第9章 目标规划
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目标规划
11 (1) 0 ( 2) 10 ( 3) 56 (4) 0( i 1,2,3)
(c)
2,4
d1+
满意解是线段GD上任意点
d2 -
5
G
D
10/3,10/3
其中G点X＝(2,4),D点X＝(10/3,10/3)
d3+
0
5 5.5
d3
-
7
( d)
10
x1
目标规划的图解分析法
x2
• 当实际值同目标值恰好一致时： d+=0, d-=0;
故恒有d+×d-=0
目标规划问题及其数学模型
2. 统一处理目标和约束。
Page 8
对有严格限制的资源使用建立系统约束，数学形式同线性规划 中的约束条件。如C和D设备的使用限制。
4 x1 16 4 x 2 12
对不严格限制的约束，连同原线性规划建模时的目标，均通过 目标约束来表达。 1）例如要求甲、乙两种产品保持1:1的比例，系统约束表达为： x1=x2。由于这个比例允许有偏差， 当x1<x2时，出现负偏差d-，即： x1+d- =x2或x1－x2+d- =0 当x1>x2时，出现正偏差d+，即： x1-d+ =x2或x1－x2-d+ =0
目标规划问题及其数学模型
Page 3
例5.1 某企业计划生产甲，乙两种产品，这些产品分别要在 A,B,C,D四种不同设备上加工。按工艺文件规定，如表所示。
A 甲 乙 最大负荷 1 2 12 B 1 2 8 C 4 0 16 D 0 4 12 单件利润 2 3
问该企业应如何安排计划，使得计划期内的总利润收入为最 大？
OR第九章(目标规划)
12－x1＋x2＋ d 3 d 3 15
15－x2＋x3＋ d 4 d4 15
－x1＋x2＋ d 3 d 3 3
－x 2 ＋x 3 ＋ d 4 d4 0
P3——Ⅱ、Ⅲ级的升级面到达或超过现有人数的20％
Ⅱ级偏差变量为 d 、d ； 5 5 Ⅲ级偏差变量为 d 6、d 6；
50
目标函数的三种类型
3. 要求不低于目标值(lower, onesided goal) ，即负偏差变量要尽可能小，
这时
min
z f (d )
51
本节介绍了如何建立目标规划的数学模型。
您学完本节后，应深刻领会下列概念： 1.目标规划由哪些要素构成，与线性规划有 哪些不同之处； 2.偏差变量的含义及其作用； 3.目标函数的表达方法； 4.优先级别的含义。
gl为目标的预期目标值，l=1，…，L。
目标规划问题的两类约束
必须严格满足的约束称为绝对约束 (刚性约束、硬约束、系统约束）。 目标约束（ Goal equation）：在决 策值达到目标值时可以有一定偏差的约束。
28
偏差变量
决策值超过目标值的部分称为正偏 差，用正偏差变量来表示。 决策值低于目标值的部分称为负偏 差，用负偏差变量来表示。
x1 d5 d5 2.4
x2 d 6 d 6 3
22
数学模型： min
Z Pd 1 1 P 2 (d 2 d 3 d 4 ) P 3 (d 5 d 6 )
500x1＋500x2＋1000x3＋ d1 d1 9000 x1 ＋ d 2 d 2 3 －x1＋x2＋ d 3 d 3 3 －x2＋x3＋ d 4 d 4 0 x1＋ d 5 d 5 2.4 x2 ＋ d 6 d 6 3
运筹学答案 第 9 章 目标规划
0.7x3
−d3
d3
−
0
⎪
2.5x1
−
0.5x2
0.3x3
−d4
d4
20
⎪
1
−
0
⎪
0
0
−
⎩
得：
x1,x2,x3,di
,di
≥0,i1,2,3,4
−
−
−
x1
9.474,x2
20,x3
−
2.105,d
1
0,d
1
0,d
2
8.387,d
2
0,d
3
0,d
3
7.368,
d
4
14.316,d
4
0,
所以食品厂商为了依次达到4个活动目标，需在电视上发布广告9.474次，报纸
纸产生的工业废水的处理费用为40元。
该纸张制造厂近期目标如下：
目标1：纸张利润不少于15万；
目标2：工业废水的处理费用不超过1万元。
a.设目标1的优先权为P1，目标2的优先权为P2，P1>P2，建立目标规划模型
并用图解法求解。
b.若目标2的优先权为P1，目标1的优先权为P2，建立目标规划模型并求解。
品分别预测了在销售良好和销售较差时的预期利润。这两种产品都经过甲、乙两
台设备加工。已知产品A和B分别在甲和乙设备上的单位加工时间，甲、乙设备
的可用加工时间以及预期利润如下表所示，要求首先是保证在销售较差时，预期
利润不少于5千元，其次是要求销售良好时，预期利润尽量达到1万元。试建立
多目标规划模型并求解。
（150，120）。
4、解：设该汽车装配厂为达到目标要求生产产品Ax1件，生产产品Bx2件。
−d3
d3
−
0
⎪
2.5x1
−
