。
关键词:随机事件；随机变量；独立性AbstractProbability theory is the subject of studying randomness or uncertainty phenomenon such as discipline, and the study of independence is one of its important contents. Due to the actual need, it is very important to study the theory of probability, besides, the study of independence has theoretical significance to solve some practical problems.This thesis has done the following analysis on the research of independence:First of all, this paper has studies the concept of the independence of random event, the independence of two or more events , the independence of event , the relationship of incompatibility and the mutual exclusion as well as the application in the life, and these are analyzed through examples.Besides, this paper has studied the concept, the properties and methods of independent random variabilities, and also demonstrating them by examples.Key words: Random events; A random variability; Independence目录引言 (2)1 随机事件的独立性 (3)1.1事件独立性的概念 (3)1.1.1 两个随机事件的独立性 (3)1.1.2 多个事件的独立性 (4)1.1.3 事件独立与互不相容的区别与联系 (6)1.2 随机事件的独立性的应用 (8)1.2.1 用于判别两个事件是否独立 (8)1.2.2 用于分析系统的可靠性 (8)2 随机变量的独立性 (10)2.1 随机变量独立性的概念 (10)2.2 随机变量独立性的性质 (11)2.2.1 随机变量独立性没有传递性 (11)2.2.2 )g独立而X与Y不独立 (12)(y(xf与)2.3 随机变量相互独立的判定 (13)总结 (19)参考文献 (20)致谢 (21)引言概率论的研究对生产生活都有着密不可分的联系，在概率论的研究中，研究随机现象的独立性，尤其显得重要。
概率论毕业论文
概率论毕业论文;引 言概率论是一门与现实生活紧密相连的学科，不过大多数人对这门学科的理解还是很平凡的：投一枚硬币，0.5的概率正面朝上，0.5的概率反面朝上，这就是概率论嘛．学过概率论的人又多以为这门课较为理论化，特别是像母函数，极限定理等内容与现实脱节很大，专业性很强．其实如果我们用概率论的方法对日常生活中的一些看起来比较平凡的内容做些分析，常常会得到深刻的结果．在谈及应用之前，先澄清一下多数人在概率方面的一个误解．大部分人认为一件事概率为0，即为不可能事件．这是不对的，比如甲乙玩一个游戏，甲随机地写出一个大于0小于1的数，乙来猜．①乙一次猜中这个数②乙每秒猜一次，一直猜下去，“最终”猜中这个数．这两件事发生的概率都是0，但显然它们都有可能发生，甚至可以“直观”的讲②发生的可能性大些．这说明概率为0的事也是有可能发生的．不过在我看来，这样的可能性实在是太小了，在实际的操作中认为不可能也是有道理的，但不管怎么说，它们确是可能事件．来看一个应用：[1]在12只金属球中，混有一只假球，并且不知道它是比真球重或轻，用没有砝码的天平来称这些球，试问至少需要多少次称量才能找出这个假球，并确定它是比真球轻或重为了讲清概率论在这个问题中的应用，先讲一下熵的概念．熵是概率论的分支学科--信息论中的概念，它是一个实验不确定程度的量度，熵越大，说明该实验的不确定性越高．比方说，扔一枚硬币是一个实验，扔一枚色子也是一个实验，直观地讲，我们说前者的不确定性要小些；计算结果，前者的熵为lg 2，后者的熵为lg 6，与直观吻合．同样，判断12个球的真假和轻重也是一个实验，它的熵为lg 24，我们要在若干次称量后将其不确定性降为0，也就是要其熵降为0．每用天平称量一次（随便怎样称），天平都有3种结果，于是最多获得lg 3的信息，所以k 次称量最多可得lg 3k ⨯,也就是lg3k 的信息．令2lg3lg24lg3k k -<<得3k =，至少进行3次实验才能完成要求．