上海市七宝中学2019-2020学年上学期高二数学期末考试卷附答案解析
若不是，请说明理由.
2
21．已知椭圆 E 两焦点 F1(1, 0), F2 (1, 0) ，并经过点 (
2, 2
3) . 2
（1）求椭圆 E 的标准方程；
（2）设 M , N 为椭圆 E 上关于 x 轴对称的不同两点， A(x1,0), B(x2,0) 为 x 轴上两点，且 x1x2 2 ，证明：直 线 AM , NB 的交点 P 仍在椭圆 E 上；
D． 1
二、填空题
5．直线 l 的倾斜角范围是__________；
6．方程 x2 y2 1表示焦点在 y 轴上的椭圆，其焦点坐标是_________； 4m
7．抛物线 y ax2 a 0 的焦点坐标为____________.
8．经过原点及复数 3 i 对应点的直线的倾斜角为_________； 9．下面四个命题：① a, b 是两个相等的实数，则 (a b) (a b)i 是纯虚数；②任何两个负数不能比较大小； ③ z1, z2 C ，且 z12 z22 0 ，则 z1 z2 0 ；④两个共轭虚数的差为纯虚数.其中正确的序号为_________；
【答案】④
【解析】①采用特殊值法，当 a, b 都是零时来判断.②通过负数也是实数来判断.③采用特殊值法，当 z1 1, z2 i
时来判断.④根据题意，是两个共轭虚数，则虚部不为零来判断.
7．抛物线 y ax2 a 0 的焦点坐标为____________.
【答案】
0,
1 4a
【解析】将抛物线的方程化为标准方程，可得出该抛物线的焦点坐标. 【详解】
抛物线的标准方程为
x2
1 a
y
，因此，该抛物线的焦点坐标为
0,
1 4a
.
故答案为：
0,
1 4a
.
【点睛】
本题考查抛物线焦点坐标的求解，解题的关键就是要将抛物线的方程表示为标准形式，考查计算能力，属于基 础题.
13．当实数 a, b 变化时，两直线 l1 : (2a b)x (a b) y (a b) 0 与 l2 : m2 x 2 y n 0 都通过一个定点， 则点 (m, n) 所在曲线的方程为_________；
1
14．动点 P 到点 F (1, 0) 的距离比到它到 y 轴的距离大1，动点 P 的轨迹方程是_________； 15．椭圆 x2 y2 1 的一个焦点是 F ，动点 P 是椭圆上的点，以线段 PF 为直径的圆始终与一定圆相切，则
10．已知点 A 为双曲线 x2 y2 1的左顶点，点 B 和点在 C 双曲线的右支上，ABC 是等边三角形，则 ABC
的面积为_________；
11．直线 l 经过点 P 2,1 ，且点 A1, 2 到 l 的距离为1，则直线 l 的方程为______．
12．直线 y 2k 与曲线 9k 2 x2 y2 18k 2 x (k R, k 0) 的公共点的个数为_________；
2．椭圆 C : x2 y2 1 与直线 l : (2m 1)x (m 1) y 7m 4, m R 的交点情况是（ ） 16 9
A．没有交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．由 m 的取值而确定
【答案】C
3
【解析】先将 (2m 1)x (m 1) y 7m 4, 转化为： 2x y 7 m x y 3 0 ，令
当 2 k 2 0 时，因为点 P 为 AB 的中点，
由韦达定理得 x1
x2
2k 1 k 2 k2
2 ，
解得 k 2
而当 k 2 时， [2k(k 1)]2 4(2 k 2)(3 2k k 2) 24 16k 0 ，
所以直线与双曲线不相交.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，还考查了分类讨论的思想方法，属于中档题.
3．过点 P(1,1) 作直线与双曲线 x2 y2 1交于 A, B 两点，使点 P 为 AB 的中点，则这样的直线（ ） 2
A．存在一条，且方程为 2x y 1 0
B．存在无数条
C．存在两条，且方程为 2x ( y 1) 0
D．不存在
【答案】D
【解析】分当直线的斜率不存在时，将直线方程为 x 1 代入 x2 y2 1，得 y 0 ，与双曲线只有一个交 2
【答案】D
【解析】根据平面向量基本定理只需 a,b 不共线即可.
【详解】
rrr 由题意得,平面内的任一向量 c 都可以唯一表示成 c a b ( , 为实数),
则
a,
b
一定不共线,所以 1
(3m
2)
2
m
,解得
m
2
,
所以 m 的取值范围是 (, 2) (2, ) .
故选：D.
【点睛】
此题考查平面向量基本定理的辨析，平面内一组基底必须不共线，求解参数只需考虑根据平面向量共线的坐标 运算求出参数即可得解.
故答案为：[0,p )
【点睛】
5
本题主要考查了直线倾斜角的定义及范围，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
6．方程 x2 y2 1表示焦点在 y 轴上的椭圆，其焦点坐标是_________； 4m
【答案】 0, m 4
【解析】根据方程 x2 y2 1表示焦点在 y 轴上的椭圆，确定 a 2 m ,b 2 4 ，再由 a, b, c 的关系求出 c ， 4m
4O．C已知圆O心A 为uOO，B 半 径0 ，为则1实的数圆上,有 不的同关的系三为个点
A,
B,
C
，其中
OA
OB
0
，存在实数
,
满足
A． 2 2 1
B．
1
1
1
C． 1
பைடு நூலகம்
D． 1
【答案】A
【解析】由题意得
OA
OB
OC
1，且
OA
OB
0
.
因为
OC
OA
uOB
0
，即 OC
OA
uOB
.平方得：
2
2
1.
故选 A.
二、填空题
5．直线 l 的倾斜角范围是__________；
【答案】[0,p )
【解析】由直线的倾斜角定义来确定. 【详解】 由直线倾斜角的定义： x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角. 特别地，当直线与 x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为 0 度. 范围：倾斜角的取值范围是 0°≤α＜180°.
A．存在一条，且方程为 2x y 1 0
B．存在无数条
C．存在两条，且方程为 2x ( y 1) 0
D．不存在
4O．C已知圆O心A 为uOO，B 半 径0 ，为则1实的数圆上,有 不的同关的系三为个点
A,
B,
C
，其中
OA
OB
0
，存在实数
,
满足
A． 2 2 1
B．
1
1
1
C． 1
2．椭圆 C : x2 y2 1 与直线 l : (2m 1)x (m 1) y 7m 4, m R 的交点情况是（ ） 16 9
A．没有交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．由 m 的取值而确定
3．过点 P(1,1) 作直线与双曲线 x2 y2 1交于 A, B 两点，使点 P 为 AB 的中点，则这样的直线（ ） 2
点，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为 y 1 k x 1 代入 x2 y2 1，得
2
2 k 2 x 2 2k 1 k x 3 2k k 2 0 ，分 2 k 2 0 和 2 k 2 0 两种情况讨论求解.
【详解】
当直线的斜率不存在时，直线方程为 x 1 代入 x2 y2 1， 2
4
定圆的方程是_________；
16．若实数 x 、 y 满足 x 4 y 2 x y ，则 x 的取值范围是______.
三、解答题
17．已知 x R ，设 z log2 (3 x) i log2 (3 x) ，当 x 为何值时：
（1）在复平面上 z 对应的点在第二象限？
（2）在复平面上 z 对应的点在直线 x y 2 0 上.
（3）你能否将（2）推广到一般椭圆中？写出你的结论即可.
解析
上海市七宝中学 2019-2020 学年上学期高二期末考
数学试题
一、单选题
1c．已知a 平面b直( 角,坐 标为系实内数的),则两实个数向m量的a 取 值(1,范2)围, b是(
(m,
3m
)
2)
,且平面内的任一向量
c
都可以唯一表示成
A． (, 2) B． (2, ) C． (, ) D． (, 2) (2, )
x y 3 0,2x y 7 0 ，解出直线过定点 A3,1 ，再将 A3,1 代入 C : x2 y2 1 ，判断点
16 9
与椭圆的位置关系. 【详解】
已知 (2m 1)x (m 1) y 7m 4, 可转化为：
2x y 7m x y 4 0 ，
令 x y 4 0,2x y 7 0 ，
解得 x 3, y 1，所以直线过定点 A3,1 ，
将
A3,1 代入 C
: x2 16
y2 9
1
可得
9 16
1 9
1，
所以点 A3,1 在椭圆的内部，所以直线与椭圆必相交，所以必有两个交点.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了点与椭圆，直线与椭圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于基础题.
8．经过原点及复数 3 i 对应点的直线的倾斜角为_________；
2019-2020学年高二年级上学期期末考试数学试卷附解答
2019-2020学年高二年级上学期期末考试数学试卷一、填空题（每小题 3分，共36 分）1.关于,x y 的二元一次方程的增广矩阵为123015-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y += 。
【答案】8-2.已知(5,1),(3,2)OA OB =-=，则AB 对应的坐标是 。
【答案】）（3,23.已知直线420ax y +-=与直线10x ay ++=重合,则a = 。
【答案】2-4.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是AB 中点，F 为BC 中点，则直线1A E 与1C F 的位置关系是 。
【答案】相交5.圆22240x y x y +-+=的圆心到直线3450x y +-=的距离等于 。
【答案】26.已知复数22iz i+=，则z 的虚部为 。
【答案】1- 7..经过动直线20kx y k -+=上的定点，方向向量为(1,1)的直线方程是 。
【答案】02=+-y x8.复数34i +平方根是 。
【答案】）（i +±29.过点(),0M 且和双曲线2222x y -=有相同的焦点的椭圆方程为 。
【答案】13622=+y x 10.已知双曲线22:1916x y C -=的左、右焦点分别为12,F F P ，为双曲线C 的右支上一点，且212PF F F =，则12PF F ∆的面积等于 。
【答案】4811.平面上一机器人在行进中始终保持与点(1,0)F 的距离和到直线1x =-的距离相等。
若机器人接触不到过点(1,0)P -且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是 。
【答案】）（）（+∞∞,11-,-【解析】由抛物线定义可知，机器人的轨迹方程为x y 42=，过点)0,1(-P 且斜率为k 的直线方程为)1(+=x k y 代入x y 42=，可得0)42(2222=+-+k x k x k ， 机器人接触不到过点)0,1(-P 且斜率为k 的直线，04)42422<--=∆∴k k （，1-<∴k 或1>k . 12.已知圆M :22(1)1x y +-=，圆N :22(1)1x y ++=.直线1l 、2l 分别过圆心M 、N ，且1l 与圆M 相交于,A B 两点，2l 与圆N 相交于,C D 两点。
2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高二(上)10月月考数学试卷
2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高二（上）10月月考数学试卷试题数：21.满分：01.（填空题.3分）三阶行列式 |147258369| 中.元素4的代数余子式的值为___ 2.（填空题.3分）计算 (1002)×(14−23) =___ ． 3.（填空题.3分）已知向量 a ⃗=(−2，2)，b ⃗⃗=(5，k)．若|a ⃗+b ⃗⃗| 不超过5.则k 的取值范围是___ ．4.（填空题.3分）若 |a ⃗|=1，|b ⃗⃗|=2，c ⃗=a ⃗+b ⃗⃗ .且 c ⃗⊥a ⃗ .则向量 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为___ ．5.（填空题.3分）已知 a ⃗=4i ⃗+3j ⃗ . b ⃗⃗=mi ⃗−2j ⃗ . c ⃗=−3i ⃗+j ⃗ .若 a ⃗ . b ⃗⃗ . c ⃗ 可构成三角形.则m=___ ．6.（填空题.3分）已知行列式 |a n+1a n+2a n+3a n+4a n+5a n+6a n+7a n+8a n+9| 中的元素a n+j （j=1.2.3.….9）是等比数列{a n }的第n+j 项.则此行列式的值是___ ．7.（填空题.3分）已知向量 a ⃗ =（1.2）. b ⃗⃗ =（2.3）.则“λ＜-4”是“向量 m ⃗⃗⃗=λa ⃗+b ⃗⃗ 与向量 n ⃗⃗ =（3.-1）的夹角为钝角”成立的___ 条件．8.（填空题.3分）（理）若平面向量 a ⃗ 满足| a ⃗i |=1（i=1.2.3.4）且 a i ⃗⃗⃗⃗•a i+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0（i=1.2.3）.则| a 1⃗⃗⃗⃗⃗+a 2⃗⃗⃗⃗⃗+a 3⃗⃗⃗⃗⃗+a 4⃗⃗⃗⃗⃗ |可能的值有___ 个．9.（填空题.3分）在△ABC 中.∠A=60°.M 是AB 的中点.若|AB|=2.|BC|=2 √3 .D 在线段AC 上运动.则 DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为___ ．10.（填空题.3分）已知函数 f (x )=√3|sin π2x|(0＜x ≤4038) .其图象的最高点从左到右依次记为A 1.A 2.A 3.….A 2019.其图象与x 轴的交点从左到右依次记为B 1.B 2.B 3.….B 2019.则 A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•B 1A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+B 1A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•B 2A 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+B 2A 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•A 3B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+⋯+B 2018A 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•A 2019B 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ． 11.（填空题.3分）设 f (x )=x (12)x+1x+1 .O 为坐标原点.A n 是函数图象上横坐标为n （n∈N *）的点.向量 OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和 i ⃗=(1，0) 的夹角为θn .则满足tanθ1+tanθ2+tanθ3+…+tanθn ＜ 53 的最大正整数是___ ．12.（填空题.3分）已知O 是三角形ABC 的外心.AB=2.AC=1.∠BAC=120°．若 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=mAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+nAC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .则m-n=___ ．13.（单选题.5分）若从平行四边形ABCD 的四个顶点中任取两个作为向量的端点.得到的向量中有n （n∈N *）个是两两不相等的.则n 的最大值是（ ） A.6 B.8 C.10 D.1214.（单选题.5分）任意四边形ABCD 内有一点O 满足 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗ .则O 点的位置是（ ） A.对角线的交点 B.对边中点连线的交点 C.BD 的点 D.AC 的中点15.（单选题.5分）已知向量 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2.0）.向量 OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2.2）.向量 CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ √2 cosα. √2 sinα）.则向量 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角范围为（ ） A.[0. π4] B.[ π4 . 5π12 ] C.[ 5π12 . π2 ] D.[ π12 . 5π12 ]16.（单选题.5分）三角形ABC 中.BC 边上的中垂线分别交BC.AC 于D.M.若 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=6 .AB=2.则AC=（ ）A.3B.4C.5D.617.（问答题.0分）用行列式讨论关于x.y 的方程组 {x +my =−6(m −2)x +3y +2m =0 的解的情况．18.（问答题.0分）在△ABC 中. AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−3 ． （1）求AB 边的长度； （2）求sin (A−B )sinC的值．19.（问答题.0分）已知两点M （-1.0）.N （1.0）.且点P （x.y ）使 MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•NP⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 成公差小于零的等差数列． （1）求x 与y 满足的关系式.并写出x 的取值范围； （2）记θ为 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角.求tanθ的取值范围．20.（问答题.0分）如图.点Q 在第一象限.点F 在x 轴正半轴上.△OFQ 的面积为S. OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和 FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ. OF⃗⃗⃗⃗⃗⃗•FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1 ． （1）求S 关于θ的解析式；（2）设 |OF⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=c (c ≥2) .求点Q 的坐标； （3）在（2）的条件下.若 S =34c .求 |OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 的最小值和此时点Q 的坐标．21.（问答题.0分）平面直角坐标系中.射线y=x （x≥0）和y=2x （x≥0）上分别依次有点A 1.A 2.….A n .…和点B 1.B 2.….B n .….其中A 1（1.1）.B 1（1.2）.B 2（2.4）.且 |OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|OA n−1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+√2 .|B n B n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=12|B n−1B n⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| （n=2.3.4.…）． （1）用n 表示 |OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 及点A n 的坐标； （2）用n 表示 |B n B n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 及点B n 的坐标；（3）求四边形A n A n+1B n+1B n 的面积关于n 的表达式S n .并求S n 的最大值．2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高二（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：01.（填空题.3分）三阶行列式 |147258369| 中.元素4的代数余子式的值为___ 【正确答案】：[1]6【解析】：利用代数余子式的定义直接求解．【解答】：解：三阶行列式 |147258369| 中.元素4的代数余子式的值为：（-1）3 |2839| =-（18-24）=6．故答案为：6．【点评】：本题考查三阶行列式中元素的化数余子式的求法.考查代数余子式等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．2.（填空题.3分）计算 (1002)×(14−23) =___ ．【正确答案】：[1] (14−46)【解析】：直接用矩阵相乘公式代入求解．【解答】：解： (1002)×(14−23) = (14−46) .故答案为： (14−46) ．【点评】：本题考查矩阵相乘.属于基础题．3.（填空题.3分）已知向量 a ⃗=(−2，2)，b ⃗⃗=(5，k)．若|a ⃗+b ⃗⃗| 不超过5.则k 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1][-6.2]【解析】：根据向量模的计算公式.列出一个关于K 不等式.解不等式.即可求出K 的取值范围．【解答】：解：∵ a ⃗=(−2，2)，b ⃗⃗=(5，k)．a ⃗+b ⃗⃗=(3，2+k)则|a ⃗+b ⃗⃗|=√9+(2+k)2 ≤5 ∴-6≤k≤2 故答案为：[-6.2]【点评】：求 |a ⃗| 常用的方法有： ① 若已知 a ⃗=(x ，y) .则 |a ⃗| = √x 2+y 2 ； ② 若已知表示 a ⃗ 的有向线段 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的两端点A 、B 坐标.则 |a ⃗| =|AB|= √(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2 ③ 构造关于 |a ⃗| 的方程.解方程求 |a ⃗| ．4.（填空题.3分）若 |a ⃗|=1，|b ⃗⃗|=2，c ⃗=a ⃗+b ⃗⃗ .且 c ⃗⊥a ⃗ .则向量 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为___ ． 【正确答案】：[1] 2π3【解析】：根据向量 c ⃗⊥a ⃗ .得到 c ⃗•a ⃗=0 .然后求出 a ⃗•b ⃗⃗ .利用数量积的应用求向量夹角即可．【解答】：解：∵ |a ⃗|=1，|b ⃗⃗|=2，c ⃗=a ⃗+b ⃗⃗ .且 c ⃗⊥a ⃗ . ∴ c ⃗•a ⃗=0 .即（ a ⃗+b ⃗⃗ ） •a ⃗=a ⃗2+a ⃗•b ⃗⃗=0 . ∴1+ a ⃗•b ⃗⃗=0 . 解得 a ⃗•b⃗⃗=0 -1=-1. 