2019年山东省济南市中考数学试卷(解析版)学习资料
2019年济南市中考题(Word+答案)
山东省济南市2019年初三年级学业水平考试数学试题一、选择题(本大题共12个小题，每题4分，共48分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．) 1. －7的相反数是A ． －7B ．－17 C ．7 D ． 1【答案】C2．以下给出的几何体中，主视图是矩形，俯视图是圆的是A B C D 【答案】 D3．2019年1 月3日，“嫦娥四号〞 探测器成功着陆在月球反面东经177.6度、南纬45.5度附近，实现了人类首次在月球反面软着陆．数字177.6用科学记数法表示为A ． 0.1776×103B ． 1.776×102C ．1.776×103D ． 17.76×102 【答案】B4． 如图，DE ∥BC ，BE 平分∠ABC ，假设∠1＝70°，那么∠CBE 的度数为 A ．20° B．35° C．55° D．70°【答案】B5．实数a 、b 在数轴上的对应点的位置如下图，以下关系式不成立的是A ． a －5＞b －5B ． 6a ＞6bC ． －a ＞－bD ． a －b ＞0【答案】C6．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是赵爽弦图科克曲线A ．B ．C ．D ．【答案】C斐波那契螺旋线 笛卡尔心形线7．化简4x 2－4＋1x ＋2的结果是 A ．x －2 B ．1x ＋2 C ．2x －2 D ．2x ＋2【答案】B 【解析】4x 2－4＋1x ＋2＝4(x ＋2)(x －2)＋1x ＋2＝4＋(x －2)(x ＋2)(x －2)＝x －2(x ＋2)(x －2)＝1x ＋2． 8．在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示，那么这7次成绩的中位数和平均数分别是A ．9.7m ， 9.9mB ．9.7m ， 9.8mC ．9.8m ， 9.7mD ．9.8m ， 9.9m9.【答案】B9．函数y ＝－ax ＋a与y ＝ax(a ≠0)在同一坐标系中的图象可能是D ．【答案】D10．如图，在菱形ABCD 中，点E 是BC 的中点，以C 为圆心、CE 为半径作弧，交CD 于点F ，连接AE 、AF ．假设AB ＝6，∠B ＝60°，那么阴影局部的面积为 A ．93－3π B．93－2π C．183－9π D．183－6π【答案】A【解析】由可得：CE ＝CF ＝12AB ＝3，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，AE ＝AF ＝33，∠ECF ＝120°．S △AEC ＝S △AFC ＝12×3×33＝923，S 四边形AECF ＝93，S 扇形ECF ＝13×π×32＝3π． ∴S 阴影＝S 四边形AECF －S 扇形ECF ＝93－3π．11．某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A 测得历下亭C 在北偏东37°方向，继续向北走105m 后到达游船码头B ，测得历下亭C 在游船码头B 的北编东53°方向．请计算一下南门A 与历下亭C 之间的距离约为 (参考数据：tan37°≈34，tan53°≈43)．A ．225mB ．275mC ．300mD ．315m游船码头历下亭【答案】C【解析】过点C 作CD ⊥AB ，交AB 的延长线于点D ．在Rt △ACD 中，∵tan ∠A ＝CD AD ，∴tan37°＝CD AD ＝34．∴可设CD ＝3x ，AD ＝4x ．∴AC ＝5x ．在Rt △BCD 中，∵tan ∠DBC ＝CD BD ，∴tan53°＝CD BD ＝43．∴3x BD ＝43．∴BD ＝94x ． ∵AB ＋BD ＝AD ，∴105＋94x ＝4x ．解得x ＝60．∴AC ＝5x ＝300〔m 〕．D12．关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋12＝0有一个根是－1，假设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋12的图象的顶点在第一象限，设t ＝2a ＋b ，那么t 的取值范围是A ．－12＜t ＜14B ．－1＜t ≤14C ．－12≤t ＜12D ．－1＜t ＜12【答案】D【解析】将x ＝－1代入ax 2＋bx ＋12＝0，得a －b ＋12＝0．∴a ＝b －12……………………………………①．∴t ＝2a ＋b ＝2(b －12)＋b ＝3b －1……………………………………②．根据题意可知：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋12的图象经过点〔－1，0〕和〔0，12〕．又∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋12的图象的顶点在第一象限，∴该抛物线的开口向下，与x 轴有两个交点，且顶点的纵坐标y 顶＞12．∴a ＜0，b ＞0． ∴a ＝b －12＜0．∴b ＜12．又∵b ＞0，∴0＜b ＜12．∴0＜3b ＜32．∴－1＜3b －1＜12．又∵t ＝3b －1，∴－1＜t ＜12……………………………………③．下面再采用验证法作出进一步的判断：在14＜t ＜12的范围内，假设取t ＝38，得38＝3b －1．解得b ＝1124．∴a ＝b －12＝－124． 此时y ＝ax 2＋bx ＋12＝－124x 2＋1124x ＋12＝－124(x －112)2＋21796，x 顶＝112＞0，y 顶＝21796＞12．∴t ＝38符合题意……………………………………④．在－1＜t ＜－12的范围内假设取t ＝－34，得－34＝3b －1．解得b ＝112．∴a ＝b －12＝－512．此时y ＝ax 2＋bx ＋12＝－512x 2＋112x ＋12＝－512(x －110)2＋121240，x 顶＝110＞0，y 顶＝121240＞12．∴t ＝－34符合题意……………………………………⑤．综上可知：答案选D ．二、填空题： (本大题共613．分解因式： m 2－4m ＋4＝________； 【答案】(m －2)214．如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了6个一样的扇形，转动转盘，转盘停顿时，指针落在红色区域的概率等于________；【答案】1315． 一个n 边形的内角和等于720°， 那么n ＝________； 【答案】616．代数式2x －13与代数式3－2x 的和为4，那么x ＝________；【答案】x ＝－117．某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．图中l 1、l 2分别表示去年、今年水费y (元)与用水量x (m 3)之间的关系．小雨家去年用水量为150m 3，假设今年用水量与去年一样，水费将比去年多________元．m 3【答案】210【解析】图中l 1的解析式为y ＝3x ，当x ＝150时，y ＝3×150＝450〔元〕， ∴小雨家去年用水的水费为450元．图中l BC 的解析式为y ＝6x －240，当x ＝150时，y ＝6×150－240＝660〔元〕． 660－450＝210〔元〕． ∴水费将比去年多210元．18． 如图，在矩形纸片ABCD 中，将AB 沿BM 翻折， 使点A 落在BC 上的点N 处，BM 为折痕，连接MN ；再将CD 沿CE 翻折，使点D 恰好落在MN 上的点F 处，CE 为折痕，连接EF 并延长交BM 于点P ，假设AD ＝8，AB ＝5，那么线段PE的长等于________．【答案】203【解析】由题意可得：四边形ABNM 是正方形，AM ＝AB ＝MN ＝BN ＝5，CN ＝DM ＝8－5＝3，∠ABM ＝45°，CD ＝CF ＝5，DE ＝EF ．在Rt △CFN 中，∵CF ＝5，CN ＝3，∴FN ＝4． ∴MF ＝MN －FN ＝5－4＝1．设DE ＝EF ＝x ，那么ME ＝3－x ．在Rt △MEF 中，∵ME 2＋MF 2＝EF 2，∴(3－x )2＋12＝x 2．x ＝53．∴EF ＝53，那么ME ＝3－x ＝43．∴MF ∶ME ∶EF ＝3∶4∶5．过点P 作PG ⊥AM 于点G ，那么∠GPM ＝∠ABM ＝45°．∴PG ＝MG ．∵PG ∥MF ，∴△EFM ∽△EPG ．∴PG ∶EG ∶PE ＝MF ∶ME ∶EF ＝3∶4∶5． 设PG ＝MG ＝3y ，那么EG ＝4y ，PE ＝5y ． ∵EG ＝MG ＋EM ，∴4y ＝3y ＋43．∴y ＝43．∴PE ＝5y ＝203．三、解答题： (本大题共9个小题，共78分解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 19． (本小题总分值6分)计算：(12)－1＋(π＋1)0－2cos60°＋9【解】原式＝2＋1－2×12＋3＝5．20． (本小题总分值6分)解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧5x －3≤2x ＋9① 3x ＞x ＋102. ② ，并写出它的所有整数解． 【解】由①，得5x －2x ≤9＋3． ∴x ≤4． 由②，得 6x ＞x ＋10． ∴x ＞2．∴原不等式组的解集是2＜x ≤4． 它的所有整数解为：3，4． 21． (本小题总分值6分)如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是AD 和BC 上的点，∠DAF ＝∠BCE ．求证：BF ＝DE ．【证明】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝CD ，∠B ＝∠D ，AD ∥B C ． ∴∠AFB ＝∠DAF ，∠DEC ＝∠BCE ． 又∵∠DAF ＝∠BCE ， ∴∠AFB ＝∠DE C ． ∴△ABF ≌△CDE ． ∴BF ＝DE ．22． (本小题总分值8分)为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购置了一批书籍．其中购置A 种图书花费了3000元，购置B 种图书花费了1600元，A 种图书的单价是B 种图书的1.5倍，购置A 种图书的数量比B 种图书多20本．(1)求A 和B 两种图书的单价；(2)书店在“世界读书日〞进展打折促销活动，所有图书都按8折销售学校当天购置了A 种图书20本和B 种图书25本，共花费多少元? 【解】〔1〕设B 种图书的单价为x 元，A 种图书的单价为1.5x 元，根据题意，得；30001.5x －1600x ＝20． 2000x －1600x＝20．解得x ＝20．经检验x ＝20是原方程的根． ∴1.5x ＝30．答：A 种图书的单价为30元，B 种图书的单价为20元．(2) 〔20×30＋20×25〕×0.8＝880(元)． 答：共花费880元． 23． (本小题总分值8分)如图，AB 、CD 是⊙O 的两条直径，过点C 的⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，连接AC 、BD ． (1)求证；∠ABD ＝∠CAB ；(2)假设B 是OE 的中点，AC ＝12，求⊙O 的半径．【解析】〔1〕证明：∵AD ＝AD ，∴∠ABD ＝∠AC D ． ∵OA ＝OC ，∴∠ACD ＝∠CA B ． ∴∠ABD ＝∠CA B ．〔2〕解：连接BC ，那么∠ACB ＝90°． ∵CE 是⊙O 的切线，∴∠OCE ＝90°． ∵B 是OE 的中点，∴OB ＝BE ＝12OE ．∴OC ＝OB ＝12OE ．∴∠E ＝30°． ∴∠COE ＝60°． 又∵OC ＝OB ，∴△OCB 是等边三角形． ∴∠ABC ＝60°．在Rt △ABC 中，∵tan ∠ABC ＝AC BC ，∴tan60°＝12BC．∴BC ＝123＝43．24． (本小题总分值10分某学校八年级共400名学生，为了解该年级学生的视力情况，从中随机抽取40名学生的视力数据作为样本，数据统计如下：4.2 4.1 4.7 4.1 4.3 4.3 4.4 4.6 4.15.2 5.2 4.5 5.0 4.5 4.3 4.4 4.8 5.3 4.5 5.2 4.4 4.2 4.3 5.3 4.9 5.2 4.9 4.8 4.6 5.1 4.2 4.4 4.5 4.1 4.5 5.1 4.4 5.0 5.2 5.3(1)统计表中的a ＝_______，b ＝_______； (2)请补全条形统计图；(3)根据抽样调查结果，请估计该校八年级学生视力为“E 级〞的有多少人?(4)该年级学生会宣传部有2名男生和2名女生，现从中随机挑选2名同学参加“防控近视，爱眼护眼〞宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女〞的概率． 【解】〔1〕a ＝8，b ＝0.15； (2)补全后的条形统计图如下图：〔3〕400×0.25=100〔人〕．答：估计该校八年级学生视力为 “E 级〞的有100人．男1女〞的结果有8种，所以其概率为812＝23．25． (本小题总分值10分)如图1，点A (0，8)、点B (2，a )在直线y ＝－2x ＋b 上，反比例函数y ＝k x(x ＞0)的图象经过点B ． (1)求a 和k 的值；(2)将线段AB 向右平移m 个单位长度(m ＞0)，得到对应线段CD ，连接AC 、 B D ．①如图2，当m ＝3时，过D 作DF ⊥x 轴于点F ，交反比例函数图象于点E ，求DEEF的值； ②在线段AB 运动过程中，连接BC ，假设△BCD 是以BC 为腰的等腰三形，求所有满足条件的m 的值．【解】〔1〕将点A (0，8)代入y ＝－2x ＋b ，得b ＝8． ∴直线AB 的解析式为y ＝－2x ＋8． 将点B (2，a )代入y ＝－2x ＋8，得 a ＝－2×2＋8＝4． ∴点B (2，4)．将点B (2，4)代入y ＝kx (x ＞0)，得k ＝2×4＝8．∴反比例函数的解析式为y ＝8x(x ＞0)．〔2〕当m ＝3时，D 〔5，4〕．∴F 〔5，0〕． 将x ＝5代入y ＝8x ，得y ＝85．∴E 〔5，85〕．∴DE ＝4－85＝125，EF ＝85．∴DE EF ＝12585＝32． 〔3〕根据题意，得C 〔m ，8〕，D 〔2＋m ，4〕． ∴BC 2＝(m －2)2＋(8－4)2＝m 2－4m ＋20， BD 2＝(2＋m －2)2＋(4－4)2＝m 2， CD 2＝AB 2＝(2－0)2＋(4－8)2＝20．①假设BC ＝CD ，那么m 2－4m ＋20＝20．解得m 1＝4，m 2＝0〔不合题意，舍去〕． ②假设BC ＝BD ，那么m 2－4m ＋20＝m 2．解得m ＝5． ∴满足条件的m 的值为4或5． 26． (本小题总分值12分)小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进展了拓展探究．(一)猜想探究在△ABC 中，AB ＝AC ，M 是平面内任意一点， 将线段AM 绕点A 按顺时针方向旋转与∠BAC 相等的角度，得到线段AN ，连接N B ．(1)如图1，假设M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是______，NB与MC的数量关系是______；(2)如图2，点E是AB延长线上点，假设M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，(1)中结论是否仍然成立?假设成立，请给予证明，假设不成立，请说明理由．(二)拓展应用如图3，在△A1B1C1中，A1B1＝8，∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝75°，P是B1C1上的任意点，连接A1P，将A1P绕点A1按顺时针方向旋转75°，得到线段A1Q，连接B1Q．求线段B1Q长度的最小值．Q1 NCC1【解】〔1〕∠NAB＝∠MAC，NB＝MC；〔2〕(1)中结论仍然成立，证明如下：由旋转可得：AN＝AM，∠NAM＝∠BA C．∴∠NAB＋∠BAM＝∠BAM＋∠MA C．∴∠NAB＝∠MA C．又∵AB＝AC，∴△NAB≌△MA C．∴NB＝M C．〔3〕过点A1作A1G⊥B1C1于点G，那么B1G＝12A1B1＝4，A1G＝3B1G＝43．在△A1B1C1中，∴∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝75°，∴∠C1＝45°．在Rt△ABC中，∵∠C1＝45°，∴A1C1＝2A1G＝46．作A1B1的延长线B1F，将A1C1绕点A1按顺时针方向旋转75°，得到线段A1P1(点P1在B1F上)，将A1B1绕点A1按顺时针方向旋转75°，得到线段A1P2，连接P1P2．根据题意可知：当点P在点C1处时，点Q在点P1处，当点P在点B1处时，点Q在点P2处．∵点P在线段B1C1上运动，∴点Q在线段P1P2上运动．过点B1作B1H⊥P1P2于点H，那么线段B1Q长度的最小值= B1H．与〔2〕同理可得：A1Q＝A1P，∠QA1P1＝∠PA1C1．又∵A1P1＝A1C1＝46，∴△QA1P1≌△PA1C1．∴∠QP1A1＝∠PC1A1＝45°．在Rt△P1B1H中，∵∠B1 P1P2＝45°，∴B1H＝P1B12＝46－82＝43－42．∴线段B1Q长度的最小值= B1H＝43－42．P27．〔此题总分值12分〕如图1，抛物线C ：y ＝ax 2＋bx 经过点A 〔－4，0〕、B 〔－1，3〕两点，G 是其顶点，将抛物线C 绕点O 旋转180°，得到新的抛物线C ′．〔1〕求抛物线C 的函数解析式及顶点G 的坐标；〔2〕如图2，直线l ：y ＝kx －125经过点A ，D 是抛物线C 上的一点，设D 点的横坐标为m 〔m ＜－2〕，连接DO 并延长，交抛物线C ′于点E ，交直线l 于点M ，假设DE ＝2EM ，求m 的值；〔3〕如图3，在〔2〕的条件下，连接AG 、AB ，在直线DE 下方的抛物线C 上是否存在点P ，使得∠DEP ＝∠GAB ？假设存在，求出点P 的横坐标；假设不存在，请说明理由．【解】〔1〕将点A 〔－4，0〕、B 〔－1，3〕的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ，得 ⎩⎪⎨⎪⎧0＝16a －4b 3＝a －b ．解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－4． ∴抛物线C 的函数解析式为y ＝－x 2－4x ．∵y ＝－x 2－4x ＝－( x 2＋4x )＝－( x 2＋4x ＋4－4)＝－( x ＋2) 2＋4， ∴抛物线C 的顶点G 的坐标为〔－2，4〕．〔2〕∵抛物线C 与新的抛物线C ′关于原点O 中心对称，∴新的抛物线C ′的函数解析式为－y ＝－(－x )2－4(－x )，即y ＝x 2－4x ． 将点A 〔－4，0〕的坐标代入y ＝kx －125，得0＝－4k －－125．解得k ＝－35．∴直线l 的函数解析式为y ＝－35x －125．设点D 的坐标为〔m ，－m 2－4m 〕〔其中m ＜－2〕． 由题意可知：点D 与点E 关于原点O 中心对称， ∴点E 的坐标为〔－m ，m 2＋4m 〕且OD ＝OE ＝12DE ．∵DE ＝2EM ，∴EM ＝12DE ．∴OD ＝OE ＝EM ．∴x M ＝2x E ＝－2m ．把x ＝－2m 代入y ＝－35x －125，得y ＝－35×(－2m )－125＝65m －125．∴点M 的坐标为〔－2m ，65m －125〕．∵点E 是OM 的中点，∴y E ＝y O ＋y M2．∴m 2＋4m ＝0＋(65m －125)2．整理，得5m 2＋17m ＋6＝0．解得m 1＝－3，m 2＝－25〔不合题意，舍去〕．∴m ＝－3．〔3〕存在点符合题意的点P ，使得∠DEP ＝∠GA B ．在〔2〕的条件下，m ＝－3，那么点D 的坐标为〔－3，3〕，点E 的坐标为〔3，－3〕． 取抛物线C ′的顶点为点G ′．由题意可得：点G 〔－2，4〕与点G ′关于原点O 中心对称，∴点G ′的坐标为〔2，－4〕． 分别连接BG 、EG ′、OG ′．由点A 〔－4，0〕、B 〔－1，3〕可得直线AB 的解析式为y ＝x ＋4，且AB ＝32． 由点B 〔－1，3〕、G 〔－2，4〕可得直线BG 的解析式为y ＝－x ＋2，且BG ＝2． ∵k AB ·k BG ＝1×(－1)＝－1，∴AB ⊥BG ．∴∠ABG ＝90°．由点O 〔0，0〕、E 〔3，－3〕可得直线OE 的解析式为y ＝－x ，且OE ＝32． 由点G ′〔2，－4〕、E 〔3，－3〕可得直线EG ′的解析式为y ＝x －6，且EG ′＝2． ∵k OE ·k EG ′＝1×(－1)＝－1，∴OE ⊥EG ′．∴∠OEG ′＝90°．∵AB ＝OE ＝32，BG ＝EG ′＝2，∠ABG ＝∠OEG ′＝90°，∴△ABG ≌△OEG ′．∴∠GAB ＝∠G′OE ．∴要使∠DEP ＝∠GAB ，只要∠DEP ＝∠G′OE 即可．方法一：直线OG ′的解析式为y ＝－2x ．作线段OE 的垂直平分线，交线段OE 于点N ，交线段OG ′于点F ，作直线EF ，交抛物线C 与两点P 1、P 2，那么∠FEO ＝∠G′OE ．∴点P 1、P 2即为所求 线段OE 的垂直平分线的解析式为y ＝x －3． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －3y ＝－2x 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－2．∴点F 的坐标为〔1，－2〕．由点E 〔3，－3〕、F 〔1，－2〕可得直线EF 的解析式为y ＝－12x －32．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x －32y ＝－x 2－4x得2x 2＋7x －3＝0．解得x 1＝－7＋734，x 2＝－7－734．∴点P 的横坐标为－7＋734或－7－734．方法二：直线OG ′的解析式为y ＝－2x ．在线段OG ′上取一点F ，使FE ＝FO ，那么∠FEO ＝∠G′OE ＝∠GA B ．直线EF 交抛物线C 于两点P 1、P 2，那么点P 1、P 2即为所求． 设F 的坐标为〔t ，－2t 〕，那么OF 2＝(0－t )2＋(0＋2t )2＝5t 2，EF 2＝(t －3)2＋(－2t ＋3)2＝5t 2－18t ＋18． ∵FE ＝FO ，∴5t 2＝5t 2－18t ＋18．解得t ＝1． ∴F 〔1，－2〕． 由点E 〔3，－3〕、F 〔1，－2〕可得直线EF 的解析式为y ＝－12x －32．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x －32y ＝－x 2－4x得2x 2＋7x －3＝0．解得x 1＝－7＋734，x 2＝－7－734．∴点P 的横坐标为－7＋734或－7－734．。
