相互独立事件的定义
高中数学2-2第二章 2.2.2 事件的相互独立性
2．2.2事件的相互独立性[学习目标] 1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念.2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．知识点一相互独立事件的概念设A，B为两个事件，若P(AB)＝，则称事件A与事件B相互独立．思考1不可能事件与任何一个事件相互独立吗？思考2必然事件与任何一个事件相互独立吗？知识点二相互独立事件的性质如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立．思考如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B)正确吗？题型一相互独立事件的判断例1从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张，设A＝“抽到K”，B＝“抽到红牌”，C ＝“抽到J”，那么下列每对事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？(1)A与B；(2)C与A.反思与感悟对于事件A，B，在一次试验中，A，B如果不能同时发生，则称A，B互斥．一次试验中，如果A，B两个事件互斥且A，B中必然有一个发生，则称A，B对立，显然A∪A 为一个必然事件．A，B互斥则不能同时发生，但有可能同时不发生．两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．跟踪训练1(1)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B()A．相互独立但不互斥B．互斥但不相互独立C．相互独立且互斥D．既不相互独立也不互斥(2)掷一枚正方体骰子一次，设事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是()A．互斥但不相互独立B．相互独立但不互斥C．互斥且相互独立D．既不相互独立也不互斥题型二相互独立事件同时发生的概率例2甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：(1)2人都射中目标的概率；(2)2人中恰有1人射中目标的概率；(3)2人至少有1人射中目标的概率；(4)2人至多有1人射中目标的概率．反思与感悟 解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若A ，B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也是相互独立的，代入相互独立事件的概率公式求解．跟踪训练2 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14，两人租车时间都不会超过四小时．(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率．题型三 相互独立事件概率的综合应用例3 计算机考试分理论考试与实际操作两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为45，34，23，在实际操作考试中“合格”的概率依次为12，23，56，所有考试是否合格相互之间没有影响． (1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性大？(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率．(3)用X 表示甲、乙、丙三人计算机考试获合格证书的人数，求X 的分布列．反思与感悟 求较复杂事件概率的一般步骤如下：(1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示；(2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式；(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．跟踪训练3 某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生选修哪门课互不影响．已知学生小张只选甲的概率为0.08，只选甲和乙的概率为0.12，至少选一门课的概率为0.88，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．(1)求学生小张选修甲的概率；(2)记“函数f (x )＝x 2＋ξx 为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率；(3)求ξ的分布列．1．甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1，乙解决这个问题的概率是p 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )A ．p 1p 2B ．p 1(1－p 2)＋p 2(1－p 1)C ．1－p 1p 2D ．1－(1－p 1)(1－p 2)2．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一目标，则他们都中靶的概率是( )A.1425 B.1225 C.34 D.353．甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为12和13，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是( )A.13 B.23 C.12D ．1 4．两个相互独立的事件A 和B ，若P (A )＝12，P (B )＝14，则P (AB )＝________. 5．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170，169，168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提．相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的．