概率论中数学期望的概念
数学期望的原理及应用
数学期望的原理及应用数学期望是概率论中的一个基本概念，它描述了一个随机变量的平均水平或预期值。
具体地说，数学期望通过将随机变量的可能取值与相应的概率加权求和来计算。
数学期望的原理可以简单地表示为：对于一个离散型随机变量X，它的数学期望E(X)等于X每个可能取值xi乘以对应的概率p(xi)的累加和。
数学期望的计算公式可以表示为：E(X) = x1*p(x1) + x2*p(x2) + ... + xn*p(xn)其中，x1, x2, ..., xn为随机变量X所有可能的取值，p(x1), p(x2), ..., p(xn)为对应的概率。
对于连续型随机变量，数学期望的计算方法类似，只是将求和换成了求积分。
具体地说，对于一个连续型随机变量X，它的数学期望E(X)等于X在整个取值范围上的每个取值x乘以对应的概率密度函数f(x)的乘积的积分。
数学期望的计算公式可以表示为：E(X) = ∫x*f(x)dx数学期望的应用非常广泛，以下列举了一些常见的应用场景：1. 风险评估：数学期望可以用于评估风险，通过计算损失的数学期望来衡量风险的大小。
例如，在金融领域中，投资者可以通过计算股票的预期收益来评估投资的风险和回报。
2. 制定决策：数学期望可以帮助人们在面临多个选择时做出决策。
通过计算不同选择的数学期望，可以找出最具有潜在利益的选择。
3. 设计优化：数学期望可以帮助优化设计过程。
例如，在工程领域中，可以通过计算产品的预期性能来指导设计参数的选择和调整。
4. 分析：数学期望被广泛应用于分析中。
游戏参与者可以通过计算不同下注策略的数学期望来制定最终的下注策略。
5. 统计推断：数学期望是许多重要的统计量的基础，如方差、标准差等。
通过计算数学期望，可以进行更深入的统计分析和推断。
6. 优化调度：在运输和调度问题中，数学期望可以用来优化资源的分配和调度。
通过计算任务完成时间的数学期望，可以制定最优的任务调度策略。
总之，数学期望是概率论中一个重要的工具和概念，它可以帮助我们理解和分析随机现象，并在很多实际问题中发挥重要作用。
概率论第三章
一、数学期望的概念 二、数学期望的性质 三、应用实例
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§3.1
数学期望
一、数学期望的概念
1. 问题的提出 1654年, 一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒 约定赌若干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若在一 赌徒胜a局 (a<c), 另一赌徒胜b局(b<c)时便终止 赌博, 问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡, 帕 斯卡与费马通信讨论这一问题, 于1654 年共同 建立了概率论的第一个基本概念 — 数学期望
因而其数学期望E(X)不存在.
§3.2 数学期望的性质 一、性质
性质3.1 设C是常数, 则有ECC. 证
E X E C 1 C C . E CX CE X .
性质3.2 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有 证 E CX Cxk pk C xk pk CE X .
数学期望, 记为EX, 即
E X
xp x dx .
4. 数学期望不存在的实例
例3
设随机变量X的分布律为 1 PX n , n 1,2,, nn 1
求证: 随机变量X没有数学期望.
证 由定义, 数学期望应为
1 E X npn . n1 n 1 n 1
求EX, EY, E (Y / X ), E[( X Y )2 ]. 思考： X2的分布律？
例7 设随机变量X ~ N0,1, Y ~U0,1, Z~B5,0.5, 且X, Y, Z相互独立, 求随机变量W 2X+3Y4Z1
的数学期望.