2019年山东济南中考数学试卷及答案
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数学真题/答案[解析]专题推荐参加2019中考的考⽣可直接查阅各科2019年⼭东济南中考试题及答案信息！考试须知⼀、考⽣凭《准考证》(社会⼈员须持准考证及⾝份证)提前15分钟进⼊指定试室（英语科提前20分钟）对号⼊座，并将《准考证》放在桌⼦左上⾓，以便查对。
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2019年济南市中考题(Word+答案)
山东省济南市2019年初三年级学业水平考试数学试题一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1. －7的相反数是A ． －7B ．－17C ．7D ． 1【答案】C2．以下给出的几何体中，主视图是矩形，俯视图是圆的是A B C D 【答案】 D3．2019年1 月3日，“嫦娥四号” 探测器成功着陆在月球背面东经177.6度、南纬45.5度附近，实现了人类首次在月球背面软着陆．数字177.6用科学记数法表示为A ． 0.1776×103B ． 1.776×102C ．1.776×103D ． 17.76×102【答案】B4． 如图，DE ∥BC ，BE 平分∠ABC ，若∠1＝70°，则∠CBE 的度数为 A ．20° B ．35° C ．55° D ．70°【答案】B5．实数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是A ． a －5＞b －5B ． 6a ＞6bC ． －a ＞－bD ． a －b ＞0【答案】C6．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是赵爽弦图科克曲线A ．B ．C ．D ．【答案】C斐波那契螺旋线 笛卡尔心形线7．化简4x 2－4＋1x ＋2的结果是 A ．x －2 B ．1x ＋2 C ．2x －2 D ．2x ＋2【答案】B 【解析】4x 2－4＋1x ＋2＝4(x ＋2)(x －2)＋1x ＋2＝4＋(x －2)(x ＋2)(x －2)＝x －2(x ＋2)(x －2)＝1x ＋2． 8．在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示，则这7次成绩的中位数和平均数分别是A ．9.7m ， 9.9mB ．9.7m ， 9.8mC ．9.8m ， 9.7mD ．9.8m ， 9.9m9.【答案】B9．函数y ＝－ax ＋a 与y ＝ax(a ≠0)在同一坐标系中的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D10．如图，在菱形ABCD 中，点E 是BC 的中点，以C 为圆心、CE 为半径作弧，交CD 于点F ，连接AE 、AF ．若AB ＝6，∠B ＝60°，则阴影部分的面积为 A ．93－3π B ．93－2π C ．183－9π D ．183－6π【答案】A【解析】由已知可得：CE ＝CF ＝12AB ＝3，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，AE ＝AF ＝33，∠ECF ＝120°．S △AEC ＝S △AFC ＝12×3×33＝923，S 四边形AECF ＝93，S 扇形ECF ＝13×π×32＝3π． ∴S 阴影＝S 四边形AECF －S 扇形ECF ＝93－3π．11．某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A 测得历下亭C 在北偏东37°方向，继续向北走105m 后到达游船码头B ，测得历下亭C 在游船码头B 的北编东53°方向．请计算一下南门A 与历下亭C 之间的距离约为 (参考数据：tan37°≈34，tan53°≈43)．A ．225mB ．275mC ．300mD ．315m游船码头历下亭【答案】C【解析】过点C 作CD ⊥AB ，交AB 的延长线于点D ． 在Rt △ACD 中，∵tan ∠A ＝CD AD ，∴tan37°＝CD AD ＝34．∴可设CD ＝3x ，AD ＝4x ．∴AC ＝5x ． 在Rt △BCD 中，∵tan ∠DBC ＝CD BD ，∴tan53°＝CD BD ＝43．∴3x BD ＝43．∴BD ＝94x ．∵AB ＋BD ＝AD ，∴105＋94x ＝4x ．解得x ＝60．∴AC ＝5x ＝300（m ）．D12．关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋12＝0有一个根是－1，若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋12的图象的顶点在第一象限，设t ＝2a ＋b ，则t 的取值范围是A ．－12＜t ＜14B ．－1＜t ≤14C ．－12≤t ＜12D ．－1＜t ＜12【答案】D【解析】将x ＝－1代入ax 2＋bx ＋12＝0，得a －b ＋12＝0．∴a ＝b －12……………………………………①．∴t ＝2a ＋b ＝2(b －12)＋b ＝3b －1……………………………………②．根据题意可知：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋12的图象经过点（－1，0）和（0，12）．又∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋12的图象的顶点在第一象限，∴该抛物线的开口向下，与x 轴有两个交点，且顶点的纵坐标y 顶＞12．∴a ＜0，b ＞0． ∴a ＝b －12＜0．∴b ＜12．又∵b ＞0，∴0＜b ＜12．∴0＜3b ＜32．∴－1＜3b －1＜12．又∵t ＝3b －1，∴－1＜t ＜12……………………………………③．下面再采用验证法作出进一步的判断：在14＜t ＜12的范围内，若取t ＝38，得38＝3b －1．解得b ＝1124．∴a ＝b －12＝－124． 此时y ＝ax 2＋bx ＋12＝－124x 2＋1124x ＋12＝－124(x －112)2＋21796，x 顶＝112＞0，y 顶＝21796＞12．∴t ＝38符合题意……………………………………④．在－1＜t ＜－12的范围内若取t ＝－34，得－34＝3b －1．解得b ＝112．∴a ＝b －12＝－512．此时y ＝ax 2＋bx ＋12＝－512x 2＋112x ＋12＝－512(x －110)2＋121240，x 顶＝110＞0，y 顶＝121240＞12．∴t ＝－34符合题意……………………………………⑤．综上可知：答案选D ．二、填空题： (本大题共6个小题，每小题4分，共24分．)13．分解因式： m 2－4m ＋4＝________；【答案】(m －2)214．如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了6个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在红色区域的概率等于________；【答案】1315． 一个n 边形的内角和等于720°， 则n ＝________； 【答案】616．代数式2x －13与代数式3－2x 的和为4，则x ＝________；【答案】x ＝－117．某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．图中l 1、l 2分别表示去年、今年水费y (元)与用水量x (m 3)之间的关系．小雨家去年用水量为150m 3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多________元．m 3【答案】210【解析】图中l 1的解析式为y ＝3x ，当x ＝150时，y ＝3×150＝450（元）， ∴小雨家去年用水的水费为450元．图中l BC 的解析式为y ＝6x －240，当x ＝150时，y ＝6×150－240＝660（元）． 660－450＝210（元）． ∴水费将比去年多210元．18． 如图，在矩形纸片ABCD 中，将AB 沿BM 翻折， 使点A 落在BC 上的点N 处，BM 为折痕，连接MN ；再将CD 沿CE 翻折，使点D 恰好落在MN 上的点F 处，CE 为折痕，连接EF 并延长交BM 于点P ，若AD ＝8，AB ＝5，则线段PE的长等于________．【答案】203【解析】由题意可得：四边形ABNM 是正方形，AM ＝AB ＝MN ＝BN ＝5，CN ＝DM ＝8－5＝3，∠ABM ＝45°，CD ＝CF ＝5，DE ＝EF ．在Rt △CFN 中，∵CF ＝5，CN ＝3，∴FN ＝4． ∴MF ＝MN －FN ＝5－4＝1． 设DE ＝EF ＝x ，则ME ＝3－x ．在Rt △MEF 中，∵ME 2＋MF 2＝EF 2，∴(3－x )2＋12＝x 2．x ＝53．∴EF ＝53，则ME ＝3－x ＝43．∴MF ∶ME ∶EF ＝3∶4∶5．过点P 作PG ⊥AM 于点G ，则∠GPM ＝∠ABM ＝45°．∴PG ＝MG ．∵PG ∥MF ，∴△EFM ∽△EPG ．∴PG ∶EG ∶PE ＝MF ∶ME ∶EF ＝3∶4∶5． 设PG ＝MG ＝3y ，则EG ＝4y ，PE ＝5y ． ∵EG ＝MG ＋EM ，∴4y ＝3y ＋43．∴y ＝43．∴PE ＝5y ＝203．三、解答题： (本大题共9个小题，共78分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 19． (本小题满分6分)计算：(12)－1＋(π＋1)0－2cos60°＋9【解】原式＝2＋1－2×12＋3＝5．20． (本小题满分6分)解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧5x －3≤2x ＋9①3x ＞x ＋102. ② ，并写出它的所有整数解． 【解】由①，得5x －2x ≤9＋3． ∴x ≤4． 由②，得 6x ＞x ＋10． ∴x ＞2．∴原不等式组的解集是2＜x ≤4． 它的所有整数解为：3，4． 21． (本小题满分6分)如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是AD 和BC 上的点，∠DAF ＝∠BCE ．求证：BF ＝DE ．【证明】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝CD ，∠B ＝∠D ，AD ∥B C ． ∴∠AFB ＝∠DAF ，∠DEC ＝∠BCE ． 又∵∠DAF ＝∠BCE ， ∴∠AFB ＝∠DE C ． ∴△ABF ≌△CDE ． ∴BF ＝DE ．22． (本小题满分8分)为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购买了一批书籍．其中购买A 种图书花费了3000元，购买B 种图书花费了1600元，A 种图书的单价是B 种图书的1.5倍，购买A 种图书的数量比B 种图书多20本．(1)求A 和B 两种图书的单价；(2)书店在“世界读书日”进行打折促销活动，所有图书都按8折销售学校当天购买了A 种图书20本和B 种图书25本，共花费多少元? 【解】（1）设B 种图书的单价为x 元，A 种图书的单价为1.5x 元，根据题意，得；30001.5x －1600x ＝20． 2000x －1600x＝20．解得x ＝20．经检验x ＝20是原方程的根． ∴1.5x ＝30．答：A 种图书的单价为30元，B 种图书的单价为20元．(2) （20×30＋20×25）×0.8＝880(元)． 答：共花费880元． 23． (本小题满分8分)如图，AB 、CD 是⊙O 的两条直径，过点C 的⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，连接AC 、BD ． (1)求证；∠ABD ＝∠CAB ；(2)若B 是OE 的中点，AC ＝12，求⊙O 的半径．【解析】（1）证明：∵AD ＝AD ，∴∠ABD ＝∠AC D ． ∵OA ＝OC ，∴∠ACD ＝∠CA B ． ∴∠ABD ＝∠CA B ．（2）解：连接BC ，则∠ACB ＝90°． ∵CE 是⊙O 的切线，∴∠OCE ＝90°． ∵B 是OE 的中点，∴OB ＝BE ＝12OE ．∴OC ＝OB ＝12OE ．∴∠E ＝30°． ∴∠COE ＝60°． 又∵OC ＝OB ，∴△OCB 是等边三角形． ∴∠ABC ＝60°．在Rt △ABC 中，∵tan ∠ABC ＝AC BC ，∴tan60°＝12BC． ∴BC ＝123＝43．24． (本小题满分10分某学校八年级共400名学生，为了解该年级学生的视力情况，从中随机抽取40名学生的视力数据作为样本，数据统计如下：4.2 4.1 4.7 4.1 4.3 4.3 4.4 4.6 4.15.2 5.2 4.5 5.0 4.5 4.3 4.4 4.8 5.3 4.5 5.2 4.4 4.2 4.3 5.3 4.9 5.2 4.9 4.8 4.6 5.1 4.2 4.4 4.5 4.1 4.5 5.1 4.4 5.0 5.2 5.3(1)统计表中的a ＝_______，b ＝_______； (2)请补全条形统计图；(3)根据抽样调查结果，请估计该校八年级学生视力为“E 级”的有多少人?(4)该年级学生会宣传部有2名男生和2名女生，现从中随机挑选2名同学参加“防控近视，爱眼护眼”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率． 【解】（1）a ＝8，b ＝0.15；(2)补全后的条形统计图如图所示：（3）400×0.25=100（人）．答：估计该校八年级学生视力为 “E 级”的有100人．“1男1女”的结果有8种，所以其概率为812＝23．25． (本小题满分10分)如图1，点A (0，8)、点B (2，a )在直线y ＝－2x ＋b 上，反比例函数y ＝k x(x ＞0)的图象经过点B ． (1)求a 和k 的值；(2)将线段AB 向右平移m 个单位长度(m ＞0)，得到对应线段CD ，连接AC 、 B D ．①如图2，当m ＝3时，过D 作DF ⊥x 轴于点F ，交反比例函数图象于点E ，求DEEF的值； ②在线段AB 运动过程中，连接BC ，若△BCD 是以BC 为腰的等腰三形，求所有满足条件的m 的值．【解】（1）将点A (0，8)代入y ＝－2x ＋b ，得b ＝8． ∴直线AB 的解析式为y ＝－2x ＋8． 将点B (2，a )代入y ＝－2x ＋8，得 a ＝－2×2＋8＝4． ∴点B (2，4)．将点B (2，4)代入y ＝k x(x ＞0)，得k ＝2×4＝8．∴反比例函数的解析式为y ＝8x(x ＞0)．（2）当m ＝3时，D （5，4）．∴F （5，0）． 将x ＝5代入y ＝8x ，得y ＝85．∴E （5，85）．∴DE ＝4－85＝125，EF ＝85．∴DE EF ＝12585＝32． （3）根据题意，得C （m ，8），D （2＋m ，4）．∴BC 2＝(m －2)2＋(8－4)2＝m 2－4m ＋20， BD 2＝(2＋m －2)2＋(4－4)2＝m 2， CD 2＝AB 2＝(2－0)2＋(4－8)2＝20．①若BC ＝CD ，则m 2－4m ＋20＝20．解得m 1＝4，m 2＝0（不合题意，舍去）．②若BC ＝BD ，则m 2－4m ＋20＝m 2．解得m ＝5． ∴满足条件的m 的值为4或5． 26． (本小题满分12分)小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．(一)猜测探究在△ABC 中，AB ＝AC ，M 是平面内任意一点， 将线段AM 绕点A 按顺时针方向旋转与∠BAC 相等的角度，得到线段AN ，连接N B ．(1)如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是______，NB与MC的数量关系是______；(2)如图2，点E是AB延长线上点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，(1)中结论是否仍然成立?若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．(二)拓展应用如图3，在△A1B1C1中，A1B1＝8，∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝75°，P是B1C1上的任意点，连接A1P，将A1P绕点A1按顺时针方向旋转75°，得到线段A1Q，连接B1Q．求线段B1Q长度的最小值．Q1 NCC1P【解】（1）∠NAB＝∠MAC，NB＝MC；（2）(1)中结论仍然成立，证明如下：由旋转可得：AN＝AM，∠NAM＝∠BA C．∴∠NAB＋∠BAM＝∠BAM＋∠MA C．∴∠NAB＝∠MA C．又∵AB＝AC，∴△NAB≌△MA C．∴NB＝M C．（3）过点A1作A1G⊥B1C1于点G，则B1G＝12A1B1＝4，A1G＝3B1G＝43．在△A1B1C1中，∴∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝75°，∴∠C1＝45°．在Rt△ABC中，∵∠C1＝45°，∴A1C1＝2A1G＝46．作A1B1的延长线B1F，将A1C1绕点A1按顺时针方向旋转75°，得到线段A1P1(点P1在B1F上)，将A1B1绕点A1按顺时针方向旋转75°，得到线段A1P2，连接P1P2．根据题意可知：当点P在点C1处时，点Q在点P1处，当点P在点B1处时，点Q在点P2处．∵点P在线段B1C1上运动，∴点Q在线段P1P2上运动．过点B1作B1H⊥P1P2于点H，则线段B1Q长度的最小值= B1H．与（2）同理可得：A1Q＝A1P，∠QA1P1＝∠PA1C1．又∵A1P1＝A1C1＝46，∴△QA1P1≌△PA1C1．∴∠QP1A1＝∠PC1A1＝45°．在Rt△P1B1H中，∵∠B1 P1P2＝45°，∴B1H＝P1B12＝46－82＝43－42．∴线段B1Q长度的最小值= B1H＝43－42．P27．（本题满分12分）如图1，抛物线C ：y ＝ax 2＋bx 经过点A （－4，0）、B （－1，3）两点，G 是其顶点，将抛物线C 绕点O 旋转180°，得到新的抛物线C ′．（1）求抛物线C 的函数解析式及顶点G 的坐标；（2）如图2，直线l ：y ＝kx －125经过点A ，D 是抛物线C 上的一点，设D 点的横坐标为m （m ＜－2），连接DO 并延长，交抛物线C ′于点E ，交直线l 于点M ，若DE ＝2EM ，求m 的值；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG 、AB ，在直线DE 下方的抛物线C 上是否存在点P ，使得∠DEP ＝∠GAB ？