设向量 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为θ.则cos θ=a ⃗⃗•b ⃗⃗|a ⃗⃗||b ⃗⃗|=−12×1=−12. ∵0≤θ≤π. ∴ θ=2π3． 故答案为： 2π3．【点评】：本题主要考查数量积的应用.要求熟练掌握数量积的应用.比较基础． 5.（填空题.3分）已知 a ⃗=4i ⃗+3j ⃗ . b ⃗⃗=mi ⃗−2j ⃗ . c ⃗=−3i ⃗+j ⃗ .若 a ⃗ . b ⃗⃗ . c ⃗ 可构成三角形.则m=___ ．【正确答案】：[1]-7【解析】：由所给三个向量可构成三角形.得 a ⃗ + b ⃗⃗ - c ⃗ = 0⃗⃗ .由此列式可求m 的范围．【解答】：解：∵ a ⃗=4i ⃗+3j ⃗ . b ⃗⃗=mi ⃗−2j ⃗ . c ⃗=−3i ⃗+j ⃗ . a ⃗ . b ⃗⃗ . c ⃗ 可构成三角形；∴ a ⃗ 与 b ⃗⃗ 不共线. b ⃗⃗ 与 c ⃗ 不共线. a ⃗ + b ⃗⃗ - c ⃗ = 0⃗⃗ ；∴ m 4 ≠ −23 . m −3 ≠ −21 .（4+m+3） i ⃗ +（3-2-1） j ⃗ = 0⃗⃗ ； ∴m≠- 83 .m≠6．m=-7． 故答案为：-7．【点评】：本题考查了平面向量的坐标运算.考查了向量共线的坐标表示.考查了数学转化思想.是基础题．6.（填空题.3分）已知行列式 |a n+1a n+2a n+3a n+4a n+5a n+6a n+7a n+8a n+9| 中的元素a n+j （j=1.2.3.….9）是等比数列{a n }的第n+j 项.则此行列式的值是___ ． 【正确答案】：[1]0【解析】：根据题意等比关系代入求解．【解答】：解：因为元素a n+j （j=1.2.3.….9）是等比数列{a n }的第n+j 项. 所以设等比数列的公比为q.则a n+2=qa n+1. a n+3=q 2a n+1 . a n+4=q 3a n+1 .…. a n+9=q 8a n+1 . ∴ |a n+1a n+2a n+3a n+4a n+5a n+6a n+7a n+8a n+9| = |a n+1qa n+1q 2a n+1q 3a n+1q 4a n+1q 5a n+1q 6an+1q 7a n+1q 8a n+1| = q 9a n+13|1qq 21qq 21q q 2| =0.（两列（或行）相同的行列式值为0）. 故答案为：0【点评】：本题考查行列式.等比数列.属于基础题．7.（填空题.3分）已知向量 a ⃗ =（1.2）. b ⃗⃗ =（2.3）.则“λ＜-4”是“向量 m ⃗⃗⃗=λa ⃗+b ⃗⃗ 与向量 n ⃗⃗ =（3.-1）的夹角为钝角”成立的___ 条件． 【正确答案】：[1]充分不必要【解析】：先求 m ⃗⃗⃗•n ⃗⃗ =3λ+6-2λ-3＜0.解得：λ＜-3.得到夹角是钝角的充要条件.从而进行判断．【解答】：解： m ⃗⃗⃗ =λ（1.2）+（2.3）=（λ+2.2λ+3）.则 m ⃗⃗⃗•n ⃗⃗ =3λ+6-2λ-3=λ+3. 若 m ⃗⃗⃗，n ⃗⃗ 夹角为钝角.则λ+3＜0.解得λ＜-3.因为λ＜-4是λ＜-3的充分不必要条件.所以“λ＜-4”是“向量 m ⃗⃗⃗=λa ⃗+b ⃗⃗ 与向量 n ⃗⃗ =（3.-1）的夹角为钝角”成立的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要．【点评】：本题考查了充分必要条件.考查了向量的夹角的余弦值.是一道基础题．8.（填空题.3分）（理）若平面向量 a ⃗ 满足| a ⃗i |=1（i=1.2.3.4）且 a i ⃗⃗⃗⃗•a i+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0（i=1.2.3）.则| a 1⃗⃗⃗⃗⃗+a 2⃗⃗⃗⃗⃗+a 3⃗⃗⃗⃗⃗+a 4⃗⃗⃗⃗⃗ |可能的值有___ 个． 【正确答案】：[1]3【解析】：由 a i ⃗⃗⃗⃗•a i+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0可得 a i ⃗⃗⃗⃗⊥a i+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .分类作图可得结论．【解答】：解：由 a i ⃗⃗⃗⃗•a i+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0可得 a i ⃗⃗⃗⃗⊥a i+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗. 若四向量首尾相连构成正方形时（图1）.| a 1⃗⃗⃗⃗⃗+a 2⃗⃗⃗⃗⃗+a 3⃗⃗⃗⃗⃗+a 4⃗⃗⃗⃗⃗ |=0. 当四向量如图2所示时.| a 1⃗⃗⃗⃗⃗+a 2⃗⃗⃗⃗⃗+a 3⃗⃗⃗⃗⃗+a 4⃗⃗⃗⃗⃗ |=2. 当四向量如图3所示时.| a 1⃗⃗⃗⃗⃗+a 2⃗⃗⃗⃗⃗+a 3⃗⃗⃗⃗⃗+a 4⃗⃗⃗⃗⃗ |=2 √2 . 故答案为：3【点评】：本题考查平面向量的模长.涉及分类讨论的思想.属中档题．9.（填空题.3分）在△ABC 中.∠A=60°.M 是AB 的中点.若|AB|=2.|BC|=2 √3 .D 在线段AC 上运动.则 DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为___ ． 【正确答案】：[1] 2316【解析】：把向量用 DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示.可化简数量积的式子为 (|DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|−34)2+2316 .由余弦定理可得AC 的长度.进而可得 |DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 的范围.由二次函数区间的最值可得答案．【解答】：解：∵ DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 故 DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）•（ DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）= DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+12AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+32AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗= |DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2+2+32×2×|DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos60° = |DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2−32|DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+2 = (|DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|−34)2+2316. 设AC=x.由余弦定理可得 (2√3)2=x 2+22−2•2•xcos60° . 整理得x 2-2x-8=0.解得x=4或x=-2（舍去）. 故有 |DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| ∈[0.4].由二次函数的知识可知当 |DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = 34 时. (|DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|−34)2+2316 取最小值 2316 故答案为： 2316【点评】：本题考查平面向量的数量积的运算.涉及余弦定理和二次函数的最值.属中档题． 10.（填空题.3分）已知函数 f (x )=√3|sin π2x|(0＜x ≤4038) .其图象的最高点从左到右依次记为A 1.A 2.A 3.….A 2019.其图象与x 轴的交点从左到右依次记为B 1.B 2.B 3.….B 2019.则 A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•B 1A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+B 1A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•B 2A 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+B 2A 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•A 3B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+⋯+B 2018A 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•A 2019B 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ． 【正确答案】：[1]-8072【解析】：根据题意即可得出 A 1(1，√3)，A 2(3，√3)，A 3(5，√3) .…. A 2018(4035，√3)，A 2019(4037，√3) ；B 1（2.0）.B 2（4.0）.B 3（6.0）.….B 2018（4036.0）.B 2019（4038.0）.从而可求出 A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•B 1A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+B 1A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•B 2A 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+B 2A 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•A 3B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = A 2018B 2018⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•B 2018A 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 2018A 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•A 2019B 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-4.从而可求出答案．【解答】：解：根据题意得. A 1(1，√3)，A 2(3，√3)，A 3(5，√3) .…. A 2018(4035，√3)，A 2019(4037，√3) ；B 1（2.0）.B 2（4.0）.B 3（6.0）.….B 2018（4036.0）.B 2019（4038.0）. ∴ A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•B 1A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+B 1A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = B 1A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•(A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) =（1. √3 ）•（2.-2 √3 ）=-4. A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•B 2A 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+B 2A 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗• A 3B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = B 2A 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•(A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+A 3B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) =（1. √3 ）•（2.-2 √3 ）=-4.A 2018B 2018⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•B 2018A 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 2018A 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•A 2019B 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = B 2018A 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•(A 2018B 2018⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+A 2019B 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) =（1. √3 ）•（2.-2 √3 ）=-4.∴ A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•B 1A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+B 1A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•B 2A 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+B 2A 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•A 3B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+⋯+B 2018A 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•A 2019B 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-4×2018=-8072．故答案为：-8072．【点评】：本题考查了根据点的坐标求向量的坐标的方法.向量数量积的运算.向量数量积的坐标运算.考查了计算能力.属于中档题． 11.（填空题.3分）设 f (x )=x (12)x +1x+1.O 为坐标原点.A n 是函数图象上横坐标为n （n∈N *）的点.向量 OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和 i ⃗=(1，0) 的夹角为θn .则满足tanθ1+tanθ2+t anθ3+…+tanθn ＜ 53 的最大正整数是___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：由题意可得 OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（n.n （ 12）n +1n+1 ）.tanθn =（ 12 ）n + 1n (n+1) =（ 12 ）n + 1n - 1n+1.由数列的分组求和、裂项相消求和.构造函数.判断出符合条件的最大整数n 的值．【解答】：解： OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（n.n （ 12 ）n + 1n+1 ）. tanθn =（ 12 ）n + 1n (n+1) =（ 12 ）n + 1n - 1n+1 .可得tanθ1+tanθ2+…+tanθn =（ 12 + 14 +…+ 12n ）+（1- 12 + 12 - 13 +…+ 1n - 1n+1 ） =12(1−12n )1−12+1- 1n+1 =2- 12n - 1n+1 .由题意可得2- 12n - 1n+1 ＜ 53 .即为 12n + 1n+1 ＞ 13 . 函数g （n ）= 12n + 1n+1 （n∈N*）为减函数.g （1）=1.g （2）= 14 + 13 ＞ 13 .g （3）= 18 + 14 = 38 ＞ 13 .g （4）= 116 + 15 = 2180 ＜ 13 . 故最大整数n 的值为3． 故答案为：3．【点评】：本题考查了由向量求夹角.数列的求和.不等式.解题的关键是认真审题得出tanθn 的表达式.以及熟练掌握数列求和的技巧．12.（填空题.3分）已知O 是三角形ABC 的外心.AB=2.AC=1.∠BAC=120°．若 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=mAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+nAC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .则m-n=___ ． 【正确答案】：[1] 12【解析】：建立直角坐标系.求出三角形各顶点的坐标.因为O 为△ABC 的外心.把AB 的中垂线p 方程和AC 的中垂线q 的方程.联立方程组.求出O 的坐标.利用已知向量间的关系.待定系数法求m 和n 的值．【解答】：解：如图：以A 为原点.以AB 所在的直线为x 轴.建立直角坐标系： 则A （0.0）.B （2.0）.C （- 12 . √32 ）. ∵O 为△ABC 的外心.∴O 在AB 的中垂线p ：x=1 上.又在AC 的中垂线 q 上. AC 的中点（- 14 . √34 ）.AC 的斜率为- √3 . ∴中垂线q 的方程为 y- √34 = √33 （x+ 14 ）.把直线p 和q 的方程联立方程组解得△ABC 的外心O （1. 2√33）. 由条件 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=mAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+nAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 得（-1.-2√33 ）=m （2.0）+n （- 12 . √32 ）=（2m- 12 n. √32n ）； ∴2m - 12 n=0-1. √32 n=- 2√33； m=- 56 .n=- 43 ； ∴m -n= 12 ． 故答案为： 12 ．【点评】：本题主要考查了求两条直线的交点坐标的方法.三角形外心的性质.向量的坐标表示及向量相等的条件.待定系数法求参数值.同时考查了运算求解的能力.属中档题．13.（单选题.5分）若从平行四边形ABCD 的四个顶点中任取两个作为向量的端点.得到的向量中有n （n∈N *）个是两两不相等的.则n 的最大值是（ ） A.6 B.8 C.10 D.12【正确答案】：B【解析】：可以画出平行四边形ABCD.可以看出 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 这8个向量是两两不相等的.从而可得出n 的最大值．【解答】：解：如图.在平行四边形ABCD 的四个顶点中任取两个作为向量的端点构成的向量中.以下8个向量.是两两不相等的：AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .再增加任何一个向量.都会和这8个向量中的一个相等.∴n 的最大值是8． 故选：B ．【点评】：本题考查了相等向量的定义.向量的定义.考查了推理能力.属于基础题．14.（单选题.5分）任意四边形ABCD 内有一点O 满足 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗ .则O 点的位置是（ ） A.对角线的交点 B.对边中点连线的交点 C.BD 的点 D.AC 的中点 【正确答案】：B【解析】：首先根据题意作图.然后由三角形法则.即可求得向量 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的和向量.即可得出正确选项【解答】：解：如图：分别取四边形ABCD 各边的中点E 、F 、G 、H ． ∴ OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2 OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2 OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∵ OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗ . ∴2 OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2 OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗ ⇒ OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =- OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； 即O 是EG 的中点.则点O 为一组对边中点连线的中点．故选：B ．【点评】：此题考查了平面向量的知识．注意数形结合思想的应用与三角形法则的应用是解此题的关键．15.（单选题.5分）已知向量 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2.0）.向量 OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2.2）.向量 CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ √2 cosα. √2 sinα）.则向量 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角范围为（ ） A.[0. π4 ] B.[ π4 . 5π12 ] C.[ 5π12 . π2 ] D.[ π12 . 5π12 ] 【正确答案】：D【解析】：利用CA 是常数.判断出A 的轨迹为圆.作出A 的轨迹；数形结合求出两个向量的夹角范围．【解答】：解：| CA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √2 .∴A 点在以C 为圆心. √2 为半径的圆上. 当OA 与圆相切时对应的位置是OA 与OB 所成的角最大和最小的位置 OC 与x 轴所成的角为 π4 ；与切线所成的为 π6所以两个向量所成的最小值为 π4−π6=π12 ；最大值为 π4+π6=5π12故选：D ．【点评】：本题考查圆的定义、数形结合求两个向量的夹角范围．16.