当然，这是理论上最少的结果，我们还要找到一个现实可行的方案，实际上，这样的方案也是有的，所以说得到的解是正确的结果．这种方法将看似是智力测验的题目用数学方法解决了．其实用这种方法还可解决4次使用天平，能判断最多多少个球的真假轻重情况的问题．关于这点，可以这样考虑：第一次称量时，所有的球只有两种可能：要么在天平上，要么没有在天平上，且在天平上的球数须是偶数，否则进行的称量是得不到有用的信息的．设在天平上的球数为2u ，不在天平上的球数为v ，若天平平衡，下面要3次使用天平在个球中找到假球并判其轻重，由前面的结果知的最大值为12；若天平不平，当荷兰数学家惠更斯到巴黎的时候，听说帕斯卡与费马在研究概率问题，便也参与进来，并于1657年出版了《论赌博中的计算》一书．书中给出了第一批概率论概念和定理（如加法定理、乘法定理）．在概率论的现代表述中，概率是基本概念，数学期望则是第二级的概念，但在历史上，顺序却相反，先有“期望”概念，而古典概型的概率定义，完全可以从期望概念中导出来．因此，可以认为概率论从此诞生了．[3]1．2成熟中的概率论最早对概率论来严格化进行尝试的，是俄国数学家伯恩斯坦和奥地利数学家冯·米西斯．他们都提出了一些公理来作为概率论的前提，但他们的公理理论都是不完善的．作为测度论的奠基人，博雷尔在1905年指出概率论理论如果采用测度论术语来表述将会方便许多，并首先将测度论方法引入概率论重要问题的研究，特别是1909年他提出并在特殊情形下解决了随机变量序列，服从强大数定律的条件问题．博雷尔的工作激起了数学家们沿这一崭新方向的一系列探索，其中尤以原苏联数学家科尔莫戈罗夫的研究最为卓著．从二十世纪二十年代中期起，科尔莫戈罗夫开始从测度论途径探讨整个概率论理论的严格表述．1926年，他推导了弱大数定律成立的主要条件，后又对博雷尔提出的强大数定律问题给出了一般的结果，推广了切比雪夫不等式，提出了科尔莫戈罗夫不等式，创立了可数集马尔可夫链理论，他最著名的工作是1933年以德文出版的经典性著作《概率论基础》．科尔莫戈罗夫是莫斯科函数论学派领导人鲁金的学生，对实际函数论的运用可以说是炉火纯青．他在这部著作中建立起集合测度与事件概率的类比、积分与数学期望的类比、函数正交性与随机变量独立性的类比……，等等．这种广泛的类比终于赋予了概率论以演绎数学的特征．科尔莫戈罗夫的公理系统逐渐获得了数学家们的普遍承认，由于公理化，概率论成为一门严格的演绎科学，取得了与其他数学分支同等的地位．科尔莫戈罗夫热爱教育事业，经常在大学生和进修生中挑选人才，参加讨论班．1934年，他与概率论另一位创始人辛钦共同主持概率论讨论班．在他们培养的学生中有6位成为前苏联科学院院士或通信院士．1980年科尔莫戈罗夫荣获沃尔夫奖．[4] 公理化概率论首先使随机过程的研究获得了新的起点，随机过程作为随时间变化的偶然量的数学模型，是现代概率论研究的重要主题．莱维从1938年开始创立研究随机过程的新方法，即着眼于轨道性质的概率方法．1948年出版的《随机过程与布朗运动》，提出了独立增量过程的一般理论，并以其为基础极大地推进了对作为一类特殊马尔可夫过程的布朗运动的研究．1939年维尔引进“鞅”这个名称，但鞅论的奠基人是美国概率论学派的代表人物杜布．杜布从1950年开始对鞅概念进行了系统的研究而使鞅论成为一门独立的分支．鞅论使随机过程的研究进一步抽象化,不仅丰富了概率论的内容,而且为其他数学分支如调和分析、复变函数、位势理论等提供了有力的工具．从1942年开始,日本数学家伊藤清引进了随机积分与随机微分方程,为一门意义深远的数学新分支——随机分析的创立与发展奠定了基础．[5]概率论不仅是“数学之树”的一庞大支条，而且还有若干强壮的根（如下表），直接扎在实际应用环境的大地上．“芳草有情皆碍马，好云无处不遮楼”．正如英国的逻辑学家和经济学家杰文斯所说，概率论是“生活真正的领路人，如果没有对概率的某种估计，我们就寸步难行，无所作为．”2 概率统计在实际生活中的应用2．1关于男女色盲比例的问题例1[6]从随机抽取的467名男性中发现有8名色盲，而433名女性中发现1人色盲，在01.0=α水平上能否认为女性色盲的比例比男性低？解 设男性色盲的比例为1p ,女性色盲的比例为2p ，那么要检验的假设为210:p p H ≥ 211:p p H <由备择假设，利用大样本的正态近似得，在0.01α=水平的拒绝域为{}33.2-≤u由样本得到的结果知：433,467==m n1.043346718ˆ,00231.04331ˆ,01713.04678ˆ21=++=====p p p 则 ()2326.2ˆ1ˆ11ˆˆ21=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=p p m n p pu未落在拒绝域中，因此在0.01α=水平上可以认为女性色盲的比例低于男性．2．2我国出生人口性别比出生人口性别比，通常是为了便于观察与比较所定义的每出生百名女婴相对的出生男婴数．20世纪50年代中期，联合国在其出版的《用于总体估计的基本数据质量鉴定方法》（手册Ⅱ）认为：出生性别比偏向于男性．一般来说，每出生100名女婴，其男婴出生数置于107102-之间．