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．【解】（1）将点A （－4，0）、B （－1，3）的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ，得 ⎩⎪⎨⎪⎧0＝16a －4b 3＝a －b ．解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－4． ∴抛物线C 的函数解析式为y ＝－x 2－4x ．∵y ＝－x 2－4x ＝－( x 2＋4x )＝－( x 2＋4x ＋4－4)＝－( x ＋2) 2＋4， ∴抛物线C 的顶点G 的坐标为（－2，4）．（2）∵抛物线C 与新的抛物线C ′关于原点O 中心对称，∴新的抛物线C ′的函数解析式为－y ＝－(－x )2－4(－x )，即y ＝x 2－4x ． 将点A （－4，0）的坐标代入y ＝kx －125，得0＝－4k －－125．解得k ＝－35．∴直线l 的函数解析式为y ＝－35x －125．设点D 的坐标为（m ，－m 2－4m ）（其中m ＜－2）． 由题意可知：点D 与点E 关于原点O 中心对称，∴点E 的坐标为（－m ，m 2＋4m ）且OD ＝OE ＝12DE ．∵DE ＝2EM ，∴EM ＝12DE ．∴OD ＝OE ＝EM ．∴x M ＝2x E ＝－2m ．把x ＝－2m 代入y ＝－35x －125，得y ＝－35×(－2m )－125＝65m －125．∴点M 的坐标为（－2m ，65m －125）．∵点E 是OM 的中点，∴y E ＝y O ＋y M2．∴m 2＋4m ＝0＋(65m －125)2．整理，得5m 2＋17m ＋6＝0．解得m 1＝－3，m 2＝－25（不合题意，舍去）．∴m ＝－3．（3）存在点符合题意的点P ，使得∠DEP ＝∠GA B ． 在（2）的条件下，m ＝－3，则点D 的坐标为（－3，3），点E 的坐标为（3，－3）． 取抛物线C ′的顶点为点G ′．由题意可得：点G （－2，4）与点G ′关于原点O 中心对称，∴点G ′的坐标为（2，－4）． 分别连接BG 、EG ′、OG ′．由点A （－4，0）、B （－1，3）可得直线AB 的解析式为y ＝x ＋4，且AB ＝32． 由点B （－1，3）、G （－2，4）可得直线BG 的解析式为y ＝－x ＋2，且BG ＝2． ∵k AB ·k BG ＝1×(－1)＝－1，∴AB ⊥BG ．∴∠ABG ＝90°．由点O （0，0）、E （3，－3）可得直线OE 的解析式为y ＝－x ，且OE ＝32． 由点G ′（2，－4）、E （3，－3）可得直线EG ′的解析式为y ＝x －6，且EG ′＝2． ∵k OE ·k EG ′＝1×(－1)＝－1，∴OE ⊥EG ′．∴∠OEG ′＝90°．∵AB ＝OE ＝32，BG ＝EG ′＝2，∠ABG ＝∠OEG ′＝90°，∴△ABG ≌△OEG ′．∴∠GAB ＝∠G ′OE ． ∴要使∠DEP ＝∠GAB ，只要∠DEP ＝∠G ′OE 即可．方法一：直线OG ′的解析式为y ＝－2x ．作线段OE 的垂直平分线，交线段OE 于点N ，交线段OG ′于点F ，作直线EF ，交抛物线C 与两点P 1、P 2，则∠FEO ＝∠G ′OE ．∴点P 1、P 2即为所求 线段OE 的垂直平分线的解析式为y ＝x －3． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －3y ＝－2x 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－2．∴点F 的坐标为（1，－2）．由点E （3，－3）、F （1，－2）可得直线EF 的解析式为y ＝－12x －32．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x －32y ＝－x 2－4x得2x 2＋7x －3＝0．解得x 1＝－7＋734，x 2＝－7－734．∴点P 的横坐标为－7＋734或－7－734．方法二：直线OG ′的解析式为y ＝－2x ．在线段OG ′上取一点F ，使FE ＝FO ，则∠FEO ＝∠G ′OE ＝∠GA B ．直线EF 交抛物线C 于两点P 1、P 2，则点P 1、P 2即为所求．设F 的坐标为（t ，－2t ），则OF 2＝(0－t )2＋(0＋2t )2＝5t 2，EF 2＝(t －3)2＋(－2t ＋3)2＝5t 2－18t ＋18．∵FE ＝FO ，∴5t 2＝5t 2－18t ＋18．解得t ＝1． ∴F （1，－2）． 由点E （3，－3）、F （1，－2）可得直线EF 的解析式为y ＝－12x －32．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x －32y ＝－x 2－4x得2x 2＋7x －3＝0．解得x 1＝－7＋734，x 2＝－7－734．∴点P 的横坐标为－7＋734或－7－734．。
2019年山东省济南市中考数学试卷
2019年山东省济南市中考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）﹣7的相反数是（）A．﹣7B．﹣C．7D．12．（4分）以下给出的几何体中，主视图是矩形，俯视图是圆的是（）A．B．C．D．3．（4分）2019年1月3日，“嫦娥四号”探测器成功着陆在月球背面东经177.6度、南纬45.5度附近，实现了人类首次在月球背面软着陆．数字177.6用科学记数法表示为（）A．0.1776×103B．1.776×102C．1.776×103D．17.76×102 4．（4分）如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1＝70°，则∠CBE的度数为（）A．20°B．35°C．55°D．70°5．（4分）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（）A．a﹣5＞b﹣5B．6a＞6b C．﹣a＞﹣b D．a﹣b＞06．（4分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．赵爽弦图B．笛卡尔心形线C．科克曲线D．斐波那契螺旋线7．（4分）化简+的结果是（）A．x﹣2B．C．D．8．（4分）在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示，则这7次成绩的中位数和平均数分别是（）A．9.7m，9.9m B．9.7m，9.8m C．9.8m，9.7m D．9.8m，9.9m 9．（4分）函数y＝﹣ax+a与y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．10．（4分）如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF．若AB＝6，∠B＝60°，则阴影部分的面积为（）A．9﹣3πB．9﹣2πC．18﹣9πD．18﹣6π11．（4分）某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为（）（参考数据：tan37°≈，tan53°≈）A．225m B．275m C．300m D．315m12．（4分）关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有一个根是﹣1，若二次函数y＝ax2+bx+的图象的顶点在第一象限，设t＝2a+b，则t的取值范围是（）A．＜t＜B．﹣1＜t≤C．﹣≤t＜D．﹣1＜t＜二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．（4分）分解因式：m2﹣4m+4＝．14．（4分）如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了6个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在红色区域的概率等于．15．（4分）一个n边形的内角和等于720°，则n＝．16．（4分）代数式与代数式3﹣2x的和为4，则x＝．17．（4分）某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．图中l1、l2分别表示去年、今年水费y（元）与用水量x（m3）之间的关系．小雨家去年用水量为150m3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多元．18．（4分）如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，连接EF并延长交BM于点P，若AD＝8，AB＝5，则线段PE的长等于．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）计算：（）﹣1+（π+1）0﹣2cos60°+20．（6分）解不等式组，并写出它的所有整数解．21．（6分）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD和BC上的点，∠DAF＝∠BCE．求证：BF＝DE．22．（8分）为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购买了一批书籍．其中购买A种图书花费了3000元，购买B种图书花费了1600元，A种图书的单价是B种图书的1.5倍，购买A种图书的数量比B种图书多20本．（1）求A和B两种图书的单价；（2）书店在“世界读书日”进行打折促销活动，所有图书都按8折销售学校当天购买了A种图书20本和B种图书25本，共花费多少元？23．（8分）如图，AB、CD是⊙O的两条直径，过点C的⊙O的切线交AB的延长线于点E，连接AC、BD．（1）求证；∠ABD＝∠CAB；（2）若B是OE的中点，AC＝12，求⊙O的半径．24．（10分）某学校八年级共400名学生，为了解该年级学生的视力情况，从中随机抽取40名学生的视力数据作为样本，数据统计如下：4.2 4.1 4.7 4.1 4.3 4.3 4.4 4.6 4.15.25.2 4.5 5.0 4.5 4.3 4.4 4.8 5.3 4.5 5.24.4 4.2 4.35.3 4.9 5.2 4.9 4.8 4.6 5.14.2 4.4 4.5 4.1 4.55.1 4.4 5.0 5.2 5.3根据数据绘制了如下的表格和统计图：等级视力（x）频数频率A x＜4.240.1B 4.2≤x≤4.4120.3C 4.5≤x≤4.7aD 4.8≤x≤5.0bE 5.1≤x≤5.3100.25合计401根据上面提供的信息，回答下列问题：（1）统计表中的a＝，b＝；（2）请补全条形统计图；（3）根据抽样调查结果，请估计该校八年级学生视力为“E级”的有多少人？（4）该年级学生会宣传部有2名男生和2名女生，现从中随机挑选2名同学参加“防控近视，爱眼护眼”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．25．（10分）如图1，点A（0，8）、点B（2，a）在直线y＝﹣2x+b上，反比例函数y＝（x ＞0）的图象经过点B．（1）求a和k的值；（2）将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD．①如图2，当m＝3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求的值；②在线段AB运动过程中，连接BC，若△BCD是以BC为腰的等腰三角形，求所有满足条件的m的值．26．（12分）小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．（一）猜测探究在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．（1）如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是，NB与MC的数量关系是；（2）如图2，点E是AB延长线上点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．（二）拓展应用如图3，在△A1B1C1中，A1B1＝8，∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝75°，P是B1C1上的任意点，连接A1P，将A1P绕点A1按顺时针方向旋转75°，得到线段A1Q，连接B1Q．求线段B1Q长度的最小值．27．（12分）如图1，抛物线C：y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0）、B（﹣1，3）两点，G是其顶点，将抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．（1）求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标；（2）如图2，直线l：y＝kx﹣经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为m（m＜﹣2），连接DO并延长，交抛物线C′于点E，交直线l于点M，若DE＝2EM，求m的值；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG、AB，在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P，使得∠DEP＝∠GAB？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．。
【真题】2019年济南市中考数学试题含答案解析(Word版)
∴ ，
∴圆形螺母的外直径 ．
11．将一次函数 的图象向上平移 个单位后，当 时， 的取值范围是（）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】一次函数 的图象向上平移 个单位后，得到的函数解析式为 ．
当 时，即 ，解得 ．
12．如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长 的竹竿 斜靠在石坝旁，量出杆长 处的 点离地面的高度 ，又量的杆底与坝脚的距离 ，则石坝的坡度为（）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】利用排除法解答此题．对于选项 ，在 时，影子的长度是减小的，与图象不符；
对于选项 ，在 时，影子的长度是减小的，与图象不符；
比较选项 与 ，区别在于走的是 还是 ，观察图象可以发现，第二段的路程要比第一段的路程长，
∴排除 ，选 ．
第Ⅱ卷（非选择题共75分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
∴ ，解得 ，
故原方程为 ，解得 ， ，
因此方程的另一个根为 ．
8．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出 钱，会多 钱；每人出 钱，又会差 钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为 人，物价为 钱，以下列出的方程组正确的是（）．
【答案】
【解析】∵点 在反比例函数 上，
∴ ．
根据反比例的图象关于原点对称，可知 ，
∴点 的横坐标为 ，
∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴ ．
21．定义：在平面直角坐标系 中，把从点 出发沿纵或横方向到达点 （至多拐一次弯）的路径长称为 ， 的“实际距离”．如图，若 ， ，则 ， 的“实际距离”为 ，即 或 ．环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具，设 ， ， 三个小区的坐标分别为 ， ， ，若点 表示单车停放点，且满足 到 ， ， 的“实际距离”相等，则点 的坐标为__________．
2019年山东省济南市中考数学试卷及答案解析
2019年山东省济南市中考数学试卷及答案解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.-7的相反数是（）A.7B.-7C.D.1 7【答案】A【解析】【详解】根据概念，（-7的相反数）+（-7）=0，则-7的相反数是7．故选A．2.以下给出的几何体中，主视图是矩形，俯视图是圆的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据几何体的正面看得到的图形，可得答案．【详解】A、主视图是圆，俯视图是圆，故A不符合题意；B、主视图是矩形，俯视图是矩形，故B不符合题意；C、主视图是三角形，俯视图是圆，故C不符合题意；D、主视图是个矩形，俯视图是圆，故D符合题意；故选D．【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，熟记简单几何的三视图是解题关键．3.2019年1月3日，“嫦娥四号”探测器成功着陆在月球背面东经177.6度、南纬45.5度附近，实现了人类首次在月球背面软着陆．数字177.6用科学记数法表示为（）A.0.1776×103B.1.776×102C.1.776×103D.17.76×102【答案】B【解析】【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n ，其中1≤|a|＜10，n 为整数，据此判断即可．【详解】解：177.6=1.776×102．故选B ．【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n ，其中1≤|a|＜10，确定a 与n 的值是解题的关键．4.如图，//DE BC ，BE 平分ABC ∠，若170=︒∠，则CBE ∠的度数为（）A.20︒B.35︒C.55︒D.70︒【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质可得170ABC ∠=∠=︒，再根据角平分线的定义可得答案．【详解】解：∵//DE BC∴170ABC ∠=∠=︒∵BE 平分ABC∠∴1352CBE ABC ∠=∠=︒故选B ．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，关键是掌握两直线平行，内错角相等．5.实数,a b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（）A.55a b ->-B.66a b >C.a b ->-D.0a b ->【答案】C【解析】【分析】根据数轴判断出,a b 的正负情况以及绝对值的大小，然后解答即可．【详解】由图可知，0b a <<，且b a <，∴55a b ->-，66a b >，a b -<-，0a b ->，∴关系式不成立的是选项C ．故选C ．【点睛】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，利用了两个负数相比较，绝度值大的反而小．6.下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.赵爽弦图B.笛卡尔心形线C.科克曲线D.斐波那契螺旋线【答案】C【解析】【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】A ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C ．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；D ．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选C ．【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．7.化简24142x x +-+的结果是（）A.2x - B.12x - C.22x - D.22x +【答案】B【解析】【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可求出值．【详解】原式4221(2)(2)(2)(2)(2)(2)2x x x x x x x x x -+=+==+-+-+--故选B ．【点睛】本题考查分式的加减法；熟练掌握分式的运算法则，正确进行因式分解是解题的关键．8.在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示，则这7次成绩的中位数和平均数分别是（）A.9.7m ，9.9mB.9.7m ，9.8mC.9.8m ，9.7mD.9.8m ，9.9m【答案】B【解析】【分析】将这7个数据从小到大排序后处在第4位的数是中位数，利用算术平均数的计算公式进行计算即可．