0.5x2
0.3x3
−d4
d4
20
⎪
1
−
0
⎪
0
0
−
⎩
得：
x1,x2,x3,di
,di
≥0,i1,2,3,4
−
−
−
x1
9.474,x2
20,x3
−
2.105,d
1
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1
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2
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3
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d
4
14.316,d
4
0,
所以食品厂商为了依次达到4个活动目标，需在电视上发布广告9.474次，报纸
纸产生的工业废水的处理费用为40元。
该纸张制造厂近期目标如下：
目标1：纸张利润不少于15万；
目标2：工业废水的处理费用不超过1万元。
a.设目标1的优先权为P1，目标2的优先权为P2，P1>P2，建立目标规划模型
并用图解法求解。
b.若目标2的优先权为P1，目标1的优先权为P2，建立目标规划模型并求解。
品分别预测了在销售良好和销售较差时的预期利润。这两种产品都经过甲、乙两
台设备加工。已知产品A和B分别在甲和乙设备上的单位加工时间，甲、乙设备
的可用加工时间以及预期利润如下表所示，要求首先是保证在销售较差时，预期
利润不少于5千元，其次是要求销售良好时，预期利润尽量达到1万元。试建立
多目标规划模型并求解。
（150，120）。
4、解：设该汽车装配厂为达到目标要求生产产品Ax1件，生产产品Bx2件。
第9章目标规划
d
2
400 560
(1) (2)
2x1
2x2
d
3
d
3
120
(3)
x1
2.5x2
d
4
d
4
100
(4)
x1、x2
,
d
j 、d
j
0,
j
1,,4
满意解是线段 BC 上任意点，端点的
解是 B(100/3，80/3)，C(60，0)． 决策者根据实际情形进行二次选择．
原材料供应严格限制 2x1+x2≤11
考虑级别： 第一级： (1)产品乙的产量不低于产品甲的产量
∵ x1≤x2
∴ x1－ x2 ≤0
∴ x1－x2+ d1－ － d1+=0
第二级：(2)充分利用设备有效台时，不加班 x1+2x2+ d2－ － d2+=10
第三级： (3充)分利利润用不设小于56元
(6)
x1, x2 di , di 0 (i 1, , 4)
C
(3) d1
d1 2
A
min d3 d3
满意解 C(3,3)
min d1
x1
o
2
4
6
图2－1
满意解X＝(3,3)
问题1：最后的利润是多少？
20x1+40x2+d1—d1+=80 x1=3, x2=3 得到d1+=100 利润=180
目标约束： ①在绝对约束中加入正负偏差量就变为目
标约束； ②线性规划问题的目标函数，在给定目标
国土空间规划学 第9章 国土空间详细规划
9.1.1 国土空间详细规划概述的概念
概念
国土空间详细规划是对具体地块用途
86%
和开发建设强度等做出的实施性安排 ，是开展国土空间开发保护活动、实 施国土空间用途管制、核发城乡建设 项目规划许可、进行各项建设等的法 定依据，在市县及以下编制详细规划 。
Page 5
9.1.2 国土空间详细规划概述的分类
3．规划说明
规划说明主要阐述规划决策的编制基础、 技术分析和编制内容，是规划实施中配合 规划文本和图件使用的重要参考。
5．专题研究报告
规划编制中研究形成的有关专题研究报告集。
2．规划图件
控制性详细规划成果图件；修建性详 细规划成果图件。
4．信息平台及数据库
推进国土空间基础信息平台建设，以自 然资源调查监测数据为基础，及时将国 土空间规划成果数据纳入国土空间规划 “一张图”，确保发展目标、用地指标、 空间坐标一致。
Page 9
9.2.2 规划编制的内容
1．控制性详细规划编制的内容 （1）土地使用规划。 （2）建筑建造规划。 （3）设施配套规划。 （4）道路交通规划。 （5）城市设计规划。 （6）绿地水系规划。 （7）环境保护规划。 （8）“五线”管制规划。 （9）地下空间利用规划。 （10）防灾安全规划。
2．修建性详细规划编制的内容 （1）建设条件分析及综合技术经 济论证。 （2）布置总平面图。 （3）公共设施规划设计。 （4）道路交通规划设计。 （5）绿地系统规划设计。 （6）工程管线规划设计。 （7）竖向规划设计。 （8）估算工程量、拆迁量和总造 价，分析投资效益。
简易版成果主要用于向村民和社会发布，应当尽可 能采用图文并茂、简单易懂的形式，让村民看得懂、 记得住，让规划能落地、好监督。可以采用“前图 后则”(即规划图表+管制规则)的成果表达形式。