此分析明确认定了出生性别比的通常值域为107102-之间．从此出生性别比值下限不低于102、上限不超过107的值域一直被国际社会公认为通常理论值，其他值域则被视为异常．例2近年来，越来越多的话题围绕着我国的人口性别比例而展开．下图（表1）所示的是我国2005年到2010年的出生人口性别比例的变化情况．2005-2010年中国人口性别比由图可以看出，在2005年到2010年之间，我国的人口性别比一直都保持在118到121之间，超出了国际社会公认为通常理论值102107-很多．3．3电影院的座位问题定理1 设2σ=i DX ，则对任意R x ∈,有()x du e x n a X P x u n Φ==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-⎰∞--∞→2221lim πσ 记为().1,0~N n aX σ-这一结果称为Lindeberg-Levy 定理，是这两位学者在20世纪20年代证明的．历史上最早的中心极限定理是1716年建立的De Moivre-Laplace 定理，它是前一个结果的特例，具体为lim )()x p x x →∞≤=Φ．[7] 例3设某地扩建电影院，据分析平均每场观众数1600=n 人，预计扩建后，平均34的观众仍然会去该电影院，在设计座位时，要求座位数尽可能多，但空座达到200或更多的概率不能超过0.1，问应该设多少座位？解 把每日看电影的人编号为1600,,2,1 ，且令11216000i i X i ⎧==⎨⎩，第个观众还去电影院，，，不然． 则由题意31(1)(0)44i i p X p X ====，．又假定各观众去电影院是独立选择，则 ,,21X X 是独立随机变量，现设座位数为m ，则按要求121600(2000.1p X X X m +++≤-≤）．在这个条件下取m 最大．当上式取等号时，m 取最大，因为3160012004np =⨯=，=m 应满足0.1Φ=． 查正态分布表即可确定1377≈m ，所以，应该设1377个座位．3 总结兴趣是最好的老师，可以激发学生的学习热情，更可以引导学生成为学习的主人，学习数学需要死记硬背熟能生巧，但并不排除用兴趣引导和激励．将兴趣转化为志趣，转化为学习的动力，将其带到数学学习的每一个部分．本文我们主要通过讲解三个生活中遇到的悖论问题，使人们在生活与学习中，能更好的理解悖论给我们带来的困惑，解决了人们在意识上的一些错误观点．对于这些因为意识的错觉而存在的悖论问题，我们仍有待于进一步研究．上面列举了概率统计在实际生活中的一些简单应用，其实日常生活中到处都有概率统计的影子．通过统计我们可以了解一些指数的变化趋势等，通过概率计算我们了解了彩票、摸奖等的中奖率等．概率统计的足迹可以说是已经深入到每一个领域，在实际问题的应用随处可见．相信人类能够更好的应用好概率统计，使之更好的为人类的发展做贡献．参考文献[1]梅长林,周家良.实用统计方法[M].北京：科学出版社,2002.[2]杨虎,钟波,刘琼荪.应用数理统计[M].北京：清华大学出版社,2006.[3]张国权.应用概率统计[M]. 北京：科学出版社,2003.[4]吴传志.应用概率统计[M].重庆：重庆大学出版社,2004.[5]郑长波.生活中的概率问题举例[J].沈阳师范大学学报,2007,7(5):23-26.[6]魏宗舒,等.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社,2008.[7]王梓坤.概率论基础及其应用[M].北京：科学出版社,1976.。
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条件期望的性质和应用1 条件期望的几种定义1.1 条件分布角度出发的条件期望定义从条件分布的角度出发，条件分布的数学期望称为条件期望。
由离散随机变量和连续随机变量条件分布的定义，引出条件期望的定义。
定义1 离散随机变量的条件期望设二维离散随机变量(X,Y)的联合分布列为(),ij j i p P X x Y y ===，1,2,,1,2,.i j =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，对一切使()10j j ij i P Y y p p +∞⋅====>∑的j y ，称()()|,(),1,2,j ij i i j i j j j P X x Y y p p P X x Y y i p P Y y ⋅========⋅⋅⋅=为给定j Y y =条件下X 的条件分布列。
此时条件分布函数为 ()()i i j i j i j x x x x F x y P X x Y y p ≤≤====∑∑；同理，对一切使()10i i ij j P X x p p +∞⋅====>∑的i x ，称()()()j|i ,,1,2,j ij i j i i j P X x Y y p p P Y y X x j p P X x ⋅========⋅⋅⋅=为给定i X x =条件下Y 的条件分布列。