【详解】把这7个数据从小到大排列处于第4位的数是9.7m ，因此中位数是9.7m ，平均数为：(9.59.69.79.79.810.110.2)79.8++++++÷=m ，故选B ．【点睛】考查中位数、算术平均数的计算方法，将一组数据从小到大排列后处在中间位置的一个数或两个数的平均数就是这组数据的中位数，平均数则是反映一组数据的集中水平．9.函数y ax a =-+与a y x =（0a ≠）在同一坐标系中的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据反比例函数与一次函数的图象特点解答即可．【详解】0a >时，0a -<，y ax a =-+在一、二、四象限，a y x=在一、三象限，无选项符合．a<0时，0a ->，y ax a =-+在一、三、四象限，a y x=（0a ≠）在二、四象限，只有D 符合；故选D ．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由a 的取值确定函数所在的象限．10.如图，在菱形ABCD 中，点E 是BC 的中点，以C 为圆心、CE 为半径作弧，交CD 于点F ，连接,AE AF ．若6AB =，60B ∠= ，则阴影部分的面积为（）A.3π-B.2πC.9π-D.6π-【答案】A【解析】【分析】连接AC ，根据菱形的性质求出BCD ∠和6BC AB ==，求出AE 长，再根据三角形的面积和扇形的面积求出即可．【详解】连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴6AB BC ==，∵60B ∠= ，E 为BC 的中点，∴3CE BE CF ===，ABC ∆是等边三角形，//AB CD ，∵60B ∠= ，∴180120BCD B ∠=-∠= ，由勾股定理得：AE ==，∴11622AEB AEC AFC S S S ∆∆∆==⨯⨯==，∴阴影部分的面积212033360AEC AFC CEFS S S S ππ∆∆⨯=+-==扇形，故选A ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，菱形的性质，扇形的面积计算等知识点，能求出AEC ∆、AFC ∆和扇形ECF 的面积是解此题的关键．11.某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A 测得历下亭C 在北偏东37°方向，继续向北走105m 后到达游船码头B ，测得历下亭C 在游船码头B 的北编东53°方向．请计算一下南门A 与历下亭C 之间的距离约为（）（参考数据：3tan 374≈ ，4tan 533≈ ）A.225mB.275mC.300mD.315m【答案】C【解析】【分析】如图，作CE BA ⊥于E ．设EC x =m ，BE y =m ．构建方程组求出x ，y 即可解决问题．【详解】如图，作CE BA ⊥于E ．设EC x =m ，BE y =m ．在Rt ECB ∆中，tan 53EC EB= ，即43x y =，在Rt AEC ∆中，tan 37EC AE = ，即34105x y =+，解得180x =，135y =，∴300AC ===（m ），故选C ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．12.关于x 的一元二次方程2102ax bx ++=有一个根是﹣1，若二次函数212y ax bx =++的图象的顶点在第一象限，设2t a b =+，则t 的取值范围是（）A.1142t << B.114t -<≤ C.1122t -≤< D.112t -<<【答案】D【解析】【分析】二次函数的图象过点(1,0)-，则102a b -+=，而2t a b =+，则216t a -=，226t b +=，二次函数的图象的顶点在第一象限，则02b a ->，21024b a->，即可求解．【详解】∵关于x 的一元二次方程2102ax bx ++=有一个根是﹣1，∴二次函数212y ax bx =++的图象过点(1,0)-，∴102a b -+=，∴12b a =+，2t a b =+，则216t a -=，226t b +=，∵二次函数212y ax bx =++的图象的顶点在第一象限，∴02b a ->，21024b a->，将216t a -=，226t b +=代入上式得：22602126t t +>-⨯，解得：112t -<<，222()1602124()6t t +->-，解得：12t <或13t <<，故：112t -<<，故选D ．【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用二、填空题（本大题共6个小题，每题4分，共24分，将答案填在答题纸上）13.分解因式：a 2-4a +4=___【答案】（a -2）2．【解析】【分析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，本题可用完全平方公式分解因式．【详解】解：a 2-4a +4=（a -2）2．故答案为：（a -2）2．14.如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了6个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在红色区域的概率等于_____．【答案】13．【解析】【分析】首先确定在图中红色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针落在红色区域的概率．【详解】由于一个圆平均分成6个相等的扇形，而转动的转盘又是自由停止的，所以指针指向每个扇形的可能性相等，即有8种等可能的结果，在这6种等可能结果中，指针指向红色部分区域的有2种可能结果，所以指针落在红色区域的概率是21 63=；故答案为1 3．【点睛】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．15.如果一个正多边形的内角和是720︒，则这个正多边形是正______边形．【答案】六【解析】【分析】根据多边形的内角和公式求解即可．【详解】设这个正多边形是正n边形，则()2180720n-⨯︒=︒，解得：6n=．∴这个正多边形是正六边形．故答案为：六．【点睛】本题考查多边形的内角和公式．掌握n边形的内角和为()2180n-⨯︒是解题关键．16.代数式213x-与代数式32x-的和为4，则x=_____．【答案】﹣1.【解析】【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．【详解】根据题意得：213243x x -+-=，去分母得：219612x x -+-=，移项合并得：44x -=，解得：=1x -，故答案为﹣1.【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17.某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．图中1l 、2l 分别表示去年、今年水费y （元）与用水量x （3m ）之间的关系．小雨家去年用水量为1503m ，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多_____元．【答案】210．【解析】【分析】根据函数图象中的数据可以求得120x >时，2l 对应的函数解析式，从而可以求得150x =时对应的函数值，由1l 的的图象可以求得150x =时对应的函数值，从而可以计算出题目中所求问题的答案，本题得以解决．【详解】设当120x >时，2l 对应的函数解析式为y kx b =+，120480160720k b k b +=⎧⎨+=⎩，得6240k b =⎧⎨=-⎩，即当120x >时，2l 对应的函数解析式为6240y x =-，当150x =时，6150240660y =⨯-=，由图象可知，去年的水价是4801603÷=（元/3m ），故小雨家去年用水量为1503m ，需要缴费：1503450⨯=（元），660450210-=（元），即小雨家去年用水量为1503m ，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多210元，故答案为210．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．18.如图，在矩形纸片ABCD 中，将AB 沿BM 翻折，使点A 落在BC 上的点N 处，BM 为折痕，连接MN ；再将CD 沿CE 翻折，使点D 恰好落在MN 上的点F 处，CE 为折痕，连接EF 并延长交BM 于点P ，若8AD =，5AB =，则线段PE 的长等于_____．【答案】203．【解析】【分析】根据折叠可得ABNM 是正方形，5CD CF ==，90D CFE ∠=∠= ，ED EF =，可求出三角形FNC 的三边为3，4，5，在Rt MEF ∆中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证FNC ∆∽PGF ∆，三边占比为3：4：5，设未知数，通过PG HN =，列方程求出待定系数，进而求出PF 的长，然后求PE 的长．【详解】过点P 作PG FN ⊥，PH BN ⊥，垂足为G 、H ，由折叠得：ABNM 是正方形，5AB BN NM MA ====，5CD CF ==，90D CFE ∠=∠= ，ED EF =，∴853NC MD ==-=，在Rt FNC ∆中，4FN ==，∴541MF =-=，在Rt MEF ∆中，设EF x =，则3ME x =-，由勾股定理得，2221(3)x x +-=，解得：53x =，∵90CFN PFG ∠+∠= ，90PFG FPG ∠+∠= ，∴FNC ∆∽PGF ∆，∴::::3:4:5FG PG PF NC FN FC ==，设3FG m =，则4PG m =，5PF m =，∴43GN PH BH m ===-，5(43)134HN m m PG m =--=+==，解得：1m =，∴55PF m ==，∴520533PE PF FE =+=+=，故答案为203．【点睛】考查折叠轴对称的性质，矩形、正方形的性质，直角三角形的性质等知识，知识的综合性较强，是有一定难度的题目．三、解答题：本大题共9个小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.19.计算：101((1)2cos 602π-++-+ 【答案】5.【解析】【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【详解】101((1)2cos 602π-++-+ 121232=+-⨯+313=-+5=【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．20.解不等式组53291032x x x x -≤+⎧⎪⎨+>⎪⎩，并写出它的所有整数解．【答案】不等式组的解集为24x <≤；所有整数解为3、4．【解析】【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．【详解】解不等式组如下：53291032x x x x -≤+⎧⎪⎨+>⎪⎩①②解①得：4x ≤；解②得：2x >；∴原不等式组的解集为24x <≤；∴原不等式组的所有整数解为3、4．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集．21.如图，在ABCD Y 中，,E F 分别是AD 和BC 上的点，DAF BCE ∠=∠．求证：BF DE =．【答案】见解析【解析】【分析】由平行四边形的性质得出B D ∠=∠，BAD BCD ∠=∠，AB CD =，证出BAF DCE ∠=∠，证明ABF ∆≌CDE ∆（ASA ），即可得出BF DE =．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴B D ∠=∠，BAD BCD ∠=∠，AB CD =，∵DAF BCE ∠=∠，∴BAF DCE ∠=∠，在ABF ∆和CDE ∆中，B D AB CD BAF DCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ABF ∆≌CDE ∆（ASA ），∴BF DE =．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等．22.为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购买了一批书籍．其中购买A 种图书花费了3000元，购买B 种图书花费了1600元，A 种图书的单价是B 种图书的1.5倍，购买A 种图书的数量比B 种图书多20本．（1）求A 和B 两种图书的单价；（2）书店在“世界读书日”进行打折促销活动，所有图书都按8折销售学校当天购买了A 种图书20本和B 种图书25本，共花费多少元？【答案】（1）A 种图书的单价为30元，B 种图书的单价为20元；（2）共花费880元．【解析】【分析】（1）设B 种图书的单价为x 元，则A 种图书的单价为1.5x 元，根据数量＝总价÷单价结合花3000元购买的A 种图书比花1600元购买的B 种图书多20本，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）根据总价＝单价×数量，即可求出结论．【详解】（1）设B 种图书的单价为x 元，则A 种图书的单价为1.5x 元，依题意，得：30001600201.5x x-=，解得：20x =，经检验，20x =是所列分式方程的解，且符合题意，∴1.530x =．答：A 种图书的单价为30元，B 种图书的单价为20元．（2）300.820200.825880⨯⨯+⨯⨯=（元）．答：共花费880元．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．23.如图，AB 、CD 是O 的两条直径，过点C 的O 的切线交AB 的延长线于点E ，连接AC 、BD ．（1）求证：ABD CAB ∠=∠；（2）若B 是OE 的中点，12AC =，求O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）O 的半径为43【解析】【分析】（1）根据半径相等可知OAC OCA ∠=∠，ODB OBD ∠=∠，再根据对顶角相等和三角形内角和定理证明ABD CAB ∠=∠；（2）连接BC ．由CE 为O 的切线，可得90OCE ∠= ，因为B 是OE 的中点，得BC OB =，又OB OC =，可知OBC ∆为等边三角形，60ABC ∠= ，所以3433BC AC ==O 的半径为43【详解】（1）证明：∵AB 、CD 是O 的两条直径，∴OA OC OB OD ===，∴OAC OCA ∠=∠，ODB OBD ∠=∠，∵AOC BOD ∠=∠，∴OAC OCA ODB OBD ∠=∠=∠=∠，即ABD CAB ∠=∠；（2）连接BC ．∵AB 是O 的两条直径，∴∠ACB ＝90°，∵CE 为O 的切线，∴90OCE ∠= ，∵B 是OE 的中点，∴BC OB =，∵OB OC =，∴OBC ∆为等边三角形，∴60ABC ∠= ，∴30A ∠= ，∴33BC AC ==∴OB =，即O 的半径为【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、含30 角的直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．24.某学校八年级共400名学生，为了解该年级学生的视力情况，从中随机抽取40名学生的视力数据作为样本，数据统计如下：4.24.14.74.14.34.34.44.64.15.25.24.55.04.54.34.44.85.34.55.24.44.24.35.34.95.24.94.84.65.14.24.44.54.14.55.14.45.05.25.3根据数据绘制了如下的表格和统计图：等级视力（x ）频数频率A 4.2x<40.1B 4.2 4.4x≤≤120.3C 4.5 4.7x≤≤aD 4.8 5.0x≤≤bE 5.1 5.3x≤≤100.25合计401根据上面提供的信息，回答下列问题：（1）统计表中的=a，b=；（2）请补全条形统计图；（3）根据抽样调查结果，请估计该校八年级学生视力为“E级”的有多少人？（4）该年级学生会宣传部有2名男生和2名女生，现从中随机挑选2名同学参加“防控近视，爱眼护眼”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．【答案】（1）8、0.15；（2）补全图形见解析；（3）估计该校八年级学生视力为“E级”的有100人；（4）恰好选到1名男生和1名女生的概率2 3．【解析】【分析】（1）由所列数据得出a的值，继而求出C组对应的频率，再根据频率之和等于1求出b的值；（2）总人数乘以b的值求出D组对应的频数，从而补全图形；（3）利用样本估计总体思想求解可得；（4）列表得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的概率．a=，【详解】（1）由题意知C等级的频数8÷=，则C组对应的频率为8400.2b=-+++=，∴1(0.10.30.20.25)0.15故答案为8、0.15；⨯=，（2）D组对应的频数为400.156补全图形如下：⨯=（人）；（3）估计该校八年级学生视力为“E级”的有4000.25100（4）列表如下：男男女女男（男，男）（女，男）（女，男）男（男，男）（女，男）（女，男）女（男，女）（男，女）（女，女）女（男，女）（男，女）（女，女）得到所有等可能的情况有12种，其中恰好抽中一男一女的情况有8种，所以恰好选到1名男生和1名女生的概率82123=．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．也考查了统计图．25.如图1，点(0,8)A 、点(2,)B a 在直线2y x b =-+上，反比例函数ky x=（0x >）的图象经过点B ．（1）求a 和k 的值；（2）将线段AB 向右平移m 个单位长度（0m >），得到对应线段CD ，连接AC 、BD ．①如图2，当3m =时，过D 作DF x ⊥轴于点F ，交反比例函数图象于点E ，求DEEF的值；②在线段AB 运动过程中，连接BC ，若BCD ∆是以BC 为腰的等腰三形，求所有满足条件的m 的值．【答案】（1）4a =，8k =；（2）①32DE EF =；②BCD ∆是以BC 为腰的等腰三形，满足条件的m 的值为4或5．【解析】【分析】（1）先将点A 坐标代入直线AB 的解析式中，求出a ，进而求出点B 坐标，再将点B 坐标代入反比例函数解析式中即可得出结论；（2）①先确定出点(5,4)D ，进而求出点E 坐标，进而求出DE ，EF ，即可得出结论；②先表示出点C ，D 坐标，再分两种情况：Ⅰ、当BC CD =时，判断出点B 在AC 的垂直平分线上，即可得出结论；Ⅱ、当BC BD =时，先表示出BC ，用BC BD =建立方程求解即可得出结论．【详解】（1）∵点(0,8)A 在直线2y x b =+上，∴208b -⨯+=，∴8b =，∴直线AB 的解析式为28y x =-+，将点(2,)B a 代入直线AB 的解析式28y x =-+中，得228a -⨯+=，∴4a =，∴(2,4)B ，将(2,4)B 在反比例函数解析式ky x=（0x >）中，得248k xy ==⨯=；（2）①由（1）知，(2,4)B ，8k =，∴反比例函数解析式为8y x=，当3m =时，∴将线段AB 向右平移3个单位长度，得到对应线段CD ，∴(23,4)D +，即：(5,4)D ，∵DF x ⊥轴于点F ，交反比例函数8y x=的图象于点E ，∴8(5,)5E ，∴812455DE =-=，85EF =，∴1235825DE EF==；②如图，∵将线段AB 向右平移m 个单位长度（0m >），得到对应线段CD ，∴CD AB =，AC BD m ==，∵(0,8)A ，(2,4)B ，∴(,8)C m ，((2),4)D m +，∵BCD ∆是以BC 腰的等腰三形，∴Ⅰ、当BC CD =时，∴BC AB =，∴点B 在线段AC 的垂直平分线上，∴224m =⨯=，Ⅱ、当BC BD =时，∵(2,4)B ，(,8)C m ，∴BC =，m =，∴5m =，即：BCD ∆是以BC 为腰的等腰三形，满足条件的m 的值为4或5．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平移的性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．26.小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.（一）猜测探究在ABC ∆中，AB AC =，M 是平面内任意一点，将线段AM 绕点A 按顺时针方向旋转与BAC ∠相等的角度，得到线段AN ，连接NB ．