常用分布的数学期望及方差
方差的性质
方差具有可加性
对于两个独立的随机变量X和Y，有Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)。
方差具有对称性
对于一个常数a和随机变量X，有Var(aX) = |a|^2 * Var(X)。
方差具有非负性
对于随机变量X，有Var(X) >= 0，其中 Var(X) = 0当且仅当X是一个常数。
05 数学期望与方差的应用
在统计学中的应用
描述性统计
数学期望和方差用于描述一组数据的中心趋势和 离散程度，帮助我们了解数据的基本特征。
参数估计
通过样本数据的数学期望和方差，可以对总体参 数进行估计，如均值和方差的无偏估计。
假设检验
在假设检验中，数学期望和方差用于构建检验统 计量，判断原假设是否成立。
常见分布的数学期望
均匀分布的数学期望为
$E(X) = frac{a+b}{2}$，其中a和b是均匀分布的下限和上 限。
柯西分布的数学期望为
$E(X) = frac{pi}{beta} sinh(frac{1}{beta})$，其中β是柯西 分布的参数。
拉普拉斯分布的数学期望为
$E(X) = frac{beta}{pi} tan(frac{pi}{beta})$，其中β是拉普 拉斯分布的参数。
03
泊松分布
正态分布是一种常见的连续型随机变量 分布，其方差记作σ²。正态分布的方差 描述了随机变量取值的分散程度。
二项分布是一种离散型随机变量分布， 用于描述在n次独立重复的伯努利试验 中成功的次数。其方差记作σ²，且σ² = np(1-p)，其中n是试验次数，p是单次 试验成功的概率。
泊松分布是一种离散型随机变量分布， 用于描述在一段时间内随机事件发生的 次数。其方差记作σ²，且σ² = λ，其中 λ是随机事件发生的平均速率。
概率的分布与期望
概率的分布与期望概率是一种描述事件发生可能性的数学工具，而概率的分布与期望则是概率论中重要的概念之一。
本文将介绍概率分布和期望的概念及其与实际问题的应用。
一、概率分布概率分布是描述一个随机变量所有可能取值及其对应概率的函数。
常见的概率分布包括离散概率分布和连续概率分布。
1.离散概率分布离散概率分布用于描述随机变量取有限或可数多个值的概率情况。
其中最常见的是二项分布和泊松分布。
二项分布是一种重要的离散概率分布，用于描述n次独立重复试验中成功次数的概率分布。
在二项分布中，每次试验有两种可能的结果，成功或失败，成功的概率为p，失败的概率为1-p。
其概率质量函数为P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，其中X为成功次数，k为取值范围内的一个值，C(n,k)表示组合数。
泊松分布用于描述在一定时间或空间内，事件发生的次数的概率分布。
泊松分布的概率质量函数为P(X=k)=(λ^k * e^-λ)/k!，其中X为事件发生次数，k为取值范围内的一个值，λ为事件发生的平均次数。
2.连续概率分布连续概率分布用于描述随机变量在一定区间内取值的概率情况。
其中最常见的是均匀分布、正态分布和指数分布。
均匀分布是一种简单的连续概率分布，它的概率密度函数在取值范围内是常数。
均匀分布的概率密度函数为f(x)=1/(b-a)，其中a为最小值，b为最大值。
正态分布（高斯分布）是一种常见的连续概率分布，广泛应用于自然和社会科学领域。
正态分布的概率密度函数为f(x)=(1/√(2πσ^2))*e^((x-μ)^2/(2σ^2))，其中μ为均值，σ为标准差。
指数分布用于描述事件发生的时间间隔的概率分布，如等待时间、生命周期等。
指数分布的概率密度函数为f(x)=λ*e^(-λx)，其中λ为每单位时间发生事件的平均次数。
二、期望期望是一个概率分布的数学期望，用于描述随机变量的平均值。
期望可以看作是随机变量在大量重复实验中出现的平均值。