《管理学》周三多习题与答案 第9章 计划与计划工作
第九章计划与计划工作一、复习要点1、计划的概念及其内容。
2、计划与决策的关系。
3、计划的性质、分类。
4、计划的层次体系。
5、计划编制过程。
关键名词：计划、长期计划、短期计划；业务计划、财务计划、人事计划；战略性计划、战术性计划；具体性计划、指导性计划；程序性计划、非程序性计划；使命、目标、战略、政策、程序、规则、方案（规划）、预算。
二、习题之填充题1、决策是计划的前提，计划是决策的逻辑延续。
2、计划的编制过程，既是决策的组织落实过程，也是决策的更为详细的检查和修订的过程。
3、计划工作的目的就是使所有的行动保持同一方向，促使组织目标实现。
4、所有层次的、不同职能的管理人员都要做计划工作，这反映了计划的普遍性；同时计划工作要求纵向层次性和横向协作性，这反映了计划工作的秩序性。
5、计划工作的普遍性中蕴含着一定的秩序，最主要的秩序表现为计划工作的纵向层次性和横向协作性。
6、在衡量代价时，不仅用时间、金钱或者生产等来衡量，而且还要用个人和集体的满意程度来衡量。
7、计划是将决策实施所需完成的活动任务进行时间和空间上的分解，以便将其具体地落实到组织中的不同部门和个人。
8、根据综合性标准（涉及的时间长短和涉及的职能范围的广狭），可以把计划分为战略性计划和战术性计划。
9、根据职能空间标准，可以把计划分为业务计划，财务计划，人事计划。
10、战略性计划是战术性计划的依据。
11、战术性计划是在战略性计划指导下制定的，是战略性计划的落实。
12、常规计划包括政策、标准方法和常规作业程序，所有这些都是准备用来处理常发性问题的。
13、面向未来和面向行动是计划的两大显著特征。
14、目标结构描述了组织中各层次目标间的协作关系。
三、习题之选择题1、( AB )的计划是有效率的。
A.能得到最大的剩余。
B.能以合理的代价实现目标。
C.成本等于收益。
D.详细。
2、根据计划的明确性，可以把计划分类为（C ）。
A.长期计划和短期计划；B.战略性计划和战术性计划；C.具体性计划和指导性计划；D.程序性计划和非程序性计划；3、财务计划和人事计划与业务计划的关系是（ABCD ）。
第九章目标规划——多目标线性规划
第九章目标规划——多目 标线性规划
目标规划 Goal Programming（GP）
家具制造问题——王老板遇到的新问题
（1） 要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小 min Z = f（ d ++ d - ）
（2） 要求不超过目标值，即允许达不到目标值，即正偏差变量 要尽可能地小
min Z = f（ d +） （3） 要求超过目标值，即超过量不限，但必须是即负偏差变量要 尽可能地小
目标规划 Goal Programming（GP）
第九章
目标规划
——多目标线性规划
第九章目标规划——多目 标线性规划
目标规划 Goal Programming（GP）
目标规划问题及其数学模型
目标规划（ Goal Programming ）方法是Charnes和Cooper于 1961年提出的，目前已成为一种简单、实用的处理多目标决策问题 的 方法，是多目标决策中应用最为广泛的一种方法。
木工 油漆工 1 10
资源总量（小时） 11 10
求解此问题可以得到王老板的最优生产方案： 每天生产椅子 4 把，桌子 3 张，获最大利润 62 元。
第九章目标规划——多目 标线性规划
目标规划 Goal Programming（GP）
家具制造问题——王老板遇到的新问题
王老板过去一直以如何计划两种家具的生产量才能获得最大总利 润为其生产、经营的唯一目标。然而，市场经济环境下新的问题不断 出现，它迫使王老板不得不考虑…... 1. 首先，根据市场信息，椅子的销售量已有下降的趋势，故应果断 决策减少椅子的产量，其产量最好不超过桌子的产量。 2. 其次，劳动力市场上已招不到符合生产质量要求的木工了，因此 不可能考虑增加木工这种劳动力资源来增加产量，并且由于某种原因 现有木工已不可能再加班。 3. 再次，应尽可能充分利用油漆工的现有的有效工作时间，可以通 过加班使油漆工资源增加，但应考虑油漆工希望最好不加班。 4. 最后，王老板考虑最好达到并超过预计利润指标 56元。
目标规划 Goal Programming（GP）
家具制造问题——王老板遇到的新问题
（1） 要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小 min Z = f（ d ++ d - ）
（2） 要求不超过目标值，即允许达不到目标值，即正偏差变量 要尽可能地小
min Z = f（ d +） （3） 要求超过目标值，即超过量不限，但必须是即负偏差变量要 尽可能地小