（1）如图1，若M 是线段BC 上的任意一点，请直接写出NAB ∠与MAC ∠的数量关系是，NB 与MC 的数量关系是；（2）如图2，点E 是AB 延长线上点，若M 是CBE ∠内部射线BD 上任意一点，连接MC ，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．（二）拓展应用如图3，在111A B C ∆中，118A B =，11160A B C ∠= ，11175B A C ∠=，P 是11B C 上的任意点，连接1A P ，将1A P 绕点1A 按顺时针方向旋转75 ，得到线段1AQ ，连接1B Q ．求线段1B Q 长度的最小值．【答案】（一）（1）结论：NAB MAC ∠=∠，BN MC =．理由见解析；（2）如图2中，①中结论仍然成立．理由见解析；（二）1QB 的最小值为-．【解析】【分析】（一）①结论：NAB MAC ∠=∠，BN MC =．根据SAS 证明NAB ∆≌MAC ∆即可．②①中结论仍然成立．证明方法类似．（二）如图3中，在11A C 上截取11A N A Q =，连接PN ，作11NH B C ⊥于H ，作111A MBC ⊥于M ．理由全等三角形的性质证明1B Q PN =，推出当PN 的值最小时，1QB 的值最小，求出HN 的值即可解决问题．【详解】（一）（1）结论：NAB MAC ∠=∠，BN MC =．理由：如图1中，∵MAN CAB ∠=∠，∴NAB BAM BAM MAC ∠+∠=∠+∠，∴NAB MAC ∠=∠，∵AB AC =，AN AM =，∴NAB ∆≌MAC ∆（SAS ），∴BNCM =．故答案为NAB MAC ∠=∠，BNCM =．（2）如图2中，①中结论仍然成立．理由：∵MAN CAB ∠=∠，∴NAB BAM BAM MAC ∠+∠=∠+∠，∴NAB MAC ∠=∠，∵AB AC =，AN AM =，∴NAB ∆≌MAC ∆（SAS ），∴BNCM =．（二）如图3中，在11A C 上截取111A N A B =，连接PN ，作11NH B C ⊥于H ，作111A M B C ⊥于M ．∵1111C A B PA Q ∠=∠，∴111QA B PA N ∠=∠，∵11A Q A P =，11A B AN =，∴11QA B ∆≌1PA N ∆（SAS ），∴1B Q PN =，∴当PN 的值最小时，1QB 的值最小，在11Rt A B M ∆中，∵1160A B M ∠=，118A B =，∴111sin 60A M A B =∙= ∵1111111753045MAC B AC B A M ∠=∠-∠=-=，∴11A C =∴11118NC A C A N =-=，在1Rt NHC ∆，∵145C ∠= ，∴NH =-，根据垂线段最短可知，当点P 与H 重合时，PN 的值最小，∴1QB 的最小值为-．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题．27.如图1，抛物线2:C y ax bx =+经过点(4,0)A -、(1,3)B -两点，G 是其顶点，将抛物线C 绕点O 旋转180 ，得到新的抛物线'C ．（1）求抛物线C 的函数解析式及顶点G 的坐标；（2）如图2，直线12:5l y kx =-经过点A ，D 是抛物线C 上的一点，设D 点的横坐标为m （2m <-），连接DO 并延长，交抛物线'C 于点E ，交直线l 于点M ，2DE EM =，求m 的值；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG 、AB ，在直线DE 下方的抛物线C 上是否存在点P ，使得DEP GAB ∠=∠？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）24y x x =--，顶点为：(2,4)G -；（2）m 的值为﹣3；（3）存在，点P 的横坐标为：7734-或7374．【解析】【分析】（1）运用待定系数法将(4,0)A -、(1,3)B -代入2y ax bx =+中，即可求得a 和b 的值和抛物线C 解析式，再利用配方法将抛物线C 解析式化为顶点式即可求得顶点G 的坐标；（2）根据抛物线C 绕点O 旋转180 ，可求得新抛物线'C 的解析式，再将(4,0)A -代入125y kx =-中，即可求得直线l 解析式，根据对称性可得点E 坐标，过点D 作//DH y 轴交直线l 于H ，过E 作//EK y 轴交直线l 于K ，由2DE EM =，即可得13ME MD =，再证明MEK ∆∽MDH ∆，即可得3DH EK =，建立方程求解即可；（3）连接BG ，易证ABG ∆是Rt ∆，90ABG ∠= ，可得1tan tan 3DEP GAB ∠=∠=，在x 轴下方过点O 作OH OE ⊥，在OH 上截取13OH OE ==过点E 作ET y ⊥轴于T ，连接EH 交抛物线C 于点P ，点P 即为所求的点；通过建立方程组求解即可．【详解】（1）将(4,0)A -、(1,3)B -代入2y ax bx =+中，得16403a b a b -=⎧⎨-=⎩解得14a b =-⎧⎨=-⎩∴抛物线C 解析式为：24y x x =--，配方，得：224(2)4y x x x =--=-++，∴顶点为：(2,4)G -；（2）∵抛物线C 绕点O 旋转180 ，得到新的抛物线'C ．∴新抛物线'C 的顶点为：'(2,4)G -，二次项系数为：'1a =∴新抛物线'C 的解析式为：22(2)44y x x x =--=-将(4,0)A -代入125y kx =-中，得12045k =--，解得35k =-，∴直线l 解析式为31255y x =--，∵2(,4)D m m m --，∴直线DO 的解析式为(4)y m x =-+，由抛物线C 与抛物线'C 关于原点对称，可得点D 、E 关于原点对称，∴2(,4)E m m m -+如图2，过点D 作//DH y 轴交直线l 于H ，过E 作//EK y 轴交直线l 于K ，则312(,)55H m m --，312(,)55K m m --，∴2231217124()5555DH m m m m m =-----=--+，2231217124(5555EK m m m m m =+--=++，∵2DE EM =∴13ME MD =，∵//DH y 轴，//EK y 轴∴//DH EK ∴MEK ∆∽MDH ∆∴13EK ME DH MD ==，即3DH EK =∴22171217123()5555m m m m --+=++解得：13m =-，225m =-，∵2m <-∴m 的值为：﹣3；（3）由（2）知：3m =-，∴(3,3)D -，(3,3)E -，OE =，如图3，连接BG ，在ABG ∆中，∵222(14)(30)18AB =-++-=，22BG =，220AG =∴222AB BG AG +=∴ABG ∆是直角三角形，90ABG ∠= ，∴1tan 3BG GAB AB ∠===，∵DEP GAB∠=∠∴1tan tan 3DEP GAB ∠=∠=，在x 轴下方过点O 作OH OE ⊥，在OH上截取13OH OE ==过点E 作ET y ⊥轴于T ，连接EH 交抛物线C 于点P ，点P 即为所求的点；∵(3,3)E -，∴45EOT ∠=∵90EOH ∠=∴45HOT ∠=∴(1,1)H --，设直线EH 解析式为y px q =+，则331p q p q +=-⎧⎨-+=-⎩，解得1232p q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴直线EH 解析式为1322y x =--，解方程组213224y x y x x ⎧=--⎪⎨⎪=--⎩，得117458x y ⎧--=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，227458x y ⎧-+=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，∴点P的横坐标为：7734-或7374．【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，旋转变换，相似三角形判定和性质，直线与抛物线交点，解直角三角形等知识点；属于中考压轴题型，综合性强，难度较大．。
2019年山东省济南市中考数学试卷及答案解析
2019年山东省济南市中考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．﹣7的相反数是（）A．﹣7B．−17C．7D．12．以下给出的几何体中，主视图是矩形，俯视图是圆的是（）A．B．C．D．3．2019年1月3日，“嫦娥四号”探测器成功着陆在月球背面东经177.6度、南纬45.5度附近，实现了人类首次在月球背面软着陆．数字177.6用科学记数法表示为（）A．0.1776×103B．1.776×102C．1.776×103D．17.76×102 4．如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1＝70°，则∠CBE的度数为（）A．20°B．35°C．55°D．70°5．实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（）A．a﹣5＞b﹣5B．6a＞6b C．﹣a＞﹣b D．a﹣b＞06．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．赵爽弦图B．笛卡尔心形线C．科克曲线D．斐波那契螺旋线7．化简4x2−4+1x+2的结果是（）A．x﹣2B．1x−2C．2x−2D．2x+28．在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示，则这7次成绩的中位数和平均数分别是（）A．9.7m，9.9m B．9.7m，9.8m C．9.8m，9.7m D．9.8m，9.9m9．函数y＝﹣ax+a与y=ax（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．10．如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF．若AB＝6，∠B＝60°，则阴影部分的面积为（）A．9√3−3πB．9√3−2πC．18√3−9πD．18√3−6π11．某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A 测得历下亭C 在北偏东37°方向，继续向北走105m 后到达游船码头B ，测得历下亭C 在游船码头B 的北偏东53°方向．请计算一下南门A 与历下亭C 之间的距离约为（ ）（参考数据：tan37°≈34，tan53°≈43）A ．225mB ．275mC ．300mD ．315m 12．关于x 的一元二次方程ax 2+bx +12=0有一个根是﹣1，若二次函数y ＝ax 2+bx +12的图象的顶点在第一象限，设t ＝2a +b ，则t 的取值范围是（ ）A ．14＜t ＜12B ．﹣1＜t ≤14C ．−12≤t ＜12D ．﹣1＜t ＜12二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．分解因式：m 2﹣4m +4＝ ．14．如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了6个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在红色区域的概率等于 ．15．一个n 边形的内角和等于720°，则n ＝ ．16．代数式2x−13与代数式3﹣2x 的和为4，则x ＝ ．17．某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．图中l 1、l 2分别表示去年、今年水费y （元）与用水量x （m 3）之间的关系．小雨家去年用水量为150m 3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多 元．18．如图，在矩形纸片ABCD 中，将AB 沿BM 翻折，使点A 落在BC 上的点N 处，BM 为折痕，连接MN ；再将CD 沿CE 翻折，使点D 恰好落在MN 上的点F 处，CE 为折痕，连接EF 并延长交BM 于点P ，若AD ＝8，AB ＝5，则线段PE 的长等于 ．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）计算：（12）﹣1+（π+1）0﹣2cos60°+√9 20．（6分）解不等式组{5x −3≤2x +93x ＞x+102，并写出它的所有整数解． 21．（6分）如图，在▱ABCD 中，E 、F 分别是AD 和BC 上的点，∠DAF ＝∠BCE ．求证：BF ＝DE ．22．（8分）为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购买了一批书籍．其中购买A 种图书花费了3000元，购买B 种图书花费了1600元，A 种图书的单价是B 种图书的1.5倍，购买A 种图书的数量比B 种图书多20本．（1）求A 和B 两种图书的单价；（2）书店在“世界读书日”进行打折促销活动，所有图书都按8折销售学校当天购买了A 种图书20本和B 种图书25本，共花费多少元？23．（8分）如图，AB、CD是⊙O的两条直径，过点C的⊙O的切线交AB的延长线于点E，连接AC、BD．（1）求证；∠ABD＝∠CAB；（2）若B是OE的中点，AC＝12，求⊙O的半径．24．（10分）某学校八年级共400名学生，为了解该年级学生的视力情况，从中随机抽取40名学生的视力数据作为样本，数据统计如下：4.2 4.1 4.7 4.1 4.3 4.3 4.4 4.6 4.15.25.2 4.5 5.0 4.5 4.3 4.4 4.8 5.3 4.5 5.24.4 4.2 4.35.3 4.9 5.2 4.9 4.8 4.6 5.14.2 4.4 4.5 4.1 4.55.1 4.4 5.0 5.2 5.3根据数据绘制了如下的表格和统计图：等级视力（x）频数频率A x＜4.240.1B 4.2≤x≤4.4120.3C 4.5≤x≤4.7aD 4.8≤x≤5.0bE 5.1≤x≤5.3100.25合计401根据上面提供的信息，回答下列问题：（1）统计表中的a＝，b＝；（2）请补全条形统计图；（3）根据抽样调查结果，请估计该校八年级学生视力为“E级”的有多少人？（4）该年级学生会宣传部有2名男生和2名女生，现从中随机挑选2名同学参加“防控近视，爱眼护眼”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．25．（10分）如图1，点A （0，8）、点B （2，a ）在直线y ＝﹣2x +b 上，反比例函数y =k x（x＞0）的图象经过点B ．（1）求a 和k 的值；（2）将线段AB 向右平移m 个单位长度（m ＞0），得到对应线段CD ，连接AC 、BD ． ①如图2，当m ＝3时，过D 作DF ⊥x 轴于点F ，交反比例函数图象于点E ，求DE EF 的值；②在线段AB 运动过程中，连接BC ，若△BCD 是以BC 为腰的等腰三角形，求所有满足条件的m 的值．26．（12分）小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．（一）猜测探究在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．（1）如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是，NB与MC的数量关系是；（2）如图2，点E是AB延长线上点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．（二）拓展应用如图3，在△A1B1C1中，A1B1＝8，∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝75°，P是B1C1上的任意点，连接A1P，将A1P绕点A1按顺时针方向旋转75°，得到线段A1Q，连接B1Q．求线段B1Q长度的最小值．27．（12分）如图1，抛物线C：y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0）、B（﹣1，3）两点，G是其顶点，将抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．（1）求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标；（2）如图2，直线l：y＝kx−125经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为m（m＜﹣2），连接DO并延长，交抛物线C′于点E，交直线l于点M，若DE＝2EM，求m的值；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG、AB，在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P，使得∠DEP＝∠GAB？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．2019年山东省济南市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．﹣7的相反数是（）A．﹣7B．−17C．7D．1【解答】解：﹣7的相反数为7，故选：C．2．以下给出的几何体中，主视图是矩形，俯视图是圆的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、主视图是圆，俯视图是圆，故A不符合题意；B、主视图是矩形，俯视图是矩形，故B不符合题意；C、主视图是三角形，俯视图是圆，故C不符合题意；D、主视图是个矩形，俯视图是圆，故D符合题意；故选：D．3．2019年1月3日，“嫦娥四号”探测器成功着陆在月球背面东经177.6度、南纬45.5度附近，实现了人类首次在月球背面软着陆．数字177.6用科学记数法表示为（）A．0.1776×103B．1.776×102C．1.776×103D．17.76×102【解答】解：177.6＝1.776×102．故选：B．4．如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1＝70°，则∠CBE的度数为（）A．20°B．35°C．55°D．70°【解答】解：∵DE∥BC，∴∠1＝∠ABC＝70°，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=12∠ABC＝35°，故选：B．5．实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（）A．a﹣5＞b﹣5B．6a＞6b C．﹣a＞﹣b D．a﹣b＞0【解答】解：由图可知，b＜0＜a，且|b|＜|a|，∴a﹣5＞b﹣5，6a＞6b，﹣a＜﹣b，a﹣b＞0，∴关系式不成立的是选项C．故选：C．6．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．赵爽弦图B．笛卡尔心形线C．科克曲线D．斐波那契螺旋线【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．7．化简4x2−4+1x+2的结果是（）A．x﹣2B．1x−2C．2x−2D．2x+2【解答】解：原式=4(x+2)(x−2)+x−2(x+2)(x−2)=x+2(x+2)(x−2)=1x−2，故选：B．8．在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示，则这7次成绩的中位数和平均数分别是（）A．9.7m，9.9m B．9.7m，9.8m C．9.8m，9.7m D．9.8m，9.9m【解答】解：把这7个数据从小到大排列处于第4位的数是9.7m，因此中位数是9.7m，平均数为：（9.5+9.6+9.7+9.7+9.8+10.1+10.2）÷7＝9.8m，故选：B．9．函数y＝﹣ax+a与y=ax（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：a＞0时，﹣a＜0，y＝﹣ax+a在一、二、四象限，y=ax在一、三象限，无选项符合．a＜0时，﹣a＞0，y＝﹣ax+a在一、三、四象限，y=ax（a≠0）在二、四象限，只有D符合；故选：D．10．如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF．若AB＝6，∠B＝60°，则阴影部分的面积为（）A．9√3−3πB．9√3−2πC．18√3−9πD．