（单选题.5分）三角形ABC 中.BC 边上的中垂线分别交BC.AC 于D.M.若 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=6 .AB=2.则AC=（ ）A.3B.4C.5D.6【正确答案】：B【解析】：根据条件可得出 DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 .从而根据 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=6 可得出 (AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=6 .进而得出 2BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−12 .然后根据余弦定理即可求出AC 的值．【解答】：解：∵DM⊥BC .∴ DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 .且 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=6 . ∴ (AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=−BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 =6. ∴ 2BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−12 .且AB=2. 在△ABC 中.根据余弦定理得. AC 2=AB 2+BC 2−2BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4+BC 2−(BC 2−12)=16 . ∴AC=4． 故选：B ．【点评】：本题考查了向量垂直的充要条件.向量加法的几何意义.向量数乘的几何意义.向量的数量积运算及计算公式.余弦定理.考查了计算能力.属于中档题．17.（问答题.0分）用行列式讨论关于x.y 的方程组 {x +my =−6(m −2)x +3y +2m =0 的解的情况．【正确答案】：【解析】：分情况m=-1、m=3.m≠-1.m≠3三种情形进行讨论.计算即可．【解答】：解：根据题意.方程组 {x +my =−6(m −2)x +3y +2m =0的解.D= |1mm −23| =3-m （m-2）=-（m-3）（m+1）.D x =|−6m −2m 3|=−18+2m 2=2(m −3)(m +3) .D y =|1−6m −2−2m |=−2m +6(m −2)=4m −12=4(m −3) .所以.当m=-1时.D=0.Dx≠0.方程组无解； 当m=3时.D=Dx=Dy=0.方程组有无穷多个解； 当m≠-1且m≠3时.D≠0.方程组有唯一的解 {x =−2(m+3)m+1y =−4m+1．【点评】：本题重点考查了方程组与行列式之间的关系.分类讨论思想及其应用等知识.属于中档题．解题关键是分类中如何划分“类”．18.（问答题.0分）在△ABC 中. AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−3 ． （1）求AB 边的长度； （2）求sin (A−B )sinC的值．【正确答案】：【解析】：（1）直接根据 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) .再结合 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−3 即可求出求AB 边的长度；（2）结合已知及（1）可得：2bcosA=1.2acos （π-B ）=-3；再利用正弦定理把所有的边都用角表示出来得到sinAcosB=3sinBcosA.再代入所求即可得到结论．【解答】：解：（1）∵ AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) = AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−3=1 ． ∴ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2 ．即AB 边的长度为2．（5分） （2）由已知及（1）有：2bcosA=1.2acos （π-B ）=-3. ∴acosB=3bcosA （8分）由正弦定理得：sinAcosB=3sinBcosA （10分） ∴ sin (A−B )sinC = sin (A−B )sin (A+B )=sinAcosB−cosAsinB sinAcosB+cosAsinB =12 （12分）【点评】：本题是对向量的数量积以及两角和与差的正弦函数的综合考查．在解决问题的过程中.用到了解三角形常用的方法之一：边转化为角．19.（问答题.0分）已知两点M （-1.0）.N （1.0）.且点P （x.y ）使 MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•NP⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 成公差小于零的等差数列． （1）求x 与y 满足的关系式.并写出x 的取值范围； （2）记θ为 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角.求tanθ的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）设出要求轨迹的点的坐标.根据所给的两个点的坐标写出要用的向量.做出向量的数量积.根据 MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 成公差小于零的等差数列.列出不等式和等式.整理整式得到结果．（2）求两个向量的夹角.根据球向量夹角的公式.先用求出数量积和模的乘积.求出角的余弦值.根据同角的三角函数的关系.用已知条件表示出tanθ.然后推出结果．【解答】：解：（1）记P （x.y ）.由M （-1.0）.N （1.0）得=（-1-x.-y ）. =（1-x.-y ）.=（2.0）. .是公差小于零的等差数列 ∴即x 2+y 2=3（x ＞0）.∴点P 的轨迹是以原点为圆心. √3 为半径的右半圆．（2）解：（1）记P （x.y ）.由M （-1.0）.N （1.0）得 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1-x.-y ）. PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（1-x.-y ）. MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2.0）. NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2（x+1） ∴ PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2-1. NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•NP⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2（1-x ）. ∵ MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 成公差小于零的等差数列． ∴ {x 2+y 2−1=12×[2(1+x )+2(1−x )]2(1−x )−2(1+x )=0 . 即x 2+y 2=3（x ＞0）.∴点P 的轨迹是以原点为圆心. √3 为半径的右半圆．（2）点P 的坐标为（x 0.y 0）.则x 02+y 02=3. PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 02+y 02-1=2. ∵| PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √(1+x 0)2+y 02•√(1−x 0)2+y 02 = √(4+2x 0)(4−2x 0) =2 √4−x 02 . ∴cosθ= PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = 1√4−x 02. ∵0＜x 0≤ √3 .∴ 12 ＜cosθ≤1.0≤θ＜ π3.sinθ= √1−cos 2θ = √1−14−x 02 .tanθ= sinθcosθ= √3−x 02 =|y 0|∈（- √3 . √3 ）．【点评】：这是一个综合题.求轨迹的问题.向量的数量积.等差数列的定义.求向量的夹角.同角的三角函数关系.综合性较强．这是一个难题.20.（问答题.0分）如图.点Q 在第一象限.点F 在x 轴正半轴上.△OFQ 的面积为S. OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和 FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ. OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1 ． （1）求S 关于θ的解析式；（2）设 |OF⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=c (c ≥2) .求点Q 的坐标； （3）在（2）的条件下.若 S =34c .求 |OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 的最小值和此时点Q 的坐标．【正确答案】：【解析】：（1）根据条件即可得出 S =12|OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|sinθ=tanθ2； （2）根据 |OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=c 以及 OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1 即可得出 |FQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=1c•cosθ.从而得出Q 点的坐标为 (c +1c，tanθc) ； （3）根据 S =34c 以及 S =tanθ2 即可得出 tanθc=32 .从而得出 |OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√(c +1c )2+94 .根据函数c +1c 在[2.+∞）上是增函数.即可求出 c +1c ≥52 .从而得出c=2时. |OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 取得最小值.并可求出该最小值.并可求出此时的点Q 的坐标．【解答】：解：（1）∵△OFQ 的面积为S. OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和 FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ. OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1 .∴ S =12|OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|sinθ=12|OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cosθ•tanθ = 12OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•tanθ=tanθ2. 即S 关于θ的解析式为： S =tanθ2； （2）∵ |OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=c .且 OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1 . ∴ c •|FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|•cosθ=1 . ∴ |FQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=1c•cosθ. ∴ Q (1c+c ，tanθc) ； （3）∵ S =34c .且 S =tanθ2. ∴ 34c =tanθ2 . ∴ tanθ=32c . ∴tanθc=32 .∴ Q (1c +c ，32) . ∴ |OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√(c +1c )2+94. ∵ c +1c 在[1.+∞）上单调递增.且c≥2. ∴ c +1c ≥52 . (c +1c )2+94≥172.∴c=2时. |OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 的最小值为 √342 .此时 Q (52，32) ．【点评】：本题考查了向量数量积的计算公式.三角形的面积公式.函数 y =x +1x的单调性.增函数的定义.考查了计算能力.属于中档题．21.（问答题.0分）平面直角坐标系中.射线y=x （x≥0）和y=2x （x≥0）上分别依次有点A 1.A 2.….A n .…和点B 1.B 2.….B n .….其中A 1（1.1）.B 1（1.2）.B 2（2.4）.且 |OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|OA n−1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+√2 .|B n B n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=12|B n−1B n⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| （n=2.3.4.…）． （1）用n 表示 |OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 及点A n 的坐标； （2）用n 表示 |B n B n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 及点B n 的坐标；（3）求四边形A n A n+1B n+1B n 的面积关于n 的表达式S n .并求S n 的最大值．【正确答案】：【解析】：本题第（1）题根据题意可发现数列{| OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |}是一个等差数列.则写出| OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |关于n 的表达式.即可得到点A n 的坐标；第（2）题先计算出| B 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √5 .再根据题干条件|B n B n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=12|B n−1B n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| .可得数列{| B n B n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |}是一个等比数列.即可得到| B n B n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |关于n 的表达式.再根据点B 1.B 2.….B n .…均在射线y=2x （x≥0）上.可得| OB n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=| OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+| B 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+| B 2B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+…+| B n−1B n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |代入后利用等比数列求和公式可得结果.设点B n 的坐标为（t.2t ）.则√t 2+(2t )2 = √5 •[3-（ 12 ）n-2]．解出t 的值可得点B n 的坐标；第（3）题先求出|OA n |及点B n到直线y=x 的距离为d.进一步可求得 S △OA n B n = 12 •|OA n |•d .同理可得 S △OA n+1B n+1 .则S n = S A n A n+1B n+1B n = S △OA n+1B n+1 - S △OA n B n .求出S n 的表达式.再利用不等式组 {S n ≥S n+1S n ≥S n−1.计算可得到S n 的最大值．【解答】：解：（1）由题意.| OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √2 . ∵ |OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|OA n−1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+√2 .∴数列{| OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |}是以 √2 为首项. √2 为公差的等差数列． ∴| OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √2 + √2 •（n-1）= √2 n ． ∴点A n 的坐标为（n.n ）．（2）由题意. B 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（1.2）.则| B 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √5 ．∵ |B n B n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=12|B n−1B n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| .∴数列{| B n B n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |}是以 √5 为首项. 12 为公比的等比数列．∴| B n B n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √5 •（ 12 ）n-1．∵点B 1.B 2.….B n .…均在射线y=2x （x≥0）上. ∴| OB n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=| OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+| B 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+| B 2B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+…+| B n−1B n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √5 + √5 + √5 • 12 +…+ √5 •（ 12 ）n-2= √5 + √5 •[1+ 12 +（ 12 ）2+…+（ 12 ）n-2] = √5 + √5 •1−(12)n−11−12= √5 •[3-（ 12 ）n-2]． 设点B n 的坐标为（t.2t ）.则 √t 2+(2t )2 = √5 •[3-（ 12 ）n-2]． 解得t=3-（ 12）n-2．∴点B n 的坐标为（3-（ 12 ）n-2.6-（ 12 ）n-3）． （3）由（1）（2）.可知O （0.0）.A n （n.n ）.B n （3-（ 12 ）n-2.6-（ 12）n-3）． |OA n |= √n 2+n 2 = √2 n.设点B n 到直线y=x 的距离为d.则 d=|3−(12)n−2−6+(12)n−3|√1+1 =3−(12)n−2√2∴ S △OA n B n = 12 •|OA n |•d= 12 • √2 n•3−(12)n−2√2 =n[ 32 -（ 12 ）n-1]．同理可得 S △OA n+1B n+1 =（n+1）[ 32 -（ 12 ）n ]． ∴S n = S A n A n+1B n+1B n = S △OA n+1B n+1 - S △OA n B n =（n+1）[ 32 -（ 12 ）n ]-n[ 32 -（ 12 ）n-1]= n−12n + 32．根据不等式组{S n≥S n+1S n≥S n−1 .有{n−12n+32≥n2n+1+32 n−12n+32≥n−22n−1+32.解得2≤n≤3．∵S1= 32＜S2=S3= 74＞S4= 2716＞…∴S n的最大值为74．【点评】：本题主要考查向量、解析几何与数列的综合问题.考查了转化思想的应用.等差数列与等比数列的基础知识.数列最大值的求法.考查逻辑思维能力和数学运算能力．本题属综合性较强的较难题．。
上海市七宝中学2019-2020学年第一学期高二期末考试数学试卷(含解析)