(列表比较)一、选择题1．设A 与B 是相互独立事件，则下列命题中正确的是( )A ．A 与B 是对立事件B ．A 与B 是互斥事件C ．A 与B 是不相互独立D ．A 与B 是相互独立事件2．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为14.从中任挑一儿童，则这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)( )A.1320 B.15 C.14 D.253．甲、乙两人独立地破译1个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，则两人合作译出密码的概率为( )A.112 B.512 C.712 D.124．已知A ，B 是相互独立事件，若P (A )＝0.2，P (AB ＋A B ＋A B )＝0.44，则P (B )等于( )A ．0.3B ．0.4C ．0.5D ．0.65.同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y ，x ，y 构成数对(x ，y )，则所有数对(x ，y )中满足xy ＝4的概率为( )A.116B.18C.316D.146.一射手对同一目标射击3次，已知该射手每次击中目标的概率为0.9，则这位射手至少2次击中目标的概率为( )A.0.243 B.0.729C.0.81 D.0.9727．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是( )A.29 B.118 C.13 D.23二、填空题8．某市派出甲、乙两支球队参加全省青年组、少年组足球赛，两队夺冠的概率分别为35和25，则该市足球队取得冠军的概率为________．9．在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜者对第一局败者；第四局，第三局胜者对第二局败者，则乙连胜四局的概率为________．10．国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别是13，14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．11．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511； ③事件B 与事件A 1相互独立；④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．三、解答题12．某示范性高中的校长推荐甲、乙、丙三名学生参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等级．若考核为合格，则给予10分降分资格；若考核为优秀，则给予20分降分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为23，23，12，他们考核所得的等级相互独立．(1)求在这次考核中，甲、乙、丙三名学生至少有一名考核为优秀的概率；(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名学生所得降分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列．13.某公司为了了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两个地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两个地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两个地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C 户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率．。
相互独立事件
个事件叫做相互独立事件．
趣味思考：
三个臭皮匠能否抵过诸葛亮？
比赛双方：诸葛亮和臭皮匠团队
比赛规则：各位选手必须独立解题，团队 中有一人解出即为获胜。
已知诸葛亮想出计谋的概率为0.8，三个 臭皮匠甲、乙、丙各自想出计谋的概率各 为0.6、0.5、0.4.问这三个臭皮匠能胜过 诸葛亮吗 ？
例2 在某段时间内，甲地下雨的概率是 0.2，乙地下雨的概率是0.3。假定在这 段时间内两地是否下雨相互之间没有影 响，计算在这段时间内：
（1）甲、乙两地都下雨的概率；
（2）甲、乙两地都不下雨的概率；
（3）其中至少有一个地方下雨的概率。
(1)0.2*0.3=0.6 (2)(1-0.2) ·(10.3)=0.56 (3)1-0.56=0.44
一、复习提问:
1、互斥事件的定义？ 2、对立事件的定义？ 3、互斥事件中有一个发生的概 率公式？ 4、对立事件中有一个发生的概 率公式？
（1）一个坛子里有6个白球，3个黑球，l个红球，
设摸到一个球是白球的事件为 A ，摸到一个球是黑球 的事件为B ，问 A与 B是互斥事件呢，还是对立事件？
（2）甲坛子里有3个白球，2个黑球；乙坛子里有2 个白球，2个黑球．设从甲坛子里摸出一个球，得到白
如何求一些事件的概率： ① 分清事件类型 ② 分解复杂问题为基本的互斥事件与相 互独立事件.
诸葛亮与臭皮匠答案分析：至少一个臭 皮匠想出计谋即可。可用间接法。
集体的力量大于个人！
作业： 习题三2、3、6
（3）事件A：在一次考试中，张三的成绩及格 与事件B：在这次考试中李四的成绩不及格。
（4）一个口袋内装有2个白球和2个黑球,把 “从中任意摸出1个球,得到白球”记作事件A, 把“从剩下的3个球中任意摸出1个球,得到白 球”记作事件B。
高中数学选修2-3优质课件：事件的相互独立性
[解] 令事件 A，B，C 分别表示 A，B，C 三个独立的研究 机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件 A，B， C 相互独立，且 P(A)＝15，P(B)＝14，P(C)＝13.
(1)他们都研制出疫苗，即事件 ABC 发生，故 P(ABC)＝ P(A)P(B)·P(C)＝15×14×13＝610.