18√3−6π【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝6，∵∠B＝60°，E为BC的中点，∴CE＝BE＝3＝CF，△ABC是等边三角形，AB∥CD，∵∠B＝60°，∴∠BCD＝180°﹣∠B＝120°，由勾股定理得：AE=2−32=3√3，∴S△AEB＝S△AEC=12×6×3√3×12=4.5√3=S△AFC，∴阴影部分的面积S＝S△AEC+S△AFC﹣S扇形CEF＝4.5√3+4.5√3−120π×32360=9√3−3π，故选：A．11．某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为（）（参考数据：tan37°≈34，tan53°≈43）A ．225mB ．275mC ．300mD ．315m【解答】解：如图，作CE ⊥BA 于E ．设EC ＝xm ，BE ＝ym ．在Rt △ECB 中，tan53°=ECEB ，即43=xy，在Rt △AEC 中，tan37°=ECAE ，即34=x 105+y，解得x ＝180，y ＝135，∴AC =√EC 2+AE 2=√1802+2402=300（m ）， 故选：C ．12．关于x 的一元二次方程ax 2+bx +12=0有一个根是﹣1，若二次函数y ＝ax 2+bx +12的图象的顶点在第一象限，设t ＝2a +b ，则t 的取值范围是（ ） A ．14＜t ＜12B ．﹣1＜t ≤14C ．−12≤t ＜12D ．﹣1＜t ＜12【解答】解：∵关于x 的一元二次方程ax 2+bx +12=0有一个根是﹣1， ∴二次函数y ＝ax 2+bx +12的图象过点（﹣1，0）， ∴a ﹣b +12=0， ∴b ＝a +12，t ＝2a +b ， 则a =2t−16，b =2t+26，∵二次函数y ＝ax 2+bx +12的图象的顶点在第一象限，∴−b2a ＞0，12−b 24a＞0，将a =2t−16，b =2t+26代入上式得： −2t+262×2t−16＞0，解得：﹣1＜t ＜12，12−(2t+26)24(2t−16)＞0，解得：t ≠12， 故：﹣1＜t ＜12， 故选：D ．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．分解因式：m 2﹣4m +4＝ （m ﹣2）2 ． 【解答】解：原式＝（m ﹣2）2， 故答案为：（m ﹣2）214．如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了6个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在红色区域的概率等于13．【解答】解：由于一个圆平均分成6个相等的扇形，而转动的转盘又是自由停止的， 所以指针指向每个扇形的可能性相等，即有6种等可能的结果，在这6种等可能结果中，指针指向红色部分区域的有2种可能结果，所以指针落在红色区域的概率是26=13；故答案为13．15．一个n 边形的内角和等于720°，则n ＝ 6 ． 【解答】解：依题意有：（n ﹣2）•180°＝720°， 解得n ＝6． 故答案为：6． 16．代数式2x−13与代数式3﹣2x 的和为4，则x ＝ ﹣1 ．【解答】解：根据题意得：2x−13+3﹣2x ＝4，去分母得：2x ﹣1+9﹣6x ＝12， 移项合并得：﹣4x ＝4， 解得：x ＝﹣1， 故答案为：﹣117．某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．图中l 1、l 2分别表示去年、今年水费y （元）与用水量x （m 3）之间的关系．小雨家去年用水量为150m 3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多 210 元．【解答】解：设当x ＞120时，l 2对应的函数解析式为y ＝kx +b ， {120k +b =480160k +b =720，得{k =6b =−240， 即当x ＞120时，l 2对应的函数解析式为y ＝6x ﹣240， 当x ＝150时，y ＝6×150﹣240＝660，由图象可知，去年的水价是480÷160＝3（元/m 3），故小雨家去年用水量为150m 3，需要缴费：150×3＝450（元）， 660﹣450＝210（元），即小雨家去年用水量为150m 3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多210元， 故答案为：210．18．如图，在矩形纸片ABCD 中，将AB 沿BM 翻折，使点A 落在BC 上的点N 处，BM 为折痕，连接MN ；再将CD 沿CE 翻折，使点D 恰好落在MN 上的点F 处，CE 为折痕，连接EF 并延长交BM 于点P ，若AD ＝8，AB ＝5，则线段PE 的长等于203．【解答】解：过点P 作PG ⊥FN ，PH ⊥BN ，垂足为G 、H ， 由折叠得：ABNM 是正方形，AB ＝BN ＝NM ＝MA ＝5， CD ＝CF ＝5，∠D ＝∠CFE ＝90°，ED ＝EF ， ∴NC ＝MD ＝8﹣5＝3，在Rt △FNC 中，FN =√52−32=4， ∴MF ＝5﹣4＝1，在Rt △MEF 中，设EF ＝x ，则ME ＝3﹣x ，由勾股定理得， 12+（3﹣x ）2＝x 2， 解得：x =53，∵∠CFN +∠PFG ＝90°，∠PFG +∠FPG ＝90°， ∴△FNC ∽△PGF ，∴FG ：PG ：PF ＝NC ：FN ：FC ＝3：4：5， 设FG ＝3m ，则PG ＝4m ，PF ＝5m ，∴GN ＝PH ＝BH ＝4﹣3m ，HN ＝5﹣（4﹣3m ）＝1+3m ＝PG ＝4m ， 解得：m ＝1， ∴PF ＝5m ＝5，∴PE ＝PF +FE ＝5+53=203， 故答案为：203．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（6分）计算：（12）﹣1+（π+1）0﹣2cos60°+√9【解答】解：（12）﹣1+（π+1）0﹣2cos60°+√9＝2+1﹣2×12+3 ＝3﹣1+3 ＝520．（6分）解不等式组{5x −3≤2x +93x ＞x+102，并写出它的所有整数解． 【解答】解：{5x −3≤2x +9①3x ＞x+102②解①得：x ≤4； 解②得：x ＞2；∴原不等式组的解集为2＜x ≤4； ∴原不等式组的所有整数解为3、4．21．（6分）如图，在▱ABCD 中，E 、F 分别是AD 和BC 上的点，∠DAF ＝∠BCE ．求证：BF ＝DE ．【解答】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠B ＝∠D ，∠BAD ＝∠BCD ，AB ＝CD ， ∵∠DAF ＝∠BCE ， ∴∠BAF ＝∠DCE ，在△ABF 和△CDE 中，{∠B =∠DAB =CD∠BAF =∠DCE ，∴△ABF ≌△CDE （ASA ）， ∴BF ＝DE ．22．（8分）为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购买了一批书籍．其中购买A 种图书花费了3000元，购买B 种图书花费了1600元，A 种图书的单价是B 种图书的1.5倍，购买A 种图书的数量比B 种图书多20本． （1）求A 和B 两种图书的单价；（2）书店在“世界读书日”进行打折促销活动，所有图书都按8折销售学校当天购买了A 种图书20本和B 种图书25本，共花费多少元？【解答】解：（1）设B 种图书的单价为x 元，则A 种图书的单价为1.5x 元， 依题意，得：30001.5x−1600x=20，解得：x ＝20，经检验，x ＝20是所列分式方程的解，且符合题意， ∴1.5x ＝30．答：A 种图书的单价为30元，B 种图书的单价为20元． （2）30×0.8×20+20×0.8×25＝880（元）． 答：共花费880元．23．（8分）如图，AB 、CD 是⊙O 的两条直径，过点C 的⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，连接AC 、BD ．（1）求证；∠ABD ＝∠CAB ；（2）若B 是OE 的中点，AC ＝12，求⊙O 的半径．【解答】解：（1）证明：∵AB 、CD 是⊙O 的两条直径， ∴OA ＝OC ＝OB ＝OD ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∠ODB ＝∠OBD ，∵∠AOC＝∠BOD，∴∠OAC＝∠OCA＝∠ODB＝∠OBD，即∠ABD＝∠CAB；（2）连接BC．∵AB是⊙O的两条直径，∴∠ACB＝90°，∵CE为⊙O的切线，∴∠OCE＝90°，∵B是OE的中点，∴BC＝OB，∵OB＝OC，∴△OBC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠A＝30°，∴BC=√33AC＝4√3，∴OB＝4√3，即⊙O的半径为4√3．24．（10分）某学校八年级共400名学生，为了解该年级学生的视力情况，从中随机抽取40名学生的视力数据作为样本，数据统计如下：4.2 4.1 4.7 4.1 4.3 4.3 4.4 4.6 4.15.25.2 4.5 5.0 4.5 4.3 4.4 4.8 5.3 4.5 5.24.4 4.2 4.35.3 4.9 5.2 4.9 4.8 4.6 5.14.2 4.4 4.5 4.1 4.55.1 4.4 5.0 5.2 5.3根据数据绘制了如下的表格和统计图：等级视力（x）频数频率A x＜4.240.1B 4.2≤x≤4.4120.3C 4.5≤x≤4.7aD 4.8≤x≤5.0bE 5.1≤x≤5.3100.25合计401根据上面提供的信息，回答下列问题：（1）统计表中的a＝8，b＝0.15；（2）请补全条形统计图；（3）根据抽样调查结果，请估计该校八年级学生视力为“E级”的有多少人？（4）该年级学生会宣传部有2名男生和2名女生，现从中随机挑选2名同学参加“防控近视，爱眼护眼”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．【解答】解：（1）由题意知C等级的频数a＝8，则C组对应的频率为8÷40＝0.2，∴b＝1﹣（0.1+0.3+0.2+0.25）＝0.15，故答案为：8、0.15；（2）D组对应的频数为40×0.15＝6，补全图形如下：（3）估计该校八年级学生视力为“E 级”的有400×0.25＝100（人）； （4）列表如下：男 男 女 女 男 （男，男）（女，男） （女，男） 男 （男，男） （女，男）（女，男） 女 （男，女） （男，女） （女，女）女（男，女）（男，女）（女，女）得到所有等可能的情况有12种，其中恰好抽中一男一女的情况有8种， 所以恰好选到1名男生和1名女生的概率812=23．25．（10分）如图1，点A （0，8）、点B （2，a ）在直线y ＝﹣2x +b 上，反比例函数y =kx（x ＞0）的图象经过点B ．（1）求a 和k 的值；（2）将线段AB 向右平移m 个单位长度（m ＞0），得到对应线段CD ，连接AC 、BD ． ①如图2，当m ＝3时，过D 作DF ⊥x 轴于点F ，交反比例函数图象于点E ，求DE EF的值；②在线段AB 运动过程中，连接BC ，若△BCD 是以BC 为腰的等腰三角形，求所有满足条件的m 的值．【解答】解：（1）∵点A （0，8）在直线y ＝﹣2x +b 上， ∴﹣2×0+b ＝8， ∴b ＝8，∴直线AB 的解析式为y ＝﹣2x +8，将点B （2，a ）代入直线AB 的解析式y ＝﹣2x +8中，得﹣2×2+8＝a ， ∴a ＝4， ∴B （2，4），将B （2，4）在反比例函数解析式y =kx （x ＞0）中，得k ＝xy ＝2×4＝8；（2）①由（1）知，B （2，4），k ＝8， ∴反比例函数解析式为y =8x ， 当m ＝3时，∴将线段AB 向右平移3个单位长度，得到对应线段CD ， ∴D （2+3，4）， 即：D （5，4），∵DF ⊥x 轴于点F ，交反比例函数y =8x 的图象于点E ， ∴E （5，85），∴DE ＝4−85=125，EF =85， ∴DE EF=12585=32；②如图，∵将线段AB 向右平移m 个单位长度（m ＞0），得到对应线段CD ， ∴CD ＝AB ，AC ＝BD ＝m ， ∵A （0，8），B （2，4）， ∴C （m ，8），D （m +2，4）， ∵△BCD 是以BC 为腰的等腰三形，∴Ⅰ、当BC＝CD时，∴BC＝AB，∴点B在线段AC的垂直平分线上，∴m＝2×2＝4，Ⅱ、当BC＝BD时，∵B（2，4），C（m，8），∴BC=√(m−2)2+(8−4)2，∴√(m−2)2+(8−4)2=m，∴m＝5，即：△BCD是以BC为腰的等腰三角形，满足条件的m的值为4或5．26．（12分）小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．（一）猜测探究在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．（1）如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是∠NAB＝∠MAC，NB与MC的数量关系是NB＝CM；（2）如图2，点E是AB延长线上点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．（二）拓展应用如图3，在△A1B1C1中，A1B1＝8，∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝75°，P是B1C1上的任意点，连接A1P，将A1P绕点A1按顺时针方向旋转75°，得到线段A1Q，连接B1Q．求线段B1Q长度的最小值．【解答】解：（一）（1）结论：∠NAB＝∠MAC，BN＝MC．理由：如图1中，∵∠MAN＝∠CAB，∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，∴∠NAB＝∠MAC，∵AB＝AC，AN＝AM，∴△NAB≌△MAC（SAS），∴BN＝CM．故答案为∠NAB＝∠MAC，BN＝CM．（2）如图2中，①中结论仍然成立．理由：∵∠MAN＝∠CAB，∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，∴∠NAB＝∠MAC，∵AB＝AC，AN＝AM，∴△NAB≌△MAC（SAS），∴BN＝CM．（二）如图3中，在A1C1上截取A1N＝A1B1，连接PN，作NH⊥B1C1于H，作A1M⊥B1C1于M．∵∠C1A1B1＝∠P A1Q，∴∠QA1B1＝∠P A1N，∵A1A＝A1P，A1B1＝AN，∴△QA1B1≌△P A1N（SAS），∴B1Q＝PN，∴当PN的值最小时，QB1的值最小，在Rt△A1B1M中，∵∠A1B1M＝60°，A1B1＝8，∴A1M＝A1B1•sin60°＝4√3，∵∠MA1C1＝∠B1A1C1﹣∠B1A1M＝75°﹣30°＝45°，∴A1C1＝4√6，∴NC1＝A1C1﹣A1N＝4√6−8，在Rt△NHC1，∵∠C1＝45°，∴NH＝4√3−4√2，根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PN的值最小，∴QB1的最小值为4√3−4√2．27．（12分）如图1，抛物线C ：y ＝ax 2+bx 经过点A （﹣4，0）、B （﹣1，3）两点，G 是其顶点，将抛物线C 绕点O 旋转180°，得到新的抛物线C ′． （1）求抛物线C 的函数解析式及顶点G 的坐标；（2）如图2，直线l ：y ＝kx −125经过点A ，D 是抛物线C 上的一点，设D 点的横坐标为m （m ＜﹣2），连接DO 并延长，交抛物线C ′于点E ，交直线l 于点M ，若DE ＝2EM ，求m 的值；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG 、AB ，在直线DE 下方的抛物线C 上是否存在点P ，使得∠DEP ＝∠GAB ？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将A （﹣4，0）、B （﹣1，3）代入y ＝ax 2+bx 中，得{16a −4b =0a −b =3解得{a =−1b =−4∴抛物线C 解析式为：y ＝﹣x 2﹣4x ，配方，得：y ＝﹣x 2﹣4x ＝﹣（x +2）2+4，∴顶点为：G （﹣2，4）； （2）∵抛物线C 绕点O 旋转180°，得到新的抛物线C ′． ∴新抛物线C ′的顶点为：G ′（2，﹣4），二次项系数为：a ′＝1 ∴新抛物线C ′的解析式为：y ＝（x ﹣2）2﹣4＝x 2﹣4x将A （﹣4，0）代入y ＝kx −125中，得0＝﹣4k −125，解得k =−35， ∴直线l 解析式为y =−35x −125，设D （m ，﹣m 2﹣4m ），∵D 、E 关于原点O 对称， ∴OD ＝OE ∵DE ＝2EM∴OM ＝2OD ，过点D 作DF ⊥x 轴于F ，过M 作MR ⊥x 轴于R ， ∴∠OFD ＝∠ORM ， ∵∠DOF ＝∠MOR ∴△ODF ∽△OMR ∴OR OF=RM DF=OM OD=2∴OR ＝2OF ，RM ＝2DF ∴M （﹣2m ，2m 2+8m ） ∴2m 2+8m =−35•（﹣2m ）−125， 解得：m 1＝﹣3，m 2=−25， ∵m ＜﹣2∴m 的值为：﹣3； （3）由（2）知：m ＝﹣3，∴D （﹣3，3），E （3，﹣3），OE ＝3√2，如图3，连接BG ，在△ABG 中，∵AB 2＝（﹣1+4）2+（3﹣0）2＝18，BG 2＝2，AG 2＝20∴AB 2+BG 2＝AG 2∴△ABG 是直角三角形，∠ABG ＝90°， ∴tan ∠GAB =BG AB =√232=13，∵∠DEP ＝∠GAB∴tan ∠DEP ＝tan ∠GAB =13，在x 轴下方过点O 作OH ⊥OE ，在OH 上截取OH =13OE =√2，过点E 作ET ⊥y 轴于T ，连接EH 交抛物线C 于点P ，点P 即为所求的点； ∵E （3，﹣3）， ∴∠EOT ＝45° ∵∠EOH ＝90° ∴∠HOT ＝45°∴H （﹣1，﹣1），设直线EH 解析式为y ＝px +q ，则{3p +q =−3−p +q =−1，解得{p =−12q =−32∴直线EH 解析式为y =−12x −32，解方程组{y =−12x −32y =−x 2−4x ，得{x 1=−7−√734y 1=√73−58，{x 2=−7+√734y 2=−√73+58， ∴点P 的横坐标为：−7+√734或√73−74．。
山东省济南市2019年初三年级学业水平考试数学试题(PDF版 含部分解析)
