概率论课件数学期望
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概率论 数学期望
0 . 0779
E ( Y ) 2732 . 15 , 即平均一台收费
2732 . 15 .
13
例4 为普查某种疾病, n 个人需验血. 验血方 案有如下两种： (1) 分别化验每个人的血, 共需化验 n 次； (2) 分组化验, k 个人的血混在一起化验, 若 结果为阴性, 则只需化验一次; 若为阳性, 则 对 k 个人的血逐个化验, 找出有病者, 此时 k 个人的血需化验 k + 1 次. 设每人血液化验呈阳性的概率为 p, 且 每人化验结果是相互独立的.试说明选择哪 一方案较经济.
xf ( x)dx
绝对收敛, 则称此积分为 X 的数学期望
记作 E( X ), 即
E( X )
xf ( x)dx
数学期望的本质 —— 加权平均 它是一个数不再是随机变量
6
例1 甲、乙两选手进行打靶，击中环数 为X1,X2，它们的分布律为
X1 pk X2 pk 7 0.2 7 0.3 8 0.3 8 0.5 9 0.4 9 0.1 10 0.1 10 0.1
数学期望的概念源于此
4
数学期望的定义
设 X 为离散 随机变量. 其分布律为
P( X xk ) pk ,
k 1
k 1,2,
若无穷级数 xk pk 绝对收敛, 则称
其和为 X 的数学期望 记作 E( X ), 即
E ( X ) xk p k
k 1
5
定义
设连续型随机变量X 的密度为 f (x) 若广义积分
20
E 例9 设 X 服从参数为 的泊松分布，求 X 。
解：已知泊松分布律为：
PX k
《数学期望》课件
注意事项
在计算过程中需要注意积分的上下 限以及概率密度函数的取值范围。
连续型随机变量的数学期望的性质
01
02
03
非负性
E(X) ≥ 0，即数学期望的 值总是非负的。
可加性
如果X和Y是两个独立的随 机变量，那么E(X+Y) = E(X) + E(Y)。
线性性质
如果a和b是常数，那么 E(aX+b) = aE(X)+b。
方差是数学期望的度量，表示随机变量取值 与数学期望的偏离程度。
04
CATALOGUE
连续型随机变量的数学期望
连续型随机变量的定义
连续型随机变量
如果一个随机变量X的所有可能 取值是实数轴上的一个区间变量。
概率密度函数
描述连续型随机变量X在各个点 上取值的概率分布情况，其数学
《数学期望》PPT课件
CATALOGUE
目 录
• 引言 • 数学期望的基本性质 • 离散型随机变量的数学期望 • 连续型随机变量的数学期望 • 数学期望的应用 • 总结与展望
01
CATALOGUE
引言
数学期望的定义
数学期望是概率论和统计学中的 一个重要概念，它表示随机变量
取值的平均数或加权平均数。
数学期望的定义基于概率论的基 本原理，通过将每个可能的结果 与其对应的概率相乘，然后将这
些乘积相加得到。
数学期望具有一些重要的性质， 如线性性质、期望值不变性质等 ，这些性质在概率论和统计学中
有着广泛的应用。
数学期望的起源和历史
数学期望的起源可以追溯到17世纪，当时的一些数学家开始研究概率论和统计学中 的一些基本概念。
通过计算投资组合的数学期望， 我们可以了解投资组合的预期收 益，从而制定更加合理的投资策
在计算过程中需要注意积分的上下 限以及概率密度函数的取值范围。
连续型随机变量的数学期望的性质
01
02
03
非负性
E(X) ≥ 0，即数学期望的 值总是非负的。
可加性
如果X和Y是两个独立的随 机变量，那么E(X+Y) = E(X) + E(Y)。