概率论——数学期望
概率论——数学期望
数学期望是概率论中一个重要的概念，用于描述随机变量的平均值。
在数学上，数学期望可以定义为随机变量的每个可能取值乘以其对应的概率，并将这些乘积相加。
设随机变量X的取值有n个，分别记为x1, x2, …, xn，对应的概率为p1, p2, …, pn。
则X的数学期望E(X)可以表示为：
E(X) = x1*p1 + x2*p2 + … + xn*pn
数学期望可以理解为随机变量所取得值的加权平均。
每个取值乘以其概率，再将所有乘积相加，就得到了数学期望。
数学期望在实际应用中有着广泛的应用，例如在赌博中，可以用数学期望来计算每次下注的预期收益；在保险业中，可以用数学期望来评估保险责任的大小；在金融学中，可以用数学期望来衡量金融产品的风险与回报等。
需要注意的是，数学期望不一定是随机变量取值的实际可能值，而是其平均值。
因此，即使随机变量的可能值与数学期望相差较大，在大量重复实验中，随机变量的平均取值仍然趋近于数学期望。
这正是数学期望的统计意义所在。
数学期望是概率论中用于描述随机变量的平均值的概念。
它可以通过将随机变量的可能取值与对应的概率相乘，再将所有乘积相加得到。
数学期望在实际应用中有着广泛的应用，可以用于预测和评估各种概率事件的平均效果。
数学期望
《概率论与数理统计》第四章随机变量的数字特征数学期望：1.随机变量数学期望的定义—连续型E(ξ)=⎰-∞+∞xp(x)dx E(g(ξ))=⎰-∞+∞g(x)p(x)dx 2.二维随机变量(X,Y)的数学期望：连续型E(X)=⎰-∞+∞xf X (x)dx=⎰-∞+∞⎰-∞+∞xf(x,y)dxdy E(Y)=⎰-∞+∞yf Y (y)dy=⎰-∞+∞⎰-∞+∞yf(x,y)dxdy 3.二维随机变量X 的函数Y=g(X)的数学期望：E[g(X,Y)]=⎰-∞+∞⎰-∞+∞g(x,y)f(x,y)dxdy 4.数学期望的性质E(c)=c ,E(a ξ)=a ξ,E(ξ±η)=E ξ±E η若ξ与η相互独立，则E(ξη)=E ξE η方差：1.随机变量方差的定义−−-D(X)=E[X-E(X)]2=EX 2–(EX)2D(X)=⎰-∞+∞[x-E(X)]2f(x)dx 2.方差性质：D(c)=0,D(a ξ)=a 2ξ,D(a ξ+b)=a 2D ξ,D(ξ±η)=D ξ+D η±2cov(ξ,η)若ξ与η相互独立，则D(ξ±η)=D ξ+D η协方差：1.ξ与η的协方差cov(ξ,η)=E[(ξ-E ξ)(η-E η)](或为σξη)2.协方差的性质：cov(ξ,ξ)=D ξcov(ξ,η)=cov(η,ξ),cov(ξ,c)=0cov(a ξ,b η)=ab cov(ξ,η),cov(ξ,η±ζ)=cov(ξ,η)±cov(ξ,ζ)3.协方差矩阵：设n 维随机变量X 1,X 2,…,X n ,记c ij =cov(X i ,X j )，则称阶矩阵C=(c ij )n ⨯n 为X 1,X 2,…,X n 的协方差矩阵例1：设ξ的密度函数p(x)=2x ∈[1，3]其它求：E ξ[解]∵1=⎰-∞+∞p(x)dx ∴c=3/2;E ξ=⎰-∞+∞xp(x)dx=⎰13x 32x 2dx=32lnx=32ln3.例2设x 1，x 2是随机变量ξ的两个任意取值，证明：E[(ξ-x 1+x 22)2]≥D ξ。
概率论数学期望
x
k 1
k
pk 不绝对收敛，则称 E ( X ) 不存在
概率统计
例4.1 某商店在年末大甩卖中进行有奖销售，摇奖时 从摇箱摇出的球的可能颜色为：红、黄、蓝、白、黑 五种，其对应的奖金额分别为：10000元、1000元、 100元、10元、1元.假定摇箱内装有很多球，其中红、 黄、蓝、白、黑的比例分别为： 0.01%,0.15%,1.34%,10%,88.5%,求每次摇奖摇出的 奖金额X的数学期望.