目标规划 Goal Programming（GP）
第九章
目标规划
——多目标线性规划
第九章目标规划——多目 标线性规划
目标规划 Goal Programming（GP）
目标规划问题及其数学模型
目标规划（ Goal Programming ）方法是Charnes和Cooper于 1961年提出的，目前已成为一种简单、实用的处理多目标决策问题 的 方法，是多目标决策中应用最为广泛的一种方法。
木工 油漆工 1 10
资源总量（小时） 11 10
求解此问题可以得到王老板的最优生产方案： 每天生产椅子 4 把，桌子 3 张，获最大利润 62 元。
第九章目标规划——多目 标线性规划
目标规划 Goal Programming（GP）
家具制造问题——王老板遇到的新问题
王老板过去一直以如何计划两种家具的生产量才能获得最大总利 润为其生产、经营的唯一目标。然而，市场经济环境下新的问题不断 出现，它迫使王老板不得不考虑…... 1. 首先，根据市场信息，椅子的销售量已有下降的趋势，故应果断 决策减少椅子的产量，其产量最好不超过桌子的产量。 2. 其次，劳动力市场上已招不到符合生产质量要求的木工了，因此 不可能考虑增加木工这种劳动力资源来增加产量，并且由于某种原因 现有木工已不可能再加班。 3. 再次，应尽可能充分利用油漆工的现有的有效工作时间，可以通 过加班使油漆工资源增加，但应考虑油漆工希望最好不加班。 4. 最后，王老板考虑最好达到并超过预计利润指标 56元。
韩伯棠管理运筹学(第三版)_第九章_目标规划
• step • • • • • • • • • • • • •
3 目标函数值为 : 1100 变量 解 相差值 --------------------x1 166.667 0 x2 250 0 d10 0 d1+ 36666.667 0 d233.333 0 d2+ 0 15.167 d30 26 d3+ 0 26 d41100 0 d4+ 0 2
练习：某厂生产Ⅰ、Ⅱ 两种产品，有关数据如 表所示。试求获利最大 的生产方案？
Ⅰ 原材料 设备(台时) 2 1
Ⅱ 1 2
拥有量 11 10
单件利润
8
10
在此基础上考虑： 1、产品Ⅱ的产量不低于产品Ⅰ的产量； 2、充分利用设备有效台时，不加班； 3、利润不小于 56 元。 解: 分析 第一目标：P1d1 即产品Ⅰ的产量不大于Ⅱ的产量。 第二目标： P2 ( d2 d2 )
运筹学
运筹谋划
一石多鸟
第九章 目标规划
1
第七章
目标规划
• §1 目标规划问题举例 • §2 目标规划的图解法
• §3 复杂情况下的目标规划
• §4.加权目标规划
2
§1 目标规划问题举例
例1．企业生产 • 不同企业的生产目标是不同的。多数企业 追求最大的经济效益。但随着环境问题的 日益突出，可持续发展已经成为全社会所 必须考虑的问题。因此，企业生产就不能 再如以往那样只考虑企业利润，必须承担 起社会责任，要考虑环境污染、社会效益、 公众形象等多个方面。兼顾好这几者关系， 企业才可能过引入目标值和偏差变量，可 以将目标函数转化为目标约束。 目标值：是指预先给定的某个目标的一个 期望值。 实现值或决策值：是指当决策变量xj 选定 以后，目标函数的对应值。 偏差变量（事先无法确定的未知数）：是 指实现值和目标值之间的差异,记为 d 。 正偏差变量：表示实现值超过目标值的部 分，记为 d＋。 负偏差变量：表示实现值未达到目标值的 部分，记为 d－。
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管 理 运 筹 学
21
0-1规划模型 规划模型
课号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 所属类别 数学 数学 数学； 数学；运筹学 数学； 数学；计算机 数学； 数学；运筹学 计算机； 计算机；运筹学 计算机 运筹学 运筹学； 运筹学；计算机
决策变量 xi=1 ~选修课号 的 选修课号i 选修课号 课程（ 不选） 课程（xi=0 ~不选） 不选
管
理
运
筹
学
22
讨论：选修课程最少，学分尽量多，应学习哪些课程？ 讨论：选修课程最少，学分尽量多，应学习哪些课程？ 课程最少 学分最多
Min
Z = ∑ xi
i =1
9
Max W = 5x1 + 4x2 + 4x3 + 3x4 + 4x5 + 3x6 + 2x7 + 2x8 + 3x9
管
理
运
筹
学
5
一、约束条件 首先考虑资金总额的约束：总投资额不能高于90000元。即 20x1＋50x2≤90000。 再来考虑风险约束：总风险不能超过700。投资的总风险为 0.5x1＋0.2x2。 引入两个变量d1+和d1-,建立等式如下： 0.5x1 +0.2x2=700+d1+-d1其中，d1+表示总风险高于700的部分，d1-表示总风险少于700的 部分，d1+≥0。 目标规划中把d1+、d1-这样的变量称为偏差变量。偏差变量的作 用是允许约束条件不被精确满足。