线性性质
如果a和b是常数，那么 E(aX+b) = aE(X)+b。
方差是数学期望的度量，表示随机变量取值 与数学期望的偏离程度。
04
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连续型随机变量的数学期望
连续型随机变量的定义
连续型随机变量
如果一个随机变量X的所有可能 取值是实数轴上的一个区间变量。
概率密度函数
描述连续型随机变量X在各个点 上取值的概率分布情况，其数学
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目 录
• 引言 • 数学期望的基本性质 • 离散型随机变量的数学期望 • 连续型随机变量的数学期望 • 数学期望的应用 • 总结与展望
01
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引言
数学期望的定义
数学期望是概率论和统计学中的 一个重要概念，它表示随机变量
取值的平均数或加权平均数。
数学期望的定义基于概率论的基 本原理，通过将每个可能的结果 与其对应的概率相乘，然后将这
些乘积相加得到。
数学期望具有一些重要的性质， 如线性性质、期望值不变性质等 ，这些性质在概率论和统计学中
有着广泛的应用。
数学期望的起源和历史
数学期望的起源可以追溯到17世纪，当时的一些数学家开始研究概率论和统计学中 的一些基本概念。
通过计算投资组合的数学期望， 我们可以了解投资组合的预期收 益，从而制定更加合理的投资策
第一节数学期望ppt
0
0
xe x e x dx 1 e x 1
0
0
0
概率论
3) 正态分布 N(, 2)
概率论
X ~ f (x)
1
( x )2
e , 2 2 x
2
E( X ) x
1
( x )2
Z是一维随机变量,则
(1) 若( X ,Y )是二维连续型,
概率密度为f ( x, y), 则有:
E(Z ) E[g(X ,Y )] g(x, y) f (x, y)dxdy
(2) 若( X ,Y )是二维离散型,
概率分布为P{ X xi ,Y y j } pij (i, j 1, 2,
一般是比较复杂的 .
概率论
2. 定理: 设Y是随机变量X的函数: Y=g(X) (g是连续函数)
(1) 当X为离散型时,它的分布律为P(X= xk)=pk,
(k 1,2,),若 g( xk ) pk绝对收敛，则有
k 1
E( X ) xk pk
k 1
(2) 当X为连续型时,它的密度函数为 f (x), 若
pk (1 p)nk
n!
pk (1 p)nk
k1 k !(n k)!
k1 (k 1)!(n k)!
n
np
(n 1)!
pk1 (1 p)n1(k1)
k1 (k 1)!(n k )!
n1
令l k 1 np
C
l n1
p
l
(1
p)n1l
g( x) f ( x)dx绝对收敛，则有
《数学期望》课件
《数学期望》PPT课件
欢迎来到《数学期望》PPT课件。从定义到应用，本课程将为您全面介绍数学 期望的相关知识。
什么是数学期望
1 定义
数学期望是随机变量取值的加权平均数，是 一个平均性的数值特征。
2 意义
数学期望能够用来描述随机变量的中心位置， 是概率分布的重要特征之一。
离散型随机变量的期望
1
期望的运算规律
期望的运算规律
期望也具有线性性、单调性和保号性等运算规律， 但概率密度函数的图像更难以直观展示。
期望的性质
期望的线性性质
期望具有加法和数乘的线性运算规律，对于相互独 立的随机变量，期望还满足可加性。
期望的矩估计