此时条件分布函数为 ()()j j i j i j i y y y y F y x P Y y X x p ≤≤====∑∑。
故条件分布的数学期望（若存在）称为条件期望，定义如下()()i i i E X Y y x P X x Y y ====∑或()()j j jE Y X x y P Y y X x ====∑。
定义2 连续随机变量的条件期望设二维连续随机变量（X,Y ）的联合密度函数为(,)p x y ，边际密度函数为 ()X p x 和()Y p y 。
对一切使()Y p y >0的y ，给定Y y =条件下X 的条件分布函数和条件密度函数 分别为(,)()()xY p u y F x y du p y -∞=⎰，()()(),Y p x y p x y p y =； 同理对一切使()X p x >0的x ，给定X=x 条件下Y 的条件分布函数和条件密度函数分别为(,)()()yX p x v F y x dv p x -∞=⎰，()()(),X p x y p y x p x =。
故条件分布的数学期望（若存在）称为条件期望，定义如下 ()()E X Y y xp x y dx +∞-∞==⎰或()()E Y X x yp y x dy +∞-∞==⎰。
2 条件期望的性质2.1 一般性质因为条件数学期望是数学期望的一种特殊形式，所以它具有一般的非条件数 学期望的所有性质。
性质1 若c 是常数，则()E c c =；性质2 对任意常数a ，有()()E aX aE X =；性质3 对任意的两个函数1()g x 和2()g x ，有[][][]1212()()()()E g X g X E g X E g X ±=±；性质4 若X 、Y 相互独立，则()()()E X Y E X E Y ⋅=⋅。
根据此定理，运用归纳法，易得下列推论：推论 1 11221122()()()()n n n n E a X a X a X b a E X a E X a E X b ++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++，其中12,,,,n a a a b ⋅⋅⋅均是常数时，特别有1212()()()()n n E X X X E X E X E X ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+。
推论 2 若12,,,n X X X ⋅⋅⋅相互独立，则1212(...)()()...()n n E X X X E X E X E X ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。
注意：对于“和” ，不要求12,,,n X X X ⋅⋅⋅相互独立，对于“积” ，则要求 12,,,n X X X ⋅⋅⋅相互独立。
2.2 特殊性质引理 随机变量X 和Y 的相关系数(),X Y ρ在坐标平移变换中保持不变。
证明：设平移变换11,X X a Y Y b =+=+，（,a b 为常数）由期望和方差的性质易知()[]()(),E X E X Y E Y X Y ρ--⎡⎤=[]()1111()E X a E X a Y b E Y b +-++-+⎡⎤=[]()1111()E X E X Y E Y --⎡⎤= ()11,X Y ρ=3 条件期望的应用3.1 利用条件期望计算数学期望由条件期望的定义1可知，要计算()E X ，可取在条件Y y =下，X 的条件期 望的加权平均，加在每一项()E X Y y =的权重等于作为条件的那个事件的概率， 这是一个极为有用的结果，采用这种对适当的随机值先“条件化”的方法，往往 能够较容易地把数学期望计算出来。
下面举例说明其用法。
例1假设一天内进入某景点的游客人数均值为50的随机变量，进一步假设 每个游客消费的钱数为6元的独立的随机变量，且每个顾客消费的钱数与一天内 进入景点的游客数也是独立的，求某天游客总消费钱数的期望值。
解：令N 表示进入这个景点的游客人数，令i X 表示第i 个游客在这个景点消费的钱数，则所有游客消费的钱数为1Ni i X =∑，现在有11()NN i i i i E X E E X N ==⎡⎤⎛⎫=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∑∑而()11()NN i i i i E X N n E E X nE X ==⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑ (由i X 与N 的独立性知)其中()()i E X E X =。
这意味着()1()N i i E X N NE X ==∑，因此()()()1()506300Ni i E X E NE X E N E X ====⨯=⎡⎤⎣⎦∑故由上面的结果可知，某天游客总消费钱数的期望值为300元。
例2一矿工被困在有三个门的矿井中，第一个门通过一坑道，沿此坑道走3 小时可使他到达安全地点；第二个门通到使他走5小时后又转回原地的坑道；第 三个门通到使他走7小时后回原地的坑道。