上海市七宝中学2019-2020学年第一学期高二期末考试数学试卷 一、填空题1．直线l 的倾斜角范围是 ． 2．方程x 24+y 2m=1表示焦点在y 轴上的椭圆，其焦点坐标是 ．3．抛物线y ＝ax 2（a ≠0）的焦点坐标是 ．4．经过原点及复数√3−i 对应点的直线的倾斜角为 ．5．下面四个命题：①a ，b 是两个相等的实数，则（a ﹣b ）+（a +b ）i 是纯虚数；②任何两个复数不能比较大小；③z 1，z 2∈C ，且z 12+z 22＝0，则z 1＝z 2＝0；④两个共轭虚数的差为纯虚数．其中正确的序号为： ． 6．已知点A 为双曲线x 2﹣y 2＝1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是 ．7．已知直线l 经过点P （﹣2，1），且点A （﹣1，﹣2）到直线的距离为1，则直线l 的方程为 ． 8．直线y ＝2k 与曲线9k 2x 2+y 2＝18k 2|x |（k ∈R ，k ≠0）的公共点的个数为 ．9．当实数a ，b 变化时，两直线l 1：（2a +b ）x +（a +b ）y +（a ﹣b ）＝0与12：m 2x +2y +n ＝0都通过一个定点，则点（m ，n ）所在曲线的方程为 ．10．动点P 到点F （﹣1，0）的距离比到它到y 轴的距离大1，动点P 的轨迹方程是 ． 11．椭圆x 24+y 2＝1的一个焦点是F ，动点P 是椭圆上的点，以线段PF 为直径的圆始终与一定圆相切，则定圆的方程是 ．12．若实数x ，y 满足x ﹣4√y =2√x −y ，则x 的取值范围是 ． 二、选择题：13．已知平面直角坐标系内的两个向量a →=（1，2），b →=（m ，3m ﹣2），且平面内的任一向量c →都可以唯一的表示成c →=λa →+μb →（λ，μ为实数），则m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，2） B ．（2，+∞）C ．（﹣∞，+∞）D ．（﹣∞，2）∪（2，+∞）14．椭圆C ：x 216+y 29=1与直线1：（2m +1）x +（m +1）y ＝7m +4，m ∈R 的交点情况是（ ）A ．没有交点B ．有一个交点C ．有两个交点D ．由m 的取值而确定15．过点P （1，1）作直线与双曲线x 2−y 22=1交于A 、B 两点，使点P 为AB 中点，则这样的直线（ ）A ．存在一条，且方程为2x ﹣y ﹣1＝0B ．存在无数条C ．存在两条，方程为2x ±（y +1）＝0D ．不存在16．已知圆心为O ，半径为1的圆上有不同的三个点A 、B 、C ，其中OA →⋅OB →=0，存在实数λ，μ满足OC →+λOA →+uOB →=0→，则实数λ，μ的关系为（ ） A ．λ2+μ2＝1 B ．1λ+1μ=1C ．λμ＝1D ．λ+μ＝1三、解答题17．已知x ∈R ，设z ＝log 2（3+x ）+i log 2（3﹣x ），当x 为何值时： （1）在复平面上z 对应的点在第二象限？ （2）在复平面上z 对应的点在直线x +y ﹣2＝0上．18．已知直线l 与抛物线y 2＝2px （p ＞0）交于两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） （1）求证：若直线l 过该抛物线的焦点，则y 1•y 2＝﹣p 2； （2）写出（1）的逆命题，判断真假，并证明你的判断．19．（1）若圆C 的方程是x 2+y 2＝r 2，求证：过圆C 上一点M （x 0，y 0）的切线方程为x 0x +y 0y ＝r 2． （2）若圆C 的方程是（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝r 2，则过圆C 上一点M （x 0，y 0）的切线方程为 ，并证明你的结论． 20．已知双曲线x 22−y 2=1的两焦点为F 1，F 2，P 为动点，若PF 1+PF 2＝4．（Ⅰ）求动点P 的轨迹E 方程；（Ⅱ）若A 1（﹣2，0），A 2（2，0），M （1，0），设直线l 过点M ，且与轨迹E 交于R 、Q 两点，直线A 1R 与A 2Q 交于点S ．试问：当直线l 在变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．21．已知椭圆E 两个焦点F 1（﹣1，0），F 2（1，0），并经过点（√22，√32）． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设M ，N 为椭圆E 上关于x 轴对称的不同两点，A （x 1，0），B （x 2，0）为x 轴上两点，且x 1x 2＝2，证明：直线AM ，NB 的交点P 仍在椭圆E 上．（3）你能否将（2）推广到一般椭圆中？写出你的结论即可．一、填空题1．【详解详析】直线l 的倾斜角的范围是[0，π）， 故答案为：[0，π）．2．【详解详析】由题意可得a2＝m，b2＝4，所以c2＝a2﹣b2＝m﹣4，所以c=√m−4，故答案为：（0，±√m−4）．3．【详解详析】当a＞0时，整理抛物线方程得x2=1a y，p=12a∴焦点坐标为（0，14a）．当a＜0时，同样可得．故答案为：（0，14a）．4．【详解详析】复数√3−i对应点的坐标为（√3，﹣1），则经过原点及复数√3−i对应点的直线的斜率k=√3=−√33，∴直线的倾斜角为为5π6．故答案为：5π6．5．【详解详析】①若a＝b＝0，则（a﹣b）+（a+b）i是0，为实数，即①错误；②复数分为实数和虚数，而任意实数都可以比较大小，虚数是不可以比较大小的，即②错误；③若z1＝1﹣i，z2＝1+i，则z12+z22=−2i+2i=0，但z1≠z2，即③错误；④z=a+bi，z=a−bi（b≠0），则z−z=2bi（b≠0）是纯虚数，即④正确．故答案为：④．6．【详解详析】双曲线x2﹣y2＝1的左顶点为A（﹣1，0），根据双曲线的对称性，可设B（x1，y1），C（x1，﹣y1）．由△ABC是等边三角形⇒AB＝BC，得：（x1+1）2+y12＝（﹣y1﹣y1）2，又x12﹣y12＝1，∴x12﹣x1﹣2＝0，∴x1＝﹣1或x1＝2右支的特点是x≥0，所以x1＝2，从而y1=±√3，由此A（﹣1，0），B（2，√3），C（2，−√3），可以算出面积：S=√34AB2=√34×[32+（√3）2]=3√3．故答案为：3√3．7．【详解详析】设直线l的方程为y﹣1＝k（x+2），即kx﹣y+2k+1＝0 ∵点A（﹣1，﹣2）到l的距离为1，∴√1+k 2=1，解之得k =−43，得l 的方程为4x +3y +5＝0．当直线与x 轴垂直时，方程为x ＝﹣2，点A （﹣1，﹣2）到l 的距离为1， ∴直线l 的方程的方程为x ＝﹣2或4x +3y +5＝0． 故答案为：x ＝﹣2或4x +3y +5＝0．8．【详解详析】联立直线y ＝2k 与曲线9k 2x 2+y 2＝18k 2|x |（k ∈R ，k ≠0）， 可得9k 2x 2+4k 2＝18k 2|x |， 由k ≠0化为9x 2﹣18|x |+4＝0， 即为9|x |2﹣18|x |+4＝0， 解得|x |=3+√53或3−√53， 即有四个解：（±3+√53，2k ），（±3−√53，2k ），可得直线和曲线的交点个数为4． 故答案为：4．9．【详解详析】直线l 1：（2a +b ）x +（a +b ）y +（a ﹣b ）＝0，l 1的方程化为（2x +y +1）a +（x +y ﹣1）b ＝0， 令{2x +y +1=0x +y −1=0，解得{x =−2y =3，所以定点的坐标为（﹣2，3）．由l 2过定点（﹣2，3），代入m 2x +2y +n ＝0得﹣2m 2+n +6＝0， ∴点（m ，n ）所在曲线C 的方程为：n ＝2m 2﹣6． 故答案为：n ＝2m 2﹣6．10．【详解详析】由题意可知：动点P 到F （﹣1，0）的距离等于其到直线x ＝1的距离， 由抛物线的定义可知动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝﹣4x ． 故答案为：y 2＝﹣4x ．11．【详解详析】由题意可得a 2＝4，所以a ＝2，设F 为椭圆的右焦点（√3，0），设左焦点F '，则由题意的定义可得PF +PF '＝2a ＝4，所以以线段PF 为直径的圆M 的半径r =12PF ，定圆的半径为R ，因为|MO |=12|PF '|=12（4﹣|PF |）＝2−12|PF |＝2﹣r ，所以|MO |+r ＝2，即圆心距加动圆的半径为定值2，所以当原点为定圆圆心，以R ＝2时，定圆始终与圆M 相切，并且是内切．所以定圆的方程为：x 2+y 2＝4，故答案为：x 2+y 2＝4．12．【详解详析】方法一：【几何法】当x ＝0时，解得y ＝0，符合题意，当x ＞0时，解答如下： 令t =√y ∈（0，√x ]，原方程可化为：﹣2t +x2=√x −t 2，记函数f （t ）＝﹣2t +x2，g （t ）=√x −t 2，t ∈（0，√x ]， 这两个函数都是关于t 的函数，其中x 为参数， f （t ）的图象为直线，且斜率为定值﹣2， g （t ）的图象为四分之一圆，半径为为√x ，问题等价为，在第一象限f （t ），g （t ）两图象有公共点， ①当直线与圆相切时，由d ＝r 解得x ＝20，②当直线过的点A （0，x2）在圆上的点（0，√x ）处时，即√x =x2，解得x ＝4，因此，要使直线与圆有公共点，x ∈[4，20]， 综合以上分析得，x ∈[4，20]∪{0}． 方法二：【代数法】令t =√y ∈（0，√x ]，原方程可化为：x ﹣4t ＝2√x −t 2， 因为x ﹣y ＝x ﹣t 2≥0，所以x ≥t 2≥0，两边平方并整理得，20t 2﹣8xt +x 2﹣4x ＝0（*），这是一个关于t 的一元二次方程，则方程（*）有两个非负数跟， {△=64x 2−80(x 2−4x)≥0t 1t 2=120(x 2−4x)≥0，解得，x ∈[4，20]∪{0}． 故答案为：[4，20]∪{0}．二、选择题：13．【详解详析】根据题意，向量a →、b →是不共线的向量 ∵a →=（1，2），b →=（m ，3m ﹣2） 由向量a →、b →不共线⇔m1≠3m−22解之得m ≠2所以实数m 的取值范围是{m |m ∈R 且m ≠2}． 故选：D ．14．【详解详析】直线1：（2m +1）x +（m +1）y ＝7m +4， ∴（2x +y ﹣7）m ＝﹣x ﹣y +4， 令{2x +y −7=0−x −y +4=0得：{x =3y =1，∴直线l 过定点（3，1），又∵3216+19=97144＜1，∴点（3，1）在椭圆内， ∴直线l 与椭圆有2个交点， 故选：C ．15．【详解详析】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2＝2，y 1+y 2＝2， 则x 12−12y 12=1，x 22−12y 22=1，两式相减得（x 1﹣x 2）（x 1+x 2）−12（y 1﹣y 2）（y 1+y 2）＝0， ∴x 1−x 2=12(y 1−y 2)， 即k AB ＝2，故所求直线方程为y ﹣1＝2（x ﹣1），即2x ﹣y ﹣1＝0． 联立{y =2x −1x 2−12y 2=1可得2x 2﹣4x +3＝0，但此方程没有实数解故这样的直线不存在 故选：D ．16．【详解详析】由题意可得|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1，且OA →⋅OB →=0． ∵OC →+λOA →+uOB →=0→，即 OC →=−λOA →−μOB →，平方可得 1＝λ2+μ2， 故选：A ． 三、解答题17．【详解详析】（1）由题意可知：{log 2(3+x)＜0log 2(3−x)＞0，即{0＜3+x ＜13−x ＞1，解得：﹣3＜x ＜﹣2；（2）由题意可知：log 2（3+x ）+log 2（3﹣x ）﹣2＝0， ∴log 2[（3+x ）（3﹣x ）]﹣2＝0， ∴log 2(9−x 2)−2=0， ∴log 2(9−x 2)=log 24， ∴9﹣x 2＝4，∴x 2＝5， 又∵{3+x ＞03−x ＞0，即﹣3＜x ＜3，∴x =±√5．18．【详解详析】（1）已知直线l 与抛物线y 2＝2px （p ＞0）交于两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 若直线l 过该抛物线的焦点F （p2，0），设直线l ：x ＝ky +p2， 由{x =ky +p2y 2=2px，得y 2﹣2ky ﹣p 2＝0，y 1y 2=−p 2；综上，命题成立；（2）逆命题：若y 1•y 2＝﹣p 2，直线l 过该抛物线的焦点． 证明如下：设直线x ＝ky +m ，由{x =ky +my 2=2px ，得y 2﹣2ky ﹣2pm ＝0， △＝4k 2+4m 2＞0，y 1•y 2＝﹣2pm ， 又y 1•y 2＝﹣p 2，故m =p2 所以直线l 过该抛物线的焦点．19．【详解详析】（1）证明：圆C 的方程是x 2+y 2＝r 2，其圆心为C ，坐标为（0，0）， 则k MC =y 0−0x 0−0=y 0x 0，则切线的斜率k =−1kCM=−x0y 0，则切线的方程为：（y ﹣y 0）=−x0y 0（x ﹣x 0），变形可得x 0x +y 0y ＝r 2，即可得证明；（2）根据题意，过圆C 上一点M （x 0，y 0）的切线方程为（x ﹣a ）（x 0﹣a ）+（y ﹣b ）（y 0﹣b ）＝r 2， 证明：圆C 的方程是（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝r 2，其圆心坐标为（a ，b ）， 则k MC =y 0−b x 0−a，则切线的斜率k =−1k CM=−x 0−a y 0−b，则切线的方程为：（y ﹣y 0）=−x 0−a y 0−b（x ﹣x 0），即（y ﹣b +b ﹣y 0）（y 0﹣b ）＝﹣（x ﹣a +a +x 0）（x 0﹣a ），则有（y ﹣b ）（y 0﹣b ）+（x ﹣a ）（x 0﹣a ）﹣（x 0﹣a ）2+（y 0﹣b ）2， 变形可得：（x ﹣a ）（x 0﹣a ）+（y ﹣b ）（y 0﹣b ）＝r 2， 即可得证明．20．【详解详析】（Ⅰ）由题意知：F 1(−√3，0)，F(√3，0)， 又∵PF 1+PF 2＝4，∴动点P （x ，y ）必在以F 1，F 2为焦点，长轴长为4的椭圆，∴a ＝2， 又∵c =√3，b 2＝a 2﹣c 2＝1． ∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．（Ⅱ）由题意，可设直线l 为：x ＝my +1． 取m ＝0，得R(1，√32)，Q(1，−√32)，直线A 1R 的方程是y =√36x +√33，5 直线A 2Q 的方程是y =√32x −√3，交点为S 1(4，√3)．若R(1，−√32)，Q(1，√32)，由对称性可知交点为S 2(4，−√3)．若点S 在同一条直线上，则直线只能为ℓ：x ＝4．以下证明对于任意的m ，直线A 1R 与直线A 2Q 的交点S 均在直线ℓ：x ＝4上． 事实上，由{x 24+y 2=1x =my +1，得（my +1）2+4y 2＝4，即（m 2+4）y 2+2my ﹣3＝0，记R （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则y 1+y 2=−2m m 2+4，y 1y 2=−3m 2+4．设A 1R 与ℓ交于点S 0（4，y 0），由y04+2=y 1x1+2，得y 0=6y 1x1+2． 设A 2Q 与ℓ交于点S 0′（4，y 0′），由y′4−2=y 2x2−2，得y 0′=2y 2x2−2．∵y0−y0′=6y1x1+2−2y2x2−2=6y1(my2−1)−2y2(my1+3)(x1+2)(x2−2)=4my1y2−6(y1+y2)(x1+2)(x2−2)=−12mm2+4−−12mm2+4(x1+2)(x2−2)=0，∴y0＝y0′，即S0与S0′重合，这说明，当m变化时，点S恒在定直线ℓ：x＝4上．21．【详解详析】（1）根据题意设椭圆E的标准方程为：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），∴{c=1(√22)2a2+(√32)2b2=1a2=b2+c2，解得：{a=√2b=1c=1，∴椭圆E的标准方程为：x 22+y2=1；（2）设M（m，n）N（m，﹣n），P（x0，y0），则直线AM的方程为：y（m﹣x1）＝n（x﹣x1）①，直线BN的方程为：y（m﹣x2）＝﹣n（x﹣x2）②，把交点P（x0，y0）代入①，②，整理得：（y0﹣n）x1＝my0﹣nx0，③（y0+n）x2＝my0+nx0，④③与④两边分别相乘得：(y02−n2)x1x2=m2y02−n2x02，又∵x1x2=2，m2=2−2n2，∴x02+2y02=2，∴直线AM，NB的交点P仍在椭圆E上；（3）若椭圆标准方程为：x 2a2+y2b2=1，M，N为椭圆上关于x轴对称的不同两点，A（x1，0），B（x2，0）为x轴上两点，且x1x2＝a2，则直线AM，NB的交点P仍在椭圆E上．。
2019-2020年高二上学期期末考试数学试题 含答案
2019-2020年高二上学期期末考试数学试题含答案一、选择题1．如果函数的定义域为，那么函数的定义域为A. B.C. D.2．一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于（）A． B． C． D．3．下列说法错误的是（）A．若直线平面，直线平面，则直线不一定平行于直线B．若平面不垂直于平面，则内一定不存在直线垂直于平面C．若平面平面，则内一定不存在直线平行于平面D．若平面平面，平面平面，，则一定垂直于平面4．若命题所有对数函数都是单调函数，则为（）A．所有对数函数都不是单调函数 B．所有单调函数都不是对数函数C．存在一个对数函数不是单调函数 D．存在一个单调函数不是对数函数5．已知，且，则函数与函数的图像可能是（）6．函数的定义域为（）A． B． C． D．7．设若，则的值为（）A． B． C． D．8．（xx秋•枣庄期末）直线x﹣y+1=0的倾斜角的大小为（）A．30° B．60° C．120° D．150°9．若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．10．若函数，则（其中为自然对数的底数）=（）A．0 B．1 C．2 D．11．设奇函数在区间上是增函数，且.当时，函数，对一切恒成立，则实数的取值范围为（）A. B.或C.或D.或或12．已知函数f（x）=（a>0,且a≠1）在上单调递减，且关于x的方程│f（x）│=2x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（A）（0，] （B）[，] （C）[，]{} （D）[，）{}二、填空题13．点关于直线的对称点为，则点的坐标为．14．如图所示，程序框图的输出结果是 .15．已知集合，则从集合P到集合Q的映射共有种.16．设函数.若存在实数，使函数有两个零点，则实数的取值范围为 .三、解答题17．已知是偶函数，当时，．（1）求的解析式；（2）若不等式在时都成立，求的取值范围．18．某同学参加高校自主招生门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为（Ⅰ）求该生至少有门课程取得优秀成绩的概率及求p，q的值；（Ⅱ）求该生取得优秀成绩课程门数的数学期望．19．如图，在直三棱柱中，，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．参考答案ABCCB AABDC11．D12．C13．14．15．916．或17．（1）；（2）.（1）当x＜0时，有﹣x＞0，∵f（x）为偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x，∴．（2）由题意得x2﹣2x≥mx在1≤x≤2时都成立，即x﹣2≥m在1≤x≤2时都成立，即m≤x﹣2在1≤x≤2时都成立．而在1≤x≤2时，（x﹣2）min=﹣1，∴m≤﹣1．考点：函数的奇偶性，解不等式.18．（1），（2）见解析用表示“该生第门课程取得优秀成绩”， =1，2，3．由题意得，（Ⅰ）该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率为及，解得，（Ⅱ）由题设知的可能取值为0，1，2，3，，，0123∴．∴该生取得优秀成绩的课程门数的期望为．19．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）（Ⅰ）证法一：由已知，又，∴平面，∴，又，∴，∴平面；证法二：由已知条件可得两两互相垂直，因此取以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，∴，，，∵，且，∴，且，∴平面；（Ⅱ）∵，，设平面，则，取，∴；由（Ⅰ）知，为平面的法向量，设二面角的大小为，由题意可知为锐角，∴111cos cos ,105m AC m AC m AC θ⋅=<>===⨯⋅． 即二面角的余弦值为．。
上海市闵行区七宝中学19-20学年高二上学期期末数学试卷 (附答案解析)
上海市闵行区七宝中学19-20学年高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 已知平面内向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(m,3m −2)，且平面内的任意向量c⃗ 都可以唯一的表示成c ⃗ =λa ⃗ +μb ⃗ (λ,μ为实数)，则m 的取值范围是( )A. (−∞,2)B. (2,+∞)C. (−∞,+∞)D. (−∞,2)∪(2,+∞) 2. 直线l:y =k(x −1)与椭圆x 23+y 24=1的交点个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4 3. 过点P (4,2)作一直线AB 与双曲线C:x 22−y 2=1相交于A ，B 两点，若P 为AB 中点，则|AB |=( ) A. 2√2 B. 2√3 C. 3√3 D. 4√34. 已知圆心为O ，半径为1的圆上有不同的三个点A ，B ，C ，其中OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，存在实数λ，μ满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOA⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则实数λ，μ的关系为( ) A. λ2+μ2=1 B. 1λ+1μ=1 C. λμ=1 D. λ+μ=1二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 直线x +y +1=0的倾斜角是__________.6. 若焦点在y 轴上的椭圆x 2a +y 24=1的长轴长是短轴的2倍，则a = ______ ．7. 若抛物线y =ax 2的焦点F 的坐标为(0,−1)，则实数a 的值为______ ．8. 在复平面内，复数z 满足z =|√3+i|1+i，则z 对应点的坐标是______ ． 9. 若复数z =a 2−2a −3+(a +1)i 为纯虚数，则实数a =__________．10. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 为双曲线x 2−y 2=4的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右支上，ΔABC 是等边三角形，则ΔABC 的面积为________．11. 已知点P(2,3)到经过原点的直线l 的距离为2，则直线l 的方程是________．12. 已知直线l ：y =k(x +2√2)与椭圆x 2+9y 2=9交于A ，B 两点，若|AB|=2，则k =________． 13. (1)在△ABC 中，已知AB =2，AC 2−BC 2=6，则tan C 的最大值是________.(2)已知直线l 过点P(1,2)且与圆C ：x 2+y 2=2相交于A ，B 两点，△ABC 的面积为1，则直线l 的方程为________．14.动点P到点A(0,2)的距离比它到直线l:y=−4的距离小2，则动点P的轨迹方程为．15.已知椭圆的左焦点为F1，右焦点为F2.若椭圆上存在一点P，满足线段PF2相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF2的中点，则该椭圆的离心率为______ ．16.已知实数x，y满足x2+y2=3，则的取值范围为______ ．x−2√3三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知z=(x+1)+(y−1)i在复平面所对应的点在第二象限，求x与y的取值范围．18.已知直线l：y=k(x−n)与抛物线y2=4x交于A(x1,y1)，B(x2,y2)(x1x2≠0)两点．(Ⅰ)若直线l过抛物线的焦点F，求x1x2的值；(Ⅱ)若x1x2+y1y2=0，求n的值．19.已知圆C：x２+y２=r２，过圆上点P(x0,y0)(x0y0≠0)作圆的切线l，求切线l的方程．20.已知椭圆C：x28+y24=1的左右焦点分别为F1，F2，直线l：y=kx+m与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点．(1)若直线l过点F1，且|AF2|+|BF2|=16√23，求直线l的方程；(2)若以AB为直径的圆过点O，点P是线段AB上的点，满足OP⊥AB，求点P的轨迹方程．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1(−√3,0)，且过点P(√32,√134).(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知A1，A2分别为椭圆C的左、右顶点，Q为直线x=1上任意一点，直线A1Q，A2Q分别交椭圆C于不同的两点M，N.求证：直线MN恒过定点，并求出定点坐标．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题考查平面向量基本定理的应用，考查向量共线问题和向量的坐标运算，属基础题．