期望的矩估计可以帮助我们了解随机变量的高阶特 征，如方差、偏度和峰度等。
应用实例
期望在概率分布中的应用
量的期望
离散型随机变量的期望等于随机变量取
每个值的概率乘以该值的加权和，连续
型随机变量的期望等于其概率密度函数
3
期望的运算规律和性质
的加权积分。
期望具有线性性、单调性和保号性等运
算规律，还具有可加性和矩估计等特性。
应用实例
4
期望在概率分布中和随机变量期望在实 际问题中都有广泛应用。
参考资料
• 离散数学 • 概率论与数理统计 • 数理统计方法及其应用
2
期望具有线性性、单调性和保号性等运
算规律。
3
离散型随机变量的期望定义
离散型随机变量的期望等于随机变量取 每个值的概率乘以该值的加权和。
概率分布的图像
概率分布的图像能够直观地展示数学期 望的定义和特性。
连续型随机变量的期望
连续型随机变量的期望定义
连续型随机变量的期望等于其概率密度函数的加权 积分。
欢迎来到《数学期望》PPT课件。从定义到应用，本课程将为您全面介绍数学 期望的相关知识。
什么是数学期望
1 定义
数学期望是随机变量取值的加权平均数，是 一个平均性的数值特征。
2 意义
数学期望能够用来描述随机变量的中心位置， 是概率分布的重要特征之一。
离散型随机变量的期望
1
期望的运算规律
期望的运算规律
期望也具有线性性、单调性和保号性等运算规律， 但概率密度函数的图像更难以直观展示。
期望的性质
期望的线性性质
期望具有加法和数乘的线性运算规律，对于相互独 立的随机变量，期望还满足可加性。
期望的矩估计
期望的矩估计可以帮助我们了解随机变量的高阶特 征，如方差、偏度和峰度等。
应用实例
期望在概率分布中的应用
量的期望
离散型随机变量的期望等于随机变量取
每个值的概率乘以该值的加权和，连续
型随机变量的期望等于其概率密度函数
3
期望的运算规律和性质
的加权积分。
期望具有线性性、单调性和保号性等运
算规律，还具有可加性和矩估计等特性。
应用实例
4
期望在概率分布中和随机变量期望在实 际问题中都有广泛应用。
参考资料
• 离散数学 • 概率论与数理统计 • 数理统计方法及其应用
2
期望具有线性性、单调性和保号性等运
算规律。
3
离散型随机变量的期望定义
离散型随机变量的期望等于随机变量取 每个值的概率乘以该值的加权和。
概率分布的图像
概率分布的图像能够直观地展示数学期 望的定义和特性。
连续型随机变量的期望
连续型随机变量的期望定义
连续型随机变量的期望等于其概率密度函数的加权 积分。
4-1数学期望 ppt课件
若级数 xk pk 绝对收敛，则称此级数的和为随 i 1
机变量 X 的数学期望。记作 :EX.
既有 EX xk pk i 1
数学期望简称期望，又称均值.
PPT课件
4
数学期望
例1 甲、乙两人射击，他们射击水平由下表给出：
X:甲击中的环数
Y:乙击中的环数
X
8
9 10
Y
P
0.1 0.3 0.6
5
1 ex 0
4 e x
EM xfM (x)dx
x0 x0
0 x 5 1 ex 4 exdx
137 1
160
PPT课件
10
数学期望
2. 令：N=min{X1, X2, X3, X4, X5}, X1, X2, X3, X4, X5是 独立同分布的,于是 利用第三章第五节P99;5.8式
P
试问哪一个人的射击水平高?
解:甲、乙的平均环数为:
8
9
10
0.2 0.5 0.3
EX 8 0.1 9 0.3 10 0.6 9.5
EY 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1
甲的射击水平比乙的高.
