绝对值不等式解法问题—7大类型专题

绝对值不等式解法问题—7大类型类型一：形如型不等式解法:根据的符号，准确的去掉绝对值符号，再进一步求解.这也是其他类型的解题基础.1、当时，或2、当，无解使的解集3、当时，，无解使成立的的解集.例1不等式的解集为（）A. B.C. D.解：因为，所以.即，解得：，所以，故选A.类型二：形如型不等式解法：将原不等式转化为以下不等式进行求解：或需要提醒一点的是，该类型的不等式容易错解为：例2 不等式的解集为（）A． B.C． D.解：或或，故选D类型三：形如，型不等式，这类不等式如果用分类讨论的方法求解，显得比较繁琐，其简洁解法如下解法：把看成一个大于零的常数进行求解，即：，或例3设函数，若，则的取值范围是解：，故填：.类型四：形如型不等式解法：可以利用两边平方，通过移项，使其转化为：“两式和”与“两式差”的积的方法进行，即：例4不等式的解集为解：所以原不等式的解集为类型五：形如型不等式解法：先利用绝对值的定义进行判断，再进一步求解，即：，无解例5解关于的不等式解：（1）当时，原不等式等价于：（2）当时，原不等式等价于：（3）当时，原不等式等价于：或或综上所述（1）当时，原不等式的解集为：（2）当时，原不等式的解集为：（3）当时，原不等式的解集为：类型六：形如使恒成立型不等式. 解法：利用和差关系式：，结合极端性原理即可解得，即：；；例6不等式对任意的实数恒成立，则实数a 的取值范围是（）A． B.C. D.解：设函数所以而不等式对任意的实数恒成立故，故选择A类型七：形如，，1、解法：对于解含有多个绝对值项的不等式，常采用零点分段法，根据绝对值的定义分段去掉绝对值号，最后把各种情况综合得出答案，其步骤是：找出零点，确定分段区间；分段求解，确定各段解集；综合取并，去掉所求解集，亦可集合图像进行求解.例7解不等式分析：找出零点：确定分段区间：解：（1）当时，原不等式可化为：解得：因为，所以不存在（2）当时，原不等式可化为：解得：又因为，所以（3）当时，原不等式可化为：，解得：又，所以综上所述，原不等式的解集为：2、特别地，对于形如，型不等式的解法，除了可用零点分段法外，更可转化为以下不等式，即：或例8设函数（1）若，解不等式（2）如果求的范围解：（1）当由得：即：或解得：，即：或故不等式的解集为：（2）由得：即：或即：或因为恒成立，来自QQ群339444963所以成立，解得：或故的取值范围为：绝对值不等式一直是高中教学中的一个难点，我们通过化归思想将其进行等价变换，从而避免了繁琐的讨论，减小了运算量，以上所介绍的七种类型的含有绝对值的不等式总体上囊括了近几年高考中有关的题目，当然方法可能并不为一，在解决此类问题的时候很多人也比较喜欢使用数形结合的方法来处理，这其实也体现了数学形式多样化的统一美.方法是多种多样的，只是无论多么优秀的方法最终也是用来解题的工具，如果我们仅仅是停留在最求方法的多样化而忽略了数学的本质——思想，那么就有点得不偿失了.数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础，在高考和数学竞赛中都占有十分重要的地位，数列求和问题是数列的基本内容之一，也是高考命题的热点和重点。

由于数列求和问题题型多样，技巧性也较强，以致成为数列的一个难点。

鉴于此，下面就数列求和问题的常见解题策略作一归纳，供广大师生参考。

1、公式法求和若所给数列的通项是关于n的多项式，此时可采用公式法求和，利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法之一。

常用求和公式列举如下：等差数列求和公式：，等比数列求和公式：自然数的方幂和：k3=13+23+33++n3= n2 (n+1)2，k=1+2+3+ +n= n(n+1)，k2=12+22+32++n2= n(n+1)(2 n+ 1)例1已知数列，其中，记数列的前项和为，数列的前项和为，求。

解：由题意，是首项为，公差为的等差数列前项和，2、错位相减法求和若数列的通项公式为，其中，中有一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q，然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。

它在推导等比数列的前n项和公式时曾用到的方法。

例2已知当时，求数列的前n项和；解：当时，．由题可知，{}的通项是等差数列{}的通项与等比数列{}的通项之积，这时数列的前项和．①①式两边同乘以，得②①式减去②式，得若，，若，3、反序相加法求和将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个，S n表示从第一项依次到第n项的和，然后又将S n 表示成第n项依次反序到第一项的和，将所得两式相加，由此得到S n的一种求和方法。

也称倒写相加法，这是在推导等差数列的前n项和公式时曾用到的方法.例3设，利用课本中推导等差数列的前项和的公式的方法，可求得的值为：解：因为f（x）=，∴f（1－x）=∴f（x）+f（1－x）=.设S=f（－5）+f（－4）+…+f（6），则S=f（6）+f（5）+…+f（－5）∴2S=（f（6）+f（－5））+（f（5）+f（－4））+…+（f（－5）+…f （6））=6∴S=f（－5）+f（－4）+…+f（0）+…+f（6）=3.4、拆项重组求和.有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，能分为几个等差、等比或常见的数列的和、差，则对拆开后的数列分别求和，再将其合并即可求出原数列的和．也称分组求和法.例4求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.解：设∴＝将其每一项拆开再重新组合得：S n＝＝＝＝5、裂项相消法求和有些数列求和的问题，可以对相应的数列的通项公式加以变形，将其写成两项的差，这样整个数列求和的各加数都按同样的方法裂成两项之差，其中每项的被减数一定是后面某项的减数，从而经过逐项相互抵消仅剩下有限项，可得出前项和公式．这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用，也称为分裂通项法。