根据已知，由平面向量基本定理可得向量a⃗，b⃗ 不共线，利用向量共线的充分必要条件列出不等式，即可解得m≠2，从而得到m的取值范围．【解答】解：由题意可知，向量a⃗，b⃗ 不共线，所以1×(3m−2)−2m≠0，解得m≠2，即m的取值范围是(−∞,2)∪(2,+∞).故选D．2.答案：B解析：【分析】本题考查了直线和椭圆的位置关系，属于基础题．根据直线恒过椭圆内部的点(1,0)，易得直线和椭圆的交点个数．【解答】解：∵直线l恒过点(1,0)，而点(1,0)在椭圆的内部，∴直线l与椭圆恒有2个交点，故选B．3.答案：D解析：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查直线方程的求法，涉及弦中点问题，属于中档题．往往考虑利用“平方差法”加以解决.利用平方差法：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入双曲线方程然后作差，由中点坐标公式及斜率公式可求得直线l的斜率，再用点斜式即可求得直线方程.进而求弦长．解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=8，y1+y2=4，则12x12−y12=1，12x22−y22=1，两式相减得12(x 1−x 2)(x 1+x 2)−(y 1−y 2)(y 1+y 2)=0，∴x 1−x 2=y 1−y 2，即k AB =1，故所求直线方程为y −2=1(x −4)，即x −y −2=0．联立{y =x −2x 22−y 2=1，整理得x 2−8x +10=0， 由韦达定理得x 1+x 2=8,x 1x 2=10，则|AB |=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√2√82−40=4√3．故选D ．4.答案：A解析：【分析】本题考查平面向量基本定理运用，属于基础题．解法一：取特殊点进行求解；解法二：依题意得|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，−OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方得1=λ2+μ2即可求解．解：解法一取特殊点，取C 为优弧AB 的中点，此时由平面向量基本定理易得λ=μ=√22，只有选项A 符合.故选A ．解法二依题意得|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，−OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方得1=λ2+μ2.故选A ．5.答案：3π4解析：直线x +y +1=0的斜率k =−1，∴直线x +y +1=0的倾斜角3π4.故答案为：3π4. 6.答案：1解析：解：∵椭圆x 2a +y 24=1的焦点在y 轴上，∴4>a >0，且椭圆的长半轴长为2，短半轴长为√a ，由长轴长是短轴的2倍，得2=2√a ，即a =1．故答案为：1．由题意与椭圆方程得到椭圆的长半轴长和短半轴长，再由长轴长是短轴的2倍列式求得a 的值． 本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的几何性质，是基础题．7.答案：−14解析：解：抛物线y =ax 2的标准方程为x 2=1a y ，∵抛物线y =ax 2的焦点坐标为(0,−1)，∴14a =−1，∴a =−14故答案为：−14．先把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的焦点坐标，可得a 的值．本题主要考查了抛物线的标准方程、抛物线的性质．属基础题． 8.答案：(1,1)解析：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式、共轭复数的定义、几何意义，属于基础题． 利用复数的运算法则、模的计算公式、共轭复数的定义、几何意义即可得出．解：复数z 满足z =|√3+i|1+i =√(√3)2+12(1−i)(1+i)(1−i)=2(1−i)2=1−i ，∴z =1+i ，∴z 对应点的坐标是(1,1)．故答案为：(1,1)．9.答案：3解析：本题考查复数的概念，属于基础题．由题意，{a 2−2a −3=0a +1≠0，解得即可．解：∵复数z=a2−2a−3+(a+1)i为纯虚数，∴{a2−2a−3=0，解得a=3，a+1≠0故答案为3．10.答案：12√3解析：本小题主要考查双曲线的标准方程、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．先求出双曲线x2−y2=4的左顶点为A(−4,0)，根据双曲线的对称性，设出B(x1,y1)，C(x1,−y1)的坐标，根据△ABC是等边三角形得(x1+2)2+y12=(−y1−y1)2，求出x1和y1的值，由此得BC=4√3，从而可以算出面积．解：双曲线x2−y2=4的左顶点为A(−2,0)，根据双曲线的对称性，可设B(x1,y1)，C(x1,−y1).由△ABC是等边三角形⇒AB=BC，得：(x1+2)2+y12=(−y1−y1)2，又x12−y12=4，∴x12−2x1−8=0，∴x1=−2或x1=4右支的范围是x≥0，所以x1=4，从而y1=±2√3，由此BC=4√3，×(4√3)2=12√3．可以算出面积：S=√34故答案为12√3．11.答案：x=0或5x−12y=0解析：本题考查了直线的点斜式方程与点到直线的距离公式，属于基础题．当直线斜率不存在时方程可得，当直线斜率存在时，利用点到直线的距离公式求出k，则方程可求．解：当斜率不存在时，直线方程为x=0，此时点P到直线l的距离为2，当斜率存在时，设直线l的方程为y=kx，即kx−y=0．由点P(2,3)到直线l的距离公式可知√k2+1=2，解得：k=512，直线方程为x=0或5x−12y=0，故答案为x=0或5x−12y=0．12.答案：±√33解析：由题意，由直线y=k(x+2√2)，得直线过椭圆的左焦点F(−2√2,0)，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，将直线y=k(x+2√2)代入椭圆x2+9y2=9，可得(1+9k2)x2+36√2k2x+72k2−9=0，x1+x2=−36√2k21+9k2，x1x2=72k2−91+9k2，利用弦长公式得到关于k的方程，解得即可．解：椭圆x2+9y2=9，即椭圆x29+y2=1，所以椭圆的焦点坐标为(±2√2,0)，因为直线y=k(x+2√2)，所以直线过椭圆的左焦点F(−2√2,0)，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，将直线y=k(x+2√2)代入椭圆x2+9y2=9，可得(1+9k2)x2+36√2k2x+72k2−9=0，所以x1+x2=−36√2k21+9k2，x1x2=72k2−91+9k，所以|AB|=√1+k2·√(x1+x2)2−4x1x2=6(1+k2)1+9k2，因为|AB|=2，所以6(1+k 2)1+9k 2=2，所以k =±√33． 故答案为±√33．13.答案：(1)2√55(2)3x −4y +5=0或x =1解析：【分析】 (1)本题以三角形为背景，考查直线的斜率和基本不等式知识．其中到两个定点的距离的平方差为定值的点的轨迹是直线．为了刻画点C 的变化，可建立平面直角坐标系帮助解题． (2)在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若果用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．解：(1)建立平面直角坐标系xOy ，使得A(−1,0)，B(1,0)，设C(x,y)，其中y >0．由AC 2−BC 2=6，得(x +1)2+y 2−(x −1)2−y 2=6．得x =32，所以k AC =25，k BC =2y.因此tanC =k BC −k AC1+k BC ⋅k AC =8y 5+4y 2=85y +4y ≤2√55，当且仅当y =√52时取等号． (2)当直线斜率存在时，设直线的方程为y =k(x −1)+2，即kx −y −k +2=0．因为S =12CA ⋅CB ⋅sin∠ACB =1，所以12×√2×√2×sin∠ACB =1，所以sin∠ACB =1.即∠ACB =90°，所以圆心C 到直线AB 的距离为1.所以√k 2+1=1，解得k =34，所以直线方程为3x −4y +5=0． 当直线斜率不存在时，直线方程为x =1，经检验符合题意．综上所述，直线方程为3x −4y +5=0或x =1．方法突破 根据各种形式的方程，采用待定系数的方法求出其中的系数，在求直线方程时凡涉及斜率的要考虑其存在与否，凡涉及截距的要考虑截距是否为零以及其存在性．14.答案：x 2=8y解析：本题考查求轨迹方程，考查推理能力和计算能力，属于基础题． 利用抛物线的定义即可求解．解：由题意，得动点P 到点A(0,2)的距离与到直线y =−2的距离相等， 故P 点的轨迹是以(0,2)为焦点的抛物线，其轨迹方程为x 2=8y ， 故答案为x 2=8y ．15.答案：√53解析：解：如图，设以椭圆的短轴为直径的圆与线段PF 2相切于M 点， 连接OM ，PF 2，∵M ，O 分别是PF 2，F 1F 2的中点， ∴MO//PF 1，且|PF 1|=2|MO|=2b ， OM ⊥PF 2，∴PF 1⊥PF 2，|F 1F 2|=2c ， ∴|PF 2|=2√c 2−b 2，根据椭圆的定义，|PF 1|+|PF 2|=2a ， ∴2b +2√c 2−b 2=2a ， ∴a −b =√c 2−b 2，两边平方得：a 2−2ab +b 2=c 2−b 2， c 2=a 2−b 2代入并化简得：2a =3b ， ∴b =23，a =1，c =√1−49=√53，∴e =ca =√53，即椭圆的离心率为√53．故答案为：√53．先设切点为M，连接OM，PF1，根据已知条件即可得到|PF1|=2b，并且知道PF1⊥PF2，这样即可可求得|PF2|=2√c2−b2，这样利用椭圆的定义便得到2b+2√c2−b2=2a，化简即可得到b=23，根据离心率的计算公式即可求得离心率e．本题考查中位线的性质，圆心和切点的连线和切线的关系，以及椭圆的定义，c2=a2−b2，椭圆离心率的计算公式，属于中档题．16.答案：[−√33,√3 3]解析：解：画出满足条件的平面区域，如图示：，而x−2√3的几何意义表示过A(2√3,0)与圆上的点的直线的斜率，显然直线与圆在上方与圆相切时，斜率最小，在下方与圆相切时，斜率最大，由OA=2√3，OB=√3，得∠OAB=30°，∴直线AB的斜率是−√33，同理可求：直线在圆的下方时即蓝色直线的斜率是：√33故答案为：[−√33,√33]．画出满足条件的平面区域，根据x−23的几何意义结合图象求出其范围即可．本题考查了x−2√3的几何意义，考查数形结合思想，考查直线斜率公式，是一道基础题．17.答案：解：复数Z所对应的点在第二象限，Z为(x+1,y−1)，由题得{x +1<0,y −1>0,所以{x <−1,y >1.解析：本题目主要考查复数的代数表示及其几何意义，属于容易题．18.答案：解：(Ⅰ)由题设知，抛物线焦点F(1,0)，…2分于是直线l 方程为y =k(x −1)(k ≠0)，代入y 2=4x 得k 2x 2−2(k 2+2)x +k 2=0，…4分 显然△=4(k 2+2)2−4k 4=4(k 2+1)>0…5分 由根与系数的关系得x 1x 2=k 2k2=1.…6分(Ⅱ)显然k ≠0，由{y =k(x −n)y 2=4x 消去x 得y 2−4k y −4n =0由题设△=16k 2−16n >0，即1+nk 2>0①由根与系数的关系，得y 1+y 2=4k ，y 1y 2=−4n ，②…10分又x 1x 2+y 1y 2=0，y 12=4x 1，y 22=4x 2，得y 1y 2=−16，由②得n =4，代入①式检验成立， 所以n =4.…12分．解析：(Ⅰ)求出抛物线焦点，直线l 方程为y =k(x −1)(k ≠0)，代入y 2=4x 利用韦达定理求出x 1x 2的值即可．(Ⅱ)通过{y =k(x −n)y 2=4x 消去x 利用韦达定理，通过x 1x 2+y 1y 2=0，转化求解n 即可．本题考查抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．19.答案：解：k OP =y 0x 0，切线斜率k l =−x 0y 0，切线方程为y =−x 0y 0⋅(x −x 0)+y 0，即x 0x +y 0y =x 02+y 02， 又因为x 02+y 02=r 2，所以切线方程为x 0x +y 0y =r 2．解析：本题主要考查圆的切线方程的知识点，首先求出切线斜率k l =−xy 0，将切线方程设出，由已知过得点P(x 0,y 0)(x 0y 0≠0)，即可求出切线方程．20.答案：解：(1)由椭圆定义得|AB|+|AF 2|+|BF 2|=4a =8√2，则|AB|=8√23． 因为直线l 过点F 1(−2,0)，所以m =2k ，即直线l 的方程为y =k(x +2)． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).联立{y =k(x +2),x 2+2y 2−8=0,整理得(1+2k 2)x 2+8k 2x +8k 2−8=0． ∴ x 1+x 2=−8k 21+2k 2，x 1x 2=8k 2−81+2k 2．由弦长公式|AB|=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=8√23，代入整理得1+k 21+2k 2=23，解得k =±1．所以直线l 的方程为y =±(x +2)，即x −y +2=0或x +y +2=0． (2)设直线l 方程y =kx +m ，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).联立{y =kx +m,x 2+2y 2−8=0,整理得(2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2−8=0． ∴ x 1+x 2=−4km2k +1，x 1x 2=2m 2−82k 2+1．以AB 为直径的圆过原点O ，即OA →⋅OB →=0． ∴ OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=0． 将y 1=kx 1+m ，y 2=kx 2+m 代入， 整理得(1+k 2)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=0． 将x 1+x 2=−4km2k 2+1，x 1x 2=2m 2−82k 2+1代入，整理得3m 2=8k 2+8．∵点P 是线段AB 上的点，满足OP ⊥AB ， 设点O 到直线AB 的距离为d ，∴ |OP|=d ，于是|OP|2=d 2=m 2k 2+1=83(定值)，∴点P 的轨迹是以原点为圆心，√83为半径的圆，且去掉圆与x 轴的交点．故点P 的轨迹方程为x 2+y 2=83(y ≠0).解析：本题主要考查椭圆与直线的位置关系，定点和定值问题，动点的轨迹方程，考查学生的计算化简能力，问题分析转化能力．(1)根据椭圆定义得|AB|+|AF 2|+|BF 2|=4a =8√2，则|AB|=8√23，设出直线l 的方程y =k(x +2)，与椭圆联立，得到韦达定理 x 1+x 2=−8k 21+2k2，x 1x 2=8k 2−81+2k 2，利用弦长公式表示出线段AB 的长度，从而求出k 值．(2)设出直线l 的方程y =kx +m ，与椭圆联立，得到韦达定理 x 1+x 2=−4km 2k 2+1，x 1x 2=2m 2−82k 2+1，由圆过点O ，得到3m 2=8k 2+8，求出|OP|的表达式，发现|OP|2是个定值．21.答案：解：(1)椭圆的一个焦点F 1(−√3,0)，则另一个焦点为F 2(√3,0)，由椭圆的定义知：PF 1+PF 2=2a ，代入计算得a =2， 又b 2=a 2−c 2=1， 所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1;(2)证明：设Q(1,t)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 则直线A 1Q 的方程为y =t 3(x +2)，与x 24+y 2=1联立，解得M(−8t 2+184t 2+9,12t4t 2+9)，同理N(8t 2−24t 2+1,4t4t 2+1)，所以直线MN 的斜率为12t 4t 2+9−4t4t 2+1−8t 2+184t 2+9−8t 2−24t 2+1=−2t4t 2+3，所以直线MN 的方程为y −12t 4t 2+9=−2t 4t 2+3(x −−8t 2+184t 2+9)，则y =−2t4t 2+3(x −4)，所以直线MN 恒过定点，且定点坐标为(4,0)．解析：(1)由由椭圆的定义知：PF 1+PF 2=2a ，代入计算得a =2，b 2=a 2−c 2求得b 的值，求得椭圆方程；(2)设Q(1,t)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，分别求出M ，N 的坐标，根据斜率公式和求出直线方程，则可得y =−2t4t 2+3(x −4)，即可求出定点坐标．本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，直线方程，考查计算能力，属于中档题．。
2019-2020学年上海市中学高二期末数学试题及答案
2019-2020学年上海市中学高二期末数学试题及答案一、单选题1．已知平面直角坐标系内的两个向量(1,2),(,32)a b m m ==-,且平面内的任一向量c 都可以唯一表示成c a b λμ=+(,λμ为实数),则实数m 的取值范围是( ) A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(,)-∞+∞D ．(,2)(2,)-∞⋃+∞【答案】D【解析】根据平面向量基本定理只需,a b 不共线即可. 【详解】由题意得,平面内的任一向量c 都可以唯一表示成c a b λμ=+(,λμ为实数),则,a b 一定不共线,所以1(32)2m m ⨯-≠⨯,解得2m ≠, 所以m 的取值范围是(,2)(2,)-∞⋃+∞. 故选：D. 【点睛】此题考查平面向量基本定理的辨析，平面内一组基底必须不共线，求解参数只需考虑根据平面向量共线的坐标运算求出参数即可得解.2．椭圆22:1169x y C +=与直线:(21)(1)74,l m x m y m m R +++=+∈的交点情况是（ ）A ．没有交点B ．有一个交点C ．有两个交点 D ．由m 的取值而确定【答案】C【解析】先将(21)(1)74,+++=+m x m y m 转化为：()2730x y m x y +-++-=，令30,270xy x y +-=+-=，解出直线过定点()3,1A ，再将()3,1A 代入22:1169x y C +=，判断点与椭圆的位置关系. 【详解】已知(21)(1)74,+++=+m x m y m 可转化为：()2740x y m x y +-++-= ，令+-=+-=40,270xy x y ，解得3,1x y ==，所以直线过定点()3,1A ，将()3,1A 代入22:1169x y C += 可得911169+<，所以点()3,1A 在椭圆的内部， 所以直线与椭圆必相交， 所以必有两个交点. 故选：C 【点睛】本题主要考查了点与椭圆，直线与椭圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于基础题.3．过点(1,1)P 作直线与双曲线2212yx -=交于,A B 两点，使点P为AB 的中点，则这样的直线（ ）A ．存在一条，且方程为210x y --=B ．存在无数条C ．存在两条，且方程为2(1)0x y ±+=D ．不存在 【答案】D【解析】分当直线的斜率不存在时，将直线方程为1x = 代入2212y x -=，得0y =，与双曲线只有一个交点，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为()11y k x -=-代入2212y x -=，得()()222221320k x k k x k k ----+-=，分220k -=和22k -≠0两种情况讨论求解.【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为1x = 代入2212y x -=，得0y = ，与双曲线只有一个交点，不符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线方程为()11y k x -=-，代入2212y x -=，得()()222221320k x k k x k k ----+-=，当220k -=时，直线()11y x -=-与双曲线只有一个交点，不符合题意.当22k -≠0时，因为点P 为AB 的中点， 由韦达定理得()1222122k k x x k-+==- ，解得2k = 而当2k =时，222[2(1)]4(2)(32)24160k k k k k k ∆=----+-=-<，所以直线与双曲线不相交. 故选：D 【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，还考查了分类讨论的思想方法，属于中档题.4．已知圆心为O ，半径为1的圆上有不同的三个点,,A B C ，其中0OA OB ⋅=，存在实数,λμ满足0OC OA uOB λ++=，则实数,λμ的关系为A ．221λμ+=B ．111λμ+= C ．1λμ= D ．1λμ+=【答案】A【解析】由题意得1OA OB OC ===，且0OA OB ⋅=.因为0OC OA uOB λ++=，即OC OA uOB λ=--.平方得：221λμ+=. 故选A.二、填空题5．直线l 的倾斜角范围是__________； 【答案】0,【解析】由直线的倾斜角定义来确定. 【详解】由直线倾斜角的定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地，当直线与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度.范围：倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. 故答案为：0,【点睛】本题主要考查了直线倾斜角的定义及范围，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.6．方程2214x y m+=表示焦点在y 轴上的椭圆，其焦点坐标是_________；【答案】(0,【解析】根据方程2214x y m +=表示焦点在y 轴上的椭圆，确定22,4a m b ==，再由,,a b c 的关系求出c ，写出坐标即可.【详解】因为方程2214x y m +=表示焦点在y 轴上的椭圆，所以22,4a m b == ，所以c==所以焦点坐标为：(0,.故答案为：(0,.【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.7．抛物线()20y ax a =<的焦点坐标为____________.【答案】10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】将抛物线的方程化为标准方程，可得出该抛物线的焦点坐标. 【详解】抛物线的标准方程为21x y a=，因此，该抛物线的焦点坐标为10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查抛物线焦点坐标的求解，解题的关键就是要将抛物线的方程表示为标准形式，考查计算能力，属于基础题. 8i -对应点的直线的倾斜角为_________； 【答案】56π【解析】先利用复数的几何意义，i -对应点的坐标，直线又经过原点()0,0，根据斜率公式求得斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】i -对应点)1- ，直线又经过原点()0,0 ，所以斜率103k ==-，所以tan α= ，又因为[0,)απ∈ ， 所以56πα=.