从平均环数上看
PPT课件
5
数学期望
2. 连续型
第四章 随机变量的数字特征
§1 数学期望 §2 方差 §3 协方差及相关系数 §4 矩
PPT课件
1
数学期望
§4.1 数学期望
数学期望的概念
随机变量函数的数学期望
数学期望的性质
PPT课件
2
数学期望
例1： 某班有N人参加 考试，其中有ni个人为ai ,i=1,2,…
数学期望
《概率论与数理统计》第四章随机变量的数字特征数学期望：1.随机变量数学期望的定义—连续型E(ξ)=⎰-∞+∞xp(x)dx E(g(ξ))=⎰-∞+∞g(x)p(x)dx 2.二维随机变量(X,Y)的数学期望：连续型E(X)=⎰-∞+∞xf X (x)dx=⎰-∞+∞⎰-∞+∞xf(x,y)dxdy E(Y)=⎰-∞+∞yf Y (y)dy=⎰-∞+∞⎰-∞+∞yf(x,y)dxdy 3.二维随机变量X 的函数Y=g(X)的数学期望：E[g(X,Y)]=⎰-∞+∞⎰-∞+∞g(x,y)f(x,y)dxdy 4.数学期望的性质E(c)=c ,E(a ξ)=a ξ,E(ξ±η)=E ξ±E η若ξ与η相互独立，则E(ξη)=E ξE η方差：1.随机变量方差的定义−−-D(X)=E[X-E(X)]2=EX 2–(EX)2D(X)=⎰-∞+∞[x-E(X)]2f(x)dx 2.方差性质：D(c)=0,D(a ξ)=a 2ξ,D(a ξ+b)=a 2D ξ,D(ξ±η)=D ξ+D η±2cov(ξ,η)若ξ与η相互独立，则D(ξ±η)=D ξ+D η协方差：1.ξ与η的协方差cov(ξ,η)=E[(ξ-E ξ)(η-E η)](或为σξη)2.协方差的性质：cov(ξ,ξ)=D ξcov(ξ,η)=cov(η,ξ),cov(ξ,c)=0cov(a ξ,b η)=ab cov(ξ,η),cov(ξ,η±ζ)=cov(ξ,η)±cov(ξ,ζ)3.协方差矩阵：设n 维随机变量X 1,X 2,…,X n ,记c ij =cov(X i ,X j )，则称阶矩阵C=(c ij )n ⨯n 为X 1,X 2,…,X n 的协方差矩阵例1：设ξ的密度函数p(x)=2x ∈[1，3]其它求：E ξ[解]∵1=⎰-∞+∞p(x)dx ∴c=3/2;E ξ=⎰-∞+∞xp(x)dx=⎰13x 32x 2dx=32lnx=32ln3.例2设x 1，x 2是随机变量ξ的两个任意取值，证明：E[(ξ-x 1+x 22)2]≥D ξ。
概率论数学期望
▲ E ( X ) 的计算：当 X 的可能取值为有限时， 则计算有穷和；当 X 的可能取值为无限时， 则计算级数的和。 ▲若
x
k 1
k
pk 不绝对收敛，则称 E ( X ) 不存在
概率统计
例4.1 某商店在年末大甩卖中进行有奖销售，摇奖时 从摇箱摇出的球的可能颜色为：红、黄、蓝、白、黑 五种，其对应的奖金额分别为：10000元、1000元、 100元、10元、1元.假定摇箱内装有很多球，其中红、 黄、蓝、白、黑的比例分别为： 0.01%,0.15%,1.34%,10%,88.5%,求每次摇奖摇出的 奖金额X的数学期望.
n 1
(n 1) t t p q
n1 t t (n 1) t np ( p q ) np C k p q 1
n 1
np[ p (1 p)] np
概率统计
k 0
n1
即: E ( X ) np
(3) 泊松分布
若随机变量X 的所有可能取值为： 0,1, 2, 而它的分布律(它所取值的各个概率)为：
e
( x )2 2 2
dx
y2 2
令:y
x
ye
y 2
2
2
概率统计
dy 2
2
1
( y )e
dy
e
y2 2
dy
2 0 2 即: E ( X )
结论：正态分布中密度函数的参数 恰好就是 随机变量X的数学期望.
P( X k )
k e
k!
k 0,1, 2, 即: X～P ( )
x
k 1
k
pk 不绝对收敛，则称 E ( X ) 不存在
概率统计
例4.1 某商店在年末大甩卖中进行有奖销售，摇奖时 从摇箱摇出的球的可能颜色为：红、黄、蓝、白、黑 五种，其对应的奖金额分别为：10000元、1000元、 100元、10元、1元.假定摇箱内装有很多球，其中红、 黄、蓝、白、黑的比例分别为： 0.01%,0.15%,1.34%,10%,88.5%,求每次摇奖摇出的 奖金额X的数学期望.
n 1
(n 1) t t p q
n1 t t (n 1) t np ( p q ) np C k p q 1
n 1
np[ p (1 p)] np
概率统计
k 0
n1
即: E ( X ) np
(3) 泊松分布
若随机变量X 的所有可能取值为： 0,1, 2, 而它的分布律(它所取值的各个概率)为：
e
( x )2 2 2
dx
y2 2
令:y
x
ye
y 2
2
2
概率统计
dy 2
2
1
( y )e
dy
e
y2 2
dy
2 0 2 即: E ( X )
结论：正态分布中密度函数的参数 恰好就是 随机变量X的数学期望.