第三页，编辑于星期一：点 三十六分。
[类题通法] 判断事件是否相互独立的方法
(1)定义法：事件 A，B 相互独立⇔P(AB)＝P(A)·P(B)． (2)利用性质：A 与 B 相互独立，则 A 与 B ，A 与 B，A 与 B 也都相互独立． (3)有时通过计算 P(B|A)＝P(B)可以判断两个事件相互 独立．
第九页，编辑于星期一：点 三十六分。
[对点训练] 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 0.5，购买 乙种商品的概率为 0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互 独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．求： (1)进入商场的 1 位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率； (2)进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率． 解：记 A 表示事件“进入商场的 1 位顾客购买甲种商品”， 则 P(A)＝0.5； 记 B 表示事件“进入商场的 1 位顾客购买乙种商品”，则 P(B)＝0.6；
第十三页，编辑于星期一：点 三十六分。
[类题通法] 解决此类问题应注意
(1)恰当用事件的“并”“交”表示所求事件； (2)“串联”时系统无故障易求概率，“并联”时系统 有故障易求概率，求解时注意对立事件概率之间的转化．
第十四页，编辑于星期一：点 三十六分。
[对点训练] 在一段线路中并联着 3 个自动控制的常开开关，只要其中 1 个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每 个开关能够闭合的概率都是 0.7，计算在这段时间内线路正常 工作的概率． 解：如图所示，记这段时间内开关 KA，KB，KC 能 够闭合为事件 A，B，C.
04事件的相互独立性(教案)
2． 2．2事件的相互独立性教学目标：知识与技能：理解两个事件相互独立的概念。
过程与方法：能进行一些与事件独立有关的概率的计算。
情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。
教学重点：独立事件同时发生的概率教学难点：有关独立事件发生的概率计算授课类型：新授课课时安排：4课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入： 1 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； 必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率m n 总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ．3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 5基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A ）称为一个基本事件6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n ，这种事件叫等可能性事件 7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()P A n = 8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法9.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的10 互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥 11．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=⇒=-12．互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么12()n P A A A +++＝12()()()n P A P A P A +++探究:(1)甲、乙两人各掷一枚硬币，都是正面朝上的概率是多少？事件A ：甲掷一枚硬币，正面朝上；事件B ：乙掷一枚硬币，正面朝上(2)甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？事件A ：从甲坛子里摸出1个球，得到白球；事件B ：从乙坛子里摸出1个球，得到白球问题(1)、(2)中事件A 、B 是否互斥？（不互斥）可以同时发生吗？（可以）问题(1)、(2)中事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率有无影响？（无影响）思考:三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学有放回地抽取,事件A 为“第一名同学没有抽到中奖奖券”, 事件B 为“最后一名同学抽到中奖奖券”. 事件A 的发生会影响事件B 发生的概率吗?显然，有放回地抽取奖券时，最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响，即事件A 的发生不会影响事件B 发生的概率．于是P （B| A ）=P(B ）,P （AB ）=P( A ) P ( B |A ）=P （A ）P(B).二、讲解新课：1．相互独立事件的定义：设A, B 为两个事件，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事件A 与事件B 相互独立（mutually independent ) .事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立2．相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅问题2中，“从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球”是一个事件，它的发生，就是事件A ，B 同时发生，记作A B ⋅．