4000
3000 0.5x1 +0.2x2=700 2000
1000
20x1＋50x2≤90000
0
1000
2000
3000
4000
5000
x1
图2 图解法步骤2
管
理
运
筹
学
10
2．针对优先权次高的目标建立线性规划 优先权次高（P2）的目标是总收益超过10000。 建立线性规划如下： Min d2s.t. 20x1＋50x2≤90000 0.5x1 +0.2x2-d1++d1-=700 3x1+4x2-d2++d2-=10000 d1+＝0 x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-≥0
第九章 目标规划
管
理
运
筹
学
1
§1 目标规划问题举例
例1．企业生产 • 不同企业的生产目标是不同的。多数企业追求最大的经济效益。 但随着环境问题的日益突出，可持续发展已经成为全社会所必须 考虑的问题。因此，企业生产就不能再如以往那样只考虑企业利 润，必须承担起社会责任，要考虑环境污染、社会效益、公众形 象等多个方面。兼顾好这几者关系，企业才可能保持长期的发展。 例2．商务活动 • 企业在进行盈亏平衡预算时，不能只集中在一种产品上，因为某 一种产品的投入和产出仅仅是企业所有投入和产出的一部分。因 此，需要用多产品的盈亏分析来解决具有多个盈亏平衡点的决策 问题（多产品的盈亏平衡点往往是不一致的）。
管 理 运 筹 学
20
例2 选课策略
课号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 学分 5 4 4 3 4 3 2 2 3 所属类别 数学 数学 数学； 数学；运筹学 数学； 数学；计算机 数学； 数学；运筹学 计算机； 计算机；运筹学 计算机 运筹学 运筹学； 运筹学；计算机 先修课要求
x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-,d3+,d3-,d4+,d4-,d5+,d5-≥0
管 理 运 筹 学
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使用运筹学软件求解可得： x1=250；x2=60；d1+=0；d1-=0；d2+=80；d2-=0；d3+=0；d3-=0； d4+=50；d4-=0；d5+=0；d5-=60，目标函数d4-+2d5- =120。 可见，目标1、目标3和目标4达到了，但目标2、目标5都有 一些偏差。
管 理 运 筹 学
6
把等式转换，可得到 0.5x1 +0.2x2-d1++d1-=700。 再来考虑年收入: 年收入=3x1+4x2 引入变量d2+和d2-，分别表示年收入超过与低于10000的数量。 于是，第2个目标可以表示为 3x1+4x2-d2++d2-=10000。
管
理
运
筹
学
7
二、有优先权的目标函数 本问题中第一个目标的优先权比第二个目标大。即最重要的 目标是满足风险不超过700。分配给第一个目标较高的优先权P1, 分配给第二个目标较低的优先权P2。 针对每一个优先权，应当建立一个单一目标的线性规划模型。 首先建立具有最高优先权的目标的线性规划模型，求解；然后再 按照优先权逐渐降低的顺序分别建立单一目标的线性规划模型， 方法是在原来模型的基础上修改目标函数，并把原来模型求解所 得的目标最优值作为一个新的约束条件加入到当前模型中，并求 解。
微积分； 微积分；线性代数 计算机编程 微积分； 微积分；线性代数 计算机编程 应用至少选两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课 为了选修课程门数最少， 为了选修课程门数最少，应学习哪些课程 ？ 选修课程最少，且学分尽量多， 选修课程最少，且学分尽量多，应学习哪些课程 ？
管 理 运 筹 学
8
三、图解法 1．针对优先权最高的目标建立线性规划 建立线性规划模型如下： Min d1+ s.t. 20x1＋50x2≤90000 0.5x1 +0.2x2-d1++d1-=700 3x1+4x2-d2++d2-=10000 x1,x2,d1+,d1-≥0
管 理 运 筹 学
9
x2
管 理 运 筹 学
3
§2
目标规划的图解法
例6．一位投资商有一笔资金准备购买股票。资金总额为90000元，目前可 ． 选的股票有A和B两种（可以同时投资于两种股票）。其价格以及年收 益率和风险系数如表1： 股票 A B 价格（元） 20 50 年收益（元） ／年 3 4 风险系数 0.5 0.2