P( X k )
k e
k!
k 0,1, 2, 即: X～P ( )
概率论课件-3-1数学期望17p
在未来，概率论将会与更多的学科领域进行交叉 融合，如物理学、生物学、计算机科学等，从而 产生更加丰富的研究成果和应用价值。
同时，概率论本身也还有很多未解决的问题和需 要进一步研究的方向，如高维随机变量的性质、 复杂系统的概率模型等，这些问题的解决将会推 动概率论的进一步发展。
THANKS FOR WATCHING
数学期望在统计学、金融学、决策理论等领域中有着广泛的应用，是这些领域中重 要的数学工具之一。
数学期望的概念可以帮助我们理解随机变量的本质和特性，从而更好地应用概率论 解决实际问题。
未来研究方向和展望
随着科技的发展和实际应用的需要，概率论将会 得到更加广泛的应用和发展。
随着大数据和人工智能的兴起，概率论将会在数 据分析和机器学习等领域中发挥更加重要的作用 ，为这些领域的发展提供更加有力的支持。
应用
可以利用极限性质来研究随机变量的期望在极限情况下的 性质。
04 数学期望的应用
在统计推断中的应用
参数估计
数学期望可以用来估计未知参数，例如使用样本 均值来估计总体均值。
假设检验
通过比较样本均值与预期值，可以检验关于总体 分布的假设。
回归分析
在回归分析中，数学期望可以用来预测因变量的 值，基于自变量的值。
定义
对于随机变量X的函数f(X)，其数 学期望E[f(X)]定义为
E[f(X)]=∫f(X)p(X)dX。
性质
如果函数f(X)是线性函数aX+b， 则E[f(X)]=aE(X)+b；如果函数f(X) 是非线性函数，则需要进行相应的 变换和计算。
计算方法
根据定义，对概率密度函数进行积 分并应用相应的变换即可得到随机 变量的函数的数学期望。
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4. 若X与Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y). 证明:设(X,Y)~f(x,y)
E ( XY )
xyf ( x, y)dxdy
X
xyf
( x) fY ( y)dxdy
xf X ( x)dx yfY ( y)dy E ( X ) E (Y )
1 101
100
j 1,...10
(99%)
1 (99%)100
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EX j 0.99100 (101 )(1 0.99100 )
E ( X ) E ( X j ) E ( X j )
j 1 j 1 10 10
10[0.99100 (101 )(1 0.99100 )]
密度为f (x, y), Z=g(X, Y) (g是连续实函数)
期望
g ( x, y) f ( x, y)dxdy绝对收敛,则Z=g(X, Y)的
E ( Z ) E[ g ( X , Y )]
g ( x, y ) f ( x, y )dxdy .
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ห้องสมุดไป่ตู้
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4.1.2.随机变量函数的期望
例5：设随机变量X的分布律为 X Pk -1 0 1
1
3
1
1
3
1
3
求随机变量Y=X2的数学期望 解: Y Pk 0
2
3
1
3
2 1 2 E (Y ) 1 0 3 3 3
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定理1
设X是离散型随机变量,它的分布律
P{X=xk}=pk, k=1,2,…, 则Y=g(X)（g是连续实函 数）,若 g(xk)pk绝对收敛， 则Y的期望E(g(X))
所以
1 n 1 n n E ( X ) E X i E ( X i ) (1 2 ... n) n 2 i 1 i 1
6
pi
0.1
0.15
0.5
0.25
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所以
E(X)=(-2)x0.1+3x0.15+4x0.5+5x0.25=3.5 即每生产一件产品平均获利3.5元。
定义 4.2 设X是连续型随机变量，其概率密 度函数为f(x), -<x<, 若 | x | f ( x)dx收敛
则称
E( X ) xf ( x )dx.