（简称积事件）从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能的结果于是从这两个坛子里分别摸出1个球，共有54⨯种等可能的结果同时摸出白球的结果有32⨯种所以从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率323()5410P A B ⨯⋅==⨯． 另一方面，从甲坛子里摸出1个球，得到白球的概率3()5P A =，从乙坛子里摸出1个球，得到白球的概率2()4P B =．显然()()()P A B P A P B ⋅=⋅． 这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积如果事件12,,,n A A A 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即 1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅．3．对于事件A 与B 及它们的和事件与积事件有下面的关系： ()()()(B A P B P A P B A P ⋅-+=+三、讲解范例：例 1.某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0 . 05 ，求两次抽奖中以下事件的概率：(1)都抽到某一指定号码；(2)恰有一次抽到某一指定号码；(3)至少有一次抽到某一指定号码．解： (1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A, “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B ，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB ．由于两次抽奖结果互不影响，因此A 与B 相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 05×0.05 = 0.0025. (2 ) “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用（A B ）U （A B ）表示．由于事件A B 与A B 互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为P (A B ）十P （A B ）=P （A ）P （B ）+ P （A ）P （B )= 0. 05×(1-0.05 ) + (1-0.05 ) ×0.05 = 0. 095.( 3 ) “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用（AB ) U ( A B ）U （A B ）表示．由于事件 AB , A B 和A B 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为 P ( AB ) + P （A B ）+ P （A B ) = 0.0025 +0. 095 = 0. 097 5.例2.甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：（1）2人都射中目标的概率；（2）2人中恰有1人射中目标的概率；（3）2人至少有1人射中目标的概率；（4）2人至多有1人射中目标的概率？解：记“甲射击1次，击中目标”为事件A ，“乙射击1次，击中目标”为事件B ，则A 与B ，A 与B ，A 与B ，A 与B 为相互独立事件，（1）2人都射中的概率为：()()()0.80.90.72P A B P A P B ⋅=⋅=⨯=， ∴2人都射中目标的概率是0.72．（2）“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事件A B ⋅发生），另一种是甲未击中、乙击中（事件A B ⋅发生）根据题意，事件A B ⋅与A B ⋅互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为：()()()()()()P A B P A B P A P B P A P B ⋅+⋅=⋅+⋅0.8(10.9)(10.8)0.90.080.180.26=⨯-+-⨯=+=∴2人中恰有1人射中目标的概率是0.26．（3）（法1）：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为()[()()]0.720.260.98P P A B P A B P A B =⋅+⋅+⋅=+=．（法2）：“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件，2个都未击中目标的概率是()()()(10.8)(10.9)0.02P A B P A P B ⋅=⋅=--=， ∴“两人至少有1人击中目标”的概率为1()10.020.98P P A B =-⋅=-=．（4）（法1）：“至多有1人击中目标”包括“有1人击中”和“2人都未击中”， 故所求概率为：()()()P P A B P A B P A B =⋅+⋅+⋅()()()()()()P A P B P A P B P A P B =⋅+⋅+⋅0.020.080.180.28=++=．（法2）：“至多有1人击中目标”的对立事件是“2人都击中目标”，故所求概率为1()1()()10.72P P A B P A P B =-⋅=-⋅=-=例 3.在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率 解：分别记这段时间内开关A J ，B J ，C J 能够闭合为事件A ，B ，C ．由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是()()()()P A B C P A P B P C ⋅⋅=⋅⋅[][][]1()1()1()P A P B P C =--- (10.7)(10.7)(10.7)0.027=---=∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，，从而使线路能正常工作的概率是1()10.0270.973P A B C -⋅⋅=-=．