山东省济南市2019年初三年级学业水平考试数学试题一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1. －7的相反数是A ． －7B ．－17 C ．7 D ． 1【答案】C2．以下给出的几何体中，主视图是矩形，俯视图是圆的是A B C D 【答案】 D3．2019年1 月3日，“嫦娥四号” 探测器成功着陆在月球背面东经177.6度、南纬45.5度附近，实现了人类首次在月球背面软着陆．数字177.6用科学记数法表示为A ． 0.1776×103B ． 1.776×102C ．1.776×103D ． 17.76×102 【答案】B4． 如图，DE ∥BC ，BE 平分∠ABC ，若∠1＝70°，则∠CBE 的度数为 A ．20° B ．35° C ．55° D ．70°【答案】B5．实数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是A ． a －5＞b －5B ． 6a ＞6bC ． －a ＞－bD ． a －b ＞0【答案】C6．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是A ．B ．C ．D ．【答案】CC赵爽弦图科克曲线笛卡尔心形线斐波那契螺旋线7．化简4x 2－4＋1x ＋2的结果是A ．x －2B ．1x ＋2C ．2x －2D ．2x ＋2【答案】B 【解析】4x 2－4＋1x ＋2＝4(x ＋2)(x －2)＋1x ＋2＝4＋(x －2)(x ＋2)(x －2)＝x －2(x ＋2)(x －2)＝1x ＋2． 8．在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示，则这7次成绩的中位数和平均数分别是A ．9.7m ， 9.9mB ．9.7m ， 9.8mC ．9.8m ， 9.7mD ．9.8m ， 9.9m【答案】B9．函数y ＝－ax ＋a 与y ＝ax(a ≠0)在同一坐标系中的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D10．如图，在菱形ABCD 中，点E 是BC 的中点，以C 为圆心、CE 为半径作弧，交CD 于点F ，连接AE 、AF ．若AB ＝6，∠B ＝60°，则阴影部分的面积为 A ．93－3π B ．93－2π C ．183－9π D ．183－6π【答案】A【解析】由已知可得：CE ＝CF ＝12AB ＝3，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，AE ＝AF ＝33，∠ECF ＝120°．S △AEC ＝S △AFC ＝12×3×33＝923，S 四边形AECF ＝93，S 扇形ECF ＝13×π×32＝3π．∴S 阴影＝S 四边形AECF －S 扇形ECF ＝93－3π．11．某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A 测得历下亭C 在北偏东37°方向，继续向北走105m 后到达游船码头B ，测得历下亭C 在游船码头B 的北编东53°方向．请计算一下南门A 与历下亭C 之间的距离约为 (参考数据：tan37°≈34，tan53°≈43)．A ．225mB ．275mC ．300mD ．315m【答案】C【解析】过点C 作CD ⊥AB ，交AB 的延长线于点D ．在Rt △ACD 中，∵tan ∠A ＝CD AD ，∴tan37°＝CD AD ＝34．∴可设CD ＝3x ，AD ＝4x ．∴AC ＝5x ．在Rt △BCD 中，∵tan ∠DBC ＝CD BD ，∴tan53°＝CD BD ＝43．∴3x BD ＝43．∴BD ＝94x ．∵AB ＋BD ＝AD ，∴105＋94x ＝4x ．解得x ＝60．∴AC ＝5x ＝300（m ）．12．关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋12＝0有一个根是－1，若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋12的图象的顶点在第一象限，设t ＝2a ＋b ，则t 的取值范围是A ．－12＜t ＜14B ．－1＜t ≤14C ．－12≤t ＜12D ．－1＜t ＜12游船码头【答案】D【解析】将x ＝－1代入ax 2＋bx ＋12＝0，得a －b ＋12＝0．∴a ＝b －12……………………………………①．∴t ＝2a ＋b ＝2(b －12)＋b ＝3b －1……………………………………②．根据题意可知：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋12的图象经过点（－1，0）和（0，12）．又∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋12的图象的顶点在第一象限，∴该抛物线的开口向下，与x 轴有两个交点，且顶点的纵坐标y 顶＞12．∴a ＜0，b ＞0． ∴a ＝b －12＜0．∴b ＜12．又∵b ＞0，∴0＜b ＜12．∴0＜3b ＜32．∴－1＜3b －1＜12．又∵t ＝3b －1，∴－1＜t ＜12……………………………………③．下面再采用验证法作出进一步的判断：在14＜t ＜12的范围内，若取t ＝38，得38＝3b －1．解得b ＝1124．∴a ＝b －12＝－124． 此时y ＝ax 2＋bx ＋12＝－124x 2＋1124x ＋12＝－124(x －112)2＋21796，x 顶＝112＞0，y 顶＝21796＞12．∴t ＝38符合题意……………………………………④．在－1＜t ＜－12的范围内若取t ＝－34，得－34＝3b －1．解得b ＝112．∴a ＝b －12＝－512．此时y ＝ax 2＋bx ＋12＝－512x 2＋112x ＋12＝－512(x －110)2＋121240，x 顶＝110＞0，y 顶＝121240＞12．∴t ＝－34符合题意……………………………………⑤．综上可知：答案选D ．二、填空题： (本大题共6个小题，每小题4分，共24分．)13．分解因式： m 2－4m ＋4＝________；【答案】(m －2)214．如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了6个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在红色区域的概率等于________；【答案】1315． 一个n 边形的内角和等于720°， 则n ＝________； 【答案】616．代数式2x －13与代数式3－2x 的和为4，则x ＝________；【答案】x ＝－117．某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．图中l 1、l 2分别表示去年、今年水费y (元)与用水量x (m 3)之间的关系．小雨家去年用水量为150m 3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多________元．【答案】210【解析】图中l 1的解析式为y ＝3x ，当x ＝150时，y ＝3×150＝450（元）， ∴小雨家去年用水的水费为450元．图中l BC 的解析式为y ＝6x －240，当x ＝150时，y ＝6×150－240＝660（元）． 660－450＝210（元）． ∴水费将比去年多210元．18． 如图，在矩形纸片ABCD 中，将AB 沿BM 翻折， 使点A 落在BC 上的点N 处，BM 为折痕，连接MN ；再将CD 沿CE 翻折，使点D 恰好落在MN 上的点F 处，CE 为折痕，连接EF 并延长交BM 于点P ，若AD ＝8，AB ＝5，则线段PE 的长等于________．3B【答案】203【解析】由题意可得：四边形ABNM 是正方形，AM ＝AB ＝MN ＝BN ＝5，CN ＝DM ＝8－5＝3，∠ABM ＝45°，CD ＝CF ＝5，DE ＝EF ．在Rt △CFN 中，∵CF ＝5，CN ＝3，∴FN ＝4． ∴MF ＝MN －FN ＝5－4＝1． 设DE ＝EF ＝x ，则ME ＝3－x ．在Rt △MEF 中，∵ME 2＋MF 2＝EF 2，∴(3－x )2＋12＝x 2．x ＝53．∴EF ＝53，则ME ＝3－x ＝43．∴MF ∶ME ∶EF ＝3∶4∶5．过点P 作PG ⊥AM 于点G ，则∠GPM ＝∠ABM ＝45°．∴PG ＝MG ．∵PG ∥MF ，∴△EFM ∽△EPG ．∴PG ∶EG ∶PE ＝MF ∶ME ∶EF ＝3∶4∶5． 设PG ＝MG ＝3y ，则EG ＝4y ，PE ＝5y ． ∵EG ＝MG ＋EM ，∴4y ＝3y ＋43．∴y ＝43．∴PE ＝5y ＝203．三、解答题： (本大题共9个小题，共78分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 19． (本小题满分6分)计算：(12)－1＋(π＋1)0－2cos60°＋9【解】原式＝2＋1－2×12＋3＝5．20． (本小题满分6分)解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧5x －3≤2x ＋9①3x ＞x ＋102. ② ，并写出它的所有整数解． 【解】由①，得5x －2x ≤9＋3． ∴x ≤4． 由②，得 6x ＞x ＋10． ∴x ＞2．∴原不等式组的解集是2＜x ≤4． 它的所有整数解为：3，4． 21． (本小题满分6分)如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是AD 和BC 上的点，∠DAF ＝∠BCE ．求证：BF ＝DE ．B【证明】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝CD ，∠B ＝∠D ，AD ∥B C ． ∴∠AFB ＝∠DAF ，∠DEC ＝∠BCE ． 又∵∠DAF ＝∠BCE ， ∴∠AFB ＝∠DE C ． ∴△ABF ≌△CDE ． ∴BF ＝DE ．22． (本小题满分8分)为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购买了一批书籍．其中购买A 种图书花费了3000元，购买B 种图书花费了1600元，A 种图书的单价是B 种图书的1.5倍，购买A 种图书的数量比B 种图书多20本．(1)求A 和B 两种图书的单价；(2)书店在“世界读书日”进行打折促销活动，所有图书都按8折销售学校当天购买了A 种图书20本和B 种图书25本，共花费多少元? 【解】（1）设B 种图书的单价为x 元，A 种图书的单价为1.5x 元，根据题意，得；30001.5x －1600x ＝20． 2000x －1600x＝20． 解得x ＝20．经检验x ＝20是原方程的根． ∴1.5x ＝30．答：A 种图书的单价为30元，B 种图书的单价为20元．(2) （20×30＋20×25）×0.8＝880(元)． 答：共花费880元． 23． (本小题满分8分)如图，AB 、CD 是⊙O 的两条直径，过点C 的⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，连接AC 、BD ． (1)求证；∠ABD ＝∠CAB ；(2)若B 是OE 的中点，AC ＝12，求⊙O 的半径．【解析】（1）证明：∵AD ＝AD ，∴∠ABD ＝∠AC D ．B∵OA ＝OC ，∴∠ACD ＝∠CA B ． ∴∠ABD ＝∠CA B ．（2）解：连接BC ，则∠ACB ＝90°． ∵CE 是⊙O 的切线，∴∠OCE ＝90°． ∵B 是OE 的中点，∴OB ＝BE ＝12OE ．∴OC ＝OB ＝12OE ．∴∠E ＝30°． ∴∠COE ＝60°． 又∵OC ＝OB ，∴△OCB 是等边三角形． ∴∠ABC ＝60°．在Rt △ABC 中，∵tan ∠ABC ＝ACBC ，∴tan 60°＝12BC ．∴BC ＝123＝43．24． (本小题满分10分某学校八年级共400名学生，为了解该年级学生的视力情况，从中随机抽取40名学生的视力数据作为样本，数据统计如下：4.2 4.1 4.7 4.1 4.3 4.3 4.4 4.6 4.15.2 5.2 4.5 5.0 4.5 4.3 4.4 4.8 5.3 4.5 5.2 4.4 4.2 4.3 5.3 4.9 5.2 4.9 4.8 4.6 5.1 4.2 4.4 4.5 4.1 4.5 5.1 4.4 5.0 5.2 5.3 根据数据绘制了如下的表格和统计图：(1)统计表中的a ＝_______，b ＝_______；(2)请补全条形统计图；(3)根据抽样调查结果，请估计该校八年级学生视力为“E 级”的有多少人?(4)该年级学生会宣传部有2名男生和2名女生，现从中随机挑选2名同学参加“防控近视，爱眼护眼”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率． 【解】（1）a ＝8，b ＝0.15；(2)补全后的条形统计图如图所示：（3）400×0.25=100（人）．答：估计该校八年级学生视力为 “E 级”的有100人． （4）根据题意，列表如下：共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性都相同，其中恰好选中“1男1女”的结果有8种，所以其概率为812＝23．25． (本小题满分10分)如图1，点A (0，8)、点B (2，a )在直线y ＝－2x ＋b 上，反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象经过点B ．(1)求a 和k 的值；(2)将线段AB 向右平移m 个单位长度(m ＞0)，得到对应线段CD ，连接AC 、 B D ．①如图2，当m ＝3时，过D 作DF ⊥x 轴于点F ，交反比例函数图象于点E ，求DEEF的值；②在线段AB 运动过程中，连接BC ，若△BCD 是以BC 为腰的等腰三形，求所有满足条件的m 的值．【解】（1）将点A (0，8)代入y ＝－2x ＋b ，得b ＝8． ∴直线AB 的解析式为y ＝－2x ＋8． 将点B (2，a )代入y ＝－2x ＋8，得 a ＝－2×2＋8＝4． ∴点B (2，4)．将点B (2，4)代入y ＝kx (x ＞0)，得k ＝2×4＝8．∴反比例函数的解析式为y ＝8x (x ＞0)．（2）当m ＝3时，D （5，4）．∴F （5，0）． 将x ＝5代入y ＝8x ，得y ＝85．∴E （5，85）．∴DE ＝4－85＝125，EF ＝85．∴DE EF ＝12585＝32． （3）根据题意，得C （m ，8），D （2＋m ，4）．∴BC 2＝(m －2)2＋(8－4)2＝m 2－4m ＋20，BD 2＝(2＋m －2)2＋(4－4)2＝m 2， CD 2＝AB 2＝(2－0)2＋(4－8)2＝20．①若BC ＝CD ，则m 2－4m ＋20＝20．解得m 1＝4，m 2＝0（不合题意，舍去）．②若BC ＝BD ，则m 2－4m ＋20＝m 2．解得m ＝5． ∴满足条件的m 的值为4或5． 26． (本小题满分12分)小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．(一)猜测探究在△ABC 中，AB ＝AC ，M 是平面内任意一点， 将线段AM 绕点A 按顺时针方向旋转与∠BAC 相等的角度，得到线段AN ，连接N B ．(1)如图1，若M 是线段BC 上的任意一点， 请直接写出∠NAB 与∠MAC 的数量关系是______，NB 与MC 的数量关系是______；(2)如图2，点E 是AB 延长线上点，若M 是∠CBE 内部射线BD 上任意一点，连接MC ，(1)中结论是否仍然成立?若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由． (二)拓展应用如图3，在△A 1B 1C 1中，A 1B 1＝8，∠A 1B 1C 1＝60°，∠B 1A 1C 1＝75°，P 是B 1C 1上的任意点，连接A 1P ，将A 1P 绕点A 1按顺时针方向旋转75°，得到线段A 1Q ，连接B 1Q ．求线段B 1Q 长度的最小值．【解】（1）∠NAB ＝∠MAC ，NB ＝MC ； （2）(1)中结论仍然成立，证明如下：由旋转可得：AN ＝AM ，∠NAM ＝∠BA C ． ∴∠NAB ＋∠BAM ＝∠BAM ＋∠MA C ． ∴∠NAB ＝∠MA C ． 又∵AB ＝AC ，∴△NAB ≌△MA C ． ∴NB ＝M C ．（3）过点A 1作A 1G ⊥B 1C 1于点G ，则B 1G ＝12A 1B 1＝4，A 1G ＝3B 1G ＝43．在△A 1B 1C 1中，∴∠A 1B 1C 1＝60°，∠B 1A 1C 1＝75°，∴∠C 1＝45°．在Rt △ABC 中，∵∠C 1＝45°，∴A 1C 1＝2A 1G ＝46．作A 1B 1的延长线B 1F ，将A 1C 1绕点A 1按顺时针方向旋转75°，得到线段A 1P 1(点P 1在B 1F 上)，将A 1B 1绕点A 1按顺时针方向旋转75°，得到线段A 1P 2，连接P 1P 2．根据题意可知：当点P 在点C 1处时，点Q 在点P 1处，当点P 在点B 1处时，点Q 在点P 2处． ∵点P 在线段B 1C 1上运动，∴点Q 在线段P 1P 2上运动．过点B 1作B 1H ⊥P 1P 2于点H ，则线段B 1Q 长度的最小值= B 1H ． 与（2）同理可得：A 1Q ＝A 1P ，∠QA 1P 1＝∠P A 1C 1． 又∵A 1P 1＝A 1C 1＝46， ∴△QA 1P 1≌△P A 1C 1．∴∠QP 1A 1＝∠PC 1A 1＝45°．在Rt △P 1B 1H 中，∵∠B 1 P 1P 2＝45°，∴B 1H ＝P 1B 12＝46－42＝43－22．∴线段B 1Q 长度的最小值= B 1H ＝43－22．1CC1P27．（本题满分12分）如图1，抛物线C ：y ＝ax 2＋bx 经过点A （－4，0）、B （－1，3）两点，G 是其顶点，将抛物线C 绕点O 旋转180°，得到新的抛物线C ′．（1）求抛物线C 的函数解析式及顶点G 的坐标；（2）如图2，直线l ：y ＝kx －125经过点A ，D 是抛物线C 上的一点，设D 点的横坐标为m （m ＜－2），连接DO 并延长，交抛物线C ′于点E ，交直线l 于点M ，若DE ＝2EM ，求m 的值；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG 、AB ，在直线DE 下方的抛物线C 上是否存在点P ，使得∠DEP ＝∠GAB ？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．【解】（1）将点A （－4，0）、B （－1，3）的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ，得⎩⎨⎧0＝16a －4b 3＝a －b ．解得⎩⎨⎧a ＝－1b ＝－4． ∴抛物线C 的函数解析式为y ＝－x 2－4x ．∵y ＝－x 2－4x ＝－( x 2＋4x )＝－( x 2＋4x ＋4－4)＝－( x ＋2) 2＋4， ∴抛物线C 的顶点G 的坐标为（－2，4）．（2）∵抛物线C 与新的抛物线C ′关于原点O 中心对称，∴新的抛物线C ′的函数解析式为－y ＝－(－x )2－4(－x )，即y ＝x 2－4x ． 将点A （－4，0）的坐标代入y ＝kx －125，得0＝－4k －－125．解得k ＝－35．∴直线l 的函数解析式为y ＝－35x －125．设点D 的坐标为（m ，－m 2－4m ）（其中m ＜－2）．由题意可知：点D 与点E 关于原点O 中心对称，∴点E 的坐标为（－m ，m 2＋4m ）且OD ＝OE ＝12DE ．∵DE ＝2EM ，∴EM ＝12DE ．∴OD ＝OE ＝EM ．∴x M ＝2x E ＝－2m ．把x ＝－2m 代入y ＝－35x －125，得y ＝－35×(－2m )－125＝65m －125．∴点M 的坐标为（－2m ，65m －125）．∵点E 是OM 的中点，∴y E ＝y O ＋y M2．∴m 2＋4m ＝0＋(65m －125)2．整理，得5m 2＋17m ＋6＝0．解得m 1＝－3，m 2＝－25（不合题意，舍去）．∴m ＝－3．（3）存在点符合题意的点P ，使得∠DEP ＝∠GA B ． 在（2）的条件下，m ＝－3，则点D 的坐标为（－3，3），点E 的坐标为（3，－3）． 取抛物线C ′的顶点为点G ′．由题意可得：点G （－2，4）与点G ′关于原点O 中心对称，∴点G ′的坐标为（2，－4）． 分别连接BG 、EG ′、OG ′．由点A （－4，0）、B （－1，3）可得直线AB 的解析式为y ＝x ＋4，且AB ＝32． 由点B （－1，3）、G （－2，4）可得直线BG 的解析式为y ＝－x ＋2，且BG ＝2． ∵k AB ·k BG ＝1×(－1)＝－1，∴AB ⊥BG ．∴∠ABG ＝90°． 由点O （0，0）、E （3，－3）可得直线OE 的解析式为y ＝－x ，且OE ＝32． 由点G ′（2，－4）、E （3，－3）可得直线EG ′的解析式为y ＝x －6，且EG ′＝2． ∵k OE ·k EG ′＝1×(－1)＝－1，∴OE ⊥EG ′．∴∠OEG ′＝90°．∵AB ＝OE ＝32，BG ＝EG ′＝2，∠ABG ＝∠OEG ′＝90°，∴△ABG ≌△OEG ′．∴∠GAB ＝∠G′OE ． ∴要使∠DEP ＝∠GAB ，只要∠DEP ＝∠G′OE 即可． 方法一：直线OG ′的解析式为y ＝－2x ．作线段OE 的垂直平分线，交线段OE 于点N ，交线段OG ′于点F ，作直线EF ，交抛物线C 与两点P 1、P 2，则∠FEO ＝∠G′OE ．∴点P 1、P 2即为所求 线段OE 的垂直平分线的解析式为y ＝x －3． 由⎩⎨⎧y ＝x －3y ＝－2x 解得⎩⎨⎧x ＝1y ＝－2．∴点F 的坐标为（1，－2）．由点E （3，－3）、F （1，－2）可得直线EF 的解析式为y ＝－12x －32．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x －32y ＝－x 2－4x得2x 2＋7x －3＝0．解得x 1＝－7＋734，x 2＝－7－734．∴点P 的横坐标为－7＋734或－7－734．方法二：直线OG ′的解析式为y ＝－2x ．在线段OG ′上取一点F ，使FE ＝FO ，则∠FEO ＝∠G′OE ＝∠GA B ．直线EF 交抛物线C 于两点P 1、P 2，则点P 1、P 2即为所求． 设F 的坐标为（t ，－2t ），则OF 2＝(0－t )2＋(0＋2t )2＝5t 2，EF 2＝(t －3)2＋(－2t ＋3)2＝5t 2－18t ＋18． ∵FE ＝FO ，∴5t 2＝5t 2－18t ＋18．解得t ＝1． ∴F （1，－2）． 由点E （3，－3）、F （1，－2）可得直线EF 的解析式为y ＝－12x －32．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x －32y ＝－x 2－4x 得2x 2＋7x －3＝0．解得x 1＝－7＋734，x 2＝－7－734．∴点P 的横坐标为－7＋734或－7－734．。