例7 长途汽车起点站于每时的10分、30分、55分 发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时 刻随机地到达车站，求乘客的平均候车时间
0 10
解:设乘客于某时X分到达车站,候车时间为Y,则
30
55 60
10 X 0 X 10 1 30 X 10 X 30 0 x 60 f X ( x) 60 Y g( X ) others 55 X 30 X 55 0 70 X 55 X 60 60 1 E (Y ) g ( x)dx =10分25秒 60 0
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1 6 9 15 7 2 40 60 70 80 90 100 40 40 40 40 40 40
76.5(分)
定义4.1 设X是离散型随机变量，它的分布 律是: P(X=xk)=pk , k=1,2,…
如果级数 xk pk 绝对收敛, 则称级数 xk pk 为 k 1 k 1 X的数学期望, 记为E ( X )
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例2 掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求X 的数学期望。
1 7 E( X ) k 6 2 k 1
例3 某厂生产的产品中，25%是一等品，50 %是二等品， 15 %是三等品，10 %是次品。如果每件一，二，三等品分 别获利5、4、3元，一件次品亏损2元，试问该厂可以期望每 件产品获利多少元？ 解 设X表示每件产品的利润，显然它是一个离散型随机变 量，其分布律为 X -2 3 4 5
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例8 设X服从N(0，1)分布，求E(X2),E(X3),E(X4)
f ( x)
1 e 2
x2 2
E( X )
2
x e 2
x2 2
2
x2 2
dx
x de 2
x2 2
1 e 2
dx 1
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E( X )
xf ( x , y ) dxdy
yf ( x, y)dxdy
x[ f ( x, y)dy]dx y[ f ( x, y)dx]dy
xf X ( x)dx yfY ( y)dy E ( X ) E (Y )
为
E (Y ) E[ g ( X )] g ( xk ) p k .
k 1
推论: 设(X, Y)是二维离散型随机变量，它们的 联合分布律为 P{X=xi ,Y=yj,}= pij, i, j=1, 2, … ,
则Z= g(X，Y)的期望
E (Z ) E[ g ( X , Y )]
E(cX ) cxf ( x)dx
c xf ( x)dx cE( X )
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3. E(X+Y)=E(X)+E(Y);
证明:设(X,Y)~f(x,y)
E( X Y )
( x y) f ( x, y)dxdy
j 1
g(x , y
i 1 i
j
) pij .
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例6 设随机变量(X,Y)的分布律如下，求E(XY)
x 0 1
y 1 2 0.15 0.15 0.45 0.25
解: E ( XY ) 0 1 0.15 0 2 0.15
11 0.45 1 2 0.25
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例9.设某种疾病的发病率为1%，在1000个人中普查 这种疾病,为此要化验每个人的血。方法是，每100 个人一组，把从100个人抽来的血混在一起化验， 如果混合血样呈阴性，则通过，如果混合血样呈阳 性，则再分别化验该组每个人的血样。求平均化验 次数
解:设Xj为第j组的化验次数，
X为1000人的化验次数，则 Xj Pj
1 n n 1 E ( X ) kP{ X k} k n k 1 2 k 1
n
精品课件！
精品课件！
i 第i把钥匙打开锁 (2)令X i 0 其他
则X X i
i 1
n
而
1 i P{ X i i} , E{ X i i} , n n
1 1000 [1 0.99100 ] 100
644
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例10 若X~B(n,p),求E(X) 解 :设 则
1 第i次试验事件A发生 Xi 0 第i次试验事件A不发生
E( X i ) p
n
X Xi
i 1 n
n
E ( X ) E ( X i ) p np
3
x e 2
4
3
x2 2
dx 0 dx
E( X )
4
x e 2
x2 2
x2 2
x de 2
3
3
x e 2
2
x2 2
dx
3
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4.1.3.数学期望的性质
1. E(c)=c,c为常数;
2。E(cX)=cE(X), c为常数; 证明:设X~f(x),则
i 1 i 1
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例11 若有n把看上去样子相同的钥匙，其中，只有 一把能打开门上的锁，用它们去试开门上的锁。设 取到每把钥匙是等可能的，每把钥匙试开一次后除 去。试用下面两种方法取求试开次数X的数学期望。 （1）写出X的分布律； （2）不写出X的分布律； 解
1 Pnk 1 1 (1) P{ X k} k , k 1, 2,...n. n Pn
为随机变量X的数学期望。
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例4. 若随机变量X服从拉普拉斯分布，其密度函数为
试求E(X).