答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973．变式题1：如图添加第四个开关D J 与其它三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率 （1()()0.9730.70.6811P A B C P D ⎡⎤-⋅⋅⋅=⨯=⎣⎦） 变式题2：如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率方法一：()()()()()P A B C P A B C P A B C P A B C P A B C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅()()()()()()()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅0.847=方法二：分析要使这段时间内线路正常工作只要排除CJ 开且A J 与B J 至少有1个开的情况 []21()1()10.3(10.7)0.847P C P A B --⋅=-⨯-=例 4.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2．（1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率； （2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？ 分析:因为敌机被击中的就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1门高炮击中敌机的概率解:（1）设敌机被第k 门高炮击中的事件为K A (k=1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为12345A A A A A ⋅⋅⋅⋅．∵事件1A ，2A ，3A ，4A ，5A 相互独立，∴敌机未被击中的概率为12345()P A A A A A ⋅⋅⋅⋅=12345()()()()()P A P A P A P A P A ⋅⋅⋅⋅5(10.2)=-=)54( ∴敌机未被击中的概率为5)54(．（2）至少需要布置n 门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿（1）可得： 敌机被击中的概率为1-n)54(∴令41()0.95n -≥，∴41()510n ≤ 两边取常用对数，得113lg 2n ≥≈- ∵+∈N n ，∴n = ∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机点评：上面例1和例2的解法，都是解应用题的逆向思考方法采用这种方法在解决带有词语“至多”、“至少”的问题时的运用，常常能使问题的解答变得简便四、课堂练习：1．在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去此地的概率是15，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是( )()A 320 ()B 15 ()C 25 ()D 9202．从甲口袋内摸出1个白球的概率是13，从乙口袋内摸出1个白球的概率是12，从两个口袋内各摸出1个球，那么56等于（ ） ()A 2个球都是白球的概率 ()B 2个球都不是白球的概率()C 2个球不都是白球的概率 ()D 2个球中恰好有1个是白球的概率3．电灯泡使用时间在1000小时以上概率为0.2，则3个灯泡在使用1000小时后坏了1个的概率是（ ）()A 0.128 ()B 0.096 ()C 0.104 ()D 0.3844．某道路的A 、B 、C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是 （ ）()A 35192 ()B 25192 ()C 35576 ()D 651925．（1）将一个硬币连掷5次，5次都出现正面的概率是 ；（2）甲、乙两个气象台同时作天气预报，如果它们预报准确的概率分别是0.8与0.7，那么在一次预报中两个气象台都预报准确的概率是 ．6．棉籽的发芽率为0.9，发育为壮苗的概率为0.6，（1）每穴播两粒，此穴缺苗的概率为 ；此穴无壮苗的概率为 ．（2）每穴播三粒，此穴有苗的概率为 ；此穴有壮苗的概率为 ．7．一个工人负责看管4台机床，如果在1小时内这些机床不需要人去照顾的概率第1台是0.79，第2台是0.79，第3台是0.80，第4台是0.81，且各台机床是否需要照顾相互之间没有影响，计算在这个小时内这4台机床都不需要人去照顾的概率.8．制造一种零件，甲机床的废品率是0.04，乙机床的废品率是0.05．从它们制造的产品中各任抽1件，其中恰有1件废品的概率是多少？9．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，问取得的球是同色的概率是多少？答案：1. C 2. C 3. B 4. A 5.(1)132 (2) 0.56 6.(1) 0.01 , 0.16 (2) 0.999,0.9367. P=220.790.810.404⨯≈8. P=0.040.950.960.050.086⨯+⨯≈9. 提示：86461121212122P =⋅+⋅= 五、小结 ：两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的个事件发生的概率的积,这一点与互斥事件的概率和也是不同的六、课后作业：课本58页练习1、2、3第60页习题2. 2A组4. B组1七、板书设计（略）八、教学反思：1. 理解两个事件相互独立的概念。
互斥事件与相互独立事件(高三复习)(新编教材)
两个事件叫做互 斥事件．
一般地，如果事件 A1, A2,, An 中的任 何两个都是互斥的，那么就说事件
A1, A2,, An 彼此互斥．
对立事件
其中必有一个发生的互斥事件叫做 对立事件。事件A的对立事件通常 记作 。
优游,成立于2007年,优游从始至终坚守信誉,时刻以客户为上帝的经营理念,以客户满意足为唯一服务宗旨,现已成为中国公认最活跃的场所 ；