n 1
(n 1) t t p q
n1 t t (n 1) t np ( p q ) np C k p q 1
n 1
np[ p (1 p)] np
概率统计
k 0
n1
即: E ( X ) np
(3) 泊松分布
若随机变量X 的所有可能取值为： 0,1, 2, 而它的分布律(它所取值的各个概率)为：
e
( x )2 2 2
dx
y2 2
令:y
x
ye
y 2
2
2
概率统计
dy 2
2
1
( y )e
dy
e
y2 2
dy
2 0 2 即: E ( X )
结论：正态分布中密度函数的参数 恰好就是 随机变量X的数学期望.
P( X k )
k e
k!
k 0,1, 2, 即: X～P ( )
概率与统计中的期望值计算
概率与统计中的期望值计算期望值是概率与统计中的一个重要概念，用于衡量随机变量的平均值。
在概率论和统计学中，期望值是一种对随机变量取值的加权平均，通过对随机变量的每个可能取值乘以其对应的概率，然后将所有结果相加得到。
本文将介绍概率与统计中的期望值计算方法及其应用。
一、期望值的定义在概率与统计中，期望值表示随机变量的平均值，用E(X)表示。
对于一个离散型随机变量X，其期望值的计算公式如下：E(X) = ΣxP(X=x)其中，x代表随机变量X的每一个可能取值，P(X=x)代表该取值发生的概率。
对于一个连续型随机变量X，其期望值的计算公式如下：E(X) = ∫x f(x)dx其中，f(x)表示X的概率密度函数。
二、期望值的计算方法1. 离散型随机变量的期望值计算对于离散型随机变量X，可以通过列出所有可能取值及其对应的概率，然后将每个取值乘以其概率，最后将所有结果相加来计算期望值。
例如，假设有一个掷骰子的实验，随机变量X表示掷骰子的结果，其可能取值为1、2、3、4、5、6，每个取值的概率均为1/6。
则可以计算如下：E(X) = (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) = 3.5因此，掷骰子的期望值为3.5。
2. 连续型随机变量的期望值计算对于连续型随机变量X，其期望值的计算需要使用积分。
首先需要确定随机变量X的概率密度函数f(x)，然后将x乘以f(x)，再对整个乘积进行积分。
例如，假设有一个服从正态分布的随机变量X，其概率密度函数为：f(x) = (1 / (σ * sqrt(2π))) * exp(-(x-μ)^2 / (2σ^2))其中，μ为均值，σ为标准差。
则可以计算如下：E(X) = ∫x f(x)dx = ∫x [(1 / (σ * sqrt(2π))) * exp(-(x-μ)^2 / (2σ^2))]dx这个积分可以通过数值计算或使用数学软件进行求解。
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毕业论文（设计）题目：概率论中数学期望的概念姓名：学号：0411*******教学院：数学与计算机科学学院专业班级：数学与应用数学专业2008级1班指导教师：完成时间：2012年04月10日毕节学院教务处制概率论中数学期望概念摘要：数学期望是现代概率论中最重要的基本概念之一，无论在理论上还是在应用中都具有重要的地位和作用。
但是，数学期望这一概念对许多学者来说却又是一个难点，特别是对概念的理解和对这一数学工具的使用上都很难掌握。
本文从离散型随机变量的来源、定义、分布及其理解上详细阐述概率论中的数学期望的概念及其性质，并介绍说明这一数学工具在实际生活中的应用。
目的是希望能给更多的学者提供一些参考及帮助。
关键词：离散型；随机变量；分布；函数；期望Mathematical expection conceptin theory of probabilityCandidate:Xiong Xiao-ping Major:Mathematics and appliedmathematicsStudent No:0411******* Advisor:Xue Chao-kui(Lecturer)Abstract:Mathematical expectation is the modern theory of probability in the most important one of the basic concept, whether in theory or in the applications has an important position and role. But, mathematical expectation is a difficult