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2019年山东省济南市中考数学试卷(解析版)2019 年山东省济南市中考数学试卷一、选择题（每小题 4 分，共48 分）1．﹣ 7 的相反数是（）A．﹣ 7B．﹣C． 7D．12．以下给出的几何体中，主视图是矩形，俯视图是圆的是（）A．B．C．D．3． 2019 年 1 月 3 日，“嫦娥四号”探测器成功着陆在月球背面东经177.6 度、南纬45.5 度附近，实现了人类首次在月球背面软着陆．数字177.6 用科学记数法表示为（）A． 0.1776 × 103B． 1.776 × 102C． 1.776 ×103D．17.76× 102 4．如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠ 1＝ 70°，则∠CBE的度数为（）A． 20°B． 35°C． 55°D．70°5．实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（）A．a﹣5＞b﹣ 5B． 6a＞ 6b C．﹣a＞﹣b D．a﹣b＞ 06．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．赵爽弦图B．笛卡尔心形线C．科克曲线D．斐波那契螺旋线7．化简+的结果是（）A．x﹣2B．C．D．8．在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的7 次成绩如统计图所示，则这7 次成绩的中位数和平均数分别是（）A． 9.7 m， 9.9 m B． 9.7 m， 9.8 m C． 9.8 m， 9.7 m D．9.8 m， 9.9 m9．函数y＝﹣ax+a与y＝（a≠ 0）在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．10．如图，在菱形ABCD中，点 E是 BC的中点，以 C为圆心、 CE为半径作弧，交CD于点 F，连接 AE、 AF．若 AB＝6，∠ B＝60°，则阴影部分的面积为（）A． 9﹣3πB． 9﹣2πC． 18﹣9πD．18﹣6π11．某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门 A 测得历下亭 C 在北偏东37°方向，继续向北走 105 后到达游船码头，测得历下亭C 在游船码头B的北编东53°方向．请计算m B一下南门 A 与历下亭 C之间的距离约为（）（参考数据： tan37 °≈，tan53 °≈）A． 225m B． 275m C． 300m D．315m12．关于x的一元二次方程ax2+bx+＝ 0 有一个根是﹣ 1，若二次函数y＝ ax2+bx+的图象的顶点在第一象限，设t ＝2a+b，则 t 的取值范围是（）A．＜t＜B．﹣ 1＜t≤C．﹣≤t＜D．﹣ 1＜t＜二、填空题（每小题 4 分，共24 分．）2．13．分解因式：m﹣ 4m+4＝14．如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了 6 个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在红色区域的概率等于．15．一个n边形的内角和等于 720°，则n＝．16．代数式与代数式 3﹣ 2x的和为4，则x＝．17．某市为提倡居民节约用水，自今年 1 月 1 日起调整居民用水价格．图中l 1、l 2分别表示去年、今年水费y （元）与用水量x（3）之间的关系．小雨家去年用水量为1503，若m m今年用水量与去年相同，水费将比去年多元．18．如图，在矩形纸片ABCD 中，将 AB 沿 BM 翻折，使点 A 落在 BC 上的点 N 处， BM 为折痕，连接；再将 沿 翻折，使点 D 恰好落在 上的点 F 处， 为折痕，连接 并延MNCD CEMNCEEF长交于点，若＝ 8，＝5， 则线段PE 的长等于．B M PADAB三、解答题19．（ 6 分）计算：（）﹣1+（π +1） 0﹣2cos60 °+20．（ 6 分）解不等式组 ，并写出它的所有整数解．21．（ 6 分）如图，在 ?ABCD 中， E 、 F 分别是 AD 和 BC 上的点，∠ DAF ＝∠ BCE ．求证： BF ＝DE ．22．（ 8 分）为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购买了一批书籍．其中购买 A 种图书花费了 3000 元，购买 B 种图书花费了 1600 元，A 种图书的单价是 B 种图书的1.5 倍，购买 A 种图书的数量比 B 种图书多 20 本．（ 1）求 A 和 B 两种图书的单价；（ 2）书店在“世界读书日”进行打折促销活动，所有图书都按 8 折销售学校当天购买了A 种图书20本和B 种图书25本，共花费多少元？23．（ 8 分）如图，AB、CD是⊙O的两条直径，过点C的⊙ O的切线交AB的延长线于点E，连接 AC、 BD．（1）求证；∠ABD＝∠CAB；（2）若B是OE的中点，AC＝ 12，求⊙O的半径．24．（ 10 分）某学校八年级共400 名学生，为了解该年级学生的视力情况，从中随机抽取 40 名学生的视力数据作为样本，数据统计如下：4.2 4.1 4.7 4.1 4.3 4.3 4.4 4.6 4.15.25.2 4.5 5.0 4.5 4.3 4.4 4.8 5.3 4.5 5.24.4 4.2 4.35.3 4.9 5.2 4.9 4.8 4.6 5.14.2 4.4 4.5 4.1 4.55.1 4.4 5.0 5.2 5.3根据数据绘制了如下的表格和统计图：等级视力（ x）频数频率A x＜4.240.1B 4.2 ≤x≤ 4.4120.3C 4.5 ≤x≤ 4.7aD 4.8 ≤x≤ 5.0bE 5.1 ≤x≤ 5.3100.25合计401根据上面提供的信息，回答下列问题：（ 1）统计表中的a＝，b＝；（ 2）请补全条形统计图；（ 3）根据抽样调查结果，请估计该校八年级学生视力为“ E 级”的有多少人？（ 4）该年级学生会宣传部有 2 名男生和 2 名女生，现从中随机挑选2 名同学参加“防控近视，爱眼护眼”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“ 1 男 1 女”的概率．25．（ 10 分）如图 1，点＞ 0）的图象经过点A（0，8）、点B．B（2，a）在直线y＝﹣2x+b 上，反比例函数y＝（ x（1）求a和k的值；（2）将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD．①如图 2，当m＝ 3 时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求的值；②在线段AB运动过程中，连接BC，若△ BCD是以 BC为腰的等腰三形，求所有满足条件的 m的值．26．（ 12 分）小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．（一）猜测探究在△ ABC中，AB＝ AC， M是平面内任意一点，将线段AM绕点 A 按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接 NB．（ 1）如图1，若M 是线段BC 上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠ MAC的数量关系MC的数量关系是；是， NB与（2）如图 2，点E是AB延长线上点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．（二）拓展应用如图 3，在△A1B1C1中，A1B1＝ 8，∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝75°，P是B1C1上的任意点，连接 A1P，将 A1P 绕点 A1按顺时针方向旋转75°，得到线段 A1Q，连接 B1Q．求线段B1Q长度的最小值．27．（ 12 分）如图1，抛物线C：y＝ax2+bx经过点A（﹣ 4， 0）、B（﹣ 1， 3）两点，G是其顶点，将抛物线 C绕点 O旋转180°，得到新的抛物线 C′．（1）求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标；（2）如图 2，直线l：y＝kx﹣经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为m（ m＜﹣2），连接 DO并延长，交抛物线C′于点 E，交直线 l 于点 M，若 DE＝2EM，求 m 的值；（ 3）如图 3，在（ 2）的条件下，连接AG、AB，在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P，使得∠ DEP＝∠ GAB？若存在，求出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题1．解：﹣ 7 的相反数为7，故选： C．2．解：A、主视图是圆，俯视图是圆，故 A 不符合题意；B、主视图是矩形，俯视图是矩形，故 B 不符合题意；C、主视图是三角形，俯视图是圆，故C不符合题意；D、主视图是个矩形，俯视图是圆，故D符合题意；故选： D．3．解： 177.6 ＝ 1.776 × 102．故选： B．4．解：∵DE∥BC，∴∠ 1＝∠ABC＝70°，∵BE平分∠ ABC，∴∠ CBE＝∠ABC＝35°，故选： B．5．解：由图可知，b＜0＜ a，且| b|＜| a|，∴a﹣5＞ b﹣5，6a＞6b，﹣ a＜﹣ b，a﹣ b＞0，∴关系式不成立的是选项 C．故选： C．6．解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选： C．7．解：原式＝+＝＝，故选： B．8．解：把这 7 个数据从小到大排列处于第 4 位的数是9.7 m，因此中位数是 9.7 m，平均数为：（ 9.5+9.6+9.7+9.7+9.8+10.1+10.2）÷ 7＝9.8，m故选：．B9．解：a ＞0 时，﹣a＜ 0，＝﹣+a在一、二、四象限，＝在一、三象限，无选项符合．y ax ya＜0时，﹣ a＞0， y＝﹣ ax+a 在一、三、四象限，y＝（ a≠0）在二、四象限，只有 D 符合；故选： D．10．解：连接AC，∵四边形 A BCD是菱形，∴AB＝BC＝6，∵∠ B＝60°， E 为 BC的中点，∴CE＝BE＝3＝ CF，△ ABC是等边三角形， AB∥CD，∵∠ B＝60°，∴∠ BCD＝180°﹣∠ B＝120°，由勾股定理得：＝＝ 3，AE∴ S△AEB＝ S△AEC＝×6× 3×＝4.5＝ S△AFC，∴阴影部分的面积S＝ S△AEC+S△AFC﹣ S 扇形CEF＝4.5+4.5﹣＝ 9 ﹣3π，故选： A．11．解：如图，作CE⊥ BA于 E．设 EC＝ xm， BE＝ ym．在 Rt △ECB中， tan53 °＝，即＝，在 Rt △AEC中， tan37 °＝，即＝，解得 x＝180， y＝135，∴ AC＝＝＝300（m），故选： C．12．解：∵关于x 的一元二次方程ax2+bx+＝ 0 有一个根是﹣1，∴二次函数y ＝ax2+ + 的图象过点（﹣1， 0），bx∴a﹣ b+＝0，∴b＝ a+， t ＝2a+b，则 a＝，b＝，∵二次函数y＝ ax2+bx+的图象的顶点在第一象限，∴﹣＞ 0，﹣＞ 0，将 a＝， b＝代入上式得：＞ 0，解得：﹣ 1＜t＜，﹣＞ 0，解得：t或1＜t＜3，故：﹣ 1＜t＜，故选： D．二、填空题：（本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分．）13．解：原式＝（m﹣2）2，故答案为：（ m﹣2）214．解：由于一个圆平均分成 6 个相等的扇形，而转动的转盘又是自由停止的，所以指针指向每个扇形的可能性相等，即有 8 种等可能的结果，在这 6 种等可能结果中，指针指向红色部分区域的有 2 种可能结果，所以指针落在红色区域的概率是＝；故答案为．15．解：依题意有：（n﹣2）?180°＝720°，解得 n＝6．故答案为： 6．16．解：根据题意得：+3 ﹣ 2x＝ 4，去分母得： 2x﹣1+9﹣ 6x＝12，移项合并得：﹣4x＝ 4，解得： x＝﹣1，故答案为：﹣117．解：设当x＞120时， l 2对应的函数解析式为y＝ kx+b，，得，即当 x＞120时， l 2对应的函数解析式为y＝6x﹣240，当 x＝150时， y＝6×150﹣240＝660，由图象可知，去年的水价是480÷ 160＝ 3（元33/ m），故小雨家去年用水量为150m，需要缴费： 150× 3＝450（元），660﹣ 450＝210（元），即小雨家去年用水量为3210 元，150m，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多故答案为： 210．18．解：过点P 作 PG⊥ FN， PH⊥ BN，垂足为 G、H，由折叠得： ABNM是正方形， AB＝ BN＝ NM＝ MA＝5，CD＝ CF＝5，∠ D＝∠ CFE＝90°， ED＝ EF，∴ NC＝MD＝8﹣5＝3，在 Rt △FNC中，FN＝＝ 4，∴ MF＝5﹣4＝1，在 Rt △MEF中，设EF＝x，则ME＝ 3﹣x，由勾股定理得，12+（ 3﹣x）2＝x2，解得： x＝，∵∠ CFN+∠ PFG＝90°，∠ PFG+∠ FPG＝90°，∴△ FNC∽△ PGF，∴FG：PG： PF＝NC： FN：FC＝3：4：5，设 FG＝3m，则 PG＝4m， PF＝5m，∴GN＝PH＝ BH＝4﹣3m， HN＝5﹣（4﹣3m）＝1+3m＝ PG＝4m，解得： m＝1，∴PF＝5m＝5，∴PE＝PF+FE＝5+＝，故答案为：．三、解答题：（本大题共9 个小题，共78 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．解：（）﹣1+（π +1）0﹣2cos60°+＝ 2+1﹣ 2×+3＝ 3﹣ 1+3＝ 520．解：解①得： x≤4；解②得： x＞2；∴原不等式组的解集为2＜x≤ 10；∴原不等式组的所有整数解为3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、10．21．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ B＝∠ D，∠ BAD＝∠ BCD， AB＝CD，∵∠ DAF＝∠ BCE，∴∠ ABF＝∠ DCE，在△ ABF和△ CDE中，，∴△ ABF≌△ CDE（ ASA），∴BF＝DE．22．解：（ 1）设B种图书的单价为x 元，则 A 种图书的单价为 1.5 x元，依题意，得：﹣＝20，解得： x＝20，经检验， x＝20是所列分式方程的解，且符合题意，∴1.5 x＝ 30．答： A种图书的单价为30 元，B种图书的单价为20 元．（2） 30× 0.8 ×20+20× 0.8 × 25＝880（元）．答：共花费 880 元．23．解：（ 1）证明：∵AB、CD是⊙O的两条直径，∴OA＝OC＝ OB＝OD，∴∠ OAC＝∠ OCA，∠ ODB＝∠ OBD，∵∠ AOC＝∠ BOD，∴∠ OAC＝∠ OCA＝∠ ODB＝∠ OBD，即∠ ABD＝∠ CAB；（ 2）连接BC．∵AB是⊙ O的两条直径，∴∠ ACB＝90°，∵CE为⊙ O的切线，∴∠ OCE＝90°，∵B 是 OE的中点，∴BC＝OB，∵OB＝OC，∴△ OBC为等边三角形，∴∠ ABC＝60°，∴∠ A＝30°，∴BC＝AC＝4，∴OB＝4，即⊙ O的半径为4．24．解：（ 1）由题意知C等级的频数a＝8，则 C组对应的频率为8÷40＝ 0.2 ，∴ b＝1﹣（0.1+0.3+0.2+0.25）＝0.15，故答案为： 8、 0.15 ；（2）D组对应的频数为40× 0.15 ＝ 6，补全图形如下：（3）估计该校八年级学生视力为“E级”的有 400×0.25 ＝ 100（人）；（4）列表如下：男男女女男（男，男）（女，男）（女，男）男（男，男）（女，男）（女，男）女（男，女）（男，女）（女，女）女（男，女）（男，女）（女，女）得到所有等可能的情况有12 种，其中恰好抽中一男一女的情况有8 种，所以恰好选到 1 名男生和 1 名女生的概率＝．25．解：（ 1）∵点A（ 0， 8）在直线y＝﹣2x+b 上，∴﹣ 2× 0+b＝ 8，∴ b＝8，∴直线 AB的解析式为y＝﹣2x+8，将点 B（2， a）代入直线AB的解析式 y＝﹣2x+8中，得﹣2×2+8＝ a，∴a＝4，∴B（2，4），将 B（2，4）在反比例函数解析式y＝（x＞0）中，得k＝ xy＝2×4＝8；（ 2）①由（ 1）知，B（ 2， 4），k＝ 8，∴反比例函数解析式为y＝，当 m＝3时，∴将线段 AB向右平移3个单位长度，得到对应线段CD，∴D（2+3，4），即： D（5，4），∵ DF⊥x 轴于点 F，交反比例函数y＝的图象于点E，∴E（5，），∴DE＝4﹣＝， EF＝，∴＝＝；②如图，∵将线段AB向右平移 m个单位长度（ m＞0），得到对应线段CD，∴CD＝AB， AC＝BD＝ m，∵ A（0，8）， B（2，4），∴C（ m，8）， D（（ m+2，4），∵△ BCD是以 BC为腰的等腰三形，∴Ⅰ、当 BC＝ CD时，∴BC＝AB，∴点 B在线段 AC的垂直平分线上，∴m＝2×2＝4，Ⅱ、当 BC＝ BD时，∵ B（2，4）， C（ m，8），∴BC＝，∴＝ m，∴ m＝5，即：△ BCD是以 BC为腰的等腰三形，满足条件的m的值为4或5．26．解：（一）（ 1）结论：∠NAB＝∠MAC，BN＝MC．理由：如图 1 中，∵∠ MAN＝∠ CAB，∴∠ NAB+∠ BAM＝∠ BAM+∠MAC，∴∠ NAB＝∠ MAC，∵AB＝AC， AN＝AM，∴△ NAB≌△ MAC（ SAS），∴ BN＝CM．故答案为∠ NAB＝∠ MAC，BN＝ CM．（ 2）如图 2 中，①中结论仍然成立．理由：∵∠ MAN＝∠ CAB，∴∠ NAB+∠ BAM＝∠ BAM+∠MAC，∴∠ NAB＝∠ MAC，∵AB＝AC， AN＝AM，∴△ NAB≌△ MAC（ SAS），∴ BN＝CM．（二）如图 3 中，在A C上截取A N＝A Q，连接PN，作NH⊥B C于H，作AM⊥BC于M．1 111 1 1111∵∠C1A1B1＝∠ 1，PA Q∴∠ QAB＝∠ PAN，1 11∵A1A＝ A1P， A1B1＝AN，∴△ QAB≌△ PAN（ SAS），1 11∴B1Q＝ PN，∴当 PN的值最小时， QB的值最小，1在 Rt △A1B1M中，∵∠A1B1M＝60°，A1B1＝ 8，∴ A1M＝ A1B1?sin60°＝4，∵∠MAC B A C B A M1 1＝∠111﹣∠ 1 1＝ 75°﹣ 30°＝ 45°，∴A1C1＝4，∴ NC＝ AC ﹣A N＝4﹣8，1 1 11在 Rt △NHC，∵∠C＝ 45°，11∴＝4﹣ 4 ，NH根据垂线段最短可知，当点P 与H重合时，的值最小，PN∴1的最小值为 4 ﹣4．QB27．解：（ 1）将A（﹣ 4， 0）、B（﹣ 1，3）代入y＝ax2+bx中，得解得∴抛物线 C解析式为： y＝﹣ x2﹣4x，配方，得： y＝﹣ x2﹣4x＝﹣（ x+2）2+4，∴顶点为： G（﹣2，4）；（ 2）∵抛物线C绕点O旋转 180°，得到新的抛物线C′．∴新抛物线C′的顶点为： G′（2，﹣4），二次项系数为： a′＝1∴新抛物线C′的解析式为：y＝（ x﹣2）2﹣4＝ x2﹣4x将 A（﹣4，0）代入y＝ kx﹣中，得0＝﹣ 4k﹣，解得k＝，∴直线l解析式为y＝x﹣，2∵ D（ m，﹣ m﹣4m），∴直线 DO的解析式为y＝﹣（ m+4） x，由抛物线 C与抛物线 C′关于原点对称，可得点D、 E 关于原点对称，2∴ E（﹣ m， m+4m）如图 2，过点D作DH∥y轴交直线l 于 H，过 E 作 EK∥y 轴交直线 l 于 K，则 H（m，m﹣）， K（﹣ m， m﹣），222m﹣）＝∴ DH＝﹣ m﹣4m﹣（m﹣）＝﹣m m+， EK＝ m+4m﹣（2m+，m+∵DE＝2EM∴＝，∵DH∥y 轴， EK∥ y轴∴ DH∥EK∴△ MEK∽△ MDH∴＝＝，即 DH＝3EK22m+）∴﹣ m m+＝3（ m+解得：1＝﹣ 3，2＝，m m∵ m＜﹣2∴ m的值为：﹣3；（ 3）由（ 2）知：m＝﹣ 3，∴ D（﹣3，3），E（3，﹣3）， OE＝3，222＝1822如图 3，连接BG，在△ABG中，∵AB＝（﹣ 1+4） +（ 3﹣0）， BG＝2，AG＝20 222∴ AB+BG ＝AG∴△ ABG是Rt△，∠ ABG＝90°，∴ tan ∠GAB＝＝＝，∵∠ DEP＝∠ GAB∴ tan ∠DEP＝ tan ∠GAB＝，在 x 轴下方过点 O作 OH⊥OE，在 OH上截取 OH＝OE＝，过点E 作⊥轴于，连接交抛物线C于点，点P即为所求的点；ET y T EH P∵E（3，﹣3），∴∠ EOT＝45°∵∠ EOH＝90°∴∠ HOT＝45°∴H（﹣1，﹣1），设直线 EH解析式为 y＝ px+q，则，解得∴直线 EH解析式为 y＝﹣ x ，解方程组，得，，∴点 P的横坐标为：或．。