x 1 f ( x) exp 2
解
x x E( X ) exp 2
x
dx
令t
t exp | t |dt exp tdt 2 0
0.95
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定理2 设X是连续型随机变量，它的概率 密度为f(x), Y=g(X) (g是连续实函数),若
g ( x) f ( x)dx 绝对收敛，则Y=g(X)的期望
E( Y) E[g( X )] g(x)f (x)dx.
推论 设(X, Y)是二维连续型随机变量，它的概率
一.数学期望的定义
数学期望——描述随机变量取值的平均特征 例1 设某班40名学生的概率统计成绩及得分 人数如下表所示：
4. 若X与Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y). 证明:设(X,Y)~f(x,y)
E ( XY )
xyf ( x, y)dxdy
X
xyf
( x) fY ( y)dxdy
xf X ( x)dx yfY ( y)dy E ( X ) E (Y )
1 101
100
j 1,...10
(99%)
1 (99%)100
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EX j 0.99100 (101 )(1 0.99100 )
E ( X ) E ( X j ) E ( X j )
j 1 j 1 10 10
10[0.99100 (101 )(1 0.99100 )]
密度为f (x, y), Z=g(X, Y) (g是连续实函数)
期望
g ( x, y) f ( x, y)dxdy绝对收敛,则Z=g(X, Y)的
E ( Z ) E[ g ( X , Y )]
g ( x, y ) f ( x, y )dxdy .
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4.1.2.随机变量函数的期望
例5：设随机变量X的分布律为 X Pk -1 0 1
1
3
1
1
3
1
3
求随机变量Y=X2的数学期望 解: Y Pk 0
2
3
1
3
2 1 2 E (Y ) 1 0 3 3 3
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定理1
设X是离散型随机变量,它的分布律
P{X=xk}=pk, k=1,2,…, 则Y=g(X)（g是连续实函 数）,若 g(xk)pk绝对收敛， 则Y的期望E(g(X))
所以
1 n 1 n n E ( X ) E X i E ( X i ) (1 2 ... n) n 2 i 1 i 1
6
pi
0.1
0.15
0.5
0.25
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所以
E(X)=(-2)x0.1+3x0.15+4x0.5+5x0.25=3.5 即每生产一件产品平均获利3.5元。
定义 4.2 设X是连续型随机变量，其概率密 度函数为f(x), -<x<, 若 | x | f ( x)dx收敛
则称
E( X ) xf ( x )dx.
例7 长途汽车起点站于每时的10分、30分、55分 发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时 刻随机地到达车站，求乘客的平均候车时间
0 10
解:设乘客于某时X分到达车站,候车时间为Y,则
30
55 60
10 X 0 X 10 1 30 X 10 X 30 0 x 60 f X ( x) 60 Y g( X ) others 55 X 30 X 55 0 70 X 55 X 60 60 1 E (Y ) g ( x)dx =10分25秒 60 0
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1 6 9 15 7 2 40 60 70 80 90 100 40 40 40 40 40 40
76.5(分)
定义4.1 设X是离散型随机变量，它的分布 律是: P(X=xk)=pk , k=1,2,…
如果级数 xk pk 绝对收敛, 则称级数 xk pk 为 k 1 k 1 X的数学期望, 记为E ( X )
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例2 掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求X 的数学期望。
1 7 E( X ) k 6 2 k 1
例3 某厂生产的产品中，25%是一等品，50 %是二等品， 15 %是三等品，10 %是次品。如果每件一，二，三等品分 别获利5、4、3元，一件次品亏损2元，试问该厂可以期望每 件产品获利多少元？ 解 设X表示每件产品的利润，显然它是一个离散型随机变 量，其分布律为 X -2 3 4 5
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例8 设X服从N(0，1)分布，求E(X2),E(X3),E(X4)
f ( x)
1 e 2
x2 2
E( X )
2
x e 2
x2 2
2
x2 2
dx
x de 2
x2 2
1 e 2
dx 1
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E( X )
xf ( x , y ) dxdy
yf ( x, y)dxdy
x[ f ( x, y)dy]dx y[ f ( x, y)dx]dy
xf X ( x)dx yfY ( y)dy E ( X ) E (Y )
为
E (Y ) E[ g ( X )] g ( xk ) p k .