故答案为：56π.【点睛】本题主要考查了直线的斜率，倾斜角及其关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9．下面四个命题：①,a b 是两个相等的实数，则()()a b a b i -++是纯虚数；②任何两个负数不能比较大小；③12,z z C ∈，且22120z z +=，则120z z ==；④两个共轭虚数的差为纯虚数.其中正确的序号为_________； 【答案】④【解析】①采用特殊值法，当,a b 都是零时来判断.②通过负数也是实数来判断.③采用特殊值法，当121,z z i ==时来判断.④根据题意，是两个共轭虚数，则虚部不为零来判断. 【详解】 当0ab 时，则()()0a b a b i -++=，不是纯虚数，故错误.②因为负数是实数，实数可以比较大小，故错误. ③当121,z z i ==时，符合12,z z C ∈，且22120z z +=，而120z z ==不成立，故错误.④因为是两个共轭虚数，所以设()0z a bi b =+≠ ，其共轭复数是()0za bib =-≠，则()20z z bi b -=≠所以是纯虚数，故正确. 故答案为：④ 【点睛】本题主要考查了复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.10．已知点A 为双曲线221x y -=的左顶点，点B 和点在C 双曲线的右支上，ABC ∆是等边三角形，则ABC ∆的面积为_________； 【答案】【解析】根据题意得()1,0A -，再根据双曲线和等边三角形的对称性，得到AB k =AB 的方程，求出点(B ，从而可求ABC ∆的面积. 【详解】由题意得，()1,0A - ，因为点B 和C 在双曲线的右分支上，ABC ∆是等边三角形，根据对称性得，AB k =，所以直线AB 的方程是)1y x =+ ，代入双曲线方程，得220x x --= ， 解得2x = 或1x =- （舍去），所以(B ， 所以1233332∆ABCS .故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和三角形面积的计算，还考查了分析解决问题的能力，属于基础题.11．直线l 经过点()2,1P -，且点()1,2--A 到l 的距离为1，则直线l 的方程为______． 【答案】2x =-或4350x y ++=【解析】当直线l 斜率存在时，设出点斜式并利用点到直线的距离公式算出l 的方程为4350x y ++=；当直线与x 轴垂直时，l 方程为2x =-也符合题意．由此即可得到此直线l 的方程． 【详解】设直线l 的方程为()12y k x -=+，即210kx y k -++= ∵点()1,2--A 到l 的距离为1，1=，解之得43k =-， 得l 的方程为4350x y ++=．当直线与x 轴垂直时，方程为2x =-，点()1,2--A 到l 的距离为1，∴直线l 的方程为2x =-或4350x y ++=． 故答案为：2x =-或4350x y ++= 【点睛】本题主要考查求经过定点，且到定点的距离等于定长的直线l 方程，着重考查了直线的方程、点到直线的距离公式等知识，属于基础题． 12．直线2y k =与曲线2222918(,0)k x y k x k R k +=∈≠的公共点的个数为_________； 【答案】4个【解析】将直线方程2y k =与曲线方程2222918+=k x y k x联立得，291840xx -+= ，根据方程根的个数来判断.【详解】将直线方程2y k =与曲线方程2222918+=kx y k x 联立得，291840x x -+=，解得13x =-或13x =+，所以13x=-或13x =-或13x =+或13x=--，故直线与曲线的公共点有4个. 故答案为：4 【点睛】本题主要考查了直线与曲线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.13．当实数,a b 变化时，两直线1:(2)()()0l a b x a b y a b ++++-=与22:20l m x y n ++=都通过一个定点，则点(,)m n 所在曲线的方程为_________； 【答案】226n m =-【解析】将(2)()()0++++-=a b x a b y a b 变形为()()(2)()()2110++++-=++++-=a b x a b y a b x y a x y b ，令210x y ++=且10x y +-=，求得定点坐标，再代入直线2l 的方程求解. 【详解】因为()()(2)()()2110++++-=++++-=a b x a b y a b x y a x y b ，对任意的实数,a b 都成立，所以21010x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得23x y =-⎧⎨=⎩，所以直线1:(2)()()0l a b x a b y a b ++++-=过定点()2,3-， 因为 2l 也通过定点()2,3-， 将()2,3-代入220++=m x y n ， 得226n m =-. 故答案为：226n m =- 【点睛】本题主要考查了直线系及其应用，还考查了分析，解决问题的能力，属于基础题.14．动点P 到点(1,0)F -的距离比到它到y 轴的距离大1，动点P 的轨迹方程是_________；【答案】20,04,0x y x x >⎧=⎨-≤⎩【解析】设(),P x y 1x =+，两边平方化简，再去绝对值求解. 【详解】 设(),P x y ，1x =+， 两边平方化简整理得222y x x=- ，当0x > 时，20y =， 当0x ≤ 时，24y x =-，综上：20,04,0x y x x >⎧=⎨-≤⎩.故答案为：20,04,0x y x x >⎧=⎨-≤⎩【点睛】本题主要考查了动点轨迹方程的求解，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15．椭圆2214x y +=的一个焦点是F ，动点P 是椭圆上的点，以线段PF 为直径的圆始终与一定圆相切，则定圆的方程是_________； 【答案】224x y +=【解析】先设1F 是椭圆的另一个焦点，M 是线段PF 的中点，根据三角形的中位线及椭圆的定义可得1111||||(2||)||222MO PF a PF a PF ==-=- ，再根据两圆的位置关系得到结论. 【详解】设1F 是椭圆的另一个焦点，M是线段PF 的中点，根据题意得，1111||||(2||)||222MO PF a PF a PF ==-=-，即以长轴长为直径的圆与以线段PF 为直径的圆相内切， 所以定圆的圆心是()0,0O ，半径r a 2== ，所以定圆的方程为224x y +=， 故答案为：224x y += 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及两圆的位置关系，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题. 16．若实数x 、y 满足42x y x y -=-，则x 的取值范围是______.【答案】{}0[4,20]⋃ 【解析】【详解】 令(),0y a x y b a b =-=≥、，此时，()22x y x y a b =+-=+，且题设等式化为2242a b a b +-=. 于是，a b 、满足方程()()()222150a b a b -+-=≥、.如图，在aOb 平面内，点(),a b 的轨迹是以()1,2D 为圆心、5为半径的圆在0a b ≥、的部分，即点O 与弧ACB 并集. 故{}2202,25a b ⎡⎤+∈⋃⎣⎦.从而，{}[]2204,20x ab =+∈⋃.三、解答题17．已知x ∈R ，设22log (3)log (3)z x i x =++-，当x 为何值时： （1）在复平面上z 对应的点在第二象限？ （2）在复平面上z 对应的点在直线20x y +-=上. 【答案】（1）32x -<<-；（2）5x =【解析】（1）由复平面上z 对应的点在第二象限，根据复数的几何意义，则有22log (3)0log (3)0x x +<⎧⎨->⎩求解.（2）由复平面上z 对应的点在直线20x y +-=上.，则复数对应点的坐标()22log (3),log (3)+-x x 在直线上，代入直线方程求解即可. 【详解】（1）因为复平面上z 对应的点在第二象限，所以22log (3)0log (3)0x x +<⎧⎨->⎩，所以03131x x <+<⎧⎨->⎩，解得32x -<<-.（2）因为在复平面上z 对应的点在直线20x y +-=上， 所以22log (3)(3)l 4og +-=x x ，所以3030(3)(3)4x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+-=⎩，解得x =.【点睛】本题主要考查了复数的几何意义及对数方程和对数不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18．已知直线与抛物线交于两点.（1）求证：若直线l 过抛物线的焦点，则212y y p ⋅=-； （2）写出（1）的逆命题，判断真假，并证明你的判断. 【答案】（1）证明见解析；（2）逆命题：若212y y p =-，则直线过抛物线的焦点；真命题.见解析【解析】（1）不妨设抛物线方程为22y px = ，则焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，当直线的斜率不存在时，直线方程为2px =代入22y px =，验证.当直线的斜率存在时，设直线方程为()2py k x =- 代入22y px =，得2220ky py kp --=，再由韦达定理验证.（2）逆命题：直线l 过抛物线的焦点. 是真命题.证明：当直线的斜率不存在时，设直线方程为(),0xm m =>代入22y px =，解得12y y == ，再由212y y p ⋅=-，求解.当直线的斜率存在时，设直线方程为y kx b =+ 代入22y px =，得2220ky py pb -+= ，由韦达定理得122pby y k⋅=再由212y y p ⋅=-，求得k 与b 的关系现求解.【详解】（1）设抛物线方程为22y px = ，则焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭， 两个交点()()1122,,,A x y B x y ，当直线的斜率不存在时，直线方程为2px =，代入22y px =，得1,2y p y p==- ，所以212y y p ⋅=-.当直线的斜率存在时，设直线方程为()2py k x =-， 代入22y px =， 得2220ky py kp --= ，由韦达定理得 212y y p ⋅=-.所以若直线l 过抛物线的焦点时，则212y y p ⋅=-.（2）逆命题：若212y y p ⋅=-，则直线l 过抛物线的焦点. 是真命题证明：当直线的斜率不存在时，设直线方程为(),0x m m =>代入22y px =得12y y ==因为212y y p ⋅=-，所以22p -=-，解得2pm =，所以直线过抛物线的焦点.当直线的斜率存在时，设直线方程为y kx b =+， 代入22y px =， 得2220ky py pb -+=，由韦达定理得122pby y k⋅=，又因为212y y p ⋅=-， 所以2pkb =-，所以直线的方程2p y kx b k x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭， 所以直线过定点,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭即直线过抛物线的焦点. 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．（1）若圆C 的方程是222x y r +=，求证：过圆C 上一点00(,)M x y 的切线方程为200x x y y r +=.（2）若圆C 的方程是222()()x a y b r -+-=，则过圆C 上一点00(,)M x y 的切线方程为_______，并证明你的结论.【答案】（1）证明见解析；（2）200()()()()x a x a y b y b r --+--=；证明见解析；【解析】（1）设(),P x y 为切线上任一点，则()()0000,,,PM x x y y CM x y =--=，再由点00(,)M x y 为圆上的切点，则有PM CM⊥ ，即有0PM CM ⋅=求解即可.（2）设(),P x y 为切线上任一点，则()()0000,,,PM x x y y CM x a y b =--=--由点00(,)M x y 为圆上的切点，则有PM CM⊥ ，即有0PM CM ⋅=求解即可.【详解】（1）设(),P x y 为切线上任一点， 有()()0000,,,PMx x y y CM x y =--= ，因为PM CM⊥ ，所以0PM CM ⋅= ， 即()()0000,,0x x y y x y --⋅=，又点00(,)M x y 在圆上， 所以22200+=x y r 整理得200x x y y r +=.（2）设(),P x y 为切线上任一点， 则()()0000,,,PMx x y y CM x a y b =--=--，因为PMCM⊥ ，所以0PM CM ⋅= ， 即()()0000,,0x x y y x a y b --⋅--=，又点00(,)M x y 在圆上， 所以22200()()-+-=xa yb r .整理得200()()()()x a x a y b y b r --+--=. 【点睛】本题主要考查了圆的切线方程问题，还考查推理论证的能力，属于中档题.20．已知双曲线2212x y -=的两焦点为12,F F ，P 为动点，若124PF PF +=.（1）求动点P 的轨迹E 方程；（2）若12(2,0),(2,0)(1,0)A A M -，设直线l 过点M ，且与轨迹E 交于R Q 、两点，直线1A R 与2A Q 交于S 点.试问：当直线l 在变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）是，4x =【解析】（1）根据124PF PF +=，且124F F >，由椭圆的定义可知，动点P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，再求出,a b ，写出方程.（2）先设直线的方程为1x my =+，如果存在，则对任意m 都成立，首先取特殊情况，当0m =时，探究出该直线为:4l x =，再通过一般性的证明即可. 【详解】（1）双曲线2212x y -=的两焦点为())12,F F ，设动点P (),x y ， 因为124PF PF +=，且124F F > ，所以动点P 的轨迹E 是以12,F F 为焦点的椭圆.因为22,1ac b ===，所以的轨迹E 方程；2214x y +=.（2）由题意设直线的方程为1x my =+，取0m =，得,1,22R Q ⎛⎛- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 直线1A R的方程是63y x =+，直线2A Q的方程是2y x =-交点为(1S .若1,,R Q ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，由对称性可知：交点为(24,S .若点S 在同一条直线上，则该直线只能为:4l x =. 以下证明 对任意的m ，直线1A R 与2A Q 交点S 均在直线:4l x =上.由22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()224230m y my ++-= ，设()()1122,,,R x y Q x y ，由韦达定理得：12122223,44m y y y y m m +=-⋅=-++ 设直线1A R 与l 交点为()004,s y ，由011422y y x =++ ，得10162y y x =+.设直线1A R 与l 交点为()004,s y '' ， 由022422y y x '=-- ，得20222y y x '=-，因为()()()12121200121246622222my y y y y y y y x x x x -+'-=-=+-+-，()()2212121244022m m m m x x ---++==+- .所以()004,s y 与()004,s y ''重合.所以当直线l 在变化时，点S 恒在直线:4l x =上. 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及直线与椭圆的位置关系，还考查了特殊与一般的思想，运算求解的能力，属于难题. 21．已知椭圆E 两焦点12(1,0),(1,0)F F -，并经过点. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设,M N 为椭圆E 上关于x 轴对称的不同两点，12(,0),(,0)A x B x 为x 轴上两点，且122x x =，证明：直线,AM NB 的交点P 仍在椭圆E 上；（3）你能否将（2）推广到一般椭圆中？写出你的结论即可.【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析；（3）若椭圆22221x y a b +=，若212x x a =，则直线,AM NB 的交点P 仍在椭圆E 上； 【解析】（1）已知焦点12(1,0),(1,0)F F -，利用椭圆的定义，求得椭圆的长轴长，再求得2b ，写出方程即可.（2）设()(),,,M m n N m n -，得到直线AM 的方程为()11n y xx m x =--，直线BN的方程为()22n y x x X m=--，设设交点()00,P x y ，分别代入直线AM ，BN 的方程得()0100yn x my nx -=- ，()0200y n x my nx +=+，两式化简得到220022x y +=，说明交点在椭圆上.（3）根据（2）的论证过程，推知规律是212x x a =. 【详解】根据题意，椭圆的长轴长：2a =+，解得22a = ， 又2211b a =-=，所以椭圆的方程是2212x y +=.（2）设()(),,,M m n N m n - ，则直线AM 的方程为()11n y x x m x =--①，直线BN的方程为()22ny xx X m=--②设交点()00,P x y ，代入①②得()0100y n x my nx -=-③，()0200yn x my nx +=+④，③与④两边分别相乘得()22222201200yn x x m y n x -=-，又因为2212m n +=，122x x =，所以220022x y +=，所以直线,AM NB 的交点P 的坐标适合椭圆的方程， 所以直线,AM NB 的交点P 仍在椭圆E 上.（3）若椭圆22221x y a b +=，若212x x a =，则直线,AM NB 的交点P 仍在椭圆E 上； 【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求法，以及点与椭圆的位置关系，还考查了推理论证，运算求解的能力，属于难题.。
上海市上海中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题
上海中学高二上期末数学试卷2020.01一、填空题1. 若复数()1231i z i +=-，则z =______.2. 抛物线2y x =的准线方程是______.3. 椭圆2236x y +=的焦距是______.4. 已知复数a ，b 满足集合{}{}2,,1a b a b -=+，则ab =______.5. 计算：239123410i i i i ++++⋅⋅⋅+=______.6. 已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 作直线l 与抛物线C 交于P 、Q 两点，则PQ 的取值范围是______.7. 已知P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点，若点P 到直线2y x =+的距离大于m 恒成立，则实数m 的取值范围是______.8. 平面上一台机器人在运行中始终保持到点()2,0P -的距离比到点()2,0Q 的距离大2，若机器人接触不．．．到．过点)M 且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是______.9. 1F ，2F 分别为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，P 为椭圆C 上一点，且1260F PF ∠=︒，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点在椭圆C 上，则椭圆的离心率是______.10. 已知一族双曲线n E ：()22*,20192019nx y n N n -=∈≤，设直线2x =与n E 在第一象限内的交点为n A ，n A 在n E 的两条渐近线上的射影分别是n B ，n C ，记n n n A B C ∆的面积是n a ，则122019a a a ++⋅⋅⋅+=______. 11. 已知点()0,1P ，椭圆()2214x y m m +=>上两点A ，B 满足2AP PB =u u u r u u u r ，当m =______时，点B 横坐标的绝对值最大.12. 已知椭圆C ：)222106x y m m+=>>左、右焦点分别为1F ，2F ，短轴的两个端点分别为1B ，2B ，点P 在椭圆C 上，且满足1212PF PF PB PB +=+，当m 变化时，给出下列四个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称；②存在m 使得椭圆C 上满足条件的点P 仅有两个；③OP 的最小值为2；④OP ，其中正确命题的序号是______.二、选择题13. “1k <-”是“方程221324x y k k +=++表示焦点在x 轴上的椭圆”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要D. 既非充分又非必要14. 双曲线221kx y -=的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，则此双曲线的离心率是（ ）A. B.C.2D.215. 给出下列四个命题：①若复数1z ，2z 满足120z z -=，则12z z =；②若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z ⋅=；③若复数z 满足22z z =-，则z 是纯虚数；④若复数z 满足z z =，则z 是实数，其中真命题的个数是（ ） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个16. 已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在抛物线上且位于x 轴的两侧，且2OA OB ⋅=u u u r u u u r（其中O 是坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆的面积之和的最小值是（ ）A. 2B. 3C.D.三、解答题17. 已知复数z 满足2274z z i -=+，求z .18. 已知复数()221iz i m i =++-（其中i 是虚数单位，m R ∈）. （1）若复数z 是纯虚数，求m 的值；（2）求1z -的取值范围.19. 假定一个弹珠（设为质点P ，半径忽略不计）的运行轨迹是以小球（半径1R =）的中心F 为右焦点的椭圆C ，已知椭圆的右端点A 到小球表面最近的距离是1，椭圆的左端点B 到小球表面最近的距离是5..