从上表可知，A股票的收益率为（3／20）×100％＝15％，股票B 的收益率为4／50×100％＝8％，A的收益率比B大，但同时A的风险也 比B大。这也符合高风险高收益的规律。 试求一种投资方案，使得一年的总投资风险不高于700，且投资收 益不低于10000元。
管
理
运
筹
学
16
采用简化模式，最终得到目标线性规划如下： Min P1(d1+)+ P1(d2－)+P2(d3-)+ P3(d4-)+ P3(2d5-) s.t. 2x1+3x2-d1++d1-=680 2x1+3x2-d2++d2-=600 对应第1个目标 对应第2个目标
250x1+125x2-d3-+d3+＝70000 对应第3个目标 x1-d4++d4-=200 x2-d5++d5-=120 对应第4个目标 对应第5个目标
管
理
运
筹
学
14
§3 复杂情况下的目标规划
例7．一工艺品厂商手工生产某两种工艺品A、B，已知生产一件产 ． 品A需要耗费人力2工时，生产一件产品B需要耗费人力3工时。A、 B产品的单位利润分别为250元和125元。为了最大效率地利用人 力资源，确定生产的首要任务是保证人员高负荷生产，要求每周 总耗费人力资源不能低于600工时，但也不能超过680工时的极限； 次要任务是要求每周的利润超过70000元；在前两个任务的前提 下，为了保证库存需要，要求每周产品A和B的产量分别不低于 200和120件，因为B产品比A产品更重要，不妨假设B完成最低产 量120件的重要性是A完成200件的重要性的1倍。 试求如何安排生产？
两目标(多目标) 两目标(多目标)规划
• 以课程最少为目标， 以课程最少为目标 为目标， 不管学分多少。 不管学分多少。 • 以学分最多为目标， 学分最多为目标， 不管课程多少。 不管课程多少。
管 理 运
Min {Z , − W }
最优解如上， 门课 最优解如上，6门课 总学分21 程，总学分 。 最优解显然是选修所 有9门课程 。 门课程
管 理 运 筹 学
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解： 本问题中有3个不同优先权的目标，不妨用P1 、P2 、P3 表示 从高至低的优先权。 对应P1有两个目标：每周总耗费人力资源不能低于600工时, 也不能超过680工时； 对应P2有一个目标：每周的利润超过70000元； 对应P3有两个目标：每周产品A和B的产量分别不低于200和 120件。
管 理 运 筹 学
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显然，此问题属于目标规划问题。它有两个目标变量：一是 限制风险，一是确保收益。在求解之前，应首先考虑两个目标的 优先权。 假设第一个目标（即限制风险）的优先权比第二个目标（确 保收益）大，这意味着求解过程中必须首先满足第一个目标，然 后在此基础上再尽量满足第二个目标。
• 建立模型： 建立模型： 设x1、x2分别表示投资商所购买的A股票和B股票的数量。
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目标规划的这种求解方法可以表述如下： 1．确定解的可行区域。 2．对优先权最高的目标求解，如果找不到能满足该目标的解， 则寻找最接近该目标的解。 3．对优先权次之的目标进行求解。注意：必须保证优先权高的 目标不变。 4. 重复第3步，直至所有优先权的目标求解完。
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0-1规划模型 规划模型
课号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 所属类别 数学 数学 数学； 数学；运筹学 数学； 数学；计算机 数学； 数学；运筹学 计算机； 计算机；运筹学 计算机 运筹学 运筹学； 运筹学；计算机
决策变量 xi=1 ~选修课号 的 选修课号i 选修课号 课程（ 不选） 课程（xi=0 ~不选） 不选
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讨论：选修课程最少，学分尽量多，应学习哪些课程？ 讨论：选修课程最少，学分尽量多，应学习哪些课程？ 课程最少 学分最多
Min
Z = ∑ xi
i =1
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Max W = 5x1 + 4x2 + 4x3 + 3x4 + 4x5 + 3x6 + 2x7 + 2x8 + 3x9
管