它适用于型（其中{}是各项不为0的等差数列，c为常数）、部分无理数列、含阶乘的数列等。

常见拆项公式有：；；；；；；；等例5设数列的前项的和，，令，，求解：由题意得：（其中n为正整数）所以：。

6、并项求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求和。

例6设数列的首项为，前项和满足关系式：设数列的公比为，作数列使，求和：b1b2－b2b3+b3b4－b4b5…+b2nb2n－b2n b2n+1.－1解:由题意知为等比数列，得，故=，故：b n=，可知{b2n－1}和{b2n}是首项分别为1和，公差均为的等差数列。

于是b1b2－b2b3+b3b4－b4b5+…+b2n－1b2n－b2n b2n+1=b2（b1－b3）+b4（b3－b5）+b6（b5－b7）+…+b2n（b2n－1+b2n+1）=－（b2+b4+…+b2n）=－=－（2n2+3n）7、累加法给出数列｛｝的递推式和初始值，若递推式可以巧妙地转化为型，可以考虑利用累加法求和，此法也叫叠加法。

例7数列的前项和为，已知，求解：由得：，即，，对成立。

由，，…，累加得：，又，所以，当时，也成立8多法并取求和根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，它通常集分组、裂项、公式求和于一体，是一个解决综合性数列求和的重要途径.例8已知数列{a n}：的值.解：∵＝＝∴＝＝求解参数的取值范围是一类常见题型．近年来在各地的模拟试题以及高考试题中更是屡屡出现．学生遇到这类问题，较难找到解题的切入点和突破口，下面介绍几种解决这类问题的策略和方法．一、确定“主元”思想常量与变量是相对的，一般地，可把已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量．例1.对于满足0的一切实数，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，求x的取值范围．分析：习惯上把x当作自变量，记函数y= x2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当p时y>0恒成立，求x的范围．解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是相当复杂的．若把x 与p两个量互换一下角色，即p视为变量，x为常量，则上述问题可转化为在[0,4]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题．解：设f(p)=(x-1)p+x2-4x+3，当x=1时显然不满足题意．由题设知当0时f(p)>0恒成立，∴f(0)>0,f(4)>0即x2-4x+3>0且x2-1>0，解得x>3或x<-1．∴x的取值范围为x>3或x<-1．二、分离变量对于一些含参数的不等式问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行分离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。

例2．若对于任意角总有成立，求的范围．分析与解：此式是可分离变量型，由原不等式得，又，则原不等式等价变形为恒成立．根据边界原理知，必须小于的最小值，这样问题化归为怎样求的最小值．因为即时，有最小值为0，故．评析：一般地,分离变量后有下列几种情形：①f(x)≥g(k) [f(x)]min≥g(k)②f(x)> g(k) g(k) < [f(x)] min③f(x)≤g(k) [f(x)] max≤g(k)④f(x)<g(k) [f(x)] max < g(k)三、数形结合对于含参数的不等式问题，当不等式两边的函数图象形状明显，我们可以作出它们的图象，来达到解决问题的目的．例3．设，若不等式恒成立，求a的取值范围．分析与解：若设函数，则，其图象为上半圆．设函数，其图象为直线．在同一坐标系内作出函数图象如图，依题意要使半圆恒在直线下方，只有圆心到直线的距离且时成立，即a的取值范围为．四、分类讨论当不等式中左、右两边的函数具有某些不确定因素时，应用分类讨论的方法来处理，分类讨论可使原问题中的不确定因素变成确定因素，为问题的解决提供新的条件。

例4．当时，不等式恒成立，求a的取值范围．解：（1）当时，由题设知恒成立，即，而∴解得（2）当时，由题设知恒成立，即，而∴解得．∴a的取值范围是．五、利用判别式当问题可化为一元二次不等式在实数集上恒成立的问题，可用判别式来求解．例5．不等式，对一切恒成立，求实数的取值范围.解：∵在R上恒成立，∴，R∴，解得故实数的取值范围是.一般地二次函数f(x)=ax2+bx+c恒正，f(x)=ax2+bx+c恒负.六、构造函数构造出函数，通过对函数性质的研究，来达到解决问题的目的．例6．已知不等式对于一切大于1的自然数都成立，求实数的取值范围．分析：注意到不等式仅仅左边是与有关的式子，从函数的观点看，左边是关于的函数，要使原不等式成立，即要求这个函数的最小值大于右式．如何求这个函数的最小值呢？这又是一个非常规问题，应该从研究此函数的单调性入手．解：设,N∴是关于N的递增函数，则=.∴要使不等式成立，只须，解之得.∴实数的取值范围是．以上介绍了求参数的取值范围问题的处理方法，在具体解题中可能要用到两种或两种以上的方法，应灵活处理．数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础，在高考和数学竞赛中都占有十分重要的地位，数列求和问题是数列的基本内容之一，也是高考命题的热点和重点。