k 1
推论: 设(X, Y)是二维离散型随机变量，它们的 联合分布律为 P{X=xi ,Y=yj,}= pij, i, j=1, 2, … ,
则Z= g(X，Y)的期望
E (Z ) E[ g ( X , Y )]
E(cX ) cxf ( x)dx
c xf ( x)dx cE( X )
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3. E(X+Y)=E(X)+E(Y);
证明:设(X,Y)~f(x,y)
E( X Y )
( x y) f ( x, y)dxdy
j 1
g(x , y
i 1 i
j
) pij .
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例6 设随机变量(X,Y)的分布律如下，求E(XY)
x 0 1
y 1 2 0.15 0.15 0.45 0.25
解: E ( XY ) 0 1 0.15 0 2 0.15
11 0.45 1 2 0.25
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例9.设某种疾病的发病率为1%，在1000个人中普查 这种疾病,为此要化验每个人的血。方法是，每100 个人一组，把从100个人抽来的血混在一起化验， 如果混合血样呈阴性，则通过，如果混合血样呈阳 性，则再分别化验该组每个人的血样。求平均化验 次数
解:设Xj为第j组的化验次数，
X为1000人的化验次数，则 Xj Pj
1 n n 1 E ( X ) kP{ X k} k n k 1 2 k 1
n
精品课件！
精品课件！
i 第i把钥匙打开锁 (2)令X i 0 其他
则X X i
i 1
n
而
1 i P{ X i i} , E{ X i i} , n n
1 1000 [1 0.99100 ] 100
644
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例10 若X~B(n,p),求E(X) 解 :设 则
1 第i次试验事件A发生 Xi 0 第i次试验事件A不发生
E( X i ) p
n
X Xi
i 1 n
n
E ( X ) E ( X i ) p np
3
x e 2
4
3
x2 2
dx 0 dx
E( X )
4
x e 2
x2 2
x2 2
x de 2
3
3
x e 2
2
x2 2
dx
3
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4.1.3.数学期望的性质
1. E(c)=c,c为常数;
2。E(cX)=cE(X), c为常数; 证明:设X~f(x),则
i 1 i 1
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例11 若有n把看上去样子相同的钥匙，其中，只有 一把能打开门上的锁，用它们去试开门上的锁。设 取到每把钥匙是等可能的，每把钥匙试开一次后除 去。试用下面两种方法取求试开次数X的数学期望。 （1）写出X的分布律； （2）不写出X的分布律； 解
1 Pnk 1 1 (1) P{ X k} k , k 1, 2,...n. n Pn
为随机变量X的数学期望。
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例4. 若随机变量X服从拉普拉斯分布，其密度函数为
试求E(X).
x 1 f ( x) exp 2
解
x x E( X ) exp 2
x
dx
令t
t exp | t |dt exp tdt 2 0
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定理2 设X是连续型随机变量，它的概率 密度为f(x), Y=g(X) (g是连续实函数),若
g ( x) f ( x)dx 绝对收敛，则Y=g(X)的期望
E( Y) E[g( X )] g(x)f (x)dx.
推论 设(X, Y)是二维连续型随机变量，它的概率
一.数学期望的定义
数学期望——描述随机变量取值的平均特征 例1 设某班40名学生的概率统计成绩及得分 人数如下表所示：