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一、约束条件 首先考虑资金总额的约束：总投资额不能高于90000元。即 20x1＋50x2≤90000。 再来考虑风险约束：总风险不能超过700。投资的总风险为 0.5x1＋0.2x2。 引入两个变量d1+和d1-,建立等式如下： 0.5x1 +0.2x2=700+d1+-d1其中，d1+表示总风险高于700的部分，d1-表示总风险少于700的 部分，d1+≥0。 目标规划中把d1+、d1-这样的变量称为偏差变量。偏差变量的作 用是允许约束条件不被精确满足。
4000
3000 0.5x1 +0.2x2=700 2000
1000
20x1＋50x2≤90000
0
1000
2000
3000
4000
5000
x1
图2 图解法步骤2
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2．针对优先权次高的目标建立线性规划 优先权次高（P2）的目标是总收益超过10000。 建立线性规划如下： Min d2s.t. 20x1＋50x2≤90000 0.5x1 +0.2x2-d1++d1-=700 3x1+4x2-d2++d2-=10000 d1+＝0 x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-≥0
第九章 目标规划
管
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§1 目标规划问题举例
例1．企业生产 • 不同企业的生产目标是不同的。多数企业追求最大的经济效益。 但随着环境问题的日益突出，可持续发展已经成为全社会所必须 考虑的问题。因此，企业生产就不能再如以往那样只考虑企业利 润，必须承担起社会责任，要考虑环境污染、社会效益、公众形 象等多个方面。兼顾好这几者关系，企业才可能保持长期的发展。 例2．商务活动 • 企业在进行盈亏平衡预算时，不能只集中在一种产品上，因为某 一种产品的投入和产出仅仅是企业所有投入和产出的一部分。因 此，需要用多产品的盈亏分析来解决具有多个盈亏平衡点的决策 问题（多产品的盈亏平衡点往往是不一致的）。
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例2 选课策略
课号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 学分 5 4 4 3 4 3 2 2 3 所属类别 数学 数学 数学； 数学；运筹学 数学； 数学；计算机 数学； 数学；运筹学 计算机； 计算机；运筹学 计算机 运筹学 运筹学； 运筹学；计算机 先修课要求
x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-,d3+,d3-,d4+,d4-,d5+,d5-≥0
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使用运筹学软件求解可得： x1=250；x2=60；d1+=0；d1-=0；d2+=80；d2-=0；d3+=0；d3-=0； d4+=50；d4-=0；d5+=0；d5-=60，目标函数d4-+2d5- =120。 可见，目标1、目标3和目标4达到了，但目标2、目标5都有 一些偏差。
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把等式转换，可得到 0.5x1 +0.2x2-d1++d1-=700。 再来考虑年收入: 年收入=3x1+4x2 引入变量d2+和d2-，分别表示年收入超过与低于10000的数量。 于是，第2个目标可以表示为 3x1+4x2-d2++d2-=10000。
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二、有优先权的目标函数 本问题中第一个目标的优先权比第二个目标大。即最重要的 目标是满足风险不超过700。分配给第一个目标较高的优先权P1, 分配给第二个目标较低的优先权P2。 针对每一个优先权，应当建立一个单一目标的线性规划模型。 首先建立具有最高优先权的目标的线性规划模型，求解；然后再 按照优先权逐渐降低的顺序分别建立单一目标的线性规划模型， 方法是在原来模型的基础上修改目标函数，并把原来模型求解所 得的目标最优值作为一个新的约束条件加入到当前模型中，并求 解。
微积分； 微积分；线性代数 计算机编程 微积分； 微积分；线性代数 计算机编程 应用至少选两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课 为了选修课程门数最少， 为了选修课程门数最少，应学习哪些课程 ？ 选修课程最少，且学分尽量多， 选修课程最少，且学分尽量多，应学习哪些课程 ？