（1）求如图给定的坐标系下椭圆C 的标准方程；（2）弹珠由点A 开始绕椭圆轨道逆时针运行，第一次与轨道中心O发生变轨，变轨后的轨道是一条直线，称该直线的斜率k 为“变轨系数”，求k 的取值范围，使弹珠和小球不会．．发生碰撞. 20. 已知曲线C的参数方程是2412x t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（参数t R ∈）. （1）曲线C 的普通方程；（2）过点()2,1A 的直线与该曲线交于P ，Q 两点，求线段PQ 中点M 的轨迹方程. 21. 由半圆()2210x y y +=≤和部分抛物线()()210,0y a x y a =-≥>合成的曲线C 称为“羽毛球形线”，且曲线C 经过点()2,3M .（1）求a 的值；（2）设()1,0A ，()1,0B -，过A 且斜率为k 的直线与“羽毛球形线”相交于P ，Q ，Q 三点，是否存在实数k ，使得QBA PBA ∠=∠，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.22. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点1,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,1N -，直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，与圆2223x y +=相切与点T . （1）求椭圆C 的方程；（2）以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，若点Q 在椭圆C 上，且满足OP OQ λ=u u u r u u u r（O 是坐标原点），求实数λ的取值范围；（3）线段AT BT ⋅是否为定值，如果是，求AT BT ⋅的值；如果不是，求AT BT ⋅的取值范围.参考答案一、填空题1.2. 14x =-3. 44. 15. 56i +6. [)4,+∞7. (-∞8.9.310. 5052 11. 5 12. ①③【第9题解析】设1F 关于12F PF ∠平分线的对称点为'1F ，由题意及椭圆对称性，可知'11F PF ∆为等边三角形，'1PF x ⊥轴且经过2F ，∵122F F c =，∴122c PF PF a a +==⇒=. 【第10题解析】设()(),0n n n n A x y y >，其中222019n n nx y -=， n E 为等轴双曲线，其渐近线方程为y x =±，∴2n n n B A C π∠=，∴1122n n n n n a A B A C =⋅⋅=2248076n n x y n -==， ∴12201912201950580762a a a ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==. 【第11题解析】设直线AB 的方程为()1x t y =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由2AP PB =u u u r u u u r ，知122x x =-，()()()2222214844044x t y t x tx m t x y m⎧=-⇒+++-=⎨+=⎩， ∴()()122222222212222288444422244t t x x x x t t m t m t x x x x t t ⎧⎧+=-=-=⎪⎪++⎪⎪⇒⎨⎨--⎪⎪=-==⎪⎪++⎩⎩，①当0t =时，1m =，20x =； ②当0t ≠时，()()222222222264324414m t t xt t m t-==⇒+=+-+()236411mt m m -⇒=≠-， 此时()()2222364222213241mm m tm x t m ----==+-()22516109444m m m --+-+-==≤， 当5m =时，2x 取得最大值2；综上，5m =.【第12题解析】由题意，点P 为椭圆C ：22216x y m +=与椭圆Γ：222166y x m+=-的交点（共4个），①正确；②错误；点P 靠近坐标轴时（0m →或m →OP 越大，点P 远离坐标轴时，OP 越小，易得23m =时，取得最小值，此时C ：22163x y +=，Γ：22163y x +=，两方程相加得222222x y +=⇒=，即OP 的最小值为2，③正确；椭圆上的点到中心的距离小于等于a ，由于点P不在坐标轴上，∴OP <.二、选择题 13-16：BCBB【第15题解析】①④正确，②可利用向量理解，设1z 、2z 在复平面上对应点1Z 、2Z ，则120OZ OZ ⋅=u u u u r u u u u r，反例可以是11z =，2z i =；③的反例0z =. 【第16题解析】1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，设()11,A x y ，()22,B x y ()120,0y y ><，其中211x y =，222x y =， 121212222OA OB x x y y y y ⋅=⇒+=⇒=-u u u r u u u r，()21122212121*********1ABO yy S y y y y y y y y ∆==-=-，21111111012481AFO y y S y ∆==， ∴112199288ABO AFO y y S S y y ∆∆+=-=+3≥=. 三、解答题17. 32z i =+或12z i =-+.18. ()()211z m m i =++-，（1）12m =-；（2）1z -=5=≥. 19.（1）由题意，2462a c a C a c c ⎧-==⎧⇒⇒⎨⎨+==⎩⎩：2211612x y +=；（2）设()(),,0P x y x y >，联立2211612x y +=与2213x y +=，可求出()2,3P ，设直线方程为()32y k x -=-，即()320kx y k -+-=，弹珠和小球不会发生碰撞，说明圆心()2,0到直线()32kx y k -+-的距离大于圆半径1，1>，解得(k ∈-.20.（1）2212y x -=；（2）点差法：设()11,P x y ，()22,Q x y ，(),M x y ，其中122x x x +=，122y y y +=，()()2211121222221212y x x x x x y x ⎧-=⎪⎪⇒-+⎨⎪-=⎪⎩()()121212122PQ y y y y y y k x x -+-=⇒=-()121222x x x y y y +==+， 12MA y k x -=-，由PQ MA k k =，可得M 的轨迹方程为22240x x y y --+=. 21.（1）1a =.（2）由题意得PQ 方程为()1y k x =-，代入21y x =-得：210x kx k -+-=，所以1x =或1x k =-，所以点Q 的坐标为()21,2k k k --.PQ 方程()1y k x =-代入221x y +=得()22221210k x k x k +-+-=，所以1x =或2211k x k -=+，所以点P 的坐标为22212,11k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭. 因为QBA PBA ∠=∠，所以BPBQ k k =-，即2222221111k k k k k kk --+=--++，即2210kk --=， 解得1k =（负值舍去）.因此存在实数1k =，使QBA PBA ∠=∠. 22. 椭圆的内准圆（1）2212x y +=；（2）由直线l 与圆2223x y +=3=，即223220m k --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,Q x y ，()2222222124220x y k x kmx m y kx m ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩12221224122212km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⇒⎨-⎪=⎪+⎩()121222212my y k x x m k ⇒+=++=+， 由向量的平行四边形法则，知OP OA OB OQ λ=+=u u u r u u u r u u u r u u u r且0λ≠. （0λ=，即0m =时，A ，B 关于原点对称，无法构成平行四边形OAPB ）∴()()1202012002412212km x x x x k y y m y y k λλλλ⎧-⎧+=⎪⎪=+⎪⎪⇒⎨⎨+⎪⎪==⎪⎪+⎩⎩， ∵点Q 在椭圆上，∴()()222242221212km m k k λλ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，化简得()222412m k λ=+① 由223220m k --=，得22232k m =-，代入①式，得2222441313m m m λ==--，由2320m -≥，得223m ≥，∴224483313m m <≤-，即24833λ<≤② 又0∆>，得2212k m +>③，由①③，得2224m m λ>，∵0m ≠，∴204λ<<④， 由②④，得24833λ<≤，解得3333λ⎡⎛∈--⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦U ；（3）由（2）知，2222212i m x x k -=+，而()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++222212m k k-=+， ∴2212122322012m k OA OB x x y y k--⋅=+==+u u u r u u u r ，∴OA OB ⊥u u u r u u u r ， ∴223Rt AOT Rt OBT AT BT OT∆∆⇒⋅==:.。
上海市2019年高二上学期期末数学试卷-Word版含解析
上海市2019年高二上学期期末数学试卷-Word版含解析___高二（上）期末数学试卷一、填空题（共48分，每空4分）1.抛物线C的方程为y = 3 - x^2；2.实数k的取值范围为k ≤ 1；3.参数方程为x = a cosθ，y = b sinθ；4.普通方程为(x^2/4) + (y^2/9) = 1；5.实数a的取值范围为2/3 ≤ a ≤ 3/2；6.动圆圆心的轨迹方程为(x-2)^2 + y^2 = 1；7.焦点坐标为(√(k+2),0)和(-√(k+2),0)；8.2x+3y的最大值为3√2；9.直线的方程为y = x - 1；10.实数a的取值范围为0 < a < √2；11.y = x^2/4；12.椭圆C的最小值为2；13.2个；14.充分必要条件；15.2条；16.双曲线的一部分。
二、选择题（共20分，每题5分）13.B；14.A；15.B；16.B。
三、解答题（共52分，8+10+10+12+12）17．已知抛物线C：y=2x2和直线l：y=kx+1，O为坐标原点．1）证明：l与C必有两交点。
解：将直线l代入抛物线C的方程中，得到2x^2 - kx - 1 + 2 = 0.由于k不为0，所以该方程必有两个实根，因此直线l与抛物线C必有两个交点。
2）设l与C交于A，B两点，且直线OA和OB斜率之和为1，求k的值。
解：由于A和B在抛物线C上，所以它们的纵坐标分别为2x_A^2和2x_B^2，横坐标分别为x_A和x_B。
根据题意，有(x_A + x_B)/2 = 1，即x_A + x_B = 2.又根据直线OA和OB斜率之和为1，有(x_A +x_B)/(2x_Ax_B) = 1，即x_Ax_B = (x_A + x_B)/2 = 1.将x_A和x_B代入x_Ax_B = 1，得到x_A = √2，x_B = 1/√2.将x_A和x_B代入2x^2 - kx - 1 + 2 = 0，得到k = 2√2 - 1.18．斜率为1的动直线L与椭圆(x^2/4) + (y^2/9) = 1相交于A、B两点，过点A作椭圆的切线，交椭圆于点M，求点M的轨迹方程。
精品解析：上海市七宝中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题(解析版)
七宝中学2019-2020学年高二上10月月考数学卷一、填空题(本大题共12题，满分54分)只要求直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1.三阶行列式147258369中，元素4的代数余子式的值为________.【答案】6【解析】【分析】利用代数余子式的定义直接求解.【详解】三阶行列式147258369中，元素4的代数余子式的值为：328(1)(1824)639-=--=.故答案为：6.【点睛】本题主要考查了三阶行列式中元素的代数余子式的求法，属于中档题.2.计算10140223⎛⎫⎛⎫⨯=⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭__________.【答案】14 46⎛⎫ ⎪-⎝⎭【解析】【分析】根据二阶矩阵乘法法则进行计算,即可得到结论【详解】10140223⎛⎫⎛⎫⨯=⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭()()11+021403140122042346⨯⨯-⨯+⨯⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⨯+⨯-⨯+⨯-⎝⎭⎝⎭故答案为：14 46⎛⎫ ⎪-⎝⎭【点睛】本题考查二阶矩阵的乘法,考查运算能力3.已知向量a =(-2，2)，b =(5，k )，若5a b +≤，则实数k 的取值范围是___________. 【答案】[-6，2] 【解析】 【分析】先得到()3,2a b k +=+,根据模的定义代入不等式,解出k 即可【详解】由题,()3,2a b k +=+, (235a b +=+≤,62k ∴-≤≤,即[]6,2k ∈-故答案：[]6,2-【点睛】本题考查向量加法的坐标运算,考查模的定义,考查运算能力 4.若1,2,a b c a b ===+，且c a⊥，则向量a 与b 的夹角为 【答案】120 【解析】依题意()212cos 0a c a a b a a b θ⋅=⋅+=+⋅=+=，故1cos ,1202θ=-=. 5.已知43a i j =+，2b mi j =-，3c i j =-+，若a ，b ，c 可构成三角形，则m =____________. 【答案】-7 【解析】 【分析】若a ，b ，c 可构成三角形,则可得0a b c +-=,代入求解即可【详解】若a 、b 、c 可构成三角形,则0a b c +-=,即()()()43230i j mi j i j ++---+=()()433210m i j ∴+++--=430m ∴++=7m ∴=-故答案为：7-【点睛】本题考查向量法判断三角形,考查向量的加减法,考查运算能力,考查平面向量基本定理的应用6.己知行列式123456789n n n n n n n n n a a a a a a a a a +++++++++中的元素n i a +(j =1，2，3，...，9)是等比数列{}n a 的第n +j 项，则此行列式的值是___________. 【答案】0【解析】 【分析】由题意,得到每两行元素成比例,进一步得到结果【详解】由题可知元素n i a +(j =1，2，3，...，9)是等比数列{}n a 的第n +j 项,则该行列式的两行元素成比例,故行列式为0 故答案为：0【点睛】本题考查行列式的运算,考查行列式的性质,考查等比数列的定义7.已知向量a =(1，2)，b =(2，3)，则“4λ-＜”是“向量m a b λ=+与向量n =(3，-1)的夹角为钝角”成立的___________条件. 【答案】充分非必要 【解析】 【分析】根据“向量m a b λ=+与向量n =(3，-1)的夹角为钝角”求出λ的范围,进而判断是何种条件【详解】由题, ()2,23m a b λλλ=+=++,若m 与()3,1n =-的夹角为钝角,则0m n ⋅<且m 与n 不是共线且反向的向量,即()()322330λλλ+-+=+<且22331λλ++≠-,即3λ<- ∴“4λ-＜”是“向量m a b λ=+与向量n =(3，-1)的夹角为钝角”的充分非必要条件.故答案为：充分非必要【点睛】本题考查向量法求夹角,考查充分非必要条件,考查数量积的应用,考查运算能力8.若平面向量i a 满足1(1,2,3,4)i a i ==且10(1,2,3)i i a a i +⋅==,则1234a a a a +++可能的值有____________个. 【答案】3 【解析】试题分析：因为1223340,0,0a a a a a a ⋅=⋅=⋅=，所以122334,,a a a a a a ⊥⊥⊥，所以1324//,//a a a a ，设3142,a xa a y a ==，因为1i a =1,1x y =±=±，123412(1)(1)a a a a x a y a +++=+++，所以 22221234(1)2(1)(1)(1)(1a a a a x a x y a a y a +++=++++⋅++=+1,1x y =±=±，所以当1,1x y ==时，1234(1a a a a +++===当1,1x y =-=-，时1234(10a a a a +++===，当1,1x y ==-，时1234(12a a a a +++===，当1,1x y =-=，时1234(12a a a a +++===，综上1234a a a a +++可能的值有3个。
2019-2020学年上海市七宝中学高二上学期12月月考数学试题(含答案解析)
2019-2020学年上海市七宝中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．方程224250x y mx y m ++-+=表示圆的充要条件是（ ）A ．114m << B ．114mm 或 C ．14m <D ．1m >【答案】B【解析】由圆的方程化化为222(2)(1)451x m y m m ++-=-+，得出24510m m -+>，即可求解，得到答案.【详解】由题意，圆224250x y mx y m ++-+=，可化为222(2)(1)451x m y m m ++-=-+， 则24510m m -+>，即(41)(1)0m m -->，解得14m <或1m >，故选B. 【点睛】本题主要考查了圆的一般方程与标准方程的应用，其中熟练把圆的一般方程化为标准方程，得到24510m m -+>是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 2．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP u u u v =λ ABu u u v +μAD u u u v ，则λ+μ的最大值为 A ．3 B ．22C ．5D ．2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ,易得圆的半径r =，即圆C 的方程是()22425x y -+=， ()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=u u u r u u u r u u u r ，若满足AP AB AD λμ=+uu u r uu u r uuu r， 则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+， 设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上， 所以圆心(2,0)到直线102xy z -+-=的距离d r ≤≤，解得13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A.【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.3．设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若椭圆C 上存在点M 满足23AMB π∠=，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(][)0,19,+∞U B．([)9,⋃+∞ C ．(][)0,14,+∞UD．([)4,⋃+∞【答案】A【解析】要使椭圆C 上存在点M 满足23AMB π∠=, 2,33AMB AMO ππ∠≥∠≥,由题意需分类讨论，当椭圆的焦点在x 轴上, 则03m <<，tan tan 3AMO π∠=≥=y 轴上时，则3m >, tan tan 3AMO π∠=≥=m 的取值范围，【详解】假设椭圆的焦点在x 轴上, 则03m <<时， 设椭圆的方程为22221(0)x ya b ab+=>>，设(,0),(,0),(,),0A a B a M x y y ->，则22222a y a x b-=，再设,,, MAB MBA AMB αβγ∠=∠=∠= 则tan ,tan y y x a a xαβ==+-， 则tan tan tan tan[()]tan()1tan tan αβγπαβαβαβ+=-+=-+=--()2222222222222222ayay ab ab a y a x y b y c y y a b=-=-=-=----- 222tan ab c yγ∴=-，当y 最大时，即y b =时，AMB ∠取最大值.∴点M 在y 轴上时,AMB ∠取最大值,作图如下：则要使椭圆C 上存在点M 满足23AMB π∠=, 2,33AMB AMO ππ∠≥∠≥, 3tan tan 33AMO mπ∴∠=≥=01m <≤当椭圆的焦点在y 轴上时，则3m >,且当 点M 在x 轴上时,AMB ∠取最大值,作图如下：则要使椭圆C 上存在点M 满足23AMB π∠=, 2,33AMB AMO ππ∠≥∠≥,tan tan 333m AMO π∴∠=≥=9m ≥综上实数m 的取值范围为：(][)0,19,+∞U 故选：A 【点睛】本题考查椭圆的标准方程,特殊角的三角函数值，考查分类讨论思想及数形结合思想的应用，考查计算能力,属于中档题.4．曲线C 为：到两定点(2,0)M -、(2,0)N 距离乘积为常数16的动点P 的轨迹．以下结论正确的个数为（ ）． （1）曲线C 一定经过原点；（2）曲线C 关于x 轴对称，但不关于y 轴对称； （3）MPN ∆的面积不大于8；（4）曲线C 在一个面积为60的矩形范围内． A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】设P （x ，y ）()()22222216x y x y ++-+=，（1）（0，0）代入，方程不成立，即曲线C 一定经过原点，不正确；（2）以﹣x 代替x ，﹣y 代替y ，方程成立，即曲线C 关于x 、y 轴对称，不正确； （3）x=0，y=3±△MPN 的最大面积=14234382⨯⨯=<，故正确； （4）令y=0，可得x=±5曲线C 在一个面积为43451615=不正确． 故选B ．点睛：本题主要考查直接法求动点的轨迹方程，化简后利用方程判断曲线的对称性，考查三角形的面积公式.利用直接法求动点的轨迹方程的基本过程是：设出动点的坐标(),x y ，利用题目的已知条件建立关于(),x y 的方程，化简这个方程即可得到动点的轨迹方程.二、填空题5．椭圆22143x y +=的焦距是_________.【答案】2【解析】分析：由椭圆方程可求a b ，，然后由c =c ，进而可求焦距详解：∵椭圆22143x y +=,2a b ∴==，∴122c c =∴=，. 即答案为2．点睛：本题主要考查了椭圆的性质的简单应用，属基础题620y +-=截圆224x y +=得到的弦长为 ．【答案】【解析】试题分析：因为根据圆的方程可知，圆的半径为2，圆心（0，0）到直线的距离为1=,则利用勾股定理，半弦长和点到直线的距离，和半径的关系得到，∴弦长为=【考点】本题主要是考查直线和圆的位置关系及点到直线的距离公式，使用弦长公式求弦长．点评：解决该试题的关键是先求出圆心和半径，求出圆心（0，0）到直线的距离为d ，利用弦长公式求出弦长7．