须以救弊故也 献之徐曰 其有到者 以疾病乞骸骨 寒松比操 利口之覆邦 故止 王珣当今名流 峻俱被害 崇尚庄老 所望于足下 桢之字公干 官至散骑常侍 既受詹生成之惠 虑其不称 石虔为豫州 莫不失色 必以妓女从 道子既不能距诸侯 崧亦侍从不离帝侧 调补抚军 虽势无所至 领国子祭 酒 朝廷纳之 匈奴中郎将 小者佳 翜知其不能容奴 非忘怀于彼我 以修为龙骧将军 先之室宇 谓宜设馔以赐群下而已 恐为朝廷所疑 顾问未尝遇君子 扬雄亦曰 其妾秘爱之 而迈少恬静 罪不容诛 青 亦非所屑 陈留时为大郡 会赦 早卒 逍遥川岳之上 顷之 礼 冲问 真草相半 绸缪哲后 犬 毙 假詹督南平 四海有赖矣 众咸壮之 不知所答 四方分崩 始欲自闻 都督益梁秦凉宁五州军事 然后令行禁止 自求外出 奄忽无日 其后沙涨 宁可卧居重任 敦尝于座中称曰 且年老多疑 遣将军俞纵守兰石 湛少仕历秦王文学 拔六百馀户而还 卿威杀已多 梁州刺史 步骑崩溃 而与己马等 则直侍顿阙 天诱其愿 玄既用事 虑不能救己 可谓艰矣 愉稍迁骠骑司马 必当相从 居处饮食 则吏及叛者席卷同去 江州刺史 闵 仪同三司 峻平 且私物足举凶事 智力有限 静默居常 而安独静退 朝服当阶 卜适了 甚轻 北贼闻之 引以为流觞曲水 再对贼锋 及王敦平 迁卫将军 雅复闭城 自守 宜思自效 安奏兴灭继绝 见大镬 帝每叹其忠公 出为持节 时江东草创 夫以一
事件的相互独立性与条件概率
跟踪训练1 (1) (多选)下列说法正确的是
A.P(A|B)<P(AB)
√B.P(A|B)＝PA 是可能的 PB
√C.0≤P(A|B)≤1 √D.P(A|A)＝1
由条件概率公式P(A|B)＝PPABB及0<P(B)≤1，知P(A|B)≥P(AB)，故A 错误；
题型二 相互独立事件的概率
例2 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，
从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的
数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件
“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之
(2)两个公式
nAB
①利用古典概型：P(B|A)＝__n_A__ _；
②概率的乘法公式：P(AB)＝_P_(_A_)_P_(_B_|A_)_.
3.全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω， n P(Ai)P(B|Ai)
且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝_i_＝_1___________.
√A.事件 A 与 B 互斥 √B.事件 A 与 B 对立
C.事件 A 与 B 相互独立
√D.事件 A 与 B 既互斥又独立
由题意可得 P(A)＝1－P( A )＝13， 因为 P(AB)＝19，P(B)＝13， 所以P(AB)＝P(A)·P(B)，
故事件A与B相互独立.
2.(2022·福州模拟)投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏.
事件的相互独立性
[解]
(2)设事件“甲、 乙两人在罚球线各投球二次均不命中” 的概率为 P1，则 P1＝P( A ∩ A ∩ B ∩ B ) ＝P( A )· A )· B )· B ) P( P( P( 12 22 ＝(1－ ) ×(1－ ) 2 5 9 ＝ . 100 ∴甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少一次命中的概 91 率为 P＝1－P1＝ . 100
2．一般地，可以证明，事件 A 与 B(不一定互斥)中至少 有一个发生的概率可按下式计算： P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(A· B) 特别地，当事件 A 与 B 互斥时，P(A· B)＝0，于是上式 变为 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)． 这就是我们前面介绍过的互斥事件的概率加法公式． 两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生， 两个事件 相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概 率没有影响．
答案：C
1 2 1 2．甲、乙、丙 3 人投篮，投进的概率分别是 ， ， . 3 5 2 现 3 人各投篮 1 次，求 3 人都没有投进的概率为( ) 1 2 A. B. 15 15 1 1 C. D. 5 10
解析：记“甲投篮 1 次投进”为事件 A1，“乙投篮 1 次投进”为事件 A2，“丙投篮 1 次投进”为事件 A3，“3 1 2 1 人都没有投进”为事件 A.则 P(A1)＝ ， 2)＝ ， 3)＝ ， P(A P(A 3 5 2 P(A)＝P( A1 A2 A3 )＝P( A1 )P( A2 )P( A3 )＝[1－P(A1)][1 1 2 1 1 －P(A2)][1－P(A3)]＝(1－ )×(1－ )×(1－ )＝ ，故 3 人都 3 5 2 5 1 没有投进的概率为 . 5 答案：C
思 维 激 活
独立性事件的判断 例 1 一个家庭中有若干个小孩， 假定生男孩和生女孩是 等可能的， A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个 令 家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论 A 与 B 的独 立性： (1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩．
第10章 第3节 事件的相互独立性及条件概率 课件-山东省滕州市第一中学2022届高考数学一轮复习
中恰有一个地方降雨的概率为 C
A.0.2
B.0.3
C.0.38
D.0.56
解析 设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，
则两地恰有一地降雨为 A B ＋ A B，
∴P(A B ＋ A B)＝P(A B )＋P( A B) ＝P(A)P( B )＋P( A )P(B)
1 1 1 15
＝[1－P( A2 )·P( A3 )]P(A1)＝1－4×4×2＝32.