concept for many scholars, especially for the understanding of concepts and the mathematical tools to the use of all difficult to master. This article from source of discrete random variable, definition, distribution and understand the detail on the mathematics of the concept of probability theory and its properties expectations, and introduces the mathematical tools that in the actual life application. The main purpose is to give more scholars can provide some reference and help.Keywords:discrete; Random variable, Distribution; Functions; expect目录引言 (1)1 预备知识 (2)1.1 随机变量的定义 (2)1.2 离散型随机变量的定义 (2)2 离散型随机变量的几种分布 (5)2.1 0—1分布（两点分布） (5)2.2 二项分布 (6)2.3 泊松分布 (6)3 随机变量的分布函数及期望 (7)3.1 一维随机变量的分布函数 (7)3.2 二维随机变量及其概率分布 (9)3.3 多维随机变量分布及其数学期望 (10)结束语 (13)参考文献 (14)致谢 (15)附录 (16)引言数学期望的概念起源于赌博，早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机会相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可获得100法郎的奖励。
等比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因终止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平呢？用概率论的知识不难得出，甲获胜的概率为11132224+⨯=，或者分析乙获胜的概率为111224⨯=，因此由此引出了甲的期望所得值为3100754⨯=法郎，乙的期望所得值为25法郎。
概率论是1718，世纪欧洲思想和文化的产物，其每一概念和方法的提出和进展几乎都受到当时盛行的价值观，社会思潮和所拥有的社会资源的影响。
在这方面，概率论中期望思想的发展历史是一个典型的案例。
对它在17和18世纪的历史作一些研究，就会发现这个议题涉及当时人们在所有领域中对清晰性和确定性的态度和希望。
在这个过程中，他们遇到的一些困难以及他们对这些困难的回应，为审视数学期望的发展和社会化之间的关系提供了一种具有启发性的视角。
尽管由帕斯卡和惠更斯等人所启动的概率论这门学科被称作概率演算，但早期概率论学者研究的一个中心问题是期望而不是概率。
早期概率论中对数学期望的强调是由于这个概念承载了当时常用的“期望“术语的两种不同的定性含义，一是人们对法律中公平公正的期望，另一种是源于经济学中的公平获利的思考。
这两重含义使得它成为将数学概率与社会科学连接起来的桥梁。
因此，早期的概率期望承袭了当时常用术语“期望”的两种不同的定性含义，这两种关于期望的视角——法律的和经济的，一个与公平有关，而另一个与利益有关，两者铸造了尚未成熟的概率期望的早期数学理论。
从1654年概率论最早形成直到1812年拉普拉斯《分析概率论》的出版，法律的平等和经济的谨慎在不同的方向上推动了数学概率中的概率期望的发展，使得期望成为这个学科中早期发展中的一个中心概念。
为了便于研究，下面只探讨概率论中离散型随机变量的数学期望，将从随机变量的定义，分布进行分析引入。
自然界的现象，可以分成必然现象和随机现象两大类。
在一组给定条件下，某一事情必然发生。
例如，在一个大气压下水的温度降到零度以下就会结冰；偶数与偶数的和仍是偶数…，这些称为必然现象。
但另外有些现象就不是这样。
比如，明年七月十日下雨。
这个判断只有等到明年七月十日以后才能给出正确的答案。
它有可能下，也有可能不下。
又如掷骰子，每掷一次出现1,2,3,4,5,6各点的可能性是相同的，无法判断到底出现几点。
这就是随机现象。