过点()2,0P 的圆224x y +=的切线方程为________. 【答案】2x =【解析】根据点与圆的位置关系不同，则过该点的圆的切线情况也不同，所以先判断点()2,0P 与圆的位置关系，再结合已知条件即可求解.【详解】因为点()2,0P 的坐标满足圆的方程，所以点P 在圆上，如图所示：所以圆的切线方程为：2x =. 故答案为：2x = 【点睛】本题借助于求过圆上一定点与圆的切线方程的问题，考查了直线与圆的位置关系，属于基础题.8．双曲线22148x y -=的两条渐近线的夹角是_____.【答案】arctan 22π-【解析】根据双曲线的标准方程,先求得渐近线方程,根据渐近线方程的斜率求得倾斜角,即可求得两条渐近线方程的夹角. 【详解】双曲线的标准方程为22148x y -=则2,22a b ==所以双曲线的渐近线方程为222b y x x x a =±=±= 设斜率为正的直线方程的倾斜角为θ,则两条渐近线方程的夹角为2θ 即tan 2θ=由二倍角公式可知22tan tan 2121tan θθθ===---则2arctan θπ=-故答案为: arctan π-【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及其性质,渐近线方程的求法,二倍角公式的用法,属于基础题.9．已知椭圆221208x y +=的两个焦点为1F 、2F ，点P 在此圆上，且12PF PF ⊥，则12PF F △的面积为________.【答案】8【解析】由问题出发，欲求12PF F △的面积，则只要求出12||||PF PF 的值即可，由椭圆的定义得式子12||||2PF PF a +=，再将其平方后结合条件，即可求得本题结果. 【详解】由题意可知：a b c ===12||||2PF PF a +==Q 221212||||2||||80PF PF PF PF ∴++= ——①又12PF PF ⊥Q ，222221212||||||(2)48PF PF F F c ∴+====——② 联立①②解得12||||16PF PF =，12121116822PF F S PF PF ∴==⨯=△ 故答案为： 8 【点睛】本题考查椭圆定义的综合应用，涉及求12||||PF PF ±，12||||PF PF 时，常将椭圆的定义式12||||2PF PF a +=两边左右平方，再在12PF F ∆中，结合勾股定理或余弦定理，来求解.10．若方程22212x y m m +=-表示椭圆，则实数m 的取值范围为________.【答案】2)(2,)+∞U【解析】根据题意，方程表示椭圆，列出不等式组，解可得答案．【详解】解：方程22212x ym m +=-表示椭圆，则220202m m m m >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，解得m >且2m ≠即2)(2,)m ∈+∞U ．故答案为：2)(2,)+∞U ． 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，注意其标准方程的形式与圆、双曲线的标准方程的异同，考查运算能力，属于基础题．11．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB ⋅的最大值是 ． 【答案】5【解析】试题分析：易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||10PA PB AB +==，2||52AB PA PB ⨯≤=.法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.【考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式.12．已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，点()1,6A ，P 是该双曲线右支上的一个动点，则PF PA +的最小值为________.【答案】4+【解析】根据点A 在双曲线的两支之间，由双曲线的定义求得a ，再由双曲线的定义式与PA PF AF ''+≥相加，进而可求得答案. 【详解】由题意可得：2,4a b c ===，记双曲线右焦点F '，作示意图如下：Q 点A 在双曲线的两支之间，且(4,0)F '，∴由双曲线的定义得：24PF PF a '-==——①又Q 在PAF '∆中，22(41)(06)35PA PF AF ''∴+≥-+-=②由①加②得：4+35PF PA +≥， 当且仅当点A P F '、、三点共线时等号成立. 所以PF PA +的最小值为435+. 故答案为：435+【点睛】本题考查了双曲线的定义，考查了学生对双曲线定义的灵活运用.13．若椭圆22142x y +=上一动点(,)M x y 到定点(,0)N m （02m <<）的距离||MN 的最小值为1，则m =________ 【答案】1【解析】求出||MN ，结合椭圆方程将2y 用x 表示，利用二次函数求出其最小值且等于1，即可求解. 【详解】(,)M x y 在椭圆22142x y +=，222,222x y x =--≤≤，||MN ===，02m <<， 当01m <≤时，2x m =，min ||1,1MN m ===，舍去负值；当12m <<时，min 2,||21,1x MN m m ==-==，舍去. 故答案为:1. 【点睛】本题考查椭圆上的动点到定点的距离，注意应用二次函数求最值以及分类讨论，属于中档题.14．已知圆222x y c +=（01c <≤），点(),P a b 是该椭圆面（包括椭圆及内部）上任意一点，则a b c ++的最小值等于________. 【答案】34-【解析】根据点P 在椭圆面内得到a b c 、、之间的关系，利用二次函数配方法，然后求出a b c ++的最小值. 【详解】Q 点(),P a b 是椭圆面（包括椭圆及内部）上任意一点，222a b c ∴+≤， ()22221133122244a b a a b b a c b ⎛⎫+=+∴++≥++++-≥- ⎪⎝⎭当且仅当11,2a b =-=-时，a b c ++取最小值34-. 故答案为：34- 【点睛】本题考查点与椭圆的位置关系，函数最值的应用，考查求解运算能力及转化思想.15．椭圆22195x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当FAB V 的周长最大时，FAB V 的面积是______．【答案】203【解析】设出椭圆的右焦点，利用椭圆的定义，可以知道当直线x m =过椭圆右焦点时，FAB V 的周长最大，这样可以求出FAB V 的面积.【详解】由椭圆的标准方程可知：229,5,952a b c ==∴=-=，设椭圆的右焦点为(2,0)E ，显然有：2,2AE AF a BE BF a +=+=.FAB V 的周长为：224()AF BF AB a AE a BE AB a AB AE BE ++=-+-+=+-+，因为AE BE AB +≥，当且仅当E 在线段AB 上时取等号，所以FAB V 的周长有最大值，最大值为4a ，此时显然直线x m =过右焦点，即2m =，直线方程为2x =，代入椭圆方程中，可求出53y =±，因此1024,3EF a AB ===，所以FAB V 的面积为：110204233⨯⨯=. 故答案为：203【点睛】本题考查了椭圆的定义的应用，考查了两点间线段最短公理的应用，考查了数学运算能力.16．如图，正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心足正方形的中心，点P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲区”中. 已知点P 以1.5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的速度从C 出发向B 移动，则点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的育区中的时长约为________秒（精确到0.1）【答案】4.4【解析】以O 为坐标原点,建立适当的平面直角坐标系,求得,P Q 的坐标和直线PQ 的方程,圆O 方程,运用点到直线的距离公式,以及直线和圆相交的条件,解不等式即可得到所求时长. 【详解】以O 为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系：由题意可设(10,10 1.5),(10,10)P t Q t -+-， 所以直线PQ 的方程为：20 2.5(10)(10)20ty t x ---=-， 圆O 方程为：221x y +=， 因为直线PQ 与圆O 有交点，220 2.5102120 2.5120tt t -+-≤-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，化为23161280t t +-=，解得8780t -≤≤所以点Q 在点P 的盲区中的时长约为4.4秒. 故答案为：4.4 【点睛】本题考查直线和圆的方程的应用，直线和圆的位置关系,坐标法和二次不等式的解法,属于中档题.三、解答题17．己知一个动点M 在圆2236x y +=上移动，它与定点()8,0Q 所连线段的中点为P . （1）求点P 的轨迹方程.（2）过定点()0,2D -的直线与点P 的轨迹交于A ，B 两点，求弦AB 的中点C 的轨迹. 【答案】（1）()2249x y -+= （2）()()22215x y -++=【解析】(1)由题可知点P 为被动点，点M 为主动点，分别设出其坐标，找到主动点与被动点之间的关系，将其代入主动点所满足的方程2236x y +=，化简，即可求得点P 的轨迹；(2)设圆心为O ，联结OC ，由圆的性质知OC AB ⊥，得OC MC ⊥u u u r u u u u r，按照求谁设谁原理，设出点C 的坐标，然后代进去化简整理即可. 【详解】(1)设(),P x y ，()00,Q x y ，根据中点公式得008202x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得00282x x y y =-⎧⎨=⎩ 由220036x y +=，得()()2228236x y -+=∴点P 的轨迹方程是()2249x y -+=.(2)设弦AB 的中点C 的坐标为(),x y ，设()2249x y -+=圆心为O ，联结OC ，由圆的性质知OC AB ⊥，得OC MC ⊥u u u r u u u u r ，所以0DC OC ⋅=u u u r u u u r又(),2DC x y =+u u u r ，()4,OC x y =-u u u r，于是()()420x x y y -++=即()()22215x y -++=因此所求点C 的轨迹方程是以()2,1-为圆心，且位于圆()2249x y -+=内一段圆弧. 【点睛】本题考查了相关点法求轨迹方程和直接法求轨迹方程的问题，考查理解辨析能力，属于基础题.18．已知方程22240x y x y m ++-+=的曲线是圆C ，（1）若直线l ：210x y +-=与圆C 相交于M 、N 两点，且OM ON ⊥u u u u r u u u r（O 为坐标原点），求实数m 的值；（2）当4m =时，设T 为直线n ：210x y --=上的动点，过T 作圆C 的两条切线TG 、TH ，切点分别为G 、H ，求四边形TGCH 而积的最小值. 【答案】（1）45（2）2【解析】(1)设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则11,12x y =-2212x y =-,进一步得到12121212()4x x y y y y =-++，联立直线方程与圆的方程,化为关于y 的一元二次方程,利用韦达定理结合12120x x y y +=即可求得实数m 的值；(2)当4m =时,圆C 的方程为222440x y x y ++-+=，求出圆心坐标与半径,由于,TG TH 为圆C 的两条切线,可得1 S 22||||||2TGCH TGC S TG CG TG ∆==⨯⨯⨯=. 再求出点C 到直线m 的距离d ，即可求得答案. 【详解】（1）解：设()11,M x y ，()22,N x y ，则2112x y =-，2212x y =-， 得()()12121212x x y y =--，即()121212124x x y y y y =-++.因为OM ON ⊥u u u u r u u u r，则得12120x x y y +=，所以()12121250y y y y -++= ①联立22210240x y x y x y m +-=⎧⎨++-+=⎩，得251230y y m -++=. 由()()25122030m m <⎧⎪⎨∆=--+>⎪⎩得215m <. 于是12125y y +=，1235m y y +=. 代入①得123125055m+-⨯+⨯=. 解得45m =，符合题意. 所以所求实数m 的值等于45. （2）当4m =时，圆C 的方程为222440x y x y ++-+=， 即()()22121x y ++-=，所以圆C 的圆心坐标是()1,2-，半径是1.由于TG 、TH 为C 的两条切线，所以1222TGCH TGC S S TG CG TG ==⋅⋅⋅=△. 又2221TG CT CG CT =-=-，而CT 的最小值为点C 到直线n 的距离d .22512d ==+Q ，2min min ||(||)12TG CT ∴=-=因此四边形TGCH 面积的最小值是2. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用,考查逻辑思维能力与推理运算能力,是中档题. 19．浦东一模之后的“大将” 洗心革面，再也没进过网吧，开始发奋学习. 2019年春节档非常热门的电影《流浪地球》引发了他的思考：假定地球（设为质点P ，地球半径忽略不计）借助原子发动机开始流浪的轨道是以木星（看作球体，其半径约为700R =万米）的中心F 为右焦点的椭圆C . 已知地球的近木星点A （轨道上离木星表面最近的点）到木星表面的距离为100万米，远木星点B （轨道上离木星表面最远的点）到木星表面的距离为2500万米.（1）求如图给定的坐标系下椭圆C 的标准方程；（2）若地球在流浪的过程中，由A 第一次逆时针流浪到与轨道中心O ab 米时（其中,a b 分别为椭圆的长半轴、短半轴的长），由于木星引力，部分原子发动机突然失去了动力，此时地球向着木星方向开始变轨（如图所示），假定地球变轨后的轨道为一条直线L ，称该直线的斜率k 为“变轨系数”. 求“变轨系数”k 的取值范围，使地球与木星不会发生碰撞. （精确到小数点后一位）【答案】（1）2222120001600x y +=；（2）( 1.8,1.1)k ∈- 【解析】（1）根据题意得7001007002500a c a c -=+⎧⎨+=+⎩，解方程组即可得解；（2）设()00,P x y ，22002200223200000120001600x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得4000,33P ⎛ ⎝⎭，设出直线方程，由焦点到直线的距离大于半径列不等式求解即可. 【详解】 （1）由条件700100200070025001200a c a a c c -=+=⎧⎧⇒⎨⎨+=+=⎩⎩椭圆C 的方程为2222120001600x y += （2）设地球由近木星点A 第一次逆时针运行到与轨道中心O在位置为()00,P x y ，则22002200223200000120001600x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩0040003x y ⎧=⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩40003P ⎛∴ ⎝⎭设40004000:033L y k x kx y k ⎛⎫=-⇒--= ⎪⎝⎭700d R >⇒>24258390k ⇒+-< ()1.8,1.1k ⇒∈-.【点睛】本题主要考查了椭圆方程的实际应用，考查了计算能力，属于中档题.20．己知两点()12,0F -，()22,0F ，动点P 在y 轴上的摄影是H ，且21212PF PF PH ⋅=uuu r uuu ruuur ，（1）求动点P 的轨迹方程；（2）设直线1PF ，2PF 的两个斜率存在，分别记为1k ，2k ，若1212k k =，求点P 的坐标；（3）若经过点()1,0N -的直线l 与动点P 的轨迹有两个交点为T 、Q ，当4||||7NT NQ -=u u u r u u u r 时，求直线l 的方程.【答案】（1）22184x y +=（2）点)P或P ()P 或)1P-或()1P -（3）)1y x =+【解析】(1)设(),P x y ，则()0,H y ，表示出1PF u u u r ，2PF u u u u r，u u u rPH 的坐标，代入21212PF PF PH ⋅=uuu r uuu r uuu r 后化简，即可求出所求;(2)由(1)可知点P 坐标设为(),x y ，由两点间的斜率公式求得1k ，2k ，并代入1212k k =化简，再与(1)所得的轨迹方程联立，即可求解出点P 坐标；(3)设出()11,P x y ，()22,Q x y ，再设出直线l 的方程的点斜式，让其与动点P 的轨迹方程联立化简得一个含斜率的一元二次方程，由韦达定理写出根与系数的关系，结合两点间的距离公式化简47NP NQ -=u u u r u u u r ，进而求出直线的斜率，得到直线l 的方程.【详解】（1）设(),P x y ，则()0,H y ，又()12,0PF x y =---u u u r ，()22,0PF x y =--u u u u r，()0,0PH x =-u u u r∵21212PF PF PH ⋅=uuu r uuu r uuu r ，∴222142x y x -+=所以动点P 的轨迹方程为22184x y +=（2）由题意得：102y k x -=--，202y k x -=-，所以2122142y k k x ⋅==-，即2224y x =-又由（1）可得22184x y +=，所以解得26x =，21y =即点)P或P ()P 或)1P-或()1P -（3）设直线方程()1y k x =+，联立方程组()()222222112428028y k x k x k x k x y ⎧=+⇒+++-=⎨+=⎩计算>0∆恒成立设()11,P x y ，()22,Q x y ，所以2122412k x x k -+=+，21222812k x x k-⋅=+所以)121241127NP NQ x x -==++=++u u u r u u u r22442127k k ⎫-+==⎪+⎭，解得k =直线l 的方程为)1y x =+ 【点睛】本题考查了轨迹方程，交点坐标的求法，一元二次方程的根与系数的关系等知识，考查了理解辨析能力与运算求解能力,属于中档题.21．已知动点(),M x y 4=，记M 的轨迹为曲线C ，直线l ：y kx =（0k ≠）交曲线C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ，连接QE 并延长交曲线C 于点G . （1）求曲线C 的方程，并说明曲线C 是什么曲线； （2）若2k =，求PQG V 的面积. （3）求PQG V 面积的最大值.【答案】（1）22142x y +=，轨迹是以()1F 、)2F 为焦点的椭圆（2）4027（3）169【解析】(1)4=，由两点间的距离公式可看出，其表示动点(),M x y 与两定点()、)的距离之和为4，且4>，可知其符合椭圆的定义，把相关量代入椭圆标准方程，即可求解；(2)写出直线l 的方程与曲线C 的方程联立，便可解出点,P Q 坐标，进而知道点E 的坐标，再求出直线QE 的方程后，与曲线C 的方程联立，可解出点G 的坐标，再代1()2PQG P G Q S y x x ∆=-公式，即可求出面积； (3)将直线l 的方程与曲线C 的方程联立，解出点,P Q 坐标，进而得点E 的坐标，再求出直线QE 的方程后，与曲线C 的方程联立，可得点G 坐标，再根据点,G P 坐标，得直线PG 的斜率，可验证1PG PQ k k ⋅=-，得PQG ∆是直角三角形，代两点间的距离公式可求出||,||PG PQ ，所以1||||2PQG S PG PQ ∆=是一个关于直线l 的斜率的函数，由函数求最值的方法，即可求解. 【详解】 （14=，可得点(),Mx y 到点()1F 、)2F 的距离之和为4且124F F <，所以动点(),M x y 的轨迹是以()1F 、)2F 的椭圆，其中2a =，c =2a =，b =C 的轨迹方程为22142xy +=，轨迹是以()1F 、)2F 的椭圆.（2）根据题2y x =意得，与22142x y +=联立221422x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得112343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或222343x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以P 点坐标为24,33⎛⎫⎪⎝⎭，Q 点坐标为24,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭因为PE x ⊥轴，垂足为E ，所以E 点坐标为2,03⎛⎫⎪⎝⎭所以直线QE 方程为23y x =-与22142x y +=联立，可得2214223x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，整理可得222343x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或3314989x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以G 点坐标为148,99⎛⎫⎪⎝⎭1414240239327PQG S ⎛⎫⎛⎫=⋅--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△（3）设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为y kx =（0k >）.由22142y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =记u =，则(),P u uk ，(),Q u uk --，(),0E u .于是直线QG 的斜率为2k，方程为()2k y x u =-. 由()222142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()222222280k x uk x k u +-+-=——① 设(),G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故()22322Gu k x k +=+.由此得322G uk y k=+. 从而直线PG 的斜率为()322212322uk ukk k u k uk -+=-+-+. 所以PQ PG ⊥，即PQG V 是直角三角形.得2PQ =PG =.所以PQG V 的面积()()()2222188112122112k k k k S PQ PG k k k k ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭===++⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 设1t k k=+，则由0k >得2t ≥，当且仅当1k =时取等号. 因为2812tS t =+在[)2,+∞单调递减，所以当2t =，即1k =时，S 取得最大值，最大值为169. 因此，PQG V 面积的最大值为169. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的定义式、曲线交点坐标的求法、直线与椭圆的综合知识等，考查理解辨析能力及求解运算能力.。