如设这矿工在任何时刻都等可能地选 定其中一个门，试问他到达安全地点平均要花多长时间？解：令X 表示该矿工到达安全地点所需时间（单位：小时），Y 表示他最初 选定的门，应用全数学期望公式，有()()E X E E X Y ⎡⎤=⎣⎦()()()()()()112233E X Y P Y E X Y P Y E X Y P Y ===+==+==()()()11233E X Y E X Y E X Y ⎡⎤==+=+=⎣⎦， 易知()13E X Y ==； 现在考虑计算()2E X Y =。
设该矿工选择第二个门，他沿地道走5小时后又 转回原地，而一旦他返回原地，问题就与当初他还没有进第二个门之前一样。
因此，他要到达安全地点平均还需要()E X 小时，故 ()()25E X Y E X ==+；类似地，有 ()()37E X Y E X ==+，从而 ()()()13573E X E X E X =++++⎡⎤⎣⎦。
解得 ()15E X =。
所以他到达安全地点平均要花15小时。
此类问题同游客在旅途中平安脱险所用时间的解决方法类似，不再一一做一 说明。
例 3箱内有a 个白球和b 个黑球，每次从中随机地取出一球，直到首次取得 白球为止，求被取出的黑球的平均数。
解：设X 表示被取出的黑球数，记(),a b M E X =，定义1Y =，如第一个被抽出的球是白色；0Y =，如第一个被抽出的球是黑色。
则 ()()()()(),1100a b M E X E X Y P Y E X Y P Y ====+==。
但是 ()10E X Y ==， (),101a b E X Y M -==+，()0b P Y a b ==+ 于是 (),,11a b a b b M M a b-=++， (),1,011111a a M M a a =+=++, (),2,122121a a M M a a =+=++。
用归纳法易证 ,1a b b M a =+。
3.2 利用条件期望求随机变量的方差因为对任一随机变量X ，有公式()()()22D X E X E X =-⎡⎤⎣⎦，因此可用条件期望来计算方差。
例4若保单持有人在一年保险期内发生意外事故死亡，赔付额为100000元； 若属于非意外死亡，赔付额为50000元；若不发生死亡则不赔付。
根据历史数据 记录，发生意外和非意外死亡的概率分别是0.0005和0.0020，试讨论第i 张保单理赔的概率分布。
解：用I 表示理赔次数，1I =表示有死亡事故发生需要赔付；0I =则表示事故发生不需要赔付。
若用A 表示需要赔付的数额，A 不再是一个常数，而是一个与I 有关的随 机变量，依题意有()1,1000000.0005P I A ===，()0,500000.0020P I A ===而且令()1q P I ==，则()()()11,1000000,500000.0025q P I P I A P I A =====+===，()()10110.9975q P I P I -===-==。
因此，记i X IA =，其中A 的条件分布概率为()5000010.8P A I ===，()10000010.2P A I ===且有 ()()i i E X E E X I ⎡⎤=⎣⎦()()()()0011i i P I E X I P I E X I ===+==()()101q qE A I =-⨯+= ()()500005000011000001000001q P A I P A I ⎡⎤===+==⎣⎦ ()0.0025500000.81000000.2=⨯⨯+⨯150=则 ()()()22i i i D X E X E X =-⎡⎤⎣⎦ ()()22i i E E X I E X ⎡⎤=-⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()()()2220011i i i P I E X I P I E X I E X ===+==-⎡⎤⎣⎦ ()221150qE A I ==-()22220.0025500000.81000000.2150=⨯⨯+⨯-4977450=例5 接连做一独立重复试验，每次试验成功的概率为p 。
设X 表示出现首次成功所需的试验次数，求()D X 。
解：设1Y =，如第一次实验结果成功；0Y =，如第一次实验结果失败。
因为 ()()22E X E E X Y ⎡⎤=⎣⎦ ()211E X Y == ()()2201E X Y E E X ⎡⎤==+⎣⎦因此 ()()()()()221100E X E X Y P Y E X Y P Y ===+==()()211p p E X ⎡⎤=+-+⎣⎦()()2112p E X X =+-+()()()22111p p E X p-=++- 或 ()222p E X p -=故 ()()()222D X E X E X ⎡⎤=-⎣⎦ 2221p p p ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭21p p -= 在实际生活中条件数学期望的应用也比较广泛，这需要仔细观察。