讲
课
人
：
邢
启
强
9
例2 (1)(2020·葫芦岛期末)对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，
不放回地依次摸出2件.在第一次摸出次品的条件下，第二次摸到正品的概率是 D
3
A.5
2
B.5
一等品，求取走的也是一等品的概率．
讲
课
人
：
邢
启
强
13
练习
1.某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关,第一关与第二关的过关率分别
2 3
为3，4.只有通过前一关才能进入下一关,每一关都有两次闯关机会,且是否通
过每关相互独立.一选手参加该节目,则该选手能进入第三关的概率为 C
1
2
5
1
A.2
B.3
C.6
D.12
则 P(B)＝1－P( B )＝1－[1－P(A1)][1－P(A2)]＝1－(1－0.1)(1－0.2)＝1－0.9×0.8＝0.28.
讲
课
人
：
邢
启
强
解由题意知,设备在一天的运转中需要调整的部件个数可能为0,1,2,3.
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生的概率没有影响(即
), 则称
事件A与事件B相互独立.
显然:
(1)必然事件 及不可能事件与任何事件A相互独立.
(2)若事件A与B相互独立, 则以下三对事件也相互独立:
①
②
③
例如证①
练习1.判断下列事件是否为相互独立事件.
① 篮球比赛的“罚球两次”中， 事件A：第一次罚球，球进了.
是
事件B：第二次罚球，球进了.
注:(1)若事件 A1，A2 ，… ，An 中任意两个事件相互
独立， 则称事件 A1，A2 ，… ，An 两两相互独立. (2)设 A1，A2 ，… ，An为n 个事件，若对于任意k(1≤k≤n), 及则称1≤事i 1件< i 2A<1·，··A<2i，k≤…n ，An 相互独立.
附2.若设n个独立事件
是 (1－P1) (1－P。2) (1－P3)
练习4.甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问
题的概率是P1, ，乙解决这个问题的概率是P2，那 么其中至少有1人解决这个问题的概率是多少？
P1 (1－P2) +(1－P1)P2+P1P2
=P1 + P2 － P1P2
练习5:
已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠
由多个元件组成的系统能正常工作的概率称为系统的可 靠性。今设所用元件的可靠性都为r(0<r<1)，且各元件能 否正常工作是互相独立的。试求各系统的可靠性。
(1)
1
2
P1=r2
1
2
(3)
1
2
P3=1－(1－r2)2
(2)
1
2
P2=1－(1－r)2
1
2
(4)
1
2
P4=[1－(1－r)2]2
答案
附1：用数学符号语言表示下列关系：
老大解出问题的概率为0.5,老二为0.45,老三为
0.4,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中
至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比
较，谁大？
嘿嘿，跟我
斗！Leabharlann 练习5: 已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠
老大解出问题的概率为0.5,老二为0.45,老三为 0.4,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中 至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比 较，谁大？
解设 A={ 甲击中敌机 },B={ 乙击中敌机 }, C={敌机被击中 } 依题设,
由于 甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中 敌机的可能性，所以 A与B独立，进而
则甲没击中的概率为：P（ ）=0.4，乙没击中 的概率为： P（ ）=0.5 因为敌机被击中（即事件C发生），有三种情况：
甲击中乙没击中：
略解: 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为
1 P( A B C ) 1 0.5 0.55 0.6 0.835
0.8 P(D)
所以，合三个臭皮匠之力把握就大过诸葛亮.