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三、图解法 1．针对优先权最高的目标建立线性规划 建立线性规划模型如下： Min d1+ s.t. 20x1＋50x2≤90000 0.5x1 +0.2x2-d1++d1-=700 3x1+4x2-d2++d2-=10000 x1,x2,d1+,d1-≥0
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x2
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§2
目标规划的图解法
例6．一位投资商有一笔资金准备购买股票。资金总额为90000元，目前可 ． 选的股票有A和B两种（可以同时投资于两种股票）。其价格以及年收 益率和风险系数如表1： 股票 A B 价格（元） 20 50 年收益（元） ／年 3 4 风险系数 0.5 0.2
从上表可知，A股票的收益率为（3／20）×100％＝15％，股票B 的收益率为4／50×100％＝8％，A的收益率比B大，但同时A的风险也 比B大。这也符合高风险高收益的规律。 试求一种投资方案，使得一年的总投资风险不高于700，且投资收 益不低于10000元。
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采用简化模式，最终得到目标线性规划如下： Min P1(d1+)+ P1(d2－)+P2(d3-)+ P3(d4-)+ P3(2d5-) s.t. 2x1+3x2-d1++d1-=680 2x1+3x2-d2++d2-=600 对应第1个目标 对应第2个目标
250x1+125x2-d3-+d3+＝70000 对应第3个目标 x1-d4++d4-=200 x2-d5++d5-=120 对应第4个目标 对应第5个目标
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§3 复杂情况下的目标规划
例7．一工艺品厂商手工生产某两种工艺品A、B，已知生产一件产 ． 品A需要耗费人力2工时，生产一件产品B需要耗费人力3工时。A、 B产品的单位利润分别为250元和125元。为了最大效率地利用人 力资源，确定生产的首要任务是保证人员高负荷生产，要求每周 总耗费人力资源不能低于600工时，但也不能超过680工时的极限； 次要任务是要求每周的利润超过70000元；在前两个任务的前提 下，为了保证库存需要，要求每周产品A和B的产量分别不低于 200和120件，因为B产品比A产品更重要，不妨假设B完成最低产 量120件的重要性是A完成200件的重要性的1倍。 试求如何安排生产？
两目标(多目标) 两目标(多目标)规划
• 以课程最少为目标， 以课程最少为目标 为目标， 不管学分多少。 不管学分多少。 • 以学分最多为目标， 学分最多为目标， 不管课程多少。 不管课程多少。
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最优解如上， 门课 最优解如上，6门课 总学分21 程，总学分 。 最优解显然是选修所 有9门课程 。 门课程
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解： 本问题中有3个不同优先权的目标，不妨用P1 、P2 、P3 表示 从高至低的优先权。 对应P1有两个目标：每周总耗费人力资源不能低于600工时, 也不能超过680工时； 对应P2有一个目标：每周的利润超过70000元； 对应P3有两个目标：每周产品A和B的产量分别不低于200和 120件。
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显然，此问题属于目标规划问题。它有两个目标变量：一是 限制风险，一是确保收益。在求解之前，应首先考虑两个目标的 优先权。 假设第一个目标（即限制风险）的优先权比第二个目标（确 保收益）大，这意味着求解过程中必须首先满足第一个目标，然 后在此基础上再尽量满足第二个目标。
• 建立模型： 建立模型： 设x1、x2分别表示投资商所购买的A股票和B股票的数量。
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目标规划的这种求解方法可以表述如下： 1．确定解的可行区域。 2．对优先权最高的目标求解，如果找不到能满足该目标的解， 则寻找最接近该目标的解。 3．对优先权次之的目标进行求解。注意：必须保证优先权高的 目标不变。 4. 重复第3步，直至所有优先权的目标求解完。