如何用数学方法来描述一个随机现象呢？注意到随机现象有四个特征。
首先是它具有几种可能的状态，对此每个状态可用一个实数来表示。
这样就得到了一个定义在基本概念空间Ω上的函数：()X ω 其次是对于一些最简单的复合事件如： {:()}X a ωω≤它应该属于事件σ—域，因而也可以确定它的概率。
这时()X ω就的确可以代表一个随机变量了。
这样的()X ω被称为随机变量，用测度论的术语来说，随机变量就是关于σ—域γ可测的可测函数。
1 预备知识1.1 随机变量的定义随机变量：设随机实验的样本空间为{},()S e X X e ==是定义在S 上实（单值）函数，称()X X e =为随机变量。
随机变量的取值随实验的结果而定，在实验前不能预知它取什么值，且它的取值有一定的概率。
这是随机变量与普通函数的本质差异。
1.2 离散型随机变量的定义离散型随机变量：可取的不相同的值为有限个或可列无限多个的随机变量，称为离散型随机变量，并称,{}1,2,...k k P X x P k ===为离散型随机变量X 的分布律。
它具有如下性质：(1)非负性 0,1,2,...k P k ≥= (2)完备性 11k k P ∞==∑为了引入离散型随机变量的数学期望，先来观察，讨论数学期望的直观模型， 例1，设某班有学生F 人，其中年龄为i x 的有i f 人，1,2,...i n =。
试求这个班学生的平均年龄。
解：记这个班学生的平均年龄为x ，于是有112212......n nnx f x f x f x f f f +++=+++1212111...nnnnnjjjj j j f f f x x x fff====+++∑∑∑ni i ix ω=∑(其中1iii njj f f F fω===∑是年龄i x 的频率)，显然11ni i ω==∑,可见：平均年龄x 是以频率为加权的加权平均。
如果近似地把i x 看成一随机变量，那么它发生的概率i ii x f P F F==，即年龄i x 的频率近似地等于i x 发生的概率。
例2,设进行N 次独立实验，得到随机变量ξ的统计分布如下：ξ 1x 2x ...n x 总计频数 1m2m... n mN频率1()x ω 2()x ω ...()n x ω1计算随机变量ξ的样本平均值：解：11221...1nn n iii x m x m x m x x m N N=+++==∑或者写成下面的形式：1212...n n m m mx x x x N N N=+++ 1122()()...()n n x x x x x x ωωω=+++ 1()ni i i x x ω==∑由此可见，随机变量ξ的统计分布的样本平均值x 与理论分布的数学期望()E ξ的计算法是完全类似的，这里只是用试验中的频率代替了概率。
当实验次数很大时，事件i x ξ=的频率()i x ω在对应的概率()i P x 的附近摆动，所以当实验次数很大时，随机变量ξ的样本平均值x 将在随机变量的数学期望()E ξ的附近摆动，近似地看成数学期望。
例3,求2,3,2,4,2,3,4,5,3,2这10个数的平均值。
解：将这10个数的平均值记为()E x ,则2324234532()310E x +++++++++==把分子数据重新归并，得到另一种平均值的形式： 4321()2345310101010E x =⨯+⨯+⨯+⨯= 上式表明，可以按频率的加权平均来求这10个数的平均值。
如果将这10个数分类整理成下表：i x 2 3 4 5 k f410310210110则有：41()k k k E x x f ==∑其中k f 是k x 出现的频率。
如果随机地从这10个数中抽一个数，并用X 表示抽得的结果，则X 是一个随机变量。
若记()k k P X x P ==，则上式中的频率k f 就等于概率k P ，因此有41()k k k E X x p ==∑上式表明，离散型随机变量的取值与对应的概率值相乘再求和，描述了该随机变量的平均水平。
数学期望：设离散型随机变量的X 的概率分布为()(1,2,...)k k P X x p k ===如果级数1122 (1)...kk k k k xp x p x p x p ∞+==+++∑绝对收敛，则称该级数为随机变量X 的数学期望（或均值），简称期望，记为1()k k k E X x p ∞==∑当X 取有限个（比如n 个）值时，有1()nk k k E X x p ==∑例4,某推销人与工厂约定，用船把一箱货物按期无损的运到目的地可获得佣金10元，若不按期则扣2元，若货物有损则扣5元，若又不按期又有损坏的扣16元。