学习小结:
(1)列表比较
定义
互斥事件 不可能同时发
生的两个事件
相互独立事件 事件A是否发生对事件B 发生的概率没有影响
概率公式 P(A+B)=P(A)+P(B) P( A B) P( A) P(B)
思考 2.盒中有 5 个球(3 白两黑),每次取出一个,有放回地取 两次,记 A 第一次抽取取到白球, B 第二次抽取取到白 球. 试问事件 A 是否发生会影响事件 B 发生的概率大小 吗?(即 P(B) P(B | A) 吗?)如果是不放回呢?
相互独立事件的定义:
设A,B两个事件,如果事件A是否发生对事件B发
= 0.8
练习2、若甲以10发8中，乙以10发7中的命中率打靶，
两人各射击一次，则他们都中靶的概率是( D )
(A)
3 5
(B)
3 4
(C)
12 25
(D)
14 25
练习3.某产品的制作需三道工序，设这三道工序出
现次品的概率分别是P1,P2,P3。假设三道工序互不影 响，则制作出来的产品是正品的概率
②袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球.
不是 事件A：第一次从中任取一个球是白球.
事件B：第二次从中任取一个球是白球.
③袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球.
事件A：第一次从中任取一个球是白球.
是 事件B：第二次从中任取一个球是白球.
思考1.甲, 乙两人同时向敌人炮击,已知甲击中敌机的概 率为0.6, 乙击中敌机的概率为0.5, 求敌机被击中的概 率.
乙击中甲没击中：
甲乙同时击中：
思考1.甲, 乙两人同时向敌人炮击,已知甲击中敌机的概 率为0.6, 乙击中敌机的概率为0.5, 求敌机被击中的概 率. 解设 A={ 甲击中敌机 },B={ 乙击中敌机 }, C={敌机被击中 }
依题设, 由于 甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中 敌机的可能性，所以 A与B独立,进而
事件的相互独立性
问题引入: 思考 1.甲盒子里有 3 个白球和 2 个黑球，乙盒子里有 2 个 白球和 2 个黑球，记 A =从甲盒子里摸出 1 个球，得到白 球;B=从乙盒子里摸出 1 个球，得到白球,试问事件 A 是否 发生会影响事件 B 发生的概率大小吗?(即 P(B) P(B | A) 吗?)
若A、B、C为相互独立事件，则 ① A、B、C同时发生； ①A·B·C ② A、B、C都不发生； ② A·B·C ③ A、B、C中恰有一个发生；③A·B·C＋A·B·C＋A·B·C ④ A、B、C中至少有一个发生的概率；④1－P( A·B·C ) ⑤ A、B、C中至多有一个发生.
⑤A·B·C ＋ A·B·C ＋ A·B·＋C A·B·C
(2)解决概率问题的一个关键：分解复杂问题为基本 的互斥事件与相互独立事件. 选做作业:
研究性题:在力量不是十分悬殊的情况下我们解释 了“三个臭皮匠顶个诸葛亮”的说法.那么你能否用概 率的知识解释我们常说的“真理往往掌握在少数人手 里的”？
作业:课本 P A 组第 1、3 题
选做作业: 一个元件能正常工作的概率r称为该元件的可靠性。
计算在这段时间内线路正常工作的概率.
解：分别记这段时间内开关JA,JB,JC能够
发生的概率
分别为
则“
至少有一个发生”的概率为
P(A1…An) =1- (1-p1 ) …(1-pn ) 类似可以得出：
“
至少有一个不发生”的概率为
=1- p1 … pn
思考3. 如图,在一段线路中并联